• Prevajanje

Lastnosti praštevila najprej začel študirati matematiko Antična grčija. Matematike pitagorejske šole (500 - 300 pr. n. št.) so zanimale predvsem mistične in numerološke lastnosti praštevil. Bili so prvi, ki so prišli do idej o popolnih in prijaznih številkah.

Popolno število ima vsoto lastnih deliteljev, ki je enaka sebi. Pravilni delitelji števila 6 so na primer 1, 2 in 3. 1 + 2 + 3 = 6. Delitelji števila 28 so 1, 2, 4, 7 in 14. Poleg tega je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Števila imenujemo prijazna, če je vsota pravilnih deliteljev enega števila enaka drugemu in obratno - na primer 220 in 284. Lahko rečemo, da je popolno število prijazno do sebe.

V času Evklidovih Elementov leta 300 pr. Več pomembnih dejstev o praštevilih je bilo že dokazanih. V 9. knjigi Elementov je Evklid dokazal, da obstaja neskončno število praštevil. Mimogrede, to je eden prvih primerov uporabe dokaza s protislovjem. Dokaže tudi temeljni izrek aritmetike - vsako celo število je mogoče edinstveno predstaviti kot produkt praštevil.

Pokazal je tudi, da če je število 2n-1 praštevilo, potem bo število 2n-1 * (2n-1) popolno. Drugemu matematiku, Eulerju, je leta 1747 uspelo dokazati, da je mogoče vsa celo popolna števila zapisati v tej obliki. Do danes ni znano, ali liha popolna števila obstajajo.

Leta 200 pr. Grk Eratosten je izumil algoritem za iskanje praštevil, imenovan Eratostenovo sito.

In potem je prišlo do velikega preloma v zgodovini študija praštevil, povezanega s srednjim vekom.

Do naslednjih odkritij je že v začetku 17. stoletja prišel matematik Fermat. Dokazal je domnevo Alberta Girarda, da je vsako praštevilo oblike 4n+1 mogoče enolično zapisati kot vsoto dveh kvadratov, in oblikoval izrek, da je vsako število mogoče zapisati kot vsoto štirih kvadratov.

Razvil se je nova metoda faktorizacija velike številke, in to demonstriral na številu 2027651281 = 44021 × 46061. Prav tako je dokazal mali Fermatov izrek: če je p praštevilo, potem za vsako celo število a velja, da je a p = a modulo p.

Ta izjava dokazuje polovico tistega, kar je bilo znano kot "kitajska domneva" in sega 2000 let nazaj: celo število n je pra, če in samo če je 2 n -2 deljivo z n. Drugi del hipoteze se je izkazal za napačnega - na primer 2.341 - 2 je deljivo s 341, čeprav je število 341 sestavljeno: 341 = 31 × 11.

Fermatov mali izrek je služil kot podlaga za številne druge rezultate v teoriji števil in metode za preverjanje, ali so števila praštevila - od katerih se mnoge uporabljajo še danes.

Fermat si je veliko dopisoval s svojimi sodobniki, zlasti z menihom po imenu Maren Mersenne. V enem od svojih pisem je postavil hipotezo, da bodo števila v obliki 2 n +1 vedno praštevila, če je n potenca dvojke. To je preizkusil za n = 1, 2, 4, 8 in 16 in bil prepričan, da v primeru, ko n ni potenca dvojke, število ni nujno praštevilo. Ta števila imenujemo Fermatova števila in šele 100 let pozneje je Euler pokazal, da je naslednje število, 2 32 + 1 = 4294967297, deljivo s 641 in torej ni praštevilo.

Števila oblike 2 n - 1 so bila prav tako predmet raziskav, saj je enostavno dokazati, da če je n sestavljeno, je tudi samo število sestavljeno. Ta števila se imenujejo Mersennova števila, ker jih je obširno preučeval.

Toda vsa števila v obliki 2 n - 1, kjer je n praštevilo, niso praštevila. Na primer, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. To je bilo prvič odkrito leta 1536.

Tovrstna števila so matematikom dolga leta zagotavljala največja znana praštevila. Da je M 19 dokazal Cataldi leta 1588 in je bilo 200 let največje znano praštevilo, dokler Euler ni dokazal, da je tudi M 31 praštevilo. Ta zapis je obstal še sto let, nato pa je Lucas pokazal, da je M 127 praštevilo (in to je že 39-mestno število), nato pa so se raziskave nadaljevale s prihodom računalnikov.

Leta 1952 je bila dokazana praštevila števil M 521, M 607, M 1279, M 2203 in M ​​2281.

Do leta 2005 je bilo najdenih 42 Mersennovih praštevil. Največji med njimi, M 25964951, je sestavljen iz 7816230 števk.

