Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik sta ključna pojma aritmetike, ki vam omogočata enostavno delovanje navadni ulomki. LCM in se najpogosteje uporabljata za iskanje skupnega imenovalca več ulomkov.

Osnovni pojmi

Delitelj celega števila X je drugo celo število Y, s katerim se X deli brez ostanka. Na primer, delitelj 4 je 2, 36 pa 4, 6, 9. Večkratnik celega števila X je število Y, ki je deljivo z X brez ostanka. Na primer, 3 je večkratnik 15 in 6 je večkratnik 12.

Za vsak par števil lahko najdemo njihove skupne delitelje in večkratnike. Na primer, za 6 in 9 je skupni večkratnik 18, skupni delitelj pa 3. Očitno imajo pari lahko več deliteljev in večkratnikov, zato se pri izračunih uporablja največji delitelj GCD in najmanjši večkratnik LCM.

Najmanjši delitelj je brez pomena, saj je za vsako število vedno ena. Tudi največji mnogokratnik je nesmiseln, saj gre zaporedje večkratnikov v neskončnost.

Iskanje gcd

Obstaja veliko metod za iskanje največjega skupnega delitelja, med katerimi so najbolj znane:

• zaporedno iskanje deliteljev, izbiranje skupnih za par in iskanje največjega med njimi;
• razstavljanje števil na nedeljive faktorje;
• Evklidski algoritem;
• binarni algoritem.

Danes sta v izobraževalnih ustanovah najbolj priljubljeni metodi dekompozicija na prafaktorje in evklidski algoritem. Slednje pa se uporablja pri reševanju Diofantovih enačb: iskanje GCD je potrebno za preverjanje enačbe glede možnosti razrešitve v celih številih.

Iskanje NOC

Najmanjši skupni večkratnik se določi tudi z zaporednim iskanjem ali razgradnjo na nedeljive faktorje. Poleg tega je enostavno najti LCM, če je največji delitelj že določen. Za števili X in Y sta LCM in GCD povezana z naslednjim razmerjem:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Na primer, če je GCM(15,18) = 3, potem je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbolj očiten primer uporabe LCM je iskanje skupnega imenovalca, ki je najmanjši skupni večkratnik dani ulomki.

Kopraštevila

Če par števil nima skupnih deliteljev, se tak par imenuje soprost. Gcd za take pare je vedno enaka ena, na podlagi povezave med delitelji in večkratniki pa je gcd za pare sopraprostih enak njihovemu produktu. Na primer, števili 25 in 28 sta relativno praštevili, ker nimata skupnih deliteljev, LCM(25, 28) = 700, kar ustreza njunemu produktu. Kateri koli dve nedeljivi števili bosta vedno relativno praštevili.

Skupni delitelj in večkratni kalkulator

Z našim kalkulatorjem lahko izračunate GCD in LCM za poljubno število števil, med katerimi lahko izbirate. Naloge za izračun skupnih deliteljev in večkratnikov najdemo v aritmetiki 5. in 6. razreda, vendar sta GCD in LCM ključna pojma v matematiki in se uporabljata v teoriji števil, planimetriji in komunikativni algebri.

Primeri iz resničnega življenja

Skupni imenovalec ulomkov

Najmanjši skupni večkratnik se uporablja pri iskanju skupnega imenovalca več ulomkov. Recimo, da morate v aritmetičnem problemu sešteti 5 ulomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Če želite dodati ulomke, je treba izraz reducirati na skupni imenovalec, kar se zmanjša na problem iskanja LCM. Če želite to narediti, izberite 5 številk v kalkulatorju in vnesite vrednosti imenovalcev v ustrezne celice. Program bo izračunal LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Zdaj morate za vsak ulomek izračunati dodatne faktorje, ki so definirani kot razmerje med LCM in imenovalcem. Torej bi dodatni množitelji izgledali takole:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Po tem pomnožimo vse ulomke z ustreznim dodatnim faktorjem in dobimo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takšne ulomke zlahka seštejemo in dobimo rezultat 159/360. Ulomek zmanjšamo za 3 in vidimo končni odgovor - 53/120.

Reševanje linearnih Diofantovih enačb

Linearne Diofantove enačbe so izrazi oblike ax + by = d. Če je razmerje d / gcd(a, b) celo število, potem je enačba rešljiva v celih številih. Preverimo nekaj enačb, da vidimo, ali imajo celoštevilsko rešitev. Najprej preverimo enačbo 150x + 8y = 37. S pomočjo kalkulatorja najdemo GCD (150,8) = 2. Razdelimo 37/2 = 18,5. Število ni celo število, zato enačba nima celih korenov.

