Hiperbola je geometrijsko mesto točk, katerih razlika v razdalji do dveh danih točk, imenovanih žarišči, je stalna vrednost (ta konstanta mora biti pozitivna in manjša od razdalje med žariščema).

Označimo to konstanto z 2a, razdaljo med žariščema z in izberimo koordinatne osi na enak način kot v § 3. Naj bo poljubna točka hiperbole.

Po definiciji hiperbole

Na desni strani enakosti morate izbrati znak plus če in znak minus če

Ker lahko zadnjo enakost zapišemo kot:

To je enačba hiperbole v izbranem koordinatnem sistemu.

Če se v tej enačbi osvobodimo radikalov (kot v § 3), lahko enačbo reduciramo na njeno najpreprostejšo obliko.

Prenos prvega radikala na desna stran enakost in kvadriranje obeh strani, po očitnih transformacijah dobimo:

Še enkrat kvadriramo obe strani enakosti, prinesemo podobne člene in delimo s prostim členom, dobimo:

Ker je vrednost pozitivna. Označujemo ga prek , tj. nastavitev

dobimo kanonično enačbo hiperbole.

Preučujemo obliko hiperbole.

1) Simetrije hiperbole. Ker enačba (3) vsebuje le kvadrate trenutnih koordinat, so koordinatne osi simetrijske osi hiperbole (glej podobno trditev za elipso). Os simetrije hiperbole, na kateri so žarišča, se imenuje goriščna os. Točka presečišča simetrijskih osi - središče simetrije - se imenuje središče hiperbole. Za hiperbolo, podano z enačbo (3), goriščna os sovpada z osjo Ox, središče pa je izhodišče.

2) Presečišča s simetričnimi osmi. Poiščimo presečišča hiperbole s simetričnimi osemi – oglišča hiperbole. Ob predpostavki, da v enačbi najdemo abscise točk presečišča hiperbole z osjo

Posledično so točke oglišča hiperbole (slika 51); razdalja med njima je 2a. Za iskanje presečišč z osjo Oy vstavimo enačbo. Za določitev ordinat teh točk dobimo enačbo

to pomeni, da smo za y dobili namišljene vrednosti; to pomeni, da os Oy ne seka hiperbol.

V skladu s tem se simetrijska os, ki seka hiperbolo, imenuje realna simetrijska os (goriščna os), simetrijska os, ki ne seka hiperbolo, se imenuje namišljena simetrijska os. Za hiperbolo, podano z enačbo (3), je realna simetrijska os os, namišljena simetrijska os os. Odsek, ki povezuje oglišča hiperbole, in njegova dolžina 2a se imenujeta realna os hiperbola. Če na namišljeni simetrijski osi hiperbole na obeh straneh njenega središča O narišemo odsek OB in dolžino b, potem odsek in njegovo dolžino imenujemo namišljena os hiperbole. Količini a in b pravimo realna oziroma namišljena polos hiperbole.

3) Oblika hiperbole. Pri preučevanju oblike hiperbole je dovolj, da upoštevamo pozitivne vrednosti x in y, ker je krivulja simetrično nameščena glede na koordinatne osi.

Ker iz enačbe (3) sledi, da se 1, then lahko spremeni od a do Ko se poveča od a do potem se tudi Y poveča od 0 do Krivulja ima obliko, prikazano na sl. 51. Nahaja se zunaj pasu, omejenega z ravnimi črtami, in je sestavljen iz dveh ločenih vej. Za katero koli točko M ene od teh vej (desna veja), za katero koli točko M druge veje (leva veja).

4) Asimptote hiperbole. Da bi si jasneje predstavljali vrsto hiperbole, upoštevajte dve ravni črti, ki sta tesno povezani z njo - tako imenovane asimptote.

Ob predpostavki, da sta x in y pozitivna, rešimo enačbo (3) hiperbole glede na ordinato y:

Primerjajmo enačbo z enačbo ravne črte, pri čemer imenujemo ustrezni dve točki, ki se nahajata na tej ravni črti in na hiperboli ter imata isto absciso (slika 51). Očitno razlika Y - y ordinat ustreznih točk izraža razdaljo med njimi, tj.

Pokažimo, da z neomejenim naraščanjem razdalja MN, killing, teži k nič. Prav zares,

Po poenostavitvi dobimo:

Iz zadnje formule vidimo, da se z neomejenim naraščanjem abscise razdalja MN zmanjšuje in teži k nič. Iz tega sledi, da ko se točka M, ki se premika vzdolž hiperbole v prvem kvadrantu, premakne v neskončnost, se njena razdalja do premice zmanjša in teži k ničli. Ista okoliščina se bo zgodila, ko se točka M premika vzdolž hiperbole v tretjem kvadrantu (zaradi simetrije glede na izhodišče O).

