Postopek iskanja najmanjše in največje vrednosti funkcije na segmentu spominja na fascinanten let okoli objekta (grafa funkcije) v helikopterju, streljanje na določene točke iz topa velikega dosega in izbiranje zelo posebne točke iz teh točk za kontrolne strele. Točke se izbirajo na določen način in glede na določena pravila. Po kakšnih pravilih? O tem bomo še govorili.
Če funkcija l = f(x) je zvezna na intervalu [ a, b] , potem doseže ta segment vsaj in najvišje vrednosti . To se lahko zgodi bodisi v ekstremne točke, ali na koncih segmenta. Zato najti vsaj in največje vrednosti funkcije , zvezna na intervalu [ a, b] , morate izračunati njegove vrednosti v vseh kritične točke in na koncu segmenta, nato pa med njimi izberite najmanjšega in največjega.
Naj, na primer, morate določiti najvišja vrednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Če želite to narediti, morate najti vse kritične točke, leži na [ a, b] .
Kritična točka imenovana točka, pri kateri definirana funkcija, in njo izpeljanka enaka nič ali pa ne obstaja. Nato morate izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah. In končno, primerjajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih segmenta ( f(a) In f(b)). Največje od teh številk bo največjo vrednost funkcije na segmentu [a, b] .
Težave pri iskanju najmanjše vrednosti funkcij .
Skupaj iščemo najmanjšo in največjo vrednost funkcije
Primer 1. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije 
na segmentu [-1, 2]
.
rešitev. Poiščite odvod te funkcije. Izenačimo odvod na nič () in dobimo dve kritični točki: in . Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, je dovolj, da izračunate njene vrednosti na koncih segmenta in v točki, saj točka ne pripada segmentu [-1, 2]. Te vrednosti funkcije so: , , . Sledi, da najmanjša vrednost funkcije(označeno z rdečo na spodnjem grafu), enako -7, je doseženo na desnem koncu segmenta - v točki , in največji(tudi rdeče na grafu), je enako 9, - na kritični točki.
Če je funkcija zvezna v nekem intervalu in ta interval ni segment (je pa npr. interval; razlika med intervalom in segmentom: mejne točke intervala niso vključene v interval, ampak mejne točke segmenta so vključene v segment), potem med vrednostmi funkcije morda ne bo najmanjše in največje. Tako je na primer funkcija, prikazana na spodnji sliki, zvezna na ]-∞, +∞[ in nima največje vrednosti.
Vendar pa za vsak interval (zaprt, odprt ali neskončen) velja naslednja lastnost zveznih funkcij.
Primer 4. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu [-1, 3] .
rešitev. Odvod te funkcije najdemo kot odvod količnika:
.
Izenačimo odvod na nič, kar nam da eno kritično točko: . Spada v segment [-1, 3] . Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:
Primerjajmo te vrednosti. Zaključek: enako -5/13, v točki in najvišja vrednost enako 1 v točki.
Nadaljujemo z iskanjem najmanjše in največje vrednosti funkcije skupaj
Obstajajo učitelji, ki na temo iskanja najmanjše in največje vrednosti funkcije učencem ne dajo primerov za reševanje, ki so bolj zapleteni od pravkar obravnavanih, torej tistih, v katerih je funkcija polinom ali ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma. Vendar se ne bomo omejili na takšne primere, saj so med učitelji tisti, ki radi prisilijo učence, da razmišljajo v celoti (tabela izpeljank). Zato bosta uporabljeni logaritem in trigonometrična funkcija.
Primer 6. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu .
rešitev. Odvod te funkcije najdemo kot derivat izdelka :
Izenačimo odvod na nič, kar daje eno kritično točko: . Spada v segment. Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:
Rezultat vseh dejanj: funkcija doseže svojo minimalno vrednost, enako 0, v točki in v točki in najvišja vrednost, enako e², na točki.
