Poglejmo enega izmed njih najpomembnejše teme v informatiki - . IN šolski kurikulum razkrita je dokaj »skromno«, najverjetneje zaradi pomanjkanja ur. Znanje o tej temi, še posebej o prevod številskih sistemov, so predpogoj za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita in vpis na univerze na ustreznih fakultetah. V nadaljevanju podrobno obravnavamo pojme, kot je npr pozicijski in nepozicijski številski sistemi, podani so primeri teh številskih sistemov, predstavljena so pravila za pretvorbo celih decimalnih števil, pravih decimalnih ulomkov in mešanih decimalnih števil v kateri koli drug številski sistem, pretvorbo števil iz poljubnega številskega sistema v decimalno, pretvorbo iz osmiškega in šestnajstiškega številskega sistema v dvojiško število. sistem. Na izpitih v velike količine Na tej temi so težave. Sposobnost njihovega reševanja je ena od zahtev za prosilce. Kmalu: Za vsako temo razdelka, poleg podrobnega teoretičnega gradiva, skoraj vse možne možnosti naloge Za samostojno učenje. Poleg tega boste imeli možnost popolnoma brezplačno prenesti iz storitve gostovanja datotek pripravljene podrobne rešitve za te težave, ki ponazarjajo različne načine dobili pravilen odgovor.

pozicijski številski sistemi.

Nepozicijski številski sistemi- številski sistemi, v katerih kvantitativna vrednost števke ni odvisna od njene lokacije v številu.

Nepozicijski številski sistemi vključujejo na primer rimski, kjer so namesto številk latinične črke.

jaz	1 (ena)
V	5 (pet)
X	10 (deset)
L	50 (petdeset)
C	100 (sto)
D	500 (petsto)
M	1000 (tisoč)

Tukaj črka V pomeni 5, ne glede na lokacijo. Vendar velja omeniti, da čeprav je rimski številski sistem klasičen primer nepozicijskega številskega sistema, ni popolnoma nepozicijski, ker Od tega se odšteje manjše število pred večjim:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

pozicijski številski sistemi.

Pozicijski številski sistemi- številski sistemi, v katerih je kvantitativna vrednost števke odvisna od njene lokacije v številu.

Na primer, če govorimo o decimalnem številskem sistemu, potem v številki 700 številka 7 pomeni "sedemsto", vendar ista številka v številki 71 pomeni "sedem desetin", v številki 7020 pa "sedem tisoč" .

Vsak pozicijski številski sistem ima svoje osnova. Za osnovo izberemo naravno število, večje ali enako dve. Je enako številu števk, uporabljenih v danem številskem sistemu.

Na primer:
• Binarno- pozicijski številski sistem z osnovo 2.
• Kvartar- pozicijski številski sistem z osnovo 4.
• Petkratno- pozicijski številski sistem z osnovo 5.
• osmiško- pozicijski številski sistem z osnovo 8.
• Šestnajstiško- pozicijski številski sistem z osnovo 16.

Za uspešno reševanje nalog na temo "Številski sistemi" mora učenec na pamet poznati korespondenco binarnih, decimalnih, oktalnih in šestnajstiških števil do 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Koristno je vedeti, kako so števila pridobljena v teh številskih sistemih. To lahko ugibate v osmiškem, šestnajstiškem, ternarnem in drugih pozicijski številski sistemi vse se zgodi na enak način kot decimalni sistem, ki smo ga vajeni:

Številu se doda ena in dobi se novo število. Če številka enot postane enaka osnovištevilski sistem, število desetic povečamo za 1 itd.

Ta »prehod enega« je tisto, kar prestraši večino študentov. Pravzaprav je vse precej preprosto. Do prehoda pride, če številka enote postane enaka številska osnova, povečamo število desetic za 1. Mnogi, ki se spomnijo dobrega starega decimalnega sistema, so takoj zmedeni glede števk v tem prehodu, ker so decimalne in na primer binarne desetice različne stvari.

Zato iznajdljivi učenci razvijejo »svoje metode« (presenetljivo ... delujoče) pri izpolnjevanju na primer tabel resničnosti, katerih prvi stolpci (vrednosti spremenljivk) so pravzaprav zapolnjeni z binarnimi števili v naraščajočem vrstnem redu.

