Ko narišemo funkcijo, je pomembno, da definiramo konveksne intervale in prevojne točke. Potrebujemo jih skupaj z intervali padanja in naraščanja za jasen prikaz funkcije v grafični obliki.

Za razumevanje te teme je potrebno vedeti, kaj je odvod funkcije in kako ga izračunati v določenem vrstnem redu, pa tudi znati rešiti različni tipi neenakosti.

Na začetku članka so opredeljeni glavni pojmi. Nato bomo pokazali, kakšno razmerje obstaja med smerjo konveksnosti in vrednostjo drugega odvoda v določenem intervalu. Nato bomo navedli pogoje, pod katerimi je mogoče določiti prevojne točke grafa. Vse sklepanje bo ponazorjeno s primeri rešitev problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

V smeri navzdol na določenem intervalu v primeru, ko njegov graf ni nižji od tangente nanj na kateri koli točki tega intervala.

Definicija 2

Diferenciacijska funkcija je konveksna navzgor na določenem intervalu, če se graf te funkcije ne nahaja višje od tangente na katero koli točko tega intervala.

Navzdol konveksno funkcijo lahko imenujemo tudi konkavna. Obe definiciji sta jasno prikazani v spodnjem grafu:

Definicija 3

Prevojna točka funkcije je točka M (x 0 ; f (x 0)), v kateri je tangenta na graf funkcije, pod pogojem, da odvod obstaja v bližini točke x 0 , kjer je z leve in desna stran graf funkcije ima različne smeri konveksnosti.

Preprosto povedano, prevojna točka je mesto na grafu, kjer je tangenta, in smer konveksnosti grafa pri prehodu skozi to mesto spremeni smer konveksnosti. Če se ne spomnite, pod kakšnimi pogoji je možen obstoj navpične in nenavpične tangente, vam svetujemo, da ponovite poglavje o tangenti grafa funkcije v točki.

Spodaj je graf funkcije, ki ima več prevojnih točk označenih z rdečo. Naj pojasnimo, da prisotnost prevojnih točk ni obvezna. Na grafu ene funkcije je lahko ena, dve, več, neskončno veliko ali nobena.

V tem razdelku bomo govorili o izreku, s katerim lahko določite intervale konveksnosti na grafu določene funkcije.

Definicija 4

Graf funkcije bo imel konveksnost v smeri navzdol ali navzgor, če ima ustrezna funkcija y = f (x) drugi končni odvod na podanem intervalu x, pod pogojem, da je neenakost f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) bo res.

Z uporabo tega izreka lahko najdete intervale konkavnosti in konveksnosti na katerem koli grafu funkcije. Če želite to narediti, morate le rešiti neenačbi f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0 na domeni ustrezne funkcije.

Naj pojasnimo, da bodo v intervale konveksnosti in konkavnosti vključene tiste točke, kjer drugi odvod ne obstaja, je pa definirana funkcija y = f (x).

Oglejmo si primer specifičnega problema, kako pravilno uporabiti ta izrek.

Primer 1

Pogoj: dana funkcija y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Ugotovite, v katerih intervalih bo imel njegov graf konveksnost in konkavnost.

rešitev

Domena te funkcije je celotna množica realnih števil. Začnimo z izračunom drugega odvoda.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Vidimo, da je domena drugega odvoda sovpadala z domeno same funkcije, zato moramo za identifikacijo intervalov konveksnosti rešiti neenačbi f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Imamo ta urnik dano funkcijo bo imel konkavnost na segmentu [ 2 ; + ∞) in konveksnost na segmentu (- ∞ ; 2 ] .

Zaradi preglednosti bomo narisali graf funkcije in na njem konveksni del označili z modro, konkavni del pa z rdečo.

odgovor: graf dane funkcije bo imel konkavnost na segmentu [ 2 ; + ∞) in konveksnost na segmentu (- ∞ ; 2 ] .

Toda kaj storiti, če domena drugega odvoda ne sovpada z domeno funkcije? Pri tem nam pride prav zgornja opomba: tiste točke, kjer končna druga odvodnica ne obstaja, bomo prav tako vključili v segmenta konkavnosti in konveksnosti.

