Pogosto naloge zahtevajo poenostavljen odgovor. Čeprav so tako poenostavljeni kot nepoenostavljeni odgovori pravilni, vam lahko inštruktor zniža oceno, če odgovora ne poenostavite. Poleg tega je s poenostavljenim matematičnim izrazom veliko lažje delati. Zato je zelo pomembno, da se naučimo poenostaviti izraze.

Koraki

Pravilen vrstni red matematičnih operacij

1. Zapomnite si pravilen vrstni red izvajanja matematičnih operacij. Pri poenostavljanju matematičnega izraza je treba upoštevati določen vrstni red operacij, saj imajo nekatere matematične operacije prednost pred drugimi in jih je treba opraviti najprej (pravzaprav vas bo neupoštevanje pravilnega vrstnega reda operacij privedlo do napačen rezultat). Zapomni si naslednji vrstni red matematičnih operacij: izraz v oklepaju, potenciranje, množenje, deljenje, seštevanje, odštevanje.

   • Upoštevajte, da vam bo poznavanje pravilnega vrstnega reda operacij omogočilo poenostavitev večine preprostih izrazov, vendar pa morate za poenostavitev polinoma (izraza s spremenljivko) poznati posebne trike (glejte naslednji razdelek).

2. Začnite z reševanjem izraza v oklepaju. V matematiki oklepaji pomenijo, da je treba najprej ovrednotiti izraz v njih. Zato, ko poenostavljate kateri koli matematični izraz, začnite z reševanjem izraza v oklepajih (ni pomembno, katere operacije morate izvesti znotraj oklepajev). Ne pozabite pa, da morate pri delu z izrazom v oklepajih upoštevati vrstni red operacij, to je, da se izrazi v oklepajih najprej pomnožijo, delijo, dodajajo, odštevajo itd.

   • Na primer, poenostavimo izraz 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Tukaj začnemo z izrazi v oklepajih: 5 + 2 = 7 in 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Izraz v drugem paru oklepajev se poenostavi na 5, ker je treba najprej razdeliti 4/2 (v skladu s pravilnim vrstnim redom operacij). Če ne upoštevate tega vrstnega reda, boste dobili napačen odgovor: 3 + 4 = 7 in 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Če je v oklepaju še en par oklepajev, začnite poenostavljati z reševanjem izraza v notranjem oklepaju in nato nadaljujte z reševanjem izraza v zunanjem oklepaju.

3. Povečaj. Ko rešite izraze v oklepajih, pojdite na potenciranje (ne pozabite, da ima potenca eksponent in osnovo). Dvignite ustrezni izraz (ali število) na potenco in rezultat nadomestite z izrazom, ki vam je bil dan.

   • V našem primeru je edini izraz (število) na potenco 3 2: 3 2 = 9. V izrazu, ki vam je dan, zamenjajte 3 2 z 9 in dobili boste: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Pomnožite. Ne pozabite, da je operacija množenja lahko predstavljena z naslednjimi simboli: "x", "∙" ali "*". Če pa med številom in spremenljivko (na primer 2x) ali med številom in številom v oklepaju ni simbolov (na primer 4(7)), potem je tudi to operacija množenja.

   • V našem primeru obstajata dve operaciji množenja: 2x (dva pomnožena s spremenljivko "x") in 4(7) (štiri pomnožena s sedem). Vrednosti x ne poznamo, zato bomo izraz 2x pustili tak, kot je. 4(7) = 4 x 7 = 28. Zdaj lahko prepišete izraz, ki vam je bil dan, kot sledi: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Razdeli. Ne pozabite, da je operacija deljenja lahko predstavljena z naslednjimi simboli: “/”, “÷” ali “–” (zadnji znak boste morda videli v ulomkih). Na primer, 3/4 je tri deljeno s štiri.

   • V našem primeru ni več operacije deljenja, saj ste pri reševanju izraza v oklepaju že delili 4 z 2 (4/2). Tako lahko nadaljujete na naslednji korak. Ne pozabite, da večina izrazov ne vsebuje vseh matematičnih operacij (samo nekatere od njih).

6. Zložite. Ko dodajate izraze, lahko začnete z izrazom, ki je najbolj oddaljen (levo), ali pa dodate izraze, ki se zlahka dodajajo prvi. Na primer, v izrazu 49 + 29 + 51 +71 je najprej lažje sešteti 49 + 51 = 100, nato 29 + 71 = 100 in nazadnje 100 + 100 = 200. Veliko težje je sešteti takole: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • V našem primeru 2x + 28 + 9 + 5 sta dve operaciji seštevanja. Začnimo z najbolj zunanjim (levim) členom: 2x + 28; ne morete sešteti 2x in 28, ker ne poznate vrednosti spremenljivke "x". Zato dodajte 28 + 9 = 37. Zdaj lahko izraz prepišemo takole: 2x + 37 - 5.

7. Odštej. To je zadnja operacija v pravilnem vrstnem redu izvajanja matematičnih operacij. Na tej stopnji lahko tudi dodate negativna števila ali pa to storite v fazi dodajanja članov - to na noben način ne bo vplivalo na končni rezultat.

   • V našem primeru 2x + 37 - 5 je samo ena operacija odštevanja: 37 - 5 = 32.

8. Na tej stopnji, po izvedbi vseh matematičnih operacij, bi morali dobiti poenostavljen izraz.Če pa izraz, ki vam je bil dan, vsebuje eno ali več spremenljivk, potem ne pozabite, da bo izraz s spremenljivko ostal tak, kot je. Reševanje (ne poenostavljanje) izraza s spremenljivko vključuje iskanje vrednosti te spremenljivke. Včasih je spremenljive izraze mogoče poenostaviti z uporabo posebne metode(glejte naslednji razdelek).

   • V našem primeru je končni odgovor 2x + 32. Oba izraza ne morete sešteti, dokler ne poznate vrednosti spremenljivke "x". Ko poznate vrednost spremenljivke, lahko preprosto poenostavite ta binom.

   Poenostavljanje kompleksnih izrazov

   1. Dodajanje podobnih izrazov. Ne pozabite, da lahko odštevate in seštevate le podobne člene, torej člene z isto spremenljivko in istim eksponentom. Na primer, lahko seštejete 7x in 5x, ne morete pa sešteti 7x in 5x 2 (ker sta eksponenta različna).

