Operacija delitve vključuje sodelovanje več glavnih komponent. Prva med njimi je tako imenovana dividenda, to je številka, ki je predmet postopka delitve. Drugi je delitelj, to je število, s katerim se deli. Tretji je količnik, to je rezultat operacije deljenja dividende z deliteljem.

Rezultat delitve

Najenostavnejši rezultat, ki ga lahko dobimo z uporabo dveh pozitivnih celih števil kot dividende in delitelja, je drugo pozitivno celo število. Na primer, pri deljenju 6 z 2 bo količnik enak 3. Ta situacija je možna, če je dividenda delitelj, to je, da je z njim deljena brez ostanka.

Vendar pa obstajajo druge možnosti, ko je nemogoče izvesti operacijo delitve brez ostanka. V tem primeru necelo število postane količnik, ki ga lahko zapišemo kot kombinacijo celega in ulomka. Na primer, ko delite 5 z 2, je količnik 2,5.

Število v obdobju

Ena od možnosti, ki lahko nastane, če dividenda ni večkratnik delitelja, je tako imenovano število v obdobju. Lahko nastane kot posledica deljenja, če se izkaže, da je količnik neskončno ponavljajoča se množica števil. Na primer, število v piki se lahko pojavi pri deljenju števila 2 s 3. V tem primeru je rezultat v obliki decimalno, bo izražen kot kombinacija neskončnega števila števk 6 za decimalno vejico.

Da bi označili rezultat takšne delitve, je bil izumljen poseben način zapisovanja števil v obdobju: takšno število je označeno tako, da se ponavljajoča števka postavi v oklepaj. Na primer, rezultat deljenja 2 s 3 bi bil s to metodo zapisan kot 0,(6). Ta zapis je uporaben tudi, če se ponavlja le del števila, ki izhaja iz deljenja.

Na primer, ko delite 5 s 6, bo rezultat periodično število v obliki 0,8(3). Uporaba te metode je, prvič, učinkovitejša v primerjavi s poskusom zapisovanja vseh ali dela števk števila v obdobju, in drugič, ima večjo natančnost v primerjavi z drugo metodo prenosa takih števil - zaokroževanjem, poleg tega pa omogoča razlikovanje števil v obdobju od natančnega decimalnega ulomka z ustrezno vrednostjo pri primerjavi velikosti teh števil. Tako je na primer očitno, da je 0.(6) bistveno večje od 0,6.

Se spomnite, kako sem v prvi lekciji o decimalkah rekel, da obstajajo številski ulomki, ki jih ni mogoče predstaviti kot decimalke (glejte lekcijo »Decimalke«)? Naučili smo se tudi, kako faktorizirati imenovalce ulomkov, da bi ugotovili, ali obstaja še kakšno število, razen 2 in 5.

Torej: lagal sem. In danes se bomo naučili prevajati popolnoma vse številčni ulomek na decimalno. Hkrati se bomo seznanili s celim razredom ulomkov z neskončnim pomembnim delom.

Periodična decimalka je katera koli decimalka, ki:

1. Pomembni del je sestavljen iz neskončnega števila števk;
2. V določenih intervalih se številke v pomembnem delu ponavljajo.

Niz ponavljajočih se števil, ki sestavljajo pomemben del, imenujemo periodični del ulomka, število števk v tem nizu pa periodo ulomka. Preostali del pomembnega dela, ki se ne ponavlja, imenujemo neperiodični del.

Ker obstaja veliko definicij, je vredno podrobneje razmisliti o nekaterih od teh frakcij:

Ta frakcija se najpogosteje pojavlja pri težavah. Neperiodični del: 0; periodični del: 3; dolžina obdobja: 1.

Neperiodični del: 0,58; periodični del: 3; dolžina obdobja: ponovno 1.

Neperiodični del: 1; periodični del: 54; dolžina obdobja: 2.

Neperiodični del: 0; periodični del: 641025; dolžina obdobja: 6. Zaradi udobja so ponavljajoči se deli med seboj ločeni s presledkom – to v tej rešitvi ni potrebno.

Neperiodični del: 3066; periodični del: 6; dolžina obdobja: 1.

Kot lahko vidite, definicija periodičnega ulomka temelji na konceptu pomemben del števila. Zato, če ste pozabili, kaj je, priporočam, da ga ponovite - glejte lekcijo "".

Prehod na periodični decimalni ulomek

Razmislite o navadnem ulomku oblike a /b. Razložimo njegov imenovalec na prafaktorje. Obstajata dve možnosti:

1. Razširitev vsebuje samo faktorja 2 in 5. Ti ulomki se zlahka pretvorijo v decimalke - glejte lekcijo “Decimalke”. Taki ljudje nas ne zanimajo;
2. V razširitvi je še nekaj drugega kot 2 in 5. V tem primeru ulomka ni mogoče predstaviti kot decimalno število, lahko pa ga pretvorimo v periodično decimalno število.

Če želite definirati periodični decimalni ulomek, morate najti njegov periodični in neperiodični del. kako Pretvorite ulomek v nepravilni ulomek in nato števec delite z imenovalcem z vogalom.

Zgodilo se bo naslednje:

1. Najprej se bo razdelil cel del, če obstaja;
2. Za decimalno vejico je lahko več številk;
3. Čez nekaj časa se bodo začele številke ponovite.

To je vse! Številke, ki se ponavljajo za decimalno vejico, so označene s periodičnim delom, tiste pred njimi pa z neperiodičnim delom.

Naloga. Pretvori navadne ulomke v periodične decimalke:

Vsi ulomki brez celega dela, zato preprosto delimo števec z imenovalcem z "votilom":

Kot lahko vidite, se ostanki ponavljajo. Zapišimo ulomek v »pravilni« obliki: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultat je ulomek: 0,5833 ... = 0,58(3).

Zapišemo ga v normalni obliki: 4,0909 ... = 4,(09).

Dobimo ulomek: 0,4141 ... = 0.(41).

