S to storitvijo lahko poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije eno spremenljivko f(x) z zasnovo rešitve v Wordu. Če je funkcija f(x,y) podana, je torej treba najti ekstrem funkcije dveh spremenljivk. Najdete lahko tudi intervale povečanja in zmanjšanja funkcije.
Pravila vnosa funkcij:
Nujen pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke
Enačba f" 0 (x *) = 0 je potreben pogoj ekstrem funkcije ene spremenljivke, tj. v točki x * mora prvi odvod funkcije izginiti. Izbere stacionarne točke x c, v katerih funkcija ne narašča ali pada.Zadosten pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke
Naj bo f 0 (x) dvakrat diferenciabilen glede na x, ki pripada množici D . Če je v točki x * izpolnjen pogoj:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Potem je točka x * točka lokalnega (globalnega) minimuma funkcije.
Če je v točki x * izpolnjen pogoj:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Ta točka x * je lokalni (globalni) maksimum.
Primer #1. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije: na segmentu.
rešitev. 
Kritična točka je ena x 1 = 2 (f'(x)=0). Ta točka pripada segmentu . (Točka x=0 ni kritična, saj je 0∉).
Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in na kritični točki.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 za x=2; f max =9 pri x=1
Primer #2. Z uporabo odvodov višjega reda poiščite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
rešitev.
Poiščite odvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Poiščimo kritične točke: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdemo y''=2sin(x), izračunamo , torej x= π / 3 +2πk, k∈Z so minimalne točke funkcije; 
, torej x=- π / 3 +2πk, k∈Z so največje točke funkcije.
Primer #3. Raziščite funkcijo ekstrema v okolici točke x=0.
rešitev. Tu je potrebno najti ekstreme funkcije. Če je ekstrem x=0, potem ugotovite njegovo vrsto (minimum ali maksimum). Če med najdenimi točkami ni x = 0, potem izračunamo vrednost funkcije f(x=0).
Opozoriti je treba, da kadar odvod na vsaki strani dane točke ne spremeni predznaka, možne situacije niso izčrpane niti za diferenciabilne funkcije: lahko se zgodi, da za poljubno majhno sosesko na eni strani točke x 0 oz. na obeh straneh izpeljanka spremeni predznak. Na teh točkah je treba uporabiti druge metode za preučevanje funkcij do ekstrema.
Standardni algoritem za reševanje takšnih nalog vključuje, po iskanju ničel funkcije, določitev predznakov odvoda na intervalih. Nato izračun vrednosti na najdenih točkah maksimuma (ali minimuma) in na meji intervala, odvisno od tega, kakšno vprašanje je v pogoju.
Svetujem vam, da stvari naredite malo drugače. Zakaj? Pisal o tem.
Predlagam, da takšne naloge rešite na naslednji način:
1. Poiščite izpeljanko.
2. Poiščite ničle odvoda.
3. Ugotovite, kateri od njih spadajo v dani interval.
4. Izračunamo vrednosti funkcije na mejah intervala in točk točke 3.
5. Sklepamo (odgovarjamo na zastavljeno vprašanje).
Pri reševanju predstavljenih primerov rešitve nismo podrobneje obravnavali. kvadratne enačbe, to bi moral biti sposoben narediti. Morali bi tudi vedeti.
Razmislite o primerih:
77422. Poišči največjo vrednost funkcije y=x 3 –3x+4 na segmentu [–2;0].
Poiščimo ničle odvoda:
Točka x = –1 pripada intervalu, določenem v pogoju.
Izračunamo vrednosti funkcij v točkah –2, –1 in 0:
Največja vrednost funkcije je 6.
Odgovor: 6
77425. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 na segmentu.
Poiščite odvod dane funkcije:
Poiščimo ničle odvoda:
Točka x = 2 pripada intervalu, podanemu v pogoju.
Izračunamo vrednosti funkcij v točkah 1, 2 in 4:
Najmanjša vrednost funkcije je -2.
Odgovor: -2
77426. Poiščite največjo vrednost funkcije y \u003d x 3 - 6x 2 na segmentu [-3; 3].
Poiščite odvod dane funkcije:
Poiščimo ničle odvoda:
Točka x = 0 pripada intervalu, podanemu v pogoju.
Izračunamo vrednosti funkcij v točkah –3, 0 in 3:
Najmanjša vrednost funkcije je 0.
Odgovor: 0
77429. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 na segmentu.
Poiščite odvod dane funkcije:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Dobimo korenine: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Samo x = 1 pripada intervalu, določenemu v pogoju.
Poiščite vrednosti funkcije v točkah 1 in 4:
Ugotovili smo, da je najmanjša vrednost funkcije 3.
Odgovor: 3
77430. Poiščite največjo vrednost funkcije y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmentu [- 4; -1].
Poiščite odvod dane funkcije:
Poiščite ničle odvoda, rešite kvadratno enačbo:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Pridobimo korenine:
Koren х = –1 pripada intervalu, določenem v pogoju.
Poiščite vrednosti funkcije v točkah –4, –1, –1/3 in 1:
Ugotovili smo, da je največja vrednost funkcije 3.
Odgovor: 3
77433. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 na segmentu.
Poiščite odvod dane funkcije:
Poiščite ničle odvoda, rešite kvadratno enačbo:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Pridobimo korenine:
Koren x = 4 pripada intervalu, podanemu v pogoju.
Najdemo vrednosti funkcije v točkah 0 in 4:
Ugotovili smo, da je najmanjša vrednost funkcije -109.
Odgovor: -109
Razmislite o metodi za določanje največjega in najmanjša vrednost funkcije brez odvoda. Ta pristop je mogoče uporabiti, če imate definicijo derivata velike težave. Načelo je preprosto - v funkcijo zamenjamo vse celoštevilske vrednosti iz intervala (dejstvo je, da je v vseh takih prototipih odgovor celo število).
77437. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije y \u003d 7 + 12x - x 3 na segmentu [-2; 2].
Točke od -2 nadomestimo z 2: Oglejte si rešitev
77434. Poiščite največjo vrednost funkcije y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 na segmentu [-2; 0].
To je vse. Srečno!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi o spletnem mestu povedali v družbenih omrežjih.
Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?
Za to sledimo znanemu algoritmu:
1 . Najdemo funkcije ODZ.
2 . Iskanje odvoda funkcije
3 . Izenačite odvod na nič
4 . Poiščemo intervale, v katerih odvod ohrani predznak, in iz njih določimo intervale naraščanja in padanja funkcije:
Če je na intervalu I odvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} v tem intervalu narašča.
Če je na intervalu I odvod funkcije , potem funkcija se v tem intervalu zmanjša.
5 . Najdemo maksimalne in minimalne točke funkcije.
IN maksimalna točka funkcije, odvod spremeni predznak iz "+" v "-".
IN minimalna točka funkcijeizpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+".
6 . Vrednost funkcije najdemo na koncih segmenta,
- nato primerjamo vrednost funkcije na koncih segmenta in na maksimalnih točkah ter izberite največjo izmed njih, če želite najti največjo vrednost funkcije
- ali primerjamo vrednost funkcije na koncih odseka in v točkah minimuma ter izberite najmanjšo izmed njih, če želite najti najmanjšo vrednost funkcije
Vendar pa je glede na to, kako se funkcija obnaša v intervalu, ta algoritem mogoče znatno zmanjšati.
Upoštevajte funkcijo 
. Graf te funkcije izgleda takole:
Oglejmo si več primerov reševanja problemov iz Banke odprtih nalog za
1. Naloga B15 (#26695)
Na rezu.
1. Funkcija je definirana za vse realne vrednosti x
Očitno je, da ta enačba nima rešitev in je derivat pozitiven za vse vrednosti x. Zato funkcija narašča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, to je pri x=0.
