Vklopljeno sedanji fazi razvoj izobraževanja kot ena njegovih glavnih nalog je oblikovanje ustvarjalno misleče osebnosti. Sposobnost za ustvarjalnost pri študentih je mogoče razviti le, če se sistematično ukvarjajo z osnovami raziskovalne dejavnosti. Osnova za uporabo ustvarjalnih sil, sposobnosti in talentov študentov je oblikovano polno znanje in spretnosti. V zvezi s tem je problem oblikovanja sistema osnovnih znanj in spretnosti za vsako temo šolskega tečaja matematike nepomemben. Hkrati bi morale biti polnopravne spretnosti didaktični cilj ne posameznih nalog, temveč njihovega skrbno premišljenega sistema. V najširšem smislu sistem razumemo kot niz medsebojno povezanih elementov, ki delujejo celovito in imajo stabilno strukturo.

Razmislite o metodologiji za učenje študentov, kako sestaviti enačbo tangente na graf funkcije. V bistvu so vse naloge za iskanje tangentne enačbe zmanjšane na potrebo po izbiri iz nabora (snopa, družine) črt tistih, ki izpolnjujejo določeno zahtevo - so tangentne na graf določene funkcije. V tem primeru je nabor vrstic, iz katerih se izvaja izbor, mogoče določiti na dva načina:

a) točka, ki leži na ravnini xOy (osrednji svinčnik premic);
b) kotni koeficient (vzporedni snop premic).

V zvezi s tem smo pri preučevanju teme "Tangenta na graf funkcije", da bi izolirali elemente sistema, identificirali dve vrsti nalog:

1) naloge na tangenti, ki jo daje točka, skozi katero poteka;
2) naloge na tangento, podano z njenim naklonom.

Učenje reševanja problemov na tangenti je potekalo z uporabo algoritma, ki ga je predlagal A.G. Mordkovič. Njegova temeljna razlika od že znanih je v tem, da je abscisa tangentne točke označena s črko a (namesto x0), v povezavi s katero ima tangentna enačba obliko

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(primerjajte z y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ta metodološka tehnika po našem mnenju študentom omogoča hitro in enostavno spoznanje, kje so zapisane koordinate trenutne točke v splošni tangentni enačbi in kje so stične točke.

Algoritem za sestavljanje enačbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. S črko a označimo absciso stične točke.
2. Poiščite f(a).
3. Poiščite f "(x) in f "(a).
4. Najdene številke a, f (a), f "(a) zamenjajte v splošna enačba tangenta y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Ta algoritem je mogoče sestaviti na podlagi študentovega samostojnega izbora operacij in zaporedja njihovega izvajanja.

Praksa je pokazala, da dosledna rešitev vsake od ključnih nalog z uporabo algoritma omogoča oblikovanje sposobnosti pisanja enačbe tangente na graf funkcije v stopnjah, koraki algoritma pa služijo kot močne točke za dejanja. . Ta pristop ustreza teoriji postopnega oblikovanja miselnih dejanj, ki jo je razvil P.Ya. Galperin in N.F. Talyzina.

Pri prvem tipu nalog sta bili identificirani dve ključni nalogi:

• tangenta poteka skozi točko, ki leži na krivulji (problem 1);
• tangenta poteka skozi točko, ki ne leži na krivulji (problem 2).

Naloga 1. Izenačite tangento na graf funkcije v točki M(3; – 2).

rešitev. Točka M(3; – 2) je stična točka, saj

1. a = 3 - abscisa točke dotika.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 je tangentna enačba.

Naloga 2. Zapišite enačbe vseh tangent na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, ki poteka skozi točko M(- 3; 6).

rešitev. Točka M(– 3; 6) ni tangentna točka, saj je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna enačba.

Tangenta poteka skozi točko M(– 3; 6), zato njene koordinate zadoščajo enačbi tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Če je a = – 4, je enačba tangente y = 4x + 18.

Če je a \u003d - 2, ima tangentna enačba obliko y \u003d 6.

