Hornerjeva shema – metoda deljenja polinoma

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

na binomu $x-a$. Delati boste morali s tabelo, katere prva vrstica vsebuje koeficiente danega polinoma. Prvi element druge vrstice bo število $a$, vzeto iz binoma $x-a$:

Ko polinom n-te stopnje delimo z binomom $x-a$, dobimo polinom, katerega stopnja je za ena manjša od prvotne, tj. je enako $n-1$. Neposredno uporabo Hornerjeve sheme je najlažje prikazati s primeri.

Primer št. 1

Deli $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$ z uporabo Hornerjeve sheme.

Naredimo tabelo iz dveh vrstic: v prvo vrstico zapišemo koeficiente polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$, razvrščene po padajočih potencah spremenljivke $x$. Upoštevajte, da ta polinom ne vsebuje $x$ na prvi stopnji, tj. koeficient $x$ na prvo potenco je 0. Ker delimo z $x-1$, v drugo vrstico zapišemo ena:

Začnimo izpolnjevati prazne celice v drugi vrstici. V drugo celico druge vrstice zapišemo številko $5$ in jo preprosto premaknemo iz ustrezne celice prve vrstice:

Zapolnimo naslednjo celico po tem principu: $1\cdot 5+5=10$:

Na enak način izpolnimo četrto celico druge vrstice: $1\cdot 10+1=11$:

Za peto celico dobimo: $1\cdot 11+0=11$:

In končno, za zadnjo, šesto celico, imamo: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Problem je rešen, ostane le še, da zapišemo odgovor:

Kot lahko vidite, so števila v drugi vrstici (med ena in nič) koeficienti polinoma, dobljenega po deljenju $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$. Seveda, ker je bila stopnja prvotnega polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ enaka štiri, je stopnja nastalega polinoma $5x^3+10x^2+11x+11$ ena manj, tj. enako tri. Zadnja številka v drugi vrstici (ničla) pomeni ostanek pri deljenju polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$. V našem primeru je ostanek nič, tj. polinomi so enakomerno deljivi. Ta rezultat lahko označimo tudi kot sledi: vrednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ za $x=1$ je enaka nič.

Sklep lahko formuliramo tudi v tej obliki: ker je vrednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ pri $x=1$ enaka nič, je enota koren polinoma $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Primer št. 2

Polinom $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ razdelite na $x+3$ z uporabo Hornerjeve sheme.

Naj takoj določimo, da mora biti izraz $x+3$ predstavljen v obliki $x-(-3)$. Hornerjeva shema bo vključevala točno -3$. Ker je stopnja prvotnega polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ enaka štiri, potem kot rezultat deljenja dobimo polinom tretje stopnje:

Rezultat pomeni, da

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

V tej situaciji je ostanek pri deljenju $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ z $x+3$ 4$. Ali, kar je isto, vrednost polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ za $x=-3$ je enaka $4$. Mimogrede, to je enostavno dvakrat preveriti z neposredno zamenjavo $x=-3$ v podani polinom:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Tisti. Hornerjevo shemo lahko uporabite, če morate najti vrednost polinoma za dano vrednost spremenljivke. Če je naš cilj najti vse korenine polinoma, potem lahko Hornerjevo shemo uporabimo večkrat zapored, dokler ne izčrpamo vseh korenin, kot je razloženo v primeru št. 3.

Primer št. 3

Poiščite vse cele korene polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z uporabo Hornerjeve sheme.

Koeficienti zadevnega polinoma so cela števila, koeficient največje potence spremenljivke (tj. $x^6$) je enak ena. V tem primeru je treba celoštevilske korene polinoma iskati med delitelji prostega člena, tj. med delitelji števila 45. Za dani polinom so lahko takšni koreni števila $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ in -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Preverimo na primer številko $1$:

Kot lahko vidite, je vrednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z $x=1$ enaka $192$ (zadnja številka v drugi vrstici), in ne $0 $, zato enota ni koren tega polinoma. Ker preverjanje enega ni uspelo, preverimo vrednost $x=-1$. Za to ne bomo ustvarili nove tabele, ampak jo bomo še naprej uporabljali. št. 1 in ji dodal novo (tretjo) vrstico. Druga vrstica, v kateri je bila označena vrednost $1$, bo označena z rdečo in ne bo uporabljena v nadaljnjih razpravah.