Primer 7. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije 
na segmentu .
rešitev. Poiščite izpeljanko te funkcije:
Izenačimo odvod na nič:
Edina kritična točka pripada segmentu. Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:
Zaključek: funkcija doseže svojo minimalno vrednost, enako , v točki in najvišja vrednost, enako , v točki .
V uporabnih ekstremnih problemih se iskanje najmanjših (največjih) vrednosti funkcije praviloma zmanjša na iskanje najmanjše (največje). Toda večji praktični interes niso sami minimumi ali maksimumi, temveč tiste vrednosti argumenta, pri katerih so doseženi. Pri reševanju uporabnih problemov se pojavi dodatna težava - sestavljanje funkcij, ki opisujejo obravnavani pojav ali proces.
Primer 8. Rezervoar s prostornino 4, ki ima obliko paralelopipeda s kvadratno osnovo in odprt na vrhu, mora biti konzerviran. Kakšne velikosti mora biti rezervoar, da se za njegovo pokrivanje porabi najmanj materiala?
rešitev. Pustiti x- osnovna stran, h- višina rezervoarja, S- njegova površina brez pokrova, V- njegova prostornina. Površina rezervoarja je izražena s formulo, tj. je funkcija dveh spremenljivk. Izraziti S kot funkcijo ene spremenljivke uporabimo dejstvo, da , od koder . Zamenjava najdenega izraza h v formulo za S:
Preučimo to funkcijo do njene skrajnosti. Definirana in diferenciacijska je povsod v ]0, +∞[ in
.
Izenačimo odvod na nič () in poiščemo kritično točko. Poleg tega, ko izpeljanka ne obstaja, vendar ta vrednost ni vključena v domeno definicije in zato ne more biti točka ekstrema. Torej, to je edina kritična točka. Preverimo prisotnost ekstrema z uporabo drugega zadostnega znaka. Poiščimo drugo izpeljanko. Ko je drugi odvod večji od nič (). To pomeni, da ko funkcija doseže minimum 
. Od tega minimum je edini ekstrem te funkcije, je njena najmanjša vrednost. Torej mora biti stran dna rezervoarja 2 m, njegova višina pa .
Primer 9. Od točke A ki se nahaja ob železniški progi, do točke Z, ki se nahaja na oddaljenosti od njega l, tovor je treba prepeljati. Strošek prevoza enote teže na enoto razdalje po železnici je enak , po avtocesti pa je enak . Do katere točke M vrstice železnica treba zgraditi avtocesto za prevoz tovora iz A V Z je bil najbolj ekonomičen (oddelek AB predvidevamo, da je železnica ravna)?
V fiziki in matematiki je pogosto potrebno najti najmanjšo vrednost funkcije. Zdaj vam bomo povedali, kako to storiti.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije: navodila
- Za izračun najmanjše vrednosti neprekinjena funkcija na danem segmentu morate slediti naslednjemu algoritmu:
- Poiščite odvod funkcije.
- Na danem segmentu poiščite točke, v katerih je odvod enak nič, ter vse kritične točke. Nato ugotovite vrednosti funkcije na teh točkah, torej rešite enačbo, kjer je x enak nič. Ugotovite, katera vrednost je najmanjša.
- Ugotovite, kakšno vrednost ima funkcija na končnih točkah. Določite najmanjšo vrednost funkcije v teh točkah.
- Dobljene podatke primerjajte z najnižjo vrednostjo. Manjša od dobljenih številk bo najmanjša vrednost funkcije.
Upoštevajte, da če funkcija na segmentu nima najmanjše točke, to pomeni, da se v določenem segmentu poveča ali zmanjša. Zato je treba najmanjšo vrednost izračunati na končnih segmentih funkcije.
V vseh drugih primerih se vrednost funkcije izračuna po določenem algoritmu. Na vsaki točki algoritma boste morali rešiti preprosto linearna enačba z eno korenino. Rešite enačbo s pomočjo slike, da se izognete napakam.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije na polodprtem segmentu? V napol odprtem ali odprtem obdobju funkcije je treba najmanjšo vrednost najti na naslednji način. Na končnih točkah vrednosti funkcije izračunajte enostransko mejo funkcije. Z drugimi besedami, rešite enačbo, v kateri so nagibne točke podane z vrednostma a+0 in b+0, kjer sta a in b imeni kritičnih točk.
