T vrsta razreda: ONZ (odkrivanje novega znanja – po tehnologiji dejavnostne metode poučevanja).

Osnovni cilji:

1. Izpelji metode za deljenje ulomka s naravno število;
2. Oblikovati sposobnost deljenja ulomka z naravnim številom;
3. Ponovimo in utrdimo deljenje ulomkov;
4. Urijo sposobnost zmanjševanja ulomkov, analiziranja in reševanja problemov.

Demo material za opremo:

1. Naloge za obnavljanje znanja:

Primerjaj izraze:

Referenca:

2. Poskusna (individualna) naloga.

1. Izvedite delitev:

2. Izvedite deljenje, ne da bi opravili celotno verigo izračunov: .

Reference:

• Ko delite ulomek z naravnim številom, lahko imenovalec pomnožite s tem številom, števec pa pustite enak.

• Če je števec deljiv z naravnim številom, lahko pri deljenju ulomka s tem številom števec delite s številom, imenovalec pa pustite enak.

Med poukom

I. Motivacija (samoodločba) za učne dejavnosti.

Namen odra:

1. Organizirajte uresničevanje zahtev za študenta v okviru izobraževalnih dejavnosti ("morajo");
2. Organizirajte dejavnosti učencev za vzpostavitev tematskega okvira (»Lahko«);
3. Ustvariti pogoje, da ima študent notranjo potrebo po vključitvi v izobraževalne dejavnosti (»želim«).

Organizacija izobraževalni proces na stopnji I.

Zdravo! Vesel sem, da vas vse vidim pri uri matematike. Upam, da je obojestransko.

Fantje, kakšno novo znanje ste pridobili v zadnji lekciji? (Deli ulomke).

Prav. Kaj vam pomaga pri delitvi ulomkov? (Pravilo, lastnosti).

Kje potrebujemo to znanje? (V primerih, enačbah, nalogah).

Dobro opravljeno! Pri zadnji lekciji ste se dobro odrezali. Bi radi danes tudi sami odkrili nova znanja? (da).

Potem pojdi! In moto lekcije je izjava "Matematike se ne da naučiti tako, da gledaš, kako to počne tvoj sosed!".

II. Aktualizacija znanja in fiksacija posamezne težave v poskusni akciji.

Namen odra:

1. Organizirati aktualizacijo preučenih metod delovanja, ki zadostujejo za izgradnjo novega znanja. Popravite te metode verbalno (v govoru) in simbolno (standard) ter jih posplošite;
2. Organizirajte aktualizacijo miselnih operacij in kognitivni procesi, zadostuje za gradnjo novega znanja;
3. Motivirati za poskusno dejanje ter njegovo samostojno izvedbo in utemeljitev;
4. Predstaviti posamezno nalogo za poskusno akcijo in jo analizirati z namenom prepoznavanja novih izobraževalnih vsebin;
5. Organizirajte določitev izobraževalnega cilja in teme lekcije;
6. Organizirati izvedbo poskusne akcije in odpravljanje težav;
7. Organizirajte analizo prejetih odgovorov in zabeležite posamezne težave pri izvajanju poskusne akcije ali utemeljitvi le-te.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji II.

Frontalno s pomočjo tablic (posamezne table).

1. Primerjaj izraze:

(Ti izrazi so enaki)

Kaj zanimivega ste opazili? (Števec in imenovalec dividende, števec in imenovalec delitelja v vsakem izrazu sta povečana za enako število krat. Tako so dividende in delitelji v izrazih predstavljeni z medsebojno enakimi ulomki).

Poišči pomen izraza in ga zapiši na tablico. (2)

Kako zapisati to število kot ulomek?

Kako ste izvedli dejanje delitve? (Otroci izgovorijo pravilo, učitelj obesi na tablo črkovne oznake)

2. Izračunajte in zabeležite le rezultate:

3. Seštejte svoje rezultate in zapišite svoj odgovor. (2)

Kako se imenuje število, dobljeno v 3. nalogi? (Naravno)

Ali menite, da lahko ulomek delite z naravnim številom? (Da, poskusili bomo)

Poskusite to.