Prehod iz periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek

Razmislite o periodičnem decimalnem ulomku X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je predelati v klasično "dvonadstropno". Če želite to narediti, sledite štirim preprostim korakom:

1. Poiščite periodo ulomka, tj. preštejte, koliko števk je v periodičnem delu. Naj bo to število k;
2. Poiščite vrednost izraza X · 10 k. To je enakovredno premikanju decimalne vejice v desno za celotno piko - glejte lekcijo "Množenje in deljenje decimalnih mest";
3. Prvotni izraz je treba odšteti od nastalega števila. V tem primeru se periodični del "zažge" in ostane navadni ulomek;
4. Poiščite X v nastali enačbi. Vse decimalne ulomke pretvorimo v navadne ulomke.

Naloga. Število pretvorite v navaden nepravilni ulomek:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Delamo s prvim ulomkom: X = 9,(6) = 9,666 ...

Oklepaj vsebuje samo eno števko, zato je obdobje k = 1. Nato ta ulomek pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10. Imamo:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Zdaj pa poglejmo drugi ulomek. Torej X = 32,(39) = 32,393939...

Obdobje k = 2, torej vse pomnožite z 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Ponovno odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Preidimo na tretji ulomek: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Diagram je enak, zato bom podal le izračune:

Perioda k = 1 ⇒ vse pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Na koncu še zadnji ulomek: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Spet zaradi priročnosti so periodični deli med seboj ločeni s presledki. Imamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

Zgodi se, da morate za udobje izračunov pretvoriti navaden ulomek v decimalno in obratno. O tem, kako to storiti, bomo govorili v tem članku. Oglejmo si pravila za pretvorbo navadnih ulomkov v decimalke in obratno ter navedimo tudi primere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmislili bomo o pretvorbi navadnih ulomkov v decimalke po določenem zaporedju. Najprej poglejmo, kako navadne ulomke z imenovalcem, ki je večkratnik 10, pretvarjamo v decimalne: 10, 100, 1000 itd. Ulomki s takimi imenovalci so pravzaprav bolj okoren zapis decimalnih ulomkov.

Nato si bomo ogledali, kako navadne ulomke s poljubnim imenovalcem, ne le z večkratniki 10, pretvorimo v decimalne ulomke. Upoštevajte, da pri pretvorbi navadnih ulomkov v decimalne ulomke ne dobimo le končnih decimalnih ulomkov, temveč tudi neskončne periodične decimalne ulomke.

Začnimo!

Prevod navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, 1000 itd. na decimalke

Najprej povejmo, da nekateri ulomki zahtevajo nekaj priprav pred pretvorbo v decimalno obliko. Kaj je to? Pred številom v števcu morate dodati toliko ničel, da bo število števk v števcu enako številu ničel v imenovalcu. Na primer, za ulomek 3100 je treba številko 0 enkrat dodati levo od številke 3 v števcu. Frakcija 610 v skladu z zgoraj navedenim pravilom ne potrebuje spremembe.

Poglejmo še en primer, po katerem bomo oblikovali pravilo, ki je na začetku še posebej priročno za uporabo, medtem ko ni veliko izkušenj s pretvorbo ulomkov. Torej bo ulomek 1610000 po dodajanju ničel v števcu videti kot 001510000.

Kako pretvoriti navadni ulomek z imenovalcem 10, 100, 1000 itd. na decimalno?

Pravilo za pretvorbo navadnih pravilnih ulomkov v decimalke

1. Zapišite 0 in za njo vstavite vejico.
2. Zapišemo število iz števca, ki smo ga dobili po seštevanju ničel.

Zdaj pa preidimo na primere.

Primer 1: Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Pretvorimo ulomek 39.100 v decimalko.

Najprej pogledamo ulomek in vidimo, da ni treba izvajati nobenih pripravljalnih dejanj - število števk v števcu sovpada s številom ničel v imenovalcu.

Po pravilu zapišemo 0, za njo postavimo decimalno vejico in zapišemo število iz števca. Dobimo decimalni ulomek 0,39.

Poglejmo rešitev drugega primera na to temo.

Primer 2. Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Zapišimo ulomek 105 10000000 kot decimalko.

Število ničel v imenovalcu je 7, števec pa ima samo tri števke. Pred številko v števcu dodamo še 4 ničle:

0000105 10000000

Zdaj zapišemo 0, za njo postavimo decimalno vejico in zapišemo število iz števca. Dobimo decimalni ulomek 0,0000105.

Ulomki, obravnavani v vseh primerih, so navadni pravi ulomki. Kako pa nepravilni ulomek pretvorite v decimalno? Takoj povejmo, da priprava z dodajanjem ničel za takšne ulomke ni potrebna. Oblikujmo pravilo.

Pravilo za pretvorbo navadnih nepravilnih ulomkov v decimalke

1. Zapišite število, ki je v števcu.
2. Z decimalno vejico ločimo toliko števk na desni, kolikor ničel je v imenovalcu izvirnika navadni ulomek.

Spodaj je primer uporabe tega pravila.

Primer 3. Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Pretvorimo ulomek 56888038009 100000 iz navadnega nepravilnega ulomka v decimalni.

Najprej zapišimo število iz števca:

Zdaj na desni ločimo pet števk z decimalno vejico (število ničel v imenovalcu je pet). Dobimo:

Naslednje vprašanje, ki se seveda pojavi, je: kako pretvoriti mešano število v decimalni ulomek, če je imenovalec njegovega ulomka število 10, 100, 1000 itd. Če želite takšno število pretvoriti v decimalni ulomek, lahko uporabite naslednje pravilo.

Pravilo za pretvorbo mešanih števil v decimalke

1. Po potrebi pripravimo ulomek števila.
2. Prvotno številko zapišemo v celoti in za njo postavimo vejico.
3. Število iz števca ulomka zapišemo skupaj z dodanimi ničlami.

Poglejmo si primer.

Primer 4: Pretvarjanje mešanih števil v decimalke

Pretvorimo mešano število 23 17 10000 v decimalni ulomek.

V ulomku imamo izraz 17 10000. Pripravimo ga in dodamo še dve ničli levo od števca. Dobimo: 0017 10000.

Zdaj zapišemo cel del števila in za njim postavimo vejico: 23, . .

Za decimalno vejico zapišite število iz števca skupaj z ničlami. Dobimo rezultat:

23 17 10000 = 23 , 0017

Pretvarjanje navadnih ulomkov v končne in neskončne periodične ulomke

Seveda lahko pretvarjate v decimalke in navadne ulomke z imenovalcem, ki ni enak 10, 100, 1000 itd.

Pogosto lahko ulomek enostavno zmanjšamo na nov imenovalec in nato uporabimo pravilo iz prvega odstavka tega člena. Na primer, dovolj je, da števec in imenovalec ulomka 25 pomnožimo z 2 in dobimo ulomek 410, ki ga zlahka pretvorimo v decimalno obliko 0,4.

Vendar tega načina pretvorbe ulomka v decimalko ni mogoče vedno uporabiti. Spodaj bomo razmislili, kaj storiti, če obravnavane metode ni mogoče uporabiti.

V bistvu nov način pretvorba navadnega ulomka v decimalko se zmanjša na deljenje števca z imenovalcem s stolpcem. Ta operacija je zelo podobna deljenju naravnih števil s stolpcem, vendar ima svoje značilnosti.

Pri deljenju je števec predstavljen kot decimalni ulomek - desno od zadnje številke števca se postavi vejica in dodajo se ničle. V dobljenem količniku je decimalna vejica, ko se konča deljenje celega dela števca. Kako točno ta metoda deluje, bo jasno po ogledu primerov.

Primer 5. Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Pretvorimo navadni ulomek 621 4 v decimalno obliko.

Predstavimo število 621 iz števca kot decimalni ulomek in za decimalno vejico dodamo nekaj ničel. 621 = 621,00

Zdaj pa razdelimo 621,00 s 4 z uporabo stolpca. Prvi trije koraki deljenja bodo enaki kot pri deljenju naravnih števil in dobili bomo.

Ko dosežemo decimalno vejico pri deljenem in je ostanek drugačen od nič, vstavimo decimalno vejico v količnik in nadaljujemo z deljenjem, pri čemer se ne oziramo več na vejico pri deljenem.

Kot rezultat dobimo decimalni ulomek 155, 25, ki je rezultat obračanja navadnega ulomka 621 4

621 4 = 155 , 25

Oglejmo si še en primer za okrepitev snovi.

Primer 6. Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Obrnimo navadni ulomek 21 800.

Če želite to narediti, razdelite ulomek 21.000 v stolpec z 800. Deljenje celotnega dela se bo končalo na prvem koraku, zato takoj za njim v količnik vstavimo decimalno vejico in nadaljujemo z deljenjem, pri čemer se ne oziramo na vejico pri deljenem, dokler ne dobimo ostanka, ki je enak nič.

Kot rezultat smo dobili: 21.800 = 0,02625.

A kaj ko pri deljenju še vedno ne dobimo ostanka 0. V takšnih primerih lahko z deljenjem nadaljujemo v nedogled. Vendar pa se bodo ostanki občasno ponavljali od določenega koraka. V skladu s tem se bodo številke v količniku ponovile. To pomeni, da se navadni ulomek pretvori v decimalni neskončni periodični ulomek. Naj to ponazorimo s primerom.

Primer 7. Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Pretvorimo navadni ulomek 19 44 v decimalko. Da bi to naredili, izvedemo delitev po stolpcu.

Vidimo, da se med deljenjem ponovita ostanka 8 in 36. V tem primeru se v količniku ponovita števili 1 in 8. To je obdobje v decimalnem ulomku. Pri snemanju so te številke v oklepajih.

Tako se prvotni navadni ulomek pretvori v neskončni periodični decimalni ulomek.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Poglejmo nezmanjšani navadni ulomek. V kakšni obliki bo? Kateri navadni ulomki se pretvorijo v končne decimalke in kateri v neskončno periodične?

Najprej povejmo, da če je mogoče ulomek zmanjšati na enega od imenovalcev 10, 100, 1000..., potem bo imel obliko končnega decimalnega ulomka. Da se lahko ulomek skrči na enega od teh imenovalcev, mora biti njegov imenovalec delitelj vsaj enega od števil 10, 100, 1000 itd. Iz pravil za razlaganje števil na prafaktorje sledi, da je delitelj števil 10, 100, 1000 itd. mora, ko je faktoriziran na prafaktorje, vsebovati le števili 2 in 5.

Naj povzamemo povedano:

1. Navadni ulomek je mogoče zmanjšati na končno decimalko, če je njegov imenovalec mogoče faktorizirati na prafaktorja 2 in 5.
2. Če so poleg števil 2 in 5 v razširitvi imenovalca še druga števila praštevila, se ulomek reducira na obliko neskončnega periodičnega decimalnega ulomka.

Dajmo primer.

Primer 8. Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Kateri od teh ulomkov 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 se pretvori v končni decimalni ulomek in kateri le v periodičnega. Odgovorimo na to vprašanje, ne da bi neposredno pretvorili ulomek v decimalko.

Ulomek 47 20, kot je lahko videti, se z množenjem števca in imenovalca s 5 zmanjša na nov imenovalec 100.

47 20 = 235 100. Iz tega sklepamo, da se ta ulomek pretvori v končni decimalni ulomek.

Če razdelimo imenovalec ulomka 7 12 na faktorje, dobimo 12 = 2 · 2 · 3. Ker se prafaktor 3 razlikuje od 2 in 5, tega ulomka ni mogoče predstaviti kot končni decimalni ulomek, ampak bo imel obliko neskončnega periodičnega ulomka.

Najprej je treba zmanjšati ulomek 21 56. Po zmanjšanju za 7 dobimo nezmanjšani ulomek 3 8, katerega imenovalec faktoriziramo, da dobimo 8 = 2 · 2 · 2. Zato je končni decimalni ulomek.

V primeru ulomka 31 17 je imenovalec samo praštevilo 17. V skladu s tem lahko ta ulomek pretvorimo v neskončni periodični decimalni ulomek.

Navadnega ulomka ni mogoče pretvoriti v neskončni in neperiodični decimalni ulomek

Zgoraj smo govorili le o končnih in neskončnih periodičnih ulomkih. Toda ali je mogoče vsak navaden ulomek pretvoriti v neskončen neperiodični ulomek?

Odgovorimo: ne!

Pomembno!

Pri pretvorbi neskončnega ulomka v decimalko je rezultat končna decimalka ali neskončna periodična decimalka.

Ostanek delitve je vedno manj kot delitelj. Z drugimi besedami, v skladu z izrekom o deljivosti, če delimo nekaj naravno število s številom q, potem ostanek deljenja v nobenem primeru ne more biti večji od q-1. Po končani delitvi je možna ena od naslednjih situacij:

1. Dobimo ostanek 0 in tu se deljenje konča.
2. Dobimo ostanek, ki se pri naslednjem deljenju ponovi, rezultat pa je neskončni periodični ulomek.

Pri pretvorbi ulomka v decimalko ne more biti drugih možnosti. Povejmo še, da je dolžina periode (število števk) v neskončnem periodičnem ulomku vedno manjša od števila števk v imenovalcu ustreznega navadnega ulomka.

Pretvarjanje decimalnih mest v ulomke

Zdaj je čas, da pogledamo obratni postopek pretvorbe decimalnega ulomka v navadni ulomek. Oblikujmo pravilo prevajanja, ki vključuje tri stopnje. Kako pretvoriti decimalni ulomek v navadni ulomek?

Pravilo za pretvorbo decimalnih ulomkov v navadne ulomke

1. V števec zapišemo število iz prvotnega decimalnega ulomka, pri čemer zavržemo vejice in vse ničle na levi, če so.
2. V imenovalec zapišemo ena in ji sledi toliko ničel, kolikor je števk za decimalno vejico v prvotnem decimalnem ulomku.
3. Po potrebi zmanjšajte nastalo navadno frakcijo.

Razmislimo o aplikaciji tega pravila s primeri.

Primer 8. Pretvarjanje decimalnih ulomkov v navadne ulomke

Predstavljajmo si število 3,025 kot navaden ulomek.

1. Sam decimalni ulomek zapišemo v števec, vejico pa zavržemo: 3025.
2. V imenovalec zapišemo eno, za njo pa tri ničle - točno toliko števk vsebuje prvotni ulomek za decimalno vejico: 3025 1000.
3. Dobljeni ulomek 3025 1000 lahko zmanjšamo za 25, kar ima za posledico: 3025 1000 = 121 40.

Primer 9. Pretvarjanje decimalnih ulomkov v navadne ulomke

Pretvorimo ulomek 0,0017 iz decimalne v navadno.

1. V števec zapišemo ulomek 0, 0017, pri čemer zavržemo vejice in ničle na levi strani. Izkazalo se bo 17.
2. V imenovalec vpišemo ena, za njo pa štiri ničle: 17 10000. Ta ulomek je nezmanjšljiv.

Če ima decimalni ulomek celo število, potem lahko tak ulomek takoj pretvorimo v mešano število. Kako narediti?

Oblikujmo še eno pravilo.

Pravilo za pretvorbo decimalk v mešana števila.

1. Število pred decimalno vejico v ulomku zapišemo kot celo število mešanega števila.
2. V števec zapišemo število za decimalno vejico v ulomku, ničle na levi strani, če so, zavržemo.
3. V imenovalec ulomka dodamo eno in toliko ničel, kolikor je števk za decimalno vejico v ulomku.

Vzemimo primer

Primer 10. Pretvarjanje decimalke v mešano število

Predstavljajmo si ulomek 155, 06005 kot mešano število.

1. Število 155 zapišemo kot celo število.
2. V števcu zapisujemo števila za decimalno vejico, ničlo zavržemo.
3. V imenovalec zapišemo ena in pet ničel

Naučimo se mešano število: 155 6005 100000

Ulomek lahko zmanjšamo za 5. Skrajšamo ga in dobimo končni rezultat:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Pretvarjanje neskončnih periodičnih decimalnih mest v ulomke

Oglejmo si primere, kako periodične decimalne ulomke pretvoriti v navadne ulomke. Preden začnemo, pojasnimo: vsak periodični decimalni ulomek je mogoče pretvoriti v navaden ulomek.

Najenostavnejši primer je, ko je obdobje ulomka nič. Periodični ulomek z ničelno periodo nadomesti končni decimalni ulomek, postopek obračanja takega ulomka pa se zmanjša na obračanje končnega decimalnega ulomka.

Primer 11. Pretvarjanje periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek

Obrnimo periodični ulomek 3, 75 (0).

Če odstranimo ničle na desni, dobimo končni decimalni ulomek 3,75.

S pretvorbo tega ulomka v navadni ulomek z uporabo algoritma, obravnavanega v prejšnjih odstavkih, dobimo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Kaj pa, če je perioda ulomka drugačna od nič? Periodični del je treba obravnavati kot vsoto členov geometrijske progresije, ki pada. Razložimo to s primerom:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Obstaja formula za vsoto členov neskončne padajoče geometrijske progresije. Če je prvi člen napredovanja b in je imenovalec q tak, da je 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Oglejmo si nekaj primerov z uporabo te formule.

Primer 12. Pretvarjanje periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek

Imamo periodični ulomek 0, (8) in ga moramo pretvoriti v navadnega.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Tukaj imamo neskončno padanje geometrijsko napredovanje s prvim členom 0, 8 in imenovalcem 0, 1.

Uporabimo formulo:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

To je zahtevani navadni ulomek.

Za utrjevanje gradiva si oglejmo še en primer.

Primer 13. Pretvarjanje periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek

Obrnimo ulomek 0, 43 (18).

Najprej zapišemo ulomek kot neskončno vsoto:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Poglejmo izraze v oklepajih. To geometrijsko progresijo lahko predstavimo na naslednji način:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Rezultat prištejemo končnemu ulomku 0, 43 = 43 100 in dobimo rezultat:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Po seštevanju teh ulomkov in zmanjševanju dobimo končni odgovor:

0 , 43 (18) = 19 44

Za zaključek tega članka bomo rekli, da neperiodičnih neskončnih decimalnih ulomkov ni mogoče pretvoriti v navadne ulomke.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

V tem članku si bomo ogledali, kako pretvarjanje ulomkov v decimalke, in upoštevajte tudi obratni postopek - pretvorbo decimalnih ulomkov v navadne ulomke. Tukaj bomo predstavili pravila za pretvorbo ulomkov in podali podrobne rešitve tipičnih primerov.

Navigacija po straneh.

Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Označimo zaporedje, v katerem bomo obravnavali pretvarjanje ulomkov v decimalke.

Najprej si bomo ogledali, kako predstaviti ulomke z imenovalci 10, 100, 1000, ... kot decimalke. To je razloženo z dejstvom, da so decimalni ulomki v bistvu strnjena oblika zapisa navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ....

Nato bomo šli še dlje in pokazali, kako zapišemo poljuben navaden ulomek (ne samo tiste z imenovalci 10, 100, ...) kot decimalni ulomek. Ko navadne ulomke obravnavamo na ta način, dobimo tako končne decimalne ulomke kot neskončne periodične decimalne ulomke.

Zdaj pa se pogovorimo o vsem po vrsti.

Pretvarjanje navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ... v decimalke

Nekateri pravilni ulomki zahtevajo "predhodno pripravo", preden se pretvorijo v decimalke. To velja za navadne ulomke, katerih število števcev je manjše od števila ničel v imenovalcu. Na primer, navadni ulomek 2/100 je treba najprej pripraviti za pretvorbo v decimalni ulomek, ulomek 9/10 pa ne potrebuje nobene priprave.

"Predhodna priprava" pravih navadnih ulomkov za pretvorbo v decimalne ulomke je sestavljena iz dodajanja toliko ničel levo od števca, da skupajštevke postale enake številu ničel v imenovalcu. Na primer, ulomek po dodajanju ničel bo videti kot .

Ko pripravite ustrezen ulomek, ga lahko začnete pretvarjati v decimalko.

Dajmo pravilo za pretvorbo pravilnega navadnega ulomka z imenovalcem 10, ali 100, ali 1000, ... v decimalni ulomek. Sestavljen je iz treh korakov:

• napiši 0;
• za njim postavimo decimalno vejico;
• Zapišemo število iz števca (skupaj z dodanimi ničlami, če smo jih sešteli).

Razmislimo o uporabi tega pravila pri reševanju primerov.

Primer.

Pravilni ulomek 37/100 pretvorite v decimalko.

rešitev.

V imenovalcu je število 100, ki ima dve ničli. Števec vsebuje številko 37, njegov zapis ima dve števki, zato tega ulomka ni treba pripraviti za pretvorbo v decimalni ulomek.

Sedaj zapišemo 0, postavimo decimalno vejico in iz števca zapišemo število 37 in dobimo decimalni ulomek 0,37.

odgovor:

0,37 .

Za utrjevanje spretnosti pretvarjanja pravilnih navadnih ulomkov s števci 10, 100, ... v decimalne ulomke bomo analizirali rešitev drugega primera.

Primer.

Pravilni ulomek 107/10.000.000 zapišite kot decimalko.

rešitev.

Število številk v števcu je 3, število ničel v imenovalcu pa 7, zato je treba ta navadni ulomek pripraviti za pretvorbo v decimalko. Levo v števcu moramo dodati 7-3=4 ničle, tako da skupno število števk tam postane enako številu ničel v imenovalcu. Dobimo.

Vse, kar ostane, je ustvariti zahtevani decimalni ulomek. Da bi to naredili, najprej napišemo 0, drugič, postavimo vejico, tretjič, zapišemo številko iz števca skupaj z ničlami ​​0000107, kot rezultat imamo decimalni ulomek 0,0000107.

odgovor:

0,0000107 .

Nepravilni ulomki ne zahtevajo nobene priprave pri pretvorbi v decimalke. Upoštevati je treba naslednje pravila za pretvarjanje nepravilnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ... v decimalke:

• zapiši število iz števnika;
• Z decimalno vejico ločimo toliko števk na desni, kolikor ničel je v imenovalcu prvotnega ulomka.

Poglejmo si uporabo tega pravila pri reševanju primera.

Primer.

Pretvorite nepravilni ulomek 56.888.038.009/100.000 v decimalko.

rešitev.

Prvič, zapišemo število iz števca 56888038009, in drugič, ločimo 5 števk na desni z decimalno vejico, saj ima imenovalec prvotnega ulomka 5 ničel. Kot rezultat imamo decimalni ulomek 568880,38009.

odgovor:

568 880,38009 .

Če želite mešano število pretvoriti v decimalni ulomek, katerega imenovalec ulomka je število 10, ali 100, ali 1000, ..., lahko mešano število pretvorite v nepravilni navadni ulomek in nato pretvorite dobljeni ulomek. ulomek v decimalni ulomek. Lahko pa uporabite tudi naslednje pravilo za pretvarjanje mešanih števil z ulomkom 10, ali 100, ali 1000, ... v decimalne ulomke:

• po potrebi izvedite " predhodna priprava» ulomek prvotnega mešanega števila, seštevanje zahtevani znesek ničle na levi v števcu;
• zapišite celoštevilski del prvotnega mešanega števila;
• postavite decimalno vejico;
• Število iz števca zapišemo skupaj s prištetimi ničlami.

Oglejmo si primer, v katerem dokončamo vse potrebne korake za predstavitev mešanega števila kot decimalni ulomek.

Primer.

Mešano število pretvorite v decimalko.

rešitev.

Imenovalec ulomka ima 4 ničle, števec pa vsebuje številko 17, ki je sestavljena iz 2 števk, zato moramo števcu dodati dve ničli na levo, tako da število števk tam postane enako številu ničle v imenovalcu. Po tem bo števec 0017.

Sedaj zapišemo celoštevilski del prvotnega števila, to je številka 23, postavimo decimalno vejico, za katero zapišemo število iz števca skupaj z dodanimi ničlami, to je 0017, in dobimo želeno decimalko. ulomek 23,0017.

Naj na kratko zapišemo celotno rešitev: .

Seveda je bilo mogoče mešano število najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in ga nato pretvoriti v decimalni ulomek. S tem pristopom je rešitev videti takole: .

odgovor:

23,0017 .

Pretvarjanje ulomkov v končne in neskončne periodične decimalke

V decimalni ulomek lahko pretvorite ne samo navadne ulomke z imenovalci 10, 100, ..., temveč tudi navadne ulomke z drugimi imenovalci. Zdaj bomo ugotovili, kako se to naredi.

V nekaterih primerih se prvotni navadni ulomek zlahka skrči na enega od imenovalcev 10, ali 100, ali 1000, ... (glej spravljanje navadnega ulomka na nov imenovalec), potem pa ni težko predstaviti nastalega ulomka kot decimalni ulomek. Očitno je na primer, da je mogoče ulomek 2/5 zmanjšati na ulomek z imenovalcem 10, za to morate števec in imenovalec pomnožiti z 2, kar bo dalo ulomek 4/10, ki glede na Pravila, obravnavana v prejšnjem odstavku, zlahka pretvorijo v decimalni ulomek 0, 4 .

V drugih primerih morate uporabiti drugo metodo za pretvorbo navadnega ulomka v decimalno, kar bomo zdaj obravnavali.

Za pretvorbo navadnega ulomka v decimalni ulomek delimo števec ulomka z imenovalcem, števec najprej nadomestimo z enakim decimalnim ulomkom s poljubnim številom ničel za decimalno vejico (o tem smo govorili v razdelku enako in neenaki decimalni ulomki). V tem primeru se deljenje izvede na enak način kot deljenje s stolpcem naravnih števil, v količniku pa se postavi decimalna vejica, ko se konča deljenje celotnega dela dividende. Vse to bo razvidno iz rešitev spodnjih primerov.

Primer.

Pretvorite ulomek 621/4 v decimalko.

rešitev.

Predstavimo število v števcu 621 kot decimalni ulomek, dodamo decimalno vejico in za njo več ničel. Najprej seštejmo 2 števki 0, pozneje, če je treba, lahko vedno dodamo še ničle. Torej imamo 621,00.

Zdaj pa s stolpcem razdelimo število 621.000 s 4. Prvi trije koraki se ne razlikujejo od deljenja naravnih števil s stolpcem, po katerem pridemo do naslednje slike:

Tako pridemo do decimalne vejice dividende, ostanek pa je drugačen od nič. V tem primeru v količniku postavimo decimalno vejico in nadaljujemo z deljenjem v stolpcu, ne da bi bili pozorni na vejice:

S tem je deljenje končano in kot rezultat dobimo decimalni ulomek 155,25, ki ustreza prvotnemu navadnemu ulomku.

odgovor:

155,25 .

Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvi drugega primera.

Primer.

Pretvorite ulomek 21/800 v decimalko.

rešitev.

Za pretvorbo tega navadnega ulomka v decimalni ulomek delimo s stolpcem decimalnega ulomka 21.000... z 800. Po prvem koraku bomo morali v količniku postaviti decimalno vejico in nato nadaljevati deljenje:

Končno smo dobili ostanek 0, s tem smo zaključili pretvorbo navadnega ulomka 21/400 v decimalni ulomek in prišli smo do decimalnega ulomka 0,02625.

odgovor:

0,02625 .

Lahko se zgodi, da pri deljenju števca z imenovalcem navadnega ulomka še vedno ne dobimo ostanka 0. V teh primerih se delitev lahko nadaljuje za nedoločen čas. Od določenega koraka pa se ostanki začnejo periodično ponavljati, ponavljajo pa se tudi števila v količniku. To pomeni, da se prvotni ulomek pretvori v neskončni periodični decimalni ulomek. Pokažimo to s primerom.

Primer.

Zapišite ulomek 19/44 kot decimalko.

rešitev.

Če želite navadni ulomek pretvoriti v decimalno, izvedite deljenje s stolpcem:

Že zdaj je jasno, da sta se pri deljenju začela ponavljati ostanka 8 in 36, medtem ko se v količniku ponavljata števili 1 in 8. Tako se prvotni navadni ulomek 19/44 pretvori v periodični decimalni ulomek 0,43181818...=0,43(18).

odgovor:

0,43(18) .

Za zaključek te točke bomo ugotovili, katere navadne ulomke je mogoče pretvoriti v končne decimalne ulomke in katere samo v periodične.

Pred seboj imamo nezmanjšljiv navadni ulomek (če je ulomek zmanjšljiv, potem ulomek najprej skrčimo) in ugotoviti moramo, v kakšen decimalni ulomek ga lahko pretvorimo - v končnega ali periodičnega.

Jasno je, da če lahko navadni ulomek zmanjšamo na enega od imenovalcev 10, 100, 1000, ..., potem lahko dobljeni ulomek enostavno pretvorimo v končni decimalni ulomek po pravilih, obravnavanih v prejšnjem odstavku. Toda na imenovalce 10, 100, 1000 itd. Niso podani vsi navadni ulomki. Na take imenovalce lahko skrčimo le tiste ulomke, katerih imenovalec je vsaj eno od števil 10, 100, ... In katera števila so lahko delitelji 10, 100, ...? Številke 10, 100, ... nam bodo omogočile odgovor na to vprašanje in so naslednje: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Iz tega sledi, da so delitelji 10, 100, 1000 itd. Obstajajo lahko samo števila, katerih razčlenitve na prafaktorje vsebujejo samo številki 2 in (ali) 5.

