Vprašanje 1. Katere kote imenujemo sosednji?
Odgovori. Dva kota imenujemo sosednja, če imata eno skupno stranico in sta drugi strani teh kotov komplementarni polpremici.
Na sliki 31 sta vogala (a 1 b) in (a 2 b) sosednja. Imata skupno stranico b, stranici a 1 in a 2 pa sta dodatni polpremici.

2. vprašanje Dokaži, da je vsota sosednjih kotov 180°.
Odgovori. Izrek 2.1. Vsota sosednjih kotov je 180°.
Dokaz. Naj imata kot (a 1 b) in kot (a 2 b) podana sosednja kota (glej sliko 31). Žarek b poteka med stranicama a 1 in a 2 razvitega kota. Zato je vsota kotov (a 1 b) in (a 2 b) enaka razvitemu kotu, to je 180 °. Q.E.D.

3. vprašanje Dokaži, da če sta kota enaka, sta enaka tudi kota, ki jima prilega.
Odgovori.

Iz izreka 2.1 Iz tega sledi, da če sta dva kota enaka, so enaki tudi koti, ki mejijo nanju.
Recimo, da sta kota (a 1 b) in (c 1 d) enaka. Dokazati moramo, da sta tudi kota (a 2 b) in (c 2 d) enaka.
Vsota sosednjih kotov je 180°. Iz tega sledi, da je a 1 b + a 2 b = 180° in c 1 d + c 2 d = 180°. Torej, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b in c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Ker sta kota (a 1 b) in (c 1 d) enaka, dobimo, da je a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Iz lastnosti tranzitivnosti enakega znaka sledi a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

4. vprašanje Kateri kot se imenuje pravi (oster, top)?
Odgovori. Kot, ki je enak 90°, imenujemo pravi kot.
Kot, manjši od 90°, imenujemo ostri kot.
Kot, ki je večji od 90° in manjši od 180°, imenujemo top kot.

5. vprašanje Dokaži, da je kot, ki meji na pravi kot, pravi kot.
Odgovori. Iz izreka o vsoti sosednjih kotov sledi, da je kot, ki meji na pravi kot, pravi kot: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

6. vprašanje Kakšni so navpični koti?
Odgovori. Dva kota imenujemo navpična, če sta strani enega kota komplementarni polpremici stranic drugega.

7. vprašanje. Dokaži to navpični koti so enaki.
Odgovori. Izrek 2.2. Navpični koti so enaki.
Dokaz. Naj sta (a 1 b 1) in (a 2 b 2) podana navpična kota (slika 34). Vogal (a 1 b 2) meji na vogalu (a 1 b 1) in na vogalu (a 2 b 2). Od tod po izreku o vsoti sosednjih kotov sklepamo, da vsak od kotov (a 1 b 1) in (a 2 b 2) dopolnjuje kot (a 1 b 2) do 180°, tj. kota (a 1 b 1) in (a 2 b 2) sta enaka. Q.E.D.

8. vprašanje. Dokaži, da če je v presečišču dveh premic eden od kotov pravi kot, potem so tudi ostali trije koti pravi.
Odgovori. Predpostavimo, da se premici AB in CD sekata v točki O. Predpostavimo, da je kot AOD 90°. Ker je vsota sosednjih kotov 180°, dobimo, da je AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Kot COB je navpičen na kot AOD, zato sta enaka. To pomeni, da je kot COB = 90°. COA je navpična na BOD, zato sta enaka. To pomeni, da je kot BOD = 90°. Tako so vsi koti enaki 90 °, kar pomeni, da so vsi pravi. Q.E.D.

vprašanje 9. Katere premice imenujemo pravokotne? S katerim znakom označujemo pravokotnost črt?
Odgovori. Dve premici pravimo pravokotni, če se sekata pod pravim kotom.
Pravokotnost črt je označena z \(\perp\). Vnos \(a\perp b\) se glasi: "Premica a je pravokotna na premico b".

vprašanje 10. Dokaži, da lahko skozi katero koli točko premice potegnemo premico pravokotno nanjo in samo eno.
Odgovori. Izrek 2.3. Skozi vsako črto lahko narišete črto pravokotno nanjo in samo eno.
Dokaz. Naj bo a dana premica in A - dano točko na njej. Z 1 označimo eno od polpremic s premico a z izhodiščem A (slika 38). Od polpremice a 1 odložimo kot (a 1 b 1), ki je enak 90 °. Potem bo premica, ki vsebuje žarek b 1, pravokotna na premico a.

