Razmislimo o temi preoblikovanja izrazov s potencami, vendar se najprej posvetimo številnim transformacijam, ki jih je mogoče izvesti s poljubnimi izrazi, vključno s potenčnimi. Naučili se bomo odpirati oklepaje, dodajati podobne člene, delati z bazami in eksponenti ter uporabljati lastnosti potence.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj so izrazi moči?

V šolskih tečajih malo ljudi uporablja frazo " izrazi moči«, vendar se ta izraz nenehno pojavlja v zbirkah za pripravo na enotni državni izpit. V večini primerov besedna zveza označuje izraze, ki v svojih vnosih vsebujejo stopnje. To je tisto, kar bomo odražali v naši definiciji.

Definicija 1

Izražanje moči je izraz, ki vsebuje stopinje.

Naj navedemo nekaj primerov izrazov moči, začenši s potenco z naravni indikator in konča s stopnjo s pravim eksponentom.

Najenostavnejše potenčne izraze lahko štejemo za potence števila z naravnim eksponentom: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . In tudi potence z ničelnim eksponentom: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. In potence z negativnimi celimi potencami: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Nekoliko težje je delati s stopnjo, ki ima racionalne in iracionalne eksponente: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikator je lahko spremenljivka 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ali logaritem x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Ukvarjali smo se z vprašanjem, kaj so izrazi moči. Zdaj pa jih začnimo pretvarjati.

Glavne vrste transformacij potenčnih izrazov

Najprej si bomo ogledali osnovne identitetne transformacije izrazov, ki jih je mogoče izvesti s potenčnimi izrazi.

Primer 1

Izračunajte vrednost potenčnega izraza 2 3 (4 2 − 12).

rešitev

Vse transformacije bomo izvedli v skladu z vrstnim redom dejanj. V tem primeru bomo začeli z izvajanjem dejanj v oklepaju: stopnjo bomo nadomestili z digitalno vrednostjo in izračunali razliko dveh števil. Imamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Vse kar moramo storiti je zamenjati diplomo 2 3 njegov pomen 8 in izračunaj produkt 8 4 = 32. Tukaj je naš odgovor.

odgovor: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Primer 2

Poenostavite izraz s potencami 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

rešitev

Izraz, ki smo ga dobili v izjavi o problemu, vsebuje podobne izraze, ki jih lahko podamo: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odgovor: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Primer 3

Izraz s potencami 9 - b 3 · π - 1 2 izrazi kot produkt.

rešitev

Predstavljajmo si število 9 kot potenco 3 2 in uporabite skrajšano formulo množenja:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odgovor: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Zdaj pa preidimo na analizo transformacij identitete, ki jih je mogoče uporabiti posebej za potenčne izraze.

Delo z osnovo in eksponentom

Stopnja v osnovi ali eksponentu ima lahko števila, spremenljivke in nekatere izraze. na primer (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 in . Delo s takimi zapisi je težko. Veliko lažje je nadomestiti izraz v osnovi stopnje ali izraz v eksponentu z identično enakim izrazom.

Transformacije stopnje in eksponenta se izvajajo v skladu s pravili, ki so nam znana ločeno drug od drugega. Najpomembneje je, da transformacija povzroči izraz, ki je enak izvirnemu.

Namen transformacij je poenostaviti izvirni izraz ali pridobiti rešitev problema. Na primer, v primeru, ki smo ga navedli zgoraj, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 lahko sledite korakom za prehod na stopnjo 4 , 1 1 , 3 . Z odpiranjem oklepajev lahko predstavimo podobne izraze za osnovo potence (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) in dobimo izraz moči enostavnejše oblike a 2 (x + 1).

Uporaba lastnosti stopnje

Lastnosti potenc, zapisane v obliki enakosti, so eno glavnih orodij za preoblikovanje izrazov s potencami. Tukaj predstavljamo glavne, ob upoštevanju tega a in b so katera koli pozitivna števila in r in s- poljubna realna števila:

Definicija 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s.

V primerih, ko imamo opravka z naravnimi, celimi, pozitivnimi eksponenti, so lahko omejitve pri številih a in b veliko manj stroge. Tako na primer, če upoštevamo enakost a m · a n = a m + n, Kje m in n – cela števila, potem bo to veljalo za vse vrednosti a, tako pozitivne kot negativne, kot tudi za a = 0.