Eulerjevo delo je imelo velik vpliv na teorijo števil, vključno s praštevili. Razširil je mali Fermatov izrek in uvedel φ-funkcijo. Faktoriziral 5. Fermatovo število 2 32 +1, našel 60 parov prijaznih števil in formuliral (vendar ni mogel dokazati) kvadratni zakon vzajemnosti.

Bil je prvi, ki je uvedel metode matematične analize in razvil analitično teorijo števil. Dokazal je, da ni samo harmonična vrsta ∑ (1/n), ampak tudi vrsta oblike

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Tudi rezultat, dobljen z vsoto recipročnih vrednosti praštevil, se razlikuje. Vsota n členov harmoničnega niza raste približno kot log(n), drugi niz pa divergira počasneje kot log[ log(n)]. To pomeni, da je na primer znesek vzajemnosti za vsa praštevila, najdena do danes, bo dala le 4, čeprav se serija še vedno razlikuje.

Na prvi pogled se zdi, da so praštevila precej naključno porazdeljena med cela števila. Na primer, med 100 števili neposredno pred 10000000 je 9 praštevil, med 100 števili takoj za to vrednostjo pa sta le 2. Toda po velikih segmentih so praštevila porazdeljena precej enakomerno. Legendre in Gauss sta se ukvarjala z vprašanji njihove distribucije. Gauss je nekoč rekel prijatelju, da v vseh prostih 15 minutah vedno prešteje število praštevil v naslednjih 1000 številih. Do konca življenja je preštel vsa praštevila do 3 milijone. Legendre in Gauss sta prav tako izračunala, da je za velike n gostota praštevil 1/log(n). Legendre je ocenil število praštevil v območju od 1 do n kot

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

In Gauss je kot logaritemski integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Z integracijskim intervalom od 2 do n.

Trditev o gostoti praštevil 1/log(n) je znana kot izrek o praštevilih. To so poskušali dokazati skozi vse 19. stoletje, napredek pa sta dosegla Čebišev in Riemann. Povezali so jo z Riemannovo hipotezo, še nedokazano hipotezo o porazdelitvi ničel Riemannove funkcije zeta. Gostoto praštevil sta leta 1896 istočasno dokazala Hadamard in Vallée-Poussin.

V teoriji praštevil je še veliko nerešenih vprašanj, nekatera so stara več sto let:

• Hipoteza dvojnih praštevil govori o neskončnem številu parov praštevil, ki se med seboj razlikujejo za 2
• Goldbachova domneva: vsako sodo število, začenši s 4, je mogoče predstaviti kot vsoto dveh praštevil
• Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n 2 + 1?
• Ali je vedno mogoče najti praštevilo med n 2 in (n + 1) 2? (dejstvo, da je med n in 2n vedno praštevilo, je dokazal Čebišev)
• Ali je število Fermatovih praštevil neskončno? Ali obstajajo Fermatova praštevila po 4?
• ali obstaja aritmetična progresija zaporednih praštevil za poljubno dolžino? na primer za dolžino 4: 251, 257, 263, 269. Največja ugotovljena dolžina je 26.
• Ali obstaja neskončno število nizov treh zaporednih praštevil v aritmetičnem napredovanju?
• n 2 - n + 41 je praštevilo za 0 ≤ n ≤ 40. Ali obstaja neskončno število takih praštevil? Isto vprašanje za formulo n 2 - 79 n + 1601. Ta števila so praštevila za 0 ≤ n ≤ 79.
• Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n# + 1? (n# je rezultat množenja vseh praštevil, manjših od n)
• Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n# -1?
• Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n? + 1?
• Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n? - 1?
• če je p pra, ali 2 p -1 vedno ne vsebuje prakvadratov med faktorji?
• Ali Fibonaccijevo zaporedje vsebuje neskončno število praštevil?

Največja praštevila dvojčka sta 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sestavljena sta iz 58711 števk in sta bila odkrita leta 2007.

Največje faktorialno praštevilo (tipa n! ± 1) je 147855! - 1. Sestavljen je iz 142891 števk in je bil najden leta 2002.

Največje praštevilo (število v obliki n# ± 1) je 1098133# + 1.

Oznake: dodajte oznake

Števila so različna: naravna, racionalna, racionalna, cela in ulomka, pozitivna in negativna, kompleksna in praštevila, liha in soda, realna itd. Iz tega članka lahko izveste, kaj so praštevila.

Katera števila se v angleščini imenujejo "preprosta"?

Zelo pogosto šolarji ne znajo odgovoriti na eno na prvi pogled najbolj preprostih vprašanj v matematiki, kaj je praštevilo. Praštevila pogosto zamenjujejo z naravnimi števili (torej s števili, ki jih ljudje uporabljajo pri štetju predmetov, pri čemer se v nekaterih virih začnejo z ničlo, v drugih pa z enico). Ampak to sta popolnoma dva različna pojma. Praštevila so naravna števila, to so cela in pozitivna števila, ki so večja od ena in imajo samo 2 naravna delitelja. Poleg tega je eden od teh deliteljev dano število, drugi pa ena. Na primer, tri je praštevilo, ker ga brez ostanka ni mogoče deliti z nobenim drugim številom razen s samim seboj in z enico.