Primer 2

Pogoj: dana funkcija y = 8 x x - 1 . Ugotovite, v katerih intervalih bo njegov graf konkaven in v katerih bo konveksen.

rešitev

Najprej ugotovimo obseg funkcije.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Zdaj izračunamo drugi derivat:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Domena drugega odvoda je množica x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Vidimo, da bo x enak nič v domeni prvotne funkcije, ne pa tudi v domeni drugega odvoda. Ta točka mora biti vključena v segment konkavnosti ali konveksnosti.

Nato moramo rešiti neenačbi f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0 na domeni dane funkcije. Za to uporabljamo intervalno metodo: pri x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 ali x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 števec 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 postane 0 in imenovalec je 0, ko je x nič ali ena.

Dobljene točke postavimo na graf in določimo predznak izraza na vseh intervalih, ki bodo vključeni v domeno prvotne funkcije. Na grafu je to območje označeno s šrafuro. Če je vrednost pozitivna, označite interval s plusom, če je negativna, pa z minusom.

torej

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) in f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Vklopimo prej označeno točko x = 0 in dobimo želeni odgovor. Graf prvotne funkcije bo imel pri 0 izboklino navzdol; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) in navzgor - za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Narišimo graf, pri čemer konveksni del označimo z modro, konkavni pa z rdečo. Navpična asimptota je označena s črno pikčasto črto.

odgovor: Graf prvotne funkcije bo imel pri 0 izboklino navzdol; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) in navzgor - za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Prevojni pogoji za funkcijski graf

Začnimo s formulacijo potrebnega pogoja za pregib grafa neke funkcije.

Definicija 5

Recimo, da imamo funkcijo y = f(x), katere graf ima prevojno točko. Za x = x 0 ima zvezen drugi odvod, zato bo veljala enakost f "" (x 0) = 0.

Ob upoštevanju ta pogoj, bi morali iskati prevojne točke med tistimi, v katerih bo drugi odvod šel na 0 . Ta pogoj ne bo zadostoval: vse takšne točke nam ne bodo ustrezale.

Upoštevajte tudi, da glede na skupna definicija, bomo potrebovali tangento, navpično ali nenavpično. V praksi to pomeni, da bi morali za iskanje prevojnih točk vzeti tiste, v katerih drugi odvod te funkcije postane 0. Zato moramo za iskanje abscis prevojnih točk vzeti vse x 0 iz domene funkcije, kjer je lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ in lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Najpogosteje so to točke, v katerih se imenovalec prvega odvoda spremeni v 0.

Prvi zadostni pogoj za obstoj prevojne točke grafa funkcije

Našli smo vse vrednosti x 0, ki jih lahko vzamemo kot absciso prevojnih točk. Po tem moramo uporabiti prvi zadostni pregibni pogoj.

Opredelitev 6

Recimo, da imamo funkcijo y = f (x), ki je zvezna v točki M (x 0 ; f (x 0)). Poleg tega ima na tej točki tangento, sama funkcija pa ima drugi odvod v bližini te točke x 0 . V tem primeru, če drugi derivat pridobi nasprotne znake na levi in ​​desni strani, potem se ta točka lahko šteje za prevojno točko.

Vidimo, da ta pogoj ne zahteva, da drugi odvod nujno obstaja na tej točki, zadostuje njegova prisotnost v okolici točke x 0.

Vse zgoraj je mogoče priročno predstaviti kot zaporedje dejanj.

1. Najprej morate najti vse abscise x 0 možnih prevojnih točk, kjer je f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞.
2. Ugotovite, v katerih točkah bo odvod spremenil predznak. Te vrednosti so abscise prevojnih točk, točke M (x 0 ; f (x 0)), ki jim ustrezajo, pa so same prevojne točke.

Zaradi jasnosti razmislimo o dveh težavah.

Primer 3

Pogoj: dana funkcija y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Določite, kje bo graf te funkcije imel prevojne in izbokline.

rešitev

Ta funkcija je definirana na celotni množici realnih števil. Upoštevamo prvo izpeljanko:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Zdaj pa poiščimo domeno prve izpeljanke. Je tudi množica vseh realnih števil. Zato enakosti lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ in lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ne morejo biti izpolnjene za nobeno vrednost x 0 .

