Prva stopnja

Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Zakaj so potrebne diplome? Kje jih potrebujete? Zakaj morate porabiti čas za njihovo preučevanje?

Če želite izvedeti vse o diplomah, čemu so namenjene, kako uporabiti svoje znanje v Vsakdanje življenje preberi ta članek.

In, seveda, poznavanje diplom vas bo približalo uspešna dostava OGE ali USE in za vpis na univerzo svojih sanj.

Gremo ... (Gremo!)

Pomembna opomba! Če namesto formul vidite blebetanje, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) ali Cmd+R (v sistemu Mac).

PRVA STOPNJA

Potenciranje je enaka matematična operacija kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil v človeškem jeziku na zelo preprost način preprosti primeri. Bodi previden. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodajanjem.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsak ima dve steklenici kole. Koliko kole? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Isti primer s colo lahko zapišemo na drugačen način: . Matematiki so zviti in leni ljudje. Najprej opazijo neke vzorce, nato pa se domislijo načina, kako jih hitreje »prešteti«. V našem primeru so opazili, da ima vsak od osmih ljudi enako število steklenic kole, in prišli do tehnike, imenovane množenje. Strinjam se, da je lažje in hitreje kot.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

In katere druge zapletene trike s štetjem so si izmislili leni matematiki? Prav - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Če morate število pomnožiti s samim seboj petkrat, potem matematiki pravijo, da morate to število dvigniti na peto potenco. Na primer,. Matematiki se spominjajo, da je dva na peto potenco. In takšne težave rešujejo v mislih – hitreje, lažje in brez napak.

Če želite to narediti, potrebujete le spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, zelo vam bo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja kvadratštevilke in tretji kocka? Kaj to pomeni? Zelo Dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Predstavljajte si kvadraten bazen, ki meri meter za meter. Bazen je na vašem dvorišču. Vroče je in zelo si želim plavati. Ampak ... bazen brez dna! Dno bazena je treba obložiti s ploščicami. Koliko ploščic potrebujete? Da bi to ugotovili, morate poznati površino dna bazena.

Preprosto lahko z vbodom prsta preštejete, da je dno bazena sestavljeno iz kock meter za metrom. Če so vaše ploščice meter za metrom, boste potrebovali kose. Enostavno... Kje pa si videl tako ploščico? Ploščica bo raje cm za cm, potem pa vas bo mučilo "štetje s prstom". Potem morate pomnožiti. Tako bomo na eno stran dna bazena namestili ploščice (kose), na drugo pa tudi ploščice. Če pomnožite s, dobite ploščice ().

Ste opazili, da smo isto število pomnožili samo s seboj, da bi določili površino dna bazena? Kaj to pomeni? Ker se isto število pomnoži, lahko uporabimo tehniko potenciranja. (Seveda, ko imaš samo dve števili, ju moraš še vedno pomnožiti ali dvigniti na potenco. Če pa jih imaš veliko, potem je dvig na potenco veliko lažji in tudi manj je napak pri izračunih. .Za izpit je to zelo pomembno).
Torej, trideset do druge stopnje bo (). Lahko pa rečete, da bo trideset na kvadrat. Z drugimi besedami, drugo potenco števila lahko vedno predstavimo kot kvadrat. In obratno, če vidite kvadrat, je to VEDNO druga potenca nekega števila. Kvadrat je podoba druge potence števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Tukaj je naloga za vas, preštejte, koliko polj je na šahovnici s pomočjo kvadrata števila ... Na eni in na drugi strani celic. Če želite prešteti njihovo število, morate osem pomnožiti z osem ali ... če to opazite Šahovnica je kvadrat s stranico, potem lahko kvadrirate osem. Pridobite celice. () Torej?

Primer iz resničnega življenja #3

Zdaj pa kocka ali tretja potenca števila. Isti bazen. Zdaj pa morate ugotoviti, koliko vode bo treba vliti v ta bazen. Izračunati morate prostornino. (Mimogrede, prostornine in tekočine se merijo v kubičnih metrov. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno veliko en meter in globoko en meter in poskusite izračunati, koliko kock meter za metrom skupaj bo prišlo v vaš bazen.

Samo pokažite s prstom in preštejte! Ena, dva, tri, štiri ... dvaindvajset, triindvajset ... Koliko se je izkazalo? Se niste izgubili? Je težko šteti s prstom? Torej to! Vzemite primer od matematikov. So leni, zato so opazili, da je treba za izračun prostornine bazena pomnožiti njegovo dolžino, širino in višino. V našem primeru bo prostornina bazena enaka kockam ... Lažje, kajne?

Zdaj pa si predstavljajte, kako leni in zviti so matematiki, če to naredijo preveč enostavno. Zreduciral vse na eno akcijo. Opazili so, da so dolžina, širina in višina enake in da se isto število pomnoži samo s seboj ... In kaj to pomeni? To pomeni, da lahko uporabite diplomo. Torej, kar ste nekoč prešteli s prstom, naredijo v enem dejanju: tri v kocki je enako. Napisano je takole:

Ostaja samo zapomni si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko kar naprej štejete s prstom.