Na primer, poglejmo vnos številk osmiški sistem: Prvemu številu (0) dodamo 1, dobimo 1. Nato 1 prištejemo 1, dobimo 2 itd. na 7. Če 7 prištejemo ena, dobimo število, ki je enako osnovi številskega sistema, tj. 8. Nato morate desetice povečati za eno (dobimo osmiško desetico - 10). Sledijo očitno številke 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

Pravila za pretvorbo iz enega številskega sistema v drugega.

1 Pretvarjanje celih decimalnih števil v kateri koli drug številski sistem.

Število je treba deliti z nova osnova številskega sistema. Prvi ostanek deljenja je prva manjša cifra novega števila. Če je količnik deljenja manjši ali enak novi osnovi, ga je treba (količnik) ponovno deliti z novo osnovo. Z deljenjem moramo nadaljevati, dokler ne dobimo količnika, ki je manjši od nove osnove. To je najvišja številka nove številke (zapomniti si morate, da so na primer v šestnajstiškem sistemu po 9 črke, tj. Če je ostanek 11, ga morate zapisati kot B).

Primer ("deljenje z vogalom"): Pretvorimo število 173 10 v osmiški številski sistem.

Tako je 173 10 = 255 8

2 Pretvorba običajnih decimalnih ulomkov v kateri koli drug številski sistem.

Število je treba pomnožiti z novo osnovo številskega sistema. Števka, ki je postala celoštevilski del, je najvišja številka ulomka novega števila. da dobimo naslednjo števko, je treba delni del nastalega produkta ponovno pomnožiti z novo osnovo številskega sistema, dokler ne pride do prehoda na cel del. Z množenjem nadaljujemo, dokler ulomek ni enak nič oziroma dokler ne dosežemo natančnosti, določene v nalogi (»... izračunaj z natančnostjo npr. dveh decimalnih mest«).

Primer: Pretvorimo število 0,65625 10 v osmiški številski sistem.

Kalkulator vam omogoča pretvarjanje celih in ulomkov iz enega številskega sistema v drugega. Osnova številskega sistema ne sme biti manjša od 2 in večja od 36 (10 števk in 26 latinske črke konec koncev). Dolžina številk ne sme presegati 30 znakov. Vstopiti ulomkov uporabite simbol. ali,. Če želite pretvoriti število iz enega sistema v drugega, vnesite prvotno število v prvo polje, osnovo izvirnega številskega sistema v drugo in osnovo številskega sistema, v katerega želite pretvoriti število v tretje polje, nato kliknite gumb "Pridobi zapis".

Originalna številka napisano v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti številski sistem.

Želim dobiti vpisano številko 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti številski sistem.

Pridobite vstop

Prevodi končani: 1237182

Številski sistemi

Številčni sistemi so razdeljeni na dve vrsti: pozicijski in ne pozicijski. Uporabljamo arabski sistem, je pozicijski, obstaja pa tudi rimski sistem - ni pozicijski. V pozicijskih sistemih položaj števke v številu enolično določa vrednost tega števila. To je enostavno razumeti, če pogledamo neko številko kot primer.

Primer 1. Vzemimo število 5921 v decimalnem številskem sistemu. Oštevilčimo številko od desne proti levi, začenši z nič:

Število 5921 lahko zapišemo v naslednji obliki: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Število 10 je značilnost, ki določa številski sistem. Vrednosti položaja danega števila se vzamejo kot potence.

Primer 2. Upoštevajte resnično decimalno število 1234.567. Oštevilčimo ga od ničelnega položaja števila od decimalne vejice levo in desno:

Število 1234,567 lahko zapišemo v naslednji obliki: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega

večina na preprost način pretvorba števila iz enega številskega sistema v drugega je, da najprej pretvorite število v decimalni številski sistem, nato pa dobljeni rezultat v zahtevani številski sistem.

Pretvarjanje števil iz poljubnega številskega sistema v decimalni številski sistem

Za pretvorbo števila iz poljubnega številskega sistema v decimalni je dovolj, da oštevilčimo njegove števke, začenši z ničlo (števka levo od decimalne vejice) podobno kot v primeru 1 ali 2. Poiščemo vsoto zmnožkov števk števila z osnovo številskega sistema na potenco položaja te števke:

1. Pretvorite število 1001101.1101 2 v decimalni številski sistem.
rešitev: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
odgovor: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Število E8F.2D 16 pretvorite v decimalni številski sistem.
rešitev: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
odgovor: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Pretvarjanje števil iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem

Za pretvorbo števil iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem je treba ločeno pretvoriti cele in delne dele števila.

