V tem videoposnetku bomo analizirali cel niz linearnih enačb, ki jih rešujemo z istim algoritmom - zato jih imenujemo najpreprostejše.

Najprej opredelimo: kaj je linearna enačba in katera se imenuje najenostavnejša?

Linearna enačba je enačba, v kateri je samo ena spremenljivka in le do prve stopnje.

Najenostavnejša enačba pomeni konstrukcijo:

Vse druge linearne enačbe so reducirane na najpreprostejše z uporabo algoritma:

1. Razširite oklepaje, če obstajajo;
2. Premakni izraze, ki vsebujejo spremenljivko, na eno stran znaka enačaja, izraze brez spremenljivke pa na drugo;
3. Levo in desno od enačaja navedite podobne izraze;
4. Dobljeno enačbo delite s koeficientom spremenljivke $x$.

Seveda ta algoritem ne pomaga vedno. Dejstvo je, da se včasih po vseh teh mahinacijah izkaže, da je koeficient spremenljivke $x$ enak nič. V tem primeru sta možni dve možnosti:

1. Enačba sploh nima rešitev. Na primer, ko se izkaže nekaj takega kot $0\cdot x=8$, tj. na levi je nič, na desni pa število, ki ni nič. V spodnjem videu si bomo ogledali več razlogov, zakaj je to mogoče.
2. Rešitev so vse številke. Edini primer, ko je to mogoče, je, ko je enačba reducirana na konstrukcijo $0\cdot x=0$. Povsem logično je, da ne glede na to, kateri $x$ zamenjamo, se bo še vedno izkazalo, da je "nič enaka nič", tj. pravilna številčna enakost.

Zdaj pa poglejmo, kako vse to deluje na primerih iz resničnega življenja.

Primeri reševanja enačb

Danes imamo opravka z linearnimi enačbami, in to le z najpreprostejšimi. V splošnem linearna enačba pomeni vsako enakost, ki vsebuje natanko eno spremenljivko in gre samo na prvo stopnjo.

Takšne konstrukcije so rešene na približno enak način:

1. Najprej morate razširiti oklepaje, če obstajajo (kot v našem zadnjem primeru);
2. Nato združite podobno
3. Na koncu izolirajte spremenljivko, tj. premaknite vse, kar je povezano s spremenljivko – izraze, v katerih je vsebovana – na eno stran in premaknite vse, kar ostane brez nje, na drugo stran.

Potem morate praviloma na vsaki strani nastale enakosti prinesti podobne, nato pa ostane le še delitev s koeficientom "x" in dobili bomo končni odgovor.

V teoriji je to videti lepo in preprosto, v praksi pa lahko celo izkušeni srednješolci naredijo žaljive napake v precej preprostih linearnih enačbah. Običajno pride do napak pri odpiranju oklepajev ali pri izračunu "plusov" in "minusov".

Poleg tega se zgodi, da linearna enačba sploh nima rešitev ali pa je rešitev celotna številska premica, tj. poljubno število. Te podrobnosti si bomo ogledali v današnji lekciji. Začeli pa bomo, kot ste že razumeli, z zelo preproste naloge.

Shema za reševanje preprostih linearnih enačb

Najprej naj še enkrat napišem celotno shemo za reševanje najenostavnejših linearnih enačb:

1. Razširite oklepaje, če obstajajo.
2. Izoliramo spremenljivke, tj. Vse, kar vsebuje "X" premaknemo na eno stran, vse brez "X" pa na drugo.
3. Predstavljamo podobne izraze.
4. Vse delimo s koeficientom "x".

Seveda ta shema ne deluje vedno, v njej so določene tankosti in triki, zdaj pa jih bomo spoznali.

Reševanje realnih primerov enostavnih linearnih enačb

Naloga št. 1

Prvi korak zahteva, da odpremo oklepaje. Vendar jih v tem primeru ni, zato ta korak preskočimo. V drugem koraku moramo izolirati spremenljivke. Opomba: govorimo o le o posameznih terminih. Zapišimo:

Na levi in ​​desni strani predstavljamo podobne izraze, vendar je to tukaj že narejeno. Zato preidemo na četrti korak: delimo s koeficientom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako smo dobili odgovor.

Naloga št. 2

V tem problemu vidimo oklepaje, zato jih razširimo:

Tako na levi kot na desni vidimo približno enako zasnovo, vendar ravnajmo po algoritmu, tj. ločevanje spremenljivk:

Tukaj je nekaj podobnih:

Pri katerih koreninah to deluje? Odgovor: za katero koli. Zato lahko zapišemo, da je $x$ poljubno število.

Naloga št. 3

Tretja linearna enačba je bolj zanimiva:

\[\levo(6-x \desno)+\levo(12+x \desno)-\levo(3-2x \desno)=15\]

Tukaj je več oklepajev, vendar niso pomnoženi z ničemer, le pred njimi so različni znaki. Razčlenimo jih:

Izvedemo drugi korak, ki nam je že znan:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvajamo zadnji korak— vse delite s koeficientom "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari, ki si jih morate zapomniti pri reševanju linearnih enačb

Če zanemarimo preveč preproste naloge, bi rad povedal naslednje:

• Kot sem rekel zgoraj, vsaka linearna enačba nima rešitve - včasih preprosto ni korenin;
• Tudi če so korenine, je lahko med njimi nič - s tem ni nič narobe.

Ničla je enaka številki kot druge; ne smete je na kakršen koli način diskriminirati ali domnevati, da ste, če dobite nič, naredili nekaj narobe.

Druga značilnost je povezana z odpiranjem oklepajev. Upoštevajte: ko je pred njimi "minus", ga odstranimo, v oklepajih pa spremenimo znake v nasprotje. In potem ga lahko odpremo s standardnimi algoritmi: dobili bomo tisto, kar smo videli v zgornjih izračunih.