No, da bi vas dokončno prepričali, da so si diplome izmislili lenuhi in pretkani ljudje, da bi rešili svoje življenjske težave in ne, da bi vam delali težave, je tu še nekaj primerov iz življenja.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta zaslužite še en milijon za vsak milijon. To pomeni, da se vsak vaš milijon na začetku vsakega leta podvoji. Koliko denarja boste imeli čez leta? Če zdaj sedite in "štejete s prstom", potem ste zelo pridna oseba in .. neumna. Toda najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dvakrat dva ... v drugem letu - kaj se je zgodilo, še za dva, v tretjem letu ... Stop! Opazili ste, da se število enkrat pomnoži samo s seboj. Dva na peto potenco je torej milijon! Zdaj pa si predstavljajte, da imate konkurenco in tisti, ki hitreje izračuna, bo dobil te milijone ... Ali je vredno zapomniti stopnje številk, kaj mislite?

Primer iz resničnega življenja #5

Imaš milijon. Na začetku vsakega leta zaslužite dva več za vsak milijon. Super je kajne? Vsak milijon se potroji. Koliko denarja boste imeli čez eno leto? Preštejmo. Prvo leto - pomnožite z, nato rezultat z drugim ... To je že dolgočasno, ker ste že vse razumeli: tri se pomnoži s samim seboj. Četrta potenca je torej milijon. Zapomniti si morate le, da je tri na četrto potenco oz.

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi ... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Kaj misliš, kaj je eksponent? Zelo preprosto – to je število, ki je »na vrhu« moči števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno bazo diplome? Še enostavnejša je številka, ki je na dnu, na dnu.

Tukaj je slika, da se prepričate.

No in notri splošni pogled posplošiti in si bolje zapomniti ... Stopnja z osnovo "" in eksponentom "" se bere kot "do stopnje" in se zapiše takole:

Potenca števila z naravnim eksponentom

Verjetno ste že uganili: ker je eksponent naravno število. Da, ampak kaj je naravno število? Osnovno! Naravna števila so tista, ki jih uporabljamo pri štetju pri naštevanju stvari: ena, dve, tri ... Ko štejemo stvari, ne rečemo: »minus pet«, »minus šest«, »minus sedem«. Prav tako ne rečemo "ena tretjina" ali "nič pika pet desetin". Ni cela števila. Kaj mislite, kaj so te številke?

Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem", se nanašajo na cela števila. Cela števila na splošno vključujejo vsa naravna števila, števila nasprotna naravnim številom (torej vzeta z znakom minus) in število. Ničlo je enostavno razumeti - to je takrat, ko ni ničesar. In kaj pomenijo negativna ("minus") števila? Vendar so bili izumljeni predvsem za označevanje dolgov: če imate stanje na telefonu v rubljih, to pomeni, da operaterju dolgujete rublje.

Vsi ulomki so racionalna števila. Kaj mislite, kako so nastali? Zelo preprosto. Pred več tisoč leti so naši predniki ugotovili, da nimajo dovolj naravnih števil za merjenje dolžine, teže, površine itd. In so se domislili racionalna števila… Zanimivo, kajne?

Obstajajo tudi iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka neskončno decimalno. Na primer, če obseg kroga delite z njegovim premerom, potem dobite iracionalno število.

Povzetek:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (to je celo in pozitivno).

1. Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
2. Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
3. Kockirati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev.Če želite dvigniti število na naravno potenco, pomeni, da število pomnožite s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopnje

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo, kaj je in ?

A-priory:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali faktorje in rezultat so faktorji.

Toda po definiciji je to stopnja števila z eksponentom, to je: , ki jo je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno mora biti isti razlog!
Zato združujemo stopnje z osnovo, vendar ostajamo ločen faktor:

samo za izdelke moči!

Tega v nobenem primeru ne smete napisati.

2. to je -ta potenca števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to potenca števila:

Pravzaprav lahko temu rečemo "oklepaj indikatorja". Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formule za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to res ni res.

Stopnja z negativno osnovo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V stopinjah od naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko katero koli število pomnožimo eno z drugim, ne glede na to, ali je pozitivno, negativno ali sodo.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali bo število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil pomnožimo med seboj, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Navsezadnje se spomnimo preprostega pravila iz 6. razreda: "minus krat minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, se izkaže.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: ni pomembno, čemu je osnova enaka - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov iz prakse

Analiza rešitve 6 primerov

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Oglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula množenja, namreč razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo pogledamo imenovalec. Videti je kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili zamenjani, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Izrazi so čudežno zamenjali mesta. Ta »fenomen« velja za kateri koli izraz v celotni meri: znake v oklepaju lahko poljubno spreminjamo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (to je vzeta z znakom "") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se sprašujemo: zakaj je tako?

Razmislite o moči z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili z in dobili enako, kot je bilo -. S katerim številom je treba pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od mnogih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enak kateri koli stopinji - ne glede na to, koliko nič pomnožiš s samo seboj, še vedno dobiš nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti enako kot vsako število do ničelne stopnje. Kaj je torej resnica tega? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vpletali, in zavrnili dvig ničle na ničelno potenco. To pomeni, da zdaj ne moremo samo deliti z nič, ampak ga tudi dvignemo na ničelno potenco.

Gremo dalje. Cela števila vključujejo poleg naravnih števil in števil tudi negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna stopnja, naredimo enako kot zadnjič: neko normalno število pomnožimo z enakim v negativni stopnji:

Od tu je že enostavno izraziti želeno:

Zdaj dobljeno pravilo razširimo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število na negativno potenco je obratno število istega števila na pozitivno potenco. Toda hkrati osnova ne more biti ničelna:(ker je nemogoče razdeliti).

Naj povzamemo:

I. Izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativno potenco, je obratna vrednost istega števila na pozitivno potenco: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisno rešitev:

Analiza nalog za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, a na izpitu moraš biti pripravljen na vse! Reši te primere ali analiziraj njihovo rešitev, če je nisi mogel rešiti, in naučil se boš, kako se z njimi zlahka spopasti na izpitu!

Nadaljujmo s širitvijo kroga števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj razmislite racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila, poleg tega.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja" Razmislimo o ulomku:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnite pravila "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, če ga dvignete na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th stopnje inverzna operacija potenciranja: .

Izkazalo se je, da. Očitno to poseben primer se lahko podaljša: .

Zdaj dodajte števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti s pravilom moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Navsezadnje korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Zapomnite si pravilo: vsako število, povišano na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izluščiti korenine sode stopnje iz negativnih števil!

In to pomeni, da takšnih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izražanje?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo kot druge, zmanjšane ulomke, na primer ali.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, in to sta le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Toda takoj, ko indikator zapišemo na drugačen način, spet dobimo težave: (torej, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, razmislite le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej če:

• - naravno število;
• je celo število;

Primeri:

Potence z racionalnim eksponentom so zelo uporabne za pretvorbo izrazov s koreni, na primer:

5 primerov iz prakse

Analiza 5 primerov za usposabljanje

No, zdaj - najtežje. Zdaj bomo analizirali stopnje z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnje z racionalnim eksponentom, z izjemo

Dejansko so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnim, celoštevilskim in racionalnim indikatorjem smo vsakič sestavili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih.

Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...ničelna moč- to je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določeno "prazno število" , in sicer število;

...negativno celo število eksponent- kot da je prišlo do določenega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja diplomo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število.

Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

KAMOR SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati take primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo z že običajnim pravilom za povišanje stopnje v stopnjo:

Zdaj pa poglejte rezultat. Vas na kaj spominja? Spomnimo se formule za skrajšano množenje razlike kvadratov:

V tem primeru,

Izkazalo se je, da:

odgovor: .

2. Ulomke v eksponentih spravimo v isto obliko: ali oba decimalna ali oba navadna. Dobimo na primer:

Odgovor: 16

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

NAPREDNI NIVO

Opredelitev stopnje

Stopnja je izraz v obliki: , kjer je:

• — osnova diplome;
• - eksponent.

Stopnja z naravnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dvig števila na naravno potenco n pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:

Potenca s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

erekcija na nič moči:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani na katerikoli stopnji to, na drugi strani pa je poljubno število na th stopnjo to.

Če je eksponent celo število negativnoštevilka:

(ker je nemogoče razdeliti).

Še enkrat o ničelnih vrednostih: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Stopnja z racionalnim eksponentom

• - naravno število;
• je celo število;

Primeri:

Lastnosti stopnje

Za lažje reševanje težav poskusimo razumeti: od kod te lastnosti? Dokažimo jim.

Poglejmo: kaj je in?

A-priory:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno morajo biti na enaki podlagi. Zato združujemo stopnje z osnovo, vendar ostajamo ločen faktor:

Druga pomembna opomba: to pravilo - samo za produkte moči!

Tega pod nobenim pogojem ne smem napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Preuredimo ga takole:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to -ta potenca števila:

Pravzaprav lahko temu rečemo "oklepaj indikatorja". Ampak tega nikoli ne morete storiti v celoti:!

Spomnimo se formule za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to res ni res.

Moč z negativno osnovo.

Do te točke smo razpravljali le o tem, kar bi moralo biti kazalo stopnja. Toda kaj bi morala biti osnova? V stopinjah od naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko katero koli število pomnožimo eno z drugim, ne glede na to, ali je pozitivno, negativno ali sodo. Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali bo število pozitivno ali negativno? A? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil pomnožimo med seboj, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Navsezadnje se spomnimo preprostega pravila iz 6. razreda: "minus krat minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo -.

In tako naprej do neskončnosti: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Možno je oblikovati tako preprosta pravila:

1. celo stopnja, - št pozitivno.
2. Negativno število, postavljen v Čuden stopnja, - št negativno.
3. Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
4. Nič na katero koli potenco je enako nič.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: ni pomembno, čemu je osnova enaka - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se tega spomnimo, postane jasno, da, kar pomeni, da osnova manj kot nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabimo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo eno na drugo, razdelimo v pare in dobimo:

Preden analiziramo zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte vrednosti izrazov:

Rešitve :

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Oglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula množenja, namreč razlika kvadratov!

Dobimo:

Pazljivo pogledamo imenovalec. Videti je kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili obrnjeni, bi lahko uporabili pravilo 3. Toda kako to storiti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Če pomnožite s, se nič ne spremeni, kajne? Zdaj pa izgleda takole:

Izrazi so čudežno zamenjali mesta. Ta »fenomen« velja za kateri koli izraz v celotni meri: znake v oklepaju lahko poljubno spreminjamo. Vendar si je pomembno zapomniti: vsa znamenja se spremenijo hkrati! Tega se ne da nadomestiti s spremembo samo enega za nas oporečnega minusa!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Zdaj pa še zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo pojem diplome in poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk bo? krat z množitelji - kako to izgleda? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: skupaj se je izkazalo, da so množitelji. To pomeni, da je po definiciji potenca števila z eksponentom:

primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg informacij o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z iracionalnim indikatorjem. Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to je iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnim, celoštevilskim in racionalnim indikatorjem smo vsakič sestavili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih. Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število do ničelne stopnje je tako rekoč število, ki je enkrat pomnoženo samo s seboj, to pomeni, da se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se samo število še ni niti pojavilo - torej je rezultat samo določena »priprava številke«, namreč številka; stopnja s celim negativnim indikatorjem - kot da se je zgodil določen "obraten proces", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Zelo težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). Namesto tega gre za povsem matematični objekt, ki so ga matematiki ustvarili, da bi koncept stopnje razširili na celoten prostor števil.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja diplomo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število. Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

Kaj torej naredimo, če vidimo iracionalen eksponent? Trudimo se ga znebiti! :)

Na primer:

Odločite se sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapomni si formulo razlike kvadratov. Odgovor: .
2. Ulomke spravimo v isto obliko: bodisi oba decimalna ali oba navadna. Dobimo na primer: .
3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

POVZETEK ODDELKA IN OSNOVNA FORMULA

stopnja se imenuje izraz v obliki: , kjer je:

Stopnja s celim eksponentom

stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Stopnja z racionalnim eksponentom

stopnje, katere indikator so negativna in delna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

eksponent, katerega eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti stopnje

Značilnosti diplom.

• Negativno število povišano na celo stopnja, - št pozitivno.
• Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
• Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
• Nič je enaka kateri koli potenci.
• Vsako število na ničelno potenco je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? V spodnjih komentarjih mi sporočite, ali vam je bil všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z lastnostmi moči.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapiši v komentarje.

Pa srečno pri izpitih!

Razmislimo o temi preoblikovanja izrazov s potencami, vendar se bomo najprej posvetili številnim transformacijam, ki jih je mogoče izvesti s poljubnimi izrazi, vključno s potenčnimi. Naučili se bomo odpirati oklepaje, podajati enake člene, delati z osnovo in eksponentom, uporabljati lastnosti stopinj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj so Power Expressions?

V šolskem tečaju malo ljudi uporablja frazo " izrazi moči«, vendar se ta izraz nenehno pojavlja v zbirkah za pripravo na izpit. V večini primerov fraza označuje izraze, ki v svojih vnosih vsebujejo stopnje. To je tisto, kar bomo odražali v naši definiciji.

Definicija 1

Izražanje moči je izraz, ki vsebuje moči.

Navajamo več primerov potenčnih izrazov, začenši s stopnjo z naravnim eksponentom in končajo s stopnjo z realnim eksponentom.

Najenostavnejše potenčne izraze lahko štejemo za potence števila z naravnim eksponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Kot tudi potence z ničelnim eksponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . In stopnje s celimi števili negativne moči: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Nekoliko težje je delati s stopnjo, ki ima racionalne in iracionalne eksponente: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikator je lahko spremenljivka 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ali logaritem x 2 l g x − 5 x l g x.

Ukvarjali smo se z vprašanjem, kaj so izrazi moči. Zdaj pa jih preoblikujemo.

Glavne vrste transformacij potenčnih izrazov

Najprej bomo razmislili o osnovnih identitetnih transformacijah izrazov, ki jih je mogoče izvesti s potenčnimi izrazi.

Primer 1

Izračunajte vrednost izraza moči 2 3 (4 2 − 12).

rešitev

Vse transformacije bomo izvedli v skladu z vrstnim redom dejanj. V tem primeru bomo začeli z izvajanjem dejanj v oklepajih: stopnjo bomo zamenjali z digitalno vrednostjo in izračunali razliko med obema številkama. Imamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Ostaja nam še zamenjava diplome 2 3 njegov pomen 8 in izračunaj produkt 8 4 = 32. Tukaj je naš odgovor.

odgovor: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Primer 2

Poenostavite izražanje s potencami 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

rešitev

Izraz, ki nam je podan v pogoju problema, vsebuje podobne izraze, ki jih lahko prinesemo: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odgovor: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Primer 3

Izraz s potencami 9 - b 3 · π - 1 2 izrazi kot zmnožek.

rešitev

Predstavimo število 9 kot potenco 3 2 in uporabite skrajšano formulo množenja:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odgovor: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

In zdaj preidimo na analizo identičnih transformacij, ki jih je mogoče uporabiti specifično za potenčne izraze.

Delo z osnovo in eksponentom

Stopnja v osnovi ali eksponentu ima lahko števila, spremenljivke in nekatere izraze. na primer (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 in . S takimi zapisi je težko delati. Veliko lažje je nadomestiti izraz v osnovi stopnje ali izraz v eksponentu z identično enakim izrazom.

Transformacije stopnje in indikatorja se izvajajo v skladu s pravili, ki so nam znana ločeno drug od drugega. Najpomembneje je, da kot rezultat transformacij dobimo izraz, ki je enak prvotnemu.

Namen transformacij je poenostaviti izvirni izraz ali pridobiti rešitev problema. Na primer, v primeru, ki smo ga dali zgoraj, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 lahko izvajate operacije, da greste na stopnjo 4 , 1 1 , 3 . Če odpremo oklepaje, lahko v osnovi diplome prinesemo podobne izraze (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) in dobimo močnostni izraz enostavnejše oblike a 2 (x + 1).

Uporaba lastnosti moči

Lastnosti stopinj, zapisane kot enačbe, so eno glavnih orodij za pretvorbo izrazov s stopnjami. Tukaj predstavljamo glavne, glede na to a in b so katera koli pozitivna števila in r in s- poljubna realna števila:

Definicija 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s.

V primerih, ko imamo opravka z naravnimi, celimi, pozitivnimi eksponenti, so lahko omejitve glede števila a in b veliko manj stroge. Tako na primer, če upoštevamo enakost a m a n = a m + n, Kje m in n so naravna števila, potem bo veljalo za vse vrednosti a, tako pozitivne kot negativne, kot tudi za a = 0.

Lastnosti stopinj lahko uporabite brez omejitev v primerih, ko so osnove stopinj pozitivne ali vsebujejo spremenljivke, območje dovoljene vrednosti ki je taka, da podlage na njej zavzemajo samo pozitivne vrednosti. Pravzaprav znotraj šolski kurikulum pri matematiki je naloga študenta izbrati ustrezno lastnost in jo pravilno uporabiti.

Pri pripravi na vpis na univerze lahko pride do nalog, pri katerih bo netočna uporaba lastnosti povzročila zoženje ODZ in druge težave z rešitvijo. V tem razdelku bomo obravnavali samo dva taka primera. Več informacij o temi najdete v temi "Pretvorba izrazov z uporabo lastnosti eksponenta".

Primer 4

Predstavite izraz a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 kot diploma z osnovo a.

rešitev

Za začetek uporabimo lastnost potenciranja in z njo transformiramo drugi faktor (a 2) − 3. Nato uporabimo lastnosti množenja in deljenja potenc z isto bazo:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

odgovor: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Preoblikovanje potenčnih izrazov glede na lastnost stopenj se lahko izvede tako od leve proti desni kot tudi v nasprotni smeri.

Primer 5

Poišči vrednost potenčnega izraza 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

rešitev

Če uporabimo enakost (a b) r = a r b r, od desne proti levi, potem dobimo produkt oblike 3 7 1 3 21 2 3 in nato 21 1 3 21 2 3 . Seštejmo eksponente pri množenju potenc z enakimi osnovami: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Obstaja še en način za preoblikovanje:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odgovor: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Primer 6

Glede na izraz moči a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, vnesite novo spremenljivko t = a 0, 5.

rešitev

Predstavljajte si diplomo a 1, 5 kako a 0 , 5 3. Uporaba lastnosti stopnje v stopinji (a r) s = a r s od desne proti levi in ​​dobimo (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . V dobljenem izrazu lahko preprosto vnesete novo spremenljivko t = a 0, 5: dobiti t 3 − t − 6.

odgovor: t 3 − t − 6 .

Pretvarjanje ulomkov s potenci

Običajno imamo opravka z dvema različicama potencialnih izrazov z ulomki: izraz je ulomek s stopnjo ali vsebuje tak ulomek. Za take izraze so brez omejitev uporabne vse osnovne transformacije ulomkov. Lahko jih zmanjšamo, pripeljemo na nov imenovalec, delamo ločeno s števcem in imenovalcem. Naj to ponazorimo s primeri.

Primer 7

Poenostavite potenčni izraz 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

rešitev

Opravka imamo z ulomkom, zato bomo izvedli transformacije tako v števcu kot v imenovalcu:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pred ulomek postavite minus, da spremenite predznak imenovalca: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odgovor: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ulomke s potenci reduciramo na nov imenovalec na enak način kot racionalne ulomke. Če želite to narediti, morate najti dodaten faktor in z njim pomnožiti števec in imenovalec ulomka. Dodaten faktor je treba izbrati tako, da ne izgine pri nobeni vrednosti spremenljivk iz spremenljivk ODZ za prvotni izraz.

Primer 8

Spravi ulomke na nov imenovalec: a) a + 1 a 0, 7 na imenovalec a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 na imenovalec x + 8 y 1 2 .

rešitev

a) Izberemo faktor, ki nam bo omogočil redukcijo na nov imenovalec. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , zato kot dodaten dejavnik vzamemo a 0, 3. Razpon dopustnih vrednosti spremenljivke a vključuje nabor vseh pozitivnih realnih števil. Na tem področju je diploma a 0, 3 ne gre v nulo.

Pomnožimo števec in imenovalec ulomka s a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Bodite pozorni na imenovalec:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Ta izraz pomnožimo z x 1 3 + 2 · y 1 6 , dobimo vsoto kock x 1 3 in 2 · y 1 6 , tj. x + 8 · y 1 2 . To je naš novi imenovalec, h kateremu moramo prinesti prvotni ulomek.

Tako smo našli dodatni faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Na območju sprejemljivih vrednosti spremenljivk x in l izraz x 1 3 + 2 y 1 6 ne izgine, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odgovor: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Primer 9

Zmanjšaj ulomek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

rešitev

a) Uporabite največji skupni imenovalec (GCD), s katerim lahko zmanjšate števec in imenovalec. Za števili 30 in 45 je to 15. Lahko tudi zmanjšamo x 0, 5 + 1 in na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Dobimo:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Tu prisotnost enakih dejavnikov ni očitna. Izvesti boste morali nekaj transformacij, da boste dobili enake faktorje v števcu in imenovalcu. Da bi to naredili, razširimo imenovalec s formulo razlike kvadratov:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odgovor: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Glavne operacije z ulomki vključujejo zmanjševanje na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov. Oba dejanja se izvajata v skladu s številnimi pravili. Pri seštevanju in odštevanju ulomkov najprej zreduciramo ulomke na skupni imenovalec, nato pa izvajamo dejanja (seštevanje ali odštevanje) s števci. Imenovalec ostaja enak. Rezultat naših dejanj je nov ulomek, katerega števec je produkt števcev, imenovalec pa produkt imenovalcev.

Primer 10

Naredite korake x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

rešitev

Začnimo z odštevanjem ulomkov v oklepajih. Spravimo jih na skupni imenovalec:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odštejmo števce:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Zdaj pomnožimo ulomke:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Zmanjšajmo za stopinjo x 1 2, dobimo 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Poleg tega lahko poenostavite izraz moči v imenovalcu z uporabo formule za razliko kvadratov: kvadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

odgovor: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Primer 11

Poenostavite potenčni izraz x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
rešitev

Ulomek lahko zmanjšamo za (x 2, 7 + 1) 2. Dobimo ulomek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Nadaljujmo transformacije x potenc x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Zdaj lahko uporabite lastnost deljenja na potenco z istimi osnovami: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Od zadnjega produkta preidemo na ulomek x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odgovor: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

V večini primerov je bolj priročno prenašati množitelje z negativnimi eksponenti iz števca v imenovalec in obratno s spremembo predznaka eksponenta. To dejanje poenostavi nadaljnjo odločitev. Navedimo primer: potenčni izraz (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 lahko nadomestimo z x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Pretvarjanje izrazov s koreni in potenci

V nalogah so potenčni izrazi, ki vsebujejo ne samo stopnje z delnimi eksponenti, ampak tudi korenine. Takšne izraze je zaželeno reducirati samo na korene ali samo na potence. Prehod na stopnje je zaželen, saj je z njimi lažje delati. Takšen prehod je še posebej ugoden, kadar vam DPV spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenov s potencami, ne da bi morali dostopati do modula ali razdeliti DPV na več intervalov.

Primer 12

Izraz x 1 9 x x 3 6 izrazi kot potenco.

rešitev

Veljaven obseg spremenljivke x je določen z dvema neenačbama x ≥ 0 in x · x 3 ≥ 0 , ki določata množico [ 0 , + ∞) .

Na tem kompletu imamo pravico prehoda od korenin do moči:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Z uporabo lastnosti stopinj poenostavimo dobljeni izraz moči.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odgovor: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pretvarjanje potenc s spremenljivkami v eksponentu

Te transformacije je zelo enostavno narediti, če pravilno uporabite lastnosti stopnje. na primer 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Zamenjamo lahko zmnožek stopnje, v katerem se nahaja vsota neke spremenljivke in števila. Na levi strani lahko to storite s prvim in zadnjim členom na levi strani izraza:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Zdaj pa delimo obe strani enačbe z 7 2 x. Ta izraz na ODZ spremenljivke x ima samo pozitivne vrednosti:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmanjšajmo ulomke s potencami, dobimo: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Končno se razmerje potenc z enakimi eksponenti nadomesti s potencami razmerij, kar vodi do enačbe 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , kar je enakovredno 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Uvedemo novo spremenljivko t = 5 7 x , ki reducira rešitev prvotne eksponentne enačbe na rešitev kvadratne enačbe 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Pretvarjanje izrazov s potencami in logaritmi

V nalogah najdemo tudi izraze, ki vsebujejo potence in logaritme. Primeri takih izrazov so: 1 4 1 - 5 log 2 3 ali log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacija takšnih izrazov se izvede z uporabo zgoraj obravnavanih pristopov in lastnosti logaritmov, ki smo jih podrobno analizirali v temi "Transformacija logaritemskih izrazov".