Seveda lahko tabelo preprosto znova napišete, vendar bo ročno izpolnjevanje vzelo veliko časa. Poleg tega je lahko več številk, katerih preverjanje ne bo uspelo, in je težko vsakič napisati novo tabelo. Pri izračunu "na papirju" lahko rdeče črte preprosto prečrtamo.

Torej je vrednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pri $x=-1$ enaka nič, tj. število $-1$ je koren tega polinoma. Po delitvi polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z binomom $x-(-1)=x+1$ dobimo polinom $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, katerih koeficienti so vzeti iz tretje vrstice tabele. št. 2 (glej primer št. 1). Rezultat izračunov lahko predstavimo tudi v tej obliki:

\begin(enačba)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\konec(enačba)

Nadaljujmo z iskanjem celih korenin. Zdaj moramo poiskati korenine polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Spet celoštevilske korene tega polinoma iščemo med delitelji njegovega prostega člena, števil $45$. Poskusimo znova preveriti število $-1$. Ne bomo ustvarili nove tabele, ampak bomo še naprej uporabljali prejšnjo tabelo. št. 2, tj. Dodajmo mu še eno vrstico:

Torej je število $-1$ koren polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ta rezultat lahko zapišemo takole:

\begin(enačba)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(enačba)

Ob upoštevanju enakosti (2) lahko enakost (1) prepišemo v naslednji obliki:

\begin(enačba)\begin(poravnano) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\konec(poravnano)\konec(enačba)

Sedaj moramo poiskati korenine polinoma $x^4-22x^2+24x+45$ - seveda med delitelji njegovega prostega člena (števili $45$). Ponovno preverimo število $-1$:

Število $-1$ je koren polinoma $x^4-22x^2+24x+45$. Ta rezultat lahko zapišemo takole:

\begin(enačba)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(enačba)

Ob upoštevanju enakosti (4) prepišemo enakost (3) v naslednji obliki:

\begin(enačba)\begin(poravnano) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\konec(poravnano)\konec(enačba)

Zdaj iščemo korenine polinoma $x^3-x^2-21x+45$. Ponovno preverimo število $-1$:

Preverjanje se je končalo neuspešno. Označimo šesto vrstico rdeče in poskusimo preveriti drugo številko, na primer številko $3$:

Ostanek je nič, zato je število $3$ koren zadevnega polinoma. Torej $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Zdaj lahko enakost (5) prepišemo na naslednji način.

Diapozitiv 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - angleški matematik. Rojen v Bristolu. Tam je študiral in delal, nato pa v šolah v Bathu. Osnovna dela o algebri. Leta 1819 objavil metodo za približen izračun realnih korenin polinoma, ki se danes imenuje Ruffini-Hornerjeva metoda (to metodo so poznali Kitajci že v 13. stoletju).Shema za deljenje polinoma z binomom x-a se imenuje po Hornerju.

Diapozitiv 4

SHEMA HORNER

Metoda delitve n-ti polinom stopnje na linearnem binomu - a, ki temelji na dejstvu, da so koeficienti nepopolnega kvocienta in ostanka povezani s koeficienti deljivega polinoma in s formulami:

Diapozitiv 5

Izračuni po Hornerjevi shemi so v tabeli:

Primer 1. Deljenje Delni količnik je x3-x2+3x - 13 in ostanek je 42=f(-3).

Diapozitiv 6

Glavna prednost te metode je kompaktnost zapisa in možnost hitre razdelitve polinoma na binom. Pravzaprav je Hornerjeva shema še ena oblika zapisa metode združevanja, čeprav je za razliko od slednje povsem nevizualna. Odgovor (faktorizacija) se tu dobi sam od sebe, procesa pridobivanja pa ne vidimo. Ne bomo se ukvarjali s strogo utemeljitvijo Hornerjeve sheme, ampak bomo le pokazali, kako deluje.

Diapozitiv 7

Primer 2.

Dokažimo, da je polinom P(x)=x4-6x3+7x-392 deljiv z x-7, in poiščimo količnik deljenja. rešitev. Z uporabo Hornerjeve sheme najdemo P(7): Od tu dobimo P(7)=0, tj. ostanek pri deljenju polinoma z x-7 je enak nič in je zato polinom P(x) večkratnik (x-7).Poleg tega so števila v drugi vrstici tabele koeficienti količnik P(x), deljeno z (x-7), torej P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Diapozitiv 8

Faktoriziraj polinom x3 – 5x2 – 2x + 16.