      • To pravilo velja tudi za člane z več spremenljivkami. Na primer, lahko dodate 2xy 2 in -3xy 2 , ne morete pa dodati 2xy 2 in -3x 2 y ali 2xy 2 in -3y 2 .
      • Poglejmo primer: x 2 + 3x + 6 - 8x. Tukaj sta podobna izraza 3x in 8x, zato ju je mogoče sešteti. Poenostavljen izraz je videti takole: x 2 - 5x + 6.

   2. Poenostavite številski ulomek. V takem ulomku tako števec kot imenovalec vsebujeta števili (brez spremenljivke). Številski ulomek je mogoče poenostaviti na več načinov. Najprej preprosto delite imenovalec s števcem. Drugič, faktorizirajte števec in imenovalec ter izbrišite podobne faktorje (ker boste z deljenjem števila s samim seboj dobili 1). Z drugimi besedami, če imata števec in imenovalec enak faktor, ga lahko izpustite in dobite poenostavljen ulomek.

      • Na primer, upoštevajte ulomek 36/60. S kalkulatorjem delite 36 s 60, da dobite 0,6. Toda ta ulomek lahko poenostavite na drug način, tako da števec in imenovalec razložite na faktorje: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Ker je 6/6 = 1, je poenostavljeni ulomek: 1 x 6/10 = 6/10. Toda ta ulomek je mogoče tudi poenostaviti: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Če ulomek vsebuje spremenljivko, lahko s spremenljivko prekličete podobne faktorje. Faktorizirajte tako števec kot imenovalec in izbrišite podobne faktorje, tudi če vsebujejo spremenljivko (ne pozabite, da podobni faktorji lahko vsebujejo spremenljivko ali pa tudi ne).

      • Poglejmo primer: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ta izraz je mogoče prepisati (faktorizirati) v obliki: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Ker je člen 3x tako v števcu kot v imenovalcu, ga lahko prekličete, da dobite poenostavljen izraz: (x + 1)/(5 - x). Poglejmo še en primer: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Upoštevajte, da ne morete preklicati nobenega izraza - preklicani so samo enaki faktorji, ki so prisotni tako v števcu kot v imenovalcu. Na primer, v izrazu (x(x + 2))/x je spremenljivka (faktor) "x" tako v števcu kot v imenovalcu, zato lahko "x" zmanjšamo, da dobimo poenostavljen izraz: (x + 2)/1 = x + 2. Vendar v izrazu (x + 2)/x spremenljivke "x" ni mogoče zmanjšati (ker "x" ni faktor v števcu).

   4. Odpri oklepaj.Če želite to narediti, pomnožite izraz zunaj oklepaja z vsakim izrazom v oklepajih. Včasih pomaga poenostaviti kompleksen izraz. To velja za oba člana, ki sta praštevila in članom, ki vsebujejo spremenljivko.

      • Na primer, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 in 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Upoštevajte, da v ulomkih ni treba odpirati oklepajev, če imata števec in imenovalec enak faktor. Na primer, v izrazu (3(x 2 + 8))/3x ni treba razširiti oklepaja, saj lahko tukaj prekličete faktor 3 in dobite poenostavljen izraz (x 2 + 8)/x. S tem izrazom je lažje delati; če bi odprli oklepaje, bi dobili naslednji kompleksen izraz: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorski polinomi. S to metodo lahko poenostavite nekatere izraze in polinome. Faktoring je nasprotna operacija odpiranja oklepajev, kar pomeni, da je izraz zapisan kot produkt dveh izrazov, od katerih je vsak v oklepaju. V nekaterih primerih faktoring omogoča zmanjšanje istega izraza. IN posebni primeri(običajno z kvadratne enačbe) faktoring vam bo omogočil reševanje enačbe.

      • Razmislite o izrazu x 2 - 5x + 6. Razdeljen je na faktorje: (x - 3)(x - 2). Torej, če je na primer podan izraz (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), ga lahko prepišete kot (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), reduciramo izraz (x - 2) in dobimo poenostavljen izraz (x - 3)/2.
      • Faktoriziranje polinomov se uporablja za reševanje (iskanje korenov) enačb (enačba je polinom, enak 0). Na primer, razmislite o enačbi x 2 - 5x + 6 = 0. Če jo faktorizirate, dobite (x - 3)(x - 2) = 0. Ker je vsak izraz, pomnožen z 0, enak 0, ga lahko zapišemo kot to : x - 3 = 0 in x - 2 = 0. Torej je x = 3 in x = 2, kar pomeni, da ste našli dva korena enačbe, ki vam je dana.

nekaj algebrski primeriže ob pogledu nanje lahko prestrašijo šolarje. Dolgi izrazi niso samo zastrašujoči, ampak tudi zelo otežijo izračune. Če poskušate takoj razumeti, kaj sledi čemu, ne bo trajalo dolgo, da se zmedete. Prav zaradi tega matematiki vedno poskušajo "grozen" problem čim bolj poenostaviti in šele nato začeti reševati. Nenavadno je, da ta trik bistveno pospeši delovni proces.

Poenostavitev je ena temeljnih točk v algebri. Če v preproste nalogeŠe vedno lahko brez tega, vendar se primeri, ki jih je težje izračunati, lahko izkažejo za pretežke. Tukaj te veščine pridejo prav! Poleg tega kompleksno matematično znanje ni potrebno: dovolj bo le, da si zapomnite in se naučite v praksi uporabljati nekaj osnovnih tehnik in formul.

Ne glede na kompleksnost izračunov je pri reševanju katerega koli izraza pomembno sledite vrstnemu redu izvajanja operacij s številkami:

1. oklepaji;
2. potenciranje;
3. množenje;
4. delitev;
5. dodatek;
6. odštevanje.

Zadnji dve točki lahko preprosto zamenjate in to nikakor ne bo vplivalo na rezultat. Toda seštevanje dveh sosednjih števil, ko je ob enem znak za množenje, je absolutno prepovedano! Odgovor, če obstaja, ni pravilen. Zato si morate zapomniti zaporedje.

Uporaba takšnih

Takšni elementi vključujejo števila s spremenljivko istega reda ali iste stopnje. Obstajajo tudi tako imenovani brezplačni člani, ki nimajo poleg sebe črkovna oznaka neznano.

Bistvo je, da v odsotnosti oklepajev izraz lahko poenostavite tako, da dodate ali odštejete podobno.

