Ta članek je zbirka podrobnih informacij, ki obravnavajo temo lastnosti korenin. Glede na temo bomo začeli z lastnostmi, preučili vse formulacije in podali dokaze. Za utrditev teme bomo upoštevali lastnosti n-te stopnje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lastnosti korena

Govorili bomo o lastnostih.

1. Lastnina pomnožena števila a in b, ki je predstavljena kot enakost a · b = a · b . Lahko se predstavi kot množitelji, pozitivni ali enaki nič a 1 , a 2 , … , a k kot a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. iz zasebnega a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, lahko zapišemo tudi v tej obliki a b = a b ;
3. Lastnost iz moči števila a s sodim eksponentom a 2 m = a m za poljubno število a, na primer lastnost iz kvadrata števila a 2 = a .

V kateri koli predstavljeni enačbi lahko zamenjate dele pred in za pomišljajem, na primer enakost a · b = a · b pretvorimo kot a · b = a · b . Lastnosti enakosti se pogosto uporabljajo za poenostavitev kompleksnih enačb.

Dokaz prvih lastnosti temelji na definiciji kvadratnega korena in lastnostih potenc z naravni indikator. Za utemeljitev tretje lastnosti se je treba sklicevati na definicijo modula števila.

Najprej je treba dokazati lastnosti kvadratnega korena a · b = a · b . Glede na definicijo je treba upoštevati, da je a b število, pozitivno ali enako nič, ki bo enako a b med gradnjo v kvadrat. Vrednost izraza a · b je pozitivna ali enaka nič kot produkt nenegativnih števil. Lastnost stopnje pomnoženih števil nam omogoča, da enakost predstavimo v obliki (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Po definiciji kvadratnega korena a 2 \u003d a in b 2 \u003d b, potem a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Na podoben način lahko to dokažemo s produktom k multiplikatorji a 1 , a 2 , … , a k bo enak produktu kvadratni koren iz teh množiteljev. Dejansko je a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iz te enakosti sledi a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Oglejmo si nekaj primerov za okrepitev teme.

Primer 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 in 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

Dokazati je treba lastnost aritmetičnega kvadratnega korena količnika: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Lastnost vam omogoča, da zapišete enakost a: b 2 \u003d a 2: b 2 in a 2: b 2 \u003d a: b, medtem ko je a: b pozitivno število ali enako nič. Ta izraz bo dokaz.

Na primer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 in 30, 121 = 30, 121.

Razmislite o lastnosti kvadratnega korena kvadrata števila. Lahko jo zapišemo kot enakost kot a 2 = a Da bi dokazali to lastnost, je treba podrobno preučiti več enakosti za a ≥ 0 in pri a< 0 .

Očitno za a ≥ 0 velja enakost a 2 = a. pri a< 0 bo veljala enakost a 2 = - a. Pravzaprav v tem primeru − a > 0 in (− a) 2 = a 2 . Sklepamo lahko, da je a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 2

5 2 = 5 = 5 in - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Dokazana lastnost bo pomagala utemeljiti a 2 m = a m , kjer je a- resnično, in m –naravno število. Dejansko nam lastnost potenciranja omogoča zamenjavo stopnje a 2 m izražanje (zjutraj) 2, potem je a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Primer 3

3 8 = 3 4 = 3 4 in (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Lastnosti n-tega korena

Najprej morate upoštevati glavne lastnosti korenin n-te stopnje:

1. Lastnost produkta števil a in b, ki sta pozitivni ali enaki nič, lahko izrazimo kot enakost a b n = a n b n , ta lastnost velja za produkt kštevilke a 1 , a 2 , … , a k kot a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. od delno število ima lastnost a b n = a n b n , kjer a je vsako realno število, ki je pozitivno ali enako nič, in b je pozitivno realno število;
3. Za katero koli a in sode številke n = 2 m a 2 m 2 m = a velja in za liho n = 2 m − 1 izpolnjena je enakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Lastnost izločanja iz a m n = a n m , kjer je a- poljubno število, pozitivno ali enako nič, n in m so naravna števila, lahko to lastnost predstavimo tudi kot . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Za vsako nenegativno a in poljubno n in m, ki so naravne, lahko definiramo tudi pošteno enakost a m n · m = a n ;
6. lastnina stopnje n iz moči števila a, ki je pozitiven ali enak nič, v naravi m, definiran z enakostjo a m n = a n m ;
7. Primerjalna lastnost, ki ima enake eksponente: za poljubna pozitivna števila a in b tako da a< b , neenakost a n< b n ;
8. Lastnost primerjalnikov, ki imajo pod korenom enaka števila: če m in n- naravna števila, ki m > n, nato pri 0 < a < 1 velja neenakost a m > a n, in za a > 1 a m< a n .

Zgornje enačbe so veljavne, če sta dela pred in za znakom enačaja obrnjena. Uporabljajo se lahko tudi v tej obliki. To se pogosto uporablja med poenostavljanjem ali preoblikovanjem izrazov.

Dokaz zgornjih lastnosti korena temelji na definiciji, lastnostih stopnje in definiciji modula števila. Te lastnosti je treba dokazati. Ampak vse je v redu.

1. Najprej bomo dokazali lastnosti korena n-te stopnje iz produkta a · b n = a n · b n . Za a in b, ki so pozitivno ali nič , tudi vrednost a n · b n je pozitivna oziroma enaka nič, saj je posledica množenja nenegativnih števil. Lastnost naravnega potenčnega produkta nam omogoča, da zapišemo enakost a n · b n n = a n n · b n n. Po definiciji korena n stopnje a n n = a in b n n = b , torej a n · b n n = a · b . Nastala enakost je natanko tisto, kar je bilo treba dokazati.

Ta lastnost je dokazana podobno za izdelek k faktorji: za nenegativna števila a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Tukaj so primeri uporabe korenske lastnosti n potenca iz produkta: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 in 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Dokažimo lastnost korena količnika a b n = a n b n . pri a ≥ 0 in b > 0 je izpolnjen pogoj a n b n ≥ 0 in a n b n n = a n n b n n = a b .

Pokažimo primere:

Primer 4

8 27 3 = 8 3 27 3 in 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3 : 2 3 10 .

1. Za naslednji korak je potrebno dokazati lastnosti n-te stopnje od števila do stopnje n. To predstavimo kot enakost a 2 m 2 m = a in a 2 m - 1 2 m - 1 = a za poljubno realno a in naravno m. pri a ≥ 0 dobimo a = a in a 2 m = a 2 m , kar dokazuje enakost a 2 m 2 m = a , pri čemer je enakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a očitna. pri a< 0 dobimo a = - a in a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Zadnja transformacija števila velja glede na lastnost stopnje. To dokazuje enakost a 2 m 2 m \u003d a in a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a bo resnična, saj se - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m šteje za liho stopnja - 1 za poljubno število c, pozitivna ali enaka nič.

Da bi utrdili prejete informacije, razmislite o nekaj primerih uporabe lastnosti:

Primer 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 in (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Dokažimo naslednjo enakost a m n = a n · m. Če želite to narediti, morate spremeniti številke pred znakom enačaja in za njim na mestih a n · m = a m n . To bo pokazalo pravilen vnos. Za a , kar je pozitivno ali enako nič , iz oblike a m n je pozitivno število ali enako nič. Obrnemo se na lastnost dviga potence na potenco in definicijo. Z njihovo pomočjo lahko transformiramo enačbe v obliki a m n n · m = a m n n m = a m m = a . To dokazuje obravnavano lastnost korena iz korena.

Druge lastnosti dokazujemo podobno. Res,. . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Na primer, 7 3 5 = 7 5 3 in 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Dokažimo naslednjo lastnost a m n · m = a n . Da bi to naredili, je treba pokazati, da je n število, ki je pozitivno ali enako nič. Pri povišanju na potenco n m je a m. Če število a je torej pozitivna ali nič n stopnje med a je pozitivno število ali enako nič. Še več, a n · m n = a n n m , kar je bilo treba dokazati.

Da bi utrdili pridobljeno znanje, razmislite o nekaj primerih.

1. Dokažimo naslednjo lastnost - lastnost korena potence oblike a m n = a n m . Očitno je, da pri a ≥ 0 stopnja a n m je nenegativno število. Še več, njo n-ta stopnja je enaka a m, dejansko je a n m n = a n m · n = a n n m = a m . To dokazuje obravnavano lastnost diplome.

Na primer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. To moramo dokazati za katera koli pozitivna števila a in b a< b . Upoštevajte neenakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Zato je n< b n при a< b .

Na primer, damo 12 4< 15 2 3 4 .

1. Upoštevajte korensko lastnost n- stopnja. Najprej razmislite o prvem delu neenakosti. pri m > n in 0 < a < 1 res a m > a n. Recimo, da je a m ≤ a n. Lastnosti bodo poenostavile izraz na a n m · n ≤ a m m · n. Tedaj je glede na lastnosti stopnje z naravnim eksponentom izpolnjena neenakost a n m n m n ≤ a m m n m n, tj. a n ≤ a m. Vrednost, dobljena pri m > n in 0 < a < 1 ne ustreza zgornjim lastnostim.

Na enak način se lahko to dokaže m > n in a > 1 pogoj a m< a n .

Če želite popraviti zgornje lastnosti, razmislite o nekaj konkretni primeri. Razmislite o neenakosti z uporabo določenih števil.

Primer 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Video lekcija 2: Korenske lastnosti stopnje n > 1

Predavanje: Koren stopnje n > 1 in njegove lastnosti

Root

Recimo, da imate enačbo, kot je:

Rešitev te enačbe bo x 1 \u003d 2 in x 2 \u003d (-2). Obe rešitvi sta primerni kot odgovor, saj števila z enakimi moduli, če jih dvignemo na sodo potenco, dajo enak rezultat.

To je bil preprost primer, kaj pa lahko naredimo, če npr.

Poskusimo grafično prikazati funkcijo y=x 2 . Njegov graf je parabola:

Na grafu morate najti točke, ki ustrezajo vrednosti y \u003d 3. Te točke so:

To pomeni, da te vrednosti ni mogoče imenovati celo število, lahko pa jo predstavimo kot kvadratni koren.

Vsak koren je iracionalno število. Iracionalna števila vključujejo korene, neperiodične neskončne ulomke.

Kvadratni koren je nenegativno število "a", katerega radikalni izraz je enak danemu številu "a" na kvadrat.

na primer

To pomeni, da bomo kot rezultat dobili samo pozitivno vrednost. Vendar kot rešitev kvadratna enačba prijazen

Rešitev bo x 1 = 4, x 2 = (-4).

Lastnosti kvadratnega korena

1. Ne glede na vrednost x je ta izraz v vsakem primeru resničen:

2. Primerjava števil, ki vsebujejo kvadratni koren. Za primerjavo teh števil je potrebno pod znak korena vnesti eno in drugo številko. To število bo večje, čigar radikalnost bo večja.

Pod znak korena vpišemo številko 2

Sedaj postavimo številko 4 pod znak korena. Kot rezultat tega dobimo

In šele zdaj lahko dva nastala izraza primerjamo:

3. Odstranitev množitelja izpod korena.

Če je radikalni izraz mogoče razstaviti na dva faktorja, od katerih je mogoče enega vzeti iz podznaka korena, potem je treba uporabiti to pravilo.

4. Temu je nasprotna lastnost - uvedba množitelja pod koren. To lastnost smo očitno uporabili v drugi lastnosti.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določena oseba ali povezanost z njim.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih namenov javnega interesa.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.

Varstvo osebnih podatkov

Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.

Podane so glavne lastnosti potenčne funkcije, vključno s formulami in lastnostmi korenov. Predstavljeni so odvod, integral, razširjanje v potenčne vrste in predstavitev s kompleksnimi števili potenčne funkcije.

Opredelitev

Opredelitev
Potenčna funkcija z eksponentom p je funkcija f (x) = xp, katere vrednost v točki x je enaka vrednosti eksponentne funkcije z osnovo x v točki p .
Poleg tega f (0) = 0 p = 0 za p > 0 .

Za naravne vrednosti eksponenta je potenčna funkcija produkt n števil, ki so enaka x:
.
Definiran je za vse realne.

Za pozitivne racionalne vrednosti eksponenta je funkcija moči produkt n korenin stopnje m iz števila x:
.
Za liho m je definirana za vse realne x. Za sodo m je potenčna funkcija definirana za nenegativno.

Za negativno je funkcija moči definirana s formulo:
.
Zato v točki ni definiran.

Za iracionalne vrednosti eksponenta p je eksponentna funkcija določena s formulo:
,
kjer je a poljubno pozitivno število, ki ni enako ena: .
Za , je definiran za .
Za je potenčna funkcija definirana za .

Kontinuiteta. Potenčna funkcija je zvezna na svoji definicijski domeni.

Lastnosti in formule potenčne funkcije za x ≥ 0

Tukaj upoštevamo lastnosti potenčne funkcije za nenegativne vrednosti argumenta x. Kot je navedeno zgoraj, je za nekatere vrednosti eksponenta p eksponentna funkcija definirana tudi za negativne vrednosti x. V tem primeru lahko njegove lastnosti pridobimo iz lastnosti na , z uporabo sode ali lihe paritete. Ti primeri so podrobno obravnavani in prikazani na strani "".

Potenčna funkcija, y = x p, z eksponentom p ima naslednje lastnosti:
(1.1) definiran in neprekinjen na nizu
pri ,
ob ;
(1.2) ima mnogo pomenov
pri ,
ob ;
(1.3) striktno narašča pri ,
striktno pada pri ;
(1.4) ob ;
ob ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dokaz o lastnostih je podan na strani Power Function (Proof of Continuity and Properties).

Korenine - definicija, formule, lastnosti

Opredelitev
Koren x na potenco n je število, katerega dvig na potenco n da x:
.
Tukaj je n = 2, 3, 4, ... je naravno število večje od ena.

Lahko tudi rečete, da je koren števila x stopnje n koren (to je rešitev) enačbe
.
Upoštevajte, da je funkcija inverzna funkciji .

Kvadratni koren iz x je koren stopnje 2: .

Kubični koren iz x je koren stopnje 3: .

Tudi diploma

Za sode potence n = 2 m, je koren definiran za x ≥ 0 . Pogosto uporabljena formula velja za pozitivni in negativni x:
.
Za kvadratni koren:
.

Pri tem je pomemben vrstni red, v katerem se izvajajo operacije - to pomeni, da se najprej izvede kvadriranje, kar povzroči nenegativno število, nato pa se iz njega izlušči koren (iz nenegativnega števila lahko izluščite kvadratni koren ). Če bi spremenili vrstni red: , potem bi bil za negativni x koren nedefiniran, s tem pa tudi celoten izraz nedefiniran.

neparna stopnja

Pri lihih potencah je koren definiran za vse x:
;
.

Lastnosti in formule korenin

Koren x je potenčna funkcija:
.
Za x ≥ 0 veljajo naslednje formule:
;
;
, ;
.

Te formule je mogoče uporabiti tudi za negativne vrednosti spremenljivk. Zagotoviti je treba le, da radikalni izraz enakomernih moči ni negativen.

Zasebne vrednote

Koren 0 je 0: .
Koren iz 1 je 1: .
Kvadratni koren iz 0 je 0: .
Kvadratni koren iz 1 je 1: .

Primer. Koren iz korenin

Razmislite o primeru kvadratnega korena korenin:
.
Pretvorite notranji kvadratni koren z zgornjimi formulami:
.
Zdaj preoblikujemo prvotni koren:
.
Torej,
.

y = x p za različne vrednosti eksponenta p .

Tukaj so grafi funkcije za nenegativne vrednosti argumenta x. Grafi potenčne funkcije, definirane za negativne vrednosti x, so podani na strani "Potenčna funkcija, njene lastnosti in grafi"

Inverzna funkcija

Inverzna potenčna funkcija z eksponentom p je potenčna funkcija z eksponentom 1/p.

Če, potem .

Odvod potenčne funkcije

Izpeljanka n-tega reda:
;

Izpeljava formul >>>

Integral potenčne funkcije

P≠- 1 ;
.

Razširitev potenčnega niza

ob - 1 < x < 1 pride do naslednje razgradnje:

Izrazi v kompleksnih številih

Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke z:
f (z) = z t.
Kompleksno spremenljivko z izrazimo z modulom r in argumentom φ (r = |z| ):
z = r e i φ.
Kompleksno število t predstavimo kot realni in imaginarni del:
t = p + i q.
Imamo:

Nadalje upoštevamo, da argument φ ni enolično definiran:
,

Razmislite o primeru, ko je q = 0 , to pomeni, da je eksponent realno število, t = p. Potem
.

Če je p celo število, potem je tudi kp celo število. Potem zaradi periodičnosti trigonometričnih funkcij:
.
To je eksponentna funkcija s celim eksponentom ima za dani z samo eno vrednost in je zato enovrednost.

Če je p iracionalen, potem produkti kp ne dajejo celega števila za noben k. Ker k teče skozi neskončno vrsto vrednosti k = 0, 1, 2, 3, ..., potem ima funkcija z p neskončno veliko vrednosti. Kadarkoli se argument z poveča 2 π(en obrat), preidemo na novo vejo funkcije.

Če je p racionalen, ga lahko predstavimo kot:
, Kje m,n- cela, ne vsebuje skupni delilniki. Potem
.
Prvih n vrednosti za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, daj n različne pomene kp:
.
Vendar pa naslednje vrednosti dajejo vrednosti, ki se od prejšnjih razlikujejo za celo število. Na primer, za k = k 0+n imamo:
.
Trigonometrične funkcije, katerih argumenti se razlikujejo za večkratnike 2 pi, imeti enake vrednosti. Zato z nadaljnjim povečanjem k dobimo enake vrednosti z p kot za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Tako je eksponentna funkcija z racionalnim eksponentom večvrednost in ima n vrednosti (veje). Kadarkoli se argument z poveča 2 pi(en obrat), preidemo na novo vejo funkcije. Po n takšnih zavojih se vrnemo na prvo vejo, s katere se je začelo odštevanje.

Zlasti ima koren stopnje n n vrednosti. Kot primer razmislite o n-tem korenu realnega pozitivnega števila z = x. V tem primeru φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Torej, za kvadratni koren je n = 2 ,
.
Za celo k, (- 1) k = 1. Za liho k, (- 1) k = - 1.
To pomeni, da ima kvadratni koren dva pomena: + in -.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik iz matematike za inženirje in študente visokošolskih ustanov, Lan, 2009.

Lekcija in predstavitev na temo: "Lastnosti korena n-te stopnje. Izreki"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vsa gradiva so preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10-11 "Logaritmi"

Lastnosti korena n-te stopnje. Izreki

Fantje, nadaljujemo s preučevanjem korenin n-te stopnje realnega števila. Kot skoraj vsi matematični predmeti imajo tudi korenine n-te stopnje nekatere lastnosti, danes jih bomo preučevali.
Vse lastnosti, ki jih obravnavamo, so oblikovane in dokazane samo za nenegativne vrednosti spremenljivk, ki jih vsebuje znak korena.
V primeru lihega korenskega eksponenta veljajo tudi za negativne spremenljivke.

Izrek 1. N-ti koren produkta dveh nenegativnih števil je enak produktu n-tih korenin teh števil: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $.

Dokažimo izrek.
Dokaz. Fantje, da dokažemo izrek, uvedimo nove spremenljivke, označimo:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Dokazati moramo, da je $x=y*z$.
Upoštevajte, da veljajo tudi naslednje identitete:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Potem velja tudi naslednja identiteta: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Stopinji dveh nenegativnih števil in njunih eksponentov sta enaki, potem sta osnovici samih stopenj enaki. Torej $x=y*z$, kar je bilo treba dokazati.

2. izrek. Če je $a≥0$, $b>0$ in je n naravno število, večje od 1, potem velja naslednja enakost: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

To pomeni, da je n-ti koren kvocienta enak kvocientu n-tih korenin.

Dokaz.
Da bi to dokazali, uporabimo poenostavljeno shemo v obliki tabele:

Primeri izračuna n-tega korena

Primer.
Izračunajte: $\sqrt(16*81*256)$.
rešitev. Uporabimo izrek 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Primer.
Izračunajte: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
rešitev. Predstavimo radikalni izraz kot nepravi ulomek: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Uporabimo izrek 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Primer.
Izračunajte:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
rešitev:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Izrek 3. Če so $a≥0$, k in n naravna števila, večja od 1, potem velja enakost: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Da povzdignemo korenino do naravne moči, je dovolj, da dvignemo radikalni izraz do te moči.

Dokaz.
razmislimo poseben primer za $k=3$. Uporabimo teorem 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Enako je mogoče dokazati za kateri koli drug primer. Fantje, dokažite sami za primer, ko je $k=4$ in $k=6$.

Izrek 4. Če so $a≥0$ b n,k naravna števila, večja od 1, potem velja enakost: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Če želite izluščiti koren iz korena, je dovolj, da pomnožite eksponente korenin.

Dokaz.
Ponovno na kratko dokažimo s tabelo. Da bi to dokazali, uporabimo poenostavljeno shemo v obliki tabele:

Primer.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Izrek 5. Če indeksa korena in korenskega izraza pomnožimo z istim naravnim številom, se vrednost korena ne spremeni: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Dokaz.
Princip dokaza našega izreka je enak kot v drugih primerih. Uvedimo nove spremenljivke:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (po definiciji).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (po definiciji).
Zadnjo enakost dvignemo na potenco p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
dobil:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
To je $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, kar je bilo treba dokazati.

Primeri:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (deljeno s 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (deljeno z 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (pomnoženo s 3).

Primer.
Izvedite dejanja: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
rešitev.
Korenski eksponenti so različne številke, zato ne moremo uporabiti izreka 1, vendar lahko z uporabo izreka 5 dobimo enake eksponente.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (pomnoženo s 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (pomnoženo s 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Naloge za samostojno reševanje

1. Izračunajte: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Izračunajte: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Izračunaj:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Poenostavite:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Izvedite dejanja: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.