Naloga 1(o izračunu površine ukrivljeni trapez).

V kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu xOy je podana figura (glej sliko), omejena z osjo x, ravnimi črtami x \u003d a, x \u003d b (krivočrtni trapez. Potrebno je izračunati površino \ ukrivljeni trapez.
rešitev. Geometrija nam daje recepte za izračun ploščin mnogokotnikov in nekaterih delov kroga (sektor, segment). Z uporabo geometrijskih premislekov bomo lahko našli le približno vrednost zahtevane površine, argumentirano na naslednji način.

Razdelimo segment [a; b] (osnova krivokotnega trapeza) na n enakih delov; ta razdelitev je izvedljiva s pomočjo točk x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Skozi te točke narišimo črte vzporedne z osjo y. Nato bo dani krivuljasti trapez razdeljen na n delov, na n ozkih stolpcev. Površina celotnega trapeza je enaka vsoti površin stebrov.

Upoštevajte ločeno k-ti stolpec, tj. ukrivljeni trapez, katerega osnova je segment. Zamenjajmo ga s pravokotnikom z enako osnovo in višino, enako f(x k) (glej sliko). Ploščina pravokotnika je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kjer je \(\Delta x_k \) dolžina segmenta; naravno je, da prevedeni izdelek obravnavamo kot približno vrednost površine k-tega stolpca.

Če zdaj storimo enako z vsemi ostalimi stolpci, potem pridemo do naslednjega rezultata: ploščina S danega krivočrtnega trapeza je približno enaka ploščini S n stopničaste figure, sestavljene iz n pravokotnikov (glej sliko):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tukaj zaradi enotnosti zapisa menimo, da a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - dolžina segmenta, \(\Delta x_1 \) - dolžina segmenta itd.; medtem ko, kot smo se dogovorili zgoraj, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Torej, \(S \približno S_n \), in ta približna enakost je bolj natančna, čim večji je n.
Po definiciji se predpostavlja, da je želeno območje krivolinijskega trapeza enako meji zaporedja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Naloga 2(o premikanju točke)
Premika se v ravni črti materialna točka. Odvisnost hitrosti od časa izrazimo s formulo v = v(t). Poiščite premik točke v časovnem intervalu [a; b].
rešitev.Če bi bilo gibanje enakomerno, bi se problem rešil zelo preprosto: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neenakomerno gibanje je treba uporabiti iste ideje, na katerih je temeljila rešitev prejšnjega problema.
1) Časovni interval [a; b] na n enakih delov.
2) Upoštevajte časovni interval in predpostavite, da je bila v tem časovnem intervalu hitrost konstantna, na primer v času t k . Torej predpostavimo, da je v = v(t k).
3) Poiščite približno vrednost premika točke v časovnem intervalu , to približno vrednost bomo označili s s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Poiščite približno vrednost premika s:
\(s \približno S_n \) kjer
\(S_n = s_0 + \pike + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pike + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Zahtevani premik je enak meji zaporedja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Naj povzamemo. Rešitve različnih problemov so bile reducirane na isti matematični model. Številni problemi z različnih področij znanosti in tehnologije vodijo v procesu reševanja do istega modela. Torej to matematični model je treba posebej preučiti.

Pojem določenega integrala

Podajmo matematični opis modela, ki je bil zgrajen v treh obravnavanih problemih za funkcijo y = f(x), ki je zvezna (vendar ne nujno nenegativna, kot je bilo predpostavljeno v obravnavanih problemih) na segmentu [ a; b]:
1) razdelite segment [a; b] na n enakih delov;
2) vsota $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \pike + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Med matematično analizo je bilo dokazano, da ta meja obstaja v primeru zvezne (ali delno zvezne) funkcije. Imenuje se določen integral funkcije y = f(x) po segmentu [a; b] in so označeni takole:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Števili a in b imenujemo meji integracije (spodnja oziroma zgornja).

Vrnimo se k zgoraj obravnavanim nalogam. Definicijo območja, podano v nalogi 1, lahko zdaj prepišemo takole:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tukaj je S območje ukrivljenega trapeza, prikazanega na zgornji sliki. To je tisto geometrijski pomen določenega integrala.