Zdaj veste, kako najti najmanjšo vrednost funkcije. Glavna stvar je, da vse izračune opravite pravilno, natančno in brez napak.
V tem članku bom govoril o algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije, minimalne in maksimalne točke.
Teoretično nam bo zagotovo koristilo izpeljano tabelo in pravila razlikovanja. Vse je na tem krožniku:
Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti.
Zame je bolj priročno razložiti konkreten primer. Razmislite:
primer: Poiščite največjo vrednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na odseku [–4;0].
Korak 1. Vzamemo izpeljanko.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
2. korak Iskanje ekstremnih točk.
Ekstremna točka imenujemo tiste točke, v katerih funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost.
Če želite najti ekstremne točke, morate izenačiti odvod funkcije na nič (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Zdaj rešimo to bikvadratno enačbo in najdene korenine so naše ekstremne točke.
Takšne enačbe rešujem tako, da zamenjam t = x^2, nato 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Zmanjšajmo enačbo za 5, dobimo: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Naredimo obratno spremembo x^2 = t:
X_(1 in 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 in 4) = ±sqrt(-13) (izključujemo, ne more biti negativna števila, razen če seveda govorimo o kompleksnih številih)
Skupaj: x_(1) = 1 in x_(2) = -1 - to sta naši ekstremni točki.
3. korak Določite največjo in najmanjšo vrednost.
Metoda zamenjave.
V pogoju smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 ni vključena v ta segment. Torej tega ne upoštevamo. Toda poleg točke x=-1 moramo upoštevati tudi levo in desna meja našega segmenta, to sta točki -4 in 0. Da bi to naredili, nadomestimo vse te tri točke v prvotno funkcijo. Upoštevajte, da je prvotni tisti, ki je podan v pogoju (y=x^5+20x^3–65x), nekateri ljudje ga začnejo nadomeščati v izpeljanko ...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To pomeni, da je največja vrednost funkcije [b]44 in jo doseže v točki [b]-1, ki jo imenujemo točka maksimuma funkcije na odseku [-4; 0].
Odločili smo se in prejeli odgovor, super smo, lahko se sprostite. Ampak nehaj! Se vam ne zdi, da je izračunavanje y(-4) nekako pretežko? V razmerah omejenega časa je bolje uporabiti drugo metodo, jaz jo imenujem takole:
Skozi intervale konstantnosti predznaka.
Te intervale najdemo za odvod funkcije, to je za našo bikvadratno enačbo.
Jaz to naredim takole. Narišem usmerjen segment. Postavljam točke: -4, -1, 0, 1. Kljub temu, da 1 ni vključen v danem segmentu, ga je treba vseeno zabeležiti, da pravilno določimo intervale konstantnosti predznaka. Vzemimo neko število, mnogokrat večje od 1, recimo 100, in ga v mislih nadomestimo z našo bikvadratno enačbo 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Tudi brez štetja postane očitno, da je v točki 100 funkcija ima znak plus. To pomeni, da ima za intervale od 1 do 100 predznak plus. Pri prehodu skozi 1 (gremo od desne proti levi) funkcija spremeni predznak v minus. Pri prehodu skozi točko 0 bo funkcija ohranila predznak, saj je to le meja segmenta in ne koren enačbe. Pri prehodu skozi -1 bo funkcija ponovno spremenila predznak v plus.
Iz teorije vemo, da kje je odvod funkcije (in to smo narisali ravno zanjo) spremeni znak iz plusa v minus (točka -1 v našem primeru) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44, kot je izračunano prej) na tem segmentu (to je logično zelo razumljivo, funkcija je prenehala naraščati, ker je dosegla svoj maksimum in začela padati).