Izračunamo drugi odvod:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Našli smo abscisi dveh verjetnih prevojnih točk - 2 in 3. Preostane nam le še, da preverimo, na kateri točki izpeljanka spremeni predznak. Narišimo numerično os in nanjo narišemo te točke, nato pa na nastale intervale postavimo znake drugega odvoda.

Loki prikazujejo smer konveksnosti grafa v vsakem intervalu.

Drugi odvod obrne predznak (iz plusa v minus) v točki z absciso 3 , ki poteka skoznjo od leve proti desni, in enako (iz minusa v plus) v točki z absciso 3 . Torej lahko sklepamo, da sta x = - 2 in x = 3 abscisi prevojnih točk grafa funkcije. Ustrezale bodo točkam grafa - 2; - 4 3 in 3 ; - 15 8 .

Ponovno si oglejmo sliko numerične osi in nastale znake na intervalih, da sklepamo o mestih konkavnosti in konveksnosti. Izkazalo se je, da se bo izboklina nahajala na segmentu - 2; 3 in konkavnost na segmentih (- ∞ ; - 2 ] in [ 3 ; + ∞) .

Rešitev problema je jasno prikazana v grafu: Modra barva- konveksnost, rdeča - konkavnost, črna pomeni prevojne točke.

odgovor: izboklina se nahaja na segmentu - 2; 3 in konkavnost na segmentih (- ∞ ; - 2 ] in [ 3 ; + ∞) .

Primer 4

Pogoj: izračunaj abscise vseh prelomnih točk grafa funkcije y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

rešitev

Domena dane funkcije je množica vseh realnih števil. Izračunamo izpeljanko:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

Za razliko od funkcije njen prvi derivat ne bo določen pri vrednosti x 3, ampak:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

To pomeni, da bo skozi to točko potekala navpična tangenta na graf. Zato je lahko 3 abscisa prevojne točke.

Izračunamo drugi odvod. Najdemo tudi območje njegove definicije in točke, na katerih se spremeni v 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Imamo še dve možni prevojni točki. Vse postavimo na številsko premico in dobljene intervale označimo z znaki:

Sprememba predznaka se zgodi pri prehodu skozi vsako določeno točko, kar pomeni, da so vse prevojne točke.

odgovor: Narišimo graf funkcije, pri čemer označimo konkavnosti z rdečo, konveksnosti z modro in prevojne točke s črno:

Če poznamo prvi zadostni prevojni pogoj, lahko določimo potrebne točke, kjer prisotnost druge izpeljanke ni potrebna. Na podlagi tega se lahko prvi pogoj šteje za najbolj univerzalnega in primernega za reševanje različni tipi naloge.

Upoštevajte, da obstajata še dva pregibna pogoja, ki pa ju je mogoče uporabiti le, če je na določeni točki končna izpeljanka.

Če imamo f "" (x 0) = 0 in f """ (x 0) ≠ 0, potem bo x 0 abscisa prevojne točke grafa y = f (x) .

Primer 5

Pogoj: podana je funkcija y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Ugotovite, ali bo graf funkcije imel pregib v točki 3; 4 5 .

rešitev

Najprej se moramo prepričati, ali bo dana točka sploh pripadala grafu te funkcije.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Podana funkcija je definirana za vse argumente, ki so realna števila. Izračunamo prvi in ​​drugi odvod:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Dobili smo, da bo drugi odvod šel na 0, če je x enak 0. To pomeni, da bo potreben prevojni pogoj za to točko izpolnjen. Zdaj uporabimo drugi pogoj: poiščemo tretji odvod in ugotovimo, ali se bo pri 3 spremenil v 0:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Tretji derivat ne bo izginil za nobeno vrednost x. Zato lahko sklepamo, da bo ta točka prevojna točka grafa funkcije.

odgovor: Pokažimo rešitev na sliki:

Recimo, da je f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . ., f (n) (x 0) = 0 in f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . V tem primeru za sodo n dobimo, da je x 0 abscisa prevojne točke grafa y \u003d f (x) .