Pri drugi vrsti bodo ključne naloge naslednje:

• tangenta je vzporedna z neko premico (problem 3);
• tangenta poteka pod nekim kotom na dano premico (4. naloga).

Naloga 3. Zapišite enačbe vseh tangent na graf funkcije y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, vzporedno s premico y \u003d 9x + 1.

1. a - abscisa točke dotika.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Toda po drugi strani f "(a) \u003d 9 (pogoj vzporednosti). Torej moramo rešiti enačbo 3a 2 - 6a \u003d 9. Njene korenine a \u003d - 1, a \u003d 3 (slika 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 je tangentna enačba;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 je tangentna enačba.

Naloga 4. Zapišite enačbo tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, ki poteka pod kotom 45 ° na ravno črto y = 0 (slika 4).

rešitev. Iz pogoja f "(a) \u003d tg 45 ° najdemo a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - abscisa točke dotika.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - enačba tangente.

Lahko je pokazati, da je rešitev katerega koli drugega problema zmanjšana na rešitev enega ali več ključnih problemov. Razmislite o naslednjih dveh težavah kot primeru.

1. Napišite enačbe tangent na parabolo y = 2x 2 - 5x - 2, če se tangenti sekata pod pravim kotom in se ena od njiju dotika parabole v točki z absciso 3 (slika 5).

rešitev. Ker je abscisa stične točke podana, se prvi del rešitve reducira na ključni problem 1.

1. a = 3 - abscisa dotične točke ene od stranic pravi kot.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - enačba prve tangente.

Naj bo a naklon prve tangente. Ker sta tangenti pravokotni, je naklonski kot druge tangente. Iz enačbe y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Poiščite

To pomeni, da je naklon druge tangente .

Nadaljnja rešitev se zmanjša na ključno nalogo 3.

Naj bo torej B(c; f(c)) tangentna točka druge premice

1. - abscisa druge stične točke.
2.
3.
4.
je enačba druge tangente.

Opomba. Kotni koeficient tangente je lažje najti, če učenci poznajo razmerje koeficientov pravokotnic k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite enačbe vseh skupnih tangent na grafe funkcij

rešitev. Problem se zmanjša na iskanje abscis skupnih tangentnih točk, torej na rešitev ključnega problema 1 v splošni pogled, sestavljanje sistema enačb in njegova kasnejša rešitev (slika 6).

1. Naj bo a abscisa dotične točke, ki leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Naj bo c abscisa tangente, ki leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Ker so tangente skupne, torej

Torej sta y = x + 1 in y = - 3x - 3 skupni tangenti.

Glavni cilj obravnavanih nalog je pripraviti študente na samoprepoznavanje vrste ključne naloge pri reševanju zahtevnejših nalog, ki zahtevajo določene raziskovalne sposobnosti (sposobnost analiziranja, primerjanja, posploševanja, postavljanja hipotez ipd.). Takšne naloge vključujejo vse naloge, v katere je ključna naloga vključena kot komponenta. Kot primer upoštevajte težavo ( inverzni problem 1) najti funkcijo z družino njenih tangent.

3. Za kaj b in c sta črti y \u003d x in y \u003d - 2x tangentni na graf funkcije y \u003d x 2 + bx + c?

Naj bo t abscisa dotične točke premice y = x s parabolo y = x 2 + bx + c; p je abscisa dotične točke premice y = - 2x s parabolo y = x 2 + bx + c. Takrat bo tangentna enačba y = x imela obliko y = (2t + b)x + c - t 2 , tangentna enačba y = - 2x pa bo imela obliko y = (2p + b)x + c - p 2 .

Sestavi in ​​reši sistem enačb

odgovor:

Tangenta je ravna črta, ki poteka skozi točko krivulje in sovpada z njo na tej točki do prvega reda (slika 1).

Druga definicija: to je mejni položaj sekante pri Δ x→0.

Pojasnilo: Vzemite črto, ki seka krivuljo v dveh točkah: A in b(glej sliko). To je sekans. Obračali ga bomo v smeri urinega kazalca, dokler ne bo imel samo enega skupna točka s krivuljo. Tako dobimo tangento.