Nekaj ​​ilustrativnih primerov:

• 8x 2 in 3x 2 - obe števili imata enako spremenljivko drugega reda, torej sta si podobni in ko seštejeta, se poenostavita na (8+3)x 2 =11x 2, medtem ko ko ju odšteješ, dobiš (8-3)x 2 =5x 2 ;
• 4x 3 in 6x - in tukaj ima "x" različne stopnje;
• 2y 7 in 33x 7 - vsebujeta različne spremenljivke, zato, tako kot v prejšnjem primeru, nista podobni.

Faktoriziranje števila

Ta mali matematični trik, če se ga naučite pravilno uporabljati, vam bo v prihodnosti še večkrat pomagal pri reševanju kočljive težave. In ni težko razumeti, kako "sistem" deluje: razpad je produkt več elementov, katerih izračun da prvotno vrednost. Torej je 20 lahko predstavljeno kot 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ali kako drugače.

Na opombo: Faktorji so vedno enaki deliteljem. Delujoč »par« za razgradnjo je torej treba iskati med števili, na katera je izvirnik deljiv brez ostanka.

To operacijo je mogoče izvesti tako s prostimi členi kot s številkami v spremenljivki. Glavna stvar je, da slednjega med izračuni ne izgubite - celo po razgradnji neznano ne more kar tako »iti nikamor«. Ostaja pri enem od množiteljev:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 = (15y 2)4.

Praštevila, ki jih je mogoče deliti samo sama s seboj ali z 1, se nikoli ne razširijo - nima smisla.

Osnovne metode poenostavitve

Prva stvar, ki vam pade v oči:

• prisotnost oklepajev;
• ulomki;
• korenine.

Algebraični primeri v šolski kurikulum so pogosto napisani z mislijo, da jih je mogoče lepo poenostaviti.

Izračuni v oklepaju

Bodite pozorni na znak pred oklepajem! Množenje ali deljenje se uporabi za vsak element znotraj, znak minus pa obrne obstoječa znaka »+« ali »-«.

Oklepaji se izračunajo po pravilih ali z uporabo skrajšanih formul za množenje, po katerih so podane podobne.

Zmanjševanje ulomkov

Zmanjšajte ulomke Prav tako je enostavno. Sami vsake toliko časa »rado pobegnejo«, takoj ko se izvajajo akcije za privabljanje takšnih članov. Primer pa lahko še prej poenostavite: bodite pozorni na števec in imenovalec. Pogosto vsebujejo eksplicitne ali skrite elemente, ki jih je mogoče medsebojno zmanjšati. Res je, če morate v prvem primeru samo prečrtati nepotrebno, boste v drugem morali razmišljati in del izraza prenesti v obliko za poenostavitev. Uporabljene metode:

• iskanje in oklepaj največjega skupnega delitelja števca in imenovalca;
• vsak zgornji element delimo z imenovalcem.

Ko je izraz ali njegov del pod korenom, je primarna naloga poenostavljanja skoraj podobna primeru z ulomki. Treba je iskati načine, kako se ga popolnoma znebiti ali, če to ni mogoče, zmanjšati znak, ki moti izračune. Na primer do nevsiljivega √(3) ali √(7).

Pravi način poenostavite radikalni izraz - poskusite ga faktorizirati, od katerih nekateri segajo čez znak. Ilustrativen primer: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Drugi majhni triki in nianse:

• to poenostavitveno operacijo je mogoče izvesti z ulomki, tako da jih vzamemo iz predznaka kot celoto in ločeno kot števec ali imenovalec;
• Dela vsote ali razlike ni mogoče razširiti in preseči korena;
• pri delu s spremenljivkami obvezno upoštevajte njeno stopnjo, mora biti enaka ali večkratnik korena, da jo lahko izločite: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• včasih se je možno znebiti radikalne spremenljivke tako, da jo dvignemo na ulomek: √(y 3)=y 3/2.

Poenostavitev potenčnega izraza

Če v primeru enostavnih izračunov z minus ali plus primere poenostavimo z navajanjem podobnih, kaj potem storiti pri množenju ali deljenju spremenljivk z različne stopnje? Z lahkoto jih je mogoče poenostaviti, če si zapomnite dve glavni točki:

1. Če je med spremenljivkama znak za množenje, se potenci seštevata.
2. Ko jih med seboj delimo, se od moči števca odšteje enaka potenca imenovalca.

Edini pogoj za takšno poenostavitev je isto bazo oba člana. Primeri za jasnost:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Opažamo, da se operacije s številskimi vrednostmi pred spremenljivkami odvijajo v skladu z običajnimi matematičnimi pravili. In če pogledate natančno, postane jasno, da elementi moči izraza "delujejo" na podoben način:

• dvig izraza na potenco pomeni njegovo množenje s samim seboj določeno število krat, tj. x 2 =x×x;
• delitev je podobna: če razširite potence števca in imenovalca, bodo nekatere spremenljivke preklicane, medtem ko se preostale "zberejo", kar je enako odštevanju.

Kot v vsakem poslu tudi pri poenostavljanju algebrski izrazi Zahteva se ne samo poznavanje osnov, ampak tudi praksa. Že po nekaj lekcijah se bodo primeri, ki so se nekoč zdeli zapleteni, brez večjih težav zmanjšali in spremenili v kratke in lahko rešljive.

Video

Ta videoposnetek vam bo pomagal razumeti in si zapomniti, kako so izrazi poenostavljeni.

Niste dobili odgovora na svoje vprašanje? Predlagajte temo avtorjem.

Vsak jezik lahko izrazi isto informacijo z različnimi besedami in revolucije. Matematični jezik ni izjema. Toda isti izraz je mogoče enakovredno zapisati na različne načine. In v nekaterih situacijah je eden od vnosov preprostejši. V tej lekciji bomo govorili o poenostavitvi izrazov.

Ljudje komunicirajo naprej različnih jezikih. Za nas je pomembna primerjava par "ruski jezik - matematični jezik". Iste informacije se lahko posredujejo v različnih jezikih. Toda poleg tega se lahko v enem jeziku izgovori na različne načine.

Na primer: "Petya je prijatelj z Vasyo", "Vasya je prijatelj s Petyo", "Petya in Vasya sta prijatelja". Rečeno drugače, a isto. Iz katere koli od teh fraz bi razumeli, o čem govorimo.

Poglejmo ta stavek: "Fant Petya in deček Vasya sta prijatelja." Razumemo, kaj mislimo govorimo o. Vendar nam ni všeč zvok te fraze. Ali ne moremo poenostaviti, povedati iste stvari, vendar bolj preprosto? "Fant in fant" - enkrat lahko rečete: "Fanta Petya in Vasya sta prijatelja."