Ta polinom ima cele koeficiente. Če je celo število koren tega polinoma, potem je to delitelj števila 16. Torej, če ima dani polinom cele korenine, so to lahko le števila ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Z neposrednim preverjanjem se prepričamo, da je število 2 koren tega polinoma, to je x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kjer je Q(x) polinom druge stopnje.

Diapozitiv 9

Dobljena števila 1, −3, −8 so koeficienti polinoma, ki ga dobimo, če prvotni polinom delimo z x – 2. To pomeni, da je rezultat deljenja: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Stopnja polinoma, ki izhaja iz deljenja, je vedno za 1 manjša od stopnje prvotnega. Torej: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas zanima to delo, prenesite polno različico.

Vrsta lekcije: Pouk osvajanja in utrjevanja osnovnega znanja.

Namen lekcije:

• Učence seznanite s konceptom korenin polinoma in jih naučite, kako jih najti. Izboljšati veščine uporabe Hornerjeve sheme za razširitev polinoma s potencami in deljenje polinoma z binomom.
• Naučite se najti korenine enačbe z uporabo Hornerjeve sheme.
• Razvijte abstraktno mišljenje.
• Spodbujajte računalniško kulturo.
• Razvoj medpredmetnih povezav.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Obvestite temo lekcije, oblikujte cilje.

2. Preverjanje domače naloge.

3. Študij novega gradiva.

Naj bo Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polinom za x stopnje n, kjer so a 0 , a 1 ,...,a n podana števila in a 0 ni enako 0. Če polinom F n (x) delimo z ostankom z binom x-a, potem je količnik (nepopolni količnik) polinom Q n-1 (x) stopnje n-1, ostanek R je število in enakost velja F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Polinom F n (x) je deljiv z binomom (x-a) samo v primeru R=0.

Bezoutov izrek: Ostanek R pri deljenju polinoma F n (x) z binomom (x-a) enaka vrednosti polinom F n (x) za x=a, tj. R=Pn(a).

Malo zgodovine. Bezoutov izrek je kljub svoji navidezni preprostosti in očitnosti eden temeljnih izrekov teorije polinomov. Ta izrek povezuje algebraične lastnosti polinomov (ki omogočajo, da se polinomi obravnavajo kot cela števila) z njihovimi funkcionalnimi lastnostmi (ki omogočajo, da se polinomi obravnavajo kot funkcije). Eden od načinov za reševanje enačb višje stopnje je faktorizacija polinoma na levi strani enačbe. Izračun koeficientov polinoma in ostanka je zapisan v obliki tabele, imenovane Hornerjeva shema.

Hornerjeva shema je algoritem za deljenje polinomov, napisan za poseben primer, ko je količnik enak binomu x–a.

Horner William George (1786 - 1837), angleški matematik. Temeljne raziskave se nanašajo na teorijo algebraične enačbe. Razvil metodo za približno rešitev enačb katere koli stopnje. Leta 1819 je uvedel pomembno metodo za algebro deljenja polinoma z binomom x - a (Hornerjeva shema).

Izpeljava splošne formule za Hornerjevo shemo.

Deljenje polinoma f(x) z ostankom z binomom (x-c) pomeni iskanje polinoma q(x) in števila r tako, da je f(x)=(x-c)q(x)+r

Zapišimo to enakost podrobno:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Izenačimo koeficiente pri istih stopinjah:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Demonstracija Hornerjevega vezja na primeru.

1. vaja. Z uporabo Hornerjeve sheme delimo polinom f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 z ostankom z binomom x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, kjer je g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 ostanek.

Razširitev polinoma na potence binoma.

S pomočjo Hornerjeve sheme razširimo polinom f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 na potence binoma (x+2).

Kot rezultat bi morali dobiti razširitev f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Hornerjeva shema se pogosto uporablja pri reševanju enačb tretje, četrte in višjih stopenj, ko je priročno razširiti polinom v binom x-a. številka a klical koren polinoma F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, če je pri x=a vrednost polinoma F n (x) je enaka nič: F n (a)=0, tj. če je polinom deljiv z binomom x-a.

Na primer, število 2 je koren polinoma F 3 (x)=3x 3 -2x-20, saj je F 3 (2)=0. to pomeni. Da faktorizacija tega polinoma vsebuje faktor x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Kateri koli polinom F n(x) stopnje n 1 ne more imeti več n prave korenine.

Vsak celoštevilski koren enačbe s celimi koeficienti je delitelj njenega prostega člena.

Če je vodilni koeficient enačbe 1, potem vse racionalne korenine enačbe, če obstajajo, so celoštevilske.