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Na youtube kanal našega spletnega mesta, da boste seznanjeni z vsemi novimi video lekcijami.

Najprej se spomnimo osnovnih formul stopinj in njihovih lastnosti.

Produkt števila a zgodi sam od sebe n-krat, lahko ta izraz zapišemo kot a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Moč oz eksponentne enačbe - to so enačbe, v katerih so spremenljivke v potencah (ali eksponentih), osnova pa je število.

Primeri eksponentnih enačb:

V tem primeru je številka 6 osnova, vedno je na dnu in spremenljivka x stopnja ali mera.

Navedimo več primerov eksponentnih enačb.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo eksponentne enačbe?

Vzemimo preprosto enačbo:

2 x = 2 3

Takšen primer je mogoče rešiti tudi v mislih. Vidimo lahko, da je x=3. Konec koncev, tako da levi in desni del bili enaki, morate namesto x vnesti številko 3.
Zdaj pa poglejmo, kako je treba sprejeti to odločitev:

2 x = 2 3
x = 3

Za rešitev te enačbe smo odstranili isti razlogi(to je dvojke) in zapisal, kar je ostalo, to so stopinje. Dobili smo odgovor, ki smo ga iskali.

Zdaj pa povzamemo našo rešitev.

Algoritem za reševanje eksponentne enačbe:
1. Treba je preveriti enako ali sta osnovi enačbe na desni in na levi. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.
2. Ko so osnove enake, enačiti stopnjo in rešite nastalo novo enačbo.

Zdaj pa rešimo nekaj primerov:

Začnimo preprosto.

Osnovi na levi in ​​desni strani sta enaki številu 2, kar pomeni, da osnovo lahko zavržemo in njuni stopnji izenačimo.

x+2=4 Izkazala se je najpreprostejša enačba.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

V naslednjem primeru lahko vidite, da sta osnovi različni, to sta 3 in 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za začetek prenesemo devet na desno stran, dobimo:

Zdaj morate narediti enake podlage. Vemo, da je 9=3 2 . Uporabimo formulo za stopnjo (a n) m = a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dobimo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 zdaj lahko to vidite na levi in desna stran osnovi sta enaki in enaki trem, kar pomeni, da ju lahko zavržemo in stopnji izenačimo.

3x=2x+16 dobimo najpreprostejšo enačbo
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Poglejmo si naslednji primer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Najprej pogledamo baze, baze so različne dve in štiri. In moramo biti enaki. Četverico transformiramo po formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

In uporabimo tudi eno formulo a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj v enačbo:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Iz istih razlogov smo dali primer. Motijo ​​pa nas druge številke 10 in 24. Kaj storiti z njima? Če pogledate natančno, vidite, da na levi strani ponavljamo 2 2x, tukaj je odgovor - 2 2x lahko damo iz oklepaja:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz v oklepajih:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celotno enačbo delimo s 6:

Predstavljajte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 sta osnovi enaki, zavrzite ju in izenačite stopnje.
Izkazalo se je, da je 2x \u003d 2 najpreprostejša enačba. Delimo z 2, dobimo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo enačbo:

9 x - 12*3 x +27= 0

Preobrazimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobimo enačbo:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naši osnovi sta enaki, enaki 3. V tem primeru je jasno, da ima prva trojka stopnjo dvakrat (2x) kot druga (samo x). V tem primeru se lahko odločite substitucijska metoda. Številka z najmanjšo stopnjo zamenjati:

Nato 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Vse stopnje zamenjamo z x v enačbi s t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobimo kvadratna enačba. Rešujemo preko diskriminante, dobimo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

nazaj k spremenljivki x.

Vzamemo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

to je

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Najden je bil en koren. Iščemo drugega, iz t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na spletnem mestu lahko v razdelku POMAGAJTE ODLOČITI postavite vprašanja, ki vas zanimajo, zagotovo vam bomo odgovorili.

Pridružite se skupini

Vrsta lekcije: lekcija posploševanja in sistematizacije znanja

Cilji:

• izobraževalni- ponovijo definicijo stopnje, pravila za množenje in deljenje stopinj, povišanje stopnje v stopnjo, utrjujejo sposobnost reševanja primerov, ki vsebujejo stopnje,
• razvoju- razvoj logično razmišljanještudenti, zanimanje za snov, ki se preučuje,
• vzgoja- negovanje odgovornega odnosa do učenja, kulture komuniciranja, občutka za kolektivizem.