Primer 6

Pogoj: dana funkcija y = (x - 3) 5 + 1 . Izračunajte prevojne točke njegovega grafa.

rešitev

Ta funkcija je definirana na celotni množici realnih števil. Izračunajte odvod: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Ker bo definiran tudi za vse realne vrednosti argumenta, bo na kateri koli točki njegovega grafa obstajala nenavpična tangenta.

Zdaj pa izračunajmo, za katere vrednosti se bo drugi derivat spremenil v 0:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Ugotovili smo, da ima lahko graf funkcije pri x = 3 prevojno točko. Za potrditev tega uporabimo tretji pogoj:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Po tretjem zadostnem pogoju imamo n = 4. To je sodo število, zato bo x \u003d 3 abscisa prevojne točke in točka grafa funkcije (3; 1) ji ustreza.

odgovor: Tukaj je graf te funkcije z označeno konveksnostjo, konkavnostjo in prevojno točko:

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Navodilo

točke pregib funkcije mora spadati v obseg njegove definicije, ki jo je treba najprej najti. Urnik funkcije- to je črta, ki je lahko neprekinjena ali ima prekinitve, se monotono zmanjšuje ali povečuje, ima minimum ali maksimum točke(asimptote), biti konveksni ali konkavni. Nenadna sprememba dveh nedavna stanja in se imenuje kink.

Nujen pogoj obstoj pregib funkcije sestoji iz enakosti sekunde na nič. Tako lahko z dvakratnim diferenciranjem funkcije in izenačenjem nastalega izraza z ničlo najdemo abscise možnih točk pregib.

Ta pogoj izhaja iz definicije lastnosti konveksnosti in konkavnosti grafa funkcije, tj. negativne in pozitivne vrednosti drugega odvoda. Na točki pregib ostra sprememba teh lastnosti, kar pomeni, da izpeljanka preseže ničelno oznako. Vendar enakost na nič še vedno ni dovolj, da bi označila prelomno točko.

Obstajata dva zadostna pogoja, da abscisa, ugotovljena na prejšnji stopnji, pripada točki pregib: Skozi to točko lahko narišete tangento na funkcije. Druga izpeljanka ima različna znamenja desno in levo od predvidenega točke pregib. Torej njen obstoj v sami točki ni nujen, dovolj je ugotoviti, da v njej spremeni predznak. funkcije je nič, tretji pa ni.

Rešitev: Najdi. V tem primeru ni nobenih omejitev, torej gre za celoten prostor realnih števil. Izračunajte prvi odvod: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Bodi pozoren na . Iz tega sledi, da je domena definicije derivata omejena. Točka x = 5 je preluknjana, kar pomeni, da lahko skozi njo poteka tangenta, kar deloma ustreza prvemu znaku zadostnosti. pregib.

Določite dobljeni izraz pri x → 5 - 0 in x → 5 + 0. Enaka sta -∞ in +∞. Dokazali ste, da poteka navpična tangenta skozi točko x=5. Ta točka je lahko točka pregib, vendar najprej izračunajte drugi odvod: (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Izpusti imenovalec, ker si že upošteval točko x = 5. Rešite enačbo 2 x - 22 \u003d 0. Ima en sam koren x \u003d 11. Zadnji korak je potrditev, da točke x=5 in x=11 sta točki pregib. Analizirajte obnašanje drugega odvoda v njihovi bližini. Očitno v točki x = 5 spremeni znak iz "+" v "-", v točki x = 11 pa obratno. Zaključek: oboje točke so točke pregib. Prvi zadostni pogoj je izpolnjen.

Funkcijski graf l=f(x) klical konveksen na intervalu (a;b), če se nahaja pod katero koli svojo tangento na tem intervalu.

Funkcijski graf l=f(x) klical konkavno na intervalu (a;b), če se nahaja nad katero koli svojo tangento v tem intervalu.

Slika prikazuje konveksno krivuljo na (a;b) in konkavno do (b;c).

Primeri.

Razmislite o zadostnem znaku, ki vam omogoča, da ugotovite, ali bo graf funkcije v danem intervalu konveksen ali konkaven.

