Dinamiko razvoja objekta, notranje bistvo odnosov njegovih elementov in različnih stanj v procesu oblikovanja je mogoče slediti le s pomočjo modelov, ki uporabljajo princip dinamične analogije, tj. matematičnih modelov.

Matematični model je sistem matematičnih odnosov, ki opisujejo proces ali pojav, ki ga proučujemo. Za sestavljanje matematičnega modela lahko uporabite katera koli matematična sredstva - teorijo množic, matematično logiko, jezik diferencialnih ali integralnih enačb. Postopek sestavljanja matematičnega modela se imenuje matematično modeliranje. Tako kot druge vrste modelov tudi matematični model predstavlja problem v poenostavljeni obliki in opisuje samo tiste lastnosti in vzorce, ki so za določen predmet ali proces najpomembnejši. Matematični model omogoča večstransko kvantitativno analizo. S spreminjanjem izhodiščnih podatkov, kriterijev in omejitev lahko vsakokrat dobite optimalno rešitev za dane pogoje in določite nadaljnjo smer iskanja.

Ustvarjanje matematičnih modelov zahteva od njihovih razvijalcev, poleg poznavanja formalnih logičnih metod, temeljito analizo predmeta, ki se preučuje, da bi natančno oblikovali glavne ideje in pravila ter identificirali zadostno količino zanesljivih dejstev, statistični in regulativni podatki.

Opozoriti je treba, da se vsi trenutno uporabljeni matematični modeli nanašajo na predpisujoče. Namen razvoja preskriptivnih modelov je nakazati smer iskanja rešitve, namen razvoja pa opisovanje modeli so odraz dejanskih človeških miselnih procesov.

Obstaja precej razširjeno stališče, da je s pomočjo matematike mogoče pridobiti le nekatere numerične podatke o predmetu ali procesu, ki se preučuje. »Seveda je veliko matematičnih disciplin usmerjenih v pridobitev končnega numeričnega rezultata. Toda zreducirati matematične metode le na problem pridobivanja števila pomeni neskončno siromašiti matematiko, siromašiti možnost tistega močnega orožja, ki ga imajo danes v rokah raziskovalci ...

Matematični model, napisan v enem ali drugem zasebnem jeziku (na primer diferencialne enačbe), odraža določene lastnosti resničnih fizičnih procesov. Kot rezultat analize matematičnih modelov dobimo najprej kvalitativne predstave o značilnostih preučevanih procesov, vzpostavimo vzorce, ki določajo dinamično serijo zaporednih stanj, in pridobimo možnost napovedovanja poteka procesa. in določiti njegove kvantitativne značilnosti.

Matematični modeli se uporabljajo v številnih dobro znanih metodah modeliranja. Med njimi so razvoj modelov, ki opisujejo statično in dinamično stanje objekta, optimizacijski modeli.

Primer matematičnih modelov, ki opisujejo statično in dinamično stanje objekta, so lahko različne metode tradicionalnih konstrukcijskih izračunov. Postopek izračuna, predstavljen v obliki zaporedja matematičnih operacij (algoritem), nam omogoča, da rečemo, da je bil sestavljen matematični model za izračun določene strukture.

IN optimizacija modeli vsebujejo tri elemente:

Ciljna funkcija, ki odraža sprejeto merilo kakovosti;

Nastavljivi parametri;

Uvedene omejitve.

Vse te elemente je treba matematično opisati v obliki enačb, logičnih pogojev itd. Reševanje optimizacijskega problema je postopek iskanja najmanjše (največje) vrednosti ciljne funkcije ob upoštevanju določenih omejitev. Rezultat rešitve velja za optimalnega, če ciljna funkcija doseže svojo skrajno vrednost.

Primer optimizacijskega modela je matematični opis kriterija »dolžina povezave« v metodi alternativnega projektiranja industrijskih zgradb.

Ciljna funkcija odraža skupno tehtano dolžino vseh funkcionalnih povezav, ki bi morala težiti k minimumu:

kjer je utežna vrednost povezave elementa z ;

– dolžina povezave med in elementi;

– skupno število postavljenih elementov.

Ker so površine postavljenih elementov prostorov pri vseh variantah projektne rešitve enake, se variante med seboj razlikujejo le po različnih razdaljah med elementi in njihovi medsebojni legi. Posledično so nastavljivi parametri v tem primeru koordinate elementov, postavljenih na tlorisih.

Uvedene omejitve glede lokacije elementov (na vnaprej določenem mestu na načrtu, na zunanjem obodu, drug na drugem itd.) in glede dolžine povezav (dolžine povezav med elementi so strogo določene, minimalne ali so določene najvišje meje vrednosti, meje sprememb so določene vrednosti) so zapisane formalno.

Opcija se šteje za optimalno (po tem kriteriju), če je vrednost ciljne funkcije, izračunana za to možnost, minimalna.

Različni matematični modeli – ekonomsko-matematični model– je model razmerja med ekonomskimi značilnostmi in parametri sistema.

Primer ekonomsko-matematičnih modelov je matematični opis stroškovnih kriterijev v zgoraj omenjeni metodi alternativnega projektiranja industrijskih zgradb. Matematični modeli, pridobljeni z uporabo metod matematične statistike, odražajo odvisnost stroškov okvirja, temeljev, zemeljskih del enonadstropnih in večnadstropnih industrijskih zgradb ter njihove višine, razpona in koraka nosilnih konstrukcij.

Glede na način upoštevanja vpliva naključnih dejavnikov na odločanje delimo matematične modele na deterministične in verjetnostne. Deterministični model ne upošteva vpliva naključnih dejavnikov v procesu delovanja sistema in temelji na analitični predstavitvi vzorcev delovanja. verjetnostni (stohastični) model upošteva vpliv naključnih dejavnikov med delovanjem sistema in temelji na statističnih, t.j. kvantitativno oceno množičnih pojavov, ki omogoča upoštevanje njihove nelinearnosti, dinamike, naključnih motenj, ki jih opisujejo različni distribucijski zakoni.

Na podlagi zgornjih primerov lahko rečemo, da se matematični model, ki opisuje kriterij »dolžina povezav«, nanaša na deterministične modele, matematični modeli, ki opisujejo skupino kriterijev »stroški«, pa na verjetnostne modele.

Jezikovni, pomenski in informacijski modeli

Matematični modeli imajo očitne prednosti, saj kvantificiranje vidikov problema zagotavlja jasno sliko prednostnih nalog ciljev. Pomembno je, da lahko strokovnjak vedno utemelji sprejetje določene odločitve s predstavitvijo ustreznih numeričnih podatkov. Vendar pa je popoln matematični opis projektantske dejavnosti nemogoč, zato se večina problemov, ki jih rešujemo v začetni fazi arhitekturnega in gradbenega projektiranja, nanaša na slabo strukturiran.

Ena od značilnosti polstrukturiranih problemov je verbalni opis kriterijev, uporabljenih v njih. Uvedba kriterijev opisanih v naravnem jeziku (takšni kriteriji se imenujejo jezikovni), vam omogoča uporabo manj zapletenih metod za iskanje optimalnih oblikovalskih rešitev. Ob prisotnosti takšnih meril se oblikovalec odloči na podlagi običajnega, ne vprašljivo izrazi ciljev.

Smiseln opis vseh vidikov problema po eni strani vnaša sistematizacijo v proces njegovega reševanja, po drugi strani pa močno olajša delo specialistom, ki lahko brez študija ustreznih vej matematike bolj rešujejo svoje strokovne probleme. racionalno. Na sl. 5.2 je podan jezikovni model, ki opisuje možnosti ustvarjanja pogojev za naravno prezračevanje v različnih možnostih postavitve pekarne.