Odgovor: 5.
2 . Naloga B15 (št. 26702)
Poiščite največjo vrednost funkcije 
na segmentu.
1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Odvod je enak nič pri , vendar v teh točkah ne spremeni predznaka:
Zato je naslov="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} poveča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, pri .
Da bo jasno, zakaj izpeljanka ne spremeni predznaka, transformiramo izraz za izpeljanko na naslednji način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3. Naloga B15 (#26708)
Poiščite najmanjšo vrednost funkcije na intervalu.
1. Funkcije ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korenine te enačbe na trigonometrični krog.
Interval vsebuje dve števili: in
Postavimo znake. Da bi to naredili, določimo predznak odvoda v točki x=0: 
. Pri prehodu skozi točke in odvod spremeni predznak.
Upodobimo spremembo predznaka odvoda funkcije na koordinatni premici:
Očitno je točka najmanjša točka (kjer izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+") in da bi našli najmanjšo vrednost funkcije na intervalu, morate primerjati vrednosti funkcije na najmanjši točki in na levem koncu segmenta, .
V tem članku bom govoril o algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcija, minimalne in maksimalne točke.
Iz teorije bomo zagotovo potrebovali izpeljano tabelo in pravila razlikovanja. Vse je na tej tabli:
Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti.
Lažje razložim konkreten primer. Razmislite:
primer: Poiščite največjo vrednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na odseku [–4;0].
Korak 1. Vzamemo izpeljanko.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
2. korak Iskanje ekstremnih točk.
ekstremna točka poimenujemo takšne točke, v katerih funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost.
Da bi našli ekstremne točke, je treba izenačiti odvod funkcije na nič (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Zdaj rešimo to bikvadratno enačbo in najdene korenine so naše ekstremne točke.
Takšne enačbe rešujem tako, da zamenjam t = x^2, nato 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Zmanjšamo enačbo za 5, dobimo: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Naredimo obratno zamenjavo x^2 = t:
X_(1 in 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 in 4) = ±sqrt(-13) (izključujemo, pod korenom ne more biti negativna števila(če seveda ne govorimo o kompleksnih številih)
Skupaj: x_(1) = 1 in x_(2) = -1 - to sta naši ekstremni točki.
3. korak Določite največjo in najmanjšo vrednost.
Metoda zamenjave.
V pogoju smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 ni vključena v ta segment. Zato tega ne upoštevamo. Toda poleg točke x=-1 moramo upoštevati tudi levo in desna meja našega segmenta, to sta točki -4 in 0. Da bi to naredili, nadomestimo vse te tri točke v prvotno funkcijo. Upoštevajte, da je prvotni tisti, ki je podan v pogoju (y=x^5+20x^3–65x), nekateri začnejo nadomeščati v izpeljanko ...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To pomeni, da je največja vrednost funkcije [b]44 in je dosežena v točkah [b]-1, kar imenujemo točka maksimuma funkcije na odseku [-4; 0].
Odločili smo se in dobili odgovor, super smo, lahko si oddahnete. Ampak nehaj! Se vam ne zdi, da je štetje y(-4) nekako preveč zapleteno? V razmerah omejenega časa je bolje uporabiti drugo metodo, imenujem jo takole:
Skozi intervale konstantnosti.
Te vrzeli najdemo za odvod funkcije, to je za našo bikvadratno enačbo.
Jaz to naredim na naslednji način. Narišem smerno črto. Določil sem točke: -4, -1, 0, 1. Kljub temu, da 1 ni vključena v danem segmentu, jo je treba vseeno zabeležiti, da lahko pravilno določimo intervale konstantnosti. Vzemimo neko število, večkrat večje od 1, recimo 100, in ga v mislih nadomestimo z našo bikvadratno enačbo 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Tudi brez da bi karkoli šteli, postane očitno, da je v točki 100 funkcija ima znak plus. To pomeni, da ima za intervale od 1 do 100 predznak plus. Pri prehodu skozi 1 (gremo od desne proti levi) funkcija spremeni predznak v minus. Pri prehodu skozi točko 0 bo funkcija ohranila predznak, saj je to le meja segmenta in ne koren enačbe. Pri prehodu skozi -1 bo funkcija ponovno spremenila predznak v plus.