Pretvarjanje celega dela števila iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem

Celo število se pretvori iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem tako, da se celoštevilski del števila zaporedoma deli z osnovo številskega sistema, dokler ne dobimo celotnega ostanka, ki je manjši od osnove številskega sistema. Rezultat prevajanja bo zapis ostanka, začenši z zadnjim.

3. Število 273 10 pretvorite v osmiški številski sistem.
rešitev: 273 / 8 = 34 in ostanek 1. 34 / 8 = 4 in ostanek 2. 4 je manj kot 8, torej je izračun končan. Zapis iz bilanc bo izgledal takole: 421
Pregled: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultat je enak. To pomeni, da je bil prevod opravljen pravilno.
odgovor: 273 10 = 421 8

Razmislimo o prevodu navadnih decimalnih ulomkov v različne številske sisteme.

Pretvarjanje ulomkov števila iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem

Naj vas spomnimo, da pravilno decimalno klical realno število z nič celim delom. Če želite takšno številko pretvoriti v številski sistem z osnovo N, morate zaporedno pomnožiti številko z N, dokler delni del ne gre na nič ali ne dobite zahtevanega števila števk. Če pri množenju dobimo število s celim delom, ki ni nič, se celi del ne upošteva naprej, saj se zaporedno vnese v rezultat.

4. Pretvorite število 0,125 10 v dvojiški številski sistem.
rešitev: 0,125·2 = 0,25 (0 je del celega števila, ki bo postal prva številka rezultata), 0,25·2 = 0,5 (0 je druga številka rezultata), 0,5·2 = 1,0 (1 je tretja številka). rezultata in ker je ulomek enak nič, je prevod končan).
odgovor: 0.125 10 = 0.001 2

Metode za pretvorbo števil iz enega številskega sistema v drugega.

Pretvorba števil iz enega pozicijskega številskega sistema v drugega: pretvorba celih števil.

Če želite pretvoriti celo število iz enega številskega sistema z osnovo d1 v drugega z osnovo d2, morate to število in dobljene količnike zaporedno deliti z osnovo d2 novega sistema, dokler ne dobite količnika, ki je manjši od osnove d2. Zadnji količnik je najvišja števka števila v nov sistemštevila z osnovo d2, števila za njim pa so ostanki deljenja, zapisani v obratnem vrstnem redu od prejema. Izvedite aritmetične operacije v številskem sistemu, v katerem je zapisano število, ki se prevaja.

Primer 1. Število 11(10) pretvorite v dvojiški številski sistem.

Odgovor: 11(10)=1011(2).

Primer 2. Število 122(10) pretvorite v osmiški številski sistem.

Odgovor: 122(10)=172(8).

Primer 3. Število 500(10) pretvorite v šestnajstiški številski sistem.

Odgovor: 500(10)=1F4(16).

Pretvorba števil iz enega pozicijskega številskega sistema v drugega: pretvorba pravih ulomkov.

Za pretvorbo pravilnega ulomka iz številskega sistema z osnovo d1 v sistem z osnovo d2 je treba zaporedno pomnožiti prvotni ulomek in ulomke dobljenih produktov z osnovo novega številskega sistema d2. Pravilni ulomek števila v novem številskem sistemu z osnovo d2 se oblikuje v obliki celih delov nastalih produktov, začenši s prvim.
Če prevajanje povzroči ulomek v obliki neskončnega ali divergentnega niza, je postopek mogoče zaključiti, ko je dosežena zahtevana natančnost.

Pri prevajanju mešanih števil je treba ločeno prevesti cele in ulomke v nov sistem po pravilih za prevajanje celih števil in pravih ulomkov, nato pa oba rezultata združiti v eno mešano število v novem številskem sistemu.

Primer 1. Pretvorite število 0,625(10) v dvojiški številski sistem.

Odgovor: 0,625(10)=0,101(2).

Primer 2. Število 0,6(10) pretvorite v osmiški številski sistem.

Odgovor: 0,6(10)=0,463(8).

Primer 2. Število 0,7(10) pretvorite v šestnajstiški številski sistem.

Odgovor: 0,7(10)=0,B333(16).