Definicija premika s točke, ki se premika vzdolž premice s hitrostjo v = v(t) v časovnem intervalu od t = a do t = b, podana v problemu 2, se lahko prepiše na naslednji način:

Newton - Leibnizova formula

Za začetek si odgovorimo na vprašanje: kakšno je razmerje med določenim integralom in protiodvodom?

Odgovor je v nalogi 2. Po eni strani je premik s točke, ki se premika vzdolž premice s hitrostjo v = v(t) v časovnem intervalu od t = a do t = b in se izračuna z formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Po drugi strani pa je koordinata gibljive točke antiderivacija za hitrost - označimo jo s(t); zato je premik s izražen s formulo s = s(b) - s(a). Kot rezultat dobimo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kjer je s(t) antiizpeljanka za v(t).

Med matematično analizo je bil dokazan naslednji izrek.
Izrek. Če je funkcija y = f(x) zvezna na odseku [a; b], nato formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kjer je F(x) protiodpeljava za f(x).

Ta formula se običajno imenuje Newton-Leibnizova formula v čast angleškemu fiziku Isaacu Newtonu (1643-1727) in nemški filozof Gottfried Leibniz (1646-1716), ki sta ga prejela neodvisno drug od drugega in skoraj sočasno.

V praksi namesto zapisa F(b) - F(a) uporabljajo zapis \(\levo. F(x)\desno|_a^b \) (včasih se imenuje dvojna zamenjava) in v skladu s tem prepišite Newton-Leibnizovo formulo v tej obliki:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \levo. F(x)\desno|_a^b \)

Pri izračunu določenega integrala najprej najdemo protiodvod in nato izvedemo dvojno zamenjavo.

Na podlagi Newton-Leibnizove formule lahko dobimo dve lastnosti določenega integrala.

Lastnost 1. Integral vsote funkcij je enaka vsoti integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Lastnost 2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Računanje ploščin ravninskih likov z uporabo določenega integrala

Z uporabo integrala lahko izračunate površino ne samo krivuljnih trapezov, ampak tudi ploščatih likov več kot kompleksen tip, kot je prikazano na sliki. Lik P je omejen z ravnimi črtami x = a, x = b in grafi zveznih funkcij y = f(x), y = g(x), na odseku [a; b] velja neenakost \(g(x) \leq f(x) \). Za izračun površine S takšne figure bomo postopali na naslednji način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\meje_a^b f(x) dx - \int\meje_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Torej, območje S figure, omejeno z ravnimi črtami x = a, x = b in grafi funkcij y = f(x), y = g(x), neprekinjeno na segmentu in tako, da za vsak x iz segment [a; b] je neenakost \(g(x) \leq f(x) \) izpolnjena, se izračuna po formuli
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela nedoločenih integralov (antiodvodov) nekaterih funkcij

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Začnemo obravnavati dejanski postopek izračuna dvojnega integrala in se seznanimo z njegovim geometrijskim pomenom.

Dvojni integral numerično enako površini ravninski lik (regije integracije). To je najenostavnejša oblika dvojnega integrala, ko je funkcija dveh spremenljivk enaka ena: .

Najprej razmislimo o problemu na splošno. Zdaj boste presenečeni, kako preprosto je v resnici! Izračunajmo površino ravne figure, omejene s črtami. Za določnost predpostavimo, da je na intervalu . Površina te figure je številčno enaka:

Upodobimo območje na risbi:

Izberimo prvi način za obhod območja:

Torej:

In takoj pomemben tehnični trik: iterirane integrale je mogoče obravnavati ločeno. Najprej notranji integral, nato zunanji integral. Ta metoda Toplo priporočam začetnikom v temi čajniki.

