Največja in najmanjša vrednost funkcije

Največja vrednost funkcije je največja, najmanjša vrednost je najmanjša od vseh njenih vrednosti.

Funkcija ima lahko le eno največjo in samo eno najmanjšo vrednost ali pa je sploh nima. Iskanje največjih in najmanjših vrednosti zveznih funkcij temelji na naslednjih lastnostih teh funkcij:

1) Če je v nekem intervalu (končnem ali neskončnem) funkcija y=f(x) zvezna in ima samo en ekstrem in če je ta maksimum (minimum), potem bo to največja (najmanjša) vrednost funkcije v tem intervalu.

2) Če je funkcija f(x) zvezna na nekem intervalu, potem ima nujno največji in najmanjša vrednost. Te vrednosti so dosežene bodisi na ekstremnih točkah, ki ležijo znotraj segmenta, bodisi na mejah tega segmenta.

Za iskanje največjih in najmanjših vrednosti na segmentu je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:

1. Poiščite izpeljanko.

2. Poiščite kritične točke funkcije, kjer =0 ali ne obstaja.

3. Poiščite vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih odseka ter med njimi izberite največji f max in najmanjši f max.

Pri reševanju uporabnih problemov, zlasti optimizacijskih, so pomembni problemi iskanja največje in najmanjše vrednosti (globalni maksimum in globalni minimum) funkcije na intervalu X. Za rešitev takšnih problemov je treba na podlagi pogoja , izberite neodvisno spremenljivko in izrazite preučevano vrednost skozi to spremenljivko. Nato poiščite želeno največjo ali najmanjšo vrednost dobljene funkcije. V tem primeru je iz pogojev problema določen tudi interval spreminjanja neodvisne spremenljivke, ki je lahko končen ali neskončen.

Primer. Rezervoar, ki ima obliko pravokotnega paralelepipeda z odprtim vrhom in kvadratnim dnom, mora biti v notranjosti pocinkan s kositrom. Kakšne naj bodo mere rezervoarja, če je njegova prostornina 108 litrov? vode, tako da je strošek konzerviranja minimalen?

rešitev. Stroški prevleke rezervoarja s kositrom bodo minimalni, če je za dano kapaciteto njegova površina minimalna. Označimo z a dm stranico baze, b dm višino rezervoarja. Potem je površina S njegove površine enaka

IN

Nastalo razmerje vzpostavlja razmerje med površino rezervoarja S (funkcija) in stranico osnove a (argument). Preglejmo funkcijo S za ekstrem. Poiščemo prvi odvod, ga enačimo z nič in rešimo dobljeno enačbo:

Zato je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Primer. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na intervalu.

rešitev: Dana funkcija je zvezna vzdolž celotne številske premice. Odvod funkcije

Izpeljanka za in za . Izračunajmo vrednosti funkcij na teh točkah:

.

Vrednosti funkcije na koncih danega intervala so enake. Zato je največja vrednost funkcije enaka pri , najmanjša vrednost funkcije pa je enaka pri .

Vprašanja za samotestiranje

1. Oblikujte L'Hopitalovo pravilo za razkrivanje negotovosti oblike. Naštejte različne vrste negotovosti, za razrešitev katerih je mogoče uporabiti L'Hopitalovo pravilo.

2. Formulirajte znake naraščajoče in padajoče funkcije.

3. Določite maksimum in minimum funkcije.

4. Formulirajte nujen pogoj za obstoj ekstrema.

5. Katere vrednosti argumenta (katere točke) se imenujejo kritične? Kako najti te točke?

6. Kateri so zadostni znaki za obstoj ekstrema funkcije? Opišite shemo za preučevanje funkcije na ekstremu z uporabo prvega odvoda.

7. Opišite shemo za preučevanje funkcije v ekstremumu z uporabo drugega odvoda.

8. Določite konveksnost in konkavnost krivulje.

9. Kaj imenujemo prevojna točka grafa funkcije? Navedite način iskanja teh točk.

10. Formulirajte potrebne in zadostne znake konveksnosti in konkavnosti krivulje na danem segmentu.

11. Definirajte asimptoto krivulje. Kako najti navpično, vodoravno in poševno asimptoto grafa funkcije?

12. Oris splošna shema raziskovanje funkcije in izdelava njenega grafa.

13. Oblikujte pravilo za iskanje največjih in najmanjših vrednosti funkcije na danem intervalu.

S praktičnega vidika je največje zanimanje uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja moramo reševati probleme optimizacije nekaterih parametrov. In to so naloge iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na določenem intervalu X, ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene definicije. Sam interval X je lahko segment, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo eksplicitno govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti dano funkcijo ena spremenljivka y=f(x) .

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Oglejmo si na kratko glavne definicije.

Največja vrednost funkcije to za kogarkoli neenakost je res.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost to za kogarkoli neenakost je res.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejemljiva vrednost na obravnavanem intervalu na abscisi.

Stacionarne točke– to so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije postane nič.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija na neki točki ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame svoje največje in najmanjše vrednosti v točkah, kjer prvi odvod te funkcije ne obstaja in je funkcija sama definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene definicije funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Za jasnost bomo podali grafično ilustracijo. Poglejte slike in marsikaj vam bo bolj jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6;6].

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenimo segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki, katere abscisa ustreza desna meja interval.

Na sliki 3 so mejne točke segmenta [-3;2] abscise točk, ki ustrezata največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem intervalu

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah, ki se nahajajo znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, predstavljenem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y) v stacionarni točki z absciso x=1, najmanjšo vrednost (min y) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

V intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko se x=2 približuje z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (ravna črta x=2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3. Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišimo algoritem, ki nam omogoča iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

1. Poiščemo domeno definicije funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
2. Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno so takšne točke v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v močnostne funkcije z ulomkom-racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
3. Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo znotraj segmenta. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korenine. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednjo točko.
4. Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja), kot tudi na x=a in x=b.
5. Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo zahtevana največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem za reševanje primera za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4;-1] .

rešitev.

Domena definicije funkcije je celotna množica realnih števil, z izjemo ničle, tj. Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščite odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1].

Iz enačbe določimo stacionarne točke. Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1, x=2 in x=4:

Zato je največja vrednost funkcije se doseže pri x=1 in najmanjši vrednosti – pri x=2.

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije le na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):

Včasih so v problemih B15 "slabe" funkcije, za katere je težko najti izpeljanko. Prej se je to dogajalo le med vzorčnimi testi, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da jih pri pripravi na pravi enotni državni izpit ni več mogoče prezreti.

V tem primeru delujejo druge tehnike, od katerih je ena monotono.

Za funkcijo f (x) pravimo, da monotono narašča na odseku, če za kateri koli točki x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Za funkcijo f (x) pravimo, da je monotono padajoča na odseku, če za katero koli točko x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Z drugimi besedami, za naraščajočo funkcijo, večji kot je x, večji je f(x). Za padajočo funkcijo velja nasprotno: večji ko je x, tem manj f(x).

Na primer, logaritem monotono narašča, če je osnova a > 1, in monotono pada, če je 0< a < 1. Не забывайте про область sprejemljive vrednosti logaritem: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetični kvadratni (in ne samo kvadratni) koren monotono narašča na celotnem področju definicije:

Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: narašča pri a > 1 in pada pri 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentna funkcija definirano za vsa števila, ne samo za x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Končno stopinje z negativnim eksponentom. Lahko jih zapišete kot ulomek. Imajo točko preloma, kjer se prekine monotonija.

Vseh teh funkcij ni nikoli mogoče najti v čista oblika. Seštevajo polinome, ulomke in druge neumnosti, kar oteži izračun odvoda. Poglejmo, kaj se zgodi v tem primeru.