Pretvarjanje dvojiških, osmiških in šestnajstiških števil v decimalni številski sistem.

Če želite pretvoriti število iz P-arnega sistema v decimalno, morate uporabiti naslednjo formulo za razširitev:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Primer 1. Število 101,11(2) pretvorite v decimalni številski sistem.

Odgovor: 101,11(2)= 5,75(10) .

Primer 2. Število 57,24(8) pretvorite v decimalni številski sistem.

Odgovor: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Primer 3. Število 7A,84(16) pretvorite v decimalni številski sistem.

Odgovor: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Pretvarjanje osmiških in šestnajstiških števil v binarni številski sistem in obratno.

Za pretvorbo številke iz oktalnega številskega sistema v dvojiški je treba vsako števko tega števila zapisati kot trimestno binarno število (triado).

Primer: zapišite število 16,24(8) v dvojiškem številskem sistemu.

Odgovor: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

Če želite binarno število pretvoriti nazaj v osmiški številski sistem, morate prvotno število razdeliti na triade levo in desno od decimalne vejice in vsako skupino predstaviti s števko v osmiškem številskem sistemu. Skrajne nepopolne trizvoke dopolnimo z ničlami.

Primer: število 1110.0101(2) zapišite v osmiškem številskem sistemu.

Odgovor: 1110,0101(2)= 16,24(8) .

Če želite pretvoriti število iz šestnajstiškega številskega sistema v binarni sistem, morate vsako števko tega števila zapisati kot štirimestno binarno število (tetrad).

Primer: zapišite število 7A,7E(16) v dvojiškem številskem sistemu.


Odgovor: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Opomba: začetne ničle na levi pri celih in na desni pri ulomkih niso zapisane.

Če želite binarno število pretvoriti nazaj v šestnajstiški številski sistem, morate prvotno število razdeliti na tetrade levo in desno od decimalne vejice in vsako skupino predstaviti s števko v šestnajstiškem številskem sistemu. Skrajne nepopolne trizvoke dopolnimo z ničlami.

Primer: število 1111010.0111111(2) zapišite v šestnajstiškem številskem sistemu.

Če želite hitro pretvoriti številke iz decimalnega številskega sistema v binarni sistem, morate dobro poznati številke "2 na potenco". Na primer, 2 10 =1024 itd. To vam bo omogočilo, da nekatere primere prevodov rešite dobesedno v nekaj sekundah. Ena od teh nalog je Problem A1 iz predstavitve USE 2012. Seveda si lahko dolgo in dolgočasno delite število z "2". Vendar se je bolje odločiti drugače in tako prihraniti dragoceni čas na izpitu.

Metoda je zelo preprosta. Njegovo bistvo je naslednje: Če je število, ki ga je treba pretvoriti iz decimalnega sistema, enako številu "2 na potenco", potem to število v binarnem sistemu vsebuje število ničel, ki je enako moči. Pred temi ničlami ​​dodamo »1«.

• Pretvorimo število 2 iz decimalnega sistema. 2=2 1 . Zato v dvojiškem sistemu število vsebuje 1 ničlo. Spredaj postavimo "1" in dobimo 10 2.
• Pretvorimo 4 iz decimalnega sistema. 4=2 2 . Zato v dvojiškem sistemu število vsebuje 2 ničli. Spredaj postavimo "1" in dobimo 100 2.
• Pretvorimo 8 iz decimalnega sistema. 8=2 3 . Zato v dvojiškem sistemu število vsebuje 3 ničle. Spredaj postavimo "1" in dobimo 1000 2.

Podobno velja za druga števila "2 na potenco".

Če je številka, ki jo je treba prevesti, manjše število"2 na potenco" za 1, potem je v binarnem sistemu to število sestavljeno samo iz enot, katerih število je enako moči.

• Pretvorimo 3 iz decimalnega sistema. 3=2 2 -1. Zato v dvojiškem sistemu število vsebuje 2 enici. Dobimo 112.
• Pretvorimo 7 iz decimalnega sistema. 7=2 3 -1. Zato v dvojiškem sistemu število vsebuje 3 enice. Dobimo 1112.

Na sliki kvadratki označujejo binarno predstavitev števila, rožnata barva na levi pa decimalno predstavitev.

Prevod je podoben za druga števila "2 na potenco-1".

