I. Premo sorazmerne vrednosti.

Naj vrednost l odvisno od velikosti X. Če s povečanjem X nekajkrat večji pri poveča za enak faktor, potem take vrednosti X in pri se imenujejo neposredno sorazmerni.

Primeri.

1 . Količina kupljenega blaga in stroški nakupa (po fiksni ceni ene enote blaga - 1 kos ali 1 kg itd.) Kolikokrat več blaga je bilo kupljeno, tolikokrat več in plačano.

2 . Prevožena razdalja in čas, porabljen za to (pri konstantni hitrosti). Kolikokrat daljša je pot, tolikokrat več časa bomo porabili zanjo.

3 . Prostornina telesa in njegova masa. ( Če je ena lubenica 2-krat večja od druge, bo njena masa 2-krat večja)

II. Lastnost preme sorazmernosti količin.

Če sta dve količini neposredno sorazmerni, potem je razmerje dveh poljubnih vrednosti prve količine enako razmerju dveh ustreznih vrednosti druge količine.

Naloga 1. Za malinovo marmelado 12 kg maline in 8 kg Sahara. Koliko sladkorja bo potrebno, če ga vzamete 9 kg maline?

rešitev.

Trdimo takole: naj bo potrebno x kg sladkor na 9 kg maline. Masa malin in masa sladkorja sta premosorazmerni vrednosti: kolikokrat manj malin potrebujemo enako količino sladkorja. Zato je razmerje vzetih (po masi) malin ( 12:9 ) bo enako razmerju odvzetega sladkorja ( 8:x). Dobimo delež:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. odgovor: na 9 kg maline vzeti 6 kg Sahara.

Rešitev problema lahko bi naredili takole:

Naj naprej 9 kg maline vzeti x kg Sahara.

(Puščice na sliki so usmerjene v eno smer in ni pomembno navzgor ali navzdol. Pomen: kolikokrat število 12 več številk 9 , enako število 8 več številk X, tj. tukaj je neposredna odvisnost).

odgovor: na 9 kg maline vzeti 6 kg Sahara.

Naloga 2. avto za 3 ure prevožena razdalja 264 km. Kako dolgo mu bo vzelo 440 kmče potuje z enako hitrostjo?

rešitev.

Naj za x ur avto bo šel mimo razdalja 440 km.

odgovor: avto bo šel mimo 440 km v 5 urah.

Primer

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 itd.

Faktor sorazmernosti

Konstantno razmerje sorazmernih količin se imenuje koeficient sorazmernosti. Koeficient sorazmernosti kaže, koliko enot ene količine pade na enoto druge.

Neposredna sorazmernost

Neposredna sorazmernost- funkcionalna odvisnost, pri kateri je neka količina odvisna od druge količine tako, da njuno razmerje ostaja konstantno. Z drugimi besedami, te spremenljivke se spreminjajo sorazmerno, v enakih deležih, to je, če se je argument dvakrat spremenil v katero koli smer, potem se tudi funkcija dvakrat spremeni v isto smer.

Matematično je neposredna sorazmernost zapisana kot formula:

f(x) = ax,a = const

Inverzna sorazmernost

Obratno sorazmerje- to je funkcionalna odvisnost, pri kateri povečanje neodvisne vrednosti (argumenta) povzroči sorazmerno zmanjšanje odvisne vrednosti (funkcije).

Matematično je obratna sorazmernost zapisana kot formula:

Lastnosti funkcije:

Viri

Fundacija Wikimedia. 2010.

§ 129. Predhodna pojasnila.

Človek se nenehno ukvarja z najrazličnejšimi količinami. Uslužbenec in delavec se trudita priti na servis, na delo do določene ure, pešec hiti, da bi po najkrajši poti prišel na določeno mesto, vir parnega ogrevanja skrbi, da se temperatura v kotlu počasi dviguje, poslovodja načrtuje znižanje proizvodnih stroškov itd.

Takih primerov bi lahko navedli poljubno število. Čas, razdalja, temperatura, stroški - vse to so različne količine. V prvem in drugem delu te knjige smo se seznanili z nekaterimi posebej pogostimi količinami: ploščino, prostornino, težo. Pri študiju fizike in drugih ved se srečujemo s številnimi količinami.