Sestavljena števila

Nasprotje praštevil so sestavljena števila. So tudi naravni, tudi večji od ena, vendar nimajo dveh, ampak večje število deliteljev. Tako so na primer števila 4, 6, 8, 9 itd. naravna, sestavljena, ne pa praštevila. Kot lahko vidite, so to večinoma soda števila, vendar ne vsa. Toda "dva" je sodo število in "prvo število" v nizu praštevil.

Naknadno zaporedje

Če želite sestaviti niz praštevil, morate izbrati med vsemi naravnimi števili, pri čemer upoštevate njihovo definicijo, to pomeni, da morate delovati v nasprotju. Vsako od pozitivnih naravnih števil je treba pregledati, ali ima več kot dva delitelja. Poskusimo zgraditi vrsto (zaporedje), ki je sestavljena iz praštevil. Seznam se začne z dvema, sledijo ji trije, saj je deljiv samo s seboj in z enico. Razmislite o številki štiri. Ali ima delitelje, ki niso štiri in ena? Da, to število je 2. Torej štiri ni praštevilo. Pet je tudi praštevilo (ni deljivo z nobenim drugim številom, razen z 1 in 5), šest pa je deljivo. In na splošno, če sledite vsem sodim številom, boste opazili, da razen "dve" nobeno od njih ni pra. Iz tega sklepamo, da soda števila, razen dveh, niso praštevila. Še eno odkritje: vsa števila, deljiva s tri, razen same trojke, sode ali lihe, tudi niso praštevila (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 itd.). Enako velja za števila, ki so deljiva s pet in sedem. Tudi vsa njihova množica ni preprosta. Naj povzamemo. Torej preprosta enomestna števila vključujejo vsa liha števila razen ena in devet, celo "dva" pa so soda števila. Same desetice (10, 20, ... 40 itd.) niso enostavne. Dvomestna, trimestna itd. praštevila lahko določimo na podlagi zgornjih načel: če nimajo drugih deliteljev razen sebe in enice.

Teorije o lastnostih praštevil

Obstaja znanost, ki preučuje lastnosti celih števil, vključno s praštevili. To je veja matematike, ki se imenuje višja. Poleg lastnosti celih števil se ukvarja tudi z algebrskimi in transcendentnimi števili ter funkcijami različnih izvorov, ki so povezane z aritmetiko teh števil. V teh študijah je poleg osnovne in algebraične metode, uporabljajo se tudi analitični in geometrijski. Natančneje, "teorija števil" se ukvarja s preučevanjem praštevil.

Praštevila so "gradniki" naravnih števil

V aritmetiki obstaja izrek, imenovan temeljni izrek. Po njenih besedah ​​koli naravno število, razen enega, lahko predstavimo kot produkt, katerega faktorji so praštevila, vrstni red faktorjev pa je edinstven, to pomeni, da je način predstavitve edinstven. Imenuje se faktoring naravnega števila na prafaktorje. Obstaja še eno ime za ta proces - faktorizacija števil. Na podlagi tega lahko praštevila imenujemo "gradbeni material", "bloki" za konstrukcijo naravnih števil.

Iskanje praštevil. Preizkusi enostavnosti

Mnogi znanstveniki iz različnih časov so poskušali najti nekaj principov (sistemov) za iskanje seznama praštevil. Znanost pozna sisteme, imenovane Atkinovo sito, Sundarthamovo sito in Eratostenovo sito. Vendar ne dajejo pomembnih rezultatov in za iskanje praštevil se uporablja preprost test. Matematiki so ustvarili tudi algoritme. Običajno se imenujejo primarni testi. Na primer, obstaja test, ki sta ga razvila Rabin in Miller. Uporabljajo ga kriptografi. Obstaja tudi test Kayal-Agrawal-Sasquena. Vendar pa je kljub zadostni natančnosti zelo težko izračunati, kar zmanjšuje njegov praktični pomen.

Ali ima množica praštevil mejo?

Starogrški znanstvenik Evklid je v svoji knjigi "Elementi" zapisal, da je množica praštevil neskončna. Rekel je tole: »Za trenutek si predstavljajmo, da imajo praštevila mejo. Nato jih pomnožimo med seboj in zmnožku prištejmo ena. Število, ki izhaja iz teh preprosta dejanja, ni mogoče deliti z nobenim od številnih praštevil, ker bo ostanek vedno ena. To pomeni, da obstaja še kakšno drugo število, ki še ni vključeno na seznam praštevil. Zato naša predpostavka ne drži in ta množica ne more imeti meje. Poleg Evklidovega dokaza obstaja sodobnejša formula, ki jo je podal švicarski matematik iz osemnajstega stoletja Leonhard Euler. Po njej recipročna vsota vsote prvih n števil neomejeno raste z večanjem števila n. In tukaj je formula izreka o porazdelitvi praštevil: (n) raste kot n/ln (n).