"Fantje" ... Ali iz njihovih imen ni jasno, da niso dekleta? Odstranimo "fante": "Petya in Vasya sta prijatelja." In besedo "prijatelji" lahko zamenjamo s "prijatelji": "Petya in Vasya sta prijatelja." Posledično je bila prva, dolga, grda fraza nadomeščena z enakovredno izjavo, ki jo je lažje izgovoriti in razumeti. Ta stavek smo poenostavili. Poenostaviti pomeni povedati preprosteje, vendar ne izgubiti ali popačiti pomena.

V matematičnem jeziku se zgodi približno isto. Eno in isto lahko rečemo, zapišemo drugače. Kaj pomeni poenostaviti izraz? To pomeni, da za izvirni izraz obstaja veliko enakovrednih izrazov, torej tistih, ki pomenijo isto stvar. In iz vse te raznolikosti moramo izbrati najpreprostejšega, po našem mnenju, ali najprimernejšega za naše nadaljnje namene.

Na primer, upoštevajte številski izraz. To bo enakovredno .

Enakovredno bo tudi prvima dvema: .

Izkazalo se je, da smo naše izraze poenostavili in našli najkrajši enakovreden izraz.

Za številske izraze morate vedno narediti vse in dobiti enakovreden izraz kot eno samo število.

Poglejmo primer dobesednega izraza . Očitno bo bolj preprosto.

Pri poenostavljanju dobesednih izrazov je potrebno izvesti vsa možna dejanja.

Ali je vedno treba izraz poenostaviti? Ne, včasih nam bo bolj ustrezal enakovreden, a daljši vnos.

Primer: od števila morate odšteti število.

Možno je izračunati, vendar če bi prvo število predstavili z enakovrednim zapisom: , potem bi bili izračuni trenutni: .

To pomeni, da nam poenostavljeni izraz ni vedno koristen za nadaljnje izračune.

Kljub temu se zelo pogosto soočimo z nalogo, ki zveni le kot »poenostaviti izraz«.

Poenostavite izraz: .

rešitev

1) Izvedite dejanja v prvem in drugem oklepaju: .

2) Izračunajmo produkte: .

Očitno ima zadnji izraz enostavnejšo obliko kot začetni. Poenostavili smo ga.

Da bi poenostavili izraz, ga je treba nadomestiti z enakovrednim (equal).

Za določitev enakovrednega izraza potrebujete:

1) izvedite vsa možna dejanja,

2) uporabite lastnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja za poenostavitev izračunov.

Lastnosti seštevanja in odštevanja:

1. Komutativna lastnost seštevanja: preurejanje členov ne spremeni vsote.

2. Kombinacijska lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh števil dodati še tretje število, lahko prvemu številu prištejete vsoto drugega in tretjega števila.

3. Lastnost odštevanja vsote od števila: če želite od števila odšteti vsoto, lahko odštejete vsak člen posebej.

Lastnosti množenja in deljenja

1. Komutativna lastnost množenja: preurejanje faktorjev ne spremeni produkta.

2. Kombinacijska lastnost: če želite število pomnožiti z zmnožkom dveh števil, ga lahko najprej pomnožite s prvim faktorjem, nato pa dobljeni produkt pomnožite z drugim faktorjem.

3. Razdelitvena lastnost množenja: da bi število pomnožili z vsoto, ga morate pomnožiti z vsakim členom posebej.

Poglejmo, kako dejansko delamo miselne izračune.

Izračunajte:

rešitev

1) Predstavljajmo si, kako

2) Predstavljajmo si prvi faktor kot vsoto bitnih členov in izvedimo množenje:

3) lahko si predstavljate, kako in izvedete množenje:

4) Zamenjajte prvi faktor z enakovredno vsoto:

Distributivni zakon se lahko uporablja tudi v hrbtna stran: .

Sledite tem korakom:

1) 2)

rešitev

1) Za udobje lahko uporabite distribucijski zakon, uporabite ga le v nasprotni smeri - skupni faktor vzemite iz oklepaja.

2) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja

Treba je kupiti linolej za kuhinjo in hodnik. Kuhinja - , hodnik - . Obstajajo tri vrste linolejev: za in rubljev za. Koliko bo vsak stal? tri vrste linolej? (slika 1)

riž. 1. Ilustracija za navedbo problema

rešitev

1. način. Ločeno lahko ugotovite, koliko denarja bo potrebno za nakup linoleja za kuhinjo, nato pa ga postavite na hodnik in seštejte dobljene izdelke.

V petem stoletju pr starogrški filozof Zenon iz Eleje je oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija »Ahil in želva«. Takole zveni:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes, znanstvena skupnost še ni uspela priti do enotnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostani notri stalne enote meritve časa in ne gredo na vzajemnosti. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev Težave. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Kaj želim poudariti Posebna pozornost, je, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...

In zdaj imam največ zanimanje Vprašaj: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej, v različne sisteme V računstvu bo vsota števk istega števila drugačna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Vsakega koraka ne bomo gledali pod mikroskopom; to smo že storili. Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je, ko je rezultat matematična operacija ni odvisna od velikosti števila, uporabljene merske enote in tega, kdo izvaja dejanje.

Znak na vratih Odpre vrata in reče:

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni bedak, ki ne pozna fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "kakalec" ali številka "šestindvajset" v heksadecimalni sistem Obračun. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Dobesedni izraz (ali izraz s spremenljivkami) je matematični izraz, ki je sestavljen iz številk, črk in simbolov matematičnih operacij. Naslednji izraz je na primer dobeseden:

a+b+4

Z uporabo abecednih izrazov lahko pišete zakone, formule, enačbe in funkcije. Sposobnost manipuliranja s črkovnimi izrazi je ključ do dobrega poznavanja algebre in višje matematike.

Vsak resen problem v matematiki se zmanjša na reševanje enačb. In da bi lahko rešili enačbe, morate znati delati z dobesednimi izrazi.

Za delo z dobesednimi izrazi morate dobro poznati osnove aritmetike: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, osnovne zakone matematike, ulomke, operacije z ulomki, razmerja. In ne samo študirati, ampak temeljito razumeti.

Vsebina lekcije

Spremenljivke

Črke, ki so vsebovane v dobesednih izrazih, se imenujejo spremenljivke. Na primer v izrazu a+b+4 spremenljivke so črke a in b. Če zamenjamo poljubna števila namesto teh spremenljivk, potem dobesedni izraz a+b+4 se bo spremenil v številski izraz, katerega vrednost je mogoče najti.