V skladu s tem, kjer je odvod funkcije spremeni znak iz minusa v plus, je dosežen lokalni minimum funkcije. Da, da, prav tako smo ugotovili, da je lokalna najmanjša točka 1 in y(1) je najmanjša vrednost funkcije na segmentu, recimo od -1 do +∞. Upoštevajte, da je to samo LOKALNI MINIMUM, to je minimum na določenem segmentu. Ker bo realni (globalni) minimum funkcije dosegel nekje tam, pri -∞.
Prva metoda je po mojem mnenju enostavnejša teoretično, druga pa z vidika aritmetičnih operacij enostavnejša, s stališča teorije pa veliko bolj kompleksna. Navsezadnje včasih pride do primerov, ko funkcija ne spremeni predznaka, ko gre skozi koren enačbe, in na splošno se lahko zmedeš s temi lokalnimi, globalnimi maksimumi in minimumi, čeprav boš moral to vseeno dobro obvladati, če nameravate vstopiti na tehnično univerzo (in zakaj drugače opravite profilni enotni državni izpit in rešite to nalogo). Toda praksa in samo praksa vas bo naučila rešiti takšne težave enkrat za vselej. In lahko trenirate na naši spletni strani. Tukaj.
Če imate kakršna koli vprašanja ali kaj ni jasno, vprašajte. Z veseljem vam bom odgovoril in spremenil in dopolnil članek. Ne pozabite, da to spletno mesto ustvarjamo skupaj!
Poglejmo, kako preučiti funkcijo z uporabo grafa. Izkazalo se je, da lahko s pogledom na graf ugotovimo vse, kar nas zanima, in sicer:
- domena funkcije
- obseg delovanja
- funkcijske ničle
- intervali naraščanja in padanja
- največje in najmanjše točke
- največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu.
Naj pojasnimo terminologijo:
Abscisa je vodoravna koordinata točke.
Ordinata- navpična koordinata.
Abscisna os- vodoravna os, najpogosteje imenovana os.
Y os- navpična os ali os.
Prepir- neodvisna spremenljivka, od katere so odvisne vrednosti funkcije. Najpogosteje navedeno.
Z drugimi besedami, izberemo , nadomestimo funkcije v formulo in dobimo .
Domena funkcije - niz tistih (in samo tistih) vrednosti argumentov, za katere funkcija obstaja.
Označeno z: ali .
Na naši sliki je domena definicije funkcije segment. Na tem segmentu je narisan graf funkcije. To je edino mesto, kjer ta funkcija obstaja.
Območje delovanja je niz vrednosti, ki jih ima spremenljivka. Na naši sliki je to segment - od najnižje do najvišje vrednosti.
Funkcijske ničle- točke, kjer je vrednost funkcije nič, tj. Na naši sliki sta to točki in .
Funkcijske vrednosti so pozitivne kje . Na naši sliki so to intervali in .
Vrednosti funkcij so negativne kje . Za nas je to interval (ali interval) od do .
Najpomembnejši koncepti - naraščajoče in padajoče funkcije na nekem setu. Kot niz lahko vzamete segment, interval, zvezo intervalov ali celotno številsko premico.
funkcija poveča
Z drugimi besedami, več ko je , več, to pomeni, da gre graf v desno in navzgor.
funkcija zmanjša na množici, če za katero koli in pripada množici, neenakost pomeni neenakost .
Za padajočo funkcijo višja vrednost ustreza manjši vrednosti. Graf gre v desno in navzdol.
Na naši sliki funkcija narašča na intervalu in pada na intervalih in .
Opredelimo, kaj je to maksimalne in minimalne točke funkcije.
Najvišja točka- to je notranja točka domene definicije, tako da je vrednost funkcije v njej večja kot v vseh točkah, ki so ji dovolj blizu.
Z drugimi besedami, največja točka je točka, na kateri je vrednost funkcije več kot v sosednjih. To je lokalni "hrib" na karti.