Katero je največje praštevilo?

Isti Leonard Euler je lahko našel največje praštevilo svojega časa. To je 2 31 - 1 = 2147483647. Vendar pa je bilo do leta 2013 izračunano še eno najbolj natančno največje število na seznamu praštevil - 2 57885161 - 1. Imenuje se Mersennovo število. Vsebuje približno 17 milijonov decimalne števke. Kot lahko vidite, je število, ki ga je našel znanstvenik iz osemnajstega stoletja, nekajkrat manjše od tega. Moralo bi biti tako, saj je Euler ta izračun opravil ročno, našemu sodobniku pa je verjetno pomagal računalnik. Še več, to številko so pridobili na Fakulteti za matematiko na enem od ameriških oddelkov. Številke, poimenovane po tem znanstveniku, prestanejo Luc-Lemairov test primalite. Vendar se znanost ne želi ustaviti pri tem. Fundacija Electronic Frontier, ki je bila ustanovljena leta 1990 v Združenih državah Amerike (EFF), je ponudila denarno nagrado za iskanje velikih praštevil. In če so do leta 2013 nagrado podeljevali tistim znanstvenikom, ki so jih našli med 1 in 10 milijoni decimalnih števil, je danes ta številka dosegla od 100 milijonov do 1 milijarde. Nagrade se gibljejo od 150 do 250 tisoč ameriških dolarjev.

Imena posebnih praštevil

Tiste številke, ki so bile ugotovljene zahvaljujoč algoritmom, ki so jih ustvarili določeni znanstveniki in opravile test preprostosti, se imenujejo posebne. Tukaj je nekaj izmed njih:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Enostavnost teh številk, poimenovanih po zgornjih znanstvenikih, ugotavljamo z naslednjimi testi:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge in drugi.

Sodobna znanost se tu ne ustavi in ​​verjetno bo v bližnji prihodnosti svet izvedel imena tistih, ki so z iskanjem največjega praštevila lahko prejeli nagrado 250.000 dolarjev.

Opredelitev 1. praštevilo− je naravno število, večje od tistega, ki je deljivo samo s seboj in z 1.

Z drugimi besedami, število je pra, če ima samo dva različna naravna delitelja.

Opredelitev 2. Vsako naravno število, ki ima poleg sebe in ena še druge delitelje, imenujemo sestavljeno število.

Z drugimi besedami, naravna števila, ki niso praštevila, imenujemo sestavljena števila. Iz definicije 1 sledi, da ima sestavljeno število več kot dva naravna faktorja. Število 1 ni niti praštevilo niti sestavljeno, ker ima samo en delitelj 1 in poleg tega številni izreki o praštevilih ne veljajo za enoto.

Iz definicij 1 in 2 sledi, da je vsako pozitivno celo število, večje od 1, praštevilo ali sestavljeno število.

Spodaj je program za prikaz praštevil do 5000. Izpolnite celice, kliknite na gumb "Ustvari" in počakajte nekaj sekund.

Tabela praštevil

Izjava 1. če str- praštevilo in a poljubno celo število, potem bodisi a deljeno s str, oz str in a soprosta števila.

res. če str Praštevilo je deljivo le samo s seboj in z 1, če a ni deljivo z str, takrat največji skupni delilnik a in str je enako 1. Potem str in a soprosta števila.

Izjava 2. Če je produkt več števil števil a 1 , a 2 , a 3, ... je deljivo s praštevilom str, potem glede na vsaj ena od številk a 1 , a 2 , a 3, ...deljivo z str.

res. Če nobeno od števil ni bilo deljivo z str, nato pa številke a 1 , a 2 , a 3, ... bi bila enako praštevila glede na str. Toda iz posledice 3 () sledi, da je njihov produkt a 1 , a 2 , a 3, ... je tudi relativno praštevilno glede na str, kar je v nasprotju s pogojem izjave. Zato je vsaj eno od števil deljivo s str.

Izrek 1. Vsako sestavljeno število je vedno mogoče predstaviti in poleg tega edina pot kot produkt končnega števila praštevil.