Števila, ki so nadomeščena s spremenljivkami, se imenujejo vrednosti spremenljivk. Na primer, spremenimo vrednosti spremenljivk a in b. Za spreminjanje vrednosti se uporablja znak enačaja

a = 2, b = 3

Spremenili smo vrednosti spremenljivk a in b. Spremenljivka a dodeljena vrednost 2 , spremenljivka b dodeljena vrednost 3 . Kot rezultat, dobesedni izraz a+b+4 spremeni v običajni številski izraz 2+3+4 katerega vrednost je mogoče najti:

2 + 3 + 4 = 9

Ko spremenljivke pomnožimo, jih zapišemo skupaj. Na primer, zapis ab pomeni enako kot vnos a×b. Če zamenjamo spremenljivke a in bštevilke 2 in 3 , potem dobimo 6

2 × 3 = 6

Množenje števila z izrazom lahko zapišeš tudi skupaj v oklepaju. Na primer, namesto a×(b + c) se da zapisati a(b + c). Z uporabo distribucijskega zakona množenja dobimo a(b + c)=ab+ac.

kvote

V dobesednih izrazih lahko pogosto najdete zapis, v katerem sta na primer število in spremenljivka zapisani skupaj 3a. To je pravzaprav okrajšava za množenje števila 3 s spremenljivko. a in ta vnos izgleda takole 3×a .

Z drugimi besedami, izraz 3a je produkt števila 3 in spremenljivke a. številka 3 pri tem delu imenujejo koeficient. Ta koeficient kaže, kolikokrat se bo spremenljivka povečala a. Ta izraz se lahko bere kot " a trikrat" ali "trikrat A« ali »povečajte vrednost spremenljivke a trikrat", vendar se največkrat bere kot "tri a«

Na primer, če spremenljivka a enako 5 , nato vrednost izraza 3a bo enako 15.

3 × 5 = 15

Govorjenje v preprostem jeziku, je koeficient številka, ki je pred črko (pred spremenljivko).

Lahko je na primer več črk 5abc. Tu je koeficient število 5 . Ta koeficient kaže, da je produkt spremenljivk abc poveča za petkrat. Ta izraz se lahko bere kot " abc petkrat" ali "povečajte vrednost izraza abc petkrat" ali "pet abc«.

Če namesto spremenljivk abc zamenjajte številke 2, 3 in 4, nato vrednost izraza 5abc bo enakovreden 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

V mislih si lahko predstavljate, kako so bila števila 2, 3 in 4 najprej pomnožena in dobljena vrednost se je petkrat povečala:

Predznak koeficienta se nanaša samo na koeficient in ne velja za spremenljivke.

Razmislite o izrazu −6b. Minus pred koeficientom 6 , velja samo za koeficient 6 , in ne pripada spremenljivki b. Razumevanje tega dejstva vam bo omogočilo, da v prihodnosti ne delate napak z znaki.

Poiščimo vrednost izraza −6b pri b = 3.

−6b −6×b. Za jasnost zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki in nadomestite vrednost spremenljivke b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Primer 2. Poiščite vrednost izraza −6b pri b = −5

Zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Primer 3. Poiščite vrednost izraza −5a+b pri a = 3 in b = 2

−5a+b to je kratka oblika za −5 × a + b, zato zaradi jasnosti zapišemo izraz −5×a+b v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a in b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Včasih so črke napisane brez koeficienta, na primer a oz ab. V tem primeru je koeficient enota:

vendar tradicionalno enota ni zapisana, zato preprosto napišejo a oz ab

Če je pred črko minus, je koeficient številka −1 . Na primer, izraz −a dejansko izgleda −1a. To je produkt minus ena in spremenljivke a. Izkazalo se je takole:

−1 × a = −1a

Tukaj je majhen ulov. V izrazu −a znak minus pred spremenljivko a dejansko nanaša na "nevidno enoto" in ne na spremenljivko a. Zato morate biti pri reševanju težav previdni.

Na primer, če je podan izraz −a in prosimo, da ugotovimo njegovo vrednost pri a = 2, potem smo v šoli namesto spremenljivke zamenjali dvojko a in prejel odgovor −2 , ne da bi se preveč osredotočal na to, kako se je izkazalo. Pravzaprav je bil minus ena pomnožen s pozitivnim številom 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Če je podan izraz −a in morate najti njegovo vrednost pri a = −2, potem zamenjamo −2 namesto spremenljivke a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Da bi se izognili napakam, lahko sprva nevidne enote eksplicitno zapišemo.

Primer 4. Poiščite vrednost izraza abc pri a=2 , b=3 in c=4

Izraz abc 1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz abc a, b in c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Primer 5. Poiščite vrednost izraza abc pri a=−2 , b=−3 in c=−4

Zapišimo izraz abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Primer 6. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=3, b=5 in c=7

Izraz − abc to je kratka oblika za −1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Primer 7. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=−2 , b=−4 in c=−3

Zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki:

−abc = −1 × a × b × c

Zamenjajmo vrednosti spremenljivk a , b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kako določiti koeficient

Včasih morate rešiti problem, v katerem morate določiti koeficient izraza. Načeloma je ta naloga zelo preprosta. Dovolj je, da znamo pravilno množiti števila.

Če želite določiti koeficient v izrazu, morate ločeno pomnožiti številke, vključene v ta izraz, in ločeno pomnožiti črke. Dobljeni numerični faktor bo koeficient.

Primer 1. 7m×5a×(−3)×n

Izraz je sestavljen iz več dejavnikov. To je jasno razvidno, če izraz napišete v razširjeni obliki. Oziroma dela 7m in 5a zapišite v obrazec 7×m in 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Uporabimo asociativni zakon množenja, ki omogoča množenje faktorjev v poljubnem vrstnem redu. In sicer bomo posebej množili števila in posebej črke (spremenljivke):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 človek

Koeficient je −105 . Po zaključku je priporočljivo, da del črk uredite po abecednem vrstnem redu:

−105 zjutraj

Primer 2. Določite koeficient v izrazu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Primer 3. Določite koeficient v izrazu:

Ločeno pomnožimo številke in črke:

Koeficient je −1. Upoštevajte, da enota ni zapisana, saj je običajno, da koeficienta 1 ne zapišemo.