Stroga definicija tangente:

Tangenta na graf funkcije f, ki jih je mogoče razlikovati v točki xO, je premica, ki poteka skozi točko ( xO; f(xO)) in ima naklon f′( xO).

Pobočje ima ravno črto y=kx +b. Koeficient k in je faktor naklona ta ravna črta.

Kotni koeficient je enak tangenti ostri kot tvori ta ravna črta z abscisno osjo:

k = tgα

Tu je kot α kot med premico y=kx +b in pozitivna (tj. v nasprotni smeri urinega kazalca) smer osi x. Se imenuje kot naklona naravnost(Sliki 1 in 2).

Če je kot naklona raven y=kx +b akutno, potem je naklon pozitivno število. Graf se poveča (slika 1).

Če je kot naklona raven y=kx +b topo, potem je naklon negativno število. Graf pada (slika 2).

Če je premica vzporedna z osjo x, je naklon premice enak nič. V tem primeru je tudi naklon premice enak nič (ker je tangenta nič enaka nič). Enačba premice bo videti kot y = b (slika 3).

Če je kot naklona ravne črte 90º (π/2), kar pomeni, da je pravokoten na os x, potem je premica podana z enačbo x=c, Kje c- neko realno število (slika 4).

Enačba tangente na graf funkcijel = f(x) na točki xO:

Primer : Poiščimo enačbo tangente na graf funkcije f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 v točki z absciso 2.

rešitev

Sledimo algoritmu.

1) Točka dotika xO je enako 2. Izračunaj f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Najdi f′( x). Da bi to naredili, uporabimo formule za razlikovanje, opisane v prejšnjem razdelku. Po teh formulah je X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Pomeni:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Zdaj z uporabo dobljene vrednosti f′( x), izračunajte f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Torej imamo vse potrebne podatke: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Ta števila nadomestimo v tangentno enačbo in poiščemo končno rešitev:

y= f(xO) + f′( xO) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Odgovor: y \u003d 4x - 7.

V tem članku bomo analizirali vse vrste težav za iskanje

Spomnimo se geometrijski pomen izpeljanke: če na graf funkcije v točki narišemo tangento, potem je naklon tangente (enak tangensu kota med tangento in pozitivno smerjo osi) enak odvodu funkcije pri točka.

Vzemite poljubno točko na tangenti s koordinatami:

In razmislite pravokotni trikotnik :

V tem trikotniku

Od tod

To je enačba tangente, narisane na graf funkcije v točki.

Za zapis enačbe tangente moramo poznati le enačbo funkcije in točko, kjer je tangenta narisana. Potem lahko najdemo in.

Obstajajo tri glavne vrste problemov tangentne enačbe.

1. Glede na kontaktno točko

2. Podan koeficient naklona tangente, to je vrednost odvoda funkcije v točki.

3. Dane koordinate točke, skozi katero je narisana tangenta, ki pa ni tangenta.

Oglejmo si vsako vrsto težave.

1. Napišite enačbo tangente na graf funkcije na točki .

.

b) Poiščite vrednost odvoda v točki . Najprej poiščemo odvod funkcije

Najdene vrednosti zamenjajte v tangentno enačbo:

Odprimo oklepaje na desni strani enačbe. Dobimo:

odgovor: .

2. Poiščite abscise točk, v katerih se funkcije dotikajo grafa vzporedno z osjo x.

Če je tangenta vzporedna z osjo x, potem je kot med tangento in pozitivno smerjo osi enak nič, tako da je tangens naklona tangente enak nič. Torej vrednost odvoda funkcije na stičnih točkah je nič.

a) Poiščite odvod funkcije .

b) Izenačite odvod na nič in poiščite vrednosti, pri katerih je tangenta vzporedna z osjo:

Vsak faktor enačimo z nič, dobimo:

Odgovor: 0;3;5

3. Zapišite enačbe tangent na graf funkcije , vzporedno naravnost .

Tangenta je vzporedna s premico. Naklon te premice je -1. Ker je tangenta vzporedna s to premico, je torej tudi naklon tangente -1. To je poznamo naklon tangente, in s tem vrednost izpeljanke na točki stika.