Dokaz. Pustiti k sestavljeno število in pustimo a 1 je eden od njegovih deliteljev, ki se razlikuje od 1 in samega sebe. če a 1 je sestavljen, potem ima poleg 1 in a 1 in še en delitelj a 2. če a 2 je sestavljeno število, potem ima poleg 1 in a 2 in še en delitelj a 3. Tako razmišljanje in ob upoštevanju, da številke a 1 , a 2 , a 3 , ... zmanjšati in ta niz vsebuje končno število členov, bomo dosegli neko praštevilo str 1. Potem k lahko predstavimo v obliki

Recimo, da obstajata dve razgradnji števila k:

Ker k=p 1 str 2 str 3...deljivo s praštevilom q 1, potem vsaj enega od dejavnikov, npr str 1 je deljivo z q 1. Ampak str 1 je praštevilo in je deljivo samo z 1 in samim seboj. Zato str 1 =q 1 (ker q 1 ≠1)

Potem lahko iz (2) izključimo str 1 in q 1:

Tako smo prepričani, da se vsako praštevilo, ki se enkrat ali večkrat pojavi kot faktor v prvi razširitvi, vsaj tolikokrat pojavi tudi v drugi razširitvi, in obratno, vsako praštevilo, ki se pojavi kot faktor v drugi razširitvi enkrat ali večkrat se pojavi tudi v prvi razširitvi vsaj enako število krat. Zato se katero koli praštevilo pojavi kot faktor v obeh razširitvah enako pogosto in sta torej ti dve razširitvi enaki.■

Razširitev sestavljenega števila k lahko zapišemo v naslednji obliki

(3)

Kje str 1 , str 2, ... različna praštevila, α, β, γ ... pozitivna cela števila.

Razširitev (3) se imenuje kanonična razširitevštevilke.

Praštevila se v vrsti naravnih števil pojavljajo neenakomerno. V nekaterih delih vrste jih je več, v drugih - manj. Bolj kot se premikamo po številski vrsti, manj pogosta so praštevila. Postavlja se vprašanje, ali obstaja največje praštevilo? Starogrški matematik Evklid je dokazal, da je praštevil neskončno veliko. Ta dokaz predstavljamo spodaj.

Izrek 2. Število praštevil je neskončno.

Dokaz. Recimo, da obstaja končno število praštevil in naj bo največje praštevilo str. Upoštevajmo, da so vsa števila večja str. Po predpostavki izjave morajo biti ta števila sestavljena in morajo biti deljiva z vsaj enim od praštevil. Izberimo število, ki je produkt vseh teh praštevil plus 1:

številka z več str Ker 2pže več str. str ni deljivo z nobenim od teh praštevil, ker pri deljenju z vsakim od njih dobi ostanek 1. Tako pridemo do protislovja. Zato obstaja neskončno število praštevil.

Ta izrek je poseben primer bolj splošnega izreka:

Izrek 3. Naj bo podana aritmetična progresija

Nato poljubno praštevilo, vključeno v n, je treba vključiti v m, torej v n drugi glavni faktorji, ki niso vključeni v m in poleg tega ti glavni dejavniki v n so vključeni največkrat kot v m.

Velja tudi obratno. Če vsak prafaktor števila n vključeni vsaj tolikokrat v število m, To m deljeno s n.

Izjava 3. Pustiti a 1 ,a 2 ,a 3,... različna praštevila vključena v m torej

Kje jaz=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . obvestilo, to αi sprejme α +1 vrednosti, β j sprejme β +1 vrednosti, γ k sprejme γ +1 vrednosti, ... .

V tem članku bomo raziskali praštevila in sestavljena števila. Najprej bomo podali definicije praštevil in sestavljenih števil ter podali primere. Nato bomo dokazali, da je praštevil neskončno veliko. Nato bomo zapisali tabelo praštevil in razmislili o metodah za sestavljanje tabele praštevil, pri čemer bomo posebno pozornost namenili metodi, imenovani Eratostenovo sito. Na koncu bomo poudarili glavne točke, ki jih je treba upoštevati pri dokazovanju, da je dano število praštevilo ali sestavljeno.

Navigacija po straneh.

Praštevila in sestavljena števila – definicije in primeri

Koncepti praštevil in sestavljenih števil se nanašajo na števila, ki so večja od ena. Takšna cela števila, glede na število njihovih pozitivnih deliteljev, delimo na praštevila in sestavljena števila. Torej razumeti definicije praštevil in sestavljenih števil, morate dobro razumeti, kaj so delitelji in večkratniki.

Opredelitev.

praštevila so cela števila, velike enote, ki imajo samo dva pozitivna delitelja, in sicer sebe in 1.

Opredelitev.

Sestavljena števila so cela števila, velika, ki imajo vsaj tri pozitivne delitelje.

Ločeno ugotavljamo, da številka 1 ne velja niti za praštevila niti za sestavljena števila. Enota ima samo en pozitivni delitelj, ki je samo število 1. To razlikuje število 1 od vseh drugih pozitivnih celih števil, ki imajo vsaj dva pozitivna delitelja.

Glede na to, da so pozitivna cela števila , in da ima eno le en pozitivni delitelj, lahko podamo še druge formulacije navedenih definicij praštevil in sestavljenih števil.

Opredelitev.

praštevila so naravna števila, ki imajo samo dva pozitivna delitelja.