Druge prednosti smiselnih opisov težav vključujejo:

Sposobnost opisovanja vseh kriterijev, ki določajo učinkovitost oblikovalske rešitve. Ob tem je pomembno, da je mogoče v opis vnesti kompleksne pojme in da bodo v zornem polju specialista poleg kvantitativnih, merljivih dejavnikov tudi kvalitativni, nemerljivi. Tako bodo v času odločanja uporabljene vse subjektivne in objektivne informacije;

riž. 5.2 Opis vsebine merila "prezračevanje" v obliki jezikovnega modela

Sposobnost nedvoumne ocene stopnje doseganja cilja v možnostih za to merilo na podlagi formulacij, ki so jih sprejeli strokovnjaki, kar zagotavlja zanesljivost prejetih informacij;

Sposobnost upoštevanja negotovosti, povezane z nepopolnim poznavanjem vseh posledic sprejetih odločitev, kot tudi napovednih informacij.

Modeli, ki za opis predmeta preučevanja uporabljajo naravni jezik, vključujejo tudi semantične modele.

Pomenski model- obstaja taka predstavitev predmeta, ki odraža stopnjo medsebojne povezanosti (bližine) med različnimi komponentami, vidiki, lastnostmi predmeta. Medsebojna povezanost ne pomeni relativne prostorske razporeditve, temveč pomensko povezanost.

Tako bo v semantičnem smislu razmerje med koeficientom naravne osvetlitve in svetlobnim območjem prozornih ograj predstavljeno kot tesnejše od razmerja med okenskimi odprtinami in sosednjimi slepimi deli stene.

Nabor odnosov povezljivosti prikazuje, kaj predstavlja vsak izbrani element v objektu in objekt kot celota. Hkrati semantični model odraža poleg stopnje povezanosti različnih vidikov v predmetu tudi vsebino pojmov. Osnovni modeli so koncepti, izraženi v naravnem jeziku.

Gradnja pomenskih modelov temelji na načelih, po katerih se pojmi in povezave ves čas uporabe modela ne spreminjajo; vsebina enega pojma se ne prenaša na drugega; povezave med dvema pojmoma imajo v odnosu do njih enakovredno in neusmerjeno interakcijo.

Cilj vsake analize modela je izbrati elemente modela, ki imajo določeno skupno kakovost. To daje podlago za izdelavo algoritma, ki upošteva samo neposredne povezave. Pri pretvorbi modela v neusmerjeni graf se najde pot med dvema elementoma, ki sledi gibanju od enega elementa do drugega, pri čemer se vsak element uporabi le enkrat. Vrstni red, v katerem se elementi pojavljajo, se imenuje zaporedje dveh elementov. Zaporedja so lahko različno dolga. Najkrajši med njimi se imenujejo relacije elementov. Zaporedje dveh elementov obstaja tudi, če med njima obstaja neposredna povezava, vendar v tem primeru razmerja ni.

Kot primer pomenskega modela podajamo opis tlorisa stanovanja skupaj s komunikacijskimi povezavami. Koncept je prostor stanovanja. Neposredna povezava pomeni funkcionalno povezavo dveh prostorov, na primer z vrati (glej tabelo 5.1).

Preoblikovanje modela v obliko neusmerjenega grafa nam omogoča, da dobimo zaporedje elementov (slika 5.3).

Primeri oblikovanega zaporedja med elementom 2 (kopalnica) in elementom 6 (shramba) so podani v tabeli. 5.2. Kot je razvidno iz tabele, zaporedje 3 predstavlja razmerje teh dveh elementov.

Tabela 5.1

Opis tlorisa stanovanja

riž. 5.3 Opis načrtovalske rešitve v obliki neusmerjenega grafa

Matematični modeli

Matematični model - približen opipomen predmeta modeliranja, izražen z uporabomatematične simbolike.

Matematični modeli so se pojavili skupaj z matematiko pred mnogimi stoletji. Pojav računalnikov je dal velik zagon razvoju matematičnega modeliranja. Uporaba računalnikov je omogočila analizo in uporabo v praksi številnih matematičnih modelov, ki prej niso bili primerni za analitične raziskave. Matematično implementirano v računalnikmodel neba klical računalniški matematični model, A izvajanje ciljnih izračunov z uporabo računalniškega modela klical računalniški poskus.

Stopnje računalniške matematikedelitev so prikazani na sliki. najprejstopnja - definiranje ciljev modeliranja. Ti cilji so lahko različni:

1. model je potreben, da bi razumeli, kako določen objekt deluje, kakšna je njegova struktura, njegove osnovne lastnosti, zakonitosti razvoja in interakcije
   z zunanjim svetom (razumevanje);
2. model je potreben, da se naučimo upravljati objekt (ali proces) in določimo najboljše metode upravljanja za dane cilje in merila (upravljanje);
3. model je potreben za predvidevanje neposrednih in posrednih posledic implementacije podane metode in oblike vpliva na objekt (napovedovanje).

Razložimo s primeri. Naj bo predmet preučevanja interakcija toka tekočine ali plina s telesom, ki je ovira za ta tok. Izkušnje kažejo, da sila upora toka na delu telesa narašča z naraščajočo hitrostjo toka, pri neki dovolj veliki hitrosti pa se ta sila sunkovito zmanjša, da bi z nadaljnjim povečevanjem hitrosti ponovno narasla. Kaj je povzročilo zmanjšanje sile upora? Matematično modeliranje nam omogoča, da dobimo jasen odgovor: v trenutku nenadnega zmanjšanja upora se vrtinci, ki nastanejo v toku tekočine ali plina za aerodinamičnim telesom, začnejo odcepiti od njega in jih tok odnese.

Primer iz povsem drugega področja: populacije dveh vrst osebkov, ki sta mirno sobivali s stalnim številom in imeli skupno zalogo hrane, "nenadoma" začneta močno spreminjati svoje število. In tukaj matematično modeliranje omogoča (z določeno stopnjo zanesljivosti) ugotoviti vzrok (oz vsaj ovreči določeno hipotezo).

Razvijanje koncepta za upravljanje objekta je še en možen cilj modeliranja. Kateri način letenja letala naj izberem, da bo let varen in ekonomsko najbolj donosen? Kako razporediti na stotine vrst del pri gradnji velikega objekta, da bo dokončan čim hitreje kratkoročno? Številni takšni problemi se sistematično pojavljajo pred ekonomisti, oblikovalci in znanstveniki.

Nazadnje je napovedovanje posledic določenih vplivov na objekt lahko tako razmeroma enostavna zadeva v enostavnih fizikalnih sistemih kot izjemno kompleksna – na meji izvedljivosti – v bioloških, ekonomskih in družbenih sistemih. Če je razmeroma enostavno odgovoriti na vprašanje o spremembah načina porazdelitve toplote v tanki palici zaradi sprememb v njeni sestavni zlitini, potem je razmeroma enostavno izslediti (napovedati) okoljske in podnebne posledice gradnje velikega hidroelektrarna oz družbene posledice spremembe davčne zakonodaje neprimerljivo težje. Morda bodo tudi tu metode matematičnih modelov v prihodnje pomembneje pomagale.

Druga faza: določitev vhodnih in izhodnih parametrov modela; delitev vhodnih parametrov glede na stopnjo pomembnosti vpliva njihovih sprememb na izhod. Ta proces se imenuje rangiranje ali ločevanje po rangu (glej. "Formalizacijaoblikovanje in modeliranje").

Tretja stopnja: izdelava matematičnega modela. Na tej stopnji je prehod od abstraktne formulacije modela do formulacije, ki ima specifično matematično predstavitev. Matematični model so enačbe, sistemi enačb, sistemi neenačb, diferencialne enačbe ali sistemi takih enačb itd.

Četrta stopnja: izbira metode za preučevanje matematičnega modela. Tu se najpogosteje uporabljajo numerične metode, ki se dobro obnesejo pri programiranju. Praviloma je za reševanje istega problema primernih več metod, ki se razlikujejo po natančnosti, stabilnosti itd. Uspeh celotnega procesa modeliranja je pogosto odvisen od pravilne izbire metode.