Ta na videz najpreprostejša opravila se lahko z nami zelo kruto šalijo. Pogosto se izkaže, da je predznak koeficienta nastavljen nepravilno: ali minus manjka ali pa je bil, nasprotno, nastavljen zaman. Da bi se izognili tem nadležnim napakam, ga je treba preučiti na dobri ravni.

Seštevki v dobesednih izrazih

Pri seštevanju več števil dobimo vsoto teh števil. Števila, ki seštevajo, imenujemo seštevalci. Izrazov je lahko več, npr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Ko je izraz sestavljen iz členov, ga je veliko lažje ovrednotiti, ker je seštevanje lažje kot odštevanje. Toda izraz lahko vsebuje ne samo seštevanje, ampak tudi odštevanje, na primer:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tem izrazu sta števili 3 in 5 odštevanca, ne seštevka. Toda nič nam ne preprečuje, da bi odštevanje nadomestili s seštevanjem. Potem spet dobimo izraz, sestavljen iz členov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Ni pomembno, da imata števili −3 in −5 zdaj znak minus. Glavna stvar je, da so vse številke v tem izrazu povezane z znakom dodatka, to je, da je izraz vsota.

Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 in 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) enako enaki vrednosti - minus ena

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Tako pomen izraza ne bo trpel, če bomo nekje odštevanje nadomestili s seštevanjem.

Odštevanje lahko zamenjate tudi z seštevanjem v dobesednih izrazih. Na primer, upoštevajte naslednji izraz:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Za poljubne vrednosti spremenljivk a, b, c, d in s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s in 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) bo enaka enaki vrednosti.

Pripravljeni morate biti na dejstvo, da lahko učitelj v šoli ali učitelj na inštitutu pokliče soda števila (ali spremenljivke), ki niso seštevalci.

Na primer, če je razlika zapisana na tabli a − b, potem učitelj tega ne bo rekel a je minuend in b- odštevanje. Obe spremenljivki bo poklical z eno skupno besedo - pogoji. In vse zaradi izražanja oblike a − b matematik vidi, kako vsota a+(−b). V tem primeru izraz postane vsota in spremenljivke a in (-b) postanejo pogoji.

Podobni izrazi

Podobni izrazi- to so izrazi, ki imajo enak črkovni del. Na primer, upoštevajte izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a in 2a imajo enak črkovni del – spremenljivko a. Torej pogoji 7a in 2a so podobni.

Običajno so podobni izrazi dodani za poenostavitev izraza ali reševanje enačbe. Ta operacija se imenuje prinaša podobne pogoje.

Če želite prinesti podobne izraze, morate sešteti koeficiente teh izrazov in dobljeni rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom.

Na primer, predstavimo podobne izraze v izrazu 3a + 4a + 5a. V tem primeru so vsi izrazi podobni. Seštejmo njihove koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom – s spremenljivko a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Običajno se spomnimo podobnih izrazov in takoj zapišemo rezultat:

3a + 4a + 5a = 12a

Poleg tega lahko sklepamo na naslednji način:

Spremenljivke a so bile 3, dodane so bile še 4 spremenljivke a in še 5 spremenljivk a. Kot rezultat smo dobili 12 spremenljivk a

Oglejmo si nekaj primerov prinašanja podobnih izrazov. Glede na to, da je tema zelo pomembna, bomo najprej podrobno zapisali vsako malenkost. Čeprav je tukaj vse zelo preprosto, večina ljudi dela veliko napak. Predvsem zaradi nepazljivosti, ne neznanja.

Primer 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Seštejmo koeficiente v tem izrazu in dobljeni rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

oblikovanje (3 + 2 + 6 + 8)×a Ni vam treba zapisati, zato bomo odgovor zapisali takoj

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Primer 2. Podajte podobne izraze v izrazu 2a+a

Drugi mandat a napisano brez koeficienta, v resnici pa je pred njim koeficient 1 , ki ga ne vidimo, ker ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + 1a

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. To pomeni, da seštejemo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Na kratko zapišimo rešitev:

2a + a = 3a

2a+a, lahko razmišljate drugače:

Primer 3. Podajte podobne izraze v izrazu 2a−a

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem:

2a + (−a)

Drugi mandat (-a) napisano brez koeficienta, v resnici pa je videti (−1a). Koeficient −1 spet neviden zaradi dejstva, da ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + (−1a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Običajno napisano krajše:

2a − a = a

Podajanje podobnih izrazov v izrazu 2a−a Lahko razmišljate drugače:

Bili sta 2 spremenljivki a, odštejemo eno spremenljivko a in posledično je ostala samo ena spremenljivka a

Primer 4. Podajte podobne izraze v izrazu 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Na kratko zapišimo rešitev:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Obstajajo izrazi, ki vsebujejo več razne skupine podobni pogoji. na primer 3a + 3b + 7a + 2b. Za take izraze veljajo enaka pravila kot za ostale, in sicer seštevanje koeficientov in množenje rezultata s skupnim črkovnim delom. Da bi se izognili napakam, je priročno različne skupine Izrazi so označeni z različnimi črtami.

Na primer v izrazu 3a + 3b + 7a + 2b tisti izrazi, ki vsebujejo spremenljivko a, lahko podčrtamo z eno črto, ter tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko b, lahko poudarimo z dvema vrsticama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke. To je treba narediti za obe skupini izrazov: za izraze, ki vsebujejo spremenljivko a in za izraze, ki vsebujejo spremenljivko b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Spet ponavljamo, izraz je preprost in v mislih lahko navedemo podobne izraze:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Primer 5. Podajte podobne izraze v izrazu 5a − 6a −7b + b

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podobne izraze podčrtajmo z različnimi črtami. Izrazi, ki vsebujejo spremenljivke a podčrtamo z eno črto, izrazi pa so vsebine spremenljivk b, podčrtaj z dvema črtama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Če izraz vsebuje navadna števila brez črkovnih faktorjev, se te seštevajo ločeno.

Primer 6. Podajte podobne izraze v izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Predstavimo podobne izraze. Številke −5 in 7 nimajo črkovnih faktorjev, vendar so podobni izrazi - samo dodati jih je treba. In izraz 2b bo ostal nespremenjen, saj je edini v tem izrazu, ki ima faktor črke b, in ni kaj dodati:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Na kratko zapišimo rešitev:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Izrazi se lahko razvrstijo tako, da se tisti izrazi, ki imajo enak črkovni del, nahajajo v istem delu izraza.