1) Izračunajte notranji integral, pri čemer integracijo izvedete po spremenljivki "y":

Nedoločeni integral je tukaj najenostavnejši, nato pa se uporabi banalna Newton-Leibnizova formula, s to razliko, da meje integracije niso števila, ampak funkcije. Prvič zamenjan z "y" ( antiderivativna funkcija) zgornja meja, nato spodnja meja

2) Rezultat, dobljen v prvem odstavku, je treba nadomestiti v zunanji integral:

Strnjenejši zapis za celotno rešitev izgleda takole:

Nastala formula - točno tako delovna formula za izračun ploščine ploščate figure z uporabo "navadnega" določenega integrala! Glej lekcijo Izračunavanje ploščine z uporabo določenega integrala, tam je na vsakem koraku!

to je problem izračuna ploščine z uporabo dvojnega integrala malo drugačen iz problema iskanja ploščine z uporabo določenega integrala! Pravzaprav sta eno in isto!

V skladu s tem ne bi smelo biti nobenih težav! Ne bom obravnaval veliko primerov, saj ste dejansko večkrat naleteli na to težavo.

Primer 9

rešitev: Upodobimo območje na risbi:

Izberimo naslednji vrstni red prečkanja regije:

Tukaj in spodaj se ne bom spuščal v to, kako prečkati območje, ker je bil prvi odstavek zelo podroben.

Torej:

Kot sem že omenil, je za začetnike bolje, da iterirane integrale izračunajo ločeno, jaz se bom držal iste metode:

1) Najprej z uporabo Newton-Leibnizove formule obravnavamo notranji integral:

2) Rezultat, dobljen v prvem koraku, nadomestimo v zunanji integral:

Točka 2 je dejansko iskanje ploščine ploščate figure z uporabo določenega integrala.

odgovor:

Tukaj je tako neumna in naivna naloga.

Zanimiv primer neodvisne rešitve:

Primer 10

Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, ki jo omejujejo premice , ,

Vzorec Vzorec dokončanje rešitve ob koncu lekcije.

V primerih 9-10 je veliko bolj donosno uporabiti prvi način za obhod območja, radovedni bralci lahko mimogrede spremenijo vrstni red obvoza in izračunajo območja na drugi način. Če se ne zmotite, potem seveda dobite enake vrednosti površine.

Toda v nekaterih primerih je drugi način obhoda območja učinkovitejši in za zaključek tečaja za mlade piflarje si poglejmo še nekaj primerov na to temo:

Primer 11

Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, omejene s črtami.

rešitev: veselimo se dveh parabol z vetrcem, ki ležita na svoji strani. Ni se treba smejati, podobne stvari v več integralih pogosto srečamo.

Kako je najlažje narediti risbo?

Predstavimo parabolo kot dve funkciji:
- zgornja veja in - spodnja veja.

Podobno si predstavljajte parabolo kot zgornjo in spodnjo veje.

Nato sledi risanje od točke do točke, kar ima za posledico tako bizarno sliko:

Površina slike se izračuna z uporabo dvojnega integrala po formuli:

Kaj se zgodi, če izberemo prvi način za obhod območja? Najprej bo treba to območje razdeliti na dva dela. In drugič, opazili bomo to žalostno sliko: . Integrali seveda niso superkompleksne ravni, a ... star matematični pregovor pravi: kdor je prijatelj s koreninami, ne potrebuje pobota.

Zato iz nesporazuma, ki je podan v pogoju, izrazimo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije v tem primeru imajo to prednost, da takoj nastavijo celotno parabolo brez listov, želodov, vej in korenin.

Po drugi metodi bo prečkanje območja naslednje:

Torej:

Kot pravijo, občutite razliko.

1) Ukvarjamo se z notranjim integralom:

Rezultat nadomestimo v zunanji integral:

Integracija preko spremenljivke "y" ne bi smela biti nerodna, če bi obstajala črka "zyu" - bilo bi super integrirati čez njo. Čeprav je kdo prebral drugi odstavek lekcije Kako izračunati prostornino vrtilnega telesa, ne doživlja več niti najmanjše zadrege z integracijo čez "y".