Jasno je, da je prevajanje števil od 0 do 8 mogoče opraviti hitro ali z deljenjem ali preprosto vedeti na pamet njihovo predstavitev v dvojiškem sistemu. Te primere sem navedel, da boste razumeli načelo ta metoda in ga uporabljal za prevajanje bolj "impresivnih števil", na primer za prevajanje števil 127,128, 255, 256, 511, 512 itd.

Na takšne težave lahko naletite, ko morate prevesti številko, ne enako številu"2 na potenco", vendar blizu tega. Lahko je večji ali manjši od 2 na potenco. Razlika med prevedeno številko in številko "2 na potenco" mora biti majhna. Na primer do 3. Predstavitev števil od 0 do 3 v dvojiškem sistemu je treba le poznati brez prevajanja.

Če je število večje od , rešite takole:

Najprej pretvorimo število "2 na potenco" v binarni sistem. Nato mu dodamo razliko med številom "2 na potenco" in številom, ki se prevaja.

Na primer, pretvorimo 19 iz decimalnega sistema. Za 3 je večje od števila "2 na potenco".

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Če je število manjše od števila "2 na potenco", je bolj priročno uporabiti število "2 na potenco-1". Rešujemo takole:

Najprej pretvorimo število "2 na potenco-1" v binarni sistem. In potem od tega odštejemo razliko med številom "2 na potenco 1" in številom, ki ga prevajamo.

Na primer, pretvorimo 29 iz decimalnega sistema. Večje je od števila "2 na potenco-1" za 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Če je razlika med številom, ki se prevaja, in številom "2 na potenco" večja od treh, potem lahko število razdelite na njegove komponente, vsak del pretvorite v binarni sistem in seštejete.

Pretvorite na primer število 528 iz decimalnega sistema. 528=512+16. 512 in 16 prevajamo ločeno.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Zdaj pa ga dodamo v stolpec:

Pozdravljeni, obiskovalec spletnega mesta! Še naprej preučujemo protokol omrežnega sloja IP, natančneje njegovo različico IPv4. Na prvi pogled tema dvojiška števila in dvojiški številski sistem nima nobene zveze s protokolom IP, a če se spomnimo, da računalniki delujejo z ničlami ​​in enicami, potem se izkaže, da je binarni sistem in njegovo razumevanje osnova osnov, ki jih potrebujemo naučite se pretvoriti števila iz binarnih v decimalna in obratno: decimalno v dvojiško. To nam bo pomagalo bolje razumeti protokol IP, pa tudi princip delovanja omrežnih mask spremenljive dolžine. Začnimo!

Če vas tema računalniških omrežij zanima, si lahko preberete še druge posnetke tečajev.

4.4.1 Uvod

Preden začnemo, je vredno pojasniti, zakaj omrežni inženir potrebuje to temo. Čeprav ste se lahko med pogovorom prepričali o njegovi nujnosti, lahko rečete, da obstajajo kalkulatorji IP, ki močno olajšajo nalogo dodeljevanja naslovov IP, izračunavanja potrebnih podomrežnih/omrežnih mask ter določanja številke omrežja in številke gostitelja v naslovu IP. Tako je, vendar kalkulator IP ni vedno pri roki, to je razlog številka ena. Razlog številka dva je, da vam na izpitih Cisco ne dajo IP kalkulatorja in to je to. pretvorbo naslovov IP iz decimalnih v binarne boste morali izvesti na listu papirja, in ni tako malo vprašanj, kjer se to zahteva pri izpitu/izpitih za pridobitev CCNA certifikata, škoda bi bilo, če bi zaradi take malenkosti izpit padel. In končno, razumevanje binarnega številskega sistema vodi do boljšega razumevanja principa delovanja.

Na splošno se od omrežnega inženirja ne zahteva, da zna v glavi pretvoriti števila iz binarnih v decimalna in obratno. Še več, redkokdo zna to narediti miselno, v to kategorijo spadajo predvsem učitelji različnih predmetov o računalniških omrežjih, saj se s tem nenehno srečujejo vsak dan. Toda s kosom papirja in pisalom bi se morali naučiti prevajati.

4.4.2 Decimalne števke in številke, števke v številkah

Začnimo preprosto in se pogovorimo o binarnih cifrah in številkah, saj veste, da so številke in številke dve različni stvari. Številka je poseben simbol za oznako, številka pa je abstraktni zapis za količino. Da imamo na roki pet prstov, lahko na primer zapišemo z rimskimi in arabskimi številkami: V in 5. V tem primeru je pet hkrati število in cifra. In, na primer, za pisanje številke 20 uporabljamo dve števki: 2 in 0.