To je druga vrsta problema za iskanje tangentne enačbe.

Torej imamo funkcijo in vrednost odvoda na točki stika.

a) Poiščite točke, v katerih je odvod funkcije enak –1.

Najprej poiščimo izpeljano enačbo.

Izenačimo odvod s številom -1.

Poiščite vrednost funkcije v točki .

(pogojno)

.

b) Poiščite enačbo tangente na graf funkcije v točki .

Poiščite vrednost funkcije v točki .

(pogojno).

Nadomestite te vrednosti v tangentno enačbo:

.

odgovor:

4. Napišite enačbo za tangento na krivuljo , ki poteka skozi točko

Najprej preverite, ali točka ni točka dotika. Če je točka tangenta, potem pripada grafu funkcije, njene koordinate pa morajo zadoščati enačbi funkcije. Nadomestite koordinate točke v enačbi funkcije.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negativno število, enakost ne drži in točka ne pripada grafu funkcije in ni kontaktna točka.

To je zadnja vrsta problema za iskanje tangentne enačbe. Prva stvar najti moramo absciso stične točke.

Poiščimo vrednost.

Naj bo kontaktna točka. Točka pripada tangenti na graf funkcije . Če koordinate te točke nadomestimo v enačbo tangente, dobimo pravilno enakost:

.

Vrednost funkcije v točki je .

Poiščite vrednost odvoda funkcije v točki .

Najprej poiščimo odvod funkcije. ta .

Odvod v točki je .

Izraza za in nadomestimo v enačbo tangente. Dobimo enačbo za:

Rešimo to enačbo.

Zmanjšajte števec in imenovalec ulomka za 2:

Prinesimo desna stran enačbe na skupni imenovalec. Dobimo:

Poenostavite števec ulomka in oba dela pomnožite z - ta izraz je strogo večji od nič.

Dobimo enačbo

Rešimo to. Če želite to narediti, kvadriramo oba dela in gremo na sistem.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))( )">!}

Rešimo prvo enačbo.

Odločili se bomo kvadratna enačba, dobimo

Drugi koren ne izpolnjuje pogoja title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Zapišimo enačbo tangente na krivuljo v točki . Da bi to naredili, zamenjamo vrednost v enačbi Smo ga že posneli.

odgovor:
.

Članek podaja podrobno razlago definicij, geometrijski smisel izpeljanka z grafične oznake. Na primerih bomo obravnavali enačbo tangente, našli bomo enačbe tangente na krivulje 2. reda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Kot naklona ravne črte y \u003d k x + b se imenuje kot α, ki se meri od pozitivne smeri osi x do ravne črte y \u003d k x + b v pozitivni smeri.

Na sliki je smer vola označena z zeleno puščico in zelenim lokom, naklonski kot pa z rdečim lokom. Modra črta se nanaša na ravno črto.

Definicija 2

Naklon ravne črte y \u003d k x + b se imenuje numerični koeficient k.

Naklon je enak naklonu premice, z drugimi besedami k = t g α .

• Naklon premice je 0 le, če je o x vzporedna in je naklon enak nič, ker je tangens ničle enak 0. Torej bo oblika enačbe y = b.
• Če je kot naklona ravne črte y = k x + b oster, potem so pogoji 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение naklon k štejemo za pozitivno število, ker vrednost tangensa izpolnjuje pogoj t g α > 0 in je na grafu prišlo do povečanja.
• Če je α \u003d π 2, potem je lokacija črte pravokotna na x. Enakost je podana z enakostjo x = c, pri čemer je vrednost c realno število.
• Če je kot naklona ravne črte y = k x + b tup, potem ustreza pogojem π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definicija 3

Sekanta je premica, ki poteka skozi 2 točki funkcije f (x). Z drugimi besedami, sekans je premica, ki poteka skozi kateri koli dve točki na grafu dane funkcije.