Končno bomo zaradi simetrije hiperbole glede na os Oy dobili drugo premico, simetrično nameščeno z premico, ki se ji bo točka M tudi neomejeno približevala, ko se bo premikala vzdolž hiperbole in se oddaljevala v neskončnost (v drugi in četrti kvadrant).

Ti dve ravni črti se imenujeta asimptoti hiperbole in, kot smo videli, imata enačbe:

Očitno je, da se asimptote hiperbole nahajajo vzdolž diagonal pravokotnika, katerega ena stran je vzporedna z osjo Ox in je enaka 2a, druga je vzporedna z osjo Oy in je enaka in središče leži na osi izhodišče koordinat (glej sliko 51).

Pri risanju hiperbole z njeno enačbo je priporočljivo najprej sestaviti njene asimptote.

Enakostranična hiperbola. V primeru hiperbole se imenuje enakostranična; njena enačba je pridobljena iz (3) in ima obliko:

Očitno bodo kotni koeficienti asimptot za enakostranično hiperbolo. Posledično so asimptote enakostranične hiperbole pravokotne druga na drugo in delijo kote med njenimi simetrijskima osema.

Kako vstaviti matematične formule na spletno stran?

Če boste kdaj morali na spletno stran dodati eno ali dve matematični formuli, potem je to najlažji način, kot je opisano v članku: matematične formule se enostavno vstavijo na spletno mesto v obliki slik, ki jih samodejno ustvari Wolfram Alpha. . Poleg preprostosti, to univerzalna metoda bo pomagal izboljšati vidnost spletne strani Iskalniki. Deluje že dolgo (in mislim, da bo deloval večno), vendar je že moralno zastarel.

Če na svojem spletnem mestu redno uporabljate matematične formule, priporočam, da uporabite MathJax – posebno knjižnico JavaScript, ki prikazuje matematični zapis v spletnih brskalnikih z uporabo oznak MathML, LaTeX ali ASCIIMathML.

MathJax lahko začnete uporabljati na dva načina: (1) s preprosto kodo lahko na spletno stran hitro povežete skript MathJax, ki se ob pravem času samodejno naloži z oddaljenega strežnika (seznam strežnikov); (2) prenesite skript MathJax z oddaljenega strežnika na svoj strežnik in ga povežite z vsemi stranmi vašega spletnega mesta. Druga metoda - bolj zapletena in dolgotrajna - bo pospešila nalaganje strani vašega spletnega mesta in če nadrejeni strežnik MathJax iz nekega razloga postane začasno nedosegljiv, to na noben način ne bo vplivalo na vaše lastno spletno mesto. Kljub tem prednostim sem izbral prvo metodo, saj je preprostejša, hitrejša in ne zahteva tehničnega znanja. Sledite mojemu zgledu in v samo 5 minutah boste lahko uporabljali vse funkcije MathJaxa na vašem spletnem mestu.

Skript knjižnice MathJax lahko povežete z oddaljenega strežnika z uporabo dveh možnosti kode, vzetih z glavnega spletnega mesta MathJax ali na strani z dokumentacijo:

Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.

MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte gradnik, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretje osebe, vanj kopirajte prvo ali drugo različico zgoraj predstavljene kode za prenos in postavite gradnik bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.

Vsak fraktal je zgrajen v skladu z določeno pravilo, ki se uporablja zaporedno neomejeno številokrat. Vsak tak čas se imenuje ponovitev.

Iterativni algoritem za izdelavo Mengerjeve gobe je precej preprost: originalna kocka s stranico 1 je razdeljena z ravninami, vzporednimi z njenimi ploskvami, na 27 enakih kock. Iz nje se odstrani ena osrednja kocka in 6 kock, ki mejijo nanjo vzdolž ploskev. Rezultat je niz, sestavljen iz preostalih 20 manjših kock. Če enako naredimo z vsako od teh kock, dobimo niz, sestavljen iz 400 manjših kock. Če ta postopek nadaljujemo v nedogled, dobimo Mengerjevo gobo.

Opredelitev. Asimptota grafa funkcije je premica, ki ima lastnost, da se razdalja od točke na grafu funkcije do te premice nagiba k nič, ko se točka grafa neomejeno premika od izhodišča..

