Primer 1.5.1.

Naj neka gospodarska regija proizvaja več (n) vrst izdelkov izključno sama in samo za prebivalce te regije. Predpostavlja se, da je bil tehnološki proces izdelan in preučeno povpraševanje prebivalstva po tem blagu. Treba je določiti letni obseg proizvodnje proizvodov ob upoštevanju dejstva, da mora ta obseg zagotoviti tako končno kot industrijsko porabo.

Naredimo matematični model tega problema. Glede na stanje so podane: vrste izdelkov, povpraševanje po njih in tehnološki proces; poiščite obseg proizvodnje za vsako vrsto izdelka.

Označimo znane količine:

c jaz- javno povpraševanje po jaz-ti izdelek ( jaz=1,...,n); a ij- količina jaz-ti izdelek, potreben za proizvodnjo enote j -tega izdelka z uporabo te tehnologije ( jaz=1,...,n ; j=1,...,n);

X jaz - obseg proizvodnje jaz-ti izdelek ( jaz=1,...,n); celota z =(c 1 ,..., c n ) se imenuje vektor povpraševanja, številke a ij– tehnološke koeficiente in nabor X =(X 1 ,..., X n ) je vektor sproščanja.

Po pogoju problema je vektor X je razdeljen na dva dela: za končno porabo (vektor z ) in razmnoževanje (vektor x-s ). Izračunajte ta del vektorja X ki gre v reprodukcijo. Po naših oznakah za proizvodnjo X j količina j-tega produkta gre a ij · X j količine jaz-ti izdelek.

Nato vsota a i1 · X 1 +...+ a v · X n prikazuje vrednost jaz-ti izdelek, ki je potreben za celoten izhod X =(X 1 ,..., X n ).

Zato mora veljati enakost:

Če to razmišljanje razširimo na vse vrste izdelkov, pridemo do želenega modela:

Reševanje tega sistema n linearnih enačb glede na X 1 ,...,X n in poiščite zahtevani izhodni vektor.

Da bi ta model zapisali v bolj kompaktni (vektorski) obliki, uvedemo zapis:

kvadrat (
) -matrika A imenovana tehnološka matrika. Preprosto je preveriti, da bo naš model zdaj zapisan takole: x-s=Ah oz

(1.6)

Dobili smo klasični model " Vhod - Izhod ”, katere avtor je znani ameriški ekonomist V. Leontiev.

Primer 1.5.2.

Rafinerija nafte ima dve vrsti nafte: razred A v količini 10 enot, razred IN- 15 enot. Pri predelavi nafte dobimo dva materiala: bencin (označujemo B) in kurilno olje ( M). Obstajajo tri možnosti za tehnologijo obdelave:

jaz: 1 enota A+ 2 enoti IN daje 3 enote. B+ 2 enoti M

II: 2 enoti A+ 1 enota IN daje 1 enoto. B+ 5 enot M

III: 2 enoti A+ 2 enoti IN daje 1 enoto. B+ 2 enoti M

Cena bencina je 10 USD na enoto, kurilnega olja 1 USD na enoto.

Določiti je treba najugodnejšo kombinacijo tehnoloških postopkov za predelavo razpoložljive količine nafte.

Pred modeliranjem razjasnimo naslednje točke. Iz pogojev problema izhaja, da je treba "donosnost" tehnološkega procesa za obrat razumeti v smislu pridobivanja največjega dohodka od prodaje njegovih končnih izdelkov (bencin in kurilno olje). V zvezi s tem je jasno, da je "odločitev o izbiri" obrata določiti, katero tehnologijo in kolikokrat uporabiti. Očitno je takih možnosti veliko.

Označimo neznane količine:

X jaz- količina uporabe jaz-th tehnološki proces (i=1,2,3). Drugi parametri modela (zaloge vrst nafte, cene bencina in kurilnega olja) znan.

Zdaj je ena posebna odločitev rastline zmanjšana na izbiro enega vektorja X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , za kar je prihodek obrata enak (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Tu je 32 dolarjev dohodek, prejet z eno uporabo prvega tehnološkega procesa (10 dolarjev 3 enote. B+ 12 $ enot M= 32 dolarjev). Koeficienta 15 in 12 imata podoben pomen za drugi oziroma tretji tehnološki proces. Obračunavanje rezerve nafte vodi do naslednjih pogojev:

za raznolikost A:

za raznolikost IN:,

kjer so v prvi neenačbi koeficienti 1, 2, 2 porabe olja razreda A za enkratno uporabo tehnoloških procesov. jaz,II,III oz. Koeficienti druge neenakosti imajo podoben pomen za olje razreda B.

Matematični model kot celota ima obliko:

Poiščite tak vektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maksimirati

f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

ko so izpolnjeni pogoji:

Skrajšana oblika tega vnosa je naslednja:

pod omejitvami

(1.7)

Dobili smo tako imenovani problem linearnega programiranja.

Model (1.7.) je primer optimizacijskega modela determinističnega tipa (z dobro definiranimi elementi).

Primer 1.5.3.

Vlagatelj mora določiti najboljši nabor delnic, obveznic in drugih vrednostnih papirjev, da jih kupi za določen znesek, da bi dosegel določen dobiček z minimalnim tveganjem za sebe. Donosnost vsakega dolarja, vloženega v vrednostni papir j-th vrsta, za katero sta značilna dva kazalnika: pričakovani dobiček in dejanski dobiček. Za vlagatelja je zaželeno, da pričakovani dobiček na dolar naložbe za celoten sklop vrednostnih papirjev ni nižji od dane vrednosti. b.

Upoštevajte, da matematik za pravilno modeliranje tega problema zahteva določeno osnovno znanje s področja portfeljske teorije vrednostnih papirjev.

Označimo znane parametre problema:

n- število vrst vrednostnih papirjev; A j– dejanski dobiček (naključno število) iz j-te vrste vrednostnega papirja; je pričakovan dobiček od j vrsto varnosti.

Označite neznane količine :

l j - sredstva, namenjena nakupu vrednostnih papirjev vrste j.

V našem zapisu je skupni vloženi znesek izražen kot . Za poenostavitev modela uvajamo nove količine

.

torej X jaz- to je delež vseh sredstev, namenjenih za nakup vrednostnih papirjev te vrste j.

Jasno je, da

Iz pogoja problema je razvidno, da je cilj vlagatelja doseči določeno stopnjo dobička z minimalnim tveganjem. V bistvu je tveganje merilo odstopanja dejanskega dobička od pričakovanega. Zato ga je mogoče identificirati s kovarianco dobička za vrednostne papirje tipa i in tipa j. Tukaj je M oznaka matematičnega pričakovanja.

Matematični model izvirnega problema ima obliko:

pod omejitvami

,
,
,
. (1.8)

Pridobili smo znani Markowitzev model za optimizacijo strukture portfelja vrednostnih papirjev.

Model (1.8.) je primer optimizacijskega modela stohastičnega tipa (z elementi naključnosti).

Primer 1.5.4.

Na podlagi trgovinske organizacije obstaja n vrst enega od izdelkov minimalnega asortimana. Samo ena od vrst tega izdelka mora biti dostavljena v trgovino. Potrebno je izbrati vrsto blaga, ki ga je priporočljivo prinesti v trgovino. Če je vrsta izdelka j bo povpraševanje, potem bo trgovina imela dobiček od njegove prodaje R j, če ni povpraševanja - izguba q j .