4. Individualna (poskusna) naloga.

Izvedite deljenje: (samo primer a)

Katero pravilo ste uporabili za delitev? (Po pravilu deljenja ulomka z ulomkom)

Zdaj delite ulomek z naravnim številom na preprost način, brez izvedbe celotne verige izračunov: (primer b). Za to vam dam 3 sekunde.

Komu ni uspelo opraviti naloge v 3 sekundah?

Kdo ga je naredil? (Takšnih ni)

Zakaj? (Ne poznamo poti)

Kaj si dobil? (Težavnost)

Kaj mislite, kaj bomo počeli v razredu? (Deli ulomke z naravnimi števili)

Tako je, odprite zvezke in si zapišite temo učne ure »Deljenje ulomka z naravnim številom«.

Zakaj se ta tema zdi nova, ko pa že veste, kako deliti ulomke? (Potrebujem nov način)

Prav. Danes bomo vzpostavili tehniko, ki poenostavlja deljenje ulomka z naravnim številom.

III. Identifikacija lokacije in vzroka težave.

Namen odra:

1. Organizirati obnovo opravljenih operacij in določiti (verbalno in simbolno) mesto – korak, operacijo, kjer je nastala težava;
2. Organizirati korelacijo dejanj učencev z uporabljeno metodo (algoritmom) in fiksacijo vzroka težave v zunanjem govoru - tista specifična znanja, spretnosti ali sposobnosti, ki niso dovolj za rešitev začetnega problema te vrste.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji III.

Katero nalogo ste morali opraviti? (Deli ulomek z naravnim številom, ne da bi opravil celotno verigo izračunov)

Kaj vam je povzročalo težave? (Nisem se mogel odločiti za kratek čas hiter način)

Kaj je namen naše lekcije? (Najti hiter način deljenje ulomka z naravnim številom)

Kaj vam bo pomagalo? (Že znano pravilo za deljenje ulomkov)

IV. Izdelava projekta izhoda iz težav.

Namen odra:

1. Pojasnitev namena projekta;
2. Izbira metode (razjasnitev);
3. Definicija sredstev (algoritem);
4. Izdelava načrta za dosego cilja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IV.

Vrnimo se k testnemu primeru. Ste rekli, da ste delili po pravilu deljenja ulomkov? (Da)

Če želite to narediti, nadomestite naravno število z ulomkom? (Da)

Kateri korak(-e) mislite, da lahko preskočite?

(Veriga rešitev je odprta na tabli:

Analizirajte in naredite zaključek. (Korak 1)

Če odgovora ni, potem povzemamo po vprašanjih:

Kam je izginil naravni delilnik? (na imenovalec)

Ali se je števec spremenil? (Ne)

Kateri korak je torej mogoče "izpustiti"? (Korak 1)

Akcijski načrt:

• Pomnožite imenovalec ulomka z naravnim številom.
• Števec se ne spreminja.
• Dobimo nov ulomek.

V. Izvedba izdelanega projekta.

Namen odra:

1. Organizirajte komunikacijska interakcija za izvedbo izdelanega projekta, namenjenega pridobivanju manjkajočega znanja;
2. Organizirajte fiksiranje konstruirane metode delovanja v govoru in znakih (s pomočjo standarda);
3. Organizirati rešitev prvotnega problema in zabeležiti premagovanje težave;
4. Uredite pojasnilo splošno novo znanje.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji V.

Zdaj hitro zaženite testni primer na nov način.

Ali zdaj lahko hitro opravite nalogo? (Da)

Pojasnite, kako vam je uspelo? (Otroci govorijo)

To pomeni, da smo prejeli novo znanje: pravilo za deljenje ulomka z naravnim številom.

Dobro opravljeno! Povejte v parih.

Nato en učenec spregovori razredu. Pravilo-algoritem pritrdimo ustno in v obliki standarda na tablo.

Zdaj vnesite oznake črk in zapišite formulo za naše pravilo.

Učenec zapiše na tablo in izgovori pravilo: ko delimo ulomek z naravnim številom, lahko imenovalec pomnožimo s tem številom, števec pa pustimo enak.

(Vsi si zapišejo formulo v zvezke).