Peta stopnja: razvoj algoritma, prevajanje in odpravljanje napak v računalniškem programu je proces, ki ga je težko formalizirati. Med programskimi jeziki ima veliko strokovnjakov raje FORTRAN za matematično modeliranje: tako zaradi tradicije kot zaradi neprekosljive učinkovitosti prevajalnikov (za računsko delo) in razpoložljivosti ogromnih, skrbno razhroščenih in optimiziranih knjižnic standardnih programov za matematične metode, napisanih v njem. . V uporabi so tudi jeziki, kot so PASCAL, BASIC, C, odvisno od narave naloge in nagnjenj programerja.

Šesta stopnja: testiranje programa. Delovanje programa se preizkusi na testni nalogi z vnaprej znanim odgovorom. To je šele začetek postopka testiranja, ki ga je težko formalno celovito opisati. Testiranje se običajno konča, ko uporabnik na svoj način poklicne lastnosti najde program pravilen.

Sedma stopnja: dejanski računalniški eksperiment, med katerim se ugotavlja, ali model ustreza realnemu objektu (procesu). Model je dovolj ustrezen realnemu procesu, če nekatere karakteristike procesa, pridobljene na računalniku, z določeno stopnjo natančnosti sovpadajo z eksperimentalno pridobljenimi karakteristikami. Če model ne ustreza realnemu procesu, se vrnemo na eno od prejšnjih stopenj.

Klasifikacija matematičnih modelov

Klasifikacija matematičnih modelov lahko temelji na različnih načelih. Modele lahko razvrstite po panogah znanosti (matematični modeli v fiziki, biologiji, sociologiji itd.). Lahko jih razvrstimo glede na uporabljeni matematični aparat (modeli, ki temeljijo na uporabi navadnih diferencialnih enačb, parcialnih diferencialnih enačb, stohastičnih metod, diskretnih algebrskih transformacij itd.). Končno na podlagi skupna opravila modeliranja v različnih znanostih, ne glede na matematični aparat, je najbolj naravna klasifikacija:

• deskriptivni (opisni) modeli;
• optimizacijski modeli;
• večkriterijski modeli;
• igralni modeli.

Razložimo to s primeri.

Deskriptivni (opisni) modeli. Na primer modeliranje gibanja vdora kometa solarni sistem, je narejen z namenom napovedi njegove poti leta, razdalje, na kateri bo letel od Zemlje itd. V tem primeru so cilji modeliranja opisne narave, saj ni mogoče vplivati ​​na gibanje kometa ali v njem karkoli spremeniti.

Optimizacijski modeli se uporabljajo za opis procesov, na katere je mogoče vplivati, da bi dosegli dani cilj. V tem primeru model vključuje enega ali več parametrov, na katere je mogoče vplivati. Na primer, pri spreminjanju toplotnega režima v kašči si lahko postavite cilj, da izberete režim, ki bo dosegel največjo varnost zrn, t.j. optimizirati proces shranjevanja.

Večkriterijski modeli. Pogosto je potrebno optimizirati proces po več parametrih hkrati, cilji pa so si lahko precej nasprotujoči. Na primer, če poznate cene hrane in človekovo potrebo po hrani, morate organizirati obroke velike skupine ljudi (v vojski, otroškem poletnem taboru ipd.) je fiziološko pravilna in hkrati čim cenejša. Jasno je, da ti cilji nikakor ne sovpadajo, tj. Pri modeliranju bo uporabljenih več kriterijev, med katerimi je treba iskati ravnovesje.

Igralni modeli se lahko nanašajo ne samo na računalniške igre, ampak tudi na zelo resne stvari. Na primer, pred bitko mora poveljnik, če obstajajo nepopolni podatki o nasprotni vojski, razviti načrt: v kakšnem vrstnem redu uvesti določene enote v bitko itd., Ob upoštevanju možne reakcije sovražnika. Obstaja posebna veja sodobne matematike - teorija iger - ki preučuje metode odločanja v pogojih nepopolnih informacij.

Pri šolskem tečaju računalništva učenci prejmejo začetno razumevanje računalniškega matematičnega modeliranja kot del osnovnega predmeta. V srednji šoli lahko matematično modeliranje poglobljeno preučujemo v okviru splošnoizobraževalnega predmeta za pouk fizike in matematike ter v okviru specializiranega izbirnega predmeta.

Glavne oblike poučevanja računalniškega matematičnega modeliranja v srednji šoli so predavanja, laboratorijske vaje in testi. Običajno ustvarjanje in priprava na študij vsakega novega modela traja 3-4 lekcije. Med podajanjem snovi so postavljene naloge, ki jih morajo študenti v prihodnje rešiti samostojno. splošni oris opisani so načini za njihovo rešitev. Oblikovana so vprašanja, odgovore na katere je treba dobiti pri izpolnjevanju nalog. Navedeno dodatno literaturo, ki omogoča pridobivanje pomožnih informacij za uspešnejše opravljanje nalog.

Oblika organizacije pouka pri študiju novega gradiva je običajno predavanje. Po zaključku razprave o naslednjem modelu študenti imajo na voljo potrebne teoretične informacije in nabor nalog za nadaljnje delo. Pri pripravi na reševanje naloge učenci izberejo ustrezno metodo reševanja in razviti program preizkusijo z uporabo znane zasebne rešitve. V primeru možnih težav pri izpolnjevanju nalog se posvetuje in predlaga, da se ti razdelki podrobneje preučijo v literarnih virih.

Za praktični del poučevanja računalniškega modeliranja je najprimernejša projektna metoda. Naloga je za študenta oblikovana v obliki izobraževalnega projekta in se izvaja v več učnih urah, glavna organizacijska oblika pa je računalniška. laboratorijska dela. Poučevanje modeliranja po metodi izobraževalnih projektov se lahko izvaja na različnih ravneh. Prvi je problemski prikaz procesa zaključevanja projekta, ki ga vodi učitelj. Drugi je izvedba projekta s strani učencev pod vodstvom učitelja. Tretji je, da študentje samostojno opravijo izobraževalno raziskovalno nalogo.

Rezultati dela morajo biti predstavljeni v numerični obliki, v obliki grafov in diagramov. Če je mogoče, se proces prikaže na računalniškem zaslonu v dinamiki. Po končanih izračunih in prejemu rezultatov se le-ti analizirajo, primerjajo z znanimi dejstvi iz teorije, potrdi zanesljivost in izvede smiselna interpretacija, ki se nato odraža v pisnem poročilu.

Če rezultati zadovoljujejo učenca in učitelja, potem delo šteje končana, njegova zadnja faza pa je priprava poročila. Poročilo vsebuje kratke teoretične informacije o obravnavani temi, matematično formulacijo problema, algoritem rešitve in njegovo utemeljitev, računalniški program, rezultate programa, analizo rezultatov in zaključke ter seznam referenc.

Ko so vsa poročila sestavljena, učenci predstavijo svoja kratka sporočila o opravljenem delu, zagovarjajo svoj projekt. To je učinkovita oblika poročanja skupine, ki izvaja projekt, razredu, vključno s postavitvijo problema, izgradnjo formalnega modela, izbiro metod za delo z modelom, implementacijo modela na računalnik, delo s končnim modelom, interpretacijo. rezultate in napovedi. Posledično lahko študenti prejmejo dve oceni: prvo - za izdelavo projekta in uspešnost njegove obrambe, drugo - za program, optimalnost njegovega algoritma, vmesnika itd. Dijaki dobijo ocene tudi pri teoretičnih kvizih.

Bistveno vprašanje- katera orodja je treba uporabiti pri šolskem tečaju računalništva za matematično modeliranje? Računalniška izvedba modelov se lahko izvede:

• z uporabo procesorja za preglednice (običajno MS Excel);
• z ustvarjanjem programov v tradicionalnih programskih jezikih (Pascal, BASIC itd.), pa tudi v njihovih sodobnih različicah (Delphi, Visual
  Osnovno za uporabo itd.);
• uporaba posebnih aplikacijskih paketov za reševanje matematičnih problemov (MathCAD itd.).

Na ravni osnovne šole se zdi bolj zaželena prva metoda. Toda v srednji šoli, ko je programiranje poleg modeliranja ključna tema računalništva, ga je priporočljivo uporabljati kot orodje za modeliranje. Med procesom programiranja postanejo študentom na voljo podrobnosti matematičnih postopkov; Poleg tega so jih preprosto prisiljeni obvladati, kar prispeva tudi k matematični izobrazbi. Kar zadeva uporabo posebnih programskih paketov, je ta primerna pri specializiranem tečaju računalništva kot dopolnilo drugim orodjem.

telovadba :

• Naredite diagram ključnih pojmov.

Za izdelavo matematičnega modela potrebujete:

1. skrbno analizirati realen predmet ali proces;
2. poudari njegove najpomembnejše značilnosti in lastnosti;
3. definirati spremenljivke, tj. parametri, katerih vrednosti vplivajo na glavne značilnosti in lastnosti predmeta;
4. opišejo odvisnost osnovnih lastnosti predmeta, procesa ali sistema od vrednosti spremenljivk z uporabo logično-matematičnih odnosov (enačb, enačb, neenakosti, logično-matematičnih konstrukcij);
5. poudariti notranje povezave predmeta, procesa ali sistema z uporabo omejitev, enačb, enačb, neenakosti, logičnih in matematičnih konstrukcij;
6. opredeliti zunanji odnosi in jih opišejo z omejitvami, enačbami, enačbami, neenačbami, logičnimi in matematičnimi konstrukcijami.

Matematično modeliranje poleg preučevanja predmeta, procesa ali sistema in njegovega matematičnega opisa vključuje tudi:

1. izdelava algoritma, ki modelira obnašanje predmeta, procesa ali sistema;
2. preverjanje ustreznosti modela in objekta, procesa ali sistema na podlagi računalniških in naravnih eksperimentov;
3. prilagoditev modela;
4. z uporabo modela.

Matematični opis preučevanih procesov in sistemov je odvisen od:

1. naravo realnega procesa ali sistema in je sestavljen na podlagi zakonov fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. zahtevana zanesljivost in natančnost študija in raziskovanja realnih procesov in sistemov.

Konstrukcija matematičnega modela se običajno začne s konstrukcijo in analizo najenostavnejšega, najbolj grobega matematičnega modela predmeta, procesa ali sistema, ki ga obravnavamo. V prihodnosti se model po potrebi izpopolni in njegova ustreznost objektu postane popolnejša.

Vzemimo preprost primer. Treba je določiti površino mize. Običajno se to naredi tako, da se izmeri njegova dolžina in širina ter nato pomnoži dobljena števila. Ta elementarni postopek pravzaprav pomeni naslednje: realni objekt (površino mize) nadomestimo z abstraktnim matematičnim modelom - pravokotnikom. Dimenzije, dobljene z merjenjem dolžine in širine površine mize, so dodeljene pravokotniku, površina takšnega pravokotnika pa je približno zahtevana površina mize. Vendar pa je pravokotni model za mizo najpreprostejši, najbolj surov model. Če k problemu pristopite resneje, je treba pred uporabo pravokotnega modela za določitev površine mize ta model preveriti. Preverjanje lahko izvedete na naslednji način: izmerite dolžine nasprotnih strani mize, pa tudi dolžine njenih diagonal in jih primerjajte med seboj. Če so z zahtevano stopnjo natančnosti dolžine nasprotnih stranic in dolžine diagonal v parih enake, potem površino mize res lahko štejemo za pravokotnik. V nasprotnem primeru bo treba model pravokotnika zavrniti in ga nadomestiti s štirikotnim modelom splošni pogled. Z višjo zahtevo po natančnosti bo morda treba model še izboljšati, na primer, da se upošteva zaokroževanje vogalov mize.

S pomočjo tega preprost primer pokazalo se je, da matematični model ni enolično določen z objektom, procesom oz sistem.

ALI (razjasnjeno jutri)

Načini reševanja matematike. Modeli:

1, Konstrukcija modela na podlagi naravnih zakonov (analitična metoda)

2. Formalni način z uporabo statističnih metod. Obdelava in rezultati meritev (statistični pristop)

3. Izdelava modela na podlagi modela elementov (kompleksni sistemi)

1, Analitično - uporaba z zadostno študijo. Splošni vzorec je znan. Modeli.

2. poskus. V pomanjkanju informacij.

3. Imitacija m.- raziskuje lastnosti predmeta. Na splošno.

Primer konstruiranja matematičnega modela.

Matematični model je matematična predstavitev realnosti.

Matematično modeliranje je proces konstruiranja in proučevanja matematičnih modelov.

Vse naravoslovne in družboslovne vede, ki uporabljajo matematiko, se v bistvu ukvarjajo z matematičnim modeliranjem: objekt nadomestijo z njegovim matematičnim modelom in slednjega nato proučujejo. Povezava med matematičnim modelom in realnostjo se izvaja z uporabo verige hipotez, idealizacij in poenostavitev. Z matematičnimi metodami je praviloma opisan idealen objekt, zgrajen na stopnji smiselnega modeliranja.

Zakaj so potrebni modeli?

Zelo pogosto se pri preučevanju katerega koli predmeta pojavijo težave. Izvirnik sam včasih ni na voljo, ali njegova uporaba ni priporočljiva, ali pa je pridobivanje izvirnika drago. Vse te težave je mogoče rešiti s pomočjo simulacije. V določenem smislu lahko model nadomesti preučevani predmet.

Najenostavnejši primeri modelov

§ Fotografijo lahko imenujemo model osebe. Da bi prepoznali osebo, je dovolj videti njeno fotografijo.

§ Arhitekt je izdelal maketo novega stanovanjskega naselja. Z gibom roke lahko premika stolpnico iz enega dela v drugega. V resnici to ne bi bilo mogoče.

Vrste modelov

Modele lahko razdelimo na material" in popolna. zgornji primeri so materialni modeli. Idealni modeli imajo pogosto ikonične oblike. Realne pojme nadomestijo neki znaki, ki jih je mogoče preprosto zapisati na papir, v pomnilnik računalnika itd.

Matematično modeliranje

Matematično modeliranje spada v razred simbolnega modeliranja. Poleg tega je modele mogoče ustvariti iz poljubnih matematičnih objektov: števil, funkcij, enačb itd.

Gradnja matematičnega modela

§ Opazimo lahko več stopenj konstruiranja matematičnega modela:

1. Razumevanje problema, prepoznavanje za nas najpomembnejših kvalitet, lastnosti, količin in parametrov.

2. Uvedba notnega zapisa.

3. Izdelava sistema omejitev, ki jih morajo vnesene vrednosti izpolnjevati.

4. Oblikovanje in zapis pogojev, ki jih mora izpolnjevati želena optimalna rešitev.

Proces modeliranja se z izdelavo modela ne konča, ampak se z njim šele začne. Ko sestavijo model, izberejo način iskanja odgovora in rešitve problema. ko je odgovor najden, ga primerjamo z realnostjo. In možno je, da odgovor ni zadovoljiv, v tem primeru se model spremeni ali celo izbere popolnoma drugačen model.

Primer matematičnega modela

Naloga

Proizvodno združenje, ki vključuje dve tovarni pohištva, mora posodobiti strojni park. Poleg tega mora prva tovarna pohištva zamenjati tri stroje, druga pa sedem. Naročila je mogoče oddati v dveh tovarnah obdelovalnih strojev. Prvi obrat lahko proizvede največ 6 strojev, drugi obrat pa sprejme naročilo, če so vsaj trije. Določiti morate, kako oddati naročila.

Po učbeniku Sovetov in Yakovlev: "model (lat. modulus - mera) je nadomestni predmet za izvirni predmet, ki zagotavlja preučevanje nekaterih lastnosti izvirnika." (str. 6) "Zamenjava enega predmeta z drugim, da bi pridobili informacije o najpomembnejših lastnostih izvirnega predmeta z uporabo modela predmeta, se imenuje modeliranje." (str. 6) »Z matematičnim modeliranjem razumemo proces vzpostavljanja ujemanja danega realnega objekta z določenim matematičnim objektom, imenovanim matematični model, in preučevanje tega modela, ki nam omogoča pridobitev značilnosti realnega obravnavani predmet. Vrsta matematičnega modela je odvisna tako od narave realnega objekta kot nalog preučevanja objekta ter zahtevane zanesljivosti in natančnosti reševanja tega problema.«

Končno, najbolj jedrnata definicija matematičnega modela: "Enačba, ki izraža idejo».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modelov

Formalna klasifikacija modelov temelji na klasifikaciji uporabljenih matematičnih orodij. Pogosto zgrajena v obliki dihotomij. Na primer, eden od priljubljenih sklopov dihotomij:

in tako naprej. Vsak konstruiran model je linearen ali nelinearen, determinističen ali stohastičen, ... Seveda, mešane vrste: v enem pogledu koncentrirani (v smislu parametrov), v drugem - porazdeljeni modeli itd.

Razvrstitev glede na način predstavitve predmeta

Poleg formalne klasifikacije se modeli razlikujejo po tem, kako predstavljajo objekt:

• Strukturni ali funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljajo objekt kot sistem z lastno strukturo in mehanizmom delovanja. Funkcionalni modeli ne uporabljajte takšnih predstavitev in odražajo le zunanje zaznano obnašanje (delovanje) predmeta. V svojem ekstremnem izrazu jih imenujemo tudi modeli »črne škatle«. Možni so tudi kombinirani tipi modelov, ki jih včasih imenujemo " siva škatla».

Vsebinski in formalni modeli

Skoraj vsi avtorji, ki opisujejo proces matematičnega modeliranja, navajajo, da se najprej zgradi posebna idealna struktura, vsebinski model. Tukaj ni ustaljene terminologije in drugi avtorji temu pravijo idealen objekt konceptualni model , špekulativni model oz predmodel. V tem primeru se pokliče končna matematična konstrukcija formalni model ali preprosto matematični model, pridobljen kot rezultat formalizacije danega smiselnega modela (predmodel). Konstrukcijo smiselnega modela lahko naredimo z uporabo že pripravljenih idealizacij, kot v mehaniki, kjer idealne vzmeti trdne snovi, idealna nihala, elastični mediji itd. zagotavljajo že pripravljene strukturne elemente za smiselno modeliranje. Vendar pa na področjih znanja, kjer ni popolnoma dokončanih formaliziranih teorij (vrh fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije in večine drugih področij), postane ustvarjanje smiselnih modelov dramatično težje.

Vsebinska klasifikacija modelov

Nobene hipoteze v znanosti ni mogoče enkrat za vselej dokazati. Richard Feynman je to zelo jasno formuliral:

»Vedno imamo možnost ovreči teorijo, vendar upoštevajte, da nikoli ne moremo dokazati, da je pravilna. Recimo, da ste postavili uspešno hipotezo, izračunali, kam vodi, in ugotovili, da so vse njene posledice eksperimentalno potrjene. Ali to pomeni, da je vaša teorija pravilna? Ne, to preprosto pomeni, da vam tega ni uspelo ovreči.«

Če je zgrajen model prvega tipa, to pomeni, da je začasno sprejet kot resnica in se lahko osredotoči na druge probleme. Vendar to ne more biti točka v raziskovanju, ampak le začasen premor: status modela prve vrste je lahko le začasen.

Vrsta 2: Fenomenološki model (se obnašamo, kot da…)

Fenomenološki model vsebuje mehanizem za opisovanje pojava. Vendar pa ta mehanizem ni dovolj prepričljiv, ga ni mogoče dovolj potrditi z razpoložljivimi podatki ali pa se ne ujema dobro z obstoječimi teorijami in zbranim znanjem o predmetu. Zato imajo fenomenološki modeli status začasnih rešitev. Verjame se, da odgovor še ni znan in da je treba iskanje "pravih mehanizmov" nadaljevati. Peierls med drugo vrsto uvršča na primer kalorični model in kvarkov model osnovnih delcev.

Vloga modela v raziskovanju se lahko sčasoma spremeni in lahko se zgodi, da novi podatki in teorije potrdijo fenomenološke modele in jih dvignejo v status hipoteze. Prav tako lahko nova spoznanja postopoma pridejo v konflikt z modeli-hipotezami prve vrste in se lahko prevedejo v drugo. Tako model kvarkov postopoma prehaja v kategorijo hipotez; atomizem v fiziki je nastal kot začasna rešitev, s tekom zgodovine pa je postal prvi tip. Toda modeli etra so se prebili iz tipa 1 v tip 2 in so zdaj zunaj znanosti.

Zamisel o poenostavitvi je zelo priljubljena pri gradnji modelov. Toda poenostavitev prihaja v različnih oblikah. Peierls identificira tri vrste poenostavitev pri modeliranju.

Vrsta 3: Približek (menimo, da je nekaj zelo veliko ali zelo majhno)

Če je mogoče sestaviti enačbe, ki opisujejo proučevani sistem, to ne pomeni, da jih je mogoče rešiti tudi s pomočjo računalnika. Običajna tehnika v tem primeru je uporaba približkov (modeli tipa 3). Med njimi modeli linearnega odziva. Enačbe nadomestimo z linearnimi. Standardni primer je Ohmov zakon.

Tukaj pride tip 8, ki je zelo razširjen v matematičnih modelih bioloških sistemov.

Tip 8: Predstavitev funkcije (glavna stvar je pokazati notranjo doslednost možnosti)

Tudi to so miselni eksperimenti z namišljenimi entitetami, ki to dokazujejo domnevni pojav skladen z osnovnimi načeli in notranje konsistenten. To je glavna razlika od modelov tipa 7, ki razkrivajo skrita protislovja.

Eden najbolj znanih teh poskusov je geometrija Lobačevskega (Lobačevski jo je imenoval "imaginarna geometrija"). Drug primer je masovna proizvodnja formalno kinetičnih modelov kemičnih in bioloških vibracij, avtovalov itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je bil zasnovan kot model tipa 7, da bi prikazal nedoslednost kvantne mehanike. Na povsem nenačrtovan način se je sčasoma spremenil v model tipa 8 – prikaz možnosti kvantne teleportacije informacij.

Primer

Razmislite o mehanskem sistemu, sestavljenem iz vzmeti, pritrjene na enem koncu, in mase mase , pritrjene na prosti konec vzmeti. Predvidevamo, da se obremenitev lahko premika le v smeri osi vzmeti (na primer, gibanje poteka vzdolž palice). Izdelajmo matematični model tega sistema. Stanje sistema bomo opisali z razdaljo od središča bremena do njegovega ravnotežnega položaja. Opišimo medsebojno delovanje vzmeti in bremena Hookov zakon() in nato uporabite drugi Newtonov zakon, da ga izrazite v obliki diferencialne enačbe:

kjer pomeni drugi odvod glede na čas: .

Nastala enačba opisuje matematični model obravnavanega fizičnega sistema. Ta model se imenuje "harmonični oscilator".

Po formalni klasifikaciji je ta model linearen, determinističen, dinamičen, koncentriran, zvezen. V procesu njegove izdelave smo postavili številne predpostavke (o odsotnosti zunanjih sil, odsotnosti trenja, majhnosti odstopanj itd.), ki v resnici morda niso izpolnjene.

Glede na realnost je to največkrat model tipa 4 poenostavitev(»nekaj podrobnosti bomo zaradi jasnosti izpustili«), saj so izpuščene nekatere bistvene univerzalne lastnosti (na primer disipacija). V nekem približku (recimo, medtem ko je odstopanje obremenitve od ravnovesja majhno, z nizkim trenjem, ne predolgo časa in pod določenimi drugimi pogoji), tak model precej dobro opisuje realni mehanski sistem, saj so zavrženi faktorji zanemarljiv vpliv na njegovo obnašanje. Vendar pa je model mogoče izboljšati z upoštevanjem nekaterih od teh dejavnikov. To bo vodilo do novega modela s širšim (čeprav spet omejenim) obsegom uporabnosti.

Vendar pa se lahko pri izpopolnjevanju modela kompleksnost njegove matematične raziskave znatno poveča in naredi model tako rekoč neuporaben. Pogosto enostavnejši model omogoča boljše in globlje raziskovanje realnega sistema kot bolj zapleten (in formalno "bolj pravilen").

Če model harmoničnega oscilatorja uporabimo za objekte, ki so daleč od fizike, je lahko njegov vsebinski status drugačen. Na primer, ko ta model uporabimo za biološke populacije, bi ga morali najverjetneje razvrstiti kot tip 6 analogija(»upoštevajmo le nekatere značilnosti«).

Trdi in mehki modeli

Harmonični oscilator je primer tako imenovanega "trdega" modela. Pridobljena je kot posledica močne idealizacije realnega fizičnega sistema. Da bi rešili vprašanje njegove uporabnosti, je treba razumeti, kako pomembni so dejavniki, ki smo jih zanemarili. Z drugimi besedami, treba je preučiti "mehki" model, ki ga dobimo z majhno motnjo "trdega". Podana je lahko na primer z naslednjo enačbo:

Tukaj je nekaj funkcij, ki lahko upoštevajo silo trenja ali odvisnost koeficienta togosti vzmeti od stopnje njenega raztezanja - nekaj majhnega parametra. Eksplicitna oblika funkcije nas trenutno ne zanima. Če dokažemo, da se obnašanje mehkega modela bistveno ne razlikuje od obnašanja trdega (ne glede na eksplicitno vrsto motečih dejavnikov, če so dovolj majhni), se bo problem zmanjšal na preučevanje trdega modela. V nasprotnem primeru bo uporaba rezultatov, pridobljenih s študijem togega modela, zahtevala dodatne raziskave. Na primer, rešitev enačbe harmoničnega oscilatorja so funkcije oblike , to so nihanja s konstantno amplitudo. Ali iz tega sledi, da bo pravi oscilator neomejeno nihal s konstantno amplitudo? Ne, saj ob upoštevanju sistema s poljubno majhnim trenjem (ki je v realnem sistemu vedno prisotno) dobimo dušena nihanja. Obnašanje sistema se je kvalitativno spremenilo.

Če sistem ohrani svoje kvalitativno obnašanje ob majhnih motnjah, se imenuje strukturno stabilen. Harmonični oscilator je primer strukturno nestabilnega (negrobega) sistema. Vendar pa se ta model lahko uporablja za preučevanje procesov v omejenih časovnih obdobjih.

Vsestranskost modelov

Najpomembnejši matematični modeli imajo običajno pomembna lastnina vsestranskost: Bistveno različne realne pojave je mogoče opisati z istim matematičnim modelom. Na primer, harmonični oscilator ne opisuje le obnašanja obremenitve na vzmeti, temveč tudi druge nihajne procese, pogosto popolnoma drugačne narave: majhna nihanja nihala, nihanja nivoja tekočine v posodi v obliki črke A. , ali sprememba jakosti toka v nihajnem krogu. Tako s preučevanjem enega matematičnega modela takoj preučujemo cel razred pojavov, ki jih ta opisuje. To je ta izomorfizem zakonitosti, izražen z matematičnimi modeli v različnih segmentih znanstvena spoznanja, navdih za Ludwiga von Bertalanffyja, da je ustvaril "Splošno sistemsko teorijo".

Direktni in inverzni problemi matematičnega modeliranja

Z matematičnim modeliranjem je povezanih veliko težav. Najprej morate pripraviti osnovni diagram modeliranega predmeta, ga reproducirati v okviru idealizacij te znanosti. Tako se vlakovni vagon spremeni v sistem plošč in kompleksnejših teles iz različnih materialov, vsak material je specificiran kot njegova standardna mehanska idealizacija (gostota, elastični moduli, standardne trdnostne karakteristike), po kateri se sestavijo enačbe in na poti nekatere podrobnosti se zavržejo kot nepomembne, izvedejo se izračuni, primerjajo z meritvami, model se izpopolni itd. Vendar pa je za razvoj tehnologij matematičnega modeliranja koristno ta proces razstaviti na glavne komponente.

Tradicionalno obstajata dva glavna razreda problemov, povezanih z matematičnimi modeli: direktni in inverzni.

Neposredna naloga: struktura modela in vsi njegovi parametri se štejejo za znane, glavna naloga je izvesti študijo modela, da se izvleče koristno znanje o predmetu. Kakšno statično obremenitev bo most prenesel? Kako se bo odzvalo na dinamično obremenitev (na primer na marš čete vojakov ali na prehod vlaka z različnimi hitrostmi), kako bo letalo premagalo zvočni zid, ali bo razpadlo zaradi plapola - to so tipični primeri neposrednega problema. Postavitev pravega neposrednega problema (postavljanje pravega vprašanja) zahteva posebno spretnost. Če se ne postavijo prava vprašanja, se lahko most zruši, tudi če je bil zgrajen dober model njegovega obnašanja. Tako se je leta 1879 v Veliki Britaniji zrušil kovinski most čez reko Tay, katerega načrtovalci so zgradili model mostu, izračunali, da ima 20-kratni varnostni faktor za delovanje tovora, pozabili pa so na vetrove. na tistih mestih nenehno piha. In po letu in pol je propadlo.

V najpreprostejšem primeru (enačba enega oscilatorja, na primer) je neposredni problem zelo preprost in se zmanjša na eksplicitno rešitev te enačbe.

Inverzni problem: poznanih je veliko možnih modelov, določen model je treba izbrati na podlagi dodatnih podatkov o objektu. Najpogosteje je struktura modela znana, nekatere neznane parametre pa je treba določiti. Dodatne informacije so lahko sestavljene iz dodatnih empiričnih podatkov ali zahtev za predmet ( problem oblikovanja). Dodatni podatki lahko pridejo ne glede na postopek reševanja inverznega problema ( pasivno opazovanje) ali biti rezultat poskusa, posebej načrtovanega med reševanjem ( aktivni nadzor).

Eden prvih primerov mojstrske rešitve inverznega problema z največjo uporabo razpoložljivih podatkov je bila metoda, ki jo je zgradil I. Newton za rekonstrukcijo sil trenja iz opazovanih dušenih nihanj.

Drug primer je matematična statistika. Naloga te vede je razviti metode za beleženje, opisovanje in analizo opazovalnih in eksperimentalnih podatkov z namenom gradnje verjetnostnih modelov množičnih naključnih pojavov. Tisti. nabor možnih modelov je omejen na verjetnostne modele. Pri specifičnih nalogah je nabor modelov bolj omejen.

Sistemi za računalniško simulacijo

Za podporo matematičnega modeliranja so bili razviti sistemi za računalniško matematiko, na primer Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim itd. Omogočajo ustvarjanje formalnih in blokovnih modelov preprostih in kompleksnih procesov in naprav ter enostavno spreminjanje parametrov modela med manekenstvo. Bločni modeli so predstavljeni z bloki (najpogosteje grafičnimi), katerih nabor in povezava je določena z modelnim diagramom.

Dodatni primeri

Malthusov model

Stopnja rasti je sorazmerna s trenutno velikostjo populacije. Opisuje ga diferencialna enačba

kjer je določen parameter, ki ga določa razlika med rodnostjo in smrtnostjo. Rešitev te enačbe je eksponentna funkcija. Če stopnja rodnosti presega stopnjo umrljivosti (), se velikost populacije povečuje neomejeno in zelo hitro. Jasno je, da se to v resnici zaradi omejenih sredstev ne more zgoditi. Ko je dosežena določena kritična velikost populacije, model ni več ustrezen, saj ne upošteva omejenih virov. Izpopolnitev Malthusovega modela je lahko logistični model, ki je opisan z Verhulstovo diferencialno enačbo

kjer je »ravnotežna« velikost prebivalstva, pri kateri je stopnja rodnosti natančno kompenzirana s stopnjo umrljivosti. Velikost populacije v takem modelu se nagiba k ravnotežni vrednosti in to vedenje je strukturno stabilno.

Sistem plenilec-plen

Recimo, da na določenem območju živita dve vrsti živali: zajci (jedo rastline) in lisice (jedo zajce). Naj bo število zajcev, število lisic. Z uporabo Malthusovega modela s potrebnimi popravki, ki upoštevajo uživanje kuncev s strani lisic, pridemo do naslednjega sistema, imenovanega modeli Pladnji - Volterra:

Ta sistem ima ravnotežno stanje, ko je število zajcev in lisic konstantno. Odstopanje od tega stanja povzroči nihanje števila zajcev in lisic, podobno kot nihanje harmoničnega oscilatorja. Tako kot pri harmoničnem oscilatorju tudi to vedenje ni strukturno stabilno: majhna sprememba v modelu (na primer ob upoštevanju omejenih virov, ki jih potrebujejo zajci) lahko povzroči kvalitativno spremembo vedenja. Na primer, ravnotežje lahko postane stabilno in nihanja v številu bodo izginila. Možna je tudi nasprotna situacija, ko bo vsako majhno odstopanje od ravnotežnega položaja povzročilo katastrofalne posledice, do popolnega izumrtja ene od vrst. Model Volterra-Lotka ne odgovarja na vprašanje, kateri od teh scenarijev se uresničuje: tukaj so potrebne dodatne raziskave.

Opombe

1. »Matematična predstavitev realnosti« (Enciklopedija Britanica)
2. Novik I. B., O filozofskih vprašanjih kibernetičnega modeliranja. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistemov: Uč. za univerze - 3. izdaja, prenovljena. in dodatno - M.: Višje. šola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarski A. A., Mihajlov A. P. Matematično modeliranje. Ideje. Metode. Primeri. - 2. izd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elementi teorije matematičnih modelov. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostjanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesov: učbenik / A.G. Sevostjanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Lahka in prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
7. Wikislovar: matematični model
8. CliffsNotes.com. Glosar znanosti o Zemlji. 20. september 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. »Teorija se šteje za linearno ali nelinearno, odvisno od vrste matematičnega aparata - linearnega ali nelinearnega - in kakšne vrste linearnih ali nelinearnih matematičnih modelov uporablja. ... ne da bi zanikal slednje. Sodobni fizik, če bi moral na novo ustvariti definicijo tako pomembne entitete, kot je nelinearnost, bi najverjetneje ravnal drugače in bi, dal prednost nelinearnosti kot pomembnejšemu in bolj razširjenemu od obeh nasprotij, linearnost definiral kot »ne nelinearnost." Danilov Yu A., Predavanja o nelinearni dinamiki. Osnovni uvod. Serija "Sinergetika: iz preteklosti v prihodnost." 2. izdaja. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
11. « Dinamični sistemi, modelirani s končnim številom navadnih diferencialnih enačb, se imenujejo koncentrirani ali točkasti sistemi. Opisani so z uporabo končnodimenzionalnega faznega prostora in zanje je značilno končno število prostostnih stopenj. Isti sistem pod različnimi pogoji lahko štejemo za koncentriranega ali porazdeljenega. Matematični modeli porazdeljenih sistemov so parcialne diferencialne enačbe, integralne enačbe ali navadne enačbe z zakasnitvijo. Število stopenj svobode porazdeljenega sistema je neskončno in za določitev njegovega stanja je potrebno neskončno število podatkov.« Aniščenko V. S., Dinamični sistemi, Soros Educational Journal, 1997, št. 11, str. 77-84.
12. »Glede na naravo procesov, ki jih proučujemo v sistemu S, lahko vse vrste modeliranja razdelimo na deterministično in stohastično, statično in dinamično, diskretno, zvezno in diskretno-zvezno. Deterministično modeliranje odraža deterministične procese, to je procese, pri katerih se predpostavlja odsotnost vsakršnih naključnih vplivov; stohastično modeliranje prikazuje verjetnostne procese in dogodke. ... Statično modeliranje služi za opis obnašanja predmeta v katerem koli trenutku, dinamično modeliranje pa odraža obnašanje predmeta skozi čas. Diskretno modeliranje se uporablja za opisovanje procesov, za katere se predpostavlja, da so diskretni, oz. kontinuirano modeliranje nam omogoča, da odražamo kontinuirane procese v sistemih, diskretno-kontinuirano modeliranje pa se uporablja za primere, ko želijo poudariti prisotnost tako diskretnih kot kontinuiranih procesov. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Običajno matematični model odraža strukturo (napravo) modeliranega predmeta, lastnosti in razmerja komponent tega predmeta, ki so bistvenega pomena za namene raziskave; tak model imenujemo strukturni. Če model odraža le, kako objekt deluje - na primer, kako se odziva na zunanje vplive -, potem se imenuje funkcionalen ali, figurativno, črna skrinjica. Možni so tudi kombinirani modeli. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. »Očitna, a najpomembnejša začetna stopnja konstruiranja ali izbire matematičnega modela je pridobitev čim bolj jasne slike o objektu, ki se modelira, in izboljšanje njegovega smiselnega modela na podlagi neformalnih razprav. Na tej stopnji ne smete prihraniti časa in truda, od tega je v veliki meri odvisen uspeh celotne študije. Več kot enkrat se je zgodilo, da se je veliko dela, vloženega v reševanje matematičnega problema, izkazalo za neučinkovito ali celo zapravljeno zaradi premajhne pozornosti tej strani zadeve.« Myshkis A.D., Elementi teorije matematičnih modelov. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
15. « Opis konceptualnega modela sistema. Na tej podstopnji gradnje modela sistema: a) je konceptualni model M opisan z abstraktnimi termini in koncepti; b) opis modela je podan z uporabo standardnih matematičnih shem; c) hipoteze in predpostavke so dokončno sprejete; d) je upravičena izbira postopka aproksimacije realnih procesov pri izdelavi modela.« Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistemov: Uč. za univerze - 3. izdaja, prenovljena. in dodatno - M.: Višje. šola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
16. Blekhman I. I., Miškis A. D., Panovko N. G., Uporabna matematika: Predmet, logika, značilnosti pristopov. S primeri iz mehanike: Vadnica. - 3. izd., rev. in dodatno - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, 2. poglavje.

Vrste matematičnih modelov

Odvisno od tega, s kakšnimi sredstvi, pod kakšnimi pogoji in v zvezi s kakšnimi predmeti spoznavanja se uresničuje sposobnost modelov, da odražajo resničnost, nastane njihova velika raznolikost in s tem klasifikacije. S posploševanjem obstoječih klasifikacij bomo na podlagi uporabljenega matematičnega aparata identificirali osnovne modele, na podlagi katerih se razvijajo posebni modeli (slika 8.1).

Slika 8.1 - Formalna klasifikacija modelov

Matematični modeli prikazujejo proučevane predmete (procese, sisteme) v obliki eksplicitnih funkcionalnih odnosov: algebraične enakosti in neenakosti, integral in diferencial, končna razlika in drugi matematične izraze(zakon porazdelitve naključne spremenljivke, regresijski modeli itd.), kot tudi relacije matematične logike.

Odvisno od dveh temeljne značilnosti konstruiranje matematičnega modela - vrsta opisa vzročno-posledičnih zvez in njihovih sprememb skozi čas - razlikujemo med determinističnimi in stohastičnimi, statičnimi in dinamičnimi modeli (slika 8.2).

Namen diagrama, predstavljenega na sliki, je prikazati naslednje funkcije:

1) matematični modeli so lahko deterministični in stohastični;

2) deterministični in stohastični modeli so lahko statični in dinamični.

Matematični model se imenuje determinističen (determinističen), če so vsi njegovi parametri in spremenljivke enolično določene količine in je izpolnjen tudi pogoj popolne gotovosti informacije. V nasprotnem primeru se v pogojih informacijske negotovosti, ko so parametri in spremenljivke modela naključne spremenljivke, model imenuje stohastični (verjetnostni).

Slika 8.2 – Razredi matematičnih modelov

Model se imenuje dinamično, če se vsaj ena spremenljivka spreminja v časovnih obdobjih in statična, če sprejmemo hipotezo, da se spremenljivke skozi časovna obdobja ne spreminjajo.

V najpreprostejšem primeru ravnotežni modeli delujejo v obliki bilančne enačbe, kjer je na levi strani znesek morebitnih prejemkov, na desni pa odhodkovni del, prav tako v obliki vsote. Tako je na primer predstavljen letni proračun organizacije.

Na podlagi statističnih podatkov je mogoče zgraditi ne samo modele bilance stanja, temveč tudi korelacijske in regresijske modele.

Če funkcija Y ni odvisna samo od spremenljivk x 1, x 2, ... x n, ampak tudi od drugih dejavnikov, je povezava med Y in x 1, x 2, ... x n netočna ali korelacijska, v nasprotju z natančna ali funkcionalna povezava. Korelacije so na primer v večini primerov opažene povezave med izhodnimi parametri OPS in dejavniki njegovega notranjega in zunanje okolje(glej temo 5).

Korelacijsko-regresijski modeli se pridobijo s preučevanjem vpliva celotnega kompleksa dejavnikov na vrednost posamezne značilnosti z uporabo statističnega aparata. V tem primeru naloga ni samo vzpostaviti korelacijsko razmerje, ampak tudi analitično izraziti to razmerje, torej izbrati enačbe, ki opisujejo to korelacijsko odvisnost (regresijska enačba).

Najti številčna vrednost Za parametre regresijske enačbe se uporablja metoda najmanjših kvadratov. Bistvo te metode je, da premico izberemo tako, da bo vsota kvadratov odmikov Y ordinat posameznih točk od nje najmanjša.

Korelacijsko-regresijski modeli se pogosto uporabljajo pri preučevanju pojavov, ko je treba vzpostaviti razmerje med relevantnimi značilnostmi v dveh ali več serijah. V tem primeru se uporablja predvsem parna in večkratna linearna regresija obrazca

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

Kot rezultat uporabe metode najmanjših kvadratov se ugotovijo vrednosti parametrov a ali a 1 , a 2 , ..., a n in b, nato pa natančnost aproksimacije in pomen nastale regresijske enačbe so ocenjeni.

Dodeljena je posebna skupina grafično-analitični modeli . Uporabljajo različne grafične podobe in imajo zato dobro vidljivost.

Teorija grafov je ena od teorij diskretne matematike, ki preučuje grafe, ki jih razumemo kot niz točk in črt, ki jih povezujejo. Graf je neodvisen matematični objekt (prvi ga je predstavil D. Koenig). Drevesni in mrežni modeli so najpogosteje zgrajeni na osnovi teorije grafov.

Drevesni model (drevo) je neusmerjen povezan graf, ki ne vsebuje zank ali ciklov. Primer takega modela je drevo ciljev.

Omrežni modeli so našli široko uporabo pri upravljanju dela. Mrežni modeli (grafi) odražajo zaporedje dela in trajanje posameznega dela (slika 8.3).

Slika 8.3 – Mrežni model produkcije dela

Vsaka vrstica omrežnega diagrama je nekaj dela. Številka zraven označuje trajanje njegove izvedbe.

Omrežni modeli omogočajo iskanje tako imenovane kritične poti in optimizacijo urnika dela skozi čas z omejitvami drugih virov.

Omrežni modeli so lahko deterministični ali stohastični. V slednjem primeru je trajanje dela določeno z zakoni porazdelitve naključnih spremenljivk.

Optimizacijski modeli služijo za določanje optimalne poti za sistem, da doseže svoj cilj, medtem ko nalagajo določene omejitve nadzoru njegovega vedenja in gibanja. V tem primeru opisujejo optimizacijski modeli različne vrste problem iskanja ekstrema neke ciljne funkcije (optimizacijski kriterij).

Identificirati najboljši način Za doseganje ciljev upravljanja v razmerah omejenih virov - tehničnih, materialnih, delovnih in finančnih - se uporabljajo metode operacijskega raziskovanja. Sem spadajo metode matematičnega programiranja (linearno in nelinearno, celoštevilsko, dinamično in stohastično programiranje), analitične in verjetnostno-statistične metode, mrežne metode, metode teorije čakalnih vrst, teorije iger (teorija konfliktnih situacij) itd.

Optimizacijski modeli se uporabljajo za načrtovanje obsega in terminskega načrtovanja, upravljanje zalog, distribucijo sredstev in dela, zamenjavo, parametrizacijo in standardizacijo opreme, distribucijo tokov blagovnih zalog na transportnem omrežju in druge naloge upravljanja.

Eden glavnih dosežkov teorije operacijskih raziskav je tipizacija modelov upravljanja in metod za reševanje problemov. Na primer, za rešitev transportnega problema, odvisno od njegove razsežnosti, so bile razvite standardne metode - Vogelova metoda, potencialna metoda, simpleksna metoda. Tudi pri reševanju problema vodenja zalog se lahko glede na njegovo zasnovo uporabljajo analitične in verjetnostno-statistične metode, metode dinamičnega in stohastičnega programiranja.

Pri upravljanju je poseben pomen namenjen načinom mrežnega načrtovanja. Te metode so omogočile iskanje novega in zelo priročen jezik za opisovanje, modeliranje in analizo kompleksnih večstopenjskih del in projektov. V operacijskih raziskavah je pomembno mesto namenjeno izboljšanju vodenja kompleksnih sistemov z uporabo metod teorije čakalnih vrst (glej poglavje 8.3) in aparata Markovljevih procesov.

Modeli Markovskih naključnih procesov- sistem diferencialnih enačb, ki opisujejo delovanje sistema ali njegovih procesov v obliki niza urejenih stanj vzdolž določene trajektorije vedenja sistema. Ta razred modelov se pogosto uporablja pri matematičnem modeliranju delovanja kompleksnih sistemov.

Modeli teorije iger služijo za izbiro optimalne strategije v pogojih omejenih naključnih informacij ali popolne negotovosti.

Igra je matematični model resnične konfliktne situacije, katere rešitev se izvaja v skladu z določenimi pravili in algoritmi, ki opisujejo določeno strategijo vedenja odločevalca v pogojih negotovosti.

Obstajajo »igre z naravo« in »igre s sovražnikom«. Na podlagi situacije se določijo metode in merila za presojo odločanja. Tako se pri »igranju z naravo« uporabljajo naslednji kriteriji: Laplace, maksimin (Waldov kriterij) in minimaks, Hurwitz in Savage ter vrsta drugih algoritemskih pravil. V »igrah z nasprotnikom« se za sprejemanje odločitev uporabljajo plačilne matrike, maximin in minimax kriteriji ter posebne matematične transformacije, saj se odločevalcu spopade z neprijaznim nasprotnikom.

Obravnavane vrste matematičnih modelov ne zajemajo vse njihove možne raznolikosti, temveč le karakterizirajo posamezne vrste glede na sprejeti vidik klasifikacije. V. A. Kardash je poskušal ustvariti sistem za razvrščanje modelov glede na štiri vidike podrobnosti (slika 8.4).

A - modeli brez prostorske diferenciacije parametrov;

B - modeli s prostorsko diferenciacijo parametrov

Slika 8.4 – Razvrstitev modelov glede na štiri vidike podrobnosti

Z razvojem računalniških orodij je eden najpogostejših načinov odločanja poslovna igra, ki je numerični eksperiment z aktivnim sodelovanjem osebe. Obstaja na stotine poslovnih iger. Uporabljajo se za preučevanje vrste problemov v managementu, ekonomiji, organizacijski teoriji, psihologiji, financah in trgovini.