Pred modeliranjem bomo razpravljali o nekaterih temeljnih točkah. V tem problemu je odločevalec (DM) trgovina. Vendar pa izid (doseganje največjega dobička) ni odvisen le od njegove odločitve, ampak tudi od tega, ali bo uvoženo blago povpraševalo, tj. ali ga bo prebivalstvo odkupilo (domneva se, da trgovina iz nekega razloga nimajo možnosti preučiti povpraševanja prebivalstva). Zato lahko prebivalstvo štejemo za drugega nosilca odločanja, ki izbira vrsto blaga glede na svoje preference. Najslabša »odločitev« prebivalstva za trgovino je: »po uvoženem blagu ni povpraševanja«. Torej, da bi upoštevali vse vrste situacij, mora trgovina obravnavati prebivalstvo kot svojega "nasprotnika" (pogojno) in zasledovati nasprotni cilj - zmanjšati dobiček trgovine.

Imamo torej problem odločanja z dvema udeležencema, ki sledita nasprotnim ciljem. Naj pojasnimo, da trgovina izbere eno izmed vrst blaga za prodajo (rešitev je n), prebivalstvo pa eno od vrst blaga, po katerem je največje povpraševanje ( n možnosti rešitve).

Za sestavljanje matematični model narišite tabelo z n vrstice in n stolpci (skupaj n 2 celice) in se dogovorite, da vrstice ustrezajo izbiri trgovine, stolpci pa izbiri populacije. Potem kletka (i, j) ustreza situaciji, ko trgovina izbere jaz-ta vrsta blaga ( jaz-th line), prebivalstvo pa izbere j-ta vrsta blaga ( j- th stolpec). V vsako celico zapišemo številčno oceno (dobiček ali izguba) ustrezne situacije z vidika trgovine:

Številke q jaz napisano z minusom, ki odraža izgubo trgovine; v vsaki situaciji je "izplačilo" populacije (pogojno) enako "izplačilu" trgovine, vzeto z nasprotnim predznakom.

Skrajšani pogled na ta model je naslednji:

(1.9)

Dobili smo tako imenovano matrično igro. Model (1.9.) je primer modelov odločanja v igri.

Za izdelavo matematičnega modela potrebujete:

1. skrbno analizirati pravi predmet ali proces;
2. poudari njegove najpomembnejše značilnosti in lastnosti;
3. definirati spremenljivke, tj. parametri, katerih vrednosti vplivajo na glavne značilnosti in lastnosti predmeta;
4. z uporabo logičnih in matematičnih odnosov (enačb, enačb, neenačb, logičnih in matematičnih konstrukcij) opišejo odvisnost osnovnih lastnosti predmeta, procesa ali sistema od vrednosti spremenljivk;
5. poudariti notranje povezave predmeta, procesa ali sistema z uporabo omejitev, enačb, enačb, neenakosti, logičnih in matematičnih konstrukcij;
6. opredeliti zunanji odnosi in jih opišejo s pomočjo omejitev, enačb, enačb, neenačb, logičnih in matematičnih konstrukcij.

Matematično modeliranje poleg proučevanja predmeta, procesa ali sistema in sestavljanja njihovega matematičnega opisa vključuje tudi:

1. konstrukcija algoritma, ki modelira vedenje objekta, procesa ali sistema;
2. preverjanje ustreznosti modela in objekta, procesa ali sistema na osnovi računalniškega in naravnega eksperimenta;
3. prilagoditev modela;
4. z uporabo modela.

Matematični opis preučevanih procesov in sistemov je odvisen od:

1. naravo realnega procesa ali sistema in je sestavljen na podlagi zakonov fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. zahtevana zanesljivost in natančnost študije in proučevanja realnih procesov in sistemov.

Konstrukcija matematičnega modela se običajno začne z izdelavo in analizo najenostavnejšega, najbolj grobega matematičnega modela obravnavanega predmeta, procesa ali sistema. V prihodnosti se model po potrebi izpopolni, njegova korespondenca s predmetom postane popolnejša.

Vzemimo preprost primer. Določiti morate površino mize. Običajno se za to izmeri njegova dolžina in širina, nato pa se dobljene številke pomnožijo. Tak elementarni postopek pravzaprav pomeni naslednje: realni predmet (površino mize) nadomestimo z abstraktnim matematičnim modelom - pravokotnikom. Dimenzije, dobljene kot rezultat merjenja dolžine in širine površine mize, se pripišejo pravokotniku, površina takšnega pravokotnika pa se približno vzame kot želeno območje mize. Vendar pa je pravokotni model mize najpreprostejši in najbolj grob model. Z resnejšim pristopom k problemu je treba pred uporabo modela pravokotnika za določitev površine tabele ta model preveriti. Preverjanja lahko izvedete na naslednji način: izmerite dolžine nasprotnih straneh tabelo, kot tudi dolžine njenih diagonal in jih primerjajte med seboj. Če so z zahtevano stopnjo natančnosti dolžine nasprotnih stranic in dolžine diagonal po parih enake, potem lahko površino mize res štejemo za pravokotnik. V nasprotnem primeru bo treba model pravokotnika zavrniti in ga nadomestiti s štirikotnim modelom. splošni pogled. Z višjo zahtevo po natančnosti bo morda treba model še izboljšati, na primer, da se upošteva zaokroževanje vogalov mize.

S pomočjo tega preprost primer pokazalo se je, da matematični model ni enolično določen s preiskovanim objektom, procesom oz sistem.

ALI (potrjeno jutri)

Načini reševanja mat. Modeli:

1, Gradnja m. na podlagi naravnih zakonov (analitična metoda)

2. Formalni način s pomočjo statističnih. Obdelava in rezultati meritev (statistični pristop)

3. Konstrukcija števca po modelu elementov (kompleksni sistemi)

1, Analitično - uporaba z zadostno študijo. Splošna pravilnost znana. modeli.

2. poskus. V pomanjkanju informacij

3. Posnemanje m.- raziskuje lastnosti predmeta sst. Na splošno.

Primer gradnje matematičnega modela.

Matematični model je matematična predstavitev realnosti.

Matematično modeliranje je proces konstruiranja in proučevanja matematičnih modelov.

Vse naravoslovne in družboslovne vede, ki uporabljajo matematični aparat, se v bistvu ukvarjajo z matematičnim modeliranjem: objekt nadomestijo z njegovim matematičnim modelom in slednjega nato proučujejo. Povezava matematičnega modela z realnostjo se izvaja s pomočjo verige hipotez, idealizacij in poenostavitev. S pomočjo matematičnih metod je praviloma opisan idealen objekt, zgrajen na stopnji smiselnega modeliranja.

Zakaj so potrebni modeli?

Zelo pogosto se pri preučevanju predmeta pojavijo težave. Original sam včasih ni na voljo ali pa njegova uporaba ni priporočljiva ali pa je uporaba originala draga. Vse te težave je mogoče rešiti s pomočjo simulacije. Model lahko v določenem smislu nadomesti preučevani predmet.

Najenostavnejši primeri modelov

§ Fotografijo lahko imenujemo model osebe. Da bi prepoznali osebo, je dovolj videti njeno fotografijo.