Utrjevanje preučenega gradiva.

Za utrjevanje nove snovi učence povabimo, da dopolnijo številke iz učbenika 2.41 in 2.42 (str. 65).

(2 učenca rešujeta na tabli, ostali pa, ko so se odločili, preverijo naloge v zvezku z odgovori na tabli).

Povzemanje.

Ko razumemo strukturo in načelo delovanja Hornerjeve sheme, jo lahko uporabimo tudi pri pouku računalništva, ko se obravnava vprašanje pretvorbe celih števil iz decimalnega številskega sistema v binarni sistem in obratno. Osnova za prehod iz enega številskega sistema v drugega je naslednji splošni izrek

Izrek. Za pretvorbo celega števila Ap od str-arni številski sistem v osnovni številski sistem d potrebno Ap zaporedno delimo z ostankom po številu d, zapisano v isti str-arnega sistema, dokler dobljeni količnik ne postane enak nič. Ostanki pri deljenju bodo d- številske številke oglas, od najmlajše do najstarejše kategorije. Vsa dejanja je treba izvesti v str-arni številski sistem. Za moške to pravilo priročno le takrat, ko str= 10, tj. pri prevajanju od decimalni sistem. Kar zadeva računalnik, je nasprotno, zanj je "bolj priročno" izvajati izračune binarni sistem. Zato se za pretvorbo "2 v 10" uporablja zaporedno deljenje z deset v dvojiškem sistemu, "10 v 2" pa je seštevanje potenc števila deset. Za optimizacijo izračunov postopka "10 v 2" računalnik uporablja Hornerjevo ekonomično računalniško shemo.

Domača naloga. Predlaga se izpolnitev dveh nalog.

1. Z uporabo Hornerjeve sheme delite polinom f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 z binomom (x-3).

2. Poiščite cele korene polinoma f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (ob upoštevanju, da je vsak celoštevilski koren enačbe s celimi koeficienti delitelj njenega prostega člena)

Literatura.

1. Kurosh A.G. "Tečaj višje algebre."
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. in drugi 10. razred “Algebra in začetki matematične analize.”
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Pri reševanju enačb in neenačb je pogosto treba faktorizirati polinom s stopnjo tri ali več. V tem članku si bomo ogledali, kako to najlažje storiti.

Kot ponavadi se za pomoč obrnemo na teorijo.

Bezoutov izrek navaja, da je ostanek pri deljenju polinoma z binomom .

Toda za nas ni pomemben sam izrek, ampak posledica tega:

Če je število koren polinoma, potem je polinom deljiv z binomom brez ostanka.

Soočeni smo z nalogo, da nekako najdemo vsaj en koren polinoma, nato pa polinom delimo z , kjer je koren polinoma. Kot rezultat dobimo polinom, katerega stopnja je za ena manjša od stopnje prvotnega. In potem, če je potrebno, lahko postopek ponovite.

Ta naloga je razdeljena na dvoje: kako najti koren polinoma in kako polinom deliti z binomom.

Oglejmo si te točke podrobneje.

1. Kako najti koren polinoma.

Najprej preverimo, ali sta števili 1 in -1 korenini polinoma.

Tu nam bodo v pomoč naslednja dejstva:

Če je vsota vseh koeficientov polinoma enaka nič, potem je število koren polinoma.

Na primer, v polinomu je vsota koeficientov nič: . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.

Če je vsota koeficientov polinoma pri sodih potencah enaka vsoti koeficientov pri lihih potencah, potem je število koren polinoma. Prosti člen se šteje za koeficient za sodo stopnjo, saj je , a sodo število.

Na primer, v polinomu je vsota koeficientov za sode potence: , vsota koeficientov za lihe potence pa je: . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.

Če niti 1 niti -1 nista korena polinoma, gremo naprej.

Za zmanjšan polinom stopnje (to je polinom, pri katerem je vodilni koeficient - koeficient at - enak enoti) velja formula Vieta:

Kje so korenine polinoma.

Obstajajo tudi Vieta formule za preostale koeficiente polinoma, vendar nas zanima ta.

Iz te formule Vieta sledi, da če so korenine polinoma cela števila, potem so delitelji njegovega prostega člena, ki je prav tako celo število.

Na podlagi tega, prosti člen polinoma moramo razložiti na faktorje in zaporedno od najmanjšega do največjega preveriti, kateri izmed faktorjev je koren polinoma.