Predpostavimo, da obstaja še ena premica, ki prav tako poteka skozi točko A in je pravokotna na premico a. Označimo s c 1 polpremico te premice, ki leži v isti polravnini z žarkom b 1 .
Kota (a 1 b 1) in (a 1 c 1), vsak enaka 90°, potekata v eni polravnini od polpremice a 1 . Toda od polpremice a 1 je v tej polravnini mogoče ločiti samo en kot, ki je enak 90 °. Zato ne more obstajati druga premica, ki bi potekala skozi točko A in bila pravokotna na premico a. Izrek je dokazan.

vprašanje 11. Kaj je navpičnica na premico?
Odgovori. Pravokoten na dano premico je na dano premico pravokoten odsek, ki ima enega od koncev v presečišču. Ta konec segmenta se imenuje osnova pravokotno.

vprašanje 12. Pojasnite, kaj je dokaz s protislovjem.
Odgovori. Metoda dokaza, ki smo jo uporabili v izreku 2.3, se imenuje dokaz s protislovjem. Ta način dokaza je sestavljen iz tega, da najprej naredimo predpostavko, ki je nasprotna temu, kar navaja izrek. Nato s sklepanjem, opiranjem na aksiome in dokazane izreke, pridemo do zaključka, ki je v nasprotju bodisi s pogojem izreka bodisi z enim od aksiomov ali s predhodno dokazanim izrekom. Na podlagi tega sklepamo, da je bila naša predpostavka napačna, kar pomeni, da trditev izreka drži.

vprašanje 13. Kaj je simetrala kota?
Odgovori. Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz oglišča kota, poteka med njegovimi stranicami in deli kot na pol.

Koti, pri katerih je ena stranica skupna, druge stranice pa ležijo na isti premici (na sliki sta kota 1 in 2 sosednja). riž. k čl. Sosednji koti... Velika sovjetska enciklopedija

SOSEDNJI VOGALI- koti, ki imajo skupno oglišče in eno skupna stran, drugi dve strani pa ležita na isti premici ... Velika politehnična enciklopedija

Glej kot ... Veliki enciklopedični slovar

SOSEDNJA KOTNIKA, dva kota, katerih vsota je 180°. Vsak od teh vogalov se dopolnjuje do polnega kota ... Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar

Glej Kot. * * * SOSEDNJI VOGALI SOSEDNJI VOGALI, glej Vogal (glej VOGALNIK) … enciklopedični slovar

- (Sosednji koti) tisti, ki imajo skupno oglišče in skupno stranico. Večinoma to ime pomeni take S. kote, od katerih drugi dve stranici ležita v nasprotnih smereh ene ravne črte, potegnjene skozi oglišče ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Glej kot ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Črti se sekata in ustvarita par navpičnih kotov. En par sestavljata kota A in B, drugi pa C in D. V geometriji dva kota imenujemo navpična, če nastaneta s presečiščem dveh ... Wikipedia

Par komplementarnih kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj Komplementarni kot je par kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Če sta dva komplementarna kota sosednja (to pomeni, da imata skupno oglišče in sta ločena le ... ... Wikipedia

Par komplementarnih kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Komplementarni koti so pari kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Če sta dva dodatna kota c ... Wikipedia

knjige

• O dokazu v geometriji, Fetisov A.I. Ta knjiga bo izdelana v skladu z vašim naročilom s tehnologijo Print-on-Demand. Nekoč, na samem začetku šolskega leta, sem slučajno slišala pogovor med dvema dekletoma. Najstarejši …
• Obsežen zvezek za kontrolo znanja. Geometrija. 7. razred. Zvezni državni izobraževalni standard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. V priročniku so predstavljena kontrolno-merilna gradiva (KMI) iz geometrije za izvajanje tekočega, tematskega in zaključnega preverjanja kakovosti znanja učencev 7. razreda. Vsebina vodnika…

Znana vrednost glavnega kota α₁ = α₂ = 180°-α.

Od tega obstajajo. Če sta dva kota sosednja in enaka hkrati, sta prava kota. Če je eden od sosednjih kotov pravi, to je 90 stopinj, potem je tudi drugi kot pravi. Če je eden od sosednjih kotov oster, potem bo drugi top. Podobno, če je eden od kotov tup, potem bo drugi oster.

Ostri kot je tisti, katerega mera je manjša od 90 stopinj, vendar večja od 0. Tupi kot ima mero večjo od 90 stopinj, vendar manjšo od 180.