Na sliki je razvidno, da je A B sekanta, f (x) pa črna krivulja, α je rdeč lok, ki označuje naklonski kot sekante.

Ko je naklon ravne črte enak tangensu naklonskega kota, je jasno, da je mogoče najti tangento pravokotnega trikotnika A B C glede na krak, ki je nasproten sosednjemu.

Definicija 4

Dobimo formulo za iskanje sekansa oblike:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kjer sta abscisi točk A in B vrednosti x A, x B in f (x A), f (x B) so funkcije vrednosti v teh točkah.

Očitno je naklon sekante definiran z enakostjo k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A ali k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, enačbo pa je treba zapisati kot y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) oz.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekans vizualno razdeli graf na 3 dele: levo od točke A, od A do B, desno od B. Spodnja slika prikazuje, da obstajajo tri sekante, ki veljajo za enake, to je, da so nastavite s podobno enačbo.

Po definiciji je jasno, da premica in njen sekans v tem primeru sovpadata.

Sekans lahko večkrat seka graf dane funkcije. Če obstaja enačba oblike y \u003d 0 za sekanto, potem je število presečišč s sinusoido neskončno.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) v točki x 0 ; f (x 0) se imenuje ravna črta, ki poteka skozi dano točko x 0; f (x 0) , s prisotnostjo segmenta, ki ima veliko vrednosti x blizu x 0 .

Primer 1

Oglejmo si spodnji primer podrobneje. Potem je razvidno, da se premica, podana s funkcijo y = x + 1, šteje za tangento na y = 2 x v točki s koordinatami (1 ; 2) . Zaradi jasnosti je treba upoštevati grafe z vrednostmi blizu (1; 2). Funkcija y = 2 x je označena s črno, modra črta je tangenta, rdeča pika je točka presečišča.

Očitno se y \u003d 2 x združi s črto y \u003d x + 1.

Za določitev tangente je treba upoštevati obnašanje tangente A B, ko se točka B neskončno približuje točki A. Zaradi jasnosti predstavljamo sliko.

Sekanta A B, označena z modro črto, teži k položaju same tangente, naklonski kot sekante α pa se bo začel približevati naklonskemu kotu same tangente α x.

Opredelitev 6

Tangenta na graf funkcije y \u003d f (x) v točki A je mejni položaj sekante A B pri B, ki se nagiba k A, to je B → A.

Zdaj se obrnemo na obravnavo geometrijskega pomena odvoda funkcije v točki.

Preidimo na obravnavo sekante A B za funkcijo f (x), kjer sta A in B s koordinatami x 0, f (x 0) in x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) in ∆ x je označen kot prirastek argumenta. Zdaj bo funkcija prevzela obliko ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Za jasnost vzemimo sliko kot primer.

Upoštevajte nastali pravokotni trikotnik A B C. Za rešitev uporabimo definicijo tangente, to pomeni, da dobimo razmerje ∆ y ∆ x = t g α . Iz definicije tangente sledi lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Po pravilu odvoda v točki imamo, da se odvod f (x) v točki x 0 imenuje meja razmerja prirastka funkcije in prirastka argumenta, kjer je ∆ x → 0, potem označeno kot f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Iz tega sledi, da je f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kjer je k x označen kot naklon tangente.

To pomeni, da lahko f ’ (x) obstaja v točki x 0 in tako kot tangenta na danem urniku funkcija na stični točki enaka x 0 , f 0 (x 0) , pri čemer je vrednost naklona tangente v točki enaka odvodu v točki x 0 . Potem dobimo, da k x = f "(x 0) .

Geometrični pomen odvoda funkcije v točki je v tem, da je podan koncept obstoja tangente na graf v isti točki.

Za pisanje enačbe katere koli ravne črte v ravnini je potrebno imeti naklon s točko, skozi katero poteka. Njegova oznaka je vzeta kot x 0 na presečišču.