Zdaj lahko naredimo splošen zaključek o pretvorbi navadnih ulomkov v decimalke:

• če so pri razgradnji imenovalca na prafaktorje prisotni samo števili 2 in (ali) 5, potem lahko ta ulomek pretvorimo v končni decimalni ulomek;
• če so poleg dvojk in petic v razširitvi imenovalca še druga praštevila, potem se ta ulomek pretvori v neskončni decimalni periodični ulomek.

Primer.

Brez pretvarjanja navadnih ulomkov v decimalne, povejte mi, katere od ulomkov 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 je mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek in katere samo v periodični ulomek.

rešitev.

Imenovalec ulomka 47/20 je faktoriziran na prafaktorje kot 20=2·2·5. V tej razširitvi sta samo dvojka in petica, zato je ta ulomek mogoče zmanjšati na enega od imenovalcev 10, 100, 1000, ... (v tem primeru na imenovalec 100), zato ga je mogoče pretvoriti v končno decimalko ulomek.

Razčlenitev imenovalca ulomka 7/12 na prafaktorje ima obliko 12=2·2·3. Ker vsebuje prafaktor 3, ki se razlikuje od 2 in 5, tega ulomka ni mogoče predstaviti kot končno decimalko, lahko pa ga pretvorimo v periodično decimalko.

Ulomek 21/56 – kontraktilna, po kontrakciji dobi obliko 3/8. Razlaganje imenovalca na prafaktorje vsebuje tri faktorje, enake 2, zato lahko navadni ulomek 3/8 in s tem enak ulomek 21/56 pretvorimo v končni decimalni ulomek.

Končno je razširitev imenovalca ulomka 31/17 sama 17, zato tega ulomka ni mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek, lahko pa ga pretvorimo v neskončni periodični ulomek.

odgovor:

47/20 in 21/56 je mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek, 7/12 in 31/17 pa le v periodični ulomek.

Navadni ulomki se ne pretvorijo v neskončne neperiodične decimalke

Informacije v prejšnjem odstavku sprožijo vprašanje: "Ali lahko deljenje števca ulomka z imenovalcem povzroči neskončen neperiodični ulomek?"

Odgovor: ne. Pri pretvorbi navadnega ulomka je lahko rezultat končni decimalni ulomek ali neskončni periodični decimalni ulomek. Naj pojasnimo, zakaj je tako.

Iz izreka o deljivosti z ostankom je razvidno, da je ostanek vedno manjši od delitelja, se pravi, če neko celo število delimo s celim številom q, potem je lahko ostanek samo eno izmed števil 0, 1, 2. , ..., q−1. Iz tega sledi, da potem, ko je stolpec dokončal delitev celega dela števca navadnega ulomka z imenovalcem q, se bo v največ q korakih pojavila ena od naslednjih dveh situacij:

• ali bomo dobili ostanek 0, s tem bomo končali deljenje in dobili bomo zadnji decimalni ulomek;
• ali pa bomo dobili ostanek, ki se je že pojavil, nato pa se bodo ostanki začeli ponavljati kot v prejšnjem primeru (saj pri deljenju enako število dobimo enake ostanke na q, kar izhaja iz že omenjenega izreka o deljivosti), to bo povzročilo neskončen periodični decimalni ulomek.

Drugih možnosti ne more biti, zato pri pretvorbi navadnega ulomka v decimalni ulomek ni mogoče dobiti neskončnega neperiodičnega decimalnega ulomka.

Iz sklepanja v tem odstavku tudi sledi, da je dolžina periode decimalnega ulomka vedno manjša od vrednosti imenovalca ustreznega navadnega ulomka.

Pretvarjanje decimalnih mest v ulomke

Zdaj pa ugotovimo, kako pretvoriti decimalni ulomek v navaden ulomek. Začnimo s pretvorbo zadnjih decimalnih ulomkov v navadne ulomke. Po tem bomo obravnavali metodo za obračanje neskončnih periodičnih decimalnih ulomkov. Na koncu povejmo o nezmožnosti pretvorbe neskončnih neperiodičnih decimalnih ulomkov v navadne ulomke.

Pretvarjanje končnih decimalk v ulomke

Pridobivanje ulomka, ki je zapisan kot končna decimalka, je precej preprosto. Pravilo za pretvorbo končnega decimalnega ulomka v navadni ulomek je sestavljen iz treh korakov:

• najprej dani decimalni ulomek zapiši v števec, pri čemer si pred tem zavrgel decimalno vejico in vse ničle na levi, če so bile;
• drugič, v imenovalec vpišite eno in mu dodajte toliko ničel, kolikor je števk za decimalno vejico v prvotnem decimalnem ulomku;
• tretjič, po potrebi zmanjšajte nastalo frakcijo.

Poglejmo si rešitve primerov.

Primer.

Decimalno število 3,025 pretvorite v ulomek.

rešitev.

Če prvotnemu decimalnemu ulomku odstranimo decimalno vejico, dobimo število 3.025. Na levi strani ni ničel, ki bi jih zavrgli. Torej, v števec želenega ulomka zapišemo 3,025.

Število 1 zapišemo v imenovalec in mu dodamo desno 3 ničle, saj so v prvotnem decimalnem ulomku za decimalno vejico 3 števke.

Torej imamo navadni ulomek 3,025/1,000. Ta ulomek lahko zmanjšamo za 25, dobimo .

odgovor:

.

Primer.

Pretvorite decimalni ulomek 0,0017 v ulomek.

rešitev.

Brez decimalne vejice je prvotni decimalni ulomek videti kot 00017, če zavržemo ničle na levi dobimo število 17, ki je števec želenega navadnega ulomka.

Enico zapišemo s štirimi ničlami ​​v imenovalcu, saj ima prvotni decimalni ulomek 4 števke za decimalno vejico.

Kot rezultat imamo navaden ulomek 17/10.000. Ta ulomek je nezmanjšljiv in pretvorba decimalnega ulomka v navadni ulomek je končana.

odgovor:

.

Ko je celi del prvotnega končnega decimalnega ulomka različen od nič, ga je mogoče takoj pretvoriti v mešano število, mimo navadnega ulomka. Dajmo pravilo za pretvorbo končnega decimalnega ulomka v mešano število:

• število pred decimalno vejico mora biti zapisano kot celo število želenega mešanega števila;
• v števec delnega dela morate napisati število, ki ga dobite iz delnega dela prvotnega decimalnega ulomka, potem ko zavržete vse ničle na levi;
• v imenovalec ulomka morate zapisati številko 1, ki ji na desni strani dodate toliko ničel, kolikor je števk za decimalno vejico v prvotnem decimalnem ulomku;
• po potrebi zmanjšajte delni del dobljenega mešanega števila.

Oglejmo si primer pretvorbe decimalnega ulomka v mešano število.

Primer.

Izrazite decimalni ulomek 152,06005 kot mešano število

Periodični ulomek

neskončni decimalni ulomek, v katerem je od določene točke samo periodično ponavljajoča se skupina števk. Na primer, 1,3181818 ...; Skratka, ta ulomek je zapisan takole: 1,3(18), to pomeni, da piko postavijo v oklepaj (in rečejo: "18 v točki"). P. se imenuje čisti, če se pika začne takoj za decimalno vejico, na primer 2(71) = 2,7171 ..., in mešana, če so za decimalno vejico številke pred piko, na primer 1,3(18). Vloga decimalnih ulomkov v aritmetiki je posledica dejstva, da ko racionalna števila, to je navadne (preproste) ulomke predstavimo z decimalnimi ulomki, vedno dobimo končne ali periodične ulomke. Natančneje: končni decimalni ulomek dobimo, če imenovalec nezmanjšanega preprostega ulomka ne vsebuje drugih prafaktorjev razen 2 in 5; v vseh drugih primerih je rezultat P. ulomek in poleg tega je čisti, če imenovalec danega nezmanjšanega ulomka sploh ne vsebuje faktorjev 2 in 5, in mešan, če vsebuje vsaj enega od teh faktorjev v imenovalcu. Vsak P.D. se lahko pretvori v enostavni ulomek(to pomeni, da je enako nekemu racionalnemu številu). Čisti ulomek je enak preprostemu ulomku, katerega števec je pika, imenovalec pa število 9, zapisano tolikokrat, kolikor je števk v periodi; Pri pretvorbi mešanega ulomka v preprosti ulomek je števec razlika med številom, ki ga predstavljajo števila pred drugo piko, in številom, ki ga predstavljajo števila pred prvo piko; Če želite sestaviti imenovalec, morate število 9 zapisati tolikokrat, kolikor je števil v piki, na desno pa dodati toliko ničel, kolikor je števil pred piko. Ta pravila predvidevajo, da je dani P. pravilen, to je, da ne vsebuje celih enot; sicer pa je cel del posebej obravnavan.

Znana so tudi pravila za določanje dolžine periode ulomka, ki ustreza danemu navadnemu ulomku. Na primer za ulomek a/str, Kje R - praštevilo in 1 ≤ a ≤ p- 1 je dolžina obdobja delitelj R - 1. Torej, za znane približke števila (glej Pi) 22/7 in 355/113 obdobij je enako 6 oziroma 112.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Sopomenke:

Oglejte si, kaj je "periodični ulomek" v drugih slovarjih:

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se od določenega mesta periodično ponavlja določena skupina števk (pika), npr. 0,373737... čisti periodični ulomek ali 0,253737... mešani periodični ulomek... Veliki enciklopedični slovar

Ulomek, neskončni ulomek Slovar ruskih sinonimov. periodični ulomek samostalnik, število sinonimov: 2 neskončni ulomek (2) ... Slovar sinonimov

Decimalni ulomek, v katerem se niz števk ponavlja v istem vrstnem redu. Na primer, 0,135135135... je p.d., katerega perioda je 135 in je enaka preprostemu ulomku 135/999 = 5/37. Slovar tuje besede, vključeno v ruski jezik. Pavlenkov F... Slovar tujih besed ruskega jezika

Decimalka je ulomek z imenovalcem 10n, kjer je n naravno število. Ima posebno obliko zapisa: celoštevilski del v decimalni sistemštevilo, nato vejica in nato ulomek v decimalnem številskem sistemu ter število števk ulomka ... Wikipedia

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se od določene točke periodično ponavlja določena skupina števk (pika); na primer 0,373737... čisti periodični ulomek ali 0,253737... mešani periodični ulomek. * * * PERIODIČNO… … enciklopedični slovar

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se definicija periodično ponavlja, začenši z določenega mesta. skupina števk (pika); na primer 0,373737 ... čisti P. d. ali 0,253737 ... mešani P. d. ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Glej del... Slovar ruskih sinonimov in podobnih izrazov. Spodaj. izd. N. Abramova, M.: Ruski slovarji, 1999. ulomek malenkost, del; dunst, krogla, zdrob, krogla; delno število Slovar ruskih sinonimov ... Slovar sinonimov

periodična decimalka- - [L.G. Sumenko. Angleško-ruski slovar informacijske tehnologije. M.: Državno podjetje TsNIIS, 2003.] Teme Informacijska tehnologija na splošno EN obtočni decimalni ponavljajoči se decimalni periodični decimalperiodični decimalperiodični decimalni ... Priročnik za tehnične prevajalce

Če neko celo število a delimo z drugim celim številom b, tj. iščemo število x, ki izpolnjuje pogoj bx = a, lahko pride do dveh primerov: ali je v nizu celih števil število x, ki izpolnjuje ta pogoj, ali izkaže se, …… Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Ulomek, katerega imenovalec je cela potenca števila 10. Ulomke pišemo brez imenovalca, tako da v števcu na desni z vejico ločimo toliko števk, kolikor ničel je v imenovalcu. Na primer, v takem zapisu je del na levi... ... Velika sovjetska enciklopedija