Izrek. Pustiti l=f(x) razločljiv po (a;b). Če na vseh točkah intervala (a;b) drugi odvod funkcije l = f(x) negativna, tj. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 je konkaven.

Dokaz. Predpostavimo za gotovost, da f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Oglejte si graf funkcije y = f(x) poljubna točka M0 z absciso x0 Î ( a; b) in nariši skozi točko M0 tangenta. Njena enačba. Pokazati moramo, da je graf funkcije na (a;b) leži pod to tangento, tj. z enako vrednostjo x ordinata krivulje y = f(x) bo manjša od ordinate tangente.

Torej je enačba krivulje y = f(x). Označimo tangentno ordinato, ki ustreza abscisi x. Potem. Zato je razlika med ordinatami krivulje in tangento pri isti vrednosti x volja .

Razlika f(x) – f(x0) transformirajo po Lagrangeovem izreku, kjer c med x in x0.

torej

Ponovno uporabimo Lagrangeov izrek za izraz v oglatih oklepajih: , kjer c 1 med c 0 in x0. Po izreku f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Tako katera koli točka krivulje leži pod tangento krivulje za vse vrednosti x in x0 Î ( a; b), kar pomeni, da je krivulja konveksna. Drugi del izreka dokažemo podobno.

Primeri.

točka grafa neprekinjena funkcija, ki ločuje njen konveksni del od konkavnega, imenujemo prevojna točka.

Očitno na prevojni točki tangenta, če obstaja, seka krivuljo, ker na eni strani te točke leži krivulja pod tangento, na drugi strani pa nad njo.

Določimo zadostne pogoje, da je dana točka krivulje prevojna točka.

Izrek. Naj bo krivulja definirana z enačbo y = f(x). če f ""(x 0) = 0 oz f ""(x 0) ne obstaja in pri prehodu skozi vrednost x = x0 izpeljanka f ""(x) spremeni predznak, nato točka grafa funkcije z absciso x = x0 obstaja prelomna točka.

Dokaz. Pustiti f ""(x) < 0 при x < x0 in f ""(x) > 0 pri x > x0. Nato pri x < x0 krivulja je konveksna in x > x0- konkavno. Zato bistvo A, ki leži na krivulji, z absciso x0 obstaja prelomna točka. Podobno lahko obravnavamo drugi primer, ko f ""(x) > 0 pri x < x0 in f ""(x) < 0 при x > x0.

Prevojne točke je torej treba iskati samo med tistimi točkami, kjer drugi odvod izgine ali ne obstaja.

Primeri. Poiščite prevojne točke in določite intervale konveksnosti in konkavnosti krivulj.

ASIMPTOTE GRAFA FUNKCIJE

Pri raziskovanju funkcije je pomembno ugotoviti obliko njenega grafa z neomejeno odstranitvijo točke grafa od izhodišča.

Posebej zanimiv je primer, ko se graf funkcije, ko je njena spremenljiva točka odmaknjena v neskončnost, neomejeno približuje določeni premici.

Direktno poklicano asimptota funkcijski graf l = f(x)če je oddaljenost od spremenljive točke M graf na to črto, ko je točka odstranjena M v neskončnost teži k nič, tj. točka grafa funkcije, ker teži v neskončnost, se mora neomejeno približevati asimptoti.

Krivulja se lahko približa svoji asimptoti, ostane na eni strani ali na različnih straneh, seka asimptoto neskončno velikokrat in se premika z ene strani na drugo.

Če z d označimo oddaljenost od točke M krivulje na asimptoto, je jasno, da se d nagiba k ničli, ko točko odstranimo M do neskončnosti.

Nadalje bomo razlikovali med navpičnimi in poševnimi asimptotami.

VERTIKALNE ASIMPTOTE

Naj pri x→ x0 obe strani funkcije l = f(x) neomejeno narašča v absolutni vrednosti, tj. ali ali . Potem iz definicije asimptote sledi, da je premica x = x0 je asimptota. Obratno je tudi očitno, če črta x = x0 je asimptota, torej .

Tako je navpična asimptota grafa funkcije y = f(x) se imenuje črta, če f(x)→ ∞ pod vsaj enim od pogojev x→ x0– 0 oz x → x0 + 0, x = x0

Zato najdemo navpične asimptote grafa funkcije l = f(x) treba najti te vrednosti x = x0, pri katerem gre funkcija v neskončnost (trpi neskončno diskontinuiteto). Potem navpična asimptota ima enačbo x = x0.

Primeri.

POŠEVNE ASIMPTOTE

Ker je asimptota ravna črta, potem je krivulja l = f(x) ima poševno asimptoto, potem bo njena enačba l = kx + b. Naša naloga je najti koeficiente k in b.

Izrek. Naravnost l = kx + b služi kot poševna asimptota pri x→ +∞ za graf funkcije l = f(x)če in samo če . Podobna izjava velja za x → –∞.

Dokaz. Pustiti MP- dolžina segmenta je enaka razdalji od točke M do asimptote. Po stanju. Označimo s φ kot naklona asimptote glede na os Ox. Potem od ΔMNP temu sledi. Ker je φ konstanten kot (φ ≠ π/2), potem , ampak

Še vedno je treba razmisliti konveksnost, konkavnost in pregibi grafa. Začnimo s tistimi, ki jih imajo obiskovalci strani tako radi telovadba. Vstanite in se nagnite naprej ali nazaj. To je izboklina. Zdaj iztegnite roke pred seboj z dlanmi navzgor in si predstavljajte, da na prsih držite veliko poleno… …no, če vam poleno ni všeč, naj bo kaj/nekdo drug =) To je konkavnost . V nekaterih virih so izrazi sinonimi izbočiti in izbočiti navzdol, vendar sem zagovornik kratkih imen.

! Pozor : nekateri avtorji definiraj konveksnost in konkavnost ravno nasprotno. To sicer drži tudi matematično in logično, vendar pogosto vsebinsko popolnoma napačno, tudi na ravni našega filistrskega razumevanja pojmov. Tako se na primer bikonveksna leča imenuje leča "s tuberkulami", ne pa z "vdolbinami" (bikonkavna).
In, recimo, "konkavna" postelja - še vedno očitno ne "štrli" \u003d) (vendar, če splezate pod njo, bomo že govorili o konveksnosti; =)) Držim se pristopa, ki ustreza naravna človeška združenja.

Formalna definicija konveksnosti in konkavnosti grafa je za čajnika precej težka, zato se omejimo na geometrijsko razlago pojma na konkretni primeri. Razmislite o grafu funkcije, ki neprekinjeno na celotni številski premici:

Z njim je enostavno graditi geometrijske transformacije, in verjetno se mnogi bralci zavedajo, kako se dobi iz kubične parabole.

Pokličimo akord segment, ki povezuje dve različni točki grafične umetnosti.

Graf funkcije je konveksen na nekem intervalu, če se nahaja ne manj poljuben akord danega intervala. Eksperimentalna premica je konveksna na , in očitno se tukaj kateri koli del grafa nahaja NAD lastnim akord. Za ponazoritev definicije sem narisal tri črne segmente.

Funkcije grafov so konkavno na intervalu, če se nahaja ne višje kateri koli akord tega intervala. V tem primeru je pacient na vrzeli konkaven. Par rjavih segmentov prepričljivo dokazuje, da se tukaj in kateri koli del grafikona nahaja POD akord.

Točka na grafu, kjer se spremeni iz konveksne v konkavno oz konkavnost v konveksnost imenujemo prevojna točka. Imamo ga v enem izvodu (prvi primer), v praksi pa lahko prevojna točka pomeni tako zeleno piko, ki pripada sami črti, kot vrednost "x".

POMEMBNO! Pregibi v grafu morajo biti prikazani lepo in zelo gladko. Vse vrste "nepravilnosti" in "hrapavosti" so nesprejemljive. To je stvar malo vaje.

Drugi pristop k definiciji konveksnosti / konkavnosti v teoriji je podan s tangentami:

Konveksno na intervalu, kjer se nahaja graf ne višje tangenta, ki poteka nanj v poljubni točki danega intervala. Konkavno enako na intervalnem grafu - ne manj katera koli tangenta na tem intervalu.