Druga lastnost sosednjih kotov je formulirana takole: če sta dva kota enaka, so enaki tudi koti, ki mejijo nanju. To je, da če obstajata dva kota, katerih stopinjska mera je enaka (na primer je 50 stopinj) in hkrati ima eden od njiju sosednji kot, potem vrednosti teh sosednjih kotov tudi sovpadajo (v primeru bo njihova stopinjska mera 130 stopinj).

Viri:

• Veliki enciklopedični slovar - sosednji vogali
• 180 stopinjski kot

Beseda "" ima različne interpretacije. V geometriji je kot del ravnine, ki ga omejujeta dva žarka, ki izhajata iz ene točke – oglišča. Kdaj pogovarjamo se o ravnih, ostrih, razvitih kotih, potem so mišljeni geometrijski koti.

Kot vsako obliko v geometriji lahko tudi kote primerjamo. Enakost kotov je določena z gibanjem. Kot je enostavno razdeliti na dva enaka dela. Delitev na tri dele je malo težja, a se vseeno da z ravnilom in šestilom. Mimogrede, ta naloga se je zdela precej težka. Geometrično enostavno je opisati, da je en kot večji ali manjši od drugega.

Kot enota za merjenje kotov je sprejeta 1/180 razvitega kota. Vrednost kota je število, ki kaže, kolikokrat se kot, izbran za mersko enoto, prilega zadevni sliki.

Vsak kot ima stopinjsko mero, večjo od nič. Ravni kot je 180 stopinj. Šteje se, da je stopinjska mera kota enaka vsoti stopinjskih mer kotov, na katere je razdeljen s katerim koli žarkom na ravnini, omejeni z njegovimi stranicami.

Iz katerega koli žarka dano letalo lahko določite kot z neko stopinjsko mero, ki ne presega 180. Poleg tega bo samo en tak kot. Mera ravnega kota, ki je del polravnine, je stopinjska mera kota s podobnimi stranicami. Mera ravnine kota, ki vsebuje polravnino, je vrednost 360 ​​– α, kjer je α stopinjska mera komplementarnega ravnega kota.

Stopinjska mera kota omogoča prehod od njihovega geometrijskega opisa k numeričnemu. Torej, pravi kot je kot enak 90 stopinj, tup kot je kot manjši od 180 stopinj, vendar večji od 90, oster kot ne presega 90 stopinj.

Poleg stopinj obstaja radianska mera kota. V planimetriji je dolžina podobna L, polmer je r in ustrezen osrednji kot– a. Poleg tega so ti parametri povezani z razmerjem α = L/r. To je osnova radianske mere kotov. Če je L=r, bo kot α enak enemu radianu. Radianska mera kota je torej razmerje med dolžino loka, ki ga nariše poljuben polmer in je zaprt med stranicama tega kota, in polmerom loka. Popolna rotacija v stopinjah (360 stopinj) ustreza 2π v radianih. Ena je 57,2958 stopinj.

Sorodni videoposnetki

Viri:

• formulo stopinjske mere kotov

Geometrija je zelo večplastna veda. Razvija logiko, domišljijo in inteligenco. Seveda zaradi svoje kompleksnosti in ogromnega števila izrekov in aksiomov šolarjem ni vedno všeč. Poleg tega je treba nenehno dokazovati svoje zaključke z uporabo splošno sprejetih standardov in pravil.

Sosednji in navpični koti so sestavni del geometrije. Zagotovo jih mnogi šolarji preprosto obožujejo, ker so njihove lastnosti jasne in lahko dokazljive.

Oblikovanje vogalov

Vsak kot nastane s presečiščem dveh črt ali z vlečenjem dveh žarkov iz ene točke. Lahko jih imenujemo ena črka ali tri, ki zaporedno označujejo točke konstrukcije vogala.

Kote merimo v stopinjah in jih lahko (odvisno od njihove vrednosti) imenujemo tudi drugače. Torej, obstaja pravi kot, oster, tup in razporejen. Vsako od imen ustreza določeni stopinjski meri ali njenemu intervalu.

Ostri kot je kot, katerega mera ne presega 90 stopinj.

Topi kot je kot, večji od 90 stopinj.

Kot se imenuje pravi, če je njegova mera 90.

V primeru, da ga tvori ena neprekinjena ravna črta in je njegova stopinjska mera 180, se imenuje razvit.

Koti, ki imajo skupno stranico, katere druga stranica se nadaljuje, imenujemo sosednji. Lahko so ostri ali topi. Presečišče črte tvori sosednja kota. Njihove lastnosti so naslednje:

1. Vsota takih kotov bo enaka 180 stopinj (obstaja teorem, ki to dokazuje). Zato je enega od njih mogoče enostavno izračunati, če je drugi znan.
2. Iz prve točke izhaja, da sosednjih kotov ne moreta tvoriti dva tupa ali dva ostra kota.

Zahvaljujoč tem lastnostim lahko vedno izračunate stopinjsko mero kota, ki ima vrednost drugega kota ali glede na vsaj, odnos med njima.

Navpični koti

Koti, katerih stranice se medsebojno nadaljujejo, se imenujejo navpični. Kot tak par lahko deluje katera koli od njihovih sort. Navpični koti so med seboj vedno enaki.

Nastanejo, ko se črte sekajo. Skupaj z njimi so vedno prisotni sosednji koti. Kot je lahko pri enem sosednji, pri drugem pa navpičen.

Pri prečkanju poljubne črte se upošteva tudi več vrst kotov. Tako premico imenujemo sekanta in tvori ustrezen, enostranski in navzkrižno ležeči kot. Med seboj so enakovredni. Lahko jih gledamo v luči lastnosti, ki jih imajo navpični in sosednji koti.

Tako se zdi, da je tema vogalov precej preprosta in razumljiva. Vse njihove lastnosti si je enostavno zapomniti in dokazati. Reševanje nalog ni težko, dokler koti ustrezajo številski vrednosti. Že naprej, ko se začne študij sin in cos, se boste morali veliko naučiti na pamet kompleksne formule, njihove zaključke in posledice. Do takrat pa lahko samo uživate v enostavnih ugankah, v katerih morate najti sosednje vogale.

V procesu preučevanja predmeta geometrije se koncepti "kota", "navpičnih kotov", "sosednjih kotov" pogosto srečujejo. Razumevanje vsakega od izrazov bo pomagalo razumeti nalogo in jo pravilno rešiti. Kaj so sosednji koti in kako jih določimo?

Sosednji vogali - opredelitev pojma

Izraz "sosednji koti" označuje dva kota, ki ju tvorita skupni žarek in dve dodatni polpremici, ki ležita na isti premici. Vsi trije žarki izhajajo iz iste točke. Skupna polpremica je hkrati stranica enega in drugega kota.

Sosednji vogali – osnovne lastnosti

1. Na podlagi formulacije sosednjih kotov je enostavno videti, da vsota takšnih kotov vedno tvori ravni kot, katerega stopnja je 180 °:

• Če sta μ in η sosednja kota, potem je μ + η = 180°.
• Če poznamo vrednost enega od sosednjih kotov (na primer μ), lahko zlahka izračunamo stopinjsko mero drugega kota (η) z uporabo izraza η = 180° - μ.

2. Ta lastnost kotov nam omogoča, da potegnemo naslednji sklep: kot, ki je sosednji pravi kot, bo tudi naravnost.

3. Upoštevanje trigonometrične funkcije(sin, cos, tg, ctg), na podlagi redukcijskih formul za sosednja kota μ in η velja naslednje:

• sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° - μ) = -ctgμ.

Sosednji vogali - primeri

Primer 1

Podan je trikotnik z oglišči M, P, Q – ΔMPQ. Poiščite kote, ki mejijo na kote ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Razširimo vsako stran trikotnika kot ravno črto.
• Ker vemo, da se sosednji koti dopolnjujejo v ravni kot, ugotovimo, da:

ki meji na kot ∠QMP je ∠LMP,

ki meji na kot ∠MPQ je ∠SPQ,

sosednji kot za ∠PQM je ∠HQP.

Primer 2

Vrednost enega sosednjega kota je 35°. Kakšna je stopinjska mera drugega sosednjega kota?

• Seštevek dveh sosednjih kotov znaša 180°.
• Če je ∠μ = 35°, potem je sosednji kot ∠η = 180° – 35° = 145°.

Primer 3

Določite vrednosti sosednjih kotov, če je znano, da je stopinjska mera enega od spodnjih kotov trikrat večja od stopinjske mere drugega kota.

• Označimo vrednost enega (manjšega) kota skozi – ∠μ = λ.
• Potem bo glede na pogoj problema vrednost drugega kota enaka ∠η = 3λ.
• Na podlagi osnovne lastnosti sosednjih kotov sledi μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Torej je prvi kot ∠μ = λ = 45°, drugi kot pa ∠η = 3λ = 135°.

Sposobnost nanašanja na terminologijo, pa tudi poznavanje osnovnih lastnosti sosednjih kotov bo pomagalo pri reševanju številnih geometrijskih problemov.