Logaritemski izrazi, reševanje primerov. V tem članku si bomo ogledali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja pomena izraza. Opozoriti je treba, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in da je razumevanje njegovega pomena izjemno pomembno. Kar se tiče enotnega državnega izpita, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, pri uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s študijem funkcij.

Za razumevanje samega pomena logaritma navedimo primere:

Osnovna logaritemska identiteta:

Lastnosti logaritmov, ki si jih moramo vedno zapomniti:

*Logaritem produkta enaka vsoti logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem količnika (ulomek) enako razliki logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem eksponenta je enak produktu eksponenta in logaritma njegove osnove.

* * *

*Prehod na novo podlago

* * *

Več nepremičnin:

* * *

Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.

Naštejmo jih nekaj:

Bistvo te lastnosti je, da ko se števec prenese na imenovalec in obratno, se znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:

Posledica te lastnosti:

* * *

Pri povišanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.

* * *

Kot ste videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je, da potrebujete dobro prakso, ki vam daje določeno spretnost. Seveda je potrebno poznavanje formul. Če spretnost pretvorbe osnovnih logaritmov ni bila razvita, potem lahko pri reševanju preprostih nalog zlahka naredite napako.

Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa nadaljujte s kompleksnejšimi. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "strašljivi" logaritmi; ne bodo se pojavili na Enotnem državnem izpitu, vendar so zanimivi, ne zamudite jih!

To je vse! Srečno!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določena oseba ali povezanost z njim.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Navodila

Zapišite dano logaritemski izraz. Če izraz uporablja logaritem 10, je njegov zapis skrajšan in izgleda takole: lg b je decimalni logaritem. Če ima logaritem za osnovo število e, potem zapišite izraz: ln b – naravni logaritem. Razume se, da je rezultat any potenca, na katero je treba dvigniti osnovno število, da dobimo število b.

Pri iskanju vsote dveh funkcij ju preprosto ločite eno za drugo in seštejte rezultate: (u+v)" = u"+v";

Pri iskanju odvoda produkta dveh funkcij je treba odvod prve funkcije pomnožiti z drugo in dodati odvod druge funkcije, pomnožen s prvo funkcijo: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Da bi našli odvod količnika dveh funkcij, je treba od produkta odvoda dividende, pomnoženega s funkcijo delitelja, odšteti produkt odvoda delitelja, pomnoženega s funkcijo dividende, in deliti vse to s funkcijo delitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Če je dano kompleksna funkcija, potem je treba pomnožiti derivat notranja funkcija in izpeljanka zunanjega. Naj bo y=u(v(x)), potem je y"(x)=y"(u)*v"(x).

Z uporabo zgornjih rezultatov lahko ločite skoraj vsako funkcijo. Oglejmo si torej nekaj primerov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Težave so tudi pri izračunu izpeljanke v točki. Naj bo podana funkcija y=e^(x^2+6x+5), vrednost funkcije morate najti v točki x=1.
1) Poiščite odvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunaj vrednost funkcije v dano točko y"(1)=8*e^0=8

Video na temo

Koristen nasvet

Naučite se tabele elementarnih odvodov. To bo znatno prihranilo čas.

Viri:

• derivat konstante

Kakšna je torej razlika med racionalna enačba od racionalnega? Če je neznana spremenljivka pod znakom kvadratni koren, potem enačba velja za iracionalno.

Navodila

Glavna metoda za reševanje takih enačb je metoda konstruiranja obeh strani enačbe v kvadrat. Vendar. to je naravno, prva stvar, ki jo morate storiti, je, da se znebite znaka. Ta metoda tehnično ni težka, včasih pa lahko povzroči težave. Na primer, enačba je v(2x-5)=v(4x-7). Če kvadrirate obe strani, dobite 2x-5=4x-7. Reševanje takšne enačbe ni težko; x=1. Toda številka 1 ne bo dana enačbe. Zakaj? Namesto vrednosti x v enačbo nadomestite 1. Desna in leva stran bosta vsebovali izraze, ki nimajo smisla, tj. Ta vrednost ni veljavna za kvadratni koren. Zato je 1 tuja korenina in zato ta enačba nima korenin.

Torej, iracionalna enačba se rešuje z metodo kvadriranja obeh njenih delov. In po rešitvi enačbe je treba odrezati tuje korenine. Če želite to narediti, zamenjajte najdene korenine v prvotno enačbo.

Razmislite o drugem.
2х+vх-3=0
Seveda je to enačbo mogoče rešiti z uporabo iste enačbe kot prejšnjo. Premaknite spojine enačbe, ki nimajo kvadratnega korena, v desna stran in nato uporabite metodo kvadriranja. reši dobljeno racionalno enačbo in korene. A tudi druga, bolj elegantna. Vnesite novo spremenljivko; vх=y. V skladu s tem boste prejeli enačbo v obliki 2y2+y-3=0. Se pravi običajno kvadratna enačba. Poiščite njene korenine; y1=1 in y2=-3/2. Nato reši dva enačbe vх=1; vх=-3/2. Druga enačba je brez korenin; iz prve ugotovimo, da je x=1. Ne pozabite preveriti korenin.

Reševanje identitet je povsem preprosto. Za to je potrebno izvajati enake transformacije, dokler ni dosežen zastavljeni cilj. Tako bo s pomočjo preprostih aritmetičnih operacij zastavljen problem rešen.

Boste potrebovali

• - papir;
• - pero.

Navodila

Najenostavnejša takšna preoblikovanja so algebrska skrajšana množenja (kot so kvadrat vsote (razlika), razlika kvadratov, vsota (razlika), kub vsote (razlika)). Poleg tega obstaja veliko in trigonometrične formule, ki sta v bistvu enaki identiteti.

Dejansko je kvadrat vsote dveh členov enak kvadratu prvega plus dvakratni produkt prvega z drugim in plus kvadrat drugega, to je (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Poenostavite oboje

Splošna načela rešitve

Ponovite učbenik o matematični analizi oz višja matematika, ki je določen integral. Kot je znano, je rešitev določenega integrala funkcija, katere odvod bo dal integrand. Ta funkcija se imenuje antiderivacija. Na podlagi tega principa so zgrajeni glavni integrali.
Glede na vrsto integranda ugotovite, kateri izmed integralov tabele je v tem primeru primeren. Tega ni vedno mogoče takoj ugotoviti. Pogosto postane tabelarična oblika opazna šele po več transformacijah za poenostavitev integranda.

Metoda zamenjave spremenljivke

Če je funkcija integrand trigonometrična funkcija, katerega argument vsebuje nek polinom, nato poskusite uporabiti metodo zamenjave spremenljivke. Da bi to naredili, zamenjajte polinom v argumentu integranda z neko novo spremenljivko. Na podlagi razmerja med novimi in starimi spremenljivkami določite nove meje integracije. Z razlikovanjem tega izraza poiščite nov diferencial v . Torej boste dobili nova vrsta prejšnjega integrala, ki je blizu ali celo ustreza kateremu koli tabelarnemu.

Reševanje integralov druge vrste

Če je integral integral druge vrste, vektorska oblika integranda, potem boste morali uporabiti pravila za prehod iz teh integralov v skalarne. Eno takšnih pravil je relacija Ostrogradsky-Gauss. Ta zakon nam omogoča prehod od rotorskega fluksa določene vektorske funkcije do trojnega integrala glede na divergenco danega vektorskega polja.

Zamenjava integracijskih mej

Po najdbi protiizpeljave je treba zamenjati limite integracije. Najprej zamenjajte vrednost zgornje meje v izraz za antiizpeljavo. Dobili boste nekaj številk. Nato od dobljenega števila odštejemo drugo število, dobljeno iz spodnje meje v protiizpeljavo. Če je ena od meja integracije neskončnost, jo pri zamenjavi v antiderivativna funkcija treba je iti do meje in najti tisto, k čemur izraz teži.
Če je integral dvodimenzionalen ali tridimenzionalen, boste morali meje integracije predstaviti geometrijsko, da boste razumeli, kako ovrednotiti integral. V primeru, recimo, tridimenzionalnega integrala, so meje integracije lahko celotne ravnine, ki omejujejo prostornino, ki se integrira.

Danes bomo govorili o logaritemske formule in dali bomo okvirno primeri rešitev.

Sami nakazujejo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabimo logaritemske formule za reševanje, naj vas spomnimo na vse lastnosti:

Zdaj bomo na podlagi teh formul (lastnosti) pokazali primeri reševanja logaritmov.

Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.

Logaritem pozitivno število b na osnovo a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.

Po definiciji je log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.

Logaritmi, primeri:

log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8

dnevnik 7 49 = 2, ker 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritem- to je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.

log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100

Naravni logaritem- tudi navaden logaritem, logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828... - iracionalno število). Označeno kot ln.

Formule oziroma lastnosti logaritmov si je priporočljivo zapomniti, ker jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemske enačbe in neenakosti. Ponovno preučimo vsako formulo s primeri.

• Osnovna logaritemska identiteta
  hlod a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Lastnosti potence logaritemskega števila in osnove logaritma

  Eksponent logaritma številke dnevnika a b m = mlog a b

  Osnovni eksponent logaritem dnevnik a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  če je m = n, dobimo log a n b n = log a b

  dnevnik 4 9 = dnevnik 2 2 3 2 = dnevnik 2 3

• Prehod na novo podlago
  log a b = log c b/log c a,

  če je c = b, dobimo log b b = 1

  potem je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo si ogledali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb si bomo podrobneje ogledali v članku: "". Ne spreglejte!

Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih napišite v komentarje k članku.

Opomba: odločili smo se za drug razred izobraževanja in študij v tujini kot možnost.

1.1. Določanje eksponenta za celoštevilski eksponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N-krat

1.2. Nič stopinj.

Po definiciji je splošno sprejeto, da je ničelna potenca katerega koli števila 1:

1.3. Negativna stopnja.

X -N = 1/X N

1.4. Delna moč, koren.

X 1/N = N koren iz X.

Na primer: X 1/2 = √X.

1.5. Formula za dodajanje moči.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formula za odštevanje potence.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula za množenje potenc.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula za dvig ulomka na potenco.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Število e.

Vrednost števila e je enaka naslednji meji:

E = lim(1+1/N), ko je N → ∞.

S 17-mestno natančnostjo je število e 2,71828182845904512.

3. Eulerjeva enakost.

Ta enakost povezuje pet števil, ki imajo v matematiki posebno vlogo: 0, 1, e, pi, imaginarna enota.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponentna funkcija exp(x)

exp(x) = e x

5. Odvod eksponentne funkcije

Eksponentna funkcija ima izjemno lastnost: odvod funkcije je enak eksponentni funkciji sami:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritem.

6.1. Definicija funkcije logaritem

Če je x = b y, potem je logaritem funkcija

Y = Log b(x).

Logaritem kaže, na kakšno potenco je treba povečati število - osnovo logaritma (b), da dobimo dano število (X). Logaritemska funkcija je definirana za X, ki je večji od nič.

Na primer: dnevnik 10 (100) = 2.

6.2. Decimalni logaritem

To je logaritem z osnovo 10:

Y = dnevnik 10 (x).

Označeno z Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Primer uporabe decimalnega logaritma je decibel.

6.3. decibel

Postavka je označena na ločeni strani Decibel

6.4. Binarni logaritem

To je logaritem z osnovo 2:

Y = log 2 (x).

Označeno z Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Naravni logaritem

To je logaritem z osnovo e:

Y = Log e (x).

Označeno z Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Naravni logaritem je inverzna funkcija eksponentne funkcije exp(X).

6.6. Značilne točke

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formula logaritma produkta

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula za logaritem količnika

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Formula za logaritem moči

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula za pretvorbo v logaritem z drugo osnovo

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

primer:

Dnevnik 2 (8) = Dnevnik 10 (8)/Dnevnik 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formule uporabne v življenju

Pogosto se pojavijo težave pri pretvorbi prostornine v površino ali dolžino in inverzni problem-- pretvorba površine v prostornino. Na primer, plošče se prodajajo v kockah (kubičnih metrih) in moramo izračunati, koliko plošč lahko pokrijemo z deskami v določeni prostornini, glej izračun plošč, koliko plošč je v kocki. Ali pa, če so znane dimenzije stene, morate izračunati število opek, glejte izračun opeke.

Dovoljena je uporaba gradiva spletnega mesta, če je nameščena aktivna povezava do vira.