Razmislite na primer o polinomu

Delitelji prostega člena: ; ; ;

Vsota vseh koeficientov polinoma je enaka , torej število 1 ni koren polinoma.

Vsota koeficientov za sode potence:

Vsota koeficientov za lihe potence:

Zato tudi število -1 ni koren polinoma.

Preverimo, ali je število 2 koren polinoma: torej je število 2 koren polinoma. To pomeni, da je po Bezoutovem izreku polinom deljiv z binomom brez ostanka.

2. Kako polinom razdeliti na binom.

Polinom lahko s stolpcem razdelimo na binom.

Polinom razdelite na binom z uporabo stolpca:

Obstaja še en način za delitev polinoma z binomom - Hornerjeva shema.

Oglejte si ta video, da boste razumeli kako deliti polinom z binomom s stolpcem in z uporabo Hornerjeve sheme.

Opažam, da če pri deljenju s stolpcem v prvotnem polinomu manjka neka stopnja neznanke, na njeno mesto zapišemo 0 - enako kot pri sestavljanju tabele za Hornerjevo shemo.

Torej, če moramo polinom deliti z binomom in kot rezultat delitve dobimo polinom, potem lahko poiščemo koeficiente polinoma s pomočjo Hornerjeve sheme:

Lahko tudi uporabimo Hornerjeva shema da bi preverili, ali je dano število koren polinoma: če je število koren polinoma, potem je ostanek pri deljenju polinoma z enak nič, to je v zadnjem stolpcu druge vrstice Hornerjev diagram dobimo 0.

S Hornerjevo shemo »ubijemo dve muhi na en mah«: hkrati preverimo, ali je število koren polinoma in ta polinom delimo z binomom.

Primer. Reši enačbo:

1. Zapišimo delitelje prostega člena in med delitelji prostega člena poiščimo korenine polinoma.

Delitelji 24:

2. Preverimo, ali je število 1 koren polinoma.

Vsota koeficientov polinoma, torej je število 1 koren polinoma.

3. Prvotni polinom razdeli na binom s Hornerjevo shemo.

A) Zapišimo koeficiente prvotnega polinoma v prvo vrstico tabele.

Ker vsebni člen manjka, v stolpec tabele, v katerega naj bo zapisan koeficient, vpišemo 0. Na levi vpišemo najdeni koren: število 1.

B) Izpolnite prvo vrstico tabele.

V zadnjem stolpcu smo pričakovano dobili ničlo, prvotni polinom smo delili z binomom brez ostanka. Koeficienti polinoma, ki izhajajo iz deljenja, so prikazani modro v drugi vrstici tabele:

Preprosto je preveriti, da števili 1 in -1 nista korena polinoma

B) Nadaljujmo tabelo. Preverimo, ali je število 2 koren polinoma:

Torej stopnja polinoma, ki ga dobimo z deljenjem z ena manjšo stopnjo prvotnega polinoma, zato je število koeficientov in število stolpcev za eno manj.

V zadnjem stolpcu smo dobili -40 - število, ki ni enako nič, zato je polinom deljiv z binomom z ostankom, število 2 pa ni koren polinoma.

C) Preverimo, ali je število -2 koren polinoma. Ker prejšnji poskus ni uspel, bom v izogib zmedi s koeficienti izbrisal vrstico, ki ustreza temu poskusu:

Super! Kot ostanek smo dobili ničlo, zato smo polinom razdelili na binom brez ostanka, torej je število -2 koren polinoma. Koeficienti polinoma, ki ga dobimo z deljenjem polinoma z binomom, so v tabeli označeni z zeleno barvo.

Kot rezultat deljenja dobimo kvadratni trinom , katerega korenine lahko zlahka najdemo z uporabo Vietovega izreka:

Torej, korenine izvirne enačbe so:

{}

Odgovor: ( }

Cilji lekcije:

• učence naučiti reševati enačbe višje stopnje z uporabo Hornerjeve sheme;
• razvijati sposobnost dela v parih;
• ustvariti v povezavi z glavnimi deli tečaja osnovo za razvoj sposobnosti učencev;
• pomagati študentu oceniti svoj potencial, razviti zanimanje za matematiko, sposobnost razmišljanja in govoriti o temi.

Oprema: karte za skupinsko delo, plakat s Hornerjevim diagramom.

Učna metoda: predavanje, zgodba, razlaga, izvajanje vadbenih vaj.

Oblika nadzora: preverjanje samostojno reševanje nalog, samostojno delo.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek

2. Posodabljanje znanja učencev

Kateri izrek vam omogoča, da ugotovite, ali je število koren dane enačbe (formulirajte izrek)?