Hiperbola je konkavna na intervalu in konveksna na:

Pri prehodu skozi izhodišče se konkavnost spremeni v konveksnost, vendar točka NE UPOŠTEVAJTE prevojna točka, saj funkcija ni določeno v njej.

Strožje trditve in izreke o temi najdete v učbeniku, prehajamo pa na bogat praktični del:

Kako najti konveksne intervale, konkavne intervale
in prevojne točke grafa?

Material je enostaven, šablonski in se strukturno ponavlja študija funkcije za ekstrem.

Konveksnost / konkavnost grafa označuje druga izpeljanka funkcije.

Naj bo funkcija dvakrat diferenciabilna na nekem intervalu. Nato:

– če je drugi odvod na intervalu, potem je graf funkcije na danem intervalu konveksen;

– če je drugi odvod na intervalu, potem je graf funkcije konkaven na danem intervalu.

Na račun znakov druge izpeljanke se prazgodovinska asociacija sprehaja po prostranstvih izobraževalnih ustanov: »-« kaže, da »vode ni mogoče vliti v graf funkcije« (izboklina),
in "+" - "daje takšno priložnost" (konkavnost).

Nujen pogoj za pregib

Če pride do prevoja v grafu funkcije v točki, to:
ali vrednost ne obstaja(Ugotovimo, preberite!).

Ta stavek pomeni, da funkcija neprekinjeno v točki in v primeru je dvakrat diferencibilen v neki svoji soseščini.

Nujnost pogoja nakazuje, da obratno ne drži vedno. Se pravi iz enakosti (oz. neobstoja vrednosti) še ne bo obstoj prevoja grafa funkcije v točki . Toda v obeh primerih pokličejo kritična točka drugega odvoda.

Zadosten pregibni pogoj

Če drugi odvod spremeni predznak, ko gre skozi točko, potem na tej točki pride do prevoja v grafu funkcije.

Prevojnih točk (primer je bil že izpolnjen) morda sploh ni in v tem smislu so nekateri osnovni vzorci indikativni. Analizirajmo drugi odvod funkcije:

Dobimo pozitivno konstantno funkcijo, tj za katero koli vrednost "x". Dejstva, ki ležijo na površini: parabola je povsod konkavna domene, ni prevojnih točk. Lahko vidimo, da negativni koeficient pri "obrne" parabolo in jo naredi konveksno (kar nam bo sporočil drugi odvod - negativna konstantna funkcija).

Eksponentna funkcija tudi konkaven na:

za katero koli vrednost "x".

V grafu seveda ni prevojnih točk.

Pregledamo graf logaritemske funkcije za konveksnost / konkavnost:

Tako je veja logaritma konveksna na intervalu . Drugi odvod je prav tako definiran na intervalu , vendar ga upoštevajte PREPOVEDANO JE, saj ta interval ni vključen v domena funkcije . Zahteva je očitna - ker tam ni logaritemskega grafa, potem seveda ni govora o kakršni koli konveksnosti / konkavnosti / pregibih.

Kot vidite, vse res zelo spominja na zgodbo o naraščanje, padanje in ekstremi funkcije. Izgleda kot jaz raziskovalni algoritem funkcijskega grafaza konveksnost, konkavnost in prisotnost pregibov:

2) Iščemo kritične vrednosti. Da bi to naredili, vzamemo drugi odvod in rešimo enačbo. Za kritične veljajo tudi točke, v katerih 2. odvod ne obstaja, vendar so vključene v domeno same funkcije!

3) Na številski premici označimo vse najdene prelomne točke in kritične točke (ne eno ne drugo se morda ne izkaže - potem vam ni treba ničesar risati (kot v preveč preprostem primeru), dovolj je, da se omejite na pisni komentar). intervalna metoda na dobljenih intervalih določimo predznake. Kot je bilo pravkar razloženo, je treba upoštevati samo tiste intervali, ki so vključeni v obseg funkcije. Sklepamo o konveksnosti/konkavnosti in prevojnih točkah grafa funkcije. Dajemo odgovor.