Iz teorije vemo, da kje je odvod funkcije (in to smo zanj narisali) spremeni znak iz plusa v minus (točka -1 v našem primeru) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44, kot je izračunano prej) na tem segmentu (to je logično zelo jasno, funkcija se je prenehala povečevati, saj je dosegla svoj maksimum in začela padati).
V skladu s tem, kjer je odvod funkcije spremeni znak iz minusa v plus, doseženo lokalni minimum funkcije. Da, da, našli smo tudi lokalno minimalno točko, ki je 1, y(1) pa je najmanjša vrednost funkcije na intervalu, recimo od -1 do +∞. Upoštevajte, da je to samo LOKALNI MINIMUM, to je minimum na določenem segmentu. Ker bo dejanska (globalna) minimalna funkcija dosegla nekje tam, v -∞.
Prva metoda je po mojem mnenju enostavnejša teoretično, druga pa je enostavnejša z vidika aritmetičnih operacij, a veliko težja z vidika teorije. Navsezadnje včasih pride do primerov, ko funkcija ne spremeni predznaka, ko gre skozi koren enačbe, in res se lahko zmedeš s temi lokalnimi, globalnimi maksimumi in minimumi, čeprav boš moral vseeno dobro obvladati, če nameravaš za vpis na tehnično univerzo (in zakaj drugače opraviti profilni izpit in rešiti to nalogo). Toda praksa in samo praksa vas bo naučila, kako enkrat za vselej rešiti takšne težave. In lahko trenirate na naši spletni strani. Tukaj.
Če imate kakršna koli vprašanja ali kaj ni jasno, vprašajte. Z veseljem vam bom odgovoril in naredil spremembe, dopolnitve članka. Ne pozabite, da to spletno mesto ustvarjamo skupaj!
V fiziki in matematiki je pogosto potrebno najti najmanjšo vrednost funkcije. Kako to storiti, bomo zdaj povedali.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije: navodilo
- Za izračun najmanjše vrednosti neprekinjena funkcija na danem segmentu morate slediti naslednjemu algoritmu:
- Poiščite odvod funkcije.
- Na danem segmentu poiščite točke, v katerih je odvod enak nič, ter vse kritične točke. Nato ugotovite vrednosti funkcije na teh točkah, torej rešite enačbo, kjer je x enak nič. Ugotovite, katera od vrednosti je najmanjša.
- Ugotovite, kakšno vrednost ima funkcija na končnih točkah. Določite najmanjšo vrednost funkcije v teh točkah.
- Primerjajte prejete podatke z najmanjšo vrednostjo. Manjše od prejetih števil bo najmanjša vrednost funkcije.
Upoštevajte, da če funkcija na segmentu nima najmanjše točke, kar pomeni, da se na tem segmentu povečuje oz. Zato je treba najmanjšo vrednost izračunati na končnih segmentih funkcije.
V vseh drugih primerih se vrednost funkcije izračuna po določenem algoritmu. Na vsakem koraku algoritma boste morali rešiti preprosto linearna enačba z eno korenino. Rešite enačbo z uporabo risbe, da se izognete napakam.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije na polodprtem segmentu? V napol odprtem ali odprtem obdobju funkcije je treba najmanjšo vrednost najti na naslednji način. Na končnih točkah vrednosti funkcije izračunajte enostransko mejo funkcije. Z drugimi besedami, rešite enačbo, v kateri so nagibne točke podane z vrednostjo a+0 in b+0, kjer sta a in b imeni kritične točke.
Zdaj veste, kako najti najmanjšo vrednost funkcije. Glavna stvar je, da vse izračune opravite pravilno, natančno in brez napak.