Lastnosti potenc lahko uporabite brez omejitev v primerih, ko so baze potenc pozitivne ali vsebujejo spremenljivke, območje sprejemljive vrednosti ki je taka, da podlage na njej zavzemajo samo pozitivne vrednosti. Pravzaprav znotraj šolski kurikulum pri matematiki je študentova naloga izbrati ustrezno lastnost in jo pravilno uporabiti.

Ko se pripravljate na vpis na univerze, lahko naletite na težave, pri katerih bo netočna uporaba lastnosti povzročila zoženje DL in druge težave pri reševanju. V tem razdelku bomo preučili samo dva taka primera. Več informacij o temi najdete v temi “Pretvarjanje izrazov z uporabo lastnosti potence”.

Primer 4

Predstavljajte si izraz a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 v obliki moči z osnovo a.

rešitev

Najprej uporabimo lastnost potenciranja in z njo transformiramo drugi faktor (a 2) − 3. Nato uporabimo lastnosti množenja in deljenja potence z isto osnovo:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

odgovor: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformacijo potenčnih izrazov glede na lastnost potenc lahko izvedemo tako od leve proti desni kot tudi v nasprotni smeri.

Primer 5

Poišči vrednost potenčnega izraza 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

rešitev

Če uporabimo enakost (a · b) r = a r · b r, od desne proti levi, dobimo produkt oblike 3 · 7 1 3 · 21 2 3 in nato 21 1 3 · 21 2 3 . Seštejmo eksponente pri množenju potenc z iz istih razlogov: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Obstaja še en način za izvedbo preobrazbe:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odgovor: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Primer 6

Glede na izraz moči a 1, 5 − a 0, 5 − 6, vnesite novo spremenljivko t = a 0,5.

rešitev

Predstavljajmo si diplomo a 1, 5 kako a 0,5 3. Uporaba lastnosti stopinj v stopinje (a r) s = a r · s od desne proti levi in ​​dobimo (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. V dobljeni izraz lahko preprosto vnesete novo spremenljivko t = a 0,5: dobimo t 3 − t − 6.

odgovor: t 3 − t − 6 .

Pretvarjanje ulomkov s potenci

Običajno imamo opravka z dvema različicama potencialnih izrazov z ulomki: izraz predstavlja ulomek s potenco ali vsebuje tak ulomek. Vse osnovne transformacije ulomkov veljajo za take izraze brez omejitev. Lahko jih zmanjšamo, privedemo do novega imenovalca ali delamo ločeno s števcem in imenovalcem. Naj to ponazorimo s primeri.

Primer 7

Poenostavite potenčni izraz 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

rešitev

Opravka imamo z ulomkom, zato bomo izvedli transformacije tako v števcu kot v imenovalcu:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pred ulomek postavite znak minus, da spremenite predznak imenovalca: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odgovor: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ulomke, ki vsebujejo potence, zmanjšamo na nov imenovalec na enak način kot racionalni ulomki. Če želite to narediti, morate najti dodaten faktor in z njim pomnožiti števec in imenovalec ulomka. Dodaten faktor je treba izbrati tako, da ne gre na nič pri nobeni vrednosti spremenljivk iz spremenljivk ODZ za izvirni izraz.

Primer 8

Zmanjšaj ulomke na nov imenovalec: a) a + 1 a 0, 7 na imenovalec a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 na imenovalec x + 8 · y 1 2 .

rešitev

a) Izberimo faktor, ki nam bo omogočil redukcijo na nov imenovalec. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, zato bomo kot dodatni dejavnik vzeli a 0, 3. Razpon dovoljenih vrednosti spremenljivke a vključuje nabor vseh pozitivnih realnih števil. Diploma na tem področju a 0, 3 ne gre v nulo.

Pomnožimo števec in imenovalec ulomka s a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Bodimo pozorni na imenovalec:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnožimo ta izraz z x 1 3 + 2 · y 1 6, dobimo vsoto kock x 1 3 in 2 · y 1 6, tj. x + 8 · y 1 2 . To je naš novi imenovalec, na katerega moramo zmanjšati prvotni ulomek.