Razumevanje tega preprostega dejstva vam bo pomagalo, da se izognete neumnim in škodljivim napakam v srednji šoli, ko je početje takih stvari samoumevno.

Reševanje kompleksnih linearnih enačb

Pojdimo k bolj zapletenim enačbam. Zdaj bodo konstrukcije postale bolj zapletene in pri izvajanju različnih transformacij se bo pojavila kvadratna funkcija. Vendar se tega ne smemo bati, kajti če po avtorjevem načrtu rešujemo linearno enačbo, potem se bodo med postopkom transformacije vsi monomi, ki vsebujejo kvadratno funkcijo, zagotovo preklicali.

Primer št. 1

Očitno je prvi korak odpiranje oklepajev. Naredimo to zelo previdno:

Zdaj pa si poglejmo zasebnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tukaj je nekaj podobnih:

Očitno je, da ta enačba nima rešitev, zato bomo to zapisali v odgovor:

\[\varnič\]

ali pa ni korenin.

Primer št. 2

Izvajamo enaka dejanja. Prvi korak:

Premaknimo vse s spremenljivko v levo in brez nje - v desno:

Tukaj je nekaj podobnih:

Očitno je, da ta linearna enačba nima rešitve, zato jo bomo zapisali takole:

\[\varnič\],

ali pa ni korenin.

Nianse rešitve

Obe enačbi sta popolnoma rešeni. Na primeru teh dveh izrazov smo se še enkrat prepričali, da tudi v najpreprostejših linearnih enačbah morda ni vse tako preprosto: lahko je ena ali nobena ali neskončno veliko korenin. V našem primeru smo upoštevali dve enačbi, obe preprosto nimata korenin.

Vendar bi vas rad opozoril na drugo dejstvo: kako delati z oklepaji in kako jih odpreti, če je pred njimi znak minus. Razmislite o tem izrazu:

Preden odprete, morate vse pomnožiti z "X". Prosimo, upoštevajte: pomnoži vsak posamezen termin. V notranjosti sta dva izraza - oziroma dva izraza in pomnožena.

In šele ko so te na videz elementarne, a zelo pomembne in nevarne preobrazbe končane, lahko odprete oklepaj z vidika dejstva, da je za njim znak minus. Da, da: šele zdaj, ko so transformacije končane, se spomnimo, da je pred oklepajem znak minus, kar pomeni, da vse spodaj preprosto spremeni predznak. Hkrati izginejo sami oklepaji in, kar je najpomembneje, izgine tudi sprednji "minus".

Enako naredimo z drugo enačbo:

Ni naključje, da sem pozoren na ta majhna, na videz nepomembna dejstva. Ker je reševanje enačb vedno zaporedje elementarnih transformacij, kjer je nezmožnost jasne in kompetentne izvedbe preprosti koraki pripelje do tega, da srednješolci pridejo k meni in se spet naučijo reševati tako preproste enačbe.

Seveda bo prišel dan, ko boste te veščine izpilili do avtomatizma. Ne bo vam več treba vsakič izvajati toliko transformacij, vse boste zapisali v eno vrstico. Medtem ko se šele učite, morate vsako dejanje napisati posebej.

Reševanje tudi bolj zapletenih linearnih enačb

To, kar bomo zdaj rešili, težko imenujemo najpreprostejša naloga, vendar pomen ostaja enak.

Naloga št. 1

\[\levo(7x+1 \desno)\levo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo vse elemente v prvem delu:

Poskrbimo za zasebnost:

Tukaj je nekaj podobnih:

Dokončajmo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tukaj je naš končni odgovor. In kljub temu, da smo imeli v procesu reševanja koeficiente s kvadratno funkcijo, so se med seboj izničili, zaradi česar je enačba linearna in ne kvadratna.

Naloga št. 2

\[\levo(1-4x \desno)\levo(1-3x \desno)=6x\levo(2x-1 \desno)\]

Pazljivo izvedimo prvi korak: vsak element iz prvega oklepaja pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Po preobrazbah naj bi bili skupno štirje novi izrazi:

Zdaj pazljivo izvedimo množenje v vsakem členu:

Pojme z "X" premaknimo na levo, tiste brez - na desno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tukaj so podobni izrazi:

Ponovno smo prejeli končni odgovor.

Nianse rešitve

Najpomembnejša opomba o teh dveh enačbah je naslednja: takoj ko začnemo množiti oklepaje, ki vsebujejo več kot en člen, to storimo po naslednjem pravilu: vzamemo prvi člen iz prvega in pomnožimo z vsakim elementom iz drugi; potem vzamemo drugi element iz prvega in podobno pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Posledično bomo imeli štiri mandate.

O algebraični vsoti

S tem zadnjim primerom bi rad študente opozoril, kaj algebraična vsota. V klasični matematiki z $1-7$ mislimo na preprosto konstrukcijo: od ena odštejemo sedem. V algebri s tem mislimo naslednje: številu »ena« dodamo drugo število, in sicer »minus sedem«. Tako se algebraična vsota razlikuje od navadne aritmetične vsote.

Takoj, ko pri izvajanju vseh transformacij, vsakega seštevanja in množenja začnete videti konstrukcije, podobne zgoraj opisanim, preprosto ne boste imeli nobenih težav v algebri pri delu s polinomi in enačbami.

Nazadnje si oglejmo še nekaj primerov, ki bodo še bolj zapleteni od tistih, ki smo si jih pravkar ogledali, in za njihovo rešitev bomo morali nekoliko razširiti naš standardni algoritem.