In zdaj še enkrat analizirajte verigo reševanja poskusne naloge, pri čemer bodite posebno pozorni na odgovor. Kaj so storili? (Števec ulomka 15 smo delili (pomanjšali) s številom 3)

Kakšna je ta številka? (Naravno, delilec)

Kako drugače lahko delite ulomek z naravnim številom? (Preveri: če je števec ulomka deljiv s tem naravnim številom, potem lahko števec deliš s tem številom, rezultat zapišeš v števec novega ulomka, imenovalec pa pustiš enak)

Zapišite to metodo v obliki formule. (Učenec zapiše pravilo na tablo. Vsi zapišejo formulo v zvezke.)

Vrnimo se k prvi metodi. Ali se lahko uporablja, če a:n? (Da splošni način)

In kdaj je druga metoda primerna za uporabo? (Ko je števec ulomka deljiv z naravnim številom brez ostanka)

VI. Primarna konsolidacija z izgovorjavo v zunanjem govoru.

Namen odra:

1. Organizirati otrokovo asimilacijo nove metode delovanja pri reševanju tipičnih težav z njihovo izgovorjavo v zunanjem govoru (frontalno, v parih ali skupinah).

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VI.

Izračunajte na nov način:

• Št. 363 (a; d) - nastopite na tabli in izgovorite pravilo.
• Št. 363 (d; f) - v paru s pregledom na vzorcu.

VII. Samostojno delo s samotestiranjem po standardu.

Namen odra:

1. Organizirati samostojno izpolnjevanje nalog učencev za nov način delovanja;
2. Organizirati samotestiranje na podlagi primerjave s standardom;
3. Glede na rezultate izvedbe samostojno delo organizirati refleksijo asimilacije novega načina delovanja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VII.

Izračunajte na nov način:

• št. 363 (b; c)

Učenci preverijo standard, opazijo pravilnost izvedbe. Vzroke za napake analiziramo in napake odpravimo.

Učitelj vpraša tiste učence, ki so delali napake, kaj je razlog?

Na tej stopnji je pomembno, da vsak študent samostojno preveri svoje delo.

VIII. Vključevanje v sistem znanja in ponavljanja.

Namen odra:

1. Organizirati identifikacijo meja uporabe novega znanja;
2. Organizirajte ponavljanje izobraževalnih vsebin, potrebnih za zagotovitev smiselne kontinuitete.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VIII.

Organizirajte fiksiranje nerešenih težav v lekciji kot usmeritev za prihodnje učne dejavnosti;

Organizirajte pogovor in snemanje domačih nalog.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IX.

1. Dialog:

Fantje, katera nova znanja ste danes odkrili? (Naučili smo se na preprost način deliti ulomek z naravnim številom)

Oblikujte splošen način. (Pravijo)

Na kakšen način in v katerih primerih ga še lahko uporabljate? (Pravijo)

Kakšna je prednost nove metode?

Ali smo dosegli cilj lekcije? (Da)

Kakšno znanje ste uporabili za dosego cilja? (Pravijo)

Vam je uspelo?

Kakšne so bile težave?

2. Domača naloga: klavzula 3.2.4.; št. 365 (l, n, o, p); št. 370.

3. Učiteljica: Veseli me, da so bili danes vsi aktivni, uspeli najti izhod iz stiske. In kar je najpomembneje, ob odpiranju in utrjevanju novega niso bili sosedje. Hvala za lekcijo otroci!

Vsebina lekcije

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Seštevanje ulomkov je dveh vrst:

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Seštevanje ulomkov z različne imenovalce

Začnimo s seštevanjem ulomkov z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Števce seštejemo, imenovalec pustimo nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:

Primer 2 Seštejte ulomke in.

Odgovor je nepravilen ulomek. Če pride do konca naloge, je običajno, da se znebite nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate v njem izbrati cel del. V našem primeru se celoštevilski del enostavno dodeli - dva deljeno z dva je enako ena:

Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate več pic, dobite eno celo pico:

Primer 3. Seštejte ulomke in.

Še enkrat seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pic, dobite pice:

Primer 4 Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev prikazati s sliko. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.

Kot lahko vidite, seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci ni težko. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen;

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj se bomo naučili seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca teh ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.

Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče sešteti naenkrat, ker imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes bomo obravnavali le enega od njih, saj se lahko preostale metode začetniku zdijo zapletene.

Bistvo te metode je v tem, da se išče prvi (LCM) od imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM delijo z imenovalcem drugega ulomka in dobijo drugi dodatni faktor.

Nato se števci in imenovalci ulomkov pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.

Primer 1. Dodajte ulomke in

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj pa nazaj k ulomkom in . Najprej LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Dobljeno število 2 je prvi dodatni faktor. Zapišemo ga do prvega ulomka. Da bi to naredili, naredimo majhno poševno črto nad ulomkom in nad njim zapišemo najdeni dodatni faktor:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Dobljeno število 3 je drugi dodatni faktor. Zapišemo ga v drugi ulomek. Ponovno naredimo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in nad njim zapišemo najdeni dodatni faktor:

Zdaj smo pripravljeni na dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:

Poglejte natančno, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Dopolnimo ta primer do konca:

Tako se primer konča. Če želite dodati, se izkaže.

Poskusimo našo rešitev prikazati s sliko. Če pici dodaš pice, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:

Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Če ulomke in združimo na skupni imenovalec, dobimo ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).

Prva risba prikazuje ulomek (štirje kosi od šestih), druga slika pa ulomek (trije kosi od šestih). Če te kose sestavimo skupaj, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek ni pravilen, zato smo v njem poudarili celoštevilski del. Rezultat je bil (ena cela pica in še ena šesta pica).

Upoštevajte, da smo ta primer naslikali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti dodatne faktorje, ki jih najdete z vašimi števci in imenovalci. V šoli bi morali ta primer napisati takole:

A obstaja tudi druga plat medalje. Če na prvih stopnjah študija matematike niso narejeni podrobni zapiski, potem so vprašanja te vrste »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodaten množitelj za vsak ulomek;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
4. Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
5. Če se je izkazalo, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;

Primer 2 Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgornja navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4

2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodaten množitelj za vsak ulomek

LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobili smo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez tretji ulomek:

3. korak. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z dodatnimi faktorji:

4. korak. Seštejte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke, ki imajo enake (skupne) imenovalce. Ostaja še dodati te ulomke. Seštejte:

Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se prenese v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve in na začetku nove vrstice postaviti znak enačaja (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se je izkazalo, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite cel del v njem

Naš odgovor je nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo celoten del. Izpostavljamo:

Imam odgovor

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Za rešitev tega primera je potrebno števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen. Naredimo to:

Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 2 Poiščite vrednost izraza.

Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 3 Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen;
2. Če se je izkazalo, da je odgovor nepravilen ulomek, morate v njem izbrati cel del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Na primer, ulomek je mogoče odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki enake imenovalce. Toda ulomka ni mogoče odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec poiščemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki ga zapišemo čez prvi ulomek. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki ga zapišemo čez drugi ulomek.

Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Zaradi teh operacij se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1 Poiščite vrednost izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate pripeljati na isti (skupni) imenovalec.

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj pa nazaj k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredimo tako, da LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Čez prvi ulomek zapišemo štirico:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek zapišemo trojček:

Zdaj smo vsi pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Dopolnimo ta primer do konca:

Imam odgovor

Poskusimo našo rešitev prikazati s sliko. Če iz pice režete pice, dobite pice.

To je podrobna različica rešitve. Ker smo v šoli, bi morali ta primer rešiti na krajši način. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjševanje ulomkov in na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Če te ulomke pospravimo na skupni imenovalec, dobimo ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake ulomke (zmanjšane na isti imenovalec):

Prva risba prikazuje ulomek (osem kosov od dvanajstih), druga slika pa ulomek (trije delci od dvanajstih). Če od osmih kosov odrežemo tri kose, dobimo pet kosov od dvanajstih. Ulomek opisuje teh pet kosov.

Primer 2 Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej pripeljati na isti (skupni) imenovalec.

Poiščite LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredimo tako, da LCM delimo z imenovalcem vsakega ulomka.

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez tretji ulomek:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke, ki imajo enake (skupne) imenovalce. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor pravilen ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi olajšati. Kaj se lahko naredi? Ta delež lahko zmanjšate.

Če želite skrajšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (gcd) številkama 20 in 30.

Torej, najdemo GCD števil 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim GCD, to je z 10

Imam odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec danega ulomka pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti enak.

Primer 1. Ulomek pomnožite s številom 1.

Števec ulomka pomnožite s številom 1

Vnos lahko razumemo kot polovico 1 časa. Na primer, če vzamete pico enkrat, dobite pico

Iz zakonov množenja vemo, da če se množitelj in množitelj zamenjata, se produkt ne spremeni. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta vnos lahko razumemo kot prevzem polovice enote. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Odgovor je nepravilen ulomek. Vzemimo cel del:

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete pico 4-krat, dobite dve celi pici.

In če zamenjamo množitelj in množitelj na mestih, dobimo izraz. Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če je odgovor nepravilen ulomek, morate v njem izbrati cel del.

Primer 1 Poiščite vrednost izraza.

Imam odgovor. Zaželeno je zmanjšati ta delež. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Dobili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, razdeljena na tri dele:

Ena rezina te pice in dve rezini, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, pogovarjamo se približno enako velika pica. Zato je vrednost izraza

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je nepravilen ulomek. Vzemimo cel del:

Primer 3 Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Izkazalo se je, da je odgovor pravilen ulomek, vendar bo dobro, če ga zmanjšamo. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupni delilnik(GCD) številki 105 in 450.

Torej, poiščimo GCD števil 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora na GCD, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavljanje celega števila kot ulomka

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. Iz tega pet ne bo spremenilo svojega pomena, saj izraz pomeni "število pet, deljeno z eno", in to je, kot veste, enako pet:

Obratne številke

Zdaj se bomo seznanili z zanimiva tema v matematiki. Imenuje se "obratne številke".

Opredelitev. Obrnite na številkoa je število, s katerim se pomnožia daje enoto.

V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:

Obrnite na številko 5 je število, s katerim se pomnoži 5 daje enoto.

Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da lahko. Predstavimo pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožimo ulomek sam s seboj, samo obrnjeno:

Kaj bo rezultat tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzna številka 5 število, saj ko 5 pomnožimo z ena, dobimo ena.

Vzajemno vrednost je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Recipročno vrednost lahko najdete tudi za kateri koli drug ulomek. Če želite to narediti, je dovolj, da ga obrnete.

Deljenje ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga enakomerno na dva. Koliko pic bo dobil vsak?

Vidimo, da smo po razdelitvi polovice pice dobili dva enaka kosa, od katerih vsak sestavlja pico. Tako vsak dobi pico.

Delitev ulomkov poteka z uporabo recipročnih vrednosti. Vzajemne vrednosti vam omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite deliti ulomek s številom, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

S pomočjo tega pravila bomo zapisali razdelitev naše polovice pice na dva dela.

Torej, ulomek morate razdeliti s številko 2. Tu je dividenda ulomek, delitelj pa 2.

Če želite deliti ulomek s številom 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost delitelja 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s

Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov"). Najtežji trenutek v teh akcijah je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo lažje kot seštevanje in odštevanje. Za začetek razmislimo o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim.

Oznaka:

Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite obrniti ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo celotno lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot posledica množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšan ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se je po vseh zmanjšanjih ulomek izkazal za napačnega, je treba v njem ločiti celoten del. Toda tisto, kar se točno ne bo zgodilo z množenjem, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, maksimalnih faktorjev in najmanjših skupnih večkratnikov.

Po definiciji imamo:

Množenje ulomkov s celim delom in negativnimi ulomki

Če je v ulomkih celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko vzamemo iz meja množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:

1. Plus krat minus daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Doslej smo ta pravila srečali le pri seštevanju in odštevanju. negativni ulomki ko se je bilo treba znebiti celotnega dela. Za izdelek jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več minusov hkrati:

1. Minuse v parih prečrtamo, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnem primeru lahko preživi en minus - tisti, ki ni našel ujemanja;
2. Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker ni našel para, ga vzamemo iz meja množenja. Dobiš negativni ulomek.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Vse ulomke prevedemo v neprave, nato pa minuse izločimo izven meja množenja. Kar ostane, se pomnoži po običajnih pravilih. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da se minus pred ulomkom s poudarjenim celim delom nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov celoštevilski del (to velja za zadnja dva primera).

Bodite pozorni tudi na negativna števila: Pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov za množenje in naredimo celoten zapis natančnejši.

Zmanjševanje ulomkov sproti

Množenje je zelo naporna operacija. Številke tukaj so precej velike in za poenostavitev naloge lahko poskusite ulomek še bolj zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Po definiciji imamo:

V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.

Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na svojem mestu so ostale enote, ki jih na splošno lahko izpustimo. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.

Vendar te tehnike v nobenem primeru ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:

Tega ne smeš!

Napaka nastane zaradi dejstva, da se pri seštevanju ulomka v števcu ulomka pojavi vsota in ne produkt števil. Zato je nemogoče uporabiti glavno lastnost ulomka, saj se ta lastnost ukvarja posebej z množenjem števil.

Preprosto ni drugega razloga za zmanjševanje ulomkov, zato je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:

Pravilna rešitev:

Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.

Množenje in deljenje ulomkov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomnim vas: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:

Na primer:

Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ne potrebujem ...

Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.

Na primer:

Če je ujeto množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju iz celega števila z enoto v imenovalcu naredimo ulomek - in gremo! Na primer:

V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:

Kako ta ulomek spraviti v spodobno obliko? Da, zelo enostavno! Uporabite delitev na dve točki:

Ne pozabite pa na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:

V prvem primeru (izraz na levi):

V drugem (izraz na desni):

Občutite razliko? 4 in 1/9!

Kakšen je vrstni red delitve? Ali oklepaji ali (kot tukaj) dolžina vodoravnih pomišljajev. Razviti oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:

nato deli-množi po vrsti, od leve proti desni!

In še en zelo preprost in pomemben trik. Pri akcijah z diplomami vam bo prišel prav! Enoto delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:

Strel se je obrnil! In vedno se zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat isti ulomek, le obrnjen.

To so vsa dejanja z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Opomba praktičen nasvet, pa jih (napak) bo manj!

Praktični nasveti:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso običajne besede, ne dobre želje! To je huda potreba! Vse izračune na izpitu opravite kot popolno nalogo, zbrano in jasno. Bolje je, da napišete dve dodatni vrstici v osnutku, kot da se motite pri računanju v glavi.

2. V primerih z različni tipi ulomki - pojdite na navadne ulomke.

3. Vse ulomke zmanjšamo do konca.

4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).

5. Enoto v mislih razdelimo na ulomek, preprosto tako, da ulomek obrnemo.

Tukaj so naloge, ki jih morate opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale te teme in praktične nasvete. Ocenite, koliko primerov bi lahko rešili pravilno. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke ...

Zapomni si pravilen odgovor pridobljeno iz drugega (predvsem tretjega) časa - ne šteje! Tako je kruto življenje.

Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je priprava na izpit. Rešimo primer, preverimo, rešimo naslednji. Odločili smo se za vse – ponovno smo preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.

Izračunajte:

Ste se odločili?

Iščete odgovore, ki ustrezajo vašim. Zapisal sem jih posebej v zmešnjavi, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

In zdaj sklepamo. Če je vse uspelo - veselo za vas! Elementarni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne...

Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak to rešljiv Težave.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

Navadna ulomna števila se prvič srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi vse življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto treba upoštevati ali uporabiti kakšen predmet ne v celoti, ampak v ločenih delih. Začetek študija te teme - delite. Deleži so enaki na katere je predmet razdeljen. Navsezadnje ni vedno mogoče izraziti na primer dolžine ali cene izdelka kot celega števila; treba je upoštevati dele ali deleže katere koli mere. Nastala iz glagola "zdrobiti" - razdeliti na dele in z arabskimi koreninami se je v VIII stoletju sama beseda "frakcija" pojavila v ruščini.

Ulomki so že dolgo veljali za najtežji del matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi učbeniki matematike, so jih imenovali "zlomljene številke", kar je bilo ljudem zelo težko prikazati.

moderen videz enostavne ulomke, katerih deli so ločeni natančno z vodoravno črto, je prvi prispeval k Fibonacciju - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi so datirani iz leta 1202. Toda namen tega članka je preprosto in jasno razložiti bralcu, kako pride do množenja mešanih ulomkov z različnimi imenovalci.

Množenje ulomkov z različnimi imenovalci

Na začetku je treba določiti sorte ulomkov:

• pravilno;
• narobe;
• mešano.

Nato se morate spomniti, kako se množijo delna števila z enakimi imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati neodvisno: rezultat množenja enostavni ulomki z enakima imenovalcema je ulomkov izraz, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev danih ulomkov. To pomeni, da je novi imenovalec kvadrat enega od prvotno obstoječih.

Pri množenju enostavni ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Edina razlika je v tem, da bo nastalo število pod ulomkovo zmnožek različnih števil in seveda kvadrata enega številski izraz nemogoče ga je poimenovati.

Vredno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci na primerih:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primeri uporabljajo načine za zmanjševanje ulomkov. S števili imenovalca lahko zmanjšate le števila števca, sosednjih faktorjev nad ali pod ulomkovo palico pa ni mogoče zmanjšati.

Skupaj s preprostim ulomkov, obstaja koncept mešanih ulomkov. Mešano število je sestavljeno iz celega in delnega dela, to je vsota teh števil:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako deluje množenje?

Za razmislek je na voljo več primerov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primer uporablja množenje števila s navaden ulomek, lahko zapišete pravilo za to dejanje s formulo:

a* b/c = a*b /c.

Pravzaprav je tak izdelek vsota enakih delnih ostankov, število členov pa označuje to naravno število. poseben primer:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Obstaja še ena možnost za reševanje množenja števila z delnim ostankom. Preprosto delite imenovalec s tem številom:

d* e/f = e/f: d.

Koristno je uporabiti to tehniko, ko je imenovalec deljen z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, popolnoma.

Mešana števila pretvorite v neprave ulomke in dobite zmnožek na prej opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ta primer vključuje metodo predstavitve mešana frakcija v napačno, se lahko predstavi tudi kot splošna formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemer se imenovalec novega ulomka tvori tako, da se celoštevilski del pomnoži z imenovalcem in ga doda števcu prvotnega ulomkovega ostanka, imenovalec pa ostane enak.

Ta postopek deluje tudi v hrbtna stran. Če želite izbrati celoštevilski del in delni ostanek, morate števec nepravilnega ulomka razdeliti na njegov imenovalec z "vogalom".

Množenje nepravih ulomkov proizvedeno na običajen način. Ko gre vnos pod eno samo ulomkovo črto, morate po potrebi zmanjšati ulomke, da s to metodo zmanjšate števila in lažje izračunate rezultat.

Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje celo zapletenih matematičnih problemov v različnih različicah programa. Zadostno število takih storitev ponuja svojo pomoč pri štetju množenja ulomkov različne številke v imenovalcih – tako imenovani spletni kalkulatorji za računanje ulomkov. Sposobni so ne le množiti, ampak tudi izvajati vse druge preproste aritmetične operacije navadni ulomki in mešana števila. Z njim je enostavno delati, na strani spletnega mesta so izpolnjena ustrezna polja, izbran je znak matematično dejanje in kliknite "izračunaj". Program samodejno šteje.

Tema aritmetičnih operacij z ulomki je pomembna v celotnem izobraževanju srednješolskih in višjih šolarjev. V srednji šoli ne obravnavajo več najpreprostejše vrste, ampak celi ulomki, vendar se znanje o pravilih za transformacijo in izračune, pridobljeno prej, uporablja v izvirni obliki. Dobro pridobljeno osnovno znanje daje popolno zaupanje v uspešno reševanje najzahtevnejših nalog.

Za zaključek je smiselno navesti besede Leva Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je delček. Ni v moči človeka, da poveča svoj števec - svoje zasluge, lahko pa vsak zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in se s tem zmanjšanjem približa svoji popolnosti.