Opredelitev.

Sestavljena števila so naravna števila, ki imajo več kot dva pozitivna delitelja.

Upoštevajte, da je vsako pozitivno celo število, večje od ena, praštevilo ali sestavljeno število. Z drugimi besedami, ni niti enega celega števila, ki ne bi bilo niti praštevilno niti sestavljeno. To izhaja iz lastnosti deljivosti, ki pravi, da sta števili 1 in a vedno delitelja katerega koli celega števila a.

Na podlagi informacij iz prejšnjega odstavka lahko podamo naslednjo definicijo sestavljenih števil.

Opredelitev.

Naravna števila, ki niso praštevila, imenujemo sestavljeno.

Dajmo primeri praštevil in sestavljenih števil.

Primeri sestavljenih števil so 6, 63, 121 in 6697. Tudi to izjavo je treba pojasniti. Število 6 ima poleg pozitivnih deliteljev 1 in 6 še delitelja 2 in 3, saj je 6 = 2 3, zato je 6 resnično sestavljeno število. Pozitivni dejavniki števila 63 so števila 1, 3, 7, 9, 21 in 63. Število 121 je enako zmnožku 11·11, zato so njegovi pozitivni delitelji 1, 11 in 121. In število 6.697 je sestavljeno, saj sta njegova pozitivna delitelja poleg 1 in 6.697 tudi števili 37 in 181.

Za zaključek te točke bi rad opozoril tudi na dejstvo, da praštevila in sopraštevila še zdaleč niso ista stvar.

Tabela praštevil

Praštevila so za lažjo nadaljnjo uporabo zapisana v tabeli, imenovani tabela praštevil. Spodaj je tabela praštevil do 1.000.

Postavlja se logično vprašanje: "Zakaj smo izpolnili tabelo praštevil samo do 1000, ali ni mogoče ustvariti tabele vseh obstoječih praštevil"?

Najprej odgovorimo na prvi del tega vprašanja. Za večino problemov, ki zahtevajo uporabo praštevil, zadoščajo praštevila znotraj tisoč. V drugih primerih se boste najverjetneje morali zateči k posebnim rešitvam. Čeprav lahko vsekakor ustvarimo tabelo praštevil do poljubno velikega končnega pozitivnega celega števila, pa naj bo to 10.000 ali 1.000.000.000, bomo v naslednjem odstavku govorili o metodah za izdelavo tabel praštevil, še posebej pa si bomo ogledali metodo klical.

Zdaj pa poglejmo možnost (ali bolje rečeno nezmožnost) sestavljanja tabele vseh obstoječih praštevil. Ne moremo narediti tabele vseh praštevil, ker je praštevil neskončno veliko. Zadnja trditev je izrek, ki ga bomo dokazali po naslednjem pomožnem izreku.

Izrek.

Najmanjši pozitivni delitelj naravnega števila, ki je večje od ena, razen 1, je praštevilo.

Dokaz.

Pustiti a je naravno število, večje od ena, in b je najmanjši pozitivni delitelj a, ki ni ena. Dokažimo, da je b praštevilo s protislovjem.

Predpostavimo, da je b sestavljeno število. Nato obstaja delitelj števila b (označimo ga z b 1), ki je različen tako od 1 kot od b. Če upoštevamo še, da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende (to vemo iz lastnosti deljivosti), mora biti pogoj 1 izpolnjen.

Ker je število a po pogoju deljivo z b in smo rekli, da je b deljivo z b 1, nam pojem deljivosti omogoča, da govorimo o obstoju celih števil q in q 1, tako da je a=b q in b=b 1 q 1 , od koder je a= b 1 ·(q 1 ·q) . Iz tega sledi, da je zmnožek dveh celih števil celo število, potem pa enakost a=b 1 ·(q 1 ·q) pomeni, da je b 1 delitelj števila a. Ob upoštevanju zgornjih neenakosti 1

Zdaj lahko dokažemo, da je praštevil neskončno veliko.

Izrek.

Praštevil je neskončno veliko.

Dokaz.

Predpostavimo, da temu ni tako. To pomeni, da je samo n praštevil in ta praštevila so p 1, p 2, ..., p n. Pokažimo, da lahko vedno najdemo praštevilo, ki se razlikuje od navedenih.

Število p naj bo enako p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Jasno je, da se to število razlikuje od praštevil p 1, p 2, ..., p n. Če je število p pra, potem je izrek dokazan. Če je to število sestavljeno, potem na podlagi prejšnjega izreka obstaja pradelilnik tega števila (označujemo ga p n+1). Pokažimo, da ta delitelj ne sovpada z nobenim od števil p 1, p 2, ..., p n.