Preverimo enačbo 1320x + 1760y = 10120. S kalkulatorjem poiščite GCD(1320, 1760) = 440. Delite 10120/440 = 23. Kot rezultat dobimo celo število, zato je Diofantova enačba rešljiva v celih koeficientih .

Zaključek

GCD in LCM igrata veliko vlogo v teoriji števil, koncepta sama pa se pogosto uporabljata na najrazličnejših področjih matematike. Uporabite naš kalkulator za izračun največjih deliteljev in najmanjših večkratnikov poljubnega števila števil.

Oglejmo si tri načine za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika.

Iskanje s faktorizacijo

Prva metoda je iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z faktorjevanjem danih števil na prafaktorje.

Recimo, da moramo najti LCM števil: 99, 30 in 28. Da bi to naredili, razložimo vsako od teh števil na prafaktorje:

Da bi bilo želeno število deljivo z 99, 30 in 28, je nujno in dovolj, da vsebuje vse prafaktorje teh deliteljev. Da bi to naredili, moramo vse prafaktorje teh števil povečati na največjo možno moč in jih pomnožiti skupaj:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Tako je LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nobeno drugo število, manjše od 13 860, ni deljivo z 99, 30 ali 28.

Če želite poiskati najmanjši skupni večkratnik danih števil, jih faktorizirajte v njihove prafaktorje, nato vzamete vsak prafaktor z največjim eksponentom, v katerem se pojavi, in te faktorje pomnožite skupaj.

Ker je obojestransko praštevila nimajo skupnih prafaktorjev, potem je njihov najmanjši skupni večkratnik enak produktu teh števil. Na primer, tri števila: 20, 49 in 33 so sorazmerno praštevila. Zato

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Enako je treba storiti pri iskanju najmanjšega skupnega večkratnika različnih praštevil. Na primer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Iskanje z izbiro

Druga metoda je iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z izbiro.

Primer 1. Ko največje od danih števil delimo z drugim danim številom, potem je LCM teh števil enak največjemu izmed njih. Na primer, dana so štiri števila: 60, 30, 10 in 6. Vsako od njih je deljivo s 60, torej:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

V drugih primerih se za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika uporabi naslednji postopek:

1. Iz navedenih števil določi največje število.
2. Nato poiščemo števila, ki so večkratnika največjega števila, tako da ga pomnožimo z naravnimi števili v naraščajočem vrstnem redu in preverimo, ali je dobljeni produkt deljiv s preostalimi danimi števili.

Primer 2. Dana so tri števila 24, 3 in 18. Določimo največje od njih - to je število 24. Nato poiščemo števila, ki so večkratnika 24, in preverimo, ali je vsako od njih deljivo z 18 in 3:

24 · 1 = 24 - deljivo s 3, vendar ne deljivo z 18.

24 · 2 = 48 - deljivo s 3, vendar ne deljivo z 18.

24 · 3 = 72 - deljivo s 3 in 18.

Tako je LCM (24, 3, 18) = 72.

Iskanje z zaporednim iskanjem LCM

Tretja metoda je iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z zaporednim iskanjem LCM.

LCM dveh danih števil je enak produktu teh števil, deljenem z njihovim največjim skupnim deliteljem.

Primer 1. Poiščite LCM dveh danih števil: 12 in 8. Določite njun največji skupni delitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ta števila:

Izdelek delimo po njihovem gcd:

Tako je LCM (12, 8) = 24.

Če želite najti LCM treh ali več števil, uporabite naslednji postopek:

1. Najprej poiščite LCM katerih koli dveh od teh števil.
2. Nato LCM najdenega najmanjšega skupnega večkratnika in tretje dano število.
3. Nato LCM dobljenega najmanjšega skupnega večkratnika in četrtega števila itd.
4. Tako se iskanje LCM nadaljuje, dokler so številke.

Primer 2. Poiščemo NKM treh danih števil: 12, 8 in 9. NKM števil 12 in 8 smo našli že v prejšnjem primeru (to je število 24). Ostaja še iskanje najmanjšega skupnega večkratnika števila 24 in tretjega danega števila - 9. Določite njihov največji skupni delitelj: GCD (24, 9) = 3. Pomnožite LCM s številom 9:

Izdelek delimo po njihovem gcd:

Tako je LCM (12, 8, 9) = 72.

Da bi razumeli, kako izračunati LCM, morate najprej določiti pomen izraza "več".

Večkratnik A je naravno število, ki je brez ostanka deljivo z A. Tako lahko števila, ki so večkratniki števila 5, štejemo za 15, 20, 25 itd.

Obstaja lahko omejeno število deliteljev določenega števila, obstaja pa neskončno število večkratnikov.

Skupni večkratnik naravna števila- število, ki je z njimi deljivo brez ostanka.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik števil

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil (dva, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je deljivo z vsemi temi števili.

Če želite najti LOC, lahko uporabite več metod.

Za majhna števila je priročno zapisati vse večkratnike teh števil v črto, dokler med njimi ne najdete nekaj skupnega. Večkratnike označujemo z veliko črko K.

Na primer, večkratnike števila 4 lahko zapišemo takole:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Tako lahko vidite, da je najmanjši skupni večkratnik števil 4 in 6 število 24. Ta zapis je narejen na naslednji način:

LCM(4, 6) = 24

Če so številke velike, poiščite skupni večkratnik treh ali več števil, potem je bolje uporabiti drugo metodo izračuna LCM.

Za dokončanje naloge morate dana števila razložiti na prafaktorje.

Najprej morate na črto zapisati razgradnjo največjega števila, pod njim pa ostalo.

Razčlenitev vsakega števila lahko vsebuje različno število faktorjev.

Na primer, razložimo števili 50 in 20 na prafaktorje.

Pri širjenju manjšega števila je treba poudariti dejavnike, ki jih pri širjenju prvega ni. veliko število, nato pa ji jih dodajte. V predstavljenem primeru manjka dvojka.

Zdaj lahko izračunate najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako bo zmnožek prafaktorjev večjega števila in faktorjev drugega števila, ki niso bili vključeni v razširitev večjega števila, najmanjši skupni večkratnik.

Če želite najti LCM treh ali več števil, jih morate vse razložiti na prafaktorje, kot v prejšnjem primeru.

Kot primer lahko poiščete najmanjši skupni večkratnik števil 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tako le dve dvojki iz razširitve šestnajstice nista bili vključeni v faktorizacijo večjega števila (ena je v razširitvi štiriindvajsetice).

Tako jih je treba razširitvi dodati večje število.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Obstajajo posebni primeri določanja najmanjšega skupnega večkratnika. Torej, če je mogoče eno od števil brez ostanka deliti z drugim, potem bo večje od teh števil najmanjši skupni večkratnik.

Na primer, LCM za dvanajst in štiriindvajset je štiriindvajset.

Če je treba najti najmanjši skupni večkratnik soprostih števil, ki nimajo enakih deliteljev, bo njihov LCM enak njihovemu produktu.

Na primer, LCM (10, 11) = 110.

Večkratnik je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) skupine števil je najmanjše število, ki je deljivo z vsakim številom v skupini brez ostanka. Če želite najti najmanjši skupni večkratnik, morate najti prafaktorje danih števil. LCM je mogoče izračunati tudi z uporabo številnih drugih metod, ki veljajo za skupine dveh ali več števil.

Koraki

Serija večkratnikov

Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če sta podani dve števili, od katerih je vsako manjše od 10. Če je podano velike številke, uporabite drugo metodo.

• Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik 5 in 8. To so majhne številke, zato lahko uporabite to metodo.

1. Večkratnik je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. Večkratnike najdete v tabeli množenja.

   • Na primer, števila, ki so večkratnika števila 5, so: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite niz števil, ki so večkratniki prvega števila. Naredite to pod večkratniki prvega števila, da primerjate dva niza števil.

   • Na primer, števila, ki so večkratnika števila 8, so: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 in 64.

3. Poiščite najmanjše število, ki je prisotno v obeh nizih mnogokratnikov. Za iskanje boste morda morali napisati dolg niz večkratnikov skupno število. Najmanjše število, ki je prisotno v obeh nizih večkratnikov, je najmanjši skupni večkratnik.

   • na primer najmanjše število, ki je prisoten v nizu večkratnikov 5 in 8, je število 40. Zato je 40 najmanjši skupni večkratnik 5 in 8.

   Prafaktorizacija

   1. Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če imate dve števili, od katerih je vsako večje od 10. Če so podane manjše številke, uporabite drugo metodo.

      • Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 20 in 84. Vsako število je večje od 10, zato lahko uporabite to metodo.

   2. Razštej na prafaktorje prva številka. To pomeni, da morate najti takšna praštevila, ki bodo pomnožena z danim številom. Ko najdete prafaktorje, jih zapišite kot enačbe.

      • na primer 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat 10=20) in 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat (\mathbf (5) )=10). Tako so prafaktorji števila 20 števila 2, 2 in 5. Zapiši jih kot izraz: .

   3. Drugo število razčlenite na prafaktorje. Naredite to na enak način, kot ste faktorizirali prvo število, torej poiščite taka praštevila, ki bodo pri množenju dala dano število.

      • na primer 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\krat 6=42) in 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\krat (\mathbf (2) )=6). Tako so prafaktorji števila 84 števila 2, 7, 3 in 2. Zapiši jih kot izraz: .

   4. Zapišite faktorje, ki so skupni obema številoma. Takšne faktorje zapišite kot operacijo množenja. Ko pišete vsak faktor, ga prečrtajte v obeh izrazih (izrazih, ki opisujejo faktorizacijo števil na prafaktorje).

      • Na primer, obe števili imata skupni faktor 2, zato zapiši 2 × (\displaystyle 2\krat ) in prečrtaj 2 v obeh izrazih.
      • Obema številoma je skupen še faktor 2, zato zapiši 2 × 2 (\displaystyle 2\krat 2) in prečrtaj drugi 2 v obeh izrazih.

   5. Operaciji množenja dodajte preostale faktorje. To so faktorji, ki v obeh izrazih niso prečrtani, torej faktorji, ki obema številoma niso skupni.

      • Na primer v izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krat 2\krat 5) Oba dvojca (2) sta prečrtana, ker sta skupna faktorja. Faktor 5 ni prečrtan, zato operacijo množenja zapiši takole: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5)
      • V izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krat 7\krat 3\krat 2) oba dva (2) sta tudi prečrtana. Faktorja 7 in 3 nista prečrtana, zato operacijo množenja zapiši takole: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5\krat 7\krat 3).

   6. Izračunaj najmanjši skupni večkratnik.Če želite to narediti, pomnožite števila v operaciji pisnega množenja.

      • na primer 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5\krat 7\krat 3=420). Torej je najmanjši skupni večkratnik 20 in 84 420.

   Iskanje skupnih dejavnikov

   1. Narišite mrežo kot za igro tic-tac-toe. Takšna mreža je sestavljena iz dveh vzporednih črt, ki se sekata (pod pravim kotom) z drugima dvema vzporednima črtama. Tako boste dobili tri vrstice in tri stolpce (mreža je zelo podobna ikoni #). Napišite prvo številko v prvo vrstico in drugi stolpec. Drugo številko zapišite v prvo vrstico in tretji stolpec.

      • Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 18 in 30. V prvo vrstico in drugi stolpec zapišite število 18, v prvo vrstico in tretji stolpec pa število 30.

   2. Poišči delitelj, ki je skupen obema številoma. Zapišite v prvo vrstico in prvi stolpec. Bolje je iskati prafaktorje, vendar to ni pogoj.

      • Na primer, 18 in 30 sta sodi števili, zato je njun skupni faktor 2. Zato zapišite 2 v prvo vrstico in prvi stolpec.

   3. Vsako število delite s prvim deliteljem. Vsak količnik zapiši pod ustrezno številko. Količnik je rezultat deljenja dveh števil.

      • na primer 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), torej pod 18 napišite 9.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), torej zapišite 15 pod 30.

   4. Poiščite delitelj, ki je skupen obema količnikoma.Če takega delitelja ni, preskočite naslednja dva koraka. V nasprotnem primeru delitelj vpiši v drugo vrstico in prvi stolpec.

      • Na primer, 9 in 15 sta deljiva s 3, zato zapišite 3 v drugo vrstico in prvi stolpec.

   5. Vsak količnik delite z njegovim drugim deliteljem. Vsak rezultat deljenja zapišite pod pripadajoči količnik.

      • na primer 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), torej pod 9 napišite 3.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), torej pod 15 napišite 5.

   6. Po potrebi dodajte dodatne celice v mrežo. Ponavljaj opisane korake, dokler imata količnika skupni delitelj.

   7. Obkroži številke v prvem stolpcu in zadnji vrstici mreže. Nato izbrana števila zapiši kot operacijo množenja.

      • Na primer, števili 2 in 3 sta v prvem stolpcu, števili 3 in 5 pa v zadnji vrstici, zato operacijo množenja zapišite takole: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krat 3\krat 3\krat 5).

   8. Poiščite rezultat množenja števil. To bo izračunalo najmanjši skupni večkratnik dveh danih števil.

      • na primer 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krat 3\krat 3\krat 5=90). Torej je najmanjši skupni večkratnik 18 in 30 90.

   Evklidov algoritem

   1. Zapomnite si terminologijo, povezano z operacijo deljenja. Dividenda je število, ki se deli. Delitelj je število, s katerim se deli. Količnik je rezultat deljenja dveh števil. Ostanek je število, ki ostane, ko dve števili delimo.

      • Na primer v izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je delitelj
        2 je količnik
        3 je ostanek.