Reševanje enačb z ulomki

Za rešitev takšnih nalog bomo morali našemu algoritmu dodati še en korak. Najprej pa naj vas spomnim na naš algoritem:

1. Odprite oklepaje.
2. Ločene spremenljivke.
3. Prinesite podobne.
4. Deli z razmerjem.

Žal, ta čudoviti algoritem se ob vsej svoji učinkovitosti izkaže za ne povsem primernega, ko imamo pred seboj ulomke. In v tem, kar bomo videli spodaj, imamo ulomek tako na levi kot na desni v obeh enačbah.

Kako delati v tem primeru? Da, zelo preprosto je! Če želite to narediti, morate v algoritem dodati še en korak, ki ga je mogoče storiti pred in po prvem dejanju, in sicer znebiti se ulomkov. Torej bo algoritem naslednji:

1. Znebite se ulomkov.
2. Odprite oklepaje.
3. Ločene spremenljivke.
4. Prinesite podobne.
5. Deli z razmerjem.

Kaj pomeni "znebiti se ulomkov"? In zakaj je to mogoče storiti po in pred prvim standardnim korakom? Pravzaprav so v našem primeru vsi ulomki številčni v svojem imenovalcu, tj. Povsod je imenovalec le številka. Če torej obe strani enačbe pomnožimo s tem številom, se bomo znebili ulomkov.

Primer št. 1

\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno))(4)=((x)^(2))-1\]

Znebimo se ulomkov v tej enačbi:

\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)\cdot 4)(4)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Prosimo, upoštevajte: vse se enkrat pomnoži s "štiri", tj. samo zato, ker imate dva oklepaja, še ne pomeni, da morate vsakega pomnožiti s "štiri". Zapišimo:

\[\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Zdaj pa razširimo:

Izločimo spremenljivko:

Izvajamo redukcijo podobnih izrazov:

\[-4x=-1\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo končno rešitev, pojdimo k drugi enačbi.

Primer št. 2

\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]

Tukaj izvajamo vsa ista dejanja:

\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem rešen.

To je pravzaprav vse, kar sem vam danes želel povedati.

Ključne točke

Ključne ugotovitve so:

• Poznati algoritem za reševanje linearnih enačb.
• Možnost odpiranja oklepajev.
• Ne skrbi, če vidiš kvadratne funkcije, najverjetneje se bodo v procesu nadaljnjih transformacij zmanjšale.
• V linearnih enačbah obstajajo tri vrste korenin, tudi najpreprostejših: en sam koren, celotna številska premica je koren in nobenih korenin.

Upam, da vam bo ta lekcija pomagala obvladati preprosto, a zelo pomembno temo za nadaljnje razumevanje celotne matematike. Če nekaj ni jasno, pojdite na spletno mesto in rešite tam predstavljene primere. Spremljajte nas, čaka vas še veliko zanimivega!

Linearne enačbe. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Linearne enačbe.

Linearne enačbe- ni najtežja tema šolska matematika. Obstaja pa nekaj trikov, ki lahko zmedejo celo izurjenega študenta. Naj ugotovimo?)

Običajno je linearna enačba opredeljena kot enačba oblike:

sekira + b = 0 Kje a in b– poljubne številke.

2x + 7 = 0. Tukaj a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Tukaj a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Tukaj a=12, b=1/2

Nič zapletenega, kajne? Še posebej, če ne opazite besed: "kjer sta a in b poljubni števili"... In če opazite in neprevidno razmišljate o tem?) Konec koncev, če a=0, b=0(so možne katere koli številke?), potem dobimo smešen izraz:

A to še ni vse! Če recimo, a=0, A b=5, To se izkaže za nekaj povsem nenavadnega:

Kar je moteče in spodkopava zaupanje v matematiko, ja ...) Še posebej med izpiti. Toda med temi čudnimi izrazi morate najti tudi X! Ki sploh ne obstaja. In, presenetljivo, ta X je zelo enostavno najti. Naučili se bomo tega delati. V tej lekciji.

Kako prepoznati linearno enačbo po videzu? Odvisno kaj videz.) Trik je v tem, da se linearne enačbe ne imenujejo le enačbe oblike sekira + b = 0 , pa tudi vse enačbe, ki jih je mogoče reducirati na to obliko s transformacijami in poenostavitvami. In kdo ve, ali se spusti ali ne?)

V nekaterih primerih je mogoče jasno prepoznati linearno enačbo. Recimo, če imamo enačbo, v kateri so samo neznanke na prvi stopnji in števila. In v enačbi ni ulomki deljeni s neznano , je pomembno! In deljenje po številka, ali številski ulomek - to je dobrodošlo! Na primer:

To je linearna enačba. Tukaj so ulomki, vendar ni x-ov v kvadratu, kocki itd., niti x-ov v imenovalcih, tj. št deljenje z x. In tukaj je enačba

ni mogoče imenovati linearno. Tukaj so X-ji vsi na prvi stopnji, vendar obstajajo deljenje z izrazom z x. Po poenostavitvah in transformacijah lahko dobite linearno enačbo, kvadratno enačbo ali kar koli želite.

Izkazalo se je, da je nemogoče prepoznati linearno enačbo v nekem zapletenem primeru, dokler je skoraj ne rešiš. To je moteče. Toda v nalogah praviloma ne sprašujejo o obliki enačbe, kajne? Naloge zahtevajo enačbe odločiti se. To me osrečuje.)

Reševanje linearnih enačb. Primeri.

Celotna rešitev linearnih enačb je sestavljena iz identičnih transformacij enačb. Mimogrede, te transformacije (dve od njih!) so osnova rešitev vse matematične enačbe. Z drugimi besedami, rešitev kaj enačba se začne prav s temi transformacijami. V primeru linearnih enačb temelji (rešitev) na teh transformacijah in se konča s popolnim odgovorom. Smiselno je slediti povezavi, kajne?) Poleg tega so tam tudi primeri reševanja linearnih enačb.