§ Arhitekt je izdelal tloris novega stanovanjskega naselja. Z gibom roke lahko premika stolpnico iz enega dela v drugega. V resnici to ne bi bilo mogoče.

Vrste modelov

Modele lahko razdelimo na material" in idealno. zgornji primeri so materialni modeli. Idealni modeli imajo pogosto ikonično obliko. Hkrati se resnični koncepti nadomestijo z nekaterimi znaki, ki jih je mogoče enostavno pritrditi na papir, v pomnilnik računalnika itd.

Matematično modeliranje

Matematično modeliranje spada v razred znakovnega modeliranja. Hkrati je mogoče modele ustvariti iz poljubnih matematičnih objektov: števil, funkcij, enačb itd.

Gradnja matematičnega modela

§ Obstaja več stopenj izdelave matematičnega modela:

1. Razumevanje naloge, poudarjanje najpomembnejših lastnosti, lastnosti, vrednosti in parametrov za nas.

2. Uvedba notnega zapisa.

3. Izdelava sistema omejitev, ki jih morajo zadoščati vnesene vrednosti.

4. Oblikovanje in zapis pogojev, ki jih mora izpolnjevati želena optimalna rešitev.

Proces modeliranja se s sestavljanjem modela ne konča, ampak se z njim šele začne. Ko sestavijo model, izberejo metodo za iskanje odgovora, rešijo problem. ko je odgovor najden, ga primerjajte z realnostjo. In možno je, da odgovor ne zadovolji, v tem primeru se model spremeni ali celo izbere popolnoma drugačen model.

Primer matematičnega modela

Naloga

Proizvodno združenje, ki vključuje dve tovarni pohištva, mora posodobiti strojni park. Poleg tega mora prva tovarna pohištva zamenjati tri stroje, druga pa sedem. Naročila je mogoče oddati v dveh tovarnah obdelovalnih strojev. Prva tovarna lahko proizvede največ 6 strojev, druga tovarna pa sprejme naročilo, če so vsaj trije. Potrebno je določiti, kako oddati naročila.

MATEMATIČNI MODEL - predstavitev pojava ali procesa, ki se preučuje v konkretnem znanstvenem znanju, v jeziku matematičnih pojmov. Hkrati naj bi na poti preučevanja dejanskih matematičnih značilnosti modela pridobili številne lastnosti proučevanega pojava. Gradnja M.m. največkrat narekuje potreba po kvantitativni analizi proučevanih pojavov in procesov, brez katere pa je nemogoče eksperimentalno preverljivo napovedovati njihov potek.

Proces matematičnega modeliranja praviloma poteka skozi naslednje stopnje. Na prvi stopnji so povezave med glavnimi parametri prihodnjega M.m. To je približno najprej o kvalitativna analiza preučevane pojave in oblikovanje vzorcev, ki povezujejo glavne predmete raziskovanja. Na tej podlagi se izvede identifikacija objektov, ki omogočajo kvantitativni opis. Faza se konča z izgradnjo hipotetičnega modela, z drugimi besedami, zapisom v jeziku matematičnih konceptov kvalitativnih idej o odnosih med glavnimi predmeti modela, ki jih je mogoče kvantitativno označiti.

Na drugi stopnji poteka študija dejanskih matematičnih problemov, do katerih vodi zgrajeni hipotetični model. Glavna stvar na tej stopnji je pridobiti empirično preverljive teoretične posledice (rešitev neposrednega problema) kot rezultat matematične analize modela. Hkrati niso redki primeri, ko je za gradnjo in študij M.m. na različnih področjih posebej znanstvena spoznanja uporablja se isti matematični aparat (na primer diferencialne enačbe) in pojavljajo se matematični problemi istega tipa, čeprav v vsakem posameznem primeru zelo netrivialni. Poleg tega na tej stopnji postane zelo pomembna uporaba hitre računalniške tehnologije (računalnika), ki omogoča pridobitev približne rešitve problemov, pogosto nemogoče v okviru čiste matematike, s prej nedosegljivim (brez uporaba računalnika) stopnjo natančnosti.

Za tretjo fazo so značilne dejavnosti za ugotavljanje stopnje ustreznosti zgrajenega hipotetičnega M.m. tistih pojavov in procesov, za preučevanje katerih je bil namenjen. V primeru, da so vsi parametri modela določeni, namreč raziskovalci skušajo ugotoviti, kako so v okviru točnosti opazovanj njihovi rezultati skladni s teoretičnimi posledicami modela. Odstopanja, ki presegajo natančnost opazovanj, kažejo na neustreznost modela. Vendar pa pogosto obstajajo primeri, ko pri gradnji modela številni njegovi parametri ostanejo nespremenjeni.

nedoločen. Probleme, pri katerih so parametrične značilnosti modela vzpostavljene tako, da so teoretične posledice v okviru točnosti opazovanj primerljive z rezultati empiričnih preizkusov, imenujemo inverzni problemi.

Na četrti stopnji, ob upoštevanju identifikacije stopnje ustreznosti izdelanega hipotetičnega modela in pojava novih eksperimentalnih podatkov o preučevanih pojavih, poteka naknadna analiza in modifikacija modela. Tu se sprejeta odločitev razlikuje od brezpogojne zavrnitve uporabljenih matematičnih orodij do sprejetja konstruiranega modela kot temelja za gradnjo popolnoma nove znanstvene teorije.

Prvi M.m. pojavil v starodavni znanosti. Tako je grški matematik in astronom Evdoks za modeliranje sončnega sistema vsakemu planetu dal štiri krogle, katerih kombinacija gibanja je ustvarila hipopeda – matematično krivuljo, podobno opazovanemu gibanju planeta. Ker pa ta model ni mogel pojasniti vseh opaženih nepravilnosti v gibanju planetov, ga je kasneje nadomestil epiciklični model Apolonija iz Pergeja. Hiparh je v svojih študijah uporabil najnovejši model, nato pa ga je nekoliko spremenil Ptolemej. Ta model je tako kot njegovi predhodniki temeljil na prepričanju, da planeti delajo enotnost krožni gibi, katerega superpozicija je pojasnila vidne nepravilnosti. Ob tem je treba opozoriti, da je bil kopernikanski model bistveno nov le v kvalitativnem smislu (ne pa kot M.M.). In šele Kepler je na podlagi opazovanj Tycha Braheja zgradil nov M.m. Sončni sistem, ki dokazuje, da se planeti ne gibljejo po krožnih, ampak po eliptičnih orbitah.

Trenutno je M.m. izdelan za opis mehanskih in fizikalni pojavi. O ustreznosti M.m. zunaj fizike je mogoče, z nekaj izjemami, govoriti s precejšnjo mero previdnosti. Kljub temu je odpravljanje hipotetičnosti in pogosto preprosto neustreznosti M.m. na različnih področjih znanja ne gre podcenjevati njihove vloge pri razvoju znanosti. Pogosti so primeri, ko so tudi modeli, ki še zdaleč niso ustrezni, v veliki meri organizirali in spodbudili nadaljnje raziskave, skupaj z napačnimi zaključki pa so vsebovali tista zrna resnice, ki so v celoti upravičila trud, vložen v razvoj teh modelov.

Literatura:

Matematično modeliranje. M., 1979;

Ruzavin G.I. Matematizacija znanstvenih spoznanj. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferencialne enačbe v ekologiji: zgodovinska in metodološka refleksija // Problemi zgodovine naravoslovja in tehnologije. 1997. št. 3.

Slovar filozofskih izrazov. Znanstvena izdaja profesorja V.G. Kuznecova. M., INFRA-M, 2007, str. 310-311.

Matematični modeli

Matematični model - približen opiopis predmeta modeliranja, izražen z uporaboschyu matematična simbolika.

Matematični modeli so se pojavili skupaj z matematiko pred mnogimi stoletji. Velik zagon razvoju matematičnega modeliranja je dal pojav računalnikov. Uporaba računalnikov je omogočila analizo in uporabo številnih matematičnih modelov, ki jih prej ni bilo mogoče uporabiti. analitične raziskave. Računalniško izvedena matematikamodel neba klical računalniški matematični model, A izvajanje ciljnih izračunov z uporabo računalniškega modela klical računalniški poskus.

Stopnje računalniško matematične moizbris prikazano na sliki. najprejstopnja - opredelitev ciljev modeliranja. Ti cilji so lahko različni:

1. model je potreben, da bi razumeli, kako določen objekt deluje, kakšna je njegova struktura, osnovne lastnosti, zakonitosti razvoja in interakcije
   z zunanjim svetom (razumevanje);
2. model je potreben, da se naučimo nadzorovati predmet (ali proces) in določati najboljši načini vodenje z danimi cilji in merili (management);
3. model je potreben za napovedovanje neposrednih in posrednih posledic implementacije podane načine in oblike vpliva na objekt (napovedovanje).

Razložimo s primeri. Naj bo predmet proučevanja interakcija toka tekočine ali plina s telesom, ki je ovira za tok. Izkušnje kažejo, da se sila upora toka s strani telesa povečuje z naraščajočo hitrostjo toka, pri neki dovolj veliki hitrosti pa se ta sila sunkovito zmanjša, da bi z nadaljnjim povečevanjem hitrosti ponovno narasla. Kaj je povzročilo zmanjšanje sile upora? Matematično modeliranje nam omogoča, da dobimo jasen odgovor: v trenutku nenadnega zmanjšanja upora se vrtinci, ki nastanejo v toku tekočine ali plina za aerodinamičnim telesom, začnejo odcepiti od njega in jih tok odnese.

Primer iz povsem drugega področja: mirno sobivanje s stabilnim številom populacij dveh vrst posameznikov s skupno prehranjevalno bazo "nenadoma" začne dramatično spreminjati njihovo število. In tukaj matematično modeliranje omogoča (z določeno stopnjo gotovosti) ugotoviti vzrok (oz vsaj ovreči določeno hipotezo.

Razvoj koncepta upravljanja objektov je še en možni cilj modeliranja. Kateri način letenja letala izbrati, da bo let varen in ekonomsko najugodnejši? Kako razporediti na stotine vrst del pri gradnji velikega objekta, da se ta čim hitreje konča kratkoročno? Številni takšni problemi se sistematično pojavljajo pred ekonomisti, oblikovalci in znanstveniki.

Nenazadnje je napovedovanje posledic določenih vplivov na objekt lahko tako razmeroma enostavna zadeva v enostavnih fizičnih sistemih kot izjemno zapletena – na meji izvedljivosti – v bioloških, ekonomskih, družbenih sistemih. Če je razmeroma lahko odgovoriti na vprašanje o spremembi načina širjenja toplote v tanki palici s spremembami njene sestavne zlitine, potem je razmeroma enostavno izslediti (napovedati) okoljske in podnebne posledice gradnje velikega hidroelektrarna oz družbene posledice sprememb davčne zakonodaje neprimerljivo težje. Morda bodo tudi tu metode matematičnih modelov v prihodnje pomembneje pomagale.

Druga faza: opredelitev vhodnih in izhodnih parametrov modela; delitev vhodnih parametrov glede na stopnjo pomembnosti vpliva njihovih sprememb na izhod. Ta postopek se imenuje rangiranje ali delitev po rangu (glejte spodaj). "Formalisaoblikovanje in modeliranje").

Tretja stopnja: izdelava matematičnega modela. Na tej stopnji je prehod od abstraktne formulacije modela do formulacije, ki ima specifično matematično predstavitev. Matematični model so enačbe, sistemi enačb, sistemi neenačb, diferencialne enačbe ali sistemi takih enačb itd.

Četrta stopnja: izbira metode za preučevanje matematičnega modela. Tu se najpogosteje uporabljajo numerične metode, ki se dobro obnesejo pri programiranju. Praviloma je za reševanje istega problema primernih več metod, ki se razlikujejo po natančnosti, stabilnosti itd. Uspeh celotnega procesa modeliranja je pogosto odvisen od pravilne izbire metode.

Peta stopnja: razvoj algoritma, prevajanje in odpravljanje napak v računalniškem programu je proces, ki ga je težko formalizirati. Od programskih jezikov imajo številni strokovnjaki za matematično modeliranje raje FORTRAN: tako zaradi tradicije kot zaradi neprekosljive učinkovitosti prevajalnikov (za računalniško delo) in prisotnosti ogromnih, skrbno razhroščenih in optimiziranih knjižnic standardnih programov matematičnih metod, napisanih v to. V uporabi so tudi jeziki, kot so PASCAL, BASIC, C, odvisno od narave naloge in nagnjenj programerja.

Šesta stopnja: testiranje programa. Delovanje programa se preizkusi na testni nalogi z znanim odgovorom. To je šele začetek postopka testiranja, ki ga je težko formalno izčrpno opisati. Običajno se testiranje konča, ko uporabnik na svoj način strokovne podlage menite, da je program pravilen.

Sedma stopnja: dejanski računski eksperiment, med katerim postane jasno, ali model ustreza realnemu objektu (procesu). Model je dovolj ustrezen realnemu procesu, če nekatere karakteristike procesa, pridobljene na računalniku, z določeno stopnjo natančnosti sovpadajo z eksperimentalno pridobljenimi karakteristikami. Če model ne ustreza realnemu procesu, se vrnemo na eno od prejšnjih stopenj.

Klasifikacija matematičnih modelov

Klasifikacija matematičnih modelov lahko temelji na različnih načelih. Modele je mogoče razvrstiti po panogah znanosti (matematični modeli v fiziki, biologiji, sociologiji itd.). Razvrstimo ga lahko glede na uporabljeni matematični aparat (modeli, ki temeljijo na uporabi navadnih diferencialnih enačb, parcialnih diferencialnih enačb, stohastičnih metod, diskretnih algebrskih transformacij itd.). Končno na podlagi skupna opravila Za modeliranje v različnih znanostih, ne glede na matematični aparat, je najbolj naravna naslednja klasifikacija:

• deskriptivni (opisni) modeli;
• optimizacijski modeli;
• večkriterijski modeli;
• igralni modeli.

Razložimo to s primeri.

Deskriptivni (opisni) modeli. Na primer modeliranje gibanja kometa, ki je vdrl solarni sistem, je narejen z namenom, da napove trajektorijo njegovega leta, razdaljo, na kateri bo preletel Zemljo itd. V tem primeru so cilji modeliranja opisni, saj ni mogoče vplivati ​​na gibanje kometa, spremeniti nekaj v njem.

Optimizacijski modeli se uporabljajo za opis procesov, na katere je mogoče vplivati, da bi dosegli dani cilj. V tem primeru model vključuje enega ali več parametrov, na katere je mogoče vplivati. Na primer, s spremembo toplotnega režima v kašči si lahko zastavimo cilj, da izberemo takšen režim, da dosežemo maksimalno ohranitev zrn, tj. optimizirati proces shranjevanja.

Večkriterijski modeli. Pogosto je treba optimizirati proces pri več parametrih hkrati, cilji pa so si lahko zelo nasprotujoči. Na primer, če poznate cene hrane in človekovo potrebo po hrani, morate organizirati obroke velike skupine ljudi (v vojski, otroškem poletnem taboru itd.) fiziološko pravilno in hkrati čim ceneje. Jasno je, da ti cilji nikakor ne sovpadajo; pri modeliranju bo uporabljenih več kriterijev, med katerimi je treba iskati ravnovesje.

Igralni modeli je lahko povezano ne le z računalniške igre ampak tudi za zelo resne stvari. Na primer, poveljnik mora pred bitko, v prisotnosti nepopolnih informacij o nasprotni vojski, razviti načrt: v kakšnem vrstnem redu pripeljati določene enote v boj itd., ob upoštevanju in možna reakcija sovražnik. Obstaja poseben del sodobne matematike - teorija iger - ki preučuje metode odločanja v pogojih nepopolnih informacij.

Pri šolskem predmetu računalništvo dijaki v okviru osnovnega predmeta dobijo začetno predstavo o računalniško matematičnem modeliranju. V srednji šoli se lahko matematično modeliranje poglobljeno preučuje v splošnem izobraževalnem predmetu za pouk fizike in matematike, pa tudi v okviru specializiranega izbirnega predmeta.

Glavne oblike poučevanja računalniško matematičnega modeliranja v srednji šoli so predavanja, vaje in kreditne vaje. Običajno delo pri ustvarjanju in pripravi na študij vsakega novega modela traja 3-4 lekcije. Med podajanjem gradiva so postavljene naloge, ki naj bi jih v prihodnje študentje reševali samostojno, v na splošno opisani so načini za njihovo rešitev. Oblikovana so vprašanja, odgovore na katere je treba dobiti pri opravljanju nalog. Določeno dodatno literaturo, ki omogoča pridobitev podpornih informacij za uspešnejše opravljanje nalog.

Oblika organiziranja pouka pri študiju novega gradiva je običajno predavanje. Po zaključku razprave o naslednjem modelu študenti imajo na voljo potrebne teoretične informacije in nabor nalog za nadaljnje delo. Pri pripravi na nalogo učenci izberejo ustrezno metodo reševanja, z uporabo znane zasebne rešitve preizkusijo razvit program. V primeru možnih težav pri izvajanju nalog se posvetuje, predlaga se podrobnejša obdelava teh razdelkov v literaturi.

Za praktični del poučevanja računalniškega modeliranja je najbolj pomembna metoda projektov. Naloga je za študenta oblikovana v obliki izobraževalnega projekta in se izvaja v več učnih urah, glavna organizacijska oblika pa je računalniška. laboratorijska dela. Učenje modeliranja z metodo učnega projekta se lahko izvaja na različnih ravneh. Prvi je problemska postavitev procesa izvajanja projekta, ki ga vodi učitelj. Drugi je izvedba projekta s strani učencev pod vodstvom učitelja. Tretja je samostojna izvedba izobraževalne raziskovalne naloge študentov.

Rezultate dela je treba predstaviti v numerični obliki, v obliki grafov, diagramov. Če je mogoče, se proces prikaže na računalniškem zaslonu v dinamiki. Na koncu so izračuni in rezultati pridobljeni, analizirani, primerjani z znana dejstva iz teorije je potrjena zanesljivost in izvedena smiselna interpretacija, ki se nato odraža v pisnem poročilu.

Če rezultati zadovoljujejo učenca in učitelja, potem delo šteje končana, njegova zadnja faza pa je priprava poročila. Poročilo vključuje kratke teoretične informacije o obravnavani temi, matematično formulacijo problema, algoritem rešitve in njegovo utemeljitev, računalniški program, rezultate programa, analizo rezultatov in zaključke, seznam referenc.

Ko so vsa poročila sestavljena, se pri preizkusni uri učenci pogovarjajo s kratka sporočila o opravljenem delu, zagovarjajo svoj projekt. To je učinkovita oblika poročanja razredu s strani projektne skupine, vključno s postavitvijo problema, izgradnjo formalnega modela, izbiro metod za delo z modelom, implementacijo modela na računalnik, delo s končnim modelom, interpretacijo rezultatov, in napovedovanje. Posledično lahko študenti prejmejo dve oceni: prvo - za izdelavo projekta in uspešnost njegove obrambe, drugo - za program, optimalnost njegovega algoritma, vmesnika itd. Dijaki dobijo ocene tudi pri anketah iz teorije.

Bistveno vprašanje- katera orodja uporabiti pri šolskem tečaju informatike za matematično modeliranje? Računalniška izvedba modelov se lahko izvede:

• uporaba preglednice (običajno MS Excel);
• z ustvarjanjem programov v tradicionalnih programskih jezikih (Pascal, BASIC itd.), pa tudi v njihovih sodobnih različicah (Delphi, Visual
  Osnovno za uporabo itd.);
• uporaba posebnih programskih paketov za reševanje matematičnih problemov (MathCAD itd.).

Na ravni osnovne šole se zdi, da je prvo zdravilo prednostno. Vendar pa je v srednji šoli, ko je programiranje poleg modeliranja ključna tema računalništva, zaželeno, da ga vključimo kot orodje za modeliranje. V procesu programiranja postanejo študentom dostopne podrobnosti matematičnih postopkov; poleg tega so jih preprosto prisiljeni obvladati, kar prispeva tudi k matematični izobrazbi. Kar zadeva uporabo posebnih programskih paketov, je to primerno v profilnem tečaju računalništva kot dopolnilo k drugim orodjem.

telovadba :

• Oris ključnih pojmov.

Predavanje 1

METODOLOŠKE OSNOVE MODELIRANJA

Trenutno stanje problematike modeliranja sistemov

Koncepti modeliranja in simulacije

Modelarstvo se lahko obravnava kot zamenjava preiskovanega predmeta (originala) z njegovo pogojno sliko, opisom ali drugim predmetom, imenovanim model in zagotavljanje vedenja, ki je blizu izvirniku v okviru določenih predpostavk in sprejemljivih napak. Modeliranje se običajno izvaja z namenom spoznavanja lastnosti originala s preučevanjem njegovega modela in ne samega predmeta. Seveda je simulacija upravičena v primeru, ko je lažje ustvariti sam izvirnik ali ko je slednjega iz nekega razloga bolje, da sploh ne ustvarite.

Spodaj model razumemo fizični ali abstraktni predmet, katerega lastnosti so v določenem smislu podobne lastnostim preučevanega predmeta.V tem primeru zahteve za model določajo problem, ki ga rešujemo, in razpoložljiva sredstva. Obstajajo številne splošne zahteve za modele:

2) popolnost - zagotavljanje vseh potrebnih informacij prejemniku

o predmetu;

3) prilagodljivost - sposobnost reproduciranja različnih situacij v vsem

razpon spreminjajočih se pogojev in parametrov;

4) kompleksnost razvoja naj bo sprejemljiva za obstoječe

časa in programske opreme.

Modelarstvo je proces gradnje modela predmeta in proučevanje njegovih lastnosti s pregledovanjem modela.

Tako modeliranje vključuje 2 glavni stopnji:

1) razvoj modela;

2) študija modela in sklepanje.

Hkrati se na vsaki stopnji rešujejo različne naloge in

bistveno različne metode in sredstva.

V praksi uporabite različne metode manekenstvo. Glede na način izvedbe lahko vse modele razdelimo v dva velika razreda: fizikalne in matematične.

Matematično modeliranje Običajno ga obravnavamo kot sredstvo za preučevanje procesov ali pojavov s pomočjo njihovih matematičnih modelov.

Spodaj fizično modeliranje razumemo kot preučevanje predmetov in pojavov na fizičnih modelih, ko se proučevani proces reproducira z ohranjanjem njegove fizične narave ali se uporablja drug fizični pojav, podoben proučevanemu. pri čemer fizikalni modeli običajno domnevati prava inkarnacija tiste fizikalne lastnosti izvirnika, ki so bistvene v določeni situaciji.Na primer, pri načrtovanju novega letala se ustvari njegova postavitev, ki ima enake aerodinamične lastnosti; pri načrtovanju stavbe arhitekti naredijo tloris, ki odraža prostorsko razporeditev njenih elementov. V zvezi s tem se imenuje tudi fizično modeliranje izdelava prototipov.

HIL modeliranje je študija nadzorovanih sistemov na simulacijskih kompleksih z vključitvijo realne opreme v model. Zaprti model vključuje poleg realne opreme še simulatorje udarcev in motenj, matematične modele zunanjega okolja in procesov, za katere ni poznan dovolj natančen matematični opis. Vključitev realne opreme ali realnih sistemov v vezje za modeliranje kompleksnih procesov omogoča zmanjšanje apriorne negotovosti in raziskovanje procesov, za katere ni natančnega matematičnega opisa. S pomočjo polnaravne simulacije se študije izvajajo ob upoštevanju majhnih časovnih konstant in nelinearnosti, ki so značilne za resnično opremo. Pri preučevanju modelov z vključitvijo prave opreme se uporablja koncept dinamična simulacija, pri preučevanju kompleksnih sistemov in pojavov - evolucijski, posnemanje in kibernetska simulacija.

Očitno je resnična korist modeliranja mogoča le, če sta izpolnjena dva pogoja:

1) model zagotavlja pravilen (ustrezen) prikaz lastnosti

izvirnik, pomemben z vidika proučevane operacije;

2) model omogoča odpravo zgoraj naštetih težav, ki so inherentne

izvajanje raziskav na realnih predmetih.

2. Osnovni koncepti matematičnega modeliranja

Reševanje praktičnih problemov z matematičnimi metodami poteka dosledno s formulacijo problema (razvoj matematičnega modela), izbiro metode za študij pridobljenega matematičnega modela in analizo pridobljenega matematičnega rezultata. Matematična formulacija problema je običajno predstavljena v obliki geometrijskih slik, funkcij, sistemov enačb itd. Opis predmeta (pojava) je lahko predstavljen z zveznimi ali diskretnimi, determinističnimi ali stohastičnimi in drugimi matematičnimi oblikami.

Teorija matematičnega modeliranja zagotavlja prepoznavanje zakonitosti v poteku različnih pojavov okoliškega sveta ali delovanja sistemov in naprav z njihovim matematičnim opisom in modeliranjem brez terenskih preizkusov. V tem primeru se uporabljajo določbe in zakoni matematike, ki opisujejo simulirane pojave, sisteme ali naprave na določeni stopnji njihove idealizacije.

Matematični model (MM) je formaliziran opis sistema (ali operacije) v nekem abstraktnem jeziku, na primer v obliki nabora matematičnih relacij ali sheme algoritma, tj. (e) takšen matematični opis, ki zagotavlja imitacijo delovanja sistemov ali naprav na ravni, ki je dovolj blizu njihovemu dejanskemu obnašanju, pridobljenemu s preskusi sistemov ali naprav na terenu.

Vsaka MM opisuje resnični predmet, pojav ali proces z določeno stopnjo približka realnosti. Vrsta MM je odvisna tako od narave dejanskega predmeta kot od ciljev študije.

Matematično modeliranje družbenih, ekonomskih, bioloških in fizikalnih pojavov, objektov, sistemov in različnih naprav je eno najpomembnejših sredstev za razumevanje narave in načrtovanje najrazličnejših sistemov in naprav. Znani so primeri učinkovite uporabe modeliranja pri ustvarjanju jedrskih tehnologij, letalskih in vesoljskih sistemov, pri napovedovanju atmosferskih in oceanskih pojavov, vremena itd.

Vendar tako resna področja modeliranja pogosto zahtevajo superračunalnike in leta dela velikih skupin znanstvenikov za pripravo podatkov za modeliranje in njihovo odpravljanje napak. Kljub temu pa v tem primeru matematično modeliranje zapletenih sistemov in naprav ne le prihrani denar pri raziskavah in testiranju, ampak lahko tudi odpravi okoljske katastrofe - na primer omogoča opustitev testiranja jedrskega in termonuklearnega orožja v korist njegovega matematičnega modeliranja. ali preizkušanje vesoljskih sistemov pred njihovimi pravimi poleti, hkrati pa je matematično modeliranje na ravni reševanja enostavnejših problemov, na primer s področja mehanike, elektrotehnike, elektronike, radiotehnike in številnih drugih področij znanosti in tehnologije. zdaj na voljo za izvajanje na sodobnih osebnih računalnikih. In pri uporabi posplošenih modelov postane mogoče modelirati precej zapletene sisteme, na primer telekomunikacijske sisteme in omrežja, radarske ali radijske navigacijske sisteme.

Namen matematičnega modeliranja je analiza realnih procesov (v naravi ali tehnologiji) z matematičnimi metodami. To pa zahteva formalizacijo procesa MM, ki ga je treba raziskati. Model je lahko matematični izraz, ki vsebuje spremenljivke, katerih obnašanje je podobno obnašanju realnega sistema. Model lahko vključuje elemente naključnosti, ki upoštevajo verjetnosti možna dejanja dveh oz več"igralci", kot na primer v teoriji iger; ali pa lahko predstavlja realne spremenljivke medsebojno povezanih delov operacijskega sistema.

Matematično modeliranje za preučevanje značilnosti sistemov lahko razdelimo na analitično, simulacijsko in kombinirano. Po drugi strani se MM delijo na simulacijske in analitične.

Analitično modeliranje

Za analitično modeliranje značilno je, da so procesi delovanja sistema zapisani v obliki nekaterih funkcionalnih relacij (algebraične, diferencialne, integralne enačbe). Analitični model je mogoče raziskati z naslednjimi metodami:

1) analitični, ko si prizadevajo pridobiti na splošno eksplicitne odvisnosti za značilnosti sistemov;

2) numerični, ko ni mogoče najti rešitve enačb v splošni obliki in se rešujejo za določene začetne podatke;

3) kvalitativno, ko se v odsotnosti rešitve najdejo nekatere njegove lastnosti.

Analitične modele lahko dobimo samo za razmeroma enostavne sisteme. Pri kompleksnih sistemih se pogosto pojavljajo veliki matematični problemi. Za uporabo analitične metode gremo do pomembne poenostavitve prvotnega modela. Vendar študija na poenostavljenem modelu pomaga pridobiti le okvirne rezultate. Analitični modeli matematično pravilno odražajo razmerje med vhodnimi in izhodnimi spremenljivkami in parametri. Toda njihova struktura ne odraža notranje strukture predmeta.

Pri analitičnem modeliranju so njegovi rezultati predstavljeni v obliki analitičnih izrazov. Na primer s povezovanjem RC- vezje do vira konstantne napetosti E(R, C in E so komponente tega modela), lahko naredimo analitični izraz za časovno odvisnost napetosti u(t) na kondenzatorju C:

To je linearna diferencialna enačba (DE) in je analitični model tega preprostega linearnega vezja. Njena analitična rešitev, pod začetnim pogojem u(0) = 0, kar pomeni izpraznjen kondenzator C na začetku simulacije vam omogoča iskanje zahtevane odvisnosti - v obliki formule:

u(t) = E(1− nprstr(- t/RC)). (2)

Toda tudi v tem najpreprostejšem primeru so potrebni določeni napori za rešitev diferencialne enačbe (1) ali za uporabo sistemi računalniške matematike(SCM) s simbolnimi izračuni - sistemi računalniške algebre. Za ta precej trivialen primer je rešitev problema linearnega modeliranja RC- vezje daje analitični izraz (2) v precej splošni obliki - primeren je za opis delovanja vezja za vse ocene komponent R, C in E, in opisuje eksponentni naboj kondenzatorja C skozi upor R iz vira stalne napetosti E.

Iskanje analitičnih rešitev v analitičnem modeliranju se nedvomno izkaže za izjemno dragoceno za razkrivanje splošnih teoretičnih zakonitosti enostavnih linearnih vezij, sistemov in naprav, vendar pa se njegova kompleksnost strmo poveča, ko postajajo vplivi na model kompleksnejši in vrstni red ter število enačbe stanja, ki opisujejo modelirani objekt, se povečajo. Pri modeliranju objektov drugega ali tretjega reda lahko dobite bolj ali manj vidne rezultate, vendar že pri višjem redu analitični izrazi postanejo pretirano okorni, zapleteni in težko razumljivi. Na primer, tudi preprost elektronski ojačevalnik pogosto vsebuje na desetine komponent. Vendar pa veliko sodobnih SCM, kot so sistemi simbolne matematike Maple, Mathematica ali sredo MATLAB so sposobni v veliki meri avtomatizirati reševanje kompleksnih problemov analitičnega modeliranja.

Ena vrsta modeliranja je numerična simulacija, ki obsega pridobivanje potrebnih kvantitativnih podatkov o obnašanju sistemov ali naprav s katero koli ustrezno numerično metodo, kot sta Eulerjeva ali Runge-Kutta metoda. V praksi je modeliranje nelinearnih sistemov in naprav z uporabo numeričnih metod veliko bolj učinkovito kot analitično modeliranje posameznih zasebnih linearnih vezij, sistemov ali naprav. Na primer, za rešitev DE (1) ali sistemov DE v bolj zapletenih primerih ne dobimo rešitve v analitični obliki, lahko pa podatki numerične simulacije zagotovijo dovolj popolne podatke o obnašanju simuliranih sistemov in naprav, kot tudi načrtovanje grafi, ki opisujejo to obnašanje odvisnosti.

Simulacija

pri posnemanje Pri modeliranju algoritem, ki implementira model, reproducira proces delovanja sistema v času. Posnemajo se elementarni pojavi, ki sestavljajo proces, pri čemer se ohranja njihova logična struktura in zaporedje poteka v času.

Glavna prednost simulacijskih modelov v primerjavi z analitičnimi je zmožnost reševanja kompleksnejših problemov.

Simulacijski modeli olajšajo upoštevanje prisotnosti diskretnih ali zveznih elementov, nelinearnih karakteristik, naključnih učinkov itd. Zato se ta metoda pogosto uporablja v fazi načrtovanja kompleksnih sistemov. Glavno orodje za izvajanje simulacijskega modeliranja je računalnik, ki omogoča digitalno modeliranje sistemov in signalov.

V zvezi s tem definiramo besedno zvezo " računalniško modeliranje”, ki se vse pogosteje uporablja v literaturi. To bomo domnevali računalniško modeliranje- to je matematično modeliranje z uporabo računalniške tehnologije. V skladu s tem tehnologija računalniške simulacije vključuje naslednje ukrepe:

1) opredelitev namena modeliranja;

2) razvoj konceptualnega modela;

3) formalizacija modela;

4) programska izvedba modela;

5) načrtovanje modelnih poskusov;

6) izvedba načrta poskusa;

7) analiza in interpretacija rezultatov simulacije.

pri simulacijsko modeliranje uporabljeni MM reproducira algoritem ("logiko") delovanja proučevanega sistema v času za različne kombinacije vrednosti parametrov sistema in okolja.

Primer najenostavnejšega analitičnega modela je enačba enakomernega premokotnega gibanja. Pri proučevanju takega procesa s pomočjo simulacijskega modela je treba izvajati opazovanje spremembe prevožene poti skozi čas.Očitno je v nekaterih primerih bolj zaželeno analitično modeliranje, v drugih - simulacija (ali kombinacija obojega) . Za dobro izbiro je treba odgovoriti na dve vprašanji.

Kaj je namen modeliranja?

V kateri razred lahko uvrstimo simulirani pojav?

Odgovore na obe vprašanji lahko dobimo med izvedbo prvih dveh stopenj modeliranja.

Simulacijski modeli ne le po lastnostih, ampak tudi po strukturi ustrezajo modeliranemu objektu. V tem primeru obstaja nedvoumna in eksplicitna korespondenca med procesi, pridobljenimi na modelu, in procesi, ki se dogajajo na objektu. Pomanjkljivost simulacijskega modeliranja je, da je potrebno dolgo časa za rešitev problema, da bi dosegli dobro natančnost.

Rezultati simulacijskega modeliranja dela stohastičnega sistema so realizacije naključnih spremenljivk oziroma procesov. Zato je za iskanje značilnosti sistema potrebno večkratno ponavljanje in kasnejša obdelava podatkov. Najpogosteje se v tem primeru uporablja vrsta simulacije - statistični

manekenstvo(ali metoda Monte Carlo), tj. reprodukcija v modelih naključnih dejavnikov, dogodkov, količin, procesov, polj.

Glede na rezultate statističnega modeliranja so določene ocene verjetnostnih meril kakovosti, splošnih in posebnih, ki označujejo delovanje in učinkovitost nadzorovanega sistema. Statistično modeliranje se pogosto uporablja za reševanje znanstvenih in uporabnih problemov na različnih področjih znanosti in tehnologije. Metode statističnega modeliranja se pogosto uporabljajo pri preučevanju kompleksnih dinamičnih sistemov, ocenjevanju njihovega delovanja in učinkovitosti.

Končna faza statističnega modeliranja temelji na matematični obdelavi dobljenih rezultatov. Pri tem se uporabljajo metode matematične statistike (parametrične in neparametrične ocene, preverjanje hipotez). Primer parametrične ocene je vzorčna sredina merila uspešnosti. Med neparametričnimi metodami je najbolj razširjena metoda histograma.

Obravnavana shema temelji na večkratnih statističnih preizkusih sistema in metod statistike neodvisnih naključnih spremenljivk.Ta shema še zdaleč ni vedno naravna v praksi in stroškovno optimalna. Zmanjšanje časa testiranja sistema je mogoče doseči z uporabo natančnejših metod ocenjevanja. Kot je znano iz matematične statistike, imajo učinkovite ocene največjo natančnost za dano velikost vzorca. Optimalno filtriranje in metoda največje verjetnosti dajeta splošna metoda pridobivanje takšnih ocen V problemih statističnega modeliranja je obdelava realizacij naključnih procesov potrebna ne le za analizo izhodnih procesov.

Prav tako je zelo pomembno nadzorovati značilnosti vhodnih naključnih učinkov. Kontrola je sestavljena iz preverjanja, ali porazdelitve generiranih procesov ustrezajo podanim porazdelitvam. Ta naloga je pogosto formulirana kot naloga za preverjanje hipotez.

Splošni trend pri računalniško podprti simulaciji kompleksnih vodenih sistemov je želja po skrajšanju časa simulacije, pa tudi po izvajanju raziskav v realnem času. Računalniški algoritmi so priročno predstavljeni v ponavljajoči se obliki, ki omogoča njihovo izvajanje s hitrostjo trenutnih informacij.

NAČELA SISTEMSKEGA PRISTOPA V MODELIRANJU

Osnove teorije sistemov

Glavne določbe teorije sistemov so nastale med študijem dinamičnih sistemov in njihovih funkcionalnih elementov. Sistem razumemo kot skupino medsebojno povezanih elementov, ki delujejo skupaj za opravljanje vnaprej določene naloge. Sistemska analiza vam omogoča, da ugotovite največ prave načine izpolnjevanje zastavljene naloge, zagotavljanje maksimalnega izpolnjevanja zastavljenih zahtev.

Elementi, ki so osnova teorije sistemov, niso ustvarjeni s pomočjo hipotez, ampak so odkriti eksperimentalno. Da bi začeli graditi sistem, je potrebno imeti splošne značilnosti tehnoloških procesov. Enako velja za principe oblikovanja matematično oblikovanih kriterijev, ki jih mora proces ali njegov teoretični opis izpolnjevati. Manekenstvo je eno izmed najbolj pomembne metode znanstveno raziskovanje in eksperimentiranje.

Pri gradnji modelov objektov se uporablja sistemski pristop, ki je metodologija za reševanje kompleksnih problemov, ki temelji na obravnavanju objekta kot sistema, ki deluje v določenem okolju. Sistemski pristop vključuje razkritje celovitosti predmeta, identifikacijo in preučevanje njegove notranje strukture, pa tudi povezave z zunanjim okoljem. V tem primeru je predmet predstavljen kot del resničnega sveta, ki se identificira in proučuje v povezavi s problemom izgradnje modela, ki se rešuje. Poleg tega gre pri sistemskem pristopu za dosleden prehod od splošnega k posameznemu, ko obravnava temelji na načrtovalskem cilju, objekt pa se obravnava v razmerju do okolja.

Kompleksen objekt lahko razdelimo na podsisteme, ki so deli objekta, ki izpolnjujejo naslednje zahteve:

1) podsistem je funkcionalno neodvisen del objekta. Povezan je z drugimi podsistemi, z njimi izmenjuje informacije in energijo;

2) za vsak podsistem se lahko definirajo funkcije ali lastnosti, ki ne sovpadajo z lastnostmi celotnega sistema;

3) vsak od podsistemov se lahko nadalje razdeli na raven elementov.

V tem primeru se element razume kot podsistem nižje ravni, katerega nadaljnja delitev je z vidika problema, ki se rešuje, neprimerna.

Tako lahko sistem definiramo kot predstavitev objekta v obliki niza podsistemov, elementov in odnosov z namenom njegovega ustvarjanja, raziskovanja ali izboljšave. Hkrati se povečana predstavitev sistema, ki vključuje glavne podsisteme in povezave med njimi, imenuje makrostruktura, podrobno razkritje notranje strukture sistema na ravni elementov pa se imenuje mikrostruktura.

Skupaj s sistemom običajno obstaja nadsistem - sistem višje ravni, ki vključuje obravnavani objekt, delovanje katerega koli sistema pa je mogoče določiti le preko nadsistema.

Izpostaviti je treba koncept okolja kot niza objektov zunanjega sveta, ki pomembno vplivajo na učinkovitost sistema, vendar niso del sistema in njegovega nadsistema.

V povezavi s sistematičnim pristopom k gradnji modelov se uporablja koncept infrastrukture, ki opisuje odnos sistema do njegovega okolja (okolja), pri čemer gre za izbor, opis in proučevanje lastnosti objekta, ki so pomembne znotraj določene naloge se imenuje stratifikacija objekta, vsak model objekta pa je njegov stratificiran opis.

Za sistemski pristop je pomembno določiti strukturo sistema, tj. niz povezav med elementi sistema, ki odražajo njihovo interakcijo. Da bi to naredili, najprej razmislimo o strukturnih in funkcionalnih pristopih k modeliranju.

S strukturnim pristopom se razkriva sestava izbranih elementov sistema in povezave med njimi. Skupnost elementov in povezav omogoča presojo strukture sistema. Najbolj splošen opis strukture je topološki opis. Omogoča vam definiranje komponent sistema in njihovih odnosov z uporabo grafov. Manj splošen je funkcionalni opis, ko se upoštevajo posamezne funkcije, tj. algoritmi za obnašanje sistema. Hkrati je implementiran funkcionalni pristop, ki določa funkcije, ki jih sistem opravlja.

Na podlagi sistematičnega pristopa je mogoče predlagati zaporedje razvoja modela, pri katerem ločimo dve glavni fazi oblikovanja: makro in mikro načrtovanje.

V fazi makronačrtovanja se zgradi model zunanjega okolja, identificirajo se viri in omejitve, izbere sistemski model in merila za oceno ustreznosti.

Stopnja mikrodizajna je v veliki meri odvisna od vrste izbranega modela. V splošnem primeru gre za izdelavo informacijske, matematične, tehnične in programske podpore za sistem modeliranja. Na tej stopnji se določijo glavne tehnične značilnosti ustvarjenega modela, ocenijo se čas dela z njim in stroški virov za pridobitev dane kakovosti modela.

Ne glede na vrsto modela je treba pri gradnji upoštevati številna načela sistematičnega pristopa:

1) dosledno napredovanje skozi faze ustvarjanja modela;

2) usklajevanje informacij, virov, zanesljivosti in drugih značilnosti;

3) pravilno razmerje med različnimi nivoji gradnje modela;

4) celovitost posameznih faz oblikovanja modela.