Poskusite ustno uporabiti algoritem za funkcije . V drugem primeru, mimogrede, obstaja primer, ko na kritični točki ni pregiba krivulje. Pa začnimo z nekoliko težjimi nalogami:

Primer 1

rešitev:
1) Funkcija je definirana in zvezna na celotni realni premici. Zelo dobro.

2) Poiščite drugi odvod. Lahko predhodno kockate, vendar je veliko bolj donosna za uporabo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:

Upoštevajte to , kar pomeni, da je funkcija nepadajoča. Čeprav to ni povezano z nalogo, je vedno priporočljivo biti pozoren na takšna dejstva.

Poiščite kritične točke drugega odvoda:

- kritična točka

3) Preverimo izpolnjevanje zadostnega pregibnega pogoja. Določimo predznake drugega odvoda na dobljenih intervalih.

Pozor! Zdaj delamo z drugo izpeljanko (in ne s funkcijo!)

Kot rezultat dobimo eno kritično točko: .

3) Na številski premici označimo dve diskontinuitetni točki, kritično točko in na dobljenih intervalih določimo predznake drugega odvoda:

Opozarjam vas na pomembno intervalna metoda, kar lahko bistveno pospeši rešitev. Druga izpeljanka se je izkazalo za zelo okorno, zato ni treba izračunati njegovih vrednosti, dovolj je narediti "oceno" za vsak interval. Izberimo na primer točko, ki pripada levemu intervalu,
in naredite zamenjavo:

Zdaj pa analizirajmo množitelje:

Dva "minusa" in "plus" dajeta torej "plus", kar pomeni, da je drugi odvod pozitiven na celotnem intervalu.

Komentirana dejanja je enostavno izvesti verbalno. Poleg tega je koristno, da množitelj v celoti zanemarimo - pozitiven je za vsak "x" in ne vpliva na predznake našega drugega odvoda.

Kakšne informacije nam je torej dala?

Odgovori: graf funkcije je konkaven na in konveksno na . Pri izvoru (to je jasno) na grafu je pregib.

Pri prehodu skozi točke tudi drugi odvod spremeni predznak, vendar se te ne štejejo za prevojne točke, saj na njih funkcija trpi. neskončne pavze.

V analiziranem primeru je prvi izvod nam pove o rasti funkcije na celotnem domene. Vedno bi bilo tako brezplačno =) Poleg tega prisotnost treh asimptota. Prejetih veliko podatkov, ki omogočajo visoko stopnjo verodostojnost predstaviti videz grafične umetnosti. Na kup je tudi funkcija čudna. Na podlagi ugotovljenih dejstev poskusite skicirati na osnutek. Slika na koncu lekcije.

Naloga za samostojno rešitev:

Primer 6

Preglejte graf funkcije glede konveksnosti, konkavnosti in poiščite prevojne točke grafa, če obstajajo.

V vzorcu ni risbe, ni pa prepovedano postaviti hipotezo;)

Material zmeljemo brez oštevilčenja točk algoritma:

Primer 7

Preglejte funkcijski graf glede konveksnosti, konkavnosti in poiščite prevojne točke, če obstajajo.

rešitev: funkcija vzdrži neskončna vrzel na točki.

Kot ponavadi je pri nas vse v redu:

Izpeljanke niso najtežje, glavna stvar je biti previden pri njihovi "frizuri".
V induciranem marafetu najdemo dve kritični točki druge izpeljanke:

Določimo predznake na dobljenih intervalih:

V točki je pregib grafa, poiščemo ordinato točke:

Pri prehodu skozi točko drugi odvod ne spremeni predznaka, zato v njem NI prevoja v grafu.

Odgovori: intervali konveksnosti: ; interval konkavnosti: ; prevojna točka: .

Razmislite končni primeri z dodatnimi ugodnostmi:

Primer 8

Poiščite intervale konveksnosti, konkavnosti in prevojnih točk grafa

rešitev: z lokacijo domene ni posebnih težav:
, in funkcija trpi diskontinuitete v točkah.

Gremo po uhojeni poti:

- kritična točka.

Določimo znake ob upoštevanju intervalov samo iz obsega funkcije:

V točki, kjer je pregib grafa, izračunamo ordinato: