Zapisati racionalno število m/n v obrazec decimalni ulomek, delite števec z imenovalcem. V tem primeru količnik zapišemo kot končni ali neskončni decimalni ulomek.

Dano število zapišite kot decimalko.

rešitev. Števec vsakega ulomka delite z imenovalcem: A) delite 6 s 25; b) delite 2 s 3; V) delite 1 z 2 in nato dobljeni ulomek dodajte enoti - celemu delu tega mešanega števila.

Nezmanjšano navadni ulomki, katerih imenovalci ne vsebujejo drugih pradeliteljev, razen 2 in 5 , so zapisane kot zadnji decimalni ulomek.

IN primer 1 kdaj A) imenovalec 25=5 5; kdaj V) imenovalec je 2, tako da smo dobili končni decimalki 0,24 in 1,5. Kdaj b) imenovalec je 3, zato rezultata ni mogoče zapisati kot končno decimalko.

Ali je mogoče brez deljenja v stolpec tak navaden ulomek pretvoriti v decimalni ulomek, katerega imenovalec ne vsebuje drugih deliteljev, razen 2 in 5? Ugotovimo! Kateri ulomek imenujemo decimalni in ga zapišemo brez ulomke? Odgovor: ulomek z imenovalcem 10; 100; 1000 itd. In vsako od teh števil je produkt enakaštevilo dvojk in petic. Dejansko: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 itd.

Zato bo treba imenovalec nezmanjšanega navadnega ulomka predstaviti kot zmnožek dvojk in petic ter ga nato pomnožiti z 2 in (ali) 5, tako da bosta dvojki in petici enaki. Potem bo imenovalec ulomka enak 10 ali 100 ali 1000 itd. Da se vrednost ulomka ne spremeni, pomnožimo števec ulomka z enakim številom, s katerim smo pomnožili imenovalec.

Naslednje ulomke izrazite kot decimalno število:

rešitev. Vsak od teh ulomkov je nezmanjšljiv. Razčlenimo imenovalec vsakega ulomka na prafaktorje.

20=2 2 5. Zaključek: ena "petica" manjka.

8=2 2 2. Zaključek: tri "petice" niso dovolj.

25=5 5. Sklep: manjkata dve "dvojki".

Komentiraj. V praksi pogosto ne uporabljajo faktorizacije imenovalca, ampak preprosto zastavijo vprašanje: s koliko je treba pomnožiti imenovalec, da bo rezultat enota z ničlami ​​(10 ali 100 ali 1000 itd.). In potem se števec pomnoži z istim številom.

Torej, v primeru A)(primer 2) iz števila 20 lahko dobite 100 z množenjem s 5, zato morate števec in imenovalec pomnožiti s 5.

Kdaj b)(primer 2) iz števila 8 ne bo delovalo število 100, ampak število 1000 dobimo z množenjem s 125. Tako števec (3) kot imenovalec (8) ulomka pomnožimo s 125.

Kdaj V)(primer 2) od 25 dobite 100, če pomnožite s 4. To pomeni, da je treba tudi števec 8 pomnožiti s 4.

Imenuje se neskončni decimalni ulomek, v katerem se ena ali več števk vedno ponavlja v istem zaporedju periodika decimalni ulomek. Niz ponavljajočih se števk imenujemo perioda tega ulomka. Zaradi jedrnatosti periodo ulomka zapišemo enkrat in jo zapišemo v oklepaj.

Kdaj b)(primer 1 ) ponovljena cifra je ena in je enaka 6. Zato bo naš rezultat 0,66... ​​​​zapisan takole: 0,(6) . Glasijo se: nič celih števil, šest v obdobju.

Če je med vejico in prvo piko ena ali več števk, ki se ne ponavljajo, potem se tak periodični ulomek imenuje mešani periodični ulomek.

Nezmanjšani navadni ulomek, katerega imenovalec skupaj z drugimi množitelj vsebuje množitelj 2 oz 5 , postane mešano periodični ulomek.

Število zapišite kot decimalko:

Vsako racionalno število lahko zapišemo kot neskončni periodični decimalni ulomek.

Število zapiši kot neskončni periodični ulomek.

Periodični ulomek

neskončni decimalni ulomek, v katerem je od določenega mesta le periodično ponavljajoča se skupina števk. Na primer, 1,3181818 ...; skratka, ta ulomek je napisan takole: 1,3 (18), to pomeni, da so piko postavili v oklepaj (in rekli: "18 v obdobju"). P.D. se imenuje čista, če se pika začne takoj za decimalno vejico, na primer 2(71) = 2,7171 ..., in mešana, če so za decimalno vejico pred piko števke, na primer 1,3(18). Vloga P. d. v aritmetiki je posledica dejstva, da pri predstavitvi racionalnih števil, to je navadnih (preprostih) ulomkov, z decimalnimi ulomki vedno dobimo bodisi končne bodisi periodične ulomke. Natančneje: končni decimalni ulomek dobimo, če imenovalec nezmanjšanega preprostega ulomka ne vsebuje drugih prafaktorjev razen 2 in 5; v vseh drugih primerih dobimo P.D., poleg tega pa čisto, če imenovalec danega nezmanjšanega ulomka sploh ne vsebuje faktorjev 2 in 5, in mešano, če je vsaj eden od teh faktorjev vsebovan v imenovalcu. Vsak P. d. se lahko spremeni v enostavni ulomek(to pomeni, da je enako nekemu racionalnemu številu). Čisti P. d. je enak preprostemu ulomku, katerega števec je obdobje, imenovalec pa predstavlja število 9, zapisano tolikokrat, kolikor je števk v obdobju; pri pretvorbi v preprost ulomek mešanega P. d. je števec razlika med številom, ki ga predstavljajo števila pred drugo periodo, in številom, ki ga predstavljajo števila pred prvo periodo; za sestavljanje imenovalca morate število 9 napisati tolikokrat, kolikor je števk v obdobju, in pripisati toliko ničel na desno stran, kolikor je števk pred obdobjem. Ta pravila predvidevajo, da je dani P. d. pravilen, to pomeni, da ne vsebuje celih enot; sicer se celoštevilski del upošteva posebej.

Znana so tudi pravila za določanje dolžine periode P.D., ki ustreza danemu navadnemu ulomku. Na primer za ulomek a/str, Kje R - praštevilo in 1 ≤ a ≤ p- 1 je dolžina obdobja delitelj R - 1. Torej, za znane približke števila (glej Pi) 22/7 in 355/113 je obdobje 6 oziroma 112.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Sopomenke:

Oglejte si, kaj je "periodični ulomek" v drugih slovarjih:

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se od določenega mesta periodično ponavlja določena skupina števk (pika), npr. 0,373737... čisti periodični ulomek ali 0,253737... mešani periodični ulomek... Veliki enciklopedični slovar

Ulomek, neskončni ulomek Slovar ruskih sinonimov. periodični ulomek št., število sinonimov: 2 neskončni ulomek (2) ... Slovar sinonimov

Decimalka, katere število števk se ponavlja v istem vrstnem redu. Na primer, 0,135135135… je p.p., katerega perioda je 135 in je enaka preprostemu ulomku 135/999 = 5/37. Slovar tuje besede vključen v ruski jezik. Pavlenkov F ... Slovar tujih besed ruskega jezika

Decimalni ulomek z imenovalcem 10n, kjer je n naravno število. Ima posebno oznako: celoten del v decimalni sistemštevilo, nato vejica in nato ulomek v decimalnem številskem sistemu ter število števk ulomka ... Wikipedia

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se, začenši z določenega mesta, periodično ponavlja določena skupina števk (pika); na primer 0,373737... čisti periodični ulomek ali 0,253737... mešani periodični ulomek. * * * PERIODIČNO… … enciklopedični slovar

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se, začenši z določenega mesta, periodično ponavlja definicija. skupina števil (pika); npr. 0,373737 ... čisti P. d. ali 0,253737 ... mešani P. d ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Glej del ... Slovar ruskih sinonimov in izrazov, podobnih po pomenu. Spodaj. izd. N. Abramova, M .: Ruski slovarji, 1999. ulomek, malenkost, del; dunst, krogla, zdrob, krogla; delno število Slovar ruskih sinonimov ... Slovar sinonimov

periodična decimalka- - [L.G. Sumenko. Angleško-ruski slovar informacijskih tehnologij. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme Informacijska tehnologija na splošno EN obtočni decimalni ponavljajoči se decimalni periodični decimalperiodični decimalperiodični decimalni … Priročnik tehničnega prevajalca

Če je neko celo število a deljivo z drugim celim številom b, tj. iščemo število x, ki izpolnjuje pogoj bx = a, lahko pride do dveh primerov: ali je v nizu celih števil število x, ki izpolnjuje ta pogoj, ali se izkaže, ... ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Ulomek, katerega imenovalec je celoštevilska potenca števila 10. D.d., zapišemo brez imenovalca, tako da v števcu na desni z vejico ločimo toliko števk, kolikor ničel je v imenovalcu. Na primer, v takem zapisu je del na levi ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Se spomnite, kako sem v prvi lekciji o decimalnih ulomkih rekel, da obstajajo številski ulomki, ki jih ni mogoče predstaviti kot decimalne številke (glejte lekcijo “Decimalni ulomki”)? Naučili smo se tudi, kako faktorizirati imenovalce ulomkov, da preverimo, ali obstaja še kakšno število, razen 2 in 5.

Torej: lagal sem. In danes se bomo naučili prevajati popolnoma vse ulomek na decimalno. Hkrati se bomo seznanili s celim razredom ulomkov z neskončnim pomembnim delom.

Ponavljajoča se decimalka je katera koli decimalka, ki ima:

1. Pomembni del je sestavljen iz neskončnega števila števk;
2. V določenih intervalih se številke v pomembnem delu ponavljajo.

Niz ponavljajočih se številk, ki sestavljajo pomemben del, imenujemo periodični del ulomka, število števk v tem nizu pa je perioda ulomka. Preostali del pomembnega dela, ki se ne ponavlja, imenujemo neperiodični del.

Ker obstaja veliko definicij, je vredno podrobneje razmisliti o nekaterih od teh frakcij:

Ta delež se najpogosteje pojavlja pri težavah. Neperiodični del: 0; periodični del: 3; dolžina obdobja: 1.

Neperiodični del: 0,58; periodični del: 3; dolžina obdobja: ponovno 1.

Neperiodični del: 1; periodični del: 54; dolžina obdobja: 2.

Neperiodični del: 0; periodični del: 641025; dolžina obdobja: 6. Zaradi udobja so ponavljajoči se deli med seboj ločeni s presledkom - v tej rešitvi to ni potrebno.

Neperiodični del: 3066; periodični del: 6; dolžina obdobja: 1.

Kot lahko vidite, definicija periodičnega ulomka temelji na konceptu pomemben del števila. Zato, če ste pozabili, kaj je, priporočam, da ga ponovite - glejte lekcijo "".

Prehod na periodično decimalko

Razmislite o navadnem ulomku oblike a/b. Razčlenimo njegov imenovalec na preproste faktorje. Obstajata dve možnosti:

1. V razširitvi sta prisotna samo faktorja 2 in 5. Ti ulomki se zlahka reducirajo na decimalne številke - glejte lekcijo "Decimalni ulomki". Takšni nas ne zanimajo;
2. V razširitvi je poleg 2 in 5 še nekaj drugega. V tem primeru ulomka ni mogoče predstaviti kot decimalko, lahko pa ga pretvorimo v periodično decimalko.

Če želite nastaviti periodični decimalni ulomek, morate najti njegov periodični in neperiodični del. kako Pretvorite ulomek v nepravilnega, nato pa števec delite z imenovalcem z "kotom".

Pri tem se bo zgodilo naslednje:

1. Najprej razdeli cel delče obstaja;
2. Za decimalno vejico je lahko več številk;
3. Čez nekaj časa se bodo začele številke ponovite.

To je vse! Ponavljajoče se števke za decimalno vejico so označene s periodičnim delom, tisto, kar je spredaj, pa je neperiodično.

Naloga. Pretvori navadne ulomke v periodične decimalke:

Vsi ulomki nimajo celega dela, zato števec preprosto delimo z imenovalcem z "votilom":

Kot lahko vidite, se ostanki ponavljajo. Zapišimo ulomek v "pravilni" obliki: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultat je ulomek: 0,5833 ... = 0,58(3).