Primer 7. Podajte podobne izraze v izrazu 5t+2x+3x+5t+x

Ker je izraz vsota več izrazov, nam to omogoča, da ga ovrednotimo v poljubnem vrstnem redu. Zato izrazi, ki vsebujejo spremenljivko t, lahko zapišemo na začetku izraza in izraze, ki vsebujejo spremenljivko x na koncu izraza:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Na kratko zapišimo rešitev:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Vsota nasprotnih števil je nič. To pravilo deluje tudi za dobesedne izraze. Če izraz vsebuje enake izraze, vendar z nasprotnimi znaki, se jih lahko znebite na stopnji zmanjševanja podobnih izrazov. Z drugimi besedami, preprosto jih izločite iz izraza, saj je njihova vsota enaka nič.

Primer 8. Podajte podobne izraze v izrazu 3t − 4t − 3t + 2t

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponente 3t in (−3t) so nasprotni. Vsota nasprotnih členov je nič. Če iz izraza odstranimo to ničlo, se vrednost izraza ne bo spremenila, zato jo bomo odstranili. In odstranili ga bomo tako, da preprosto prečrtamo izraze 3t in (−3t)

Posledično nam bo ostal izraz (−4t) + 2t. V ta izraz lahko dodate podobne izraze in dobite končni odgovor:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Na kratko zapišimo rešitev:

Poenostavljanje izrazov

"poenostaviti izraz" in spodaj je izraz, ki ga je treba poenostaviti. Poenostavite izraz pomeni poenostaviti in skrajšati.

Pravzaprav smo že poenostavljali izraze, ko smo zmanjševali ulomke. Po zmanjšanju je ulomek postal krajši in lažje razumljiv.

Razmislite o naslednjem primeru. Poenostavite izraz.

To nalogo lahko dobesedno razumemo na naslednji način: "Uporabi vsa veljavna dejanja za ta izraz, vendar naj bo preprostejši." .

V tem primeru lahko ulomek zmanjšate, in sicer števec in imenovalec ulomka delite z 2:

Kaj še lahko narediš? Lahko izračunate dobljeni ulomek. Nato dobimo decimalni ulomek 0,5

Posledično je bil ulomek poenostavljen na 0,5.

Prvo vprašanje, ki si ga morate zastaviti pri reševanju tovrstnih težav, bi moralo biti "Kaj je mogoče storiti?" . Ker obstajajo dejanja, ki jih lahko storite, in so dejanja, ki jih ne morete storiti.

Še ena pomembna točka Zapomniti si morate, da se vrednost izraza po poenostavitvi izraza ne sme spremeniti. Vrnimo se k izrazu. Ta izraz predstavlja delitev, ki jo je mogoče izvesti. Po izvedbi te delitve dobimo vrednost tega izraza, ki je enaka 0,5

Izraz pa smo poenostavili in dobili nov poenostavljen izraz. Vrednost novega poenostavljenega izraza je še vedno 0,5

Poskušali pa smo izraz tudi poenostaviti tako, da smo ga izračunali. Kot rezultat smo prejeli končni odgovor 0,5.

Torej, ne glede na to, kako poenostavimo izraz, je vrednost dobljenih izrazov še vedno enaka 0,5. To pomeni, da je bila poenostavitev v vsaki fazi izvedena pravilno. Prav k temu moramo težiti pri poenostavljanju izrazov – pomen izraza ne sme trpeti zaradi naših dejanj.

Pogosto je treba poenostaviti dobesedni izrazi. Zanje veljajo enaka pravila poenostavljanja kot za številske izraze. Izvajate lahko katera koli veljavna dejanja, če se vrednost izraza ne spremeni.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1. Poenostavite izraz 5,21 s × t × 2,5

Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in ločeno pomnožite črke. Ta naloga je zelo podobna tisti, ki smo si jo ogledali, ko smo se učili določiti koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Torej izraz 5,21 s × t × 2,5 poenostavljeno na 13.025st.

Primer 2. Poenostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2

Drugi kos (–6,3b) lahko prevedemo v nam razumljivo obliko, in sicer zapišemo v obliki ( −6,3)×b , nato ločeno pomnožite številke in posebej pomnožite črke:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (–6,3) × b × 2 = 5,04b

Torej izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 poenostavljeno na 5.04b

Primer 3. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Sedaj pa pomnožimo številke ločeno in posebej pomnožimo črke:

Torej izraz poenostavljeno na −abc. To rešitev lahko na kratko zapišemo:

Pri poenostavljanju izrazov lahko ulomke skrajšamo med postopkom reševanja in ne čisto na koncu, kot smo storili pri navadni ulomki. Na primer, če med reševanjem naletimo na izraz v obliki , potem sploh ni potrebno izračunati števca in imenovalca in narediti nekaj takega:

Ulomek je mogoče skrajšati tako, da izberete faktor v števcu in imenovalcu ter ta faktorja zmanjšate za največji skupni delilnik. Z drugimi besedami, uporaba, pri kateri ne opišemo podrobneje, na kaj sta bila razdeljena števec in imenovalec.

Na primer, v števcu je faktor 12, v imenovalcu pa faktor 4 lahko zmanjšamo za 4. Štirico ohranimo v mislih in če 12 in 4 delimo s to štirico, zapišemo odgovore poleg teh števil, ko jih je najprej prečrtal

Zdaj lahko pomnožite nastale majhne faktorje. V tem primeru jih je malo in jih lahko pomnožite v mislih:

Sčasoma boste morda ugotovili, da se izrazi pri reševanju določenega problema začnejo "mastiti", zato je priporočljivo, da se navadite na hitre izračune. Kar je mogoče izračunati v mislih, je treba izračunati v mislih. Kar je mogoče hitro zmanjšati, je treba hitro zmanjšati.

Primer 4. Poenostavite izraz

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 5. Poenostavite izraz

Pomnožimo številke posebej in črke posebej:

Torej izraz poenostavljeno na mn.

Primer 6. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Sedaj pa pomnožimo številke posebej in črke posebej. Za lažji izračun lahko decimalni ulomek −6,4 in mešano število pretvorimo v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na

Rešitev tega primera lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Primer 7. Poenostavite izraz

Ločeno pomnožimo števila in posebej črke. Za lažji izračun mešano število in decimalke 0,1 in 0,6 lahko pretvorimo v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na abcd. Če preskočite podrobnosti, lahko to rešitev napišete veliko krajše:

Opazite, kako se je ulomek zmanjšal. Zmanjšati je dovoljeno tudi nove faktorje, ki nastanejo kot posledica zmanjšanja prejšnjih faktorjev.