Najprej si poglejmo najpreprostejši primer. Brez kakršnih koli pasti. Recimo, da moramo rešiti to enačbo.

x - 3 = 2 - 4x

To je linearna enačba. Vsi X-ji so na prvi potenci, ni deljenja z X-ji. Toda pravzaprav nam ni pomembno, za kakšno enačbo gre. Moramo ga rešiti. Shema tukaj je preprosta. Zberite vse, kar ima X na levi strani enačbe, vse brez X (številke) na desni.

Če želite to narediti, morate prenesti - 4x noter leva stran, seveda s spremembo predznaka, in - 3 - na desno. Mimogrede, to je prva identična transformacija enačb. Presenečen? To pomeni, da niste sledili povezavi, a zaman ...) Dobimo:

x + 4x = 2 + 3

Tu so podobni, menimo:

Kaj potrebujemo za popolno srečo? Ja, tako da je na levi čisti X! Pet je na poti. Znebiti se petih s pomočjo druga identična transformacija enačb. Obe strani enačbe namreč delimo s 5. Dobimo pripravljen odgovor:

Elementaren primer, seveda. To je za ogrevanje.) Ni čisto jasno, zakaj sem se tukaj spomnil enakih transformacij? V REDU. Prijemimo bika za roge.) Odločimo se za nekaj bolj trdnega.

Tukaj je na primer enačba:

Kje začnemo? Z X-ji - na levo, brez X-jev - na desno? Lahko bi bilo tako. Majhni koraki po dolgi poti. Lahko pa takoj, univerzalno in na močan način. Če seveda imate v svojem arzenalu enake transformacije enačb.

Postavljam vam ključno vprašanje: Kaj vam pri tej enačbi najbolj ni všeč?

95 od 100 ljudi bo odgovorilo: ulomki ! Odgovor je pravilen. Zato se jih znebimo. Zato začnemo takoj z druga transformacija identitete. S čim morate pomnožiti ulomek na levi, da se imenovalec popolnoma zmanjša? Tako je, na 3. In na desni? S 4. Toda matematika nam omogoča, da obe strani pomnožimo s enako število. Kako lahko pridemo ven? Pomnožimo obe strani z 12! Tisti. na skupni imenovalec. Potem se bodo zmanjšale tako tri kot štiri. Ne pozabite, da morate vsak del pomnožiti popolnoma. Tako izgleda prvi korak:

Razširitev oklepajev:

Opomba! Števec (x+2) Dala sem v oklepaj! To je zato, ker se pri množenju ulomkov pomnoži celoten števec! Zdaj lahko zmanjšate ulomke:

Razširite preostale oklepaje:

Ne primer, ampak čisti užitek!) Zdaj pa se spomnimo uroka iz mlajši razredi: z X - na levo, brez X - na desno! In uporabite to transformacijo:

Tukaj je nekaj podobnih:

In oba dela delite s 25, tj. znova uporabite drugo transformacijo:

To je vse. odgovor: X=0,16

Prosimo, upoštevajte: da bi prvotno zmedeno enačbo spravili v lepo obliko, smo uporabili dva (samo dva!) transformacije identitete– prevajanje levo-desno s spremembo predznaka in množenje-deljenje enačbe z istim številom. to univerzalna metoda! Na ta način bomo delali z kaj enačbe! Absolutno kdorkoli. Zato ves čas dolgočasno ponavljam o teh enakih transformacijah.)

Kot lahko vidite, je princip reševanja linearnih enačb preprost. Vzamemo enačbo in jo poenostavimo z enakimi transformacijami, dokler ne dobimo odgovora. Tu so glavni problemi v izračunih, ne v principu rešitve.

Toda ... V procesu reševanja najbolj elementarnih linearnih enačb so takšna presenečenja, da vas lahko spravijo v močno omamo ...) Na srečo sta takšni presenečenji lahko le dve. Recimo jim posebni primeri.

Posebni primeri pri reševanju linearnih enačb.

Prvo presenečenje.

Recimo, da naletite na zelo osnovno enačbo, nekaj takega:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Rahlo zdolgočaseno premaknemo z X v levo, brez X - v desno ... S spremembo predznaka je vse popolno ... Dobimo:

2x-5x+3x=5-2-3

Računamo in ... ups!!! Dobimo:

Ta enakost sama po sebi ni sporna. Zero je res nič. Ampak X manjka! In v odgovoru moramo zapisati, čemu je x enak? Sicer pa rešitev ne šteje, kajne...) Zastoj?

umirjeno! V takih dvomljivih primerih vas bodo rešila najbolj splošna pravila. Kako rešiti enačbe? Kaj pomeni rešiti enačbo? To pomeni, poiščite vse vrednosti x, ki nam bodo, ko jih nadomestimo v prvotno enačbo, dale pravilno enakost.

Imamo pa pravo enakost že se je zgodilo! 0=0, koliko bolj natančno?! Še vedno je treba ugotoviti, pri katerem x se to zgodi. V katere vrednosti X je mogoče nadomestiti original enačba, če so ti x-ji bodo še zreducirani na nulo? Daj no?)

ja!!! X-je je mogoče zamenjati kaj! Katere želite? Najmanj 5, vsaj 0,05, vsaj -220. Še vedno se bodo krčili. Če mi ne verjamete, lahko preverite.) Zamenjajte poljubne vrednosti X v original enačbo in izračunaj. Ves čas boste dobili čisto resnico: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 in tako naprej.

Tukaj je vaš odgovor: x - poljubno število.

Odgovor je lahko zapisan z različnimi matematičnimi simboli, bistvo se ne spremeni. To je povsem pravilen in popoln odgovor.

Drugo presenečenje.

Vzemimo isto osnovno linearno enačbo in spremenimo samo eno število v njej. Takole se bomo odločili:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po enakih enakih transformacijah dobimo nekaj zanimivega:

Všečkaj to. Rešili smo linearno enačbo in dobili čudno enakost. V matematičnem smislu smo dobili lažna enakost. In govorjenje v preprostem jeziku, to ni res. Rave. Toda kljub temu je ta nesmisel zelo dober razlog za pravilno rešitev enačbe.)

Spet razmišljamo na podlagi splošna pravila. Kaj nam bodo dali x-ji, ko jih zamenjamo v izvirno enačbo prav enakost? Da, nobenega! Takih X-jev ni. Ne glede na to, kaj vložite, se bo vse zmanjšalo, ostale bodo samo neumnosti.)

Tukaj je vaš odgovor: ni rešitev.

To je tudi povsem popoln odgovor. V matematiki se takšni odgovori pogosto najdejo.

Všečkaj to. Upam, da vas izginotje X-ov v procesu reševanja katere koli (ne samo linearne) enačbe ne bo prav nič zmedlo. To je že znana zadeva.)

Zdaj, ko smo opravili z vsemi pastmi v linearnih enačbah, jih je smiselno rešiti.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Linearna enačba je algebrska enačba, katere skupna stopnja polinomov je enaka ena. Reševanje linearnih enačb - del šolski kurikulum, in ne najtežje. Vendar imajo nekateri še vedno težave pri dokončanju te teme. Upamo, da bodo po branju tega gradiva vse težave za vas ostale v preteklosti. Torej, ugotovimo. kako rešiti linearne enačbe.

Splošni obrazec

Linearna enačba je predstavljena kot:

• ax + b = 0, kjer sta a in b poljubni števili.

Čeprav sta a in b lahko poljubna števila, njuni vrednosti vplivata na število rešitev enačbe. Obstaja več posebnih primerov rešitve:

• Če je a=b=0, ima enačba neskončno število rešitev;
• Če je a=0, b≠0, enačba nima rešitve;
• Če je a≠0, b=0, ima enačba rešitev: x = 0.

V primeru, da imata obe števili vrednosti različne od nič, je treba enačbo rešiti, da izpeljemo končni izraz za spremenljivko.

Kako se odločiti?

Reševanje linearne enačbe pomeni ugotoviti, čemu je spremenljivka enaka. Kako to narediti? Da, zelo preprosto - z uporabo preprostih algebrskih operacij in upoštevanjem pravil prenosa. Če se enačba pojavi pred vami v splošni obliki, imate srečo, vse kar morate storiti je:

1. Premakni b na desna stran enačbe, pri čemer ne smemo pozabiti spremeniti predznaka (pravilo prevajanja!), tako naj bi iz izraza oblike ax + b = 0 dobili izraz oblike: ax = -b.
2. Uporabite pravilo: če želite najti enega od faktorjev (x - v našem primeru), morate produkt (-b v našem primeru) deliti z drugim faktorjem (a - v našem primeru). Tako bi morali dobiti izraz v obliki: x = -b/a.

To je to – rešitev je najdena!

Zdaj pa poglejmo konkreten primer:

1. 2x + 4 = 0 - premaknite b, ki je v tem primeru enak 4, na desno stran
2. 2x = -4 - delite b z a (ne pozabite na znak minus)
3. x = -4/2 = -2

To je vse! Naša rešitev: x = -2.

Kot lahko vidite, je rešitev linearne enačbe z eno spremenljivko zelo enostavno najti, vendar je vse tako preprosto, če imamo srečo, da naletimo na enačbo v splošni obliki. V večini primerov, preden rešite enačbo v dveh zgoraj opisanih korakih, morate še vedno spraviti obstoječi izraz v splošno obliko. Vendar tudi to ni izjemno težka naloga. Oglejmo si nekaj posebnih primerov na primerih.

Reševanje posebnih primerov

Najprej si poglejmo primere, ki smo jih opisali na začetku članka, in razložimo, kaj pomeni imeti neskončno število rešitev in nobene rešitve.

• Če je a=b=0, bo enačba videti takole: 0x + 0 = 0. S prvim korakom dobimo: 0x = 0. Kaj pomeni ta neumnost, boste vzkliknili! Konec koncev, ne glede na to, katero število pomnožite z nič, vedno dobite nič! Prav! Zato pravijo, da ima enačba neskončno število rešitev – ne glede na to, katero število vzamete, bo enakost resnična, 0x = 0 ali 0 = 0.
• Če je a=0, b≠0, bo enačba videti takole: 0x + 3 = 0. Izvedite prvi korak, dobili bomo 0x = -3. Spet neumnosti! Očitno je, da te enakosti nikoli ne bo! Zato pravijo, da enačba nima rešitev.
• Če je a≠0, b=0, bo enačba videti takole: 3x + 0 = 0. Če izvedemo prvi korak, dobimo: 3x = 0. Kakšna je rešitev? Enostavno je, x = 0.

Izgubljen v prevodu

Opisani posebni primeri pa niso vse, s čimer nas linearne enačbe lahko presenetijo. Včasih je enačbo na prvi pogled težko prepoznati. Poglejmo primer:

• 12x - 14 = 2x + 6

Ali je to linearna enačba? Kaj pa ničla na desni strani? Ne bomo hiteli s sklepi, ukrepali bomo - vse komponente naše enačbe bomo premaknili na levo stran. Dobimo:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Zdaj odštejemo podobno od podobnega, dobimo:

• 10x - 20 = 0

Naučeno? Najbolj linearna enačba doslej! Rešitev tega je: x = 20/10 = 2.