Zapišemo v normalni obliki: 4,0909 ... = 4, (09).

Dobimo ulomek: 0,4141 ... = 0, (41).

Prehod iz periodične decimalne v navadno

Razmislite o periodični decimalki X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je prenesti v klasično "dvonadstropno". Če želite to narediti, sledite štirim preprostim korakom:

1. Poiščite periodo ulomka, tj. preštejte, koliko števk je v periodičnem delu. Naj bo to število k;
2. Poiščite vrednost izraza X · 10 k . To je enakovredno premikanju decimalne vejice za celotno piko v desno - glejte lekcijo "Množenje in deljenje decimalnih ulomkov";
3. Od dobljenega števila odštejte prvotni izraz. V tem primeru je periodični del "izgorel" in ostane navadni ulomek;
4. Poiščite X v nastali enačbi. Vsi decimalni ulomki se pretvorijo v navadne.

Naloga. Pretvori v navaden nepravilni ulomek števila:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Delo s prvim ulomkom: X = 9,(6) = 9,666 ...

Oklepaji vsebujejo samo eno števko, zato je obdobje k = 1. Nato ta ulomek pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10. Imamo:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Zdaj pa se posvetimo drugemu ulomku. Torej X = 32, (39) = 32,393939 ...

Perioda k = 2, torej vse pomnožimo z 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Ponovno odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Pojdimo k tretjemu ulomku: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Shema je enaka, zato bom podal le izračune:

Perioda k = 1 ⇒ vse pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Na koncu še zadnji ulomek: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Zopet, zaradi priročnosti, so periodični deli med seboj ločeni s presledki. Imamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

Operacija delitve vključuje sodelovanje več glavnih komponent. Prva od njih je tako imenovana dividenda, to je število, ki je podvrženo postopku delitve. Drugi je delitelj, to je število, s katerim se deli. Tretji je količnik, to je rezultat operacije deljenja dividende z deliteljem.

rezultat delitve

Najenostavnejši rezultat, ki ga lahko dobimo z uporabo dveh pozitivnih celih števil kot dividende in delitelja, je drugo pozitivno celo število. Na primer, pri delitvi 6 z 2 bo količnik enak 3. Ta situacija je možna, če je dividenda delitelj, to je, da je z njim deljena brez ostanka.

Vendar pa obstajajo druge možnosti, ko je nemogoče izvesti operacijo delitve brez ostanka. V tem primeru necelo število postane zasebno, kar lahko zapišemo kot kombinacijo celega in ulomka. Na primer, ko delite 5 z 2, je količnik 2,5.

Število v obdobju

Ena od možnosti, ki se lahko zgodi, če dividenda ni večkratnik delitelja, je tako imenovano število v obdobju. Lahko nastane kot posledica deljenja v primeru, da se količnik izkaže za neskončno ponavljajočo se množico števil. Na primer, število v piki se lahko pojavi, ko je število 2 deljeno s 3. V tem primeru bo rezultat v obliki decimalnega ulomka izražen kot kombinacija neskončnega števila 6 števk za decimalko točka.

Da bi označili rezultat takšne delitve, je bil izumljen poseben način zapisovanja števil v obdobju: takšno število je označeno tako, da se ponavljajoča števka postavi v oklepaj. Na primer, rezultat deljenja 2 s 3 bi bil s to metodo zapisan kot 0,(6). Navedeni zapis velja tudi, če se ponovi le del števila, ki nastane pri deljenju.

Na primer, ko delite 5 s 6, bo rezultat periodično število, ki je videti kot 0,8(3). Uporaba te metode je, prvič, najučinkovitejša v primerjavi s poskusom zapisovanja vseh ali dela števk številke v obdobju, in drugič, ima večjo natančnost v primerjavi z drugo metodo prenosa takih številk - zaokroževanje, poleg tega pa omogoča razlikovanje števil v obdobju od natančnega decimalnega ulomka z ustrezno vrednostjo pri primerjavi velikosti teh števil. Tako je na primer očitno, da je 0,(6) bistveno večje od 0,6.