Če ne bi bilo tako, potem bi glede na lastnosti deljivosti produkt p 1 ·p 2 ·…·p n delili s p n+1. Toda število p je tudi deljivo s p n+1, kar je enako vsoti p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Iz tega sledi, da mora p n+1 deliti drugi člen te vsote, ki je enak ena, vendar je to nemogoče.

Tako je bilo dokazano, da je vedno mogoče najti novo praštevilo, ki ni vključeno med nobeno število vnaprej določenih praštevil. Zato je praštevil neskončno veliko.

Torej, ker je praštevil neskončno veliko, se pri sestavljanju tabel praštevil vedno omejite od zgoraj na neko število, običajno 100, 1.000, 10.000 itd.

Eratostenovo sito

Zdaj bomo razpravljali o načinih za ustvarjanje tabel praštevil. Recimo, da moramo narediti tabelo praštevil do 100.

Najočitnejša metoda za rešitev tega problema je zaporedno preverjanje pozitivnih celih števil, ki se začnejo od 2 do 100, za prisotnost pozitivnega delitelja, ki je večji od 1 in manjši od števila, ki se testira (iz lastnosti deljivosti vemo da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende, ki ni nič). Če takega delitelja ne najdemo, je preizkušeno število praštevilo in se vnese v tabelo praštevil. Če je tak delitelj najden, je testirano število sestavljeno in NI vpisano v tabelo praštevil. Po tem sledi prehod na naslednjo številko, ki se podobno preveri glede prisotnosti delitelja.

Opišimo prvih nekaj korakov.

Začnemo s številko 2. Število 2 nima drugih pozitivnih deliteljev razen 1 in 2. Zato je preprosto, zato ga vnesemo v tabelo praštevil. Tukaj je treba povedati, da je 2 najmanjše praštevilo. Preidimo na številko 3. Njegov možni pozitivni delitelj, ki ni 1 in 3, je število 2. Toda 3 ni deljivo z 2, zato je 3 praštevilo in ga je treba vključiti tudi v tabelo praštevil. Preidimo na številko 4. Njegovi pozitivni delitelji, razen 1 in 4, so lahko števili 2 in 3, preverimo ju. Število 4 je deljivo z 2, zato je 4 sestavljeno število in ga ni treba vključiti v tabelo praštevil. Upoštevajte, da je 4 najmanjše sestavljeno število. Preidimo na številko 5. Preverimo, ali je vsaj eno od števil 2, 3, 4 njegov delitelj. Ker 5 ni deljivo z 2, 3 ali 4, je praštevilo in ga moramo zapisati v tabelo praštevil. Nato sledi prehod na številke 6, 7 in tako naprej do 100.

Ta pristop k sestavljanju tabele praštevil je daleč od idealnega. Tako ali drugače ima pravico do obstoja. Upoštevajte, da lahko s to metodo izdelave tabele celih števil uporabite merila deljivosti, kar bo nekoliko pospešilo postopek iskanja deliteljev.

Obstaja bolj priročen način za ustvarjanje tabele praštevil, ki se imenuje. Beseda "sito", ki je prisotna v imenu, ni naključna, saj dejanja te metode pomagajo, tako rekoč, "presejati" cela števila in velike enote skozi Eratostenovo sito, da bi ločili preproste od sestavljenih.

Pokažimo Eratostenovo sito v akciji pri sestavljanju tabele praštevil do 50.

Najprej zapišite številke 2, 3, 4, ..., 50 po vrsti.

Prvo zapisano število, 2, je praštevilo. Zdaj se od številke 2 zaporedno premaknemo v desno za dve številki in te številke prečrtamo, dokler ne pridemo do konca sestavljene tabele številk. S tem boste prečrtali vsa števila, ki so večkratnika dveh.

Prva številka za 2, ki ni prečrtana, je 3. To število je praštevilo. Zdaj se od številke 3 zaporedno premaknemo v desno za tri številke (upoštevajoč že prečrtane številke) in jih prečrtamo. S tem boste prečrtali vsa števila, ki so večkratnika treh.

Prva številka za 3, ki ni prečrtana, je 5. To število je praštevilo. Zdaj se od številke 5 dosledno premaknemo v desno za 5 številk (upoštevamo tudi prej prečrtane številke) in jih prečrtamo. S tem boste prečrtali vsa števila, ki so večkratnika števila pet.

Nato prečrtamo števila, ki so večkratnika števila 7, nato večkratnika števila 11 in tako naprej. Postopek se konča, ko ni več številk za prečrtanje. Spodaj je izpolnjena tabela praštevil do 50, pridobljena z uporabo Eratostenovega sita. Vsa neprečrtana števila so praštevila, vsa prečrtana števila pa so sestavljena.

Oblikujmo in dokažimo tudi izrek, ki bo pospešil postopek sestavljanja tabele praštevil z uporabo Eratostenovega sita.

Izrek.

Najmanjši pozitivni delitelj sestavljenega števila a, ki je različen od ena, ne presega , kjer je iz a .