Kaj če imamo ta primer:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, tudi to je linearna enačba, le da je treba izvesti več transformacij. Najprej odprimo oklepaje:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - zdaj izvedemo prenos:
4. 25x - 4 = 0 - še vedno je treba najti rešitev z že znano shemo:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Kot lahko vidite, je vse mogoče rešiti, glavna stvar je, da ne skrbite, ampak ukrepate. Ne pozabite, če vaša enačba vsebuje samo spremenljivke prve stopnje in števila, imate linearno enačbo, ki jo je, ne glede na to, kako izgleda na začetku, mogoče reducirati na splošno obliko in rešiti. Upamo, da se vam bo vse izšlo! Vso srečo!

Itd., logično je, da se seznanite z enačbami drugih vrst. Naslednje na vrsti so linearne enačbe, katere ciljni študij se začne pri pouku algebre v 7. razredu.

Jasno je, da morate najprej razložiti, kaj je linearna enačba, podati definicijo linearne enačbe, njene koeficiente, pokazati splošna oblika. Nato lahko ugotovite, koliko rešitev ima linearna enačba glede na vrednosti koeficientov in kako so najdeni koreni. Tako boste lahko prešli na reševanje primerov in s tem utrdili naučeno teorijo. V tem članku bomo to storili: podrobno se bomo posvetili vsem teoretičnim in praktičnim točkam v zvezi z linearnimi enačbami in njihovimi rešitvami.

Takoj povejmo, da bomo tukaj obravnavali samo linearne enačbe z eno spremenljivko, v ločenem članku pa bomo preučevali načela rešitve linearne enačbe z dvema spremenljivkama.

Navigacija po straneh.

Kaj je linearna enačba?

Definicija linearne enačbe je podana z načinom zapisa. Poleg tega imajo v različnih učbenikih matematike in algebre formulacije definicij linearnih enačb nekaj razlik, ki ne vplivajo na bistvo vprašanja.

Na primer, v učbeniku algebre za 7. razred Yu. N. Makarycheva in drugih je linearna enačba definirana na naslednji način:

Opredelitev.

Enačba oblike a x=b, kjer je x spremenljivka, a in b nekaj števil, se kliče linearna enačba z eno spremenljivko.

Navedimo primere linearnih enačb, ki ustrezajo navedeni definiciji. Na primer, 5 x = 10 je linearna enačba z eno spremenljivko x, tukaj je koeficient a 5, število b pa 10. Drug primer: −2,3·y=0 je prav tako linearna enačba, vendar s spremenljivko y, v kateri je a=−2,3 in b=0. In v linearnih enačbah x=−2 in −x=3,33 a nista eksplicitno prisotna in sta enaka 1 oziroma −1, medtem ko je v prvi enačbi b=−2, v drugi pa b=3,33.

In leto prej so v učbeniku matematike N. Ya. Vilenkina linearne enačbe z eno neznanko poleg enačb oblike a x = b obravnavale tudi enačbe, ki jih je mogoče pripeljati do te oblike s prenosom členov iz enega dela enačbe na drugo z nasprotnim predznakom, pa tudi z zmanjševanjem podobnih členov. Po tej definiciji so enačbe oblike 5 x = 2 x + 6 itd. tudi linearno.

Po drugi strani pa je v učbeniku algebre za 7. razred A. G. Mordkoviča podana naslednja definicija:

Opredelitev.

Linearna enačba z eno spremenljivko x je enačba oblike a·x+b=0, kjer sta a in b števili, ki ju imenujemo koeficienti linearne enačbe.

Na primer, linearne enačbe tega tipa so 2 x−12=0, tukaj je koeficient a 2, b pa je enak −12 in 0,2 y+4,6=0 s koeficientoma a=0,2 in b =4,6. Toda hkrati obstajajo primeri linearnih enačb, ki nimajo oblike a·x+b=0, ampak a·x=b, na primer 3·x=12.

Da v prihodnje ne bomo imeli odstopanj, naj pod linearno enačbo z eno spremenljivko x in koeficientoma a in b razumemo enačbo oblike a x + b = 0. Ta vrsta linearne enačbe se zdi najbolj upravičena, saj so linearne enačbe algebraične enačbe prve stopnje. In vse druge zgoraj navedene enačbe, kot tudi enačbe, ki se z uporabo ekvivalentnih transformacij reducirajo na obliko a x + b = 0, bomo imenovali enačbe, ki se reducirajo na linearne enačbe. S tem pristopom je enačba 2 x+6=0 linearna enačba in 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 itd. - To so enačbe, ki se reducirajo na linearne.

Kako rešiti linearne enačbe?

Zdaj je čas, da ugotovimo, kako se rešujejo linearne enačbe a·x+b=0. Z drugimi besedami, čas je, da ugotovimo, ali ima linearna enačba korenine, in če jih ima, koliko jih je in kako jih najti.

Prisotnost korenin linearne enačbe je odvisna od vrednosti koeficientov a in b. V tem primeru ima linearna enačba a x+b=0

• edini koren za a≠0,
• nima korenin za a=0 in b≠0,
• ima neskončno veliko korenin za a=0 in b=0, v tem primeru je katero koli število koren linearne enačbe.

Naj pojasnimo, kako so bili ti rezultati pridobljeni.

Vemo, da lahko za reševanje enačb preidemo od izvorne enačbe k enakovrednim enačbam, to je k enačbam z istimi koreninami ali, tako kot izvirna, brez korenin. Če želite to narediti, lahko uporabite naslednje enakovredne transformacije:

• prenos člena z ene strani enačbe na drugo z nasprotnim predznakom,
• kot tudi množenje ali deljenje obeh strani enačbe z istim številom, ki ni nič.

Torej, v linearni enačbi z ena spremenljivka oblike a x+b=0 lahko člen b premaknemo z leve strani na desna stran z nasprotnim predznakom. V tem primeru bo enačba imela obliko a·x=−b.

In potem se pojavi vprašanje delitve obeh strani enačbe s številom a. Vendar obstaja ena stvar: število a je lahko enako nič, v tem primeru je taka delitev nemogoča. Da bi rešili to težavo, bomo najprej predpostavili, da je število a različno od nič, nekoliko kasneje pa bomo posebej obravnavali primer, ko je a enako nič.

Torej, ko a ni enako nič, potem lahko delimo obe strani enačbe a·x=−b z a, nakar se bo preoblikovala v obliko x=(−b):a, ta rezultat je lahko napisano z ulomno poševnico kot.

Tako je za a≠0 linearna enačba a·x+b=0 enakovredna enačbi, iz katere je viden njen koren.

Lahko je pokazati, da je ta koren edinstven, kar pomeni, da linearna enačba nima drugih korenin. To vam omogoča obratno metodo.

Označimo koren kot x 1. Predpostavimo, da obstaja še en koren linearne enačbe, ki ga označimo z x 2 in x 2 ≠x 1, ki zaradi definicije enako število skozi razliko je enakovreden pogoju x 1 −x 2 ≠0. Ker sta x 1 in x 2 korena linearne enačbe a·x+b=0, potem veljata numerični enakosti a·x 1 +b=0 in a·x 2 +b=0. Od teh enačb lahko odštejemo ustrezne dele, kar nam omogočajo lastnosti numeričnih enačb, imamo a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, iz česar izhaja a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 in nato a·(x 1 −x 2)=0 . Toda ta enakost je nemogoča, saj sta a≠0 in x 1 − x 2 ≠0. Tako smo prišli do protislovja, ki dokazuje edinstvenost korena linearne enačbe a·x+b=0 za a≠0.

Tako smo rešili linearno enačbo a·x+b=0 za a≠0. Prvi rezultat na začetku tega odstavka je utemeljen. Ostala sta še dva, ki izpolnjujeta pogoj a=0.

Ko je a=0, ima linearna enačba a·x+b=0 obliko 0·x+b=0. Iz te enačbe in lastnosti množenja števil z ničlo sledi, da ne glede na to, katero število vzamemo za x, ko ga nadomestimo v enačbo 0 x + b=0, dobimo številsko enakost b=0. Ta enakost velja, ko je b=0, v drugih primerih, ko je b≠0, pa je ta enakost napačna.

Posledično je pri a=0 in b=0 poljubno število koren linearne enačbe a·x+b=0, saj pod temi pogoji zamenjava poljubnega števila za x daje pravilno numerično enakost 0=0. In ko je a=0 in b≠0, linearna enačba a·x+b=0 nima korenin, saj pod temi pogoji zamenjava poljubnega števila namesto x povzroči napačno numerično enakost b=0.

Podane utemeljitve nam omogočajo, da oblikujemo zaporedje dejanj, ki nam omogočajo rešitev katere koli linearne enačbe. Torej, algoritem za reševanje linearne enačbe je:

• Najprej s pisanjem linearne enačbe poiščemo vrednosti koeficientov a in b.
• Če je a=0 in b=0, potem ima ta enačba neskončno veliko korenin, in sicer je vsako število koren te linearne enačbe.
• Če a ni nič, potem
• koeficient b prenesemo na desno stran z nasprotnim predznakom in linearno enačbo pretvorimo v obliko a·x=−b,
• po katerem se obe strani dobljene enačbe deli z ničelnim številom a, kar daje želeni koren izvirne linearne enačbe.

Zapisan algoritem je celovit odgovor na vprašanje, kako rešiti linearne enačbe.

Za zaključek te točke je vredno povedati, da se podoben algoritem uporablja za reševanje enačb oblike a·x=b. Njena razlika je v tem, da se pri a≠0 obe strani enačbe takoj delita s tem številom, pri čemer je b že v zahtevanem delu enačbe in ga ni treba prenašati.

Za reševanje enačb oblike a x = b se uporablja naslednji algoritem:

• Če je a=0 in b=0, ima enačba neskončno veliko korenin, ki so poljubna števila.
• Če je a=0 in b≠0, potem izvirna enačba nima korenin.
• Če a ni nič, potem sta obe strani enačbe deljeni z ničelnim številom a, iz katerega se najde edini koren enačbe, ki je enak b/a.

Primeri reševanja linearnih enačb

Pojdimo k praksi. Poglejmo, kako se uporablja algoritem za reševanje linearnih enačb. Naj podamo rešitve tipičnih primerov, ki ustrezajo različne pomene koeficienti linearnih enačb.

Primer.

Rešite linearno enačbo 0·x−0=0.

rešitev.

V tej linearni enačbi sta a=0 in b=−0 , kar je enako kot b=0 . Zato ima ta enačba neskončno veliko korenin; vsako število je koren te enačbe.

odgovor:

x – poljubno število.

Primer.

Ali ima linearna enačba 0 x + 2,7 = 0 rešitve?

rešitev.

V tem primeru je koeficient a enak nič, koeficient b te linearne enačbe pa je enak 2,7, kar je drugačen od nič. Zato linearna enačba nima korenin.

Pri reševanju linearnih enačb si prizadevamo najti koren, to je tisto vrednost spremenljivke, ki bo enačbo spremenila v pravilno enakost.

Če želite najti koren enačbe, ki jo potrebujete ekvivalentne transformacije privedejo dano enačbo do oblike

\(x=[število]\)

Ta številka bo koren.

To pomeni, da transformiramo enačbo in jo z vsakim korakom poenostavljamo, dokler je ne reduciramo na povsem primitivno enačbo "x = število", kjer je koren očiten. Najpogosteje uporabljene transformacije pri reševanju linearnih enačb so naslednje:

Na primer: dodajte \(5\) obema stranema enačbe \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Upoštevajte, da bi lahko dobili enak rezultat hitreje, če preprosto napišemo pet na drugo stran enačbe in spremenimo njen predznak. Pravzaprav je natanko tako izveden šolski »prehod skozi enake s spremembo predznaka v nasprotno«.

2. Množenje ali deljenje obeh strani enačbe z istim številom ali izrazom.

Na primer: delite enačbo \(-2x=8\) z minus dva

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Običajno se ta korak izvede čisto na koncu, ko je enačba že zmanjšana na obliko \(ax=b\), in jo delimo z \(a\), da jo odstranimo z leve.

3. Uporaba lastnosti in zakonov matematike: odpiranje oklepajev, prinašanje podobnih izrazov, zmanjševanje ulomkov itd.

Dodajte \(2x\) levo in desno

Odštejte \(24\) od obeh strani enačbe

Ponovno predstavljamo podobne izraze

Zdaj enačbo delimo z \(-3\), s čimer odstranimo sprednji X na levi strani.

Odgovori : \(7\)

Odgovor je bil najden. Vendar pa preverimo. Če je sedem res koren, potem je treba pri zamenjavi namesto X v prvotni enačbi dobiti pravilno enakost - enaka števila na levi in ​​​​desni. Poskusimo.

Pregled:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Uspelo je. To pomeni, da je sedem res koren prvotne linearne enačbe.

Ne bodite leni, da preverite odgovore, ki ste jih našli z zamenjavo, še posebej, če rešujete enačbo na testu ali izpitu.

Ostaja vprašanje - kako ugotoviti, kaj narediti z enačbo v naslednjem koraku? Kako natančno ga pretvoriti? Deliti z nečim? Ali odšteti? In kaj točno naj odštejem? Deliti na kaj?

Odgovor je preprost:

Vaš cilj je enačbo pripeljati v obliko \(x=[število]\), to je, da je na levi strani x brez koeficientov in števil, na desni strani pa samo število brez spremenljivk. Zato poglejte, kaj vas ovira in narediti nasprotno od tega, kar počne moteča komponenta.

Da bi to bolje razumeli, si korak za korakom oglejmo rešitev linearne enačbe \(x+3=13-4x\).

Pomislimo: kako se ta enačba razlikuje od \(x=[število]\)? Kaj nas ustavlja? Kaj je narobe?

No, prvič, trojka moti, saj bi na levi strani moral biti samo en X, brez številk. Kaj »počne« trojka? Dodano do X. Torej, da ga odstranite - odšteti iste tri. Če pa odštejemo tri od leve, jo moramo odšteti od desne, da se enakost ne poruši.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Globa. Kaj te zdaj ustavlja? \(4x\) na desni, ker bi morale biti tam samo številke. \(4x\) odšteti- odstranimo z dodajanjem.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Zdaj predstavljamo podobne izraze na levi in ​​desni.

Skoraj je pripravljeno. Vse kar ostane je, da odstranite pet na levi. Kaj ona počne"? Množi na x. Torej ga odstranimo delitev.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Rešitev je popolna, koren enačbe je dva. Lahko preverite z zamenjavo.

obvestilo, to največkrat je v linearnih enačbah le en koren. Lahko pa pride do dveh posebnih primerov.

Poseben primer 1 – v linearni enačbi ni korenin.

Primer . Rešite enačbo \(3x-1=2(x+3)+x\)

rešitev :

Odgovori : brez korenin.

Pravzaprav je bilo dejstvo, da bomo prišli do takega rezultata, vidno že prej, že ko smo prejeli \(3x-1=3x+6\). Pomislite: kako sta lahko \(3x\), od katerega smo odšteli \(1\), in \(3x\), ki smo mu dodali \(6\), enaka? Očitno nikakor, ker so z isto stvarjo počeli različne stvari! Jasno je, da bodo rezultati različni.

Poseben primer 2 – linearna enačba ima neskončno število korenin.

Primer . Rešite linearno enačbo \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

rešitev :

Odgovori : poljubno število.

To je bilo, mimogrede, opazno že prej, na stopnji: \(8x+12=8x+12\). Dejansko sta levo in desno enaka izraza. Karkoli X zamenjate, bo tam in tam enako število.

Kompleksnejše linearne enačbe.

Prvotna enačba ni vedno takoj videti kot linearna; včasih je »zamaskirana« kot druga, več kompleksne enačbe. Vendar v procesu preobrazbe preobleka izgine.

Primer . Poiščite koren enačbe \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

rešitev :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Zdi se, da je tukaj x na kvadrat - to ni linearna enačba! Ampak ne hitite. Prijavimo se
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Zakaj je rezultat razširitve \((x-4)^(2)\) v oklepaju, rezultat \((3+x)^(2)\) pa ne? Ker je pred prvim kvadratkom minus, ki bo spremenil vse predznake. In da ne bi pozabili na to, vzamemo rezultat v oklepaje, ki jih zdaj odpremo.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Predstavljamo podobne izraze
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Ponovno predstavljamo podobne.
		Všečkaj to. Izkazalo se je, da je prvotna enačba precej linearna in X na kvadrat ni nič drugega kot zaslon, ki nas zmede. :) Rešitev dopolnimo tako, da enačbo delimo z \(2\), in dobimo odgovor.

Odgovori : \(x=5\)

Primer . Rešite linearno enačbo \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

rešitev :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Enačba ni videti linearna, je nekakšen ulomek ... Vendar se znebimo imenovalcev tako, da obe strani enačbe pomnožimo s skupnim imenovalcem vseh - šest
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Razširite oklepaj na levi
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Zdaj pa zmanjšajmo imenovalce
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Zdaj je videti kot navaden linearni! Končajmo.
		S prevajanjem skozi enačbe zberemo X na desni in števila na levi
		No, če desno in levo stran delimo z \(-4\), dobimo odgovor

Odgovori : \(x=-1,25\)