Skupaj imamo v decimalnem številskem sistemu deset števk oziroma deset simbolov (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), s kombiniranjem katerih lahko zapišemo različna števila. Katero načelo se ravnamo pri uporabi decimalnega številskega sistema? Da, vse je zelo preprosto, deset dvignemo na eno ali drugo potenco, na primer, vzemimo številko 321. Kako se lahko zapiše drugače, takole: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Tako se izkaže, da številka 321 predstavlja tri števke:

1. Število 3 pomeni najpomembnejše mesto oziroma v tem primeru mesto stotin, sicer pa njihovo število.
2. Število 2 je na mestu desetic, imamo dve desetici.
3. Številka ena se nanaša na najmanj pomembno števko.

Se pravi, v tem vnosu dvojka ni le dvojka, ampak dve desetici ali dvakrat desetica. In tri ni samo tri, ampak trikrat sto. Dobimo naslednjo odvisnost: enota vsake naslednje števke je desetkrat večja od enote prejšnje, ker je 300 trikrat sto. Digresija glede decimalnega številskega sistema je bila potrebna za lažje razumevanje binarnega sistema.

4.4.3 Dvojiške števke in števila ter njihov zapis

V binarnem številskem sistemu sta samo dve števki: 0 in 1. Zato je zapis števila v dvojiškem sistemu pogosto veliko večji kot v decimalnem sistemu. Z izjemo števil 0 in 1 je nič v dvojiškem številskem sistemu enaka nič v decimalnem številskem sistemu, enako velja za ena. Včasih, da ne pride do zamenjave, v katerem številskem sistemu je številka zapisana, se uporabljajo podindeksi: 267 10, 10100 12, 4712 8. Številka v podindeksu označuje številski sistem.

Simbola 0b in &(ampersand) lahko uporabite za pisanje binarnih števil: 0b10111, &111. Če v decimalnem številskem sistemu za izgovorjavo števila 245 uporabimo to konstrukcijo: dvesto petinštirideset, potem moramo v dvojiškem številskem sistemu za poimenovanje števila izgovoriti števko iz vsake števke, na primer številka 1100 v dvojiškem številskem sistemu ne bi smela biti izgovorjena kot tisoč sto, ampak kot ena, ena, nič, nič. Poglejmo si pisanje števil od 0 do 10 v dvojiškem številskem sistemu:

Mislim, da bi morala biti logika zdaj jasna. Če smo imeli v decimalnem številskem sistemu za vsako števko na voljo deset možnosti (od 0 do vključno 9), potem imamo v dvojiškem številskem sistemu v vsaki od števk binarnega števila le dve možnosti: 0 ali 1.

Za delo z naslovi IP in podomrežnimi maskami potrebujemo le naravna števila v dvojiškem številskem sistemu, čeprav dvojiški sistem omogoča pisanje ulomkov in negativna števila, vendar ga ne potrebujemo.

4.4.4 Pretvorba števil iz decimalnih v dvojiška

Oglejmo si to bolje kako pretvoriti število iz decimalne v dvojiško. In tukaj je vse pravzaprav zelo, zelo preprosto, čeprav je težko razložiti z besedami, zato ga bom dal takoj primer pretvorbe števil iz decimalnih v binarne. Vzemimo število 61, da ga pretvorimo v dvojiški sistem, moramo to število deliti z dve in videti, kakšen je ostanek delitve. In rezultat deljenja se spet deli z dva. V tem primeru je 61 dividenda, vedno bomo imeli dve kot delitelj in količnik (rezultat deljenja) ponovno delimo z dve, nadaljujemo z deljenjem, dokler količnik ne bo vseboval 1, ta zadnja enota bo skrajna leva cifra. Spodnja slika to prikazuje.

Upoštevajte, da številka 61 ni 101111, ampak 111101, to pomeni, da rezultat pišemo od konca. Pri slednjem ni smiselno deliti ena z dvema, saj se v tem primeru uporablja celoštevilsko deljenje in pri tem pristopu izpade kot na sliki 4.4.2.