Enačba tangente na graf funkcije y \u003d f (x) v točki x 0, f 0 (x 0) ima obliko y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Pomeni, da lahko končna vrednost odvoda f "(x 0) določi položaj tangente, to je navpično pod pogojem lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ in lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ali sploh odsotnost pod pogojem lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Lokacija tangente je odvisna od vrednosti njenega naklona k x \u003d f "(x 0). Ko je vzporedna z osjo x, dobimo, da je k k \u003d 0, ko je vzporedna s približno y - k x \u003d ∞, in oblika tangentne enačbe x \u003d x 0 narašča s k x > 0, pada kot k x< 0 .

Primer 2

Sestavite enačbo tangente na graf funkcije y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v točki s koordinatami (1; 3) z definicijo kota naklon.

rešitev

Po predpostavki imamo, da je funkcija definirana za vsa realna števila. Dobimo, da je točka s koordinatami, določenimi s pogojem (1 ; 3), stična točka, potem je x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Najti je treba odvod v točki z vrednostjo -1. To razumemo

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrednost f ’ (x) v točki stika je naklon tangente, ki je enak tangenti naklona.

Potem je k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Iz tega sledi, da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

odgovor: tangentna enačba dobi obliko

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Zaradi jasnosti podajamo primer v grafični ilustraciji.

Črna barva je uporabljena za risbo izvirne funkcije, Modra barva- slika tangente, rdeča pika - stična točka. Slika na desni prikazuje povečan pogled.

Primer 3

Ugotovite obstoj tangente na graf dane funkcije
y = 3 x - 1 5 + 1 v točki s koordinatami (1 ; 1) . Napišite enačbo in določite naklonski kot.

rešitev

Po predpostavki imamo, da je domena dane funkcije množica vseh realnih števil.

Pojdimo k iskanju izpeljanke

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Če je x 0 = 1, potem f ' (x) ni definiran, ampak so meje zapisane kot lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ in lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , kar pomeni obstojno navpično tangento na točka (1 ; 1) .

odgovor: enačba bo imela obliko x \u003d 1, kjer bo kot naklona enak π 2.

Za večjo jasnost poglejmo graf.

Primer 4

Poiščite točke grafa funkcije y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , kjer je

1. Tangenta ne obstaja;
2. Tangenta je vzporedna z x;
3. Tangenta je vzporedna s premico y = 8 5 x + 4 .

rešitev

Pozornost je treba posvetiti domeni definicije. Po predpostavki imamo, da je funkcija definirana na množici vseh realnih števil. Razširite modul in rešite sistem z intervali x ∈ - ∞ ; 2 in [-2; +∞). To razumemo

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funkcijo je treba razlikovati. To imamo

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Ko je x = - 2, potem odvod ne obstaja, ker enostranski limiti na tej točki niso enaki:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunamo vrednost funkcije v točki x \u003d - 2, kjer to dobimo

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, to je tangenta na točka (- 2; - 2) ne bo obstajala.
2. Tangenta je vzporedna z x, ko je naklon enak nič. Potem k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To pomeni, da je treba najti vrednosti takega x, ko ga derivat funkcije spremeni v nič. To pomeni, da vrednosti ​​od f '(x) in bodo stične točke, kjer je tangenta vzporedna glede na x.

Ko je x ∈ - ∞ ; - 2 , potem - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , za x ∈ (- 2 ; + ∞) pa dobimo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Izračunamo ustrezne vrednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Torej - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 štejemo za želene točke grafa funkcije.

Razmislite grafična podoba rešitve.

Črna črta je graf funkcije, rdeče pike so dotične točke.

1. Ko sta črti vzporedni, sta naklona enaka. Nato je treba poiskati točke grafa funkcije, kjer bo naklon enak vrednosti 8 5 . Če želite to narediti, morate rešiti enačbo v obliki y "(x) = 8 5. Potem, če je x ∈ - ∞; - 2, dobimo, da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, in če je x ∈ ( - 2 ; + ∞), potem je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Prva enačba nima korenin, ker je diskriminanta manj kot nič. Zapišimo to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Druga enačba ima torej dva realna korena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Pojdimo k iskanju vrednosti funkcije. To razumemo

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Točke z vrednostmi - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 so točke, kjer sta tangenti vzporedni s premico y = 8 5 x + 4 .

odgovor:črna črta - graf funkcije, rdeča črta - graf y \u003d 8 5 x + 4, modra črta - tangente v točkah - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Možen je obstoj neskončnega števila tangent za dane funkcije.