Na naši sliki je največja točka.
Najmanjša točka- notranja točka definicijskega področja, tako da je vrednost funkcije v njej manjša kot v vseh točkah, ki so ji dovolj blizu.
To pomeni, da je najmanjša točka taka, da je vrednost funkcije v njej manjša kot v njenih sosedih. To je lokalna "luknja" na grafu.
Na naši sliki je minimalna točka.
Bistvo je meja. Ni notranja točka domene definicije in zato ne ustreza definiciji maksimalne točke. Navsezadnje nima sosedov na levi. Na enak način na našem grafikonu ne more biti minimalne točke.
Najvišje in najmanjše točke skupaj se imenujejo ekstremne točke funkcije. V našem primeru je to in .
Kaj storiti, če morate najti npr. minimalna funkcija na segmentu? V tem primeru je odgovor:. Ker minimalna funkcija je njegova vrednost na minimalni točki.
Podobno je maksimum naše funkcije . Dosežen je na točki.
Lahko rečemo, da so ekstremi funkcije enaki in .
Včasih je treba težave najti največja in najmanjša vrednost funkcije na danem segmentu. Ni nujno, da sovpadajo s skrajnostmi.
V našem primeru najmanjša vrednost funkcije na segmentu je enak in sovpada z minimumom funkcije. Toda njegova največja vrednost na tem segmentu je enaka . Dosežen je na levem koncu segmenta.
V vsakem primeru sta največja in najmanjša vrednost zvezne funkcije na segmentu dosežena bodisi na ekstremnih točkah bodisi na koncih segmenta.
S to storitvijo lahko poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije eno spremenljivko f(x) z rešitvijo, oblikovano v Wordu. Če je funkcija f(x,y) podana, je torej treba najti ekstrem funkcije dveh spremenljivk. Najdete lahko tudi intervale naraščajočih in padajočih funkcij.
Pravila za vnos funkcij:
Nujen pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke
Enačba f" 0 (x *) = 0 je potreben pogoj ekstrem funkcije ene spremenljivke, tj. v točki x * mora prvi odvod funkcije izginiti. Identificira stacionarne točke x c, pri katerih funkcija ne narašča ali pada.Zadosten pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke
Naj bo f 0 (x) dvakrat diferenciabilen glede na x, ki pripada množici D. Če je v točki x * izpolnjen pogoj:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Potem je točka x * lokalna (globalna) minimalna točka funkcije.
Če je v točki x * izpolnjen pogoj:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Potem je točka x * lokalni (globalni) maksimum.
Primer št. 1. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije: na segmentu.
rešitev. 
Kritična točka je ena x 1 = 2 (f’(x)=0). Ta točka pripada segmentu. (Točka x=0 ni kritična, saj je 0∉).
Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in na kritični točki.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 pri x=2; f max =9 pri x=1
Primer št. 2. Z uporabo odvodov višjega reda poiščite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
rešitev.
Poiščite odvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Poiščimo kritične točke: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdemo y’’=2sin(x), izračunamo , kar pomeni x= π / 3 +2πk, k∈Z so minimalne točke funkcije; 
, kar pomeni x=- π / 3 +2πk, k∈Z so največje točke funkcije.
Primer št. 3. Raziščite funkcijo ekstrema v okolici točke x=0.
rešitev. Tu je potrebno najti ekstreme funkcije. Če je ekstrem x=0, potem ugotovite njegovo vrsto (minimum ali maksimum). Če med najdenimi točkami ni x = 0, potem izračunamo vrednost funkcije f(x=0).
Opozoriti je treba, da kadar odvod na vsaki strani dane točke ne spremeni predznaka, možne situacije niso izčrpane niti za diferenciabilne funkcije: lahko se zgodi, da za poljubno majhno sosesko na eni strani točke x 0 oz. na obeh straneh izpeljanka spremeni predznak. Na teh točkah je treba uporabiti druge metode za preučevanje funkcij v ekstremu.