To ni najbolj hiter način pretvorbo števila iz binarnega v decimalno. Imamo več pospeševalnikov. Na primer, število 7 v dvojiški obliki je zapisano kot 111, število 3 kot 11 in število 255 kot 11111111. Vsi ti primeri so neverjetno preprosti. Dejstvo je, da so števila 8, 4 in 256 potence dvojke, števila 7, 3 in 255 pa so za ena manjša od teh števil. Torej za števila, ki so za ena manjša od števila, ki je enako potenci dvojke, velja preprosto pravilo: v dvojiškem sistemu je tako decimalno število zapisano kot število enot, ki je enako potenci dvojke. Tako je na primer število 256 dva na osmo potenco, zato je 255 zapisano kot 11111111, število 8 pa dva na tretjo potenco, kar nam pove, da bo 7 v dvojiškem številskem sistemu zapisano kot 111. No, razumite, kako napisati 256, 4 in 8 v binarnem številskem sistemu tudi ni težko, samo dodajte eno: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Svoje rezultate lahko preverite na kalkulatorju in bolje je, da to storite na začetku.

Kot vidite, še nismo pozabili deliti. In zdaj lahko gremo naprej.

4.4.5 Pretvorba števil iz dvojiških v decimalna

Pretvarjanje števil iz binarnih je veliko lažje kot pretvorba iz decimalnih v binarne. Kot primer prevoda bomo uporabili številko 11110. Bodite pozorni na spodnjo tabelo, ki prikazuje potenco, na katero morate dvigniti dve, da na koncu dobite decimalno število.

Če želite iz tega binarnega števila dobiti decimalno število, morate vsako številko v števki pomnožiti z dvema na potenco in nato dodati rezultate množenja, lažje je prikazati:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Odprimo kalkulator in se prepričajmo, da je 30 v decimalnem številskem sistemu 11110 v dvojiškem sistemu.

Vidimo, da je bilo vse narejeno pravilno. Iz primera je jasno, da Pretvarjanje števila iz binarnega v decimalno je veliko lažje kot pretvorba nazaj. Za samozavestno delo si morate zapomniti potence dvojke do 2 8. Zaradi jasnosti bom dal tabelo.

Več ne potrebujemo, saj je največje možno število, ki ga lahko zapišemo v en bajt (8 bitov ali osem binarnih vrednosti) 255, to pomeni, da je v vsakem oktetu naslova IP ali maske podomrežja IPv4 največja možna vrednost 255. Obstajajo polja, v katerih so vrednosti večje od 255, vendar nam jih ni treba izračunati.

4.4.6 Seštevanje, odštevanje, množenje binarnih števil in druge operacije z binarnimi števili

Poglejmo zdaj operacije, ki jih je mogoče izvajati na binarnih številih. Začnimo s preprostimi aritmetičnimi operacijami in nato preidimo na operacije logične algebre.

Seštevanje binarnih števil

Seštevanje binarnih števil ni tako težko: 1+0 =1; 1+1=0 (pozneje bom dal razlago); 0+0=0. To so bili preprosti primeri kjer je bila uporabljena samo ena števka, poglejmo primere, kjer je število števk več kot ena.
101+1101 v decimalnem sistemu je 5 + 13 = 18. Štejmo v stolpcu.

Rezultat je poudarjen oranžna, kalkulator pravi, da smo pravilno izračunali, lahko preverite. Zdaj pa poglejmo, zakaj se je to zgodilo, ker sem najprej napisal, da je 1+1=0, vendar je to za primer, ko imamo samo eno števko, za primere, ko je več kot ena števka, 1+1=10 (ali dve v decimalki), kar je logično.

Potem poglejte, kaj se zgodi, dodajamo števke od desne proti levi:

1. 1+1=10, napiši ničlo in ena gre na naslednjo števko.

2. V naslednji števki dobimo 0+0+1=1 (to enoto smo dobili iz rezultata seštevanja v koraku 1).

4. Tukaj imamo enoto samo v drugem številu, vendar je tudi sem prenesena, torej 0+1+1 = 10.

5. Vse skupaj zlepite: 10|0|1|0.

Če ste leni v stolpcu, potem štejmo takole: 101011+11011 ali 43 + 27 = 70. Kaj lahko storimo tukaj, ampak poglejmo, saj nam nihče ne prepoveduje preoblikovanj in spreminjanja mest izrazov ne spremeni vsote, za binarni številski sistem je to pravilo pomembno tudi.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Lahko preverite s kalkulatorjem, 1000110 v binarnem zapisu je 70 v decimalnem zapisu.

Odštevanje binarnih števil

Takoj primer za odštevanje enomestnih števil v dvojiškem številskem sistemu, o negativnih številih nismo govorili, zato 0-1 ne upoštevamo: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Če je številk več kot ena, potem je tudi vse preprosto, ne potrebujete niti stolpcev ali trikov: 110111 – 1000, to je enako kot 55 – 8. Kot rezultat dobimo 101111. In srce je prenehalo biti, od kod enota v tretji števki (številčenje od leve proti desni in od nič)? Enostavno je! V drugi števki števila 110111 je 0, v prvi števki pa 1 (če predpostavimo, da se številčenje števk začne od 0 in gre od leve proti desni), enoto četrte števke pa dobimo tako, da seštejemo dve enoti tretje števke (dobimo nekakšno navidezno dvojko) in od tega Za dvojke odštejemo enico, ki je v ničelnem mestu števila 1000 in 2 - 1 = 1, 1 pa je veljavna cifra v dvojiškem številskem sistemu.

Množenje binarnih števil

Ostaja nam, da razmislimo o množenju binarnih števil, ki se izvaja s premikom enega bita v levo. Najprej pa poglejmo rezultate enomestnega množenja: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Pravzaprav je vse preprosto, zdaj pa poglejmo nekaj bolj zapletenega. Vzemimo števili 101001 (41) in 1100 (12). Množili bomo po stolpcu.

Če iz tabele ni jasno, kako se je to zgodilo, bom poskušal razložiti z besedami:

1. Primerno je množiti binarna števila v stolpcu, zato pod prvim zapišemo drugi faktor, če imajo številke različno število števk, bo bolj priročno, če večje število bo na vrhu.
2. Naslednji korak je pomnožitev vseh števk prvega števila z najnižjo števko drugega števila. Spodaj zapišemo rezultat množenja, zapišemo ga tako, da je pod vsako pripadajočo števko zapisan rezultat množenja.
3. Zdaj moramo pomnožiti vse števke prvega števila z naslednjo števko drugega števila in rezultat napisati še eno vrstico spodaj, vendar je treba ta rezultat premakniti za eno števko v levo; če pogledate tabelo, je to je drugo zaporedje ničel od zgoraj.
4. Enako je treba storiti za naslednje števke, vsakič premakniti eno števko v levo, in če pogledate tabelo, lahko rečete, da ena celica v levo.
5. Imamo štiri binarna števila, ki jih je zdaj treba dodati in dobiti rezultat. Pred kratkim smo gledali dodatek, ne bi smelo biti nobenih težav.

Na splošno operacija množenja ni tako težka, potrebujete le malo vaje.

Operacije logične algebre

V Boolovi algebri obstajata dva zelo pomembna koncepta: pravi in ​​napačni, katerih ekvivalent je nič in ena v binarnem številskem sistemu. Operatorji logične algebre razširijo število razpoložljivih operatorjev nad te vrednosti, poglejmo jih.

Logična operacija IN ali IN

Operacija Logični IN ali IN je enakovredna množenju enomestnih binarnih števil.

1 IN 1 = 1; 1 IN 0 = 1; 0 IN 0 = 0; 0 IN 1 = 0.

1 IN 1 = 1; 1 IN 0 = 1; 0 IN 0 = 0; 0 IN 1 = 0.

Rezultat "logičnega IN" bo ena samo, če sta obe vrednosti enaki ena; v vseh drugih primerih bo nič.

Operacija "Logični ALI" ali ALI

Operacija “Logični ALI” ali ALI deluje po naslednjem principu: če je vsaj ena vrednost enaka ena, bo rezultat ena.

1 ALI 1 = 1; 1 ALI 0 = 1; 0 ALI 1 = 1; 0 ALI 0 = 0.

1 ALI 1 = 1; 1 ALI 0 = 1; 0 ALI 1 = 1; 0 ALI 0 = 0.

Ekskluzivna operacija ALI ali XOR

Operacija "Izključni ALI" ali XOR nam bo dala rezultat ena le, če je eden od operandov enak ena, drugi pa nič. Če sta oba operanda enaka nič, bo rezultat nič in tudi če sta oba operanda enaka ena, bo rezultat nič.