Tako smo našli dodatni faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Na območju dovoljenih vrednosti spremenljivk x in l izraz x 1 3 + 2 y 1 6 ne izgine, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odgovor: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Primer 9

Zmanjšaj ulomek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

rešitev

a) Uporabimo največji skupni imenovalec (NOD), s katerim zmanjšamo števec in imenovalec. Za številki 30 in 45 je 15. Znižamo lahko tudi za x0,5+1 in na x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Dobimo:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Tu prisotnost enakih dejavnikov ni očitna. Izvesti boste morali nekaj transformacij, da boste dobili enake faktorje v števcu in imenovalcu. Da bi to naredili, razširimo imenovalec s formulo razlike kvadratov:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odgovor: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Osnovne operacije z ulomki vključujejo pretvorbo ulomkov na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov. Oba dejanja se izvajata v skladu s številnimi pravili. Pri seštevanju in odštevanju ulomkov najprej zreduciramo ulomke na skupni imenovalec, nato pa izvajamo operacije (seštevanje ali odštevanje) s števci. Imenovalec ostaja enak. Rezultat naših dejanj je nov ulomek, katerega števec je produkt števcev, imenovalec pa produkt imenovalcev.

Primer 10

Naredite korake x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

rešitev

Začnimo z odštevanjem ulomkov, ki so v oklepajih. Spravimo jih na skupni imenovalec:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odštejmo števce:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Zdaj pomnožimo ulomke:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Zmanjšajmo za potenco x 1 2, dobimo 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Poleg tega lahko izraz moči v imenovalcu poenostavite s formulo razlike kvadratov: kvadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

odgovor: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Primer 11

Poenostavite potenčni izraz x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
rešitev

Ulomek lahko zmanjšamo za (x 2, 7 + 1) 2. Dobimo ulomek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Nadaljujmo s transformacijo potenc x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Zdaj lahko uporabite lastnost deljenja potence z enakimi osnovami: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Od zadnjega produkta preidemo na ulomek x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odgovor: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

V večini primerov je bolj priročno prenesti faktorje z negativnimi eksponenti iz števca v imenovalec in nazaj, pri čemer spremenite predznak eksponenta. To dejanje vam omogoča poenostavitev nadaljnje odločitve. Navedimo primer: potenčni izraz (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 lahko nadomestimo z x 3 · (x + 1) 0, 2.

Pretvarjanje izrazov s koreni in potenci

V nalogah so izrazi za potenco, ki ne vsebujejo le potenc z ulomkimi eksponenti, ampak tudi korene. Takšne izraze je priporočljivo reducirati samo na korene ali samo na potence. Bolje je izbrati diplome, saj je z njimi lažje delati. Ta prehod je še posebej zaželen, kadar vam ODZ spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenov s potencami, ne da bi morali dostopati do modula ali razdeliti ODZ na več intervalov.

Primer 12

Izraz x 1 9 · x · x 3 6 izrazi kot potenco.

rešitev

Razpon dovoljenih vrednosti spremenljivk x je definiran z dvema neenačbama x ≥ 0 in x x 3 ≥ 0, ki določata množico [ 0 , + ∞) .

Na tem nizu imamo pravico prehoda od korenin do moči:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Z uporabo lastnosti potenc poenostavimo dobljeni potenčni izraz.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odgovor: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Pretvarjanje potenc s spremenljivkami v eksponentu

Te transformacije je precej enostavno narediti, če pravilno uporabite lastnosti stopnje. na primer 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Zamenjamo lahko s produktom potenc, katerih eksponenti so vsota neke spremenljivke in števila. Na levi strani lahko to storite s prvim in zadnjim členom leve strani izraza:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Zdaj pa delimo obe strani enakosti s 7 2 x. Ta izraz za spremenljivko x ima samo pozitivne vrednosti:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmanjšajmo ulomke s potencami, dobimo: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Končno se razmerje potenc z enakimi eksponenti nadomesti s potencami razmerij, kar ima za posledico enačbo 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, kar je enakovredno 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Vstavimo novo spremenljivko t = 5 7 x , ki reducira rešitev na izvirno eksponentna enačba do odločitve kvadratna enačba 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Pretvarjanje izrazov s potencami in logaritmi

V nalogah najdemo tudi izraze, ki vsebujejo potence in logaritme. Primer takih izrazov je: 1 4 1 - 5 · log 2 3 ali log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Preoblikovanje takšnih izrazov se izvede z uporabo zgoraj obravnavanih pristopov in lastnosti logaritmov, ki smo jih podrobno obravnavali v temi "Pretvorba logaritemskih izrazov".

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

§ 1 Koncept poenostavitve dobesednega izraza

V tej lekciji se bomo seznanili s pojmom "podobni izrazi" in se na primerih naučili reducirati podobne izraze in tako poenostaviti dobesedne izraze.

Ugotovimo pomen pojma "poenostavitev". Beseda "poenostavitev" izhaja iz besede "poenostaviti". Poenostaviti pomeni narediti preprosto, preprostejše. Zato poenostaviti črkovni izraz pomeni, da ga skrajšamo z minimalnim številom dejanj.

Razmislite o izrazu 9x + 4x. To je dobesedni izraz, ki je vsota. Izrazi so tukaj predstavljeni kot produkti števila in črke. Številčni faktor takih izrazov se imenuje koeficient. V tem izrazu bosta koeficienta števili 9 in 4. Upoštevajte, da je faktor, ki ga predstavlja črka, enak v obeh členih te vsote.

Spomnimo se distribucijskega zakona množenja:

Če želite pomnožiti vsoto s številom, lahko vsak člen pomnožite s tem številom in seštejete nastale produkte.

IN splošni pogled zapisana takole: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Ta zakon velja v obe smeri ac + bc = (a + b) ∙ c

Uporabimo to za naš dobesedni izraz: vsota zmnožkov 9x in 4x je enaka zmnožku, katerega prvi faktor je enaka vsoti 9 in 4 je drugi faktor x.

9 + 4 = 13, to je 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Namesto treh dejanj v izrazu je ostalo samo eno dejanje - množenje. To pomeni, da smo naš dobesedni izraz poenostavili, tj. poenostavil.

§ 2 Zmanjšanje podobnih pogojev

Izraza 9x in 4x se razlikujeta le v svojih koeficientih - taka izraza imenujemo podobna. Črkovni del podobnih izrazov je enak. Podobni izrazi vključujejo tudi števila in enake izraze.

Na primer, v izrazu 9a + 12 - 15 bosta podobni členi števili 12 in -15, v vsoti produkta 12 in 6a pa število 14 in produkt 12 in 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) enaki členi, ki jih predstavlja produkt 12 in 6a.

Pomembno je omeniti, da izrazi, katerih koeficienti so enaki, a črkovni faktorji različni, niso podobni, čeprav je včasih koristno zanje uporabiti distribucijski zakon množenja, na primer vsota produktov 5x in 5y je enak zmnožku števila 5 in vsote x in y

5x + 5y = 5(x + y).

Poenostavimo izraz -9a + 15a - 4 + 10.

Podobna člena sta v tem primeru člena -9a in 15a, saj se razlikujeta le v koeficientih. Njun množitelj črk je enak, izraza -4 in 10 pa sta si podobna, saj sta števili. Dodajte podobne izraze:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Dobimo: 6a + 6.

S poenostavitvijo izraza smo našli vsote podobnih členov, v matematiki se temu reče redukcija podobnih členov.

Če je dodajanje takih izrazov težko, si lahko zanje izmislite besede in dodate predmete.

Na primer, upoštevajte izraz:

Za vsako črko vzamemo svoj predmet: b-jabolko, c-hruška, potem dobimo: 2 jabolki minus 5 hrušk plus 8 hrušk.

Ali lahko odštejemo hruške od jabolk? Seveda ne. Lahko pa dodamo 8 hrušk minus 5 hruškam.

Predstavimo podobne izraze -5 hrušk + 8 hrušk. Podobni izrazi imajo enak črkovni del, zato je pri vnašanju podobnih izrazov dovolj, da seštejemo koeficiente in rezultatu dodamo črkovni del:

(-5 + 8) hrušk - dobiš 3 hruške.

Če se vrnemo k našemu dobesednemu izrazu, imamo -5 s + 8 s = 3 s. Tako po vnosu podobnih členov dobimo izraz 2b + 3c.

Torej, v tej lekciji ste se seznanili s pojmom "podobni izrazi" in se naučili, kako poenostaviti črkovne izraze z zmanjšanjem podobnih izrazov.

Seznam uporabljene literature:

1. Matematika. 6. razred: učni načrti za učbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // avtor-prevajalec L.A. Topilina. Mnemozina 2009.
2. Matematika. 6. razred: učbenik za učence splošnoizobraževalnih ustanov. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. 6. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov in drugi / uredil G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Ruska akademija znanosti, Ruska akademija za izobraževanje. M.: "Razsvetljenje", 2010.
4. Matematika. 6. razred: študij za splošne izobraževalne ustanove / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Matematika. 6. razred: učbenik/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Uporabljene slike:

Na začetku lekcije bomo ponovili osnovne lastnosti kvadratnih korenov, nato pa si jih bomo ogledali več zapleteni primeri za poenostavitev izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene.

Zadeva:funkcija. Lastnosti kvadratni koren

Lekcija:Več preobrazite in poenostavite zapleteni izrazi s koreninami

1. Pregled lastnosti kvadratnih korenov

Na kratko ponovimo teorijo in se spomnimo osnovnih lastnosti kvadratnih korenov.

Lastnosti kvadratnih korenov:

1. torej, ;

3. ;

4. .

2. Primeri za poenostavljanje izrazov s koreni

Pojdimo na primere uporabe teh lastnosti.

Primer 1: Poenostavite izraz .

rešitev. Če poenostavimo, je treba število 120 razložiti na prafaktorje:

Kvadrat vsote bomo razkrili z ustrezno formulo:

Primer 2: Poenostavite izraz .

rešitev. Upoštevajte, da ta izraz ni smiseln za vse možne vrednosti spremenljivke, saj ta izraz vsebuje kvadratne korenine in ulomke, kar vodi do "zoženja" obsega dovoljenih vrednosti. ODZ: ().

Spravimo izraz v oklepaju na skupni imenovalec in zapišimo števec zadnjega ulomka kot razliko kvadratov:

Odgovori. pri.

Primer 3: Poenostavite izraz .

rešitev. Vidimo, da je drugi oklepaj števca neprijetnega videza in ga je treba poenostaviti; poskusimo ga faktorizirati z metodo združevanja.

Da bi lahko izpeljali skupni faktor, smo korene poenostavili tako, da smo jih faktorizirali. Zamenjajmo dobljeni izraz v prvotni ulomek:

Po zmanjšanju ulomka uporabimo formulo razlike kvadratov.

3. Primer opuščanja iracionalnosti

Primer 4. Osvobodite se iracionalnosti (korenine) v imenovalcu: a) ; b) .

rešitev. a) Da bi se znebili iracionalnosti v imenovalcu, uporabimo standardno metodo množenja števca in imenovalca ulomka s faktorjem, konjugiranim na imenovalec (isti izraz, vendar z nasprotnim predznakom). To se naredi, da se imenovalec ulomka dopolni z razliko kvadratov, kar vam omogoča, da se znebite korenin v imenovalcu. Naredimo to v našem primeru:

b) izvajajo podobna dejanja:

4. Primer za dokaz in identifikacijo popolnega kvadrata v kompleksnem radikalu

Primer 5. Dokaži enakost .

Dokaz. Uporabimo definicijo kvadratnega korena, iz katere sledi, da mora biti kvadrat desnega izraza enak radikalnemu izrazu:

. Odprimo oklepaje s formulo za kvadrat vsote:

, smo dobili pravilno enakost.

Dokazano.

Primer 6. Poenostavite izraz.

rešitev. Ta izraz se običajno imenuje kompleksen radikal (koren pod korenom). V tem primeru morate ugotoviti, kako izolirati celoten kvadrat od radikalnega izraza. Če želite to narediti, upoštevajte, da je od obeh izrazov kandidat za vlogo dvojnega produkta v formuli za kvadrat razlike (razlika, ker obstaja minus). Zapišimo ga v obliki naslednjega produkta: , potem 1 trdi, da je eden od členov popolnega kvadrata, 1 pa trdi, da je drugi.