Koordinate vrha parabole

Najpogosteje se argument funkcije nadomesti z kvadratni trinom oblike y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola, ki nas zanima:

1. Veje parabole lahko gredo navzgor (za a > 0) ali navzdol (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Oglišče parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije, v kateri ta funkcija doseže minimum (za a > 0) ali maksimum (a< 0) значение.

Največje zanimanje je vrh parabole, katere abscisa se izračuna po formuli:

Torej, našli smo ekstremno točko kvadratne funkcije. Če pa je izvorna funkcija monotona, bo zanjo tudi točka x 0 točka ekstrema. Zato oblikujmo ključno pravilo:

Ekstremne točke kvadratnega trinoma in kompleksna funkcija, v katero je vključen, sovpadajo. Zato lahko iščete x 0 za kvadratni trinom in pozabite na funkcijo.

Iz zgornjega razmišljanja ostaja nejasno, katero točko dobimo: največjo ali minimalno. Vendar so naloge posebej oblikovane tako, da to ni pomembno. Presodite sami:

1. V izjavi o problemu ni segmenta. Zato ni potrebe po izračunavanju f(a) in f(b). Upoštevati je treba le ekstremne točke;
2. Vendar obstaja samo ena taka točka - to je vrh parabole x 0, katere koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez izpeljank.

Tako je reševanje problema močno poenostavljeno in se spušča v samo dva koraka:

1. Zapišite enačbo parabole y = ax 2 + bx + c in poiščite njeno oglišče po formuli: x 0 = −b /2a ;
2. Poiščite vrednost prvotne funkcije na tej točki: f (x 0). Če ne bo dodatnih pogojev, bo to odgovor.

Na prvi pogled se lahko ta algoritem in njegova utemeljitev zdita zapletena. Namenoma ne objavljam "golega" diagrama rešitve, saj je nepremišljena uporaba takih pravil polna napak.

Poglejmo resnične težave iz poskusni enotni državni izpit v matematiki - tu se ta tehnika najpogosteje pojavlja. Hkrati pa bomo poskrbeli, da bodo na ta način marsikatera težava z B15 postala skoraj ustna.

Pod korenino stoji kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Ker sta veji parabole usmerjeni navzgor, dobi v točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 najmanjšo vrednost.

Koren monotono narašča, kar pomeni, da je x 0 najmanjša točka celotne funkcije. Imamo:

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola z vejami navzgor, ker a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Torej v točki x 0 = −1 kvadratna funkcija prevzame svojo najmanjšo vrednost. Toda funkcija y = log 2 x je monotona, torej:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent vsebuje kvadratno funkcijo y = 1 − 4x − x 2 . Zapišimo ga v normalni obliki: y = −x 2 − 4x + 1.

Očitno je graf te funkcije parabola, razvejana navzdol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Prvotna funkcija je eksponentna, je monotona, zato bo največja vrednost v najdeni točki x 0 = −2:

Pozoren bralec bo verjetno opazil, da nismo zapisali obsega dovoljenih vrednosti korena in logaritma. Vendar to ni bilo potrebno: znotraj so funkcije, katerih vrednosti so vedno pozitivne.

Posledice iz domene funkcije

Včasih preprosto iskanje vrha parabole ni dovolj za rešitev problema B15. Vrednost, ki jo iščete, je lahko lažna na koncu segmenta in sploh ne na skrajni točki. Če težava sploh ne kaže na segment, si oglejte razpon sprejemljivih vrednosti izvirno funkcijo. namreč:

Ponovno upoštevajte: ničla je lahko pod korenom, nikoli pa v logaritmu ali imenovalcu ulomka. Poglejmo, kako to deluje, s konkretnimi primeri:

Naloga. Poiščite največjo vrednost funkcije:

Pod korenom je spet kvadratna funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Njen graf je parabola, vendar se veje navzdol, ker je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadratni koren negativnega števila ne obstaja.