Primer 5

Zapišite enačbe vseh razpoložljivih tangent funkcij y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , ki so pravokotne na premico y = - 2 x + 1 2 .

rešitev

Za sestavo tangentne enačbe je treba najti koeficient in koordinate stične točke na podlagi pogoja pravokotnosti črt. Definicija zveni takole: zmnožek naklonov, ki so pravokotni na ravne črte, je enak - 1, to je zapisano kot k x · k ⊥ = - 1. Iz pogoja imamo, da je naklon pravokoten na premico in je enak k ⊥ = - 2, potem je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Sedaj moramo najti koordinate dotičnih točk. Najti morate x, nato pa njegovo vrednost za dano funkcijo. Upoštevajte, da iz geometrijskega pomena odvoda v točki
x 0 dobimo, da k x \u003d y "(x 0) . Iz te enakosti najdemo vrednosti x za točke dotika.

To razumemo

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

to trigonometrična enačba bo uporabljen za izračun ordinat točk dotika.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ali 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ali 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ali x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množica celih števil.

Najdenih x kontaktnih točk. Zdaj morate iti na iskanje vrednosti y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ali y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ali y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ali y 0 = - 4 5 + 1 3

Od tu dobimo, da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 so stične točke.

odgovor: potrebne enačbe bodo zapisane kot

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualno predstavitev upoštevajte funkcijo in tangento na koordinatni premici.

Iz slike je razvidno, da je lokacija funkcije na intervalu [ - 10 ; 10 ] , kjer je črna črta graf funkcije, modre črte pa so tangente, ki so pravokotne na dano premico oblike y = - 2 x + 1 2 . Rdeče pike so točke dotika.

Kanonične enačbe krivulj 2. reda niso funkcije z eno vrednostjo. Tangentne enačbe zanje so sestavljene po dobro znanih shemah.

Tangenta na krožnico

Za nastavitev kroga s središčem v točki x c e n t e r ; y cent e r in polmer R se uporablja formula x - x cent e r 2 + y - y cent e r 2 = R 2.

To enakost lahko zapišemo kot zvezo dveh funkcij:

y = R 2 - x - x središče 2 + y središče y = - R 2 - x - x središče 2 + y središče

Prva funkcija je na vrhu, druga pa na dnu, kot je prikazano na sliki.

Sestaviti enačbo kroga v točki x 0 ; y 0 , ki se nahaja v zgornjem ali spodnjem polkrogu, bi morali najti enačbo funkcijskega grafa oblike y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ali y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r na določeni točki.

Ko je v točkah x c e n t e r; y cent r + R in x cent e r; y c e n t e r - R tangente lahko podamo z enačbama y = y c e n t e r + R in y = y c e n t e r - R ter v točkah x c e n t e r + R ; y c e n t e r in
x c e n t e r - R; y c e n t e r bo vzporeden glede na y, potem bomo dobili enačbe v obliki x = x c e n t e r + R in x = x c e n t e r - R .

Tangenta na elipso

Ko je središče elipse v x c e n t e r ; y c e n t e r s polosema a in b , potem ga je mogoče podati z enačbo x-x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elipso in krog lahko označimo s kombinacijo dveh funkcij, in sicer zgornje in spodnje pol-elipse. Potem to razumemo

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y cent

Če se tangente nahajajo na ogliščih elipse, potem so vzporedne glede na x ali okoli y. Zaradi jasnosti si oglejte spodnjo sliko.