Bezoutov izrek. Ostanek deljenja polinoma P(x) z binomom x-c je enako P(c), se število c imenuje koren polinoma P(x), če je P(c)=0. Izrek omogoča, da brez izvajanja operacije deljenja ugotovimo, ali je dano število koren polinoma.

Katere izjave olajšajo iskanje korenin?

a) Če je vodilni koeficient polinoma enak ena, potem je treba korene polinoma iskati med delitelji prostega člena.

b) Če je vsota koeficientov polinoma 0, potem je eden od korenov 1.

c) Če je vsota koeficientov na sodih mestih enaka vsoti koeficientov na lihih mestih, je eden od korenov enak -1.

d) Če so vsi koeficienti pozitivni, potem so korenine polinoma negativna števila.

e) Polinom lihe stopnje ima vsaj en pravi koren.

3. Učenje nove snovi

Pri reševanju celotnih algebrskih enačb morate najti vrednosti korenin polinomov. To operacijo je mogoče bistveno poenostaviti, če se izračuni izvedejo s posebnim algoritmom, imenovanim Hornerjeva shema. To vezje je poimenovano po angleškem znanstveniku Williamu Georgeu Hornerju. Hornerjeva shema je algoritem za izračun količnika in ostanka deljenja polinoma P(x) z x-c. Na kratko kako deluje.

Naj bo podan poljuben polinom P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Če ta polinom delimo z x-c, ga predstavimo v obliki P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Delni g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, kjer je in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Ostanek r(x)= st n-1 +a n. Ta metoda izračuna se imenuje Hornerjeva shema. Beseda "shema" v imenu algoritma je posledica dejstva, da je njegova izvedba običajno oblikovana na naslednji način. Najprej narišite tabelo 2(n+2). V spodnjo levo celico zapišite število c, v zgornjo vrstico pa koeficiente polinoma P(x). V tem primeru ostane zgornja leva celica prazna.

	v 0 =a 0	v 1 =st 1 +a 1	v 2 = sv 1 + A 2		v n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Število, za katero se po izvedbi algoritma izkaže, da je zapisano v spodnji desni celici, je ostanek deljenja polinoma P(x) z x-c. Ostala števila v 0, v 1, v 2,... v spodnji vrstici so koeficienti količnika.

Na primer: polinom P(x)= x 3 -2x+3 delite z x-2.

Dobimo, da je x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Utrjevanje preučenega gradiva

Primer 1: Razčlenimo polinom P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 na faktorje s celimi koeficienti.

Cele korene iščemo med delitelji prostega člena -1 : 1; -1. Naredimo tabelo:

X = -1 – koren

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Preverimo 1/2.

					X=1/2 - koren

Zato lahko polinom P(x) predstavimo v obliki

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Primer 2: Rešite enačbo 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Ker je vsota koeficientov polinoma, zapisanega na levi strani enačbe, enaka nič, je eden od korenov 1. Uporabimo Hornerjevo shemo:

						X=1 - koren

Dobimo P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Korene bomo iskali med delitelji prostega člena 2.

Ugotovili smo, da ni več nedotaknjenih korenin. Preverimo 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - koren

Odgovor: 1; -1/2.

Primer 3: Rešite enačbo 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Korene te enačbe bomo iskali med delitelji prostega člena 5 : 1;-1;5;-5. x=1 je koren enačbe, saj je vsota koeficientov enaka nič. Uporabimo Hornerjevo shemo:

Predstavimo enačbo kot produkt treh faktorjev: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Odločanje kvadratna enačba 5x 2 -7x+5=0, dobili smo D=49-100=-51, korenin ni.

Kartica 1

1. Razčlenimo polinom na faktorje: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Rešite enačbo: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

kartica 2

1. Razčlenimo polinom: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Rešite enačbo: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kartica 3

1. Razračunaj na: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Rešite enačbo: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kartica 4

1. Razračunajte na: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Rešite enačbo: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Povzemanje

Preverjanje znanja pri reševanju v parih poteka v razredu s prepoznavanjem načina dejanja in imena odgovora.

Domača naloga:

Reši enačbe:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatura

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra in začetki analize, 10. razred ( poglobljena študija Matematika): Razsvetljenje, 2005.
2. U.I. Saharčuk, L.S. Sagatelova, Rešitev enačb višjih stopenj: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gaškov, Številski sistemi in njihova uporaba.