Glede na metode iskanja ločimo tri vrste asimptot: navpične, vodoravne, poševne.

Očitno so vodoravni posebni primeri nagnjenih (pri ).

Iskanje asimptote grafa funkcije temelji na naslednjih izjavah.

1. izrek. Naj bo funkcija definirana vsaj v neki polsoseščini točke in je vsaj ena njena enostranska meja na tej točki neskončna, tj. izenačeno. Potem je premica navpična asimptota grafa funkcije.

Zato je treba navpične asimptote grafa funkcije iskati na diskontinuitetnih točkah funkcije ali na koncih njene definicijske domene (če so to končna števila).

2. izrek. Naj bo funkcija definirana za vrednosti argumentov, ki so dovolj velike v absolutni vrednosti, in obstaja končna meja funkcije . Potem je premica horizontalna asimptota grafa funkcije.

Lahko se zgodi, da , A , in sta končna števila, potem ima graf dve različni vodoravni asimptoti: levo in desno. Če obstaja le ena od končnih mej ali obstaja, ima graf bodisi eno levo ali eno desno vodoravno asimptoto.

Izrek 3. Naj bo funkcija definirana za vrednosti argumenta, ki so dovolj velike v absolutni vrednosti, in obstajajo končne meje in . Potem je premica poševna asimptota grafa funkcije.

Upoštevajte, da če je vsaj ena od teh mej neskončna, potem ni poševne asimptote.

Poševna asimptota, tako kot vodoravna, je lahko enostranska.

Primer. Poiščite vse asimptote grafa funkcije.

rešitev

Funkcija je definirana na. Poiščimo njegove enostranske meje v točkah.

Ker in (drugih dveh enostranskih limitov morda ni več), potem so premice navpične asimptote grafa funkcije.

Izračunajmo

(uporabi L'Hopitalovo pravilo) = .

To pomeni, da je premica horizontalna asimptota.

Ker horizontalna asimptota obstaja, ne iščemo več nagnjenih (teh ni).

Odgovor: Graf ima dve navpični asimptoti in eno vodoravno.

Raziskave splošne funkcije l = f(x).

Obseg funkcije. Poiščite njegovo domeno definicije D(f) . Če ni pretežko, je koristno najti tudi obseg E(f) . (Vendar je v mnogih primerih vprašanje iskanja E(f) se odloži, dokler se ne najdejo ekstremi funkcije.)

Posebne lastnosti funkcije. Ugotovite splošne lastnosti funkcije: parnost, lihost, periodičnost itd. Vsaka funkcija nima lastnosti, kot sta sodo ali liho. Funkcija očitno ni ne soda ne liha, če je njena definicijska domena asimetrična glede na točko 0 na osi Ox. Na enak način je za vsako periodično funkcijo domena definicije sestavljena bodisi iz celotne realne osi bodisi iz unije periodično ponavljajočih se sistemov intervalov.

Vertikalne asimptote. Ugotovite, kako se funkcija obnaša, ko se argument približa mejnim točkam domene definicije D(f), če take mejne točke obstajajo. V tem primeru se lahko pojavijo navpične asimptote. Če ima funkcija diskontinuitetne točke, na katerih ni definirana, je treba te točke preveriti tudi glede prisotnosti navpičnih asimptot funkcije.

Poševne in vodoravne asimptote. Če domena definicije D(f) vključuje žarke oblike (a;+) ali (−;b), potem lahko poskusite najti poševne asimptote (ali vodoravne asimptote) za x+ oziroma x−, tj. poišči limxf(x). Poševne asimptote: l = kx + b, kjer je k=limx+xf(x) in b=limx+(f(x)−x). Asimptote so vodoravne: l = b, kjer je limxf(x)=b.

Iskanje presečišč grafa z osmi. Iskanje presečišča grafa z osjo Oj. Če želite to narediti, morate izračunati vrednost f(0). Poiščite tudi presečišča grafa z osjo Ox, zakaj najti korenine enačbe f(x) = 0 (ali se prepričajte, da ni korenin). Enačbo je pogosto mogoče rešiti le približno, vendar ločevanje korenov pomaga bolje razumeti strukturo grafa. Nato morate določiti znak funkcije na intervalih med koreninami in prelomnimi točkami.

Iskanje presečišč grafa z asimptoto. V nekaterih primerih bo morda treba najti značilne točke grafa, ki niso bile omenjene v prejšnjih odstavkih. Na primer, če ima funkcija poševno asimptoto, lahko poskusite ugotoviti, ali ima graf presečišča s to asimptoto.

Iskanje intervalov konveksnosti in konkavnosti. To naredimo tako, da preučimo predznak drugega odvoda f(x). Poiščite prevojne točke na stičiščih konveksnih in konkavnih intervalov. Izračunajte vrednost funkcije na prevojnih točkah. Če ima funkcija druge kontinuitete (razen prevojne točke), pri katerih je drugi odvod enak 0 ali ne obstaja, potem je v teh točkah koristno izračunati tudi vrednost funkcije. Ko najdemo f(x), rešimo neenačbo f(x)0. Na vsakem od intervalov rešitev bo funkcija konveksna navzdol. Z rešitvijo inverzne neenačbe f(x)0 poiščemo intervale, na katerih je funkcija konveksna navzgor (torej konkavna). Prevojne točke definiramo kot tiste točke, v katerih funkcija spremeni smer konveksnosti (in je zvezna).

Asimptote grafa funkcije

Duh asimptote je dolgo taval po spletnem mestu, da bi se končno udejanjil v ločenem članku in prinesel posebno veselje bralcem, ki jih zmede popolna študija funkcije. Iskanje asimptot grafa je eden redkih delov navedene naloge, ki je v šolskem tečaju obravnavan le pregledno, saj se dogajanje vrti okoli izračunavanja limitov funkcij, še vedno pa se navezuje na višja matematika. Za obiskovalce, ki se malo razumejo v matematični analizi, mislim, da je namig jasen ;-) ...stop, stop, kam greš? Omejitve so enostavne!

Na primere asimptot smo naleteli takoj v prvi lekciji o grafih elementarnih funkcij, zdaj pa je tema podrobneje obravnavana.

Kaj je torej asimptota?

Predstavljajte si spremenljiva točka, ki “potuje” po grafu funkcije. Asimptota je premica, na katero za nedoločen čas blizu graf funkcije se približuje, ko se njena spremenljiva točka premika v neskončnost.

Opomba : Definicija je smiselna, če potrebujete formulacijo v računskem zapisu, si oglejte učbenik.

Na ravnini so asimptote razvrščene glede na njihovo naravno lokacijo:

1) Navpične asimptote, ki so podane z enačbo oblike , kjer je "alfa" realno število. Ljudski predstavnik sam definira ordinatno os,
z rahlim občutkom slabosti se spomnimo hiperbole.

2) Poševne asimptote so tradicionalno zapisane z enačbo ravne črte z naklon. včasih ločena skupina dodeliti poseben primer– horizontalne asimptote. Na primer, ista hiperbola z asimptoto.

Gremo hitro, zadenimo temo s kratkim rafalom iz mitraljeza:

Koliko asimptot ima lahko graf funkcije?

Ne ena, ena, dve, tri,... ali neskončno veliko. S primeri ne bomo šli daleč, spomnimo se osnovnih funkcij. Parabola, kubična parabola in sinusni val sploh nimajo asimptot. Graf eksponentne logaritemske funkcije ima eno samo asimptoto. Arkustangens in arkotangens imata dva, tangens in kotangens pa neskončno veliko. Ni neobičajno, da ima graf vodoravne in navpične asimptote. Hiperbola, vedno te bom imel rad.

Kaj pomeni ? Navpične asimptote grafa funkcije

Navpična asimptota grafa se praviloma nahaja na točki neskončne diskontinuitete funkcije. Preprosto je: če na neki točki funkcija trpi za neskončno diskontinuiteto, potem je ravna črta, določena z enačbo, navpična asimptota grafa.

Opomba : Upoštevajte, da se vnos uporablja za sklicevanje na dva popolnoma različna koncepta. Ali je implicirana točka ali enačba črte, je odvisno od konteksta.

Tako je za ugotovitev prisotnosti navpične asimptote v točki dovolj pokazati, da je vsaj ena od enostranskih meja neskončno. Najpogosteje je to točka, kjer je imenovalec funkcije enak nič. V bistvu smo navpične asimptote že našli v zadnjih primerih lekcije o zveznosti funkcije. Toda v nekaterih primerih obstaja samo ena enostranska meja, in če je neskončna, potem spet - ljubite in dajete prednost navpični asimptoti. Najenostavnejša ponazoritev: in ordinatna os (glej Grafi in lastnosti elementarnih funkcij).

Iz zgoraj navedenega sledi tudi očitno dejstvo: če je funkcija zvezna na , potem ni vertikalnih asimptot. Iz nekega razloga mi je na misel prišla parabola. Saj res, kam lahko tukaj »zatakneš« ravno črto? ...ja... razumem... sledilci strica Freuda so postali histerični =)

Obratna trditev je na splošno napačna: funkcija na primer ni definirana na celotni številski premici, ampak je popolnoma brez asimptot.

Nagnjene asimptote grafa funkcije

Poševne (kot poseben primer - vodoravne) asimptote lahko narišemo, če argument funkcije teži k "plus neskončnosti" ali k "minus neskončnosti". Zato graf funkcije ne more imeti več kot dveh poševnih asimptot. Na primer grafikon eksponentna funkcija ima eno vodoravno asimptoto pri , graf arktangensa pri pa ima dve takšni asimptoti in pri tem različni.

Ko se graf na obeh mestih približa eni poševni asimptoti, so »neskončnosti« običajno združene pod enim vnosom. Na primer, ...pravilno ste uganili: .

Splošno pravilo:

Če sta dva dokončno omejitev , potem je premica poševna asimptota grafa funkcije pri . Če je vsaj ena od naštetih limit neskončna, potem poševne asimptote ni.

Opomba : formule ostanejo veljavne, če se "x" nagiba le k "plus neskončnosti" ali samo k "minus neskončnosti".

Pokažimo, da parabola nima poševnih asimptot:

Limita je neskončna, kar pomeni, da ni poševne asimptote. Upoštevajte, da pri iskanju meje potreba je odpadla, saj je odgovor že prejet.

Opomba : Če imate (ali boste imeli) težave z razumevanjem znakov plus-minus, minus-plus, glejte pomoč na začetku lekcije
o infinitezimalnih funkcijah, kjer sem govoril o tem, kako te znake pravilno interpretirati.

Očitno je za vsak kvadrat, kubična funkcija, polinom 4. in višje stopnje prav tako ni poševnih asimptot.

Sedaj pa se prepričajmo, da tudi graf nima poševne asimptote. Za razkrivanje negotovosti uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:
, kar je bilo treba preveriti.

Ko funkcija raste neomejeno, vendar ni ravne črte, ki bi se ji njen graf približal neskončno blizu.

Preidimo na praktični del lekcije:

Kako najti asimptote grafa funkcije?

Točno tako je formulirana tipična naloga in vključuje iskanje VSEH asimptot grafa (navpične, nagnjene/vodoravne). Čeprav, če smo bolj natančni pri postavljanju vprašanja, govorimo o raziskavah prisotnosti asimptot (navsezadnje jih morda sploh ni). Začnimo z nečim preprostim:

Primer 1

Poiščite asimptote grafa funkcije

Rešitev lahko priročno razdelimo na dve točki:

1) Najprej preverimo, ali obstajajo navpične asimptote. Imenovalec gre na nič pri , in takoj je jasno, da ima na tej točki funkcija neskončno diskontinuiteto, premica, ki jo določa enačba, pa je navpična asimptota grafa funkcije. Toda preden naredite tak sklep, je treba najti enostranske meje:

Opozarjam vas na tehniko računanja, ki sem se ji podobno posvetil v članku Zveznost funkcije. Prelomne točke. V izrazu pod znakom meje nadomestimo . V števniku ni nič zanimivega:
.

Toda v imenovalcu se izkaže infinitezimalno negativno število :
, določa usodo meje.

Leva meja je neskončna in načeloma je že mogoče soditi o prisotnosti navpične asimptote. Toda enostranske omejitve niso potrebne samo za to - POMAGAJO RAZUMETI, KAKO se nahaja graf funkcije in ga PRAVILNO zgraditi. Zato moramo izračunati tudi desno mejo:

Sklep: enostranske meje so neskončne, kar pomeni, da je premica navpična asimptota grafa funkcije pri .

Prva meja končno, kar pomeni, da je treba "nadaljevati pogovor" in najti drugo mejo:

Tudi druga meja končno.

Tako je naša asimptota:

Sklep: premica, določena z enačbo, je vodoravna asimptota grafa funkcije pri .

Da bi našli horizontalno asimptoto
lahko uporabite poenostavljeno formulo:

Če obstaja končno meja, potem je premica horizontalna asimptota grafa funkcije pri .

Zlahka opazimo, da sta števec in imenovalec funkcije istega reda rasti, kar pomeni, da bo iskana meja končna:

odgovor:

Glede na pogoj ni treba izdelati risbe, če pa smo sredi raziskovanja funkcije, potem takoj naredimo skico na osnutku:

Na podlagi treh najdenih mej poskusite sami ugotoviti, kako bi se lahko nahajal graf funkcije. Je sploh težko? Poiščite 5-6-7-8 točk in jih označite na risbi. Vendar pa je graf te funkcije sestavljen s transformacijami grafa osnovne funkcije in bralci, ki so skrbno preučili 21. primer zgornjega članka, zlahka ugibajo, za kakšno krivuljo gre.

Primer 2

Poiščite asimptote grafa funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Naj vas spomnim, da je priročno razdeliti proces na dve točki - navpične asimptote in poševne asimptote. V vzorčni rešitvi se vodoravna asimptota najde po poenostavljeni shemi.

V praksi se najpogosteje srečujemo z delno-racionalnimi funkcijami in po treningu na hiperbolah bomo nalogo zapletli:

Primer 3

Poiščite asimptote grafa funkcije

Rešitev: ena, dve in končano:

1) Navpične asimptote so na točkah neskončne diskontinuitete, zato morate preveriti, ali gre imenovalec na nič. Rešimo kvadratno enačbo:

Diskriminanta je pozitivna, zato ima enačba dva realna korena, delo pa se znatno poveča =)

Za nadaljnje iskanje enostranskih mej je priročno faktorizirati kvadratni trinom:
(za kompakten zapis je bil "minus" vključen v prvi oklepaj). Za varnost preverimo tako, da miselno ali na osnutku odpremo oklepaje.

Prepišimo funkcijo v obliki

Poiščimo enostranske omejitve na točki:

In pri bistvu:

Tako so ravne črte navpične asimptote grafa zadevne funkcije.

2) Če pogledate funkcijo , potem je povsem očitno, da bo limita končna in imamo horizontalno asimptoto. Pokažimo njegovo prisotnost na kratek način:

Tako je premica (abscisna os) vodoravna asimptota grafa te funkcije.

odgovor:

Najdene limite in asimptote nudijo veliko informacij o grafu funkcije. Poskusite si mentalno predstavljati risbo ob upoštevanju naslednjih dejstev:

Na osnutek skicirajte svojo različico grafa.

Seveda najdene meje ne določajo jasno videza grafa in lahko naredite napako, vendar bo sama vaja zagotovila neprecenljivo pomoč pri popolni študiji funkcije. Pravilna slika je na koncu lekcije.

Primer 4

Poiščite asimptote grafa funkcije

Primer 5

Poiščite asimptote grafa funkcije

To so naloge za samostojno reševanje. Oba grafa imata ponovno vodoravne asimptote, ki jih takoj zaznamo po naslednjih značilnostih: v primeru 4 vrstni red rasti imenovalca več, kot vrstni red rasti števca, v primeru 5 pa sta števec in imenovalec istega reda rasti. V vzorčni rešitvi se prva funkcija preuči glede prisotnosti poševnih asimptot v celoti, druga pa skozi mejo.

Horizontalne asimptote so po mojem subjektivnem vtisu opazno pogostejše od tistih, ki so »resnično nagnjene«. Dolgo pričakovan splošni primer:

Primer 6

Poiščite asimptote grafa funkcije

Rešitev: klasika žanra:

1) Ker je imenovalec pozitiven, je funkcija zvezna vzdolž celotne številske premice in ni navpičnih asimptot. …Je dober? Ni prava beseda - odlično! Točka št. 1 je zaprta.

2) Preverimo prisotnost poševnih asimptot:

Prva meja končno, torej gremo naprej. Pri izračunu druge meje za odpravo negotovosti »neskončnost minus neskončnost« reduciramo izraz na skupni imenovalec:

Tudi druga meja končno Zato ima graf zadevne funkcije poševno asimptoto:

Zaključek:

Tako, ko je graf funkcije neskončno blizu se približuje ravni črti:

Upoštevajte, da seka svojo poševno asimptoto v izvoru in takšne presečišča so povsem sprejemljiva - pomembno je, da je v neskončnosti "vse normalno" (pravzaprav tukaj govorimo o asimptotah).

Primer 7

Poiščite asimptote grafa funkcije

Rešitev: ni kaj posebnega za komentirati, zato bom formaliziral približen vzorec končna rešitev:

1) Navpične asimptote. Raziščimo bistvo.

Ravna črta je navpična asimptota za graf pri .

2) Poševne asimptote:

Ravna črta je poševna asimptota za graf pri .

odgovor:

Najdene enostranske meje in asimptote nam omogočajo, da z veliko zanesljivostjo napovemo, kako izgleda graf te funkcije. Pravilno risanje na koncu lekcije.

Primer 8

Poiščite asimptote grafa funkcije

To je primer za neodvisno rešitev, za udobje izračuna nekaterih omejitev lahko razdelite števec z imenovalcem na izraz. In spet, analizirajte rezultate, poskusite narisati graf te funkcije.

Očitno so lastniki "pravih" poševnih asimptot grafi tistih ulomkov-racionalnih funkcij, katerih najvišja stopnja števca je za ena večja od najvišje stopnje imenovalca. Če je več, ne bo poševne asimptote (na primer ).

Toda v življenju se dogajajo drugi čudeži:

Primer 9

Primer 11

Preglejte graf funkcije glede prisotnosti asimptot

Rešitev: očitno , zato upoštevamo samo desno polravnino, kjer je graf funkcije.

Tako je ravna črta (os y) navpična asimptota za graf funkcije pri .

2) Študijo poševne asimptote lahko izvedemo po celotni shemi, vendar smo v članku L'Hopital Rules ugotovili, da linearna funkcija višji vrstni red rasti kot logaritemski, torej: (Glej 1. primer iste lekcije).

Sklep: os x je vodoravna asimptota grafa funkcije pri .

odgovor:
, Če ;
, Če .

Risba za jasnost:

Zanimivo je, da na videz podobna funkcija sploh nima asimptot (kdor želi, lahko to preveri).

Dva končni primeri Za samostojno učenje:

Primer 12

Preglejte graf funkcije glede prisotnosti asimptot

V mnogih primerih je risanje funkcije lažje, če najprej narišete asimptote krivulje.

Definicija 1. Asimptote se imenujejo takšne premice, ki se jim graf funkcije približa kolikor želimo, ko se spremenljivka nagiba k plus neskončnosti ali minus neskončnosti.

Definicija 2. Ravna črta se imenuje asimptota grafa funkcije, če je razdalja od spremenljive točke M graf funkcije do te premice teži k ničli, ko se točka odmika za nedoločen čas M od izhodišča vzdolž katere koli veje funkcijskega grafa.

Obstajajo tri vrste asimptot: navpične, vodoravne in poševne.

Vertikalne asimptote

Opredelitev . Naravnost x = a je navpična asimptota grafa funkciječe točka x = a je točka diskontinuitete druge vrste za to funkcijo.

Iz definicije sledi, da ravna črta x = a je navpična asimptota grafa funkcije f(x), če je izpolnjen vsaj eden od pogojev:

V tem primeru funkcija f(x) sploh ni mogoče definirati oziroma kdaj x ≥ a in x ≤ a .

komentar:

Primer 1. Graf funkcije l=ln x ima navpično asimptoto x= 0 (tj. sovpada z osjo Oj) na meji definicijskega področja, ker je limita funkcije, ko x teži k ničli na desni, enaka minus neskončnosti:

(slika zgoraj).

sami in si nato oglejte rešitve

Primer 2. Poiščite asimptote grafa funkcije.

Primer 3. Poiščite asimptote grafa funkcije

Horizontalne asimptote

Če je (meja funkcije, ko se argument nagiba k plus ali minus neskončnosti, enaka določeni vrednosti b), to l = b – horizontalna asimptota ukrivljen l = f(x) (desno, ko X teži k plus neskončnosti, levo, ko X teži k minus neskončnosti, in dvostransko, če so meje, ko X teži k plus ali minus neskončnosti, enake).

Primer 5. Graf funkcije

pri a> 1 ima levo vodoravno asimpototo l= 0 (tj. sovpada z osjo Ox), ker je meja funkcije, ko se "x" nagiba k minus neskončnosti, nič:

Krivulja nima desne horizontalne asimptote, ker je meja funkcije, ko se "x" nagiba k plus neskončnosti, enaka neskončnosti:

Poševne asimptote

Navpične in vodoravne asimptote, ki smo jih pregledali zgoraj, so vzporedne s koordinatnimi osemi, zato smo za njihovo konstrukcijo potrebovali le določeno število- točka na abscisni ali ordinatni osi, skozi katero poteka asimptota. Za poševno asimptoto je potreben večji naklon k, ki prikazuje kot naklona premice, in prosti člen b, ki prikazuje, koliko je črta nad ali pod izhodiščem. Tisti, ki niso pozabili analitične geometrije in iz nje enačb premice, bodo opazili, da za poševno asimptoto najdejo enačbo premice s kotnim koeficientom. Obstoj poševne asimptote določa naslednji izrek, na podlagi katerega najdemo pravkar omenjene koeficiente.

Izrek. Za izdelavo krivulje l = f(x) je imel asimptoto l = kx + b, je potrebno in zadostno, da obstajajo končne meje k in b obravnavane funkcije, ko se spremenljivka nagiba x do plus neskončnosti in minus neskončnosti:

(1)

(2)

Številke, ugotovljene na ta način k in b in sta koeficienta poševne asimptote.

V prvem primeru (ko x teži k plus neskončnosti) dobimo desno nagnjeno asimptoto, v drugem primeru (ko x teži k minus neskončnosti) dobimo levo poševno asimptoto. Desna poševna asimptota je prikazana na sl. spodaj.

Pri iskanju enačbe za poševno asimptoto je treba upoštevati težnjo X k plus in minus neskončnosti. Za nekatere funkcije, na primer frakcijske racionalne, te meje sovpadajo, vendar so za mnoge funkcije te meje različne in lahko obstaja samo ena od njih.

Če meje sovpadajo in x teži k plus neskončnosti in minus neskončnosti, je ravna črta l = kx + b je dvostranska asimptota krivulje.

Če je vsaj ena od mej, ki določajo asimptoto l = kx + b, ne obstaja, potem graf funkcije nima poševne asimptote (ima pa lahko navpično).

Preprosto je videti, da vodoravna asimptota l = b je poseben primer poševnega l = kx + b pri k = 0 .

Torej, če ima krivulja v kateri koli smeri horizontalna asimptota, potem v tej smeri ni naklona in obratno.

Primer 6. Poiščite asimptote grafa funkcije

rešitev. Funkcija je definirana na celotni številski premici razen x= 0, tj.

Zato na prelomni točki x= 0 ima lahko krivulja navpično asimptoto. Dejansko je meja funkcije, ko x teži k ničli z leve, enaka plus neskončnosti:

torej x= 0 – navpična asimptota grafa te funkcije.

Graf te funkcije nima vodoravne asimptote, saj je limita funkcije, ko x teži k plus neskončnosti, enaka plus neskončnosti:

Ugotovimo prisotnost poševne asimptote:

Ima končne meje k= 2 in b= 0. Naravnost l = 2x je dvosmerna poševna asimptota grafa te funkcije (slika v primeru).

Primer 7. Poiščite asimptote grafa funkcije

rešitev. Funkcija ima eno prekinitveno točko x= −1 . Izračunajmo enostranske meje in določimo vrsto diskontinuitete:

Zaključek: x= −1 je točka diskontinuitete druge vrste, torej premica x= −1 je navpična asimptota grafa te funkcije.

Iščemo poševne asimptote. Ker je ta funkcija delno racionalna, bosta meji za in za sovpadali. Tako najdemo koeficiente za zamenjavo ravne črte - poševne asimptote v enačbo:

Če nadomestimo najdene koeficiente v enačbo ravne črte z naklonom, dobimo enačbo poševne asimptote:

l = −3x + 5 .

Na sliki je graf funkcije označen z bordo barvo, asimptote pa s črno.

Primer 8. Poiščite asimptote grafa funkcije

rešitev. Ker je ta funkcija zvezna, njen graf nima navpičnih asimptot. Iščemo poševne asimptote:

.

Tako ima graf te funkcije asimptoto l= 0 pri in nima asiptote pri .

Primer 9. Poiščite asimptote grafa funkcije

rešitev. Najprej iščemo navpične asimptote. Da bi to naredili, poiščemo domeno definicije funkcije. Funkcija je definirana, ko sta neenakost in . Predznak spremenljivke x se ujema z znakom. Zato upoštevajte ekvivalentno neenakost. Iz tega dobimo domeno definicije funkcije: . Navpična asimptota je lahko samo na meji domene funkcije. Ampak x= 0 ne more biti navpična asimptota, ker je funkcija definirana pri x = 0 .

Upoštevajte desno mejo pri (leve meje ni):

.

Pika x= 2 je točka diskontinuitete druge vrste, torej premica x= 2 - navpična asimptota grafa te funkcije.

Iščemo poševne asimptote:

Torej, l = x+ 1 - poševna asimptota grafa te funkcije pri . Iščemo poševno asimptoto pri:

Torej, l = −x− 1 - poševna asimptota pri .

Primer 10. Poiščite asimptote grafa funkcije

rešitev. Funkcija ima domeno definicije . Ker je navpična asimptota grafa te funkcije lahko samo na meji definicijskega področja, najdemo enostranske limite funkcije pri .