Zamenjajmo ta izraz pod koren.

Vsak jezik lahko izrazi isto informacijo z različnimi besedami in revolucije. Matematični jezik ni izjema. Toda isti izraz je mogoče enakovredno zapisati na različne načine. In v nekaterih situacijah je eden od vnosov preprostejši. V tej lekciji bomo govorili o poenostavitvi izrazov.

Ljudje komunicirajo naprej različnih jezikih X. Za nas je pomembna primerjava par "ruski jezik - matematični jezik". Iste informacije se lahko posredujejo v različnih jezikih. Toda poleg tega se lahko v enem jeziku izgovori na različne načine.

Na primer: "Petya je prijatelj z Vasyo", "Vasya je prijatelj s Petyo", "Petya in Vasya sta prijatelja". Rečeno drugače, a isto. Iz katere koli od teh fraz bi razumeli, o čem govorimo.

Poglejmo ta stavek: "Fant Petya in deček Vasya sta prijatelja." Razumemo, kaj mislimo govorimo o. Vendar nam ni všeč zvok te fraze. Ali ne moremo poenostaviti, povedati iste stvari, vendar bolj preprosto? "Fant in fant" - enkrat lahko rečete: "Fanta Petya in Vasya sta prijatelja."

"Fantje" ... Ali iz njihovih imen ni jasno, da niso dekleta? Odstranimo "fante": "Petya in Vasya sta prijatelja." In besedo "prijatelji" lahko zamenjamo s "prijatelji": "Petya in Vasya sta prijatelja." Posledično je bila prva, dolga, grda fraza nadomeščena z enakovredno izjavo, ki jo je lažje izgovoriti in razumeti. Ta stavek smo poenostavili. Poenostaviti pomeni povedati preprosteje, vendar ne izgubiti ali popačiti pomena.

V matematičnem jeziku se zgodi približno isto. Eno in isto lahko rečemo, zapišemo drugače. Kaj pomeni poenostaviti izraz? To pomeni, da za izvirni izraz obstaja veliko enakovrednih izrazov, torej tistih, ki pomenijo isto stvar. In iz vse te raznolikosti moramo izbrati najpreprostejšega, po našem mnenju, ali najprimernejšega za naše nadaljnje namene.

Na primer, razmislite o številskem izrazu. To bo enakovredno .

Enakovredno bo tudi prvima dvema: .

Izkazalo se je, da smo naše izraze poenostavili in našli najkrajši enakovreden izraz.

Za številski izrazi vedno morate izvesti vsa dejanja in dobiti enakovreden izraz v obliki enega števila.

Poglejmo primer dobesednega izraza . Očitno bo bolj preprosto.

Pri poenostavljanju dobesedni izrazi potrebno je izvesti vsa možna dejanja.

Ali je vedno treba izraz poenostaviti? Ne, včasih nam bo bolj ustrezal enakovreden, a daljši vnos.

Primer: od števila morate odšteti število.

Možno je izračunati, vendar če bi prvo število predstavili z enakovrednim zapisom: , potem bi bili izračuni trenutni: .

To pomeni, da nam poenostavljeni izraz ni vedno koristen za nadaljnje izračune.

Kljub temu se zelo pogosto soočimo z nalogo, ki zveni le kot »poenostaviti izraz«.

Poenostavite izraz: .

rešitev

1) Izvedite dejanja v prvem in drugem oklepaju: .

2) Izračunajmo produkte: .

Očitno ima zadnji izraz enostavnejšo obliko kot začetni. Poenostavili smo ga.

Da bi poenostavili izraz, ga je treba nadomestiti z enakovrednim (equal).

Za določitev enakovrednega izraza potrebujete:

1) izvedite vsa možna dejanja,

2) uporabite lastnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja za poenostavitev izračunov.

Lastnosti seštevanja in odštevanja:

1. Komutativna lastnost seštevanja: preurejanje členov ne spremeni vsote.

2. Kombinacijska lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh števil dodati še tretje število, lahko prvemu številu prištejete vsoto drugega in tretjega števila.

