drobna in lepa preprosta naloga iz kategorije tistih, ki služijo kot rešilna bilka za plavajočega študenta. V naravi zaspano kraljestvo sredine julija, zato je čas, da se umirite s prenosnikom na plaži. Zgodaj zjutraj je zaigral sončni žarek teorije, ki se je kmalu usmerila v prakso, ki kljub deklarirani lahkotnosti vsebuje drobce stekla v pesku. V zvezi s tem priporočam, da vestno preučite nekaj primerov te strani. Za reševanje praktičnih nalog morate biti sposobni najti izpeljanke in razumeti snov članka Intervali monotonosti in ekstremi funkcije.

Najprej na kratko o glavnem. V lekciji o kontinuiteta delovanja Podal sem definicijo zveznosti v točki in zveznosti na intervalu. Na podoben način je formulirano zgledno obnašanje funkcije na segmentu. Funkcija je zvezna na segmentu, če:

1) je zvezna na intervalu ;
2) zvezna v točki na desni in v bistvu levo.

Drugi odstavek obravnava t.i enostransko kontinuiteto funkcije na točki. Obstaja več pristopov k njegovi opredelitvi, vendar se bom držal prej začete linije:

Funkcija je zvezna v točki na desni, če je definirana v dani točki in njena desna meja sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki: . V točki je neprekinjen levo, če je določena na dani točki in njeni levi meji je enaka vrednosti na tej točki:

Predstavljajte si, da so zelene pike žeblji, na katere je pritrjena čarobna gumica:

Mentalno vzemite rdečo črto v roke. Očitno, ne glede na to, kako daleč raztegnemo graf navzgor in navzdol (vzdolž osi), bo funkcija še vedno ostala omejeno- zgoraj živa meja, spodaj živa meja, naš izdelek pa se pase v ogradi. torej na segmentu zvezna funkcija je na njem omejena. Med matematično analizo je to na videz preprosto dejstvo navedeno in strogo dokazano Weierstrassov prvi izrek.… Marsikoga moti, da se elementarne trditve v matematiki dolgočasno utemeljujejo, vendar ima to pomemben pomen. Recimo, da je neki prebivalec frotirnega srednjega veka potegnil graf v nebo čez meje vidnosti, ta je bil vstavljen. Pred izumom teleskopa omejena funkcija v vesolju sploh ni bila očitna! Res, kako veš, kaj nas čaka za obzorjem? Konec koncev je nekoč veljala, da je Zemlja ravna, tako da danes tudi navadna teleportacija zahteva dokaz =)

Po navedbah drugi Weierstrassov izrek, neprekinjeno na segmentufunkcija doseže svojo natančen zgornji rob in njegov točen spodnji rob .

Številka se tudi imenuje največjo vrednost funkcije na segmentu in označeno z , in številka - minimalna vrednost funkcije na segmentu označeno.

V našem primeru:

Opomba : v teoriji so zapisi običajni .

Grobo rečeno, najvišjo vrednost se nahaja tam, kjer je visoka točka grafika, najmanjši pa - kje je najnižja točka.

Pomembno! Kot je bilo že poudarjeno v članku o ekstremi funkcije, največja vrednost funkcije in najmanjša vrednost funkcije – NI ENAKO, Kaj maksimalno delovanje in minimalna funkcija. Torej je v tem primeru število najmanjša vrednost funkcije, ne pa najmanjša vrednost.

Mimogrede, kaj se zgodi zunaj segmenta? Ja, tudi poplava nas v kontekstu obravnavane problematike sploh ne zanima. Naloga vključuje samo iskanje dveh številk in to je to!

Poleg tega je rešitev povsem analitična, torej ni treba risati!

Algoritem leži na površini in je razviden iz zgornje slike:

1) Poiščite vrednosti funkcije v kritične točke, ki spadajo v ta segment.

Ujemite še eno dobroto: ni treba preverjati zadostnega pogoja za ekstrem, saj, kot je bilo prikazano, prisotnost minimuma ali maksimuma še ni zagotovljeno kakšna je najmanjša ali največja vrednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum in po volji usode je isto število največja vrednost funkcije na intervalu . Seveda pa se takšno naključje ne zgodi vedno.

Tako je na prvem koraku hitreje in lažje izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo segmentu, ne da bi se obremenjevali, ali imajo ekstreme ali ne.

2) Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta.

3) Med vrednostmi funkcije, ki jih najdemo v 1. in 2. odstavku, izberemo najmanjšo in najbolj velika številka, zapišite odgovor.

Usedemo se na obalo modro morje in udaril s petami v plitvi vodi:

Primer 1

Poiščite največji in najmanjša vrednost funkcije na segmentu

rešitev:
1) Izračunajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu:

Izračunajmo vrednost funkcije na drugi kritični točki:

2) Izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta:

3) »Krepki« rezultati so bili pridobljeni z eksponenti in logaritmi, kar bistveno oteži njihovo primerjavo. Zaradi tega se bomo oborožili s kalkulatorjem ali Excelom in izračunali približne vrednosti, pri čemer ne bomo pozabili, da:

Zdaj je vse jasno.

Odgovori:

Frakcijsko-racionalna instanca za neodvisno rešitev:

Primer 6

Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu

Naj bo funkcija $z=f(x,y)$ definirana in zvezna v neki omejenosti zaprto območje$D$. Naj ima dana funkcija končne delne odvode prvega reda v tem območju (z morebitno izjemo končnega števila točk). Za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije dveh spremenljivk v danem zaprtem območju so potrebni trije koraki preprostega algoritma.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije $z=f(x,y)$ v zaprti domeni $D$.

1. Poiščite kritične točke funkcije $z=f(x,y)$, ki pripadajo območju $D$. Izračunajte vrednosti funkcij na kritičnih točkah.
2. Raziščite obnašanje funkcije $z=f(x,y)$ na meji območja $D$ tako, da poiščete točke možnih največjih in najmanjših vrednosti. Izračunajte vrednosti funkcije na dobljenih točkah.
3. Iz vrednosti funkcij, pridobljenih v prejšnjih dveh odstavkih, izberite največjo in najmanjšo.

Kaj so kritične točke? pokaži/skrij

Spodaj kritične točke pomenijo točke, kjer sta oba delna odvoda prvega reda enaka nič (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ in $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ali vsaj ena delna izpeljanka ne obstaja.

Pogosto se imenujejo točke, v katerih so parcialni odvodi prvega reda enaki nič stacionarne točke. Tako so stacionarne točke podmnožica kritičnih točk.

Primer #1

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v zaprtem območju, omejeno s črtami$x=3$, $y=0$ in $y=x+1$.

Sledili bomo zgoraj navedenemu, vendar se bomo najprej lotili risanja dane ploskve, ki jo bomo označili s črko $D$. Dani smo enačbe treh ravne črte, ki omejujejo to področje. Premica $x=3$ poteka skozi točko $(3;0)$ vzporedno z osjo y (os Oy). Premica $y=0$ je enačba abscisne osi (Ox os). No, da zgradimo premico $y=x+1$, poiščimo dve točki, skozi kateri narišemo to premico. Namesto $x$ lahko seveda zamenjate nekaj poljubnih vrednosti. Če na primer zamenjamo $x=10$, dobimo: $y=x+1=10+1=11$. Našli smo točko $(10;11)$, ki leži na premici $y=x+1$. Vendar je bolje najti tiste točke, kjer se premica $y=x+1$ seka s premicama $x=3$ in $y=0$. Zakaj je bolje? Ker bomo na en mah ustrelili nekaj muh: dobili bomo dve točki za konstrukcijo premice $y=x+1$ in hkrati ugotovili, v katerih točkah ta premica seka druge premice, ki omejujejo dano območje. Premica $y=x+1$ seka premico $x=3$ v točki $(3;4)$, premica $y=0$ pa v točki $(-1;0)$. Da ne bom obtežil poteka rešitve s pomožnimi razlagami, bom vprašanje pridobitve teh dveh točk postavil v opombo.

Kako sta bili pridobljeni točki $(3;4)$ in $(-1;0)$? pokaži/skrij

Začnimo s presečišča premic $y=x+1$ in $x=3$. Koordinate želene točke pripadajo tako prvi kot drugi vrstici, zato morate za iskanje neznanih koordinat rešiti sistem enačb:

$$ \levo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rešitev takega sistema je trivialna: če zamenjamo $x=3$ v prvo enačbo, dobimo: $y=3+1=4$. Točka $(3;4)$ je želeno presečišče premic $y=x+1$ in $x=3$.

Zdaj pa poiščimo presečišče premic $y=x+1$ in $y=0$. Spet sestavimo in rešimo sistem enačb:

$$ \levo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Če zamenjamo $y=0$ v prvo enačbo, dobimo: $0=x+1$, $x=-1$. Točka $(-1;0)$ je želeno presečišče premic $y=x+1$ in $y=0$ (abscisna os).

Vse je pripravljeno za izdelavo risbe, ki bo videti takole:

Vprašanje opombe se zdi očitno, saj je vse razvidno iz slike. Vendar je vredno zapomniti, da risba ne more služiti kot dokaz. Slika je le ilustracija za jasnost.

Naše območje je bilo določeno z enačbami premic, ki ga omejujejo. Očitno je, da te črte določajo trikotnik, kajne? Ali pa ni čisto očitno? Ali pa nam je morda dano drugo območje, omejeno z enakimi črtami:

Seveda v pogoju piše, da je območje zaprto, zato je prikazana slika napačna. Da bi se izognili takšnim dvoumnostim, je bolje, da regije definiramo z neenakostmi. Nas zanima del ravnine, ki se nahaja pod premico $y=x+1$? V redu, torej $y ≤ x+1$. Naše območje naj se nahaja nad črto $y=0$? Odlično, torej $y ≥ 0$. Mimogrede, zadnji dve neenakosti zlahka združimo v eno: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(poravnano) \desno. $$

Te neenakosti določajo domeno $D$ in jo definirajo enolično, brez dvoumnosti. Toda kako nam to pomaga pri vprašanju na začetku opombe? Tudi to bo pomagalo :) Preveriti moramo, ali točka $M_1(1;1)$ pripada območju $D$. Nadomestimo $x=1$ in $y=1$ v sistem neenačb, ki določajo to območje. Če sta obe neenakosti izpolnjeni, potem leži točka znotraj regije. Če vsaj ena od neenakosti ni izpolnjena, potem točka ne pripada regiji. Torej:

$$ \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno. \;\; \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno.$$

Obe neenakosti držita. Točka $M_1(1;1)$ pripada območju $D$.

Zdaj je na vrsti raziskovanje obnašanja funkcije na meji domene, tj. Pojdi do. Začnimo z ravno črto $y=0$.

Premica $y=0$ (abscisna os) omejuje območje $D$ pod pogojem $-1 ≤ x ≤ 3$. Nadomestite $y=0$ v dano funkcijo $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Nastala substitucijska funkcija ene spremenljivke $x$ bo označena kot $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Zdaj moramo za funkcijo $f_1(x)$ najti največjo in najmanjšo vrednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Poiščite odvod te funkcije in ga enačite na nič:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, zato na seznam točk dodamo tudi $M_2(2;0)$. Poleg tega izračunamo vrednosti funkcije $z$ na koncih segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. v točkah $M_3(-1;0)$ in $M_4(3;0)$. Mimogrede, če točka $M_2$ ne bi pripadala obravnavanemu segmentu, potem seveda ne bi bilo treba izračunati vrednosti funkcije $z$ v njej.

Torej, izračunajmo vrednosti funkcije $z$ v točkah $M_2$, $M_3$, $M_4$. Seveda lahko koordinate teh točk nadomestite v izvirnem izrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primer, za točko $M_2$ dobimo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Lahko pa izračune nekoliko poenostavimo. Da bi to naredili, si velja zapomniti, da imamo na segmentu $M_3M_4$ $z(x,y)=f_1(x)$. Bom podrobno opisal:

\begin(poravnano) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \konec(poravnano)

Seveda tako podrobni vnosi običajno niso potrebni, v prihodnje pa bomo vse izračune začeli zapisovati skrajšano:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Zdaj pa se obrnemo na ravno črto $x=3$. Ta premica omejuje domeno $D$ pod pogojem $0 ≤ y ≤ 4$. Nadomestite $x=3$ v dano funkcijo $z$. Kot rezultat takšne zamenjave dobimo funkcijo $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkcijo $f_2(y)$ morate najti največjo in najmanjšo vrednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Poiščite odvod te funkcije in ga enačite na nič:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, zato prej najdenim točkam dodamo $M_5(3;3)$. Poleg tega je treba izračunati vrednost funkcije $z$ v točkah na koncih segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. v točkah $M_4(3;0)$ in $M_6(3;4)$. V točki $M_4(3;0)$ smo že izračunali vrednost $z$. Izračunajmo vrednost funkcije $z$ v točkah $M_5$ in $M_6$. Naj vas spomnim, da imamo na segmentu $M_4M_6$ $z(x,y)=f_2(y)$, torej:

\begin(poravnano) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \konec(poravnano)

In končno razmislite o zadnji meji $D$, tj. vrstica $y=x+1$. Ta premica omejuje območje $D$ pod pogojem $-1 ≤ x ≤ 3$. Če nadomestimo $y=x+1$ v funkcijo $z$, bomo imeli:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Spet imamo funkcijo ene spremenljivke $x$. In spet morate najti največjo in najmanjšo vrednost te funkcije na segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$. Poiščite odvod funkcije $f_(3)(x)$ in ga enačite na nič:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Če $x=1$, potem $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ na seznam točk in ugotovimo, kakšna je vrednost funkcije $z$ na tej točki. Točke na koncih odseka $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. točki $M_3(-1;0)$ in $M_6(3;4)$ smo že obravnavali, v njih smo že našli vrednost funkcije.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rešitve je končan. Imamo sedem vrednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Obrnimo se na. Če izberemo največjo in najmanjšo vrednost od tistih številk, ki smo jih dobili v tretjem odstavku, bomo imeli:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problem je rešen, ostane le še zapisati odgovor.

Odgovori: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primer #2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ v območju $x^2+y^2 ≤ 25$.

Najprej sestavimo risbo. Enačba $x^2+y^2=25$ (to je mejna črta danega območja) določa krog s središčem v izhodišču (tj. v točki $(0;0)$) in polmerom 5. Neenakost $x^2 +y^2 ≤ 25$ zadošča vsem točkam znotraj in na omenjenem krogu.

Ukrepali bomo naprej. Poiščimo delne odvode in ugotovimo kritične točke.

$$ \frac(\delni z)(\delni x)=2x-12; \frac(\delni z)(\delni y)=2y+16. $$

Ni točk, v katerih najdeni delni odvodi ne obstajajo. Ugotovimo, v katerih točkah sta oba delna odvoda hkrati enaka nič, tj. najti stacionarne točke.

$$ \left \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno. \;\; \left \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8.\end(poravnano) \desno.$$

Dobili smo stacionarno točko $(6;-8)$. Vendar pa najdena točka ne pripada območju $D$. To je enostavno prikazati, ne da bi se zatekli k risbi. Preverimo, ali velja neenakost $x^2+y^2 ≤ 25$, ki določa našo domeno $D$. Če $x=6$, $y=-8$, potem $x^2+y^2=36+64=100$, tj. neenakost $x^2+y^2 ≤ 25$ ni izpolnjena. Sklep: točka $(6;-8)$ ne pripada območju $D$.

Tako znotraj $D$ ni kritičnih točk. Gremo naprej, do. Raziskati moramo obnašanje funkcije na meji danega območja, tj. na krogu $x^2+y^2=25$. Seveda lahko $y$ izrazite z $x$ in nato dobljeni izraz nadomestite z našo funkcijo $z$. Iz enačbe kroga dobimo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ali $y=-\sqrt(25-x^2)$. Če na primer zamenjamo $y=\sqrt(25-x^2)$ v dano funkcijo, bomo imeli:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Nadaljnja rešitev bo popolnoma enaka študiji obnašanja funkcije na meji regije v prejšnjem primeru št. 1. Vendar se mi zdi v tej situaciji bolj smiselno uporabiti Lagrangeovo metodo. Zanima nas le prvi del te metode. Po uporabi prvega dela Lagrangeove metode bomo dobili točke, na katerih bomo preučili funkcijo $z$ za najmanjšo in največjo vrednost.

Sestavimo Lagrangeovo funkcijo:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Poiščemo parcialne odvode Lagrangeove funkcije in sestavimo ustrezen sistem enačb:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\konec (poravnano) \ desno. \;\; \levo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnano)\desno.$$

Za rešitev tega sistema takoj označimo, da je $\lambda\neq -1$. Zakaj $\lambda\neq -1$? Poskusimo nadomestiti $\lambda=-1$ v prvo enačbo:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Nastalo protislovje $0=6$ pravi, da je vrednost $\lambda=-1$ neveljavna. Izhod: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ in $y$ z $\lambda$:

\begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \konec(poravnano)

Mislim, da tukaj postane očitno, zakaj smo posebej določili pogoj $\lambda\neq -1$. To je bilo storjeno, da se izraz $1+\lambda$ brez motenj prilega imenovalcem. To pomeni, da se prepričamo, da je imenovalec $1+\lambda\neq 0$.

Dobljena izraza za $x$ in $y$ nadomestimo v tretjo enačbo sistema, tj. v $x^2+y^2=25$:

$$ \levo(\frac(6)(1+\lambda) \desno)^2+\levo(\frac(-8)(1+\lambda) \desno)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz dobljene enakosti sledi $1+\lambda=2$ ali $1+\lambda=-2$. Zato imamo dve vrednosti parametra $\lambda$, in sicer: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. V skladu s tem dobimo dva para vrednosti $x$ in $y$:

\begin(poravnano) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \konec(poravnano)

Tako smo dobili dve točki možnega pogojnega ekstrema, tj. $M_1(3;-4)$ in $M_2(-3;4)$. Poiščite vrednosti funkcije $z$ v točkah $M_1$ in $M_2$:

\begin(poravnano) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \konec(poravnano)

Od tistih, ki smo jih dobili v prvem in drugem koraku, moramo izbrati največjo in najmanjšo vrednost. Ampak v tem primeru je izbira majhna :) Imamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovori: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

S praktičnega vidika je najbolj zanimiva uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja je treba rešiti problem optimizacije nekaterih parametrov. In to je problem iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na nekem intervalu X , ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene. Sam interval X je lahko odsek črte, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo eksplicitno govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti. dano funkcijo ena spremenljivka y=f(x) .

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Na kratko se osredotočimo na glavne definicije.

Največja vrednost funkcije , ki za kakršno koli neenakost je resnična.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost , ki za kakršno koli neenakost je resnična.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) vrednost, sprejeta na obravnavanem intervalu z absciso.

Stacionarne točke so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije izgine.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija na neki točki ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame največje in najmanjše vrednosti na točkah, kjer prvi derivat te funkcije ne obstaja, sama funkcija pa je definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Zaradi jasnosti podajamo grafično ilustracijo. Poglejte slike - in veliko vam bo postalo jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6;6] .

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenite segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desna meja interval.

Na sliki št. 3 so mejne točke segmenta [-3; 2] abscise točk, ki ustrezajo največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem območju

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, prikazanem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y ) na stacionarni točki z x=1 absciso, najmanjšo vrednost (min y ) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

Na intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko se x=2 nagiba v desno, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (ravna črta x=2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3 . Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišemo algoritem, ki nam omogoča, da poiščemo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.

1. Poiščemo domeno funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
2. Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno se takšne točke pojavljajo v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v močnostne funkcije z ulomljenim racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
3. Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo v segment. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korene. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednji korak.
4. Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja) in tudi na x=a in x=b.
5. Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo želena največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem pri reševanju primera iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na intervalu [-4;-1] .

rešitev.

Domena funkcije je celotna množica realnih števil, razen ničle, to je . Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščemo odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1] .

Stacionarne točke so določene iz enačbe . Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1 , x=2 in x=4 :

Zato je največja vrednost funkcije dosežena pri x=1 in najmanjša vrednost – pri x=2 .

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije samo na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):

Poglejmo, kako raziskati funkcijo z uporabo grafa. Izkazalo se je, da lahko ob pogledu na graf ugotovite vse, kar nas zanima, in sicer:

• obseg funkcije
• obseg delovanja
• funkcijske ničle
• obdobja naraščanja in upadanja
• visoke in nizke točke
• največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.

Naj pojasnimo terminologijo:

Abscisa je vodoravna koordinata točke.
Ordinata- navpična koordinata.
abscisa- vodoravna os, najpogosteje imenovana os.
Y-os- navpična os ali os.

Prepir je neodvisna spremenljivka, od katere so odvisne vrednosti funkcije. Najpogosteje navedeno.
Z drugimi besedami, sami izberemo , nadomestimo v formuli funkcije in dobimo .

Domena funkcije - nabor tistih (in samo tistih) vrednosti argumenta, za katerega funkcija obstaja.
Označeno: ali.

Na naši sliki je domena funkcije segment. Na tem segmentu je narisan graf funkcije. Samo tukaj obstaja ta funkcija.

Območje delovanja je niz vrednosti, ki jih sprejme spremenljivka. Na naši sliki je to segment - od najnižje do najvišje vrednosti.

Funkcijske ničle- točke, kjer je vrednost funkcije enaka nič, tj. Na naši sliki sta to točki in .

Funkcijske vrednosti so pozitivne kje . Na naši sliki so to intervali in .
Vrednosti funkcij so negativne kje . Ta interval (ali interval) imamo od do.

Najpomembnejši koncepti - naraščajoče in padajoče funkcije na nekem setu. Kot niz lahko vzamete segment, interval, zvezo intervalov ali celotno številsko premico.

funkcija poveča

Z drugimi besedami, več kot je , več je , to pomeni, da gre graf v desno in navzgor.

funkcija zmanjša na množici, če za katero koli in pripada množici neenakost pomeni neenakost .

Za padajočo funkcijo večja vrednost ustreza nižji vrednosti. Graf gre desno in navzdol.

Na naši sliki funkcija narašča na intervalu in pada na intervalih in .

Določimo, kaj je maksimalne in minimalne točke funkcije.

Najvišja točka- to je notranja točka domene definicije, tako da je vrednost funkcije v njej večja kot v vseh točkah, ki so ji dovolj blizu.
Z drugimi besedami, največja točka je taka točka, vrednost funkcije, pri kateri več kot v sosednjih. To je lokalni "hrib" na karti.

Na naši sliki - največja točka.

Nizka točka- notranja točka definicijskega področja, tako da je vrednost funkcije v njej manjša kot v vseh točkah, ki so ji dovolj blizu.
To pomeni, da je najmanjša točka taka, da je vrednost funkcije v njej manjša kot v sosednjih. Na grafu je to lokalna "luknja".

Na naši sliki - najmanjša točka.

Bistvo je meja. Ni notranja točka definicijskega področja in zato ne ustreza definiciji maksimalne točke. Navsezadnje nima sosedov na levi. Na enak način na našem grafikonu ne more biti minimalne točke.

Največje in najmanjše točke se skupaj imenujejo ekstremne točke funkcije. V našem primeru je to in .

Kaj pa, če morate najti npr. minimalna funkcija na rezu? V tem primeru je odgovor: Ker minimalna funkcija je njegova vrednost na minimalni točki.

Podobno je maksimum naše funkcije . Doseže se na točki.

Lahko rečemo, da so ekstremi funkcije enaki in .

Včasih morate v nalogah najti največja in najmanjša vrednost funkcije na danem segmentu. Ni nujno, da sovpadajo s skrajnostmi.

V našem primeru najmanjša vrednost funkcije na intervalu je enak in sovpada z minimumom funkcije. Toda njegova največja vrednost na tem segmentu je enaka . Dosežen je na levem koncu segmenta.

V vsakem primeru največje in najmanjše vrednosti neprekinjena funkcija na segmentu so dosežene bodisi na ekstremnih točkah bodisi na koncih segmenta.

Kaj je ekstrem funkcije in kaj je nujen pogoj za ekstrem?

Ekstrem funkcije je maksimum in minimum funkcije.

Nujen pogoj maksimum in minimum (ekstremum) funkcije je naslednji: če ima funkcija f (x) ekstrem v točki x = a, potem je na tej točki odvod enak nič, ali neskončen, ali pa ne obstaja.

Ta pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Odvod v točki x = a lahko izniči, gre v neskončnost ali ne obstaja, ne da bi imela funkcija na tej točki ekstrem.

Kaj je zadostni pogoj za ekstrem funkcije (maksimum ali minimum)?

Prvi pogoj:

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) pozitiven levo od a in negativen desno od a, potem ima v sami točki x = a funkcija f(x) maksimum

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) negativen levo od a in pozitiven desno od a, potem ima v sami točki x = a funkcija f(x) najmanj pod pogojem, da je funkcija f(x) tukaj zvezna.

Namesto tega lahko uporabite drugi zadostni pogoj za ekstrem funkcije:

Naj v točki x = in prvi odvod f?(x) izniči; če je drugi odvod f??(а) negativen, ima funkcija f(x) maksimum v točki x = a, če je pozitiven pa minimum.

Kaj je kritična točka funkcije in kako jo najti?

To je vrednost argumenta funkcije, pri kateri ima funkcija ekstrem (tj. maksimum ali minimum). Da bi ga našli, potrebujete poišči izpeljanko funkcijo f?(x) in jo enačimo z nič, reši enačbo f?(x) = 0. Korenine te enačbe, pa tudi tiste točke, na katerih derivat te funkcije ne obstaja, so kritične točke, tj. Vrednosti argumenta, pri katerih lahko pride do ekstrema . Z lahkoto jih je mogoče prepoznati z ogledom izpeljani graf: zanimajo nas tiste vrednosti argumenta, pri katerih graf funkcije seka abscisno os (Ox os) in tiste, pri katerih se graf lomi.

Na primer, poiščimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Odvod funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rešimo enačbo: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tem primeru je kritična točka x0=-1/3. Za to vrednost argumenta ima funkcija ekstrem. Da ga dobim najti, nadomestimo najdeno število v izrazu za funkcijo namesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako določiti maksimum in minimum funkcije, tj. njegove največje in najmanjše vrednosti?

Če se predznak odvoda spremeni iz "plus" v "minus" pri prehodu skozi kritično točko x0, potem je x0 največja točka; če se predznak odvoda spremeni iz minusa v plus, potem je x0 najmanjša točka; če se predznak ne spremeni, potem v točki x0 ni niti maksimuma niti minimuma.

Za obravnavani primer:

Vzamemo poljubno vrednost argumenta na levi strani kritična točka: x = -1

Ko je x = -1, bo vrednost odvoda y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sedaj vzamemo poljubno vrednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1 bo vrednost odvoda y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kot lahko vidite, je odvod pri prehodu skozi kritično točko spremenil predznak iz minusa v plus. To pomeni, da imamo pri kritični vrednosti x0 točko minimuma.

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu(na segmentu) najdemo po istem postopku, le ob upoštevanju dejstva, da morda vse kritične točke ne bodo ležale v določenem intervalu. Tiste kritične točke, ki so zunaj intervala, je treba izključiti iz obravnave. Če je znotraj intervala samo ena kritična točka, bo imela maksimum ali minimum. V tem primeru za določitev največje in najmanjše vrednosti funkcije upoštevamo tudi vrednosti funkcije na koncu intervala.

Na primer, poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

v intervalih:

Torej je odvod funkcije

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rešimo enačbo 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke najdemo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (ni vključeno v interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ni vključeno v interval)

Vrednosti funkcije najdemo pri kritičnih vrednostih argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidimo, da je na intervalu [-9; 9] ima funkcija največjo vrednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

in najmanjši - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo eno kritično točko: x = -4,88. Vrednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Najdemo vrednost funkcije na koncih intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo največjo vrednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanjša vrednost je

y = 1,077 pri x = -3

Kako najti prevojne točke grafa funkcije in določiti strani konveksnosti in konkavnosti?

Če želite najti vse prevojne točke črte y \u003d f (x), morate poiskati drugi derivat, ga izenačiti z nič (rešite enačbo) in preizkusiti vse tiste vrednosti x, za katere je drugi derivat nič , neskončno ali ne obstaja. Če pri prehodu skozi eno od teh vrednosti drugi odvod spremeni predznak, potem ima graf funkcije na tej točki pregib. Če se ne spremeni, potem ni pregiba.

Koreni enačbe f ? (x) = 0 ter možne točke diskontinuitete funkcije in drugega odvoda razdelijo domeno funkcije na več intervalov. Konveksnost v vsakem od njihovih intervalov je določena s predznakom drugega odvoda. Če je drugi odvod v točki preučevanega intervala pozitiven, potem je premica y = f(x) tu konkavna navzgor, če je negativen, pa navzdol.

Kako najti ekstreme funkcije dveh spremenljivk?

Če želite najti ekstreme funkcije f(x, y), ki jih je mogoče diferencirati v območju njene dodelitve, potrebujete:

1) poiščite kritične točke in za to rešite sistem enačb

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za vsako kritično točko P0(a;b) preverite, ali predznak razlike ostane nespremenjen.

za vse točke (x; y), ki so dovolj blizu P0. Če razlika ohrani pozitiven predznak, potem imamo v točki P0 minimum, če je negativen, pa maksimum. Če razlika ne ohrani predznaka, potem v točki Р0 ni ekstrema.

Podobno so določeni ekstremi funkcije za več argumenti.

O čem govori Shrek Forever After?
Risanka: Shrek Forever After Leto izida: 2010 Premiera (Rusija): 20. maj 2010 Država: ZDA Režija: Michael Pitchel Scenarij: Josh Klausner, Darren Lemke Žanr: družinska komedija, fantazija, pustolovščina Uradna spletna stran: www.shrekforeverafter.com Zaplet mula

Ali lahko darujem kri med menstruacijo?
Zdravniki odsvetujejo krvodajalstvo med menstruacijo, saj. izguba krvi, čeprav ne v znatni količini, je preobremenjena z znižanjem ravni hemoglobina in poslabšanjem dobrega počutja ženske. Med postopkom krvodajalstva se lahko stanje dobrega počutja poslabša do odkritja krvavitve. Zato naj se ženske med menstruacijo vzdržijo darovanja krvi. In to že 5. dan po tem, ko so končali

Koliko kcal / uro se porabi pri pomivanju tal
Vrste telesna aktivnost Poraba energije, kcal/h Kuhanje 80 Oblačenje 30 Vožnja 50 Brisanje prahu 80 Prehranjevanje 30 Vrtnarjenje 135 Likanje 45 Pospravljanje postelje 130 Nakupovanje 80 Sedeče delo 75 Sekanje drv 300 Pomivanje tal 130 Seks 100-150 Nizkointenzivni aerobni ples

Kaj pomeni beseda "lopov"?
Lopov je tat, ki se ukvarja z majhnimi tatvinami, ali lopov, ki je nagnjen k goljufivim trikom. Potrditev te definicije je v Krylovovem etimološkem slovarju, po katerem je beseda "swindler" nastala iz besede "swindler" (tat, slepar), ki je sorodna glagolu &la

Kako se imenuje zadnja objavljena zgodba bratov Strugatski
Kratka zgodba Arkadija in Borisa Strugatskega "O vprašanju ciklacije" je bila prvič objavljena aprila 2008 v znanstvenofantastičnem almanahu "Opoldan. XXI. Stoletje" (dodatek k reviji "Vokrug sveta", izdano pod urednikovanjem Borisa Strugatskega) . Publikacija je bila posvečena 75. obletnici Borisa Strugatskega.

Kje lahko preberem zgodbe udeležencev programa Work And Travel USA
Delo in potovanje v ZDA (delo in potovanje v ZDA) je priljubljen program študentske izmenjave, kjer lahko preživite poletje v Ameriki, zakonito delate v storitvenem sektorju in potujete. Zgodovina programa Work & Travel je del programa medvladnih izmenjav Cultural Exchange Pro

Uho. Kulinarična in zgodovinska referenca Že več kot dve stoletji in pol se beseda "ukha" uporablja za označevanje juh ali decoction svežih rib. Vendar je bil čas, ko se je ta beseda razlagala širše. Označevali so juho - ne samo ribjo, ampak tudi mesno, grahovo in celo sladko. Torej v zgodovinskem dokumentu - "

Informacijski in kadrovski portali Superjob.ru - portal za zaposlovanje Superjob.ru deluje na ruskem spletnem trgu zaposlovanja od leta 2000 in je vodilni med viri, ki ponujajo iskanje zaposlitve in osebja. V bazo podatkov spletnega mesta se dnevno doda več kot 80.000 življenjepisov strokovnjakov in več kot 10.000 prostih delovnih mest.

Kaj je motivacija
Opredelitev motivacije Motivacija (iz lat. moveo - premikam se) - impulz k dejanju; dinamičen proces fiziološkega in psihološkega načrta, ki nadzoruje človekovo vedenje, določa njegovo usmeritev, organizacijo, aktivnost in stabilnost; sposobnost človeka, da zadovolji svoje potrebe z delom. Motivac

Kdo je Bob Dylan
Bob Dylan (angl. Bob Dylan, pravo ime - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; rojen 24. maja 1941) je ameriški tekstopisec, ki je - po anketi revije Rolling Stone - drugi (

Kako prevažati sobne rastline
Po nakupu sobnih rastlin se vrtnar sooči z nalogo, kako kupljeno eksotično cvetje dostaviti nepoškodovano. Poznavanje osnovnih pravil za pakiranje in prevoz sobnih rastlin bo pomagalo rešiti to težavo. Rastline morajo biti pakirane za prevoz oz. Ne glede na to, kako kratko razdaljo prenašamo rastline, se lahko poškodujejo, lahko se posušijo, pozimi &m