Dokaz.

S črko b označimo najmanjši delitelj sestavljenega števila a, ki je različen od ena (število b je pra, kot izhaja iz izreka, dokazanega na samem začetku prejšnjega odstavka). Potem obstaja celo število q tako, da je a=b·q (tukaj je q pozitivno celo število, kar izhaja iz pravil množenja celih števil) in (za b>q je kršen pogoj, da je b najmanjši delitelj a , saj je q tudi delitelj števila a zaradi enakosti a=q·b ). Z množenjem obeh strani neenakosti s pozitivnim in celim številom, večjim od ena (to nam je dovoljeno), dobimo , iz katerega in .

Kaj nam dokazani izrek pove o Eratostenovem situ?

Prvič, prečrtavanje sestavljenih števil, ki so večkratniki praštevila b, se mora začeti s številom, ki je enako (to izhaja iz neenakosti). Na primer, prečrtavanje števil, ki so večkratniki dveh, naj se začne s številko 4, večkratniki treh s številko 9, večkratniki pet s številko 25 itd.

Drugič, sestavljanje tabele praštevil do števila n z uporabo Eratostenovega sita se lahko šteje za dokončano, ko vsa sestavljena števila, ki so večkratniki praštevil, ne presegajo . V našem primeru je n=50 (ker izdelujemo tabelo praštevil do 50) in zato mora Eratostenovo sito izločiti vsa sestavljena števila, ki so večkratnika praštevil 2, 3, 5 in 7, ki ne ne presega aritmetičnega kvadratnega korena iz 50. To pomeni, da nam ni treba več iskati in prečrtati števil, ki so večkratniki praštevil 11, 13, 17, 19, 23 in tako naprej do 47, saj bodo že prečrtana kot večkratniki manjših praštevil 2. , 3, 5 in 7 .

Je to število praštevilo ali sestavljeno?

Pri nekaterih nalogah je treba ugotoviti, ali je dano število praštevilo ali sestavljeno. Na splošno ta naloga še zdaleč ni enostavna, zlasti za številke, katerih pisanje je sestavljeno iz velikega števila znakov. V večini primerov morate poiskati določen način za rešitev. Vendar bomo poskušali usmeriti tok misli za preproste primere.

Seveda lahko poskusite uporabiti teste deljivosti, da dokažete, da je dano število sestavljeno. Če na primer nek preizkus deljivosti pokaže, da je dano število deljivo z nekim pozitivnim celim številom, večjim od ena, potem je prvotno število sestavljeno.

Primer.

Dokaži, da je 898.989.898.989.898.989 sestavljeno število.

rešitev.

Vsota števk tega števila je 9·8+9·9=9·17. Ker je število enako 9·17 deljivo z 9, lahko po deljivosti z 9 rečemo, da je tudi prvotno število deljivo z 9. Zato je sestavljen.

Bistvena pomanjkljivost tega pristopa je, da kriteriji deljivosti ne omogočajo dokazovanja praštevila. Zato morate pri preizkušanju števila, da vidite, ali je praštevilo ali sestavljeno, stvari narediti drugače.

Najbolj logičen pristop je poskusiti vse možne delitelje danega števila. Če nobeden od možnih deliteljev ni pravi delitelj danega števila, bo to število praštevilo, sicer bo sestavljeno. Iz izrekov, dokazanih v prejšnjem odstavku, sledi, da je treba delitelje danega števila a iskati med praštevili, ki ne presegajo . Tako lahko dano število a zaporedno delimo s praštevili (ki jih prikladno vzamemo iz tabele praštevil), pri čemer poskušamo najti delitelj števila a. Če najdemo delitelj, potem je število a sestavljeno. Če med praštevili, ki ne presegajo , ni delitelja števila a, potem je število a praštevilo.

Primer.

številka 11 723 enostavne ali sestavljene?

rešitev.

Ugotovimo, do katerega praštevila so lahko delitelji števila 11.723. Če želite to narediti, ocenimo.

To je precej očitno , od leta 200 2 =40.000 in 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью primerjava številk). Tako so možni prafaktorji 11.723 manjši od 200. Že to nam močno olajša nalogo. Če tega ne bi vedeli, potem bi morali iti skozi vsa praštevila ne do 200, ampak do števila 11.723.

Če želite, lahko ocenite natančneje. Ker je 108 2 =11.664 in 109 2 =11.881, potem je 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Tako je katero koli praštevilo, manjše od 109, potencialno praštevilo danega števila 11.723.

Sedaj bomo število 11.723 zaporedno razdelili na praštevila 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Če število 11.723 delimo z enim od zapisanih praštevil, potem bo sestavljeno. Če ni deljivo z nobenim od zapisanih praštevil, je prvotno število praštevilo.

Vsega tega monotonega in monotonega procesa delitve ne bomo opisovali. Takoj povejmo, da 11.723