3. Lastnost odštevanja vsote od števila: če želite od števila odšteti vsoto, lahko odštejete vsak člen posebej.

Lastnosti množenja in deljenja

1. Komutativna lastnost množenja: preurejanje faktorjev ne spremeni produkta.

2. Kombinacijska lastnost: če želite število pomnožiti z zmnožkom dveh števil, ga lahko najprej pomnožite s prvim faktorjem, nato pa dobljeni produkt pomnožite z drugim faktorjem.

3. Razdelitvena lastnost množenja: da bi število pomnožili z vsoto, ga morate pomnožiti z vsakim členom posebej.

Poglejmo, kako dejansko delamo miselne izračune.

Izračunajte:

rešitev

1) Predstavljajmo si, kako

2) Predstavljajmo si prvi faktor kot vsoto bitnih členov in izvedimo množenje:

3) lahko si predstavljate, kako in izvedete množenje:

4) Zamenjajte prvi faktor z enakovredno vsoto:

Distributivni zakon se lahko uporablja tudi v hrbtna stran: .

Sledite tem korakom:

1) 2)

rešitev

1) Za udobje lahko uporabite distribucijski zakon, uporabite ga le v nasprotni smeri - skupni faktor vzemite iz oklepaja.

2) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja

Treba je kupiti linolej za kuhinjo in hodnik. Kuhinja - , hodnik - . Obstajajo tri vrste linolejev: za in rubljev za. Koliko bo vsak stal? tri vrste linolej? (slika 1)

riž. 1. Ilustracija za navedbo problema

rešitev

1. način. Ločeno lahko ugotovite, koliko denarja bo potrebno za nakup linoleja za kuhinjo, nato pa ga postavite na hodnik in seštejte dobljene izdelke.

Opomba 1

Logično funkcijo je mogoče zapisati z logičnim izrazom in jo nato premakniti v logično vezje. Logične izraze je treba poenostaviti, da dobimo čim bolj preprosto (in zato cenejše) logično vezje. Pravzaprav so logična funkcija, logični izraz in logično vezje trije različni jeziki, ki govorijo o eni entiteti.

Za poenostavitev logičnih izrazov uporabite zakoni logike algebre.

Nekatere transformacije so podobne transformacijam formul v klasični algebri (jemanje skupnega faktorja iz oklepaja, uporaba komutativnih in kombinacijskih zakonov itd.), medtem ko druge transformacije temeljijo na lastnostih, ki jih operacije klasične algebre nimajo (uporaba distributivnega zakon za konjunkcijo, zakoni absorpcije, lepljenja, de Morganova pravila itd.).

Zakoni logične algebre so oblikovani za osnovne logične operacije - “NE” – inverzija (negacija), “IN” – konjunkcija (logično množenje) in “ALI” – disjunkcija (logično seštevanje).

Zakon dvojnega zanikanja pomeni, da je operacija "NE" reverzibilna: če jo uporabite dvakrat, se na koncu logična vrednost ne bo spremenila.

Zakon izključene sredine pravi, da je vsak logični izraz resničen ali napačen ("tretjega ni"). Če je torej $A=1$, potem je $\bar(A)=0$ (in obratno), kar pomeni, da je konjunkcija teh količin vedno enaka nič, disjunkcija pa vedno enaka ena.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Poenostavimo to formulo:

Slika 3.

Iz tega sledi, da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

odgovor: Učenci $B$, $C$ in $D$ igrajo šah, učenec $A$ pa ne igra.

Pri poenostavitvi logičnih izrazov lahko izvedete naslednje zaporedje dejanj:

1. Zamenjajte vse »neosnovne« operacije (enakovrednost, implikacija, izključni ALI itd.) z njihovimi izrazi prek osnovnih operacij inverzije, konjunkcije in disjunkcije.
2. Razširite inverzije kompleksnih izrazov po De Morganovih pravilih na način, da negacijske operacije ostanejo samo za posamezne spremenljivke.
3. Nato poenostavite izraz z uporabo odprtih oklepajev, skupnih faktorjev izven oklepajev in drugih zakonov logične algebre.

Primer 2

Tu se zaporedoma uporabljajo De Morganovo pravilo, distribucijski zakon, zakon izključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, spet komutativni zakon in zakon absorpcije.