Zapišemo obseg dovoljenih vrednosti (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Zdaj pa poiščimo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Točka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - in to je dobro. Zdaj izračunamo vrednost funkcije v točki x 0, pa tudi na koncih ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Torej, dobili smo številki 2 in 0. Prosimo, da poiščemo največjo - to je številka 2.

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Znotraj logaritma je kvadratna funkcija y = 6x − x 2 − 5. To je parabola z vejami navzdol, vendar v logaritmu ne more biti negativna števila, zato izpišemo ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Upoštevajte: neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo ODZ. To razlikuje logaritem od korena, kjer nam konci odseka precej ustrezajo.

Iščemo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Oglišče parabole se prilega po ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ker pa nas konci odseka ne zanimajo, izračunamo vrednost funkcije samo v točki x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Majhna in lepa preprosta naloga iz kategorije tistih, ki služijo kot reševalna palica za lebdečega študenta. V naravi je sredina julija, zato je čas, da se umirite s prenosnikom na plaži. Že zgodaj zjutraj je začel igrati sončni žarek teorije, da bi se kmalu posvetila praksi, ki kljub deklarirani lahkotnosti vsebuje drobce stekla v pesku. V zvezi s tem priporočam, da vestno preučite nekaj primerov te strani. Za reševanje praktičnih problemov morate biti sposobni najti izpeljanke in razumeti snov članka Intervali monotonosti in ekstremi funkcije.

Najprej na kratko o glavnem. V lekciji o kontinuiteta delovanja Podal sem definicijo kontinuitete v točki in kontinuitete v intervalu. Na podoben način je formulirano zgledno obnašanje funkcije na segmentu. Funkcija je zvezna na intervalu, če:

1) je zvezna na intervalu ;
2) zvezna v točki na desni in v bistvu levo.

V drugem odstavku smo govorili o t.i enostranska kontinuiteta funkcije na točki. Obstaja več pristopov za njegovo opredelitev, vendar se bom ostal pri vrstici, ki sem jo začel prej:

Funkcija je v točki zvezna na desni, če je definirana v dani točki in njena desna meja sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki: . V točki je neprekinjen levo, če je definiran na dani točki in njegova leva meja enaka vrednosti na tej točki:

Predstavljajte si, da so zelene pike žeblji, na katere je pritrjen čarobni elastični trak:

Mentalno vzemite rdečo črto v roke. Očitno je, da ne glede na to, kako daleč graf raztegnemo gor in dol (vzdolž osi), bo funkcija še vedno ostala omejeno– ograja zgoraj, ograja spodaj, naš izdelek pa se pase v ogradi. torej na intervalu zvezna funkcija je na njem omejena. Med matematično analizo je to na videz preprosto dejstvo navedeno in strogo dokazano. Weierstrassov prvi izrek....Marsikoga moti, da se elementarne trditve v matematiki dolgočasno utemeljujejo, a to ima pomemben pomen. Recimo, da je neki prebivalec frotirnega srednjega veka potegnil graf v nebo izven meja vidnosti, ta je bil vstavljen. Pred izumom teleskopa omejena funkcija v vesolju sploh ni bila očitna! Res, kako veš, kaj nas čaka za obzorjem? Konec koncev je nekoč veljala, da je Zemlja ravna, tako da danes tudi navadna teleportacija zahteva dokaz =)

Po navedbah Weierstrassov drugi izrek, neprekinjeno na segmentufunkcija doseže svojo natančna zgornja meja in tvoj točen spodnji rob .

Številka se tudi imenuje največjo vrednost funkcije na segmentu in so označeni z , in število je minimalna vrednost funkcije na segmentu označeno.

V našem primeru:

Opomba : v teoriji so posnetki običajni .

Grobo rečeno, največja vrednost je tam, kjer je največ visoka točka grafiki, najmanjša pa je tam, kjer je najnižja točka.

Pomembno! Kot že poudarjeno v članku o ekstremi funkcije, največja vrednost funkcije in najmanjša vrednost funkcije – NI ENAKO, Kaj maksimalna funkcija in minimalna funkcija. Torej je v obravnavanem primeru število najmanjša vrednost funkcije, ne pa najmanjša vrednost.

Mimogrede, kaj se zgodi zunaj segmenta? Ja, tudi poplava nas v kontekstu obravnavanega problema sploh ne zanima. Naloga vključuje samo iskanje dveh številk in to je to!

Poleg tega je rešitev torej povsem analitična ni treba narediti risbe!

Algoritem leži na površini in je razviden iz zgornje slike:

1) Poiščite vrednosti funkcije v kritične točke, ki spadajo v ta segment.

Ujemite še en bonus: tukaj ni potrebe po preverjanju zadostnega pogoja za ekstrem, saj, kot je bilo prikazano, prisotnost minimuma ali maksimuma še ne jamči, kakšna je najmanjša ali največja vrednost. Demonstracijska funkcija doseže maksimum in po volji usode je isto število največja vrednost funkcije na segmentu. Seveda pa se takšno naključje ne zgodi vedno.

Tako je v prvem koraku hitreje in lažje izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo segmentu, ne da bi se obremenjevali, ali so v njih ekstremi ali ne.

2) Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta.

3) Med vrednostmi funkcij, ki jih najdete v 1. in 2. odstavku, izberite najmanjšo in najbolj velika številka, zapišite odgovor.

Usedemo se na obalo modro morje in s petami udarjamo po plitvi vodi:

Primer 1

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu

rešitev:
1) Izračunajmo vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu:

Izračunajmo vrednost funkcije na drugi kritični točki:

2) Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta:

3) Pri eksponentih in logaritmih so bili pridobljeni »krepki« rezultati, kar bistveno oteži njihovo primerjavo. Iz tega razloga se oborožimo s kalkulatorjem ali Excelom in izračunajmo približne vrednosti, pri čemer ne pozabimo, da:

Zdaj je vse jasno.

Odgovori:

Frakcijsko-racionalna instanca za neodvisno rešitev:

Primer 6

Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu

Kaj je ekstrem funkcije in kaj je nujen pogoj za ekstrem?

Ekstrem funkcije je maksimum in minimum funkcije.

Predpogoj Maksimum in minimum (ekstremum) funkcije sta naslednja: če ima funkcija f(x) ekstrem v točki x = a, potem je na tej točki odvod nič ali neskončen ali pa ne obstaja.

Ta pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Odvod v točki x = a lahko gre na nič, v neskončnost ali ne obstaja, ne da bi imela funkcija na tej točki ekstrem.

Kaj je zadosten pogoj za ekstrem funkcije (maksimum ali minimum)?

Prvi pogoj:

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) pozitiven levo od a in negativen desno od a, potem ima v točki x = a funkcija f(x) maksimum

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) negativen levo od a in pozitiven desno od a, potem ima v točki x = a funkcija f(x) najmanj pod pogojem, da je funkcija f(x) tukaj zvezna.

Namesto tega lahko uporabite drugi zadostni pogoj za ekstrem funkcije:

Naj v točki x = a prvi odvod f?(x) izniči; če je drugi odvod f??(a) negativen, potem ima funkcija f(x) maksimum v točki x = a, če je pozitiven, potem ima minimum.

Kaj je kritična točka funkcije in kako jo najti?

To je vrednost argumenta funkcije, pri kateri ima funkcija ekstrem (tj. maksimum ali minimum). Da bi ga našli, potrebujete poišči izpeljanko funkcijo f?(x) in jo enačimo z nič, reši enačbo f? (x) = 0. Korenine te enačbe, kot tudi tiste točke, na katerih derivat te funkcije ne obstaja, so kritične točke, tj. Vrednosti argumenta, pri katerih lahko pride do ekstrema. Z lahkoto jih je mogoče prepoznati z ogledom izpeljani graf: zanimajo nas tiste vrednosti argumenta, pri katerih graf funkcije seka abscisno os (Ox os) in tiste, pri katerih graf trpi diskontinuitete.

Na primer, poiščimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Odvod funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rešite enačbo: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tem primeru je kritična točka x0=-1/3. Funkcija ima to vrednost argumenta ekstrem. Njemu najti, zamenjajte najdeno število v izrazu za funkcijo namesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako določiti maksimum in minimum funkcije, tj. njegove največje in najmanjše vrednosti?

Če se predznak odvoda pri prehodu skozi kritično točko x0 spremeni iz "plus" v "minus", potem je x0 največja točka; če se predznak odvoda spremeni iz minusa v plus, potem je x0 najmanjša točka; če se predznak ne spremeni, potem v točki x0 ni niti maksimuma niti minimuma.

Za obravnavani primer:

Vzemite poljubno vrednost argumenta na levi strani kritična točka: x = -1

Pri x = -1 bo vrednost odvoda y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak je "minus").

Sedaj vzamemo poljubno vrednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Pri x = 1 bo vrednost odvoda y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak je "plus").

Kot lahko vidite, je odvod spremenil predznak iz minusa v plus, ko je šel skozi kritično točko. To pomeni, da imamo pri kritični vrednosti x0 točko minimuma.

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu(na odseku) najdemo po istem postopku, le ob upoštevanju dejstva, da morda vse kritične točke ne bodo ležale znotraj podanega intervala. Tiste kritične točke, ki so zunaj intervala, je treba izključiti iz obravnave. Če je znotraj intervala samo ena kritična točka, bo ta imel bodisi maksimum bodisi minimum. V tem primeru za določitev največje in najmanjše vrednosti funkcije upoštevamo tudi vrednosti funkcije na koncu intervala.

Na primer, poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

v intervalih:

Torej je odvod funkcije

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rešimo enačbo 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Kritične točke najdemo na intervalu [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ni vključeno v interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ni vključeno v interval)

Najdemo vrednosti funkcije pri kritičnih vrednostih argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidimo, da je na intervalu [-9; 9] ima funkcija največjo vrednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

in najmanjši - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo eno kritično točko: x = -4,88. Vrednost funkcije pri x = -4,88 je enaka y = 5,398.

Poiščite vrednost funkcije na koncih intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo največjo vrednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanjša vrednost -

y = 1,077 pri x = -3

Kako najti prevojne točke grafa funkcije in določiti konveksno in konkavno stran?

Če želite najti vse prevojne točke premice y = f(x), morate najti drugi odvod, ga enačiti z nič (rešite enačbo) in preizkusiti vse tiste vrednosti x, za katere je drugi odvod nič, neskončno ali ne obstaja. Če pri prehodu skozi eno od teh vrednosti drugi odvod spremeni predznak, potem ima graf funkcije na tej točki pregib. Če se ne spremeni, potem ni ovinka.

Korenine enačbe f? (x) = 0 ter možne točke diskontinuitete funkcije in drugega odvoda razdelijo področje definicije funkcije na več intervalov. Konveksnost na vsakem od njihovih intervalov je določena s predznakom drugega odvoda. Če je drugi odvod v točki preučevanega intervala pozitiven, je premica y = f(x) konkavna navzgor, če je negativna, pa navzdol.

Kako najti ekstreme funkcije dveh spremenljivk?

Če želite najti ekstreme funkcije f(x,y), ki jih je mogoče diferenciirati v domeni njene specifikacije, potrebujete:

1) poiščite kritične točke in za to - rešite sistem enačb

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) za vsako kritično točko P0(a;b) preverite, ali predznak razlike ostaja nespremenjen

za vse točke (x;y), ki so dovolj blizu P0. Če razlika ostane pozitivna, potem imamo v točki P0 minimum, če je negativna, potem imamo maksimum. Če razlika ne obdrži predznaka, potem v točki P0 ni ekstrema.

Ekstremumi funkcije so določeni podobno za več argumenti.