Predstavljajte si, da ste na vlaku. Od časa do časa pogledaš na uro in opaziš, koliko časa si že na poti. Pravite na primer, da je od odhoda vašega vlaka minilo 2, 3, 5, 10, 15 ur itd.. Te številke označujejo različna časovna obdobja; imenujemo vrednosti te količine (čas). Ali pa pogledate skozi okno in sledite cestnim drogom za razdaljo, ki jo prevozi vaš vlak. Pred vami utripajo številke 110, 111, 112, 113, 114 km. Te številke označujejo različne razdalje, ki jih je vlak prevozil od točke odhoda. Imenujejo se tudi vrednosti, tokrat z drugačno vrednostjo (pot ali razdalja med dvema točkama). Tako lahko ena vrednost, na primer čas, razdalja, temperatura, prevzame katero koli različne pomene.

Bodite pozorni na to, da človek skoraj nikoli ne upošteva le ene vrednote, temveč jo vedno povezuje z nekaterimi drugimi vrednotami. Spopasti se mora z dvema, tremi in veliko število količine. Predstavljajte si, da morate priti v šolo do 9. ure. Pogledate na uro in vidite, da imate 20 minut. Potem se hitro odločiš, ali boš šel s tramvajem ali boš imel čas do šole peš. Po premisleku se odločiš za peš. Upoštevajte, da ste takrat, ko ste razmišljali, reševali neko težavo. Ta naloga je postala preprosta in domača, saj takšne probleme rešujete vsak dan. V njem ste na hitro primerjali več vrednosti. Vi ste tisti, ki ste pogledali na uro, kar pomeni, da ste upoštevali čas, potem ste si v mislih predstavljali razdaljo od doma do šole; nazadnje ste primerjali dve količini: hitrost svojega koraka in hitrost tramvaja ter ugotovili, da boste v določenem času (20 minut) imeli čas hoditi. Od tega preprost primer vidite, da so v naši praksi nekatere količine med seboj povezane, torej odvisne druga od druge

V dvanajstem poglavju je bilo povedano o razmerju homogenih količin. Na primer, če je en segment 12 m in drugi 4 m, bo razmerje teh segmentov 12: 4.

Rekli smo, da je razmerje dveh homogenih količin. Z drugimi besedami, to je razmerje dveh števil eno ime.

Zdaj, ko smo se bolje seznanili s količinami in smo predstavili koncept vrednosti količine, lahko definiramo relacijo na nov način. Dejansko, ko smo upoštevali dva segmenta 12 m in 4 m, smo govorili o eni vrednosti - dolžini in 12 m in 4 m - to sta bila le dva različne pomene to vrednost.

Zato bomo v prihodnosti, ko bomo začeli govoriti o razmerju, upoštevali dve vrednosti ene od nekaterih količin, razmerje med eno vrednostjo količine in drugo vrednostjo iste količine pa se bo imenovalo količnik deljenja prve vrednosti z drugo.

§ 130. Količine so premo sorazmerne.

Razmislite o problemu, katerega pogoj vključuje dve količini: razdaljo in čas.

Naloga 1. Telo, ki se giblje premo in v vsaki sekundi enakomerno preteče 12 cm Določi pot, ki jo telo prehodi v 2, 3, 4, ..., 10 sekundah.

Naredimo tabelo, po kateri bi lahko spremljali spremembo časa in razdalje.

Tabela nam daje možnost primerjave teh dveh nizov vrednosti. Iz nje vidimo, da ko vrednosti prve količine (časa) postopoma narastejo za 2, 3, ..., 10-krat, se tudi vrednosti druge količine (razdalje) povečajo za 2, 3, ..., 10-krat. Ko se torej vrednosti ene količine večkrat povečajo, se vrednosti druge količine povečajo za enako količino, in ko se vrednosti ene količine večkrat zmanjšajo, se vrednosti druge količine zmanjšajo za enako vrednost.

Razmislite zdaj o problemu, ki vključuje dve takšni količini: količino snovi in ​​njeno ceno.

Naloga 2. 15 m tkanine stane 120 rubljev. Izračunajte stroške te tkanine za več drugih količin metrov, navedenih v tabeli.

Iz te tabele lahko vidimo, kako se vrednost blaga postopoma povečuje, odvisno od povečanja njegove količine. Kljub temu, da se v tem problemu pojavljajo popolnoma različne količine (v prvem problemu - čas in razdalja, tukaj pa - količina blaga in njegova cena), je kljub temu mogoče najti veliko podobnost v obnašanju teh količin.

Dejansko so v zgornji vrstici tabele številke, ki označujejo število metrov tkanine, pod vsako od njih je napisana številka, ki izraža stroške ustrezne količine blaga. Že bežen pogled na to tabelo pokaže, da se številke tako v zgornji kot spodnji vrstici povečujejo; natančnejši pregled tabele in primerjava posameznih stolpcev razkrije, da se vrednosti druge količine v vseh primerih povečajo za enak faktor kot vrednosti prve, se pravi, če se je vrednost prve količine povečala recimo 10-krat, se je tudi vrednost druge količine povečala za 10-krat.

Če pogledamo tabelo od desne proti levi, bomo ugotovili, da se bodo navedene vrednosti količin zmanjšale za enako število krat. V tem smislu je med prvo nalogo in drugo brezpogojna podobnost.

Pari količin, ki smo jih srečali v prvi in ​​drugi nalogi, se imenujejo neposredno sorazmerna.

Torej, če sta dve količini med seboj povezani tako, da se s povečanjem (zmanjšanjem) vrednosti ene od njiju večkrat vrednost druge poveča (zmanjša) za enako količino, potem se takšne količine imenujejo neposredno sorazmerne.

O takih količinah pravijo tudi, da so medsebojno povezane z neposredno sorazmerno odvisnostjo.

V naravi in ​​življenju okoli nas je veliko takih količin. Tukaj je nekaj primerov:

1. Čas delo (dan, dva dni, tri dni itd.) in zaslužki prejeli v tem času dnevnice.

2. Glasnost kateri koli predmet iz homogenega materiala in utež ta predmet.

§ 131. Lastnost premosorazmernih količin.

Vzemimo problem, ki vključuje naslednji dve količini: delovni čas in zaslužek. Če je dnevni zaslužek 20 rubljev, bo zaslužek za 2 dni 40 rubljev itd. Najbolj priročno je narediti tabelo, v kateri določeno število dni bo ustrezalo določenemu zaslužku.

Če pogledamo to tabelo, vidimo, da imata obe količini 10 različnih vrednosti. Vsaka vrednost prve vrednosti ustreza določeni vrednosti druge vrednosti, na primer 40 rubljev ustreza 2 dnevoma; 5 dni ustreza 100 rubljev. V tabeli so te številke zapisane ena pod drugo.

Vemo že, da če sta dve količini premo sorazmerni, potem se vsaka od njiju v procesu svoje spremembe poveča za toliko, kot se poveča druga. Iz tega takoj sledi: če vzamemo razmerje med katerima koli dvema vrednostima prve količine, potem bo enako razmerju dveh ustreznih vrednosti druge količine. Prav zares:

Zakaj se to dogaja? Ker pa so te vrednosti neposredno sorazmerne, to je, ko se ena od njih (čas) poveča za 3-krat, potem se druga (zaslužek) poveča za 3-krat.

Prišli smo torej do naslednje ugotovitve: če vzamemo kateri koli dve vrednosti prve velikosti in ju razdelimo eno z drugo, nato pa eno z drugo delimo vrednosti druge velikosti, ki jima ustreza, potem bo v obeh primerih pridobljeno eno in isto število, to je eno in isto razmerje. To pomeni, da lahko dve relaciji, ki smo ju zapisali zgoraj, povežemo z enakim znakom, tj.

Nobenega dvoma ni, da če ne bi vzeli teh odnosov, ampak druge, in ne v tem vrstnem redu, ampak v nasprotni smeri, bi dobili tudi enakost odnosov. Dejansko bomo upoštevali vrednosti naših količin od leve proti desni in vzeli tretjo in deveto vrednost:

60:180 = 1 / 3 .

Torej lahko zapišemo:

To pomeni naslednji zaključek: če sta dve količini neposredno sorazmerni, potem je razmerje dveh poljubno vzetih vrednosti prve količine enako razmerju dveh ustreznih vrednosti druge količine.

§ 132. Formula neposredne sorazmernosti.

Naredimo tabelo stroškov različnih količin sladkarij, če 1 kg stane 10,4 rublja.

Zdaj pa naredimo to takole. Vzemimo poljubno število druge vrstice in ga delimo z ustreznim številom prve vrstice. Na primer:

Vidite, da v količniku dobimo ves čas isto število. Zato je za dani par neposredno sorazmernih količin količnik deljenja katere koli vrednosti ene količine z ustrezno vrednostjo druge količine konstantno število (to je, da se ne spreminja). V našem primeru je ta količnik 10,4. To konstantno število imenujemo faktor sorazmernosti. V tem primeru izraža ceno merske enote, to je enega kilograma blaga.

Kako najti ali izračunati faktor sorazmernosti? Če želite to narediti, morate vzeti katero koli vrednost ene količine in jo deliti z ustrezno vrednostjo druge.

To poljubno vrednost ene količine označimo s črko pri , in ustrezno vrednost druge količine - črke X , nato koeficient sorazmernosti (označujemo ga TO) poiščite z deljenjem:

V tej enakosti pri - deljivo X - delilnik in TO- količnik, in ker je po lastnosti deljenja dividenda enaka delitelju, pomnoženemu s količnikom, lahko zapišemo:

y= K x

Nastala enakost se imenuje formula neposredne sorazmernosti. S to formulo lahko izračunamo poljubno število vrednosti ene od neposredno sorazmernih količin, če poznamo ustrezne vrednosti druge količine in koeficient sorazmernosti.

Primer. Iz fizike vemo, da teža R katerega koli telesa je enaka njegovi specifični teži d pomnoženo z volumnom tega telesa V, tj. R = d V.

Vzemite pet železnih ingotov različnih velikosti; če poznamo specifično težo železa (7.8), lahko izračunamo težo teh surovcev po formuli:

R = 7,8 V.

Primerjava te formule s formulo pri = TO X , to vidimo y= R, x = V, in koeficient sorazmernosti TO= 7,8. Formula je enaka, le črke so različne.

S to formulo naredimo tabelo: prostornina 1. surovca ​​naj bo 8 kubičnih metrov. cm, potem je njegova teža 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Prostornina 2. slepega je 27 kubičnih metrov. cm Njegova teža je 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabela bo videti takole:

Sami izračunajte števila, ki manjkajo v tej tabeli, s pomočjo formule R= d V.

§ 133. Drugi načini reševanja problemov z neposredno sorazmernimi količinami.

V prejšnjem odstavku smo rešili nalogo, katere pogoj je vseboval premosorazmerne količine. V ta namen smo predhodno izpeljali formulo neposredne sorazmernosti in jo nato uporabili. Zdaj bomo pokazali dva druga načina za reševanje podobnih težav.

Naredimo nalogo glede na številčne podatke iz tabele prejšnjega odstavka.

Naloga. Prazen s prostornino 8 kubičnih metrov. cm tehta 62,4 g. Koliko bo tehtal surovec s prostornino 64 kubičnih metrov? cm?

rešitev. Teža železa je, kot veste, sorazmerna z njegovo prostornino. Če 8 cu. cm tehta 62,4 g, nato pa 1 cu. cm bo tehtal 8-krat manj, tj.

62,4 : 8 = 7,8 (g).

Prazen prostornina 64 kubičnih metrov. cm bo tehtal 64-krat več kot prazen 1 cu. cm, tj.

7,8 64 = 499,2 (g).

Našo težavo smo rešili z redukcijo na enotnost. Pomen tega imena je upravičen s tem, da smo morali za rešitev v prvem vprašanju najti težo prostorninske enote.

2. Metoda razmerja. Rešimo isti problem z metodo sorazmerja.

Ker sta teža železa in njegova prostornina premosorazmerni količini, je razmerje dveh vrednosti ene količine (prostornine) enako razmerju dveh ustreznih vrednosti druge količine (mase), tj.

(pismo R označili smo neznano težo surovca). Od tod:

(G).

Problem je rešen z metodo proporcev. To pomeni, da je bil za njegovo rešitev delež sestavljen iz števil, vključenih v pogoj.

§ 134. Količine so obratno sorazmerne.

Razmislite o naslednji težavi: »Pet zidarjev lahko v 168 dneh postavi opečne stene hiše. Ugotovi, v koliko dneh bi 10, 8, 6 itd. zidarjev lahko opravilo isto delo.

Če je 5 zidarjev zidove hiše postavilo v 168 dneh, potem bi lahko (ob enaki produktivnosti dela) 10 zidarjev to naredilo dvakrat hitreje, saj v povprečju 10 ljudi opravi dvakrat več dela kot 5 ljudi.

Naredimo tabelo po kateri bi bilo mogoče spremljati spremembo števila delovnih ur in delovnih ur.

Če želite na primer ugotoviti, koliko dni potrebuje 6 delavcev, morate najprej izračunati, koliko dni potrebuje en delavec (168 5 = 840), nato pa šest delavcev (840 : 6 = 140). Če pogledamo to tabelo, vidimo, da imata obe količini šest različnih vrednosti. Vsaka vrednost prve velikosti ustreza bolj določeno; vrednost druge vrednosti, na primer 10 ustreza 84, številka 8 - številka 105 itd.

Če upoštevamo vrednosti obeh vrednosti od leve proti desni, bomo videli, da se vrednosti zgornje vrednosti povečajo, vrednosti spodnje pa zmanjšajo. Za povečanje in zmanjšanje velja naslednja zakonitost: vrednosti števila delavcev se povečajo tolikokrat, kolikor se zmanjšajo vrednosti porabljenega delovnega časa. Še preprosteje bi to idejo lahko izrazili takole: več delavcev je zaposlenih v katerem koli podjetju, manj časa potrebujejo za opravljanje določenega dela. Dve količini, na katere smo naleteli pri tej nalogi, se imenujeta obratno sorazmeren.

Torej, če sta dve količini med seboj povezani tako, da se s povečanjem (zmanjšanjem) vrednosti ene od njiju večkrat vrednost druge zmanjša (poveča) za enako količino, potem se takšne količine imenujejo obratno sorazmerne.

Takih stvari je v življenju veliko. Navedimo primere.

1. Če za 150 rubljev. morate kupiti več kilogramov sladkarij, potem bo število sladkarij odvisno od cene enega kilograma. Čim višja je cena, tem manj blaga je mogoče kupiti s tem denarjem; to je razvidno iz tabele:

Z večkratnim zvišanjem cen sladkarij se za enak znesek zmanjša število kilogramov sladkarij, ki jih je mogoče kupiti za 150 rubljev. V tem primeru sta količini (teža izdelka in njegova cena) obratno sorazmerni.

2. Če je razdalja med dvema mestoma 1200 km, jo ​​je mogoče premagati drugačni časi odvisno od hitrosti gibanja. obstajati različne poti prevoz: peš, na konju, s kolesom, z ladjo, z avtom, z vlakom, z letalom. Manjša kot je hitrost, več časa potrebuje premikanje. To je razvidno iz tabele:

Z večkratnim povečanjem hitrosti se čas gibanja zmanjša za enako količino. Zato sta v danih pogojih hitrost in čas obratno sorazmerna.

§ 135. Lastnost obratno sorazmernih količin.

Vzemimo drugi primer, ki smo ga obravnavali v prejšnjem odstavku. Tam smo imeli opravka z dvema količinama - hitrostjo gibanja in časom. Če upoštevamo vrednosti teh količin od leve proti desni v tabeli, bomo videli, da se vrednosti prve količine (hitrost) povečajo, vrednosti druge (čas) pa zmanjšajo in hitrost se poveča za enak faktor, kot se zmanjša čas. Preprosto je ugotoviti, da če napišete razmerje nekaterih vrednosti ene količine, potem to ne bo enako razmerju ustreznih vrednosti druge količine. Dejansko, če vzamemo razmerje med četrto vrednostjo zgornje vrednosti in sedmo vrednostjo (40: 80), potem ne bo enako razmerju četrte in sedme vrednosti spodnje vrednosti (30: 15). Lahko se zapiše takole:

40:80 ni enako 30:15 ali 40:80 =/= 30:15.

Če pa namesto enega od teh razmerij vzamemo nasprotno, potem dobimo enakost, tj. iz teh razmerij bo mogoče sestaviti razmerje. Na primer:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Na podlagi zgoraj navedenega lahko sklepamo: če sta dve količini obratno sorazmerni, potem je razmerje dveh poljubno vzetih vrednosti ene količine enako obratnemu razmerju ustreznih vrednosti druge količine.

§ 136. Formula obratne sorazmernosti.

Razmislite o problemu: »Obstaja 6 kosov svilene tkanine različnih velikosti in različnih stopenj. Vsi kosi so po isti ceni. V enem kosu 100 m tkanine po ceni 20 rubljev. na meter. Koliko metrov je v vsakem od preostalih petih kosov, če meter blaga v teh kosih stane 25, 40, 50, 80, 100 rubljev? Ustvarimo tabelo za rešitev te težave:

Izpolniti moramo prazne celice v zgornji vrstici te tabele. Poskusimo najprej ugotoviti, koliko metrov je v drugem kosu. To lahko storite na naslednji način. Iz pogoja naloge je znano, da je cena vseh kosov enaka. Stroški prvega kosa je enostavno določiti: ima 100 m in vsak meter stane 20 rubljev, kar pomeni, da je v prvem kosu svile za 2.000 rubljev. Ker drugi kos svile vsebuje enako število rubljev, potem delimo 2000 rubljev. pri ceni enega metra, torej pri 25, najdemo vrednost drugega kosa: 2.000 : 25 = 80 (m). Na enak način bomo ugotovili velikost vseh ostalih kosov. Tabela bo videti takole:

Preprosto je videti, da obstaja obratno razmerje med številom metrov in ceno.

Če boste sami naredili potrebne izračune, boste opazili, da morate vsakič deliti število 2000 s ceno 1 m Nasprotno, če zdaj začnete množiti velikost kosa v metrih s ceno 1 m, boste vedno dobili številko 2000. To je bilo pričakovano, saj vsak kos stane 2000 rubljev.

Iz tega lahko potegnemo naslednji zaključek: za dani par obratno sorazmernih količin je zmnožek katere koli vrednosti ene količine z ustrezno vrednostjo druge količine konstantno število (tj. nespremenljivo).

V našem problemu je ta zmnožek enak 2000. Preverite, ali je bilo v prejšnjem problemu, kjer je bilo govora o hitrosti gibanja in času, ki je potreben za prehod iz enega mesta v drugo, tudi za ta problem konstantno število (1200).

Ob upoštevanju vsega povedanega je enostavno izpeljati formulo obratne sorazmernosti. Označite neko vrednost ene količine s črko X , in ustrezna vrednost druge vrednosti - črka pri . Nato na podlagi zgornjega dela X na pri mora biti enaka neki stalni vrednosti, ki jo označimo s črko TO, tj.

x y = TO.

V tej enakosti X - množitelj, pri - množitelj in K- delo. Po lastnosti množenja je množitelj enak zmnožku, deljenemu z množiteljem. pomeni,

To je formula obratne sorazmernosti. Z njim lahko izračunamo poljubno število vrednosti ene od obratno sorazmernih količin, pri čemer poznamo vrednosti druge in konstantno število TO.

Razmislite o drugem problemu: »Avtor nekega eseja je izračunal, da bi njegova knjiga, če bi bila v običajnem formatu, imela 96 strani, če pa bi bila žepni format, bi imela 300 strani. Poskusil je različne variante, začel s 96 stranmi, nato pa je dobil 2500 črk na stran. Nato je vzel število strani, navedeno v spodnji tabeli, in znova izračunal, koliko črk bo na strani.

Poskusimo izračunati, koliko črk bo na strani, če ima knjiga 100 strani.

V celotni knjigi je 240.000 črk, saj je 2.500 96 = 240.000.

Ob upoštevanju tega uporabimo formulo obratne sorazmernosti ( pri - število črk na stran X - število strani):

V našem primeru TO= 240.000, torej

Torej, na strani je 2400 črk.

Podobno izvemo, da če ima knjiga 120 strani, bo število črk na strani:

Naša miza bo izgledala takole:

Ostale celice izpolnite sami.

§ 137. Drugi načini reševanja problemov z obratno sorazmernimi količinami.

V prejšnjem odstavku smo reševali naloge, ki so vsebovale obratno sorazmerne količine. Prej smo izpeljali formulo obratne sorazmernosti in jo nato uporabili. Zdaj bomo pokazali dva druga načina reševanja takih problemov.

1. Metoda redukcije na enoto.

Naloga. 5 strugarjev lahko opravi nekaj dela v 16 dneh. V koliko dneh lahko 8 strugarjev opravi to delo?

rešitev. Med številom obračalcev in delovnim časom obstaja obratno razmerje. Če 5 strugarjev opravi delo v 16 dneh, bo ena oseba za to potrebovala 5-krat več časa, tj.

5 strugarjev opravi delo v 16 dneh,

1 strugar ga bo dokončal v 16 5 = 80 dneh.

Naloga se sprašuje, v koliko dneh bo 8 strugarjev opravilo delo. Očitno bodo delo opravili 8-krat hitreje kot 1 strugar, tj

80 : 8 = 10 (dni).

To je rešitev problema z metodo redukcije na enoto. Tu je bilo najprej treba določiti čas za opravljanje dela enega delavca.

2. Metoda razmerja. Rešimo isti problem na drugi način.

Ker obstaja med številom delavcev in delovnim časom obratno sorazmerno razmerje, lahko zapišemo: trajanje dela 5 strugarjev novo število strugarjev (8) trajanje dela 8 strugarjev prejšnje število strugarjev (5) Želeno trajanje dela označimo s črko X in v razmerju, izraženem z besedami, nadomestite potrebna števila:

Isti problem se reši z metodo razmerij. Da bi jo rešili, smo morali narediti sorazmerje števil, vključenih v pogoj problema.

Opomba. V prejšnjih odstavkih smo obravnavali vprašanje neposredne in obratne sorazmernosti. Narava in življenje nam dajeta veliko primerov premega in obratnega razmerja količin. Vendar je treba opozoriti, da sta ti dve vrsti odvisnosti le najpreprostejši. Ob njih obstajajo tudi druga, bolj zapletena razmerja med količinami. Poleg tega ne smemo misliti, da če se katerikoli dve količini povečata hkrati, potem je med njima nujno premosorazmernost. To je daleč od resnice. Na primer, cena vozovnice za železnica narašča z razdaljo: dlje kot gremo, več plačamo, vendar to ne pomeni, da je plačilo sorazmerno z razdaljo.

Primer

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 itd.

Faktor sorazmernosti

Konstantno razmerje sorazmernih količin se imenuje koeficient sorazmernosti. Koeficient sorazmernosti kaže, koliko enot ene količine pade na enoto druge.

Neposredna sorazmernost

Neposredna sorazmernost- funkcionalna odvisnost, pri kateri je neka količina odvisna od druge količine tako, da njuno razmerje ostaja konstantno. Z drugimi besedami, te spremenljivke se spreminjajo sorazmerno, v enakih deležih, to je, če se je argument dvakrat spremenil v katero koli smer, potem se tudi funkcija dvakrat spremeni v isto smer.

Matematično je neposredna sorazmernost zapisana kot formula:

f(x) = ax,a = const

Inverzna sorazmernost

Obratno sorazmerje- to je funkcionalna odvisnost, pri kateri povečanje neodvisne vrednosti (argumenta) povzroči sorazmerno zmanjšanje odvisne vrednosti (funkcije).

Matematično je obratna sorazmernost zapisana kot formula:

Lastnosti funkcije:

Viri

Fundacija Wikimedia. 2010.

Osnovni cilji:

• uvesti pojem premo in obratno sorazmerne odvisnosti količin;
• naučiti reševati probleme z uporabo teh odvisnosti;
• spodbujati razvoj veščin reševanja problemov;
• utrditi spretnost reševanja enačb z uporabo razmerij;
• korake ponovite z navadnim in decimalke;
• razvijati logično razmišljanještudenti.

MED POUKOM

JAZ. Samoodločba do dejavnosti(Organizacijski čas)

- Fantje! Danes se bomo v lekciji seznanili s problemi, rešenimi z uporabo razmerij.

II. Posodabljanje znanja in odpravljanje težav pri dejavnostih

2.1. ustno delo (3 min)

- Poiščite pomen izrazov in poiščite besedo, šifrirano v odgovorih.

14 - s; 0,1 - in; 7 - l; 0,2 - a; 17 - v; 25 - do

- Izšla je beseda - moč. Dobro opravljeno!
- Moto naše današnje lekcije: Moč je v znanju! Iščem – torej se učim!
- Naredi razmerje dobljenih števil. (14:7=0,2:0,1 itd.)

2.2. Razmislite o razmerju med znanimi količinami (7 min)

- pot, ki jo prevozi avtomobil s konstantno hitrostjo, in čas njegovega gibanja: S = v t ( s povečanjem hitrosti (časa) se pot poveča);
- hitrost avtomobila in čas, porabljen na cesti: v=S:t(s povečanjem časa za potovanje po poti se hitrost zmanjša);
– stroški blaga, kupljenega po eni ceni, in njegova količina: C \u003d a n (s povišanjem (zmanjšanjem) cene se stroški nakupa povečajo (zmanjšajo);
- cena izdelka in njegova količina: a \u003d C: n (s povečanjem količine se cena zniža)
- površina pravokotnika in njegova dolžina (širina): S = a b (s povečanjem dolžine (širine) se površina poveča;
- dolžina pravokotnika in širina: a = S: b (s povečanjem dolžine se širina zmanjšuje;
- število delavcev, ki opravljajo neko delo z enako produktivnostjo dela, in čas, potreben za dokončanje tega dela: t \u003d A: n (s povečanjem števila delavcev se čas, porabljen za opravljanje dela, zmanjša) itd.

Dobili smo odvisnosti, pri katerih se ob večkratnem povečanju ene vrednosti druga takoj poveča za enako vrednost (prikazano s puščicami za primere) in odvisnosti, pri katerih se ob večkratnem povečanju ene vrednosti druga vrednost zmanjša za enako število krat.
Takšna razmerja imenujemo premo in obratno sorazmerje.
Neposredno sorazmerna odvisnost- odvisnost, pri kateri se z večkratnim povečanjem (zmanjšanjem) ene vrednosti druga vrednost poveča (zmanjša) za enako količino.
Obratno sorazmerno razmerje- odvisnost, pri kateri se z večkratnim povečanjem (zmanjšanjem) ene vrednosti druga vrednost zmanjša (poveča) za enako količino.

III. Izjava učne naloge

Kakšna je težava, s katero se soočamo? (Naučite se razlikovati med neposrednimi in inverznimi razmerji)
- To - tarča naša lekcija. Sedaj oblikujte tema lekcija. (Neposredna in obratna sorazmernost).
- Dobro opravljeno! V zvezke zapišite temo lekcije. (Učitelj napiše temo na tablo.)

IV. »Odkrivanje« novega znanja(10 min)

Analizirajmo nalogo številka 199.

1. Tiskalnik natisne 27 strani v 4,5 minutah. Kako dolgo bo trajalo tiskanje 300 strani?

27 strani - 4,5 min.
300 str. - x?

2. V škatli je 48 zavitkov čaja po 250 g. Koliko pakiranj po 150 g bo nastalo iz tega čaja?

48 paketov - 250 g.
X? - 150 g.

3. Avto je prevozil 310 km, pri čemer je porabil 25 litrov bencina. Koliko lahko prevozi avto s 40-litrskim polnim rezervoarjem?

310 km - 25 l
X? – 40 l

4. Eden od zobnikov sklopke ima 32 zob, drugi pa 40. Koliko vrtljajev bo naredil drugi zobnik, medtem ko bo prvi naredil 215 vrtljajev?

32 zob - 315 vrt./min
40 zob - x?

Za sestavo razmerja je potrebna ena smer puščic, za to pa se v obratnem razmerju eno razmerje nadomesti z obratnim.

Pri tabli učenci poiščejo vrednosti količin, na terenu pa učenci rešijo eno nalogo po lastni izbiri.

– Oblikujte pravilo za reševanje nalog s premo in obratno sorazmernostjo.

Na tabli se pojavi tabela:

V. Primarno utrjevanje v zunanjem govoru(10 min)

Naloge na listih:

1. Iz 21 kg bombaževega semena smo dobili 5,1 kg olja. Koliko olja dobimo iz 7 kg bombaževega semena?
2. Za gradnjo stadiona je 5 buldožerjev očistilo lokacijo v 210 minutah. Koliko časa bi potrebovalo 7 buldožerjev, da očistijo to območje?

VI. Samostojno delo s samotestiranjem po standardu(5 minut)

Dva učenca samostojno rešujeta nalogo št. 225 na skritih tablah, ostali pa v zvezkih. Nato preverijo delo po algoritmu in ga primerjajo z rešitvijo na tabli. Napake so odpravljene, vzroki zanje razjasnjeni. Če je naloga opravljena, kajne, potem poleg študentov postavite znak "+" zase.
Študenti, ki delajo napake pri samostojnem delu, lahko uporabljajo svetovalce.

VII. Vključevanje v sistem znanja in ponavljanje№ 271, № 270.

Za tablo dela šest ljudi. Po 3–4 minutah učenci, ki so delali za tablo, predstavijo svoje rešitve, ostali pa preverijo naloge in sodelujejo v njihovi diskusiji.

VIII. Odsev dejavnosti (rezultat lekcije)

- Kaj novega ste se naučili pri lekciji?
- Kaj si ponovil?
Kakšen je algoritem za reševanje proporcijskih problemov?
Ali smo dosegli cilj?
- Kako ocenjujete svoje delo?