Zdaj pa se pogovorimo o tem, česa ne smemo storiti. Pri poenostavljanju izrazov je strogo prepovedano množiti številke in črke, če je izraz vsota in ne zmnožek.

Na primer, če želite poenostaviti izraz 5a+4b, potem tega ne morete napisati takole:

To je enako, kot če bi nas prosili, da seštejemo dve števili in bi ju pomnožili, namesto da bi ju sešteli.

Pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke a in b izražanje 5a +4b spremeni v navaden številski izraz. Predpostavimo, da spremenljivke a in b imajo naslednje pomene:

a = 2, b = 3

Potem bo vrednost izraza enaka 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprej se izvede množenje, nato pa se rezultati seštejejo. In če bi poskušali ta izraz poenostaviti z množenjem številk in črk, bi dobili naslednje:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Izkazalo se je popolnoma drugačen pomen izraza. V prvem primeru je uspelo 22 , v drugem primeru 120 . To pomeni poenostavitev izraza 5a+4b je bila izvedena nepravilno.

Po poenostavitvi izraza se njegova vrednost ne sme spreminjati z enakimi vrednostmi spremenljivk. Če pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke v prvotni izraz dobimo eno vrednost, potem je treba po poenostavitvi izraza dobiti enako vrednost kot pred poenostavitvijo.

Z izrazom 5a+4b res ne moreš storiti ničesar. Ne poenostavlja.

Če izraz vsebuje podobne izraze, jih lahko dodamo, če je naš cilj poenostaviti izraz.

Primer 8. Poenostavite izraz 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ali krajše: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Torej izraz 0,3a−0,4a+a poenostavljeno na 0,9a

Primer 9. Poenostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ali krajše −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Izraz (–2,5b) ostal nespremenjen, ker ga ni bilo s čim priložiti.

Primer 10. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Koeficient je bil za lažji izračun.

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 11. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na.

V tem primeru bi bilo primerneje najprej sešteti prvi in ​​zadnji koeficient. V tem primeru bi imeli kratko rešitev. Videti bi bilo takole:

Primer 12. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na .

Izraz je ostal nespremenjen, saj ga ni bilo kaj dodati.

To rešitev lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Kratka rešitev je preskočila korake zamenjave odštevanja s seštevanjem in podrobnosti o reduciranju ulomkov na skupni imenovalec.

Druga razlika je v tem, da je v podrobni rešitvi odgovor videti takole , ampak na kratko kot . Pravzaprav gre za isti izraz. Razlika je v tem, da je v prvem primeru odštevanje nadomeščeno s seštevanjem, saj smo na začetku, ko smo podrobno zapisali rešitev, povsod, kjer je bilo možno, zamenjali odštevanje s seštevanjem in to zamenjavo ohranili za odgovor.

Identitete. Identično enaki izrazi

Ko poljubni izraz poenostavimo, postane preprostejši in krajši. Če želite preveriti, ali je poenostavljeni izraz pravilen, je dovolj, da poljubne vrednosti spremenljivk najprej nadomestite s prejšnjim izrazom, ki ga je bilo treba poenostaviti, nato pa z novim, ki je bil poenostavljen. Če je vrednost v obeh izrazih enaka, potem je poenostavljeni izraz resničen.

Razmislimo najpreprostejši primer. Naj bo treba izraz poenostaviti 2a×7b. Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in črke:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Preverimo, ali smo izraz pravilno poenostavili. Če želite to narediti, nadomestimo poljubne vrednosti spremenljivk a in b najprej v prvi izraz, ki ga je bilo treba poenostaviti, in nato v drugega, ki je bil poenostavljen.

Naj vrednosti spremenljivk a , b bo takole:

a = 4, b = 5

Nadomestimo jih v prvi izraz 2a×7b

Zdaj pa nadomestimo iste vrednosti spremenljivk v izraz, ki je rezultat poenostavitve 2a×7b, in sicer v izrazu 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

To vidimo, ko a=4 in b=5 vrednost prvega izraza 2a×7b in pomen drugega izraza 14ab enaka

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Enako se bo zgodilo za vse druge vrednosti. Na primer, naj a=1 in b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Tako za vse vrednosti izraznih spremenljivk 2a×7b in 14ab sta enaki isti vrednosti. Takšni izrazi se imenujejo identično enaka.

Sklepamo, da med izrazi 2a×7b in 14ab lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti.

2a × 7b = 14ab

Enakost je vsak izraz, ki je povezan z enačajem (=).

In enakost oblike 2a×7b = 14ab klical identiteta.

Identiteta je enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk.

Drugi primeri identitet:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, zakoni matematike, ki smo jih preučevali, so identitete.

Prave številske enakosti so tudi identitete. Na primer:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri reševanju kompleksnega problema se zaradi lažjega računanja kompleksni izraz nadomesti z enostavnejšim izrazom, ki je identično enak prejšnjemu. Ta zamenjava se imenuje enako preoblikovanje izraza ali preprosto preoblikovanje izraza.

Na primer, izraz smo poenostavili 2a×7b, in dobil preprostejši izraz 14ab. To poenostavitev lahko imenujemo transformacija identitete.

Pogosto lahko najdete nalogo, ki pravi "dokaži, da je enakost identiteta" in nato je podana enakost, ki jo je treba dokazati. Običajno je ta enačba sestavljena iz dveh delov: levega in desnega dela enačbe. Naša naloga je, da izvedemo identitetne transformacije z enim od delov enakosti in pridobimo drugi del. Ali pa izvedite enake transformacije na obeh straneh enakosti in se prepričajte, da obe strani enakosti vsebujeta enake izraze.

Na primer, dokažimo, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Poenostavimo levo stran te enakosti. Če želite to narediti, ločeno pomnožite številke in črke:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Kot rezultat majhne transformacije identitete, leva stran enakost je postala enaka desni strani enakosti. Torej smo dokazali, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Iz enakih preoblikovanj smo se naučili seštevati, odštevati, množiti in deliti števila, zmanjševati ulomke, seštevati podobne člene in tudi poenostaviti nekatere izraze.

Vendar to niso vse enake transformacije, ki obstajajo v matematiki. Enakih transformacij je še veliko. To bomo videli še večkrat v prihodnosti.

Naloge za samostojno reševanje:

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se nam nova skupina VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah