Toda veliko naravnih števil je enakomerno deljivih z drugimi naravnimi števili.

Na primer:

Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;

Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.

Števila, s katerimi je število deljivo (pri 12 je 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delilniki števil. Delitelj naravnega števila a je naravno število, ki deli dano število a brez sledu. Naravno število, ki ima več kot dva faktorja, imenujemo sestavljeno .

Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne delitelje. To so števila: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj teh dveh števil a in b je število, s katerim sta obe dani števili deljivi brez ostanka a in b.

skupni večkratnik več števil se imenuje število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Na primer, imajo števila 9, 18 in 45 skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njuna skupna večkratnika. Med vsemi skupnimi večkratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je to 90. To število imenujemo vsajskupni večkratnik (LCM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega izmed števil, za katera je definirano.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

Komutativnost:

Asociativnost:

Zlasti, če in sta soprosti števili , potem:

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil m in n je delitelj vseh drugih skupnih mnogokratnikov m in n. Poleg tega množica skupnih večkratnikov m,n sovpada z množico večkratnikov za LCM( m,n).

Asimptotiko za je mogoče izraziti v smislu nekaterih številsko-teoretičnih funkcij.

Torej, Čebiševljeva funkcija. in:

To izhaja iz definicije in lastnosti Landauove funkcije g(n).

Kaj sledi iz zakona porazdelitve praštevil.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

NOC( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je največji skupni delitelj znan, lahko uporabite njegovo razmerje z LCM:

2. Naj je znana kanonična razgradnja obeh števil na prafaktorje:

Kje p 1 ,...,p k so različna praštevila in d 1 ,...,dk in e 1 ,...,ek so nenegativna cela števila (lahko so nič, če ustreznega praštevila ni v razširitvi).

Nato LCM ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, razširitev LCM vsebuje vse prafaktorje, ki so vključeni v vsaj eno od razširitev števil a, b, in vzame se največji od dveh eksponentov tega faktorja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo.Če želite najti LCM serije števil, potrebujete:

- razstavljajo števila na prafaktorje;

- prenesite največjo ekspanzijo v faktorje želenega produkta (zmnožek faktorjev veliko število od danih), nato pa seštejte faktorje iz razčlenitve ostalih števil, ki se ne pojavljajo v prvem številu ali pa so v njem manjkrat;

- dobljeni produkt prafaktorjev bo LCM danih števil.

Katere koli dve ali več naravna števila imajo svoj NOC. Če številki nista večkratnika ali nimata enakih faktorjev v razširitvi, potem je njun LCM enak produktu teh števil.

Prafaktorje števila 28 (2, 2, 7) smo dopolnili s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28 .

Prafaktorje največjega števila 30 smo dopolnili s faktorjem 5 števila 25, nastali produkt 150 je večji od največjega števila 30 in je deljiv z vsemi danimi števili brez ostanka. to najmanjši izdelek možnih (150, 250, 300...), ki je večkratnik vseh danih števil.

Števila 2,3,11,37 so praštevila, zato je njihov LCM enak zmnožku danih števil.

pravilo. Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti skupaj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:

1) predstavi vsako število kot produkt njegovih prafaktorjev, na primer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapiši potence vseh prafaktorjev:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite vse pradelitelje (množitelje) vsakega od teh števil;

4) izberite največjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdete v vseh razširitvah teh števil;

5) pomnožite te moči.

Primer. Poiščite LCM števil: 168, 180 in 3024.

rešitev. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Izpišemo največje potence vseh pradeliteljev in jih pomnožimo:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Razmislite o rešitvi naslednjega problema. Korak fantka je 75 cm, korak deklice pa 60 cm Najti je treba najmanjšo razdaljo, na kateri bosta oba naredila celo število korakov.

rešitev. Celotna pot, ki jo bodo fantje prehodili, mora biti brez ostanka deljiva s 60 in 70, saj mora vsak narediti celo število korakov. Z drugimi besedami, odgovor mora biti večkratnik 75 in 60.

Najprej bomo izpisali vse večkratnike, za število 75. Dobimo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zdaj pa izpišimo številke, ki bodo večkratnik 60. Dobimo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Zdaj poiščemo številke, ki so v obeh vrsticah.

• Navadni večkratniki števil bodo števila, 300, 600 itd.

Najmanjše med njimi je število 300. V tem primeru se bo imenovalo najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Če se vrnemo k pogoju problema, bo najmanjša razdalja, na kateri fantje naredijo celo število korakov, 300 cm.Fant bo šel po tej poti v 4 korakih, dekle pa bo moralo narediti 5 korakov.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

• Najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b.

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ni treba zapisati vseh večkratnikov teh števil po vrsti.

Uporabite lahko naslednjo metodo.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik

Najprej morate te številke razstaviti na prafaktorje.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Sedaj pa zapišimo vse faktorje, ki so v razširitvi prvega števila (2,2,3,5) in mu prištejmo vse manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila (5).

Na koncu dobimo niz praštevil: 2,2,3,5,5. Zmnožek teh števil bo najmanjši skupni faktor za ta števila. 2*2*3*5*5 = 300.

Splošna shema za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

• 1. Razstavite števila na prafaktorje.
• 2. Zapišite prafaktorje, ki so del enega od njih.
• 3. Tem faktorjem prištej vse tiste, ki so v razgradnji ostalih, ne pa v izbranem.
• 4. Poiščite zmnožek vseh izpisanih faktorjev.

Ta metoda je univerzalna. Uporablja se lahko za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika poljubnega števila naravnih števil.

Opredelitev. Največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka, se imenuje največji skupni delitelj (gcd) te številke.

Poiščimo največjega skupni delilnikštevilki 24 in 35.
Delitelji števila 24 bodo števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji števila 35 pa bodo števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delitelj - število 1. Takšni števili imenujemo coprime.

Opredelitev. Naravna števila imenujemo coprimeče je njihov največji skupni delitelj (gcd) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) lahko najdete, ne da bi izpisali vse delitelje danih števil.

Če števili 48 in 36 faktoriziramo, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktorjev, vključenih v razširitev prvega od teh števil, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Ostanejo faktorji 2 * 2 * 3. Njihov produkt je 12. To število je največji skupni delitelj števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delitelj treh ali več števil.

Najti največji skupni delitelj

2) izmed dejavnikov, vključenih v razširitev enega od teh števil, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa dana števila deljiva z enim od njih, potem je to število deljivo največji skupni delitelj podane številke.
Na primer, največji skupni delitelj 15, 45, 75 in 180 je 15, saj deli vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) naravni števili a in b sta najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma izpisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, razgradimo 75 in 60 na preproste faktorje: 75 \u003d 3 * 5 * 5 in 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Izpišemo faktorje, vključene v razširitev prvega od teh števil, in jim dodamo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve drugega števila (to pomeni, da faktorje združimo).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Poiščite tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil.

Za poiščite najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razstavite na prafaktorje;
2) izpišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil;
3) dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi drugimi števili, potem je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik 12, 15, 20 in 60 bi bil 60, ker je deljiv z vsemi danimi števili.

Pitagora (VI. stol. pr. n. št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. številka, enaka vsoti vse njegove delitelje (brez samega števila) so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so ​​popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Petega - 33 550 336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih števil. Toda do zdaj znanstveniki ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila, ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila je posledica dejstva, da je vsako število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevil, to pomeni, da so praštevila kot opeke, iz katerih so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda dlje kot se premikamo po številski vrsti, redkejša so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr. n. št.) je v svoji knjigi Začetki, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je praštevil neskončno veliko, to je, da za vsakim praštevilom stoji sodo večje praštevilo.
Za iskanje praštevil si je tako metodo omislil drug grški matematik iz istega časa, Eratosten. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal enoto, ki ni niti pra, niti sestavljeno število, nato prečrtal vse številke za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prva preostala številka po 2 je bila 3. Nato so bile po dve prečrtane vse številke po 3 (števila, ki so večkratniki 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala neprečrtana samo praštevila.

Skupni večkratniki

Preprosto povedano, vsako celo število, ki je deljivo z vsakim od danih števil, je skupni večkratnik podana cela števila.

Najdete lahko skupni večkratnik dveh ali več celih števil.

Primer 1

Izračunajte skupni večkratnik dveh števil: $2$ in $5$.

rešitev.

Po definiciji je skupni večkratnik $2$ in $5$ 10$, ker je večkratnik $2$ in $5$:

Skupni večkratniki števil $2$ in $5$ bodo tudi števila $–10, 20, –20, 30, –30$ itd., ker vsi so deljivi z $2$ in $5$.

Opomba 1

Nič je skupni večkratnik poljubnega števila celih števil, ki niso nič.

V skladu z lastnostmi deljivosti velja, da če je določeno število skupni večkratnik več števil, potem bo tudi predznačno nasprotno število skupni večkratnik danih števil. To je razvidno iz obravnavanega primera.

Za dana cela števila lahko vedno najdete njihov skupni večkratnik.

Primer 2

Izračunajte skupni večkratnik $111$ in $55$.

rešitev.

Pomnožite podana števila: $111\div 55=6105$. Preprosto preverimo, da je število $6105$ deljivo s številom $111$ in s številom $55$:

$6105\div 111=55$;

6105 $\div 55=111 $.

Tako je $6105$ skupni večkratnik $111$ in $55$.

Odgovori: skupni večkratnik $111$ in $55$ je $6105$.

Toda, kot smo že videli iz prejšnjega primera, ta skupni večkratnik ni ena. Drugi pogosti večkratniki bi bili $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$ itd. Tako smo prišli do naslednje ugotovitve:

Opomba 2

Vsaka množica celih števil ima neskončno število skupnih večkratnikov.

V praksi so omejeni na iskanje skupnih mnogokratnikov le pozitivnih celih (naravnih) števil, ker množici večkratnikov danega števila in njegovega nasprotja sovpadata.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

Najpogosteje se od vseh večkratnikov danega števila uporabi najmanjši skupni večkratnik (LCM).

Definicija 2

Najmanjši pozitivni skupni večkratnik danih celih števil je najmanjši skupni večkratnik te številke.

Primer 3

Izračunajte LCM števil $4$ in $7$.

rešitev.

Ker ta števila nimajo skupnih deliteljev, potem $LCM(4,7)=28$.

Odgovori: $LCM(4,7)=28$.

Iskanje NOC prek NOD

Ker obstaja povezava med LCM in GCD, z njeno pomočjo je mogoče izračunati LCM dveh pozitivnih celih števil:

Opomba 3

Primer 4

Izračunajte LCM števil $232$ in $84$.

rešitev.

Uporabimo formulo za iskanje LCM skozi GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$

Poiščimo gcd števil $232$ in $84$ z uporabo evklidskega algoritma:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Tisti. $gcd (232, 84)=4$.

Poiščimo $LCM (232, 84)$:

$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Odgovori: $NOK(232,84)=4872$.

Primer 5

Izračunajte $LCM (23, 46)$.

rešitev.

Ker $46$ je enakomerno deljivo s $23$, potem je $gcd(23, 46)=23$. Poiščimo NOC:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Odgovori: $NOK(23,46)=46$.

Tako se lahko oblikuje pravilo:

Opomba 4

Najmanjši skupni večkratnik dveh števil je neposredno povezan z največjim skupnim deliteljem teh števil. to povezava med GCD in NOC definirana z naslednjim izrekom.

Izrek.

Najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil a in b je enak produktu a in b, deljenemu z največjim skupnim deliteljem a in b, to je LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Dokaz.

Pustiti M je nekaj večkratnika števil a in b. To pomeni, da je M deljiv z a in po definiciji deljivosti obstaja neko celo število k, tako da velja enakost M=a·k. Toda M je tudi deljiv z b, potem je a k deljiv z b.

Označimo gcd(a, b) kot d. Potem lahko zapišemo enakosti a=a 1 ·d in b=b 1 ·d, pri čemer bosta a 1 =a:d in b 1 =b:d enako praštevili. Zato lahko pogoj, dobljen v prejšnjem odstavku, da je a k deljiv z b, preoblikujemo takole: a 1 d k je deljiv z b 1 d , kar je zaradi lastnosti deljivosti enakovredno pogoju, da je a 1 k je deljiva z b 1 .

Iz obravnavanega izreka moramo zapisati tudi dve pomembni posledici.

Skupni večkratniki dveh števil so enaki večkratnikom njihovega najmanjšega skupnega večkratnika.

To drži, saj je vsak skupni večkratnik M števil a in b definiran z enakostjo M=LCM(a, b) t za neko celo število t.

Najmanjši skupni večkratnik sopraprostih pozitivnih števil a in b je enak njunemu produktu.

Utemeljitev tega dejstva je povsem očitna. Ker sta a in b enako praštevilna, potem je gcd(a, b)=1, torej LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika treh ali več števil se lahko zmanjša na zaporedno iskanje LCM dveh števil. Kako se to naredi, je prikazano v naslednjem izreku: a 1 , a 2 , …, a k sovpadajo s skupnimi večkratniki števil m k-1 in a k torej sovpadajo z večkratniki m k . In ker je najmanjši pozitivni večkratnik števila m k samo število m k, potem je najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Y. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije števil.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorija števil.
• Kulikov L.Ya. in drugi Zbirka nalog iz algebre in teorije števil: Vadnica za študente fizike in matematike. specialnosti pedagoških zavodov.