Bodite pozorni tudi na prvi korak: integrand je sod, segment integracije pa je simetričen glede na nič. Zato lahko segment prepolovimo, rezultat pa podvojimo. Ta tehnika je podrobno komentirana v lekciji. Učinkovite metode izračun določenega integrala.

Kaj dodati…. Vse!

odgovor:

Če želite preizkusiti svojo integracijsko tehniko, lahko poskusite izračunati . Odgovor bi moral biti popolnoma enak.

Primer 12

Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, omejene s črtami

To je primer "naredi sam". Zanimivo je, da če poskusite uporabiti prvi način za obhod območja, potem slika ne bo več razdeljena na dva, ampak na tri dele! In v skladu s tem dobimo tri pare ponavljajočih se integralov. Včasih se zgodi.

Mojstrski razred se je končal in čas je, da preidemo na velemojstrsko raven - Kako izračunati dvojni integral? Primeri rešitev. V drugem članku bom poskušal ne biti tako maničen =)

Želim ti uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2:rešitev: Narišite območje na risbi:

Izberimo naslednji vrstni red prečkanja regije:

Torej:
Pojdimo k inverznim funkcijam:


Torej:
odgovor:

Primer 4:rešitev: Pojdimo k neposrednim funkcijam:


Izvedimo risbo:

Spremenimo vrstni red prečkanja območja:

odgovor:

Zdaj se posvetimo obravnavi aplikacij integralnega računa. V tej lekciji bomo analizirali tipično in najpogostejšo nalogo. izračun površine ravne figure z uporabo določenega integrala. Končno vsi tisti, ki iščete smisel v višja matematika- naj ga najdejo. Nikoli ne veš. V resničnem življenju boste morali približati poletno kočo z osnovnimi funkcijami in poiskati njeno površino z določenim integralom.

Za uspešno obvladovanje gradiva morate:

1) razumeti nedoločen integral vsaj na povprečni ravni. Tako naj lutke najprej preberejo lekcijo ne.

2) Znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo in izračunati določen integral. Z nekaterimi integrali na strani lahko vzpostavite tople prijateljske odnose Določen integral. Primeri rešitev. Naloga "izračunaj površino z določenim integralom" vedno vključuje izdelavo risbe, zato bosta tudi vaše znanje in risarske sposobnosti nujni problem. Najmanj mora biti sposoben zgraditi ravno črto, parabolo in hiperbolo.

Začnimo s krivolinijskim trapezom. Krivočrtni trapez je ploščat lik, ki ga omejuje graf neke funkcije l = f(x), os OX in vrstice x = a; x = b.

Površina krivuljnega trapeza je številčno enaka določenemu integralu

Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Pri lekciji Določen integral. Primeri rešitev rekli smo, da je določen integral število. In zdaj je čas, da povem še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA. to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju neke figure. Razmislite o določenem integralu

Integrand

določa krivuljo na ravnini (po želji jo lahko narišemo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.

Primer 1

, , , .

To je tipična izjava o nalogi. Najpomembnejša točka odločitve je izdelava risbe. Poleg tega je treba risbo zgraditi PRAV.

Pri izdelavi načrta priporočam naslednji vrstni red: najprej bolje je zgraditi vse črte (če obstajajo) in samo Potem- parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Tehniko gradnje po točkah najdete v referenčnem gradivu Grafi in lastnosti elementarne funkcije . Tam lahko najdete tudi gradivo, ki je zelo koristno v povezavi z našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.

Naredimo risbo (upoštevajte, da enačba l= 0 določa os OX):

Krivolinijskega trapeza ne bomo šrafirali, tukaj je očitno, kakšno območje pod vprašajem. Rešitev se nadaljuje takole:

Na segmentu [-2; 1] funkcijski graf l = x 2 + 2 nahaja nad osjoOX, Zato:

odgovor: .

Kdo ima težave pri izračunu določenega integrala in uporabi Newton-Leibnizove formule

,

sklicevati se na predavanje Določen integral. Primeri rešitev. Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "z očmi" preštejemo število celic na risbi - no, vnesenih bo približno 9, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi imeli, recimo, odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno nekje prišlo do napake - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če se je odgovor izkazal za negativnega, je bila tudi naloga napačno rešena.

Primer 2

Izračunajte površino figure, omejene s črtami xy = 4, x = 2, x= 4 in os OX.

To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjoOX?

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami l = e-x, x= 1 in koordinatne osi.

Rešitev: Narišimo:

Če krivolinijski trapez popolnoma pod osjo OX , potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

V tem primeru:

.

Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:

1) Če vas prosijo, da rešite samo določen integral brez katerega koli geometrijski smisel, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje lik nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite območje ravninske figure, omejene s črtami l = 2x – x 2 , l = -x.

Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Pri konstruiranju risbe v problemih s ploščinami nas najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščite presečišča parabole l = 2x – x 2 in ravno l = -x. To lahko naredimo na dva načina. Prvi način je analitičen. Rešimo enačbo:

Torej spodnja meja integracije a= 0, zgornja meja integracije b= 3. Pogosto je bolj donosno in hitreje graditi črte točko za točko, medtem ko se meje integracije odkrijejo kot »same od sebe«. Kljub temu je treba analitično metodo iskanja meja še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali navojna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). Vrnemo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

Ponavljamo, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje ugotavljajo »samodejno«.

In zdaj delovna formula:

Če na intervalu [ a; b] neka zvezna funkcija f(x) večji ali enak nekaj neprekinjena funkcija g(x), potem je območje ustrezne figure mogoče najti po formuli:

Tu ni več treba razmišljati, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, ampak pomembno je katera tabela je ZGORAJ(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto in zato od 2 x – x 2 je treba odšteti - x.

Zaključek rešitve bi lahko izgledal takole:

Želeni lik je omejen s parabolo l = 2x – x 2 zgoraj in naravnost l = -x od spodaj.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Po ustrezni formuli:

odgovor: .

Pravzaprav, šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej primer št. 3) - poseben primer formule

.

Ker je os OX je podana z enačbo l= 0 in graf funkcije g(x) se nahaja pod osjo OX, To

.

In zdaj nekaj primerov za neodvisno rešitev

Primer 5

Primer 6

Poiščite območje figure, omejene s črtami

Med reševanjem nalog za izračun ploščine z uporabo določenega integrala se včasih zgodi kakšen smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, vendar zaradi nepazljivosti ... našel območje napačne figure.

Primer 7

Najprej narišimo:

Lik, katerega območje moramo najti, je osenčen z modro barvo.(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto odločijo, da morajo najti območje figure, ki je zasenčeno v zeleni barvi!

Ta primer je uporaben tudi v tem, da je v njem območje figure izračunano z uporabo dveh določenih integralov. res:

1) Na segmentu [-1; 1] nad osjo OX graf je raven l = x+1;

2) Na segmentu nad osjo OX nahaja se graf hiperbole l = (2/x).

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

odgovor:

Primer 8

Izračunajte površino figure, omejene s črtami

Predstavimo enačbe v »šolski« obliki

in narišite črto:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja »dobra«: b = 1.

Kakšna pa je spodnja meja? Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj?

morda, a=(-1/3)? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, se lahko izkaže a=(-1/4). Kaj pa, če grafa sploh ne bi dobili prav?

V takih primerih je treba porabiti dodaten čas in analitično izpopolniti meje integracije.

Poiščite presečišča grafov

Da bi to naredili, rešimo enačbo:

.

torej a=(-1/3).

Nadaljnja rešitev je trivialna. Glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih. Tu izračuni niso najlažji. Na segmentu

, ,

po ustrezni formuli:

odgovor:

Na koncu lekcije bomo razmislili o dveh težjih nalogah.

Primer 9

Izračunajte površino figure, omejene s črtami

Rešitev: Nariši to figuro na risbi.

Za risanje po točkah morate vedeti videz sinusoide. Na splošno je koristno poznati grafe vseh osnovnih funkcij, pa tudi nekatere vrednosti sinusa. Najdete jih v tabeli vrednosti trigonometrične funkcije . V nekaterih primerih (na primer v tem primeru) je dovoljeno sestaviti shematsko risbo, na kateri morajo biti grafi in integracijske meje načeloma pravilno prikazani.

Z integracijskimi omejitvami tukaj ni težav, izhajajo neposredno iz pogoja:

- "x" se spremeni iz nič v "pi". Sprejmemo nadaljnjo odločitev:

Na segmentu graf funkcije l= greh 3 x ki se nahaja nad osjo OX, Zato:

(1) V lekciji lahko vidite, kako so sinusi in kosinusi integrirani v lihe potence Integrali trigonometričnih funkcij. Odščipnemo en sinus.

(2) V obrazcu uporabljamo osnovno trigonometrično istovetnost

(3) Spremenimo spremenljivko t= cos x, potem: nahaja se nad osjo , torej:

.

.

Opomba: upoštevajte, kako je vzet integral tangente v kocki, tukaj posledica glavne trigonometrična identiteta

.

A)

rešitev.

Najprej in ključna točka rešitve - izdelava risbe.

Naredimo risbo:

Enačba y=0 nastavi os x;

- x=-2 in x=1 - ravna, vzporedna z osjo OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, katere veje so usmerjene navzgor, z vrhom v točki (0;2).

Komentiraj. Za konstrukcijo parabole je dovolj, da najdemo točke njenega presečišča s koordinatnimi osemi, tj. dajanje x=0 poiščite presečišče z osjo OU in odločanje o ustreznem kvadratna enačba, poiščite presečišče z osjo Oh .

Oglišče parabole je mogoče najti s formulami:

Lahko rišete črte in točko za točko.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nahaja čez os Ox , Zato:

odgovor: S \u003d 9 kvadratnih enot

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "z očmi" preštejemo število celic na risbi - no, približno 9 jih bo vnesenih, zdi se res. Povsem jasno je, da če bi imeli, recimo, odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno nekje prišlo do napake - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če se je odgovor izkazal za negativnega, je bila tudi naloga napačno rešena.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo Oh?

b) Izračunajte površino figure, omejene s črtami y=-e x , x=1 in koordinatne osi.

rešitev.

Naredimo risbo.

Če krivolinijski trapez popolnoma pod osjo Oh , potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

odgovor: S=(e-1) kvadratna enota" 1,72 kvadratna enota

Pozor! Ne mešajte obeh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da rešite samo določen integral brez geometričnega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje lik nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini.

z) Poiščite območje ravninske figure, omejene s črtami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

rešitev.

Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščite presečišča parabole in neposredno To lahko naredimo na dva načina. Prvi način je analitičen.

Rešimo enačbo:

Torej spodnja meja integracije a=0 , zgornja meja integracije b=3 .

Zgradimo podane premice: 1. Parabola - oglišče v točki (1;1); presečišče osi Oh - točke (0;0) in (0;2). 2. Premica - simetrala 2. in 4. koordinatnega kota. In zdaj Pozor! Če na intervalu [ a;b] neka zvezna funkcija f(x) večja ali enaka neki zvezni funkciji g(x), potem je območje ustrezne figure mogoče najti po formuli: . In ni pomembno, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, vendar je pomembno, kateri grafikon je VIŠJI (glede na drug grafikon) in kateri je SPODAJ. V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Črte je mogoče graditi točko za točko, medtem ko se meje integracije odkrijejo kot "same od sebe". Kljub temu je treba analitično metodo iskanja meja še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali navojna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne).

Želena figura je omejena s parabolo od zgoraj in ravno črto od spodaj.

Na segmentu , po ustrezni formuli:

odgovor: S \u003d 4,5 kvadratnih enot

Figura, ki je omejena z grafom zvezne nenegativne funkcije $f(x)$ na intervalu $$ in premicami $y=0, \ x=a$ in $x=b$, se imenuje krivočrtni trapez.

Območje ustreznega ukrivljenega trapeza se izračuna po formuli:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Probleme iskanja območja krivolinijskega trapeza bomo pogojno razdelili na $4$ vrste. Razmislimo o vsaki vrsti podrobneje.

Tip I: krivočrtni trapez je eksplicitno podan. Nato takoj uporabite formulo (*).

Na primer, poiščite ploščino krivolinijskega trapeza, ki ga omejujejo graf funkcije $y=4-(x-2)^(2)$ in črte $y=0, \ x=1$ in $x =3$.

Narišimo ta ukrivljeni trapez.

Z uporabo formule (*) najdemo območje tega krivolinijskega trapeza.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \levo.\frac((x-2)^(3) )(3)\desno|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\levo((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\desno)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\levo((1)^(3)-(-1)^(3)\desno) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (enota$^(2)$).

Tip II: ukrivljeni trapez je določen implicitno. V tem primeru premice $x=a, \ x=b$ navadno niso določene ali pa so določene delno. V tem primeru morate najti presečišča funkcij $y=f(x)$ in $y=0$. Ti točki bosta točki $a$ in $b$.

Na primer, poiščite območje figure, ki ga omejujejo grafi funkcij $y=1-x^(2)$ in $y=0$.

Poiščimo presečišča. Da bi to naredili, izenačimo desne dele funkcij.

Torej $a=-1$ in $b=1$. Narišimo ta ukrivljeni trapez.

Poiščite območje tega krivokotnega trapeza.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \meje_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\desno)=2 – \frac(1)(3) \levo(1+1\desno) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (enota$^(2)$).

Tip III: območje figure, omejeno s presečiščem dveh zveznih nenegativnih funkcij. Ta številka ne bo krivočrtni trapez, kar pomeni, da s formulo (*) ne morete izračunati njegove površine. Kako biti? Izkazalo se je, da je ploščino te figure mogoče najti kot razliko med ploščinami krivuljnih trapezov, omejenih z zgornjo funkcijo in $y=0$ ($S_(uf)$), in spodnja funkcija in $y=0$ ($S_(lf)$), kjer sta $x=a, \ x=b$ koordinate $x$ presečišč teh funkcij, tj.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Najpomembnejša stvar pri izračunu takih območij je, da ne "zgrešite" z izbiro zgornje in spodnje funkcije.

Na primer, poiščite ploščino figure, ki je omejena s funkcijama $y=x^(2)$ in $y=x+6$.

Poiščimo presečišča teh grafov:

Po Vietovem izreku je

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

To je $a=-2, \ b=3$. Narišimo obliko:

Torej je zgornja funkcija $y=x+6$, spodnja pa $y=x^(2)$. Nato poiščite $S_(uf)$ in $S_(lf)$ z uporabo formule (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\levo.\frac(x^(2))(2)\desno|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (enota $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (enota$^(2)$).

Nadomestilo najdete v (**) in dobite:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (enota $^(2)$).

IV tip: območje figure, omejena funkcija(-s), ki ne izpolnjuje pogoja nenegativnosti. Da bi našli območje takšne figure, morate biti simetrični glede na os $Ox$ ( z drugimi besedami, postavite "minuse" pred funkcijami) prikažite območje in z uporabo metod, opisanih v vrstah I - III, poiščite območje prikazanega območja. To območje bo zahtevano območje. Najprej boste morda morali poiskati presečišča funkcijskih grafov.

Na primer, poiščite območje figure, ki je omejeno z grafoma funkcij $y=x^(2)-1$ in $y=0$.

Poiščimo presečišča funkcijskih grafov:

tiste. $a=-1$ in $b=1$. Narišimo območje.

Prikažimo območje simetrično:

$y=0 \\Desna puščica \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Desna puščica \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Dobite krivočrtni trapez, ki ga omejuje graf funkcije $y=1-x^(2)$ in $y=0$. To je problem iskanja krivočrtnega trapeza druge vrste. Smo že rešili. Odgovor je bil: $S= 1\frac(1)(3)$ (enote $^(2)$). Torej je površina želenega krivolinijskega trapeza enaka:

$S=1\frac(1)(3)$ (enota$^(2)$).