Oprema: računalnik, multimedijski projektor, interaktivna tabla, predstavitev »Stopinje« za ustno štetje, kartice z nalogami, izročki.

Učni načrt:

1. Organiziranje časa.
2. Ponavljanje pravil
3. Verbalno štetje.
4. Zgodovinska referenca.
5. Delo na tabli.
6. Fizkultminutka.
7. Delo na interaktivni tabli.
8. Samostojno delo.
9. Domača naloga.
10. Povzetek lekcije.

Med poukom

I. Organizacijski trenutek

Predstavitev teme in ciljev lekcije.

V prejšnjih lekcijah ste odkrili čudovit svet stopinje, se naučil množiti in deliti stopnje, jih dvigniti na potenco. Danes moramo pridobljeno znanje utrditi z reševanjem primerov.

II. Ponavljanje pravil(ustno)

1. Podajte definicijo stopnje z naravnim indikatorjem? (na moč števila A z naravnim eksponentom, večjim od 1, imenujemo produkt n množitelji, od katerih je vsak enak A.)
2. Kako pomnožiti dve potenci? (Če želite potence pomnožiti z isto osnovo, morate pustiti osnovo isto in dodati eksponente.)
3. Kako razdeliti stopnjo po stopnji? (Če želite deliti potence z isto osnovo, morate pustiti osnovo isto in odšteti eksponente.)
4. Kako dvigniti produkt na moč? (Če želite zmnožek povišati na potenco, morate vsak faktor povišati na to potenco)
5. Kako povišati diplomo na diplomo? (Če želite potenco dvigniti na potenco, morate pustiti osnovo enako in pomnožiti eksponente)

III. Verbalno štetje(z multimedijo)

IV. Zgodovinska referenca

Vse težave so iz Ahmesovega papirusa, ki je bil napisan okoli leta 1650 pr. e. povezane s prakso gradnje, razmejitve zemljišč itd. Naloge so razvrščene po temah. Večinoma so to naloge za iskanje ploščin trikotnika, štirikotnikov in kroga, razna dejanja s celimi števili in ulomki, proporcionalno deljenje, iskanje razmerij, tu je tudi povišanje na različne stopnje, rešitev enačb prve in druge stopnje z eno neznanko.

Prav nobene razlage ali dokazov ni. Želeni rezultat je podan neposredno ali pa je podan kratek algoritem za njegov izračun. Ta način predstavitve, značilen za znanost držav stari vzhod, nakazuje, da se je matematika tam razvila s posplošitvami in domnevami, ki ne tvorijo nobene splošne teorije. Vendar pa je v papirusu veliko dokazov, da so bili egiptovski matematiki sposobni izluščiti korenine in jih dvigniti na potenco, rešiti enačbe in celo imeti osnove algebre.

V. Delo na tabli

Poiščite vrednost izraza na racionalen način:

Izračunajte vrednost izraza:

VI. Minuta telesne vzgoje

1. za oči
2. za vrat
3. za roke
4. za trup
5. za noge

VII. Reševanje problema(z zaslonom interaktivne bele table)

Ali je koren enačbe pozitivno število?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Samostojno delo

IX. Domača naloga

X. Povzetek lekcije

Analiza rezultatov, razglasitev ocen.

Pridobljeno znanje o diplomah bomo uporabili pri reševanju enačb, nalog v srednji šoli, pogosto pa se znajdejo tudi na izpitu.

Formule moči uporablja v procesu zmanjševanja in poenostavljanja zapleteni izrazi, pri reševanju enačb in neenačb.

številka c je n-ta potenca števila a Kdaj:

Operacije s stopinjami.

1. Z množenjem stopinj z isto osnovo se njihovi indikatorji seštejejo:

a ma n = a m + n.

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi kazalniki odštejejo:

3. Stopnja produkta 2 oz več faktorjev je enak zmnožku moči teh faktorjev:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stopnja ulomka je enaka razmerju stopenj dividende in delitelja:

(a/b) n = a n / b n.

5. Povečanje moči na moč, se eksponenti pomnožijo:

(am) n = a m n .

Vsaka zgornja formula je pravilna v smeri od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s koreninami.

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenin:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da dvignete število korena na to potenco:

4. Če povečamo stopnjo korena v n enkrat in hkrati dvigniti na n th potenca je radikalno število, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšamo stopnjo korena v n root hkrati n stopnje od radikalnega števila, se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Stopnja števila z nepozitivnim (celim) eksponentom je definirana kot ena, deljena s stopnjo istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti nepozitivnega eksponenta:

Formula a m:a n = a m - n se lahko uporablja ne samo za m> n, ampak tudi pri m< n.

Na primer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulo a m:a n = a m - n postal pošten pri m=n, potrebujete prisotnost ničelne stopnje.

Stopnja z ničelnim eksponentom. Potenca katerega koli neničelnega števila z ničelnim eksponentom je enaka ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Zvišati realno številko A do stopnje m/n, morate izvleči koren n th stopnjo m potenco tega števila A.