Primer 6

Zapišite enačbo tangente na elipso x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v točkah z vrednostmi x, ki so enake x = 2 .

rešitev

Treba je najti stične točke, ki ustrezajo vrednosti x = 2. V obstoječo enačbo elipse naredimo zamenjavo in dobimo to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potem 2; 5 3 2 + 5 in 2 ; - 5 3 2 + 5 sta tangentni točki, ki pripadata zgornji in spodnji pol-elipsi.

Pojdimo k iskanju in reševanju enačbe elipse glede na y. To razumemo

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očitno je, da je zgornja polelipsa podana s funkcijo oblike y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , spodnja pa y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Uporabimo standardni algoritem, da oblikujemo enačbo tangente na graf funkcije v točki. Zapišemo, da je enačba za prvo tangento v točki 2 ; 5 3 2 + 5 bo videti takole

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dobimo to enačbo druge tangente z vrednostjo v točki
2; - 5 3 2 + 5 postane

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafično so tangente označene na naslednji način:

Tangenta na hiperbolo

Ko ima hiperbola središče v točki x c e n t e r ; y e n t e r in oglišča x e n t e r + α ; y c e n t e r in x c e n t e r - α ; y c e n t e r je podana neenakost x-x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, če z oglišči x c e n t e r ; y c e n t e r + b in x c e n t e r ; y c e n t e r - b je potem podana z neenakostjo x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbolo lahko predstavimo kot dve kombinirani funkciji oblike

y = b a (x - x cent) 2 - a 2 + y cent y = - b a (x - x cent) 2 - a 2 + y cent ali y = b a (x - x cent) 2 + a 2 + y cent y = - b a · (x - x središče) 2 + a 2 + y središče

V prvem primeru imamo, da sta tangenti vzporedni z y, v drugem pa z x.

Iz tega sledi, da je treba za iskanje enačbe tangente na hiperbolo ugotoviti, kateri funkciji pripada tangentna točka. Da bi to ugotovili, je treba v enačbah narediti zamenjavo in preveriti njihovo istovetnost.

Primer 7

Zapiši enačbo tangente na hiperbolo x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v točki 7; - 3 3 - 3 .

rešitev

Potrebno je transformirati zapis rešitve iskanja hiperbole z uporabo 2 funkcij. To razumemo

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ali y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Ugotoviti je treba, kateri funkciji pripada podana točka s koordinatami 7; - 3 3 - 3 .

Očitno je, da za preverjanje prve funkcije potrebujete y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , potem točka ne pripada grafu, saj enakost ni izpolnjena.

Za drugo funkcijo velja, da je y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , kar pomeni, da točka pripada danemu grafu. Od tu bi morali najti koeficient naklona.

To razumemo

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odgovor: tangentno enačbo lahko predstavimo kot

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Vizualiziran je na naslednji način:

Tangenta na parabolo

Če želite sestaviti enačbo tangente na parabolo y \u003d a x 2 + b x + c v točki x 0, y (x 0) , morate uporabiti standardni algoritem, nato pa bo enačba imela obliko y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takšna tangenta na oglišču je vzporedna z x.

Parabolo x = a y 2 + b y + c je treba definirati kot unijo dveh funkcij. Zato moramo rešiti enačbo za y. To razumemo

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Predstavimo ga grafično kot:

Če želite ugotoviti, ali točka x 0 , y (x 0) pripada funkciji, nežno sledite standardnemu algoritmu. Takšna tangenta bo vzporedna z y glede na parabolo.

Primer 8

Zapišite enačbo tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3, ko imamo naklon tangente 150 °.

rešitev

Rešitev začnemo tako, da parabolo predstavimo kot dve funkciji. To razumemo

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrednost naklona je enaka vrednosti odvoda v točki x 0 te funkcije in je enaka tangensu naklona.

Dobimo:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Od tu določimo vrednost x za stične točke.

Prva funkcija bo zapisana kot

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očitno ni pravih korenin, saj smo dobili negativno vrednost. Sklepamo, da za tako funkcijo ne obstaja tangenta s kotom 150 °.

Druga funkcija bo zapisana kot

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo, da so stične točke - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odgovor: tangentna enačba dobi obliko

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Grafično naslikajmo takole:

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter