Algebraični izraz, v katerem poleg operacij seštevanja, odštevanja in množenja uporabljajo tudi deljenje z dobesedni izrazi, imenujemo frakcijski algebraični izraz. Takšni so na primer izrazi

Algebrski ulomek imenujemo algebrski izraz, ki ima obliko količnika deljenja dveh celih algebrskih izrazov (na primer monomov ali polinomov). Takšni so na primer izrazi

tretji od izrazov).

Identitetne transformacije ulomljenih algebrskih izrazov so večinoma namenjene temu, da jih predstavijo kot algebrski ulomek. Za iskanje skupnega imenovalca se uporabi faktorizacija imenovalcev ulomkov – členov, da se poišče njihov najmanjši skupni večkratnik. Pri zmanjševanju algebrski ulomki lahko pride do kršitve stroge identitete izrazov: treba je izključiti vrednosti količin, pri katerih faktor, s katerim se zmanjša, izgine.

Navedimo primere identičnih transformacij ulomljenih algebrskih izrazov.

Primer 1: Poenostavite izraz

Vse izraze je mogoče skrčiti na skupni imenovalec (priročno je zamenjati predznak v imenovalcu zadnjega izraza in znak pred njim):

Naš izraz je enak ena za vse vrednosti, razen teh vrednosti, ni definiran in zmanjševanje ulomkov je nezakonito).

Primer 2. Predstavi izraz kot algebraični ulomek

rešitev. Izraz lahko vzamemo kot skupni imenovalec. Zaporedoma najdemo:

vaje

1. Poiščite vrednosti algebraičnih izrazov za navedene vrednosti parametrov:

2. Faktoriziraj.

Dobesedni izraz (ali izraz s spremenljivkami) je matematični izraz, ki je sestavljen iz številk, črk in znakov matematičnih operacij. Naslednji izraz je na primer dobeseden:

a+b+4

Z uporabo dobesednih izrazov lahko zapišete zakone, formule, enačbe in funkcije. Sposobnost manipuliranja z dobesednimi izrazi je ključ do dobrega znanja algebre in višje matematike.

Vsak resen problem v matematiki se zmanjša na reševanje enačb. In da bi lahko reševali enačbe, morate znati delati z dobesednimi izrazi.

Za delo z dobesednimi izrazi morate dobro preučiti osnovno aritmetiko: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, osnovne zakone matematike, ulomke, dejanja z ulomki, razmerja. In ne samo študirati, ampak temeljito razumeti.

Vsebina lekcije

Spremenljivke

Črke, ki so vsebovane v dobesednih izrazih, se imenujejo spremenljivke. Na primer v izrazu a+b+4črke so spremenljivke a in b. Če namesto teh spremenljivk nadomestimo poljubna števila, potem dobesedni izraz a+b+4 se nanaša na številski izraz, katerega vrednost je mogoče najti.

Števila, ki so nadomeščena s spremenljivkami, se imenujejo spremenljive vrednosti. Na primer, spremenimo vrednosti spremenljivk a in b. Za spreminjanje vrednosti uporabite znak enačaja

a = 2, b = 3

Spremenili smo vrednosti spremenljivk a in b. spremenljivka a dodeljena vrednost 2 , spremenljivka b dodeljena vrednost 3 . Kot rezultat, dobesedni izraz a+b+4 pretvori v običajni številski izraz 2+3+4 katerega vrednost je mogoče najti:

2 + 3 + 4 = 9

Ko spremenljivke pomnožimo, jih zapišemo skupaj. Na primer vnos ab pomeni enako kot vnos a×b. Če zamenjamo namesto spremenljivk a in bštevilke 2 in 3 , potem dobimo 6

2 x 3 = 6

Skupaj lahko zapišeš tudi množenje števila z izrazom v oklepaju. Na primer, namesto a×(b + c) se lahko napiše a(b + c). Z uporabo distribucijskega zakona množenja dobimo a(b + c)=ab+ac.

kvote

V dobesednih izrazih lahko pogosto najdete zapis, v katerem sta število in spremenljivka zapisani skupaj, npr. 3a. Pravzaprav je to okrajšava za množenje števila 3 s spremenljivko. a in ta vnos izgleda takole 3×a .

Z drugimi besedami, izraz 3a je produkt števila 3 in spremenljivke a. številka 3 v tem delu se imenuje koeficient. Ta koeficient kaže, kolikokrat se bo spremenljivka povečala a. Ta izraz se lahko bere kot " a trikrat ali trikrat A« ali »povečaj vrednost spremenljivke a trikrat", vendar se največkrat bere kot "tri a«

Na primer, če spremenljivka a je enako 5 , nato vrednost izraza 3a bo enako 15.

3 x 5 = 15

govoriti navaden jezik, je koeficient številka, ki je pred črko (pred spremenljivko).

Lahko je na primer več črk 5abc. Tu je koeficient število 5 . Ta koeficient kaže, da je produkt spremenljivk abc poveča petkrat. Ta izraz se lahko bere kot " abc petkrat" ali "povečajte vrednost izraza abc petkrat" ali "pet abc«.

Če namesto spremenljivk abc zamenjajte številke 2, 3 in 4, nato vrednost izraza 5abc bo enako 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

V mislih si lahko predstavljate, kako so bila števila 2, 3 in 4 najprej pomnožena in dobljena vrednost se je petkrat povečala:

Predznak koeficienta se nanaša samo na koeficient in ne velja za spremenljivke.

Razmislite o izrazu −6b. Minus pred koeficientom 6 , velja samo za koeficient 6 , in ne velja za spremenljivko b. Razumevanje tega dejstva vam bo omogočilo, da v prihodnosti ne delate napak z znaki.

Poiščite vrednost izraza −6b pri b = 3.

−6b −6×b. Zaradi jasnosti napišemo izraz −6b v razširjeni obliki in nadomestite vrednost spremenljivke b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Primer 2 Poiščite vrednost izraza −6b pri b = −5

Zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Primer 3 Poiščite vrednost izraza −5a+b pri a = 3 in b = 2

−5a+b je kratka oblika za −5 × a + b, zato zaradi jasnosti napišemo izraz −5×a+b v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a in b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Včasih so črke napisane brez koeficienta, na primer a oz ab. V tem primeru je koeficient ena:

vendar enota tradicionalno ni zapisana, zato samo pišejo a oz ab

Če je pred črko minus, je koeficient številka −1 . Na primer, izraz -a dejansko izgleda −1a. To je produkt minus ena in spremenljivke a. Izšlo je takole:

−1 × a = −1a

Tu se skriva majhen trik. V izrazu -a minus pred spremenljivko a dejansko nanaša na "nevidno enoto" in ne na spremenljivko a. Zato morate biti pri reševanju težav previdni.

Na primer, glede na izraz -a in prosimo, da ugotovimo njegovo vrednost pri a = 2, potem smo v šoli namesto spremenljivke zamenjali dvojko a in dobiš odgovor −2 , pri čemer se ne osredotočam na to, kako se je izkazalo. Pravzaprav je prišlo do množenja minus ena s pozitivnim številom 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Če je podan izraz -a in potrebno je najti njegovo vrednost pri a = −2, potem zamenjamo −2 namesto spremenljivke a

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Da bi se izognili napakam, lahko sprva nevidne enote zapišemo eksplicitno.

Primer 4 Poiščite vrednost izraza abc pri a=2 , b=3 in c=4

Izraz abc 1×a×b×c. Zaradi jasnosti napišemo izraz abc a , b in c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Primer 5 Poiščite vrednost izraza abc pri a=−2 , b=−3 in c=−4

Zapišimo izraz abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a , b in c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Primer 6 Poiščite vrednost izraza − abc pri a=3, b=5 in c=7

Izraz − abc je kratka oblika za −1×a×b×c. Zaradi jasnosti napišemo izraz − abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a , b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Primer 7 Poiščite vrednost izraza − abc pri a=−2 , b=−4 in c=−3

Zapišimo izraz − abc razširjeno:

−abc = −1 × a × b × c

Zamenjajte vrednosti spremenljivk a , b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kako določiti koeficient

Včasih je treba rešiti problem, v katerem je treba določiti koeficient izraza. Načeloma je ta naloga zelo preprosta. Dovolj je, da lahko pravilno pomnožite števila.

Če želite določiti koeficient v izrazu, morate ločeno pomnožiti številke, vključene v ta izraz, in ločeno pomnožiti črke. Dobljeni numerični faktor bo koeficient.

Primer 1 7m×5a×(−3)×n

Izraz je sestavljen iz več dejavnikov. To je jasno razvidno, če je izraz napisan v razširjeni obliki. Se pravi, deluje 7m in 5a zapišite v obrazec 7×m in 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Uporabljamo asociativni zakon množenja, ki nam omogoča množenje faktorjev v poljubnem vrstnem redu. In sicer ločeno pomnožimo števila in posebej pomnožimo črke (spremenljivke):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 človek

Koeficient je −105 . Po zaključku je del črk po možnosti urejen po abecednem vrstnem redu:

−105 zjutraj

Primer 2 Določite koeficient v izrazu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Primer 3 Določite koeficient v izrazu:

Ločeno pomnožimo številke in črke:

Koeficient je −1. Upoštevajte, da enota ni zabeležena, saj koeficient 1 običajno ni zabeležen.

Te na videz preproste naloge se lahko z nami zelo kruto šalijo. Pogosto se izkaže, da je predznak koeficienta nastavljen napačno: ali je minus izpuščen ali pa je, nasprotno, nastavljen zaman. Da bi se izognili tem nadležnim napakam, ga je treba preučiti na dobri ravni.

Izrazi v dobesednih izrazih

Ko seštejete več števil, dobite vsoto teh števil. Števila, ki se seštevajo, imenujemo členi. Izrazov je lahko več, npr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Ko je izraz sestavljen iz členov, ga je veliko lažje izračunati, saj je lažje seštevati kot odštevati. Toda izraz lahko vsebuje ne samo seštevanje, ampak tudi odštevanje, na primer:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tem izrazu sta števili 3 in 5 odšteti, ne pa sešteti. Toda nič nam ne preprečuje, da bi odštevanje nadomestili s seštevanjem. Potem spet dobimo izraz, sestavljen iz členov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Ni pomembno, da sta števili -3 in -5 zdaj s predznakom minus. Glavna stvar je, da so vse številke v tem izrazu povezane z znakom dodajanja, to je, da je izraz vsota.

Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 in 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) so enaki enaki vrednosti - minus ena

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Tako vrednost izraza ne bo trpela zaradi tega, da nekje zamenjamo odštevanje s seštevanjem.

Odštevanje lahko zamenjate tudi z seštevanjem v dobesednih izrazih. Na primer, upoštevajte naslednji izraz:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Za poljubne vrednosti spremenljivk a, b, c, d in s izrazi 7a + 6b - 3c + 2d - 4s in 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) bo enaka enaki vrednosti.

Pripravljeni morate biti na dejstvo, da lahko učitelj v šoli ali učitelj na inštitutu imenuje izraze tudi tiste številke (ali spremenljivke), ki to niso.

Na primer, če je razlika zapisana na tabli a-b, potem učitelj tega ne bo rekel a je minuend in b- odbitna franšiza. Obe spremenljivki bo imenoval eno skupno besedo - pogoji. In vse zaradi izražanja oblike a-b matematik vidi, kako vsota a + (−b). V tem primeru izraz postane vsota in spremenljivke a in (-b) postanejo komponente.

Podobni izrazi

Podobni izrazi so izrazi, ki imajo enak črkovni del. Na primer, upoštevajte izraz 7a + 6b + 2a. Pogoji 7a in 2a imajo enak črkovni del – spremenljivko a. Torej pogoji 7a in 2a so podobni.

Običajno so podobni izrazi dodani za poenostavitev izraza ali rešitev enačbe. Ta operacija se imenuje zmanjšanje podobnih pogojev.

Če želite prinesti podobne izraze, morate sešteti koeficiente teh izrazov in rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom.

Na primer, podajamo podobne izraze v izrazu 3a + 4a + 5a. V tem primeru so vsi izrazi podobni. Seštejemo njihove koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom - s spremenljivko a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Takšni izrazi so običajno podani v mislih in rezultat je zapisan takoj:

3a + 4a + 5a = 12a

Prav tako lahko trdite takole:

Spremenljivke a so bile 3, dodane so bile še 4 spremenljivke a in še 5 spremenljivk a. Kot rezultat smo dobili 12 spremenljivk a

Oglejmo si več primerov zmanjševanja podobnih izrazov. Glede na to, da je tema zelo pomembna, bomo najprej podrobno zapisali vsako podrobnost. Kljub temu, da je tukaj vse zelo preprosto, večina ljudi dela veliko napak. Večinoma zaradi nepazljivosti, ne neznanja.

Primer 1 3a + 2a + 6a + 8 a

Seštejemo koeficiente v tem izrazu in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

oblikovanje (3 + 2 + 6 + 8)×a ne morete zapisati, zato bomo takoj zapisali odgovor

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Primer 2 V izraz vnesite podobne izraze 2a+a

Drugi mandat a napisano brez koeficienta, dejansko pa je pred njim koeficient 1 , ki ga ne vidimo, ker ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + 1a

Zdaj predstavljamo podobne izraze. Se pravi, seštejemo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Zapišimo rešitev na kratko:

2a + a = 3a

2a+a, lahko trdiš drugače:

Primer 3 V izraz vnesite podobne izraze 2a - a

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem:

2a + (−a)

Drugi mandat (-a) napisano brez koeficienta, v resnici pa izgleda tako (−1a). Koeficient −1 spet neviden zaradi dejstva, da ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + (−1a)

Zdaj predstavljamo podobne izraze. Seštejemo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Običajno napisano krajše:

2a − a = a

Vnašanje podobnih izrazov v izraz 2a−a Lahko se argumentirate tudi drugače:

Bili sta 2 spremenljivki a, odšteti ena spremenljivka a, posledično je bila samo ena spremenljivka a

Primer 4 V izraz vnesite podobne izraze 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Zdaj predstavljamo podobne izraze. Koeficiente seštejemo in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Zapišimo rešitev na kratko:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Obstajajo izrazi, ki vsebujejo več razne skupine podobni pogoji. na primer 3a + 3b + 7a + 2b. Za take izraze veljajo enaka pravila kot za ostale, in sicer seštevanje koeficientov in množenje rezultata s skupnim črkovnim delom. Da pa bi se izognili napakam, je priročno različne skupine pojme podčrtaj z različnimi črtami.

Na primer v izrazu 3a + 3b + 7a + 2b tisti izrazi, ki vsebujejo spremenljivko a, lahko podčrtamo z eno črto, ter tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko b, lahko podčrtamo z dvema črtama:

Zdaj lahko ponudimo podobne pogoje. Se pravi, seštejte koeficiente in rezultat pomnožite s skupnim črkovnim delom. To je treba narediti za obe skupini izrazov: za izraze, ki vsebujejo spremenljivko a in za izraze, ki vsebujejo spremenljivko b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Spet ponavljamo, izraz je preprost in podobne izraze lahko podamo v mislih:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Primer 5 V izraz vnesite podobne izraze 5a - 6a - 7b + b

Odštevanje nadomestimo s seštevanjem, kjer je to mogoče:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podobne izraze podčrtaj z različnimi črtami. Izrazi, ki vsebujejo spremenljivke a podčrtaj z eno črto, izrazi vsebina pa so spremenljivke b, podčrtano z dvema črtama:

Zdaj lahko ponudimo podobne pogoje. Se pravi, dodajte koeficiente in rezultat pomnožite s skupnim delom črke:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Če izraz vsebuje navadna števila brez abecednih faktorjev, se le-ta seštejejo ločeno.

Primer 6 V izraz vnesite podobne izraze 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Predstavimo podobne izraze. Številke −5 in 7 nimajo dobesednih faktorjev, vendar so podobni izrazi - le sešteti jih morate. In izraz 2b bo ostal nespremenjen, saj je edini v tem izrazu, ki ima faktor črke b, in ni kaj dodati:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Zapišimo rešitev na kratko:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Izraze je mogoče razporediti tako, da se tisti izrazi, ki imajo enak črkovni del, nahajajo v istem delu izraza.

Primer 7 V izraz vnesite podobne izraze 5t+2x+3x+5t+x

Ker je izraz vsota več izrazov, nam to omogoča, da ga ovrednotimo v poljubnem vrstnem redu. Zato izrazi, ki vsebujejo spremenljivko t, lahko zapišemo na začetku izraza in izraze, ki vsebujejo spremenljivko x na koncu izraza:

5t+5t+2x+3x+x

Zdaj lahko dodamo podobne izraze:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Zapišimo rešitev na kratko:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Vsota nasprotnih števil je nič. To pravilo deluje tudi za dobesedne izraze. Če izraz vsebuje enake izraze, vendar z nasprotnimi znaki, se jih lahko znebite na stopnji zmanjševanja podobnih izrazov. Z drugimi besedami, preprosto jih izpustite iz izraza, ker je njihova vsota nič.

Primer 8 V izraz vnesite podobne izraze 3t − 4t − 3t + 2t

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Pogoji 3t in (−3t) so nasprotni. Vsota nasprotnih členov je enaka nič. Če iz izraza odstranimo to ničlo, se vrednost izraza ne bo spremenila, zato jo bomo odstranili. In odstranili ga bomo z običajnim brisanjem pogojev 3t in (−3t)

Kot rezultat, bomo imeli izraz (−4t) + 2t. V ta izraz lahko dodate podobne izraze in dobite končni odgovor:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Zapišimo rešitev na kratko:

Poenostavitev izraza

"poenostaviti izraz" in naslednji je izraz, ki ga je treba poenostaviti. Poenostavite izraz pomeni poenostaviti in skrajšati.

Pravzaprav smo se s poenostavitvijo izrazov pri zmanjševanju ulomkov že ukvarjali. Po zmanjšanju je ulomek postal krajši in lažje berljiv.

Razmislite o naslednjem primeru. Poenostavite izraz.

To nalogo lahko dobesedno razumemo na naslednji način: "Naredite vse, kar lahko storite s tem izrazom, vendar ga poenostavite." .

V tem primeru lahko ulomek zmanjšate, in sicer števec in imenovalec ulomka delite z 2:

Kaj se še da narediti? Lahko izračunate dobljeni ulomek. Nato dobimo decimalno 0,5

Posledično je bil ulomek poenostavljen na 0,5.

Prvo vprašanje, ki si ga morate zastaviti pri reševanju tovrstnih težav, bi moralo biti "kaj je mogoče storiti?" . Ker so stvari, ki jih lahko počneš, in so stvari, ki jih ne moreš.

Še ena pomembna točka Upoštevati je treba, da se vrednost izraza po poenostavitvi izraza ne sme spremeniti. Vrnimo se k izrazu. Ta izraz je delitev, ki jo je mogoče izvesti. Po izvedbi te delitve dobimo vrednost tega izraza, ki je enaka 0,5

Vendar smo izraz poenostavili in dobili nov poenostavljen izraz. Vrednost novega poenostavljenega izraza je še vedno 0,5

Poskušali pa smo izraz tudi poenostaviti tako, da smo ga izračunali. Posledično je bil končni odgovor 0,5.

Torej, ne glede na to, kako poenostavimo izraz, je vrednost dobljenih izrazov še vedno 0,5. To pomeni, da je bila poenostavitev na vsaki stopnji izvedena pravilno. K temu moramo težiti pri poenostavljanju izrazov – pomen izraza ne sme trpeti zaradi naših dejanj.

Pogosto je treba dobesedne izraze poenostaviti. Zanje veljajo enaka pravila poenostavitve kot za številske izraze. Izvedete lahko katero koli veljavno dejanje, če se vrednost izraza ne spremeni.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1 Poenostavite izraz 5,21 s × t × 2,5

Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in ločeno pomnožite črke. Ta naloga je zelo podobna tisti, ki smo jo obravnavali, ko smo se naučili določiti koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Torej izraz 5,21 s × t × 2,5 poenostavljeno na 13.025st.

Primer 2 Poenostavite izraz −0,4×(−6,3b)×2

Drugo delo (–6,3b) lahko prevedemo v nam razumljivo obliko, in sicer zapisano v obliki ( −6,3)×b, nato ločeno pomnožite številke in ločeno pomnožite črke:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (–6,3) × b × 2 = 5,04b

Torej izraz −0,4×(−6,3b)×2 poenostavljeno na 5.04b

Primer 3 Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da bomo jasno videli, kje so številke in kje so črke:

Sedaj ločeno pomnožimo številke in ločeno pomnožimo črke:

Torej izraz poenostavljeno na −abc. To rešitev lahko zapišemo krajše:

Pri poenostavljanju izrazov lahko ulomke skrčimo v procesu reševanja in ne čisto na koncu, kot smo to storili pri navadni ulomki. Na primer, če med reševanjem naletimo na izraz v obliki , potem sploh ni potrebno izračunati števca in imenovalca in narediti nekaj takega:

Ulomek lahko skrajšamo tako, da v števcu in imenovalcu izberemo faktor in ta faktorja zmanjšamo za največji skupni delilnik. Z drugimi besedami, uporabite , v kateri ne opisujemo podrobneje, na kaj sta bila razdeljena števec in imenovalec.

Na primer, v števcu lahko faktor 12 in v imenovalcu faktor 4 zmanjšamo za 4. Upoštevamo štirico in če 12 in 4 delimo s to štirico, zapišemo odgovore poleg teh števil, pri čemer imamo prej prečrtal

Zdaj lahko pomnožite nastale majhne faktorje. V tem primeru jih ni veliko in jih lahko pomnožite v mislih:

Sčasoma lahko ugotovite, da se izrazi pri reševanju določenega problema začnejo "mastiti", zato je priporočljivo, da se navadite na hitro računanje. Kar je mogoče izračunati v mislih, je treba izračunati v mislih. Kar se da hitro rezati, je treba hitro rezati.

Primer 4 Poenostavite izraz

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 5 Poenostavite izraz

Ločeno množimo številke in ločeno črke:

Torej izraz poenostavljeno na mn.

Primer 6 Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da bomo jasno videli, kje so številke in kje so črke:

Zdaj množimo številke posebej in črke posebej. Za udobje izračunov lahko decimalni ulomek −6,4 in mešano število pretvorimo v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na

Rešitev tega primera lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Primer 7 Poenostavite izraz

Ločeno množimo števila in posebej črke. Za lažji izračun je mešano število in decimalke 0,1 in 0,6 lahko pretvorimo v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na abcd. Če preskočite podrobnosti, lahko to rešitev napišete veliko krajše:

Opazite, kako se je ulomek zmanjšal. Nove množitelje, ki jih dobimo z zmanjšanjem prejšnjih množiteljev, lahko tudi zmanjšamo.

Zdaj pa se pogovorimo o tem, česa ne smemo storiti. Pri poenostavljanju izrazov je strogo prepovedano množiti številke in črke, če je izraz vsota in ne zmnožek.

Na primer, če želite poenostaviti izraz 5a + 4b, potem tega ni mogoče zapisati takole:

To je enakovredno dejstvu, da če bi nas prosili, da seštejemo dve števili, bi ju pomnožili, namesto da bi ju sešteli.

Pri zamenjavi poljubnih vrednosti spremenljivk a in b izražanje 5a+4b spremeni v preprost numerični izraz. Predpostavimo spremenljivke a in b imajo naslednje pomene:

a = 2, b = 3

Potem bo vrednost izraza 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprej se izvede množenje, nato pa se rezultati seštejejo. In če bi poskušali ta izraz poenostaviti z množenjem številk in črk, bi dobili naslednje:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Izkazalo se je popolnoma drugačen pomen izraza. V prvem primeru se je izkazalo 22 , v drugem primeru 120 . To pomeni, da je poenostavitev izraza 5a + 4b je bila izvedena nepravilno.

Po poenostavitvi izraza se njegova vrednost ne sme spreminjati z enakimi vrednostmi spremenljivk. Če pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke v prvotni izraz dobimo eno vrednost, potem je treba po poenostavitvi izraza dobiti enako vrednost kot pred poenostavitvijo.

Z izrazom 5a + 4b pravzaprav se ne da narediti nič. Ne gre lažje.

Če izraz vsebuje podobne izraze, jih lahko dodamo, če je naš cilj poenostaviti izraz.

Primer 8 Poenostavite izraz 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ali krajše: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Torej izraz 0,3a−0,4a+a poenostavljeno na 0,9a

Primer 9 Poenostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a

Za poenostavitev tega izraza lahko dodate podobne izraze:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ali krajše −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termin (–2,5b) ostal nespremenjen, saj ga ni bilo s čim zložiti.

Primer 10 Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodate podobne izraze:

Koeficient je bil za udobje izračuna.

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 11. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodate podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na.

V tem primeru bi bilo bolj smiselno najprej sešteti prvi in ​​zadnji koeficient. V tem primeru bi dobili kratko rešitev. Videti bi bilo takole:

Primer 12. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodate podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na .

Izraz je ostal nespremenjen, saj ga ni bilo kaj dodati.

To rešitev lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Kratka rešitev izpušča korake zamenjave odštevanja s seštevanjem in podroben zapis, kako so bili ulomki reducirani na skupni imenovalec.

Druga razlika je v tem, da je v podrobni rešitvi odgovor videti takole , ampak na kratko kot . Pravzaprav gre za isti izraz. Razlika je v tem, da je v prvem primeru odštevanje nadomeščeno s seštevanjem, saj smo na začetku, ko smo rešitev zapisali v podrobni obrazec, povsod, kjer je bilo mogoče, odštevanje nadomestili s seštevanjem in se je ta zamenjava ohranila za odgovor.

Identitete. Enaki enaki izrazi

Ko smo kateri koli izraz poenostavili, postane preprostejši in krajši. Če želite preveriti, ali je izraz pravilno poenostavljen, je dovolj, da poljubne vrednosti spremenljivk najprej nadomestite s prejšnjim izrazom, ki ga želite poenostaviti, nato pa z novim, ki je bil poenostavljen. Če je vrednost v obeh izrazih enaka, je izraz pravilno poenostavljen.

Razmislite najpreprostejši primer. Naj bo treba izraz poenostaviti 2a × 7b. Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in črke:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Preverimo, ali smo izraz pravilno poenostavili. Če želite to narediti, zamenjajte poljubne vrednosti spremenljivk a in b najprej na prvi izraz, ki ga je bilo treba poenostaviti, in nato na drugega, ki je bil poenostavljen.

Naj vrednosti spremenljivk a , b bo takole:

a = 4, b = 5

Nadomestite jih v prvi izraz 2a × 7b

Zdaj pa nadomestimo enake vrednosti spremenljivk v izraz, ki je rezultat poenostavitve 2a×7b, in sicer v izrazu 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

To vidimo pri a=4 in b=5 vrednost prvega izraza 2a×7b in vrednost drugega izraza 14ab enaka

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Enako se bo zgodilo za vse druge vrednosti. Na primer, naj a=1 in b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Tako so za vse vrednosti spremenljivk izrazi 2a×7b in 14ab sta enaki isti vrednosti. Takšni izrazi se imenujejo identično enaka.

Sklepamo, da med izrazi 2a×7b in 14ab lahko postavite enačaj, saj sta enaki isti vrednosti.

2a × 7b = 14ab

Enakost je vsak izraz, ki je povezan z enačajem (=).

In enakost oblike 2a×7b = 14ab klical identiteta.

Identiteta je enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk.

Drugi primeri identitet:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, zakoni matematike, ki smo jih preučevali, so identitete.

Prave številske enakosti so tudi identitete. Na primer:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri reševanju kompleksnega problema se zaradi lažjega računanja kompleksen izraz nadomesti z enostavnejšim izrazom, ki je identično enak prejšnjemu. Takšna zamenjava se imenuje enako preoblikovanje izraza ali preprosto pretvorba izrazov.

Na primer, izraz smo poenostavili 2a × 7b, in dobite preprostejši izraz 14ab. To poenostavitev lahko imenujemo transformacija identitete.

Pogosto lahko najdete nalogo, ki pravi "dokaži, da je enakost identiteta" in nato je podana enakost, ki jo je treba dokazati. Običajno je ta enačba sestavljena iz dveh delov: levega in desnega dela enačbe. Naša naloga je, da izvedemo enake transformacije z enim od delov enačbe in dobimo drugi del. Ali pa izvedite identične transformacije z obema deloma enačbe in se prepričajte, da oba dela enačbe vsebujeta enake izraze.

Na primer, dokažimo, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Poenostavite levo stran te enakosti. Če želite to narediti, ločeno pomnožite številke in črke:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Kot rezultat majhne enake transformacije, leva stran enakost je postala enaka desni strani enakosti. Torej smo dokazali, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Iz enakih preoblikovanj smo se naučili seštevati, odštevati, množiti in deliti števila, zmanjševati ulomke, prinašati podobne člene in tudi poenostavljati nekatere izraze.

Toda to še zdaleč niso vse enake transformacije, ki obstajajo v matematiki. Enakih transformacij je še veliko. To bomo videli vedno znova v prihodnosti.

Naloge za samostojno reševanje:

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se nam nova skupina Vkontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

Znano je, da v matematiki ne gre brez poenostavljanja izrazov. To je potrebno za pravilno in hitro rešitev najrazličnejših nalog, pa tudi različne vrste enačbe. Obravnavana poenostavitev pomeni zmanjšanje števila dejanj, potrebnih za dosego cilja. Posledično so izračuni opazno olajšani in znatno prihranjen čas. Toda kako poenostaviti izraz? Za to se uporabljajo uveljavljena matematična razmerja, ki jih pogosto imenujemo formule ali zakoni, ki vam omogočajo, da izraze naredite veliko krajše in s tem poenostavite izračune.

Ni skrivnost, da danes na spletu ni težko poenostaviti izraza. Tukaj so povezave do nekaterih bolj priljubljenih:

Vendar to ni mogoče pri vsakem izrazu. Zato bomo podrobneje preučili bolj tradicionalne metode.

Odvzem skupnega delitelja

V primeru, ko so v enem izrazu monomi, ki imajo enake faktorje, lahko z njimi poiščete vsoto koeficientov in jih nato pomnožite s skupnim faktorjem. Ta operacija se imenuje tudi "odštevanje skupnega delitelja". Z dosledno uporabo ta metoda, včasih je mogoče izraz bistveno poenostaviti. Navsezadnje je algebra na splošno kot celota zgrajena na združevanju in ponovnem združevanju faktorjev in deliteljev.

Najenostavnejše formule za skrajšano množenje

Ena od posledic prej opisanega načina so poenostavljene formule za množenje. Kako z njihovo pomočjo poenostaviti izraze, je veliko bolj jasno tistim, ki se teh formul sploh niso naučili na pamet, vedo pa, kako so izpeljane, torej od kod prihajajo, in s tem njihovo matematično naravo. Prejšnja trditev načeloma ostaja veljavna v vsej sodobni matematiki, od prvega razreda do višjih tečajev oddelkov za mehaniko in matematiko. Razlika kvadratov, kvadrat razlike in vsote, vsota in razlika kock - vse te formule se pogosto uporabljajo v osnovnem, pa tudi višja matematika v tistih primerih, ko je treba za rešitev nalog poenostaviti izraz. Primere takšnih transformacij je mogoče zlahka najti v katerem koli šolskem učbeniku algebre ali, še preprosteje, v prostranosti svetovnega spleta.

Stopinjske korenine

Osnovna matematika, če jo pogledate kot celoto, ni oborožena z ne toliko načini, s katerimi lahko poenostavite izraz. Stopnje in dejanja z njimi so za večino študentov praviloma relativno enostavna. Šele zdaj ima veliko sodobnih šolarjev in študentov precejšnje težave, ko je treba izraz poenostaviti s koreninami. In to popolnoma neutemeljeno. Ker matematične narave korenin se ne razlikuje od narave istih stopenj, s katerimi je praviloma veliko manj težav. Znano je, da Kvadratni korenštevila, spremenljivke ali izraza ni nič drugega kot isto število, spremenljivka ali izraz, dvignjen na potenco ene polovice, kubični koren je enak na potenco ene tretjine in tako naprej po korespondenci.

Poenostavljanje izrazov z ulomki

Razmislite tudi o običajnem primeru, kako poenostaviti izraz z ulomki. V primerih, ko so izrazi naravne frakcije, izberite skupni faktor izmed imenovalca in števca in nato z njim zmanjšajte ulomek. Kadar imajo monomi enake množitelje, dvignjene na potence, je treba pri njihovem seštevanju spremljati enakost potenc.

Poenostavitev najenostavnejših trigonometričnih izrazov

Nekaj ​​drugega je pogovor o tem, kako poenostaviti trigonometrični izraz. Najširši del trigonometrije je morda prva stopnja, na kateri se bodo učenci matematike srečali z nekoliko abstraktnimi koncepti, problemi in metodami za njihovo reševanje. Tukaj so ustrezne formule, od katerih je prva osnovna trigonometrična identiteta. Z zadostno matematično miselnostjo lahko sledimo sistematičnemu izpeljavi iz te identitete vseh glavnih trigonometrične identitete in formule, vključno s formulami za razliko in vsoto argumentov, dvojnimi, trojnimi argumenti, redukcijskimi formulami in mnogimi drugimi. Seveda pri tem ne gre pozabiti na prve metode, kot je izvzem skupnega faktorja, ki se v celoti uporabljajo skupaj z novimi metodami in formulami.

Če povzamem, tukaj je nekaj splošnih nasvetov za bralca:

• Polinome je treba faktorizirati, to pomeni, da jih je treba predstaviti v obliki produkta določenega števila faktorjev - monomov in polinomov. Če obstaja takšna možnost, je treba skupni faktor vzeti iz oklepaja.
• Bolje je, da si zapomnite vse skrajšane formule množenja brez izjeme. Ni jih tako veliko, so pa osnova za poenostavitev matematičnih izrazov. Prav tako ne smete pozabiti na metodo označevanja popolnih kvadratov v trinomih, ki je obratno dejanje eni od skrajšanih formul množenja.
• Vse obstoječe ulomke v izrazu je treba zmanjšati čim pogosteje. Pri tem ne pozabite, da se zmanjšajo samo množitelji. V primeru, da se imenovalec in števec algebraičnih ulomkov pomnoži z istim številom, ki se razlikuje od nič, se vrednosti ulomkov ne spremenijo.
• Na splošno lahko vse izraze transformiramo z dejanji ali z verigo. Prva metoda je bolj zaželena, ker. rezultate vmesnih dejanj je lažje preveriti.
• Precej pogosto morate v matematičnih izrazih izluščiti korenine. Ne smemo pozabiti, da je mogoče korenine sodih stopinj izluščiti samo iz nenegativnega števila ali izraza, korenine lihih stopinj pa je mogoče v celoti izluščiti iz katerega koli izraza ali števila.

Upamo, da vam bo naš članek v prihodnosti pomagal razumeti matematične formule in vas naučil, kako jih uporabiti v praksi.

Opomba 1

Logično funkcijo lahko zapišete z uporabo logičnega izraza, nato pa lahko greste v logično vezje. Logične izraze je treba poenostaviti, da bi dobili čim bolj preprosto (in s tem cenejše) logično vezje. V bistvu so logična funkcija, logični izraz in logično vezje trije različnih jezikih, ki govori o eni entiteti.

Za poenostavitev logičnih izrazov uporabite zakoni algebre logike.

Nekatere transformacije so podobne transformacijam formul v klasični algebri (oklepaji skupnega faktorja, uporaba komutativnih in kombinacijskih zakonov itd.), druge transformacije pa temeljijo na lastnostih, ki jih operacije klasične algebre nimajo (uporaba distribucijskega zakona za konjunkcijo, zakoni absorpcije, lepljenja, de Morganovih pravil itd.).

Zakoni algebre logike so oblikovani za osnovne logične operacije - "NE" - inverzija (negacija), "IN" - konjunkcija (logično množenje) in "ALI" - disjunkcija (logično seštevanje).

Zakon dvojnega zanikanja pomeni, da je operacija "NE" reverzibilna: če jo uporabite dvakrat, se na koncu logična vrednost ne bo spremenila.

Zakon izključene sredine pravi, da je vsak logični izraz resničen ali napačen ("tretjega ni"). Če je torej $A=1$, potem je $\bar(A)=0$ (in obratno), kar pomeni, da je konjunkcija teh količin vedno enaka nič, disjunkcija pa ena.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Poenostavimo to formulo:

Slika 3

To pomeni, da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

odgovor: učenci $B$, $C$ in $D$ igrajo šah, učenec $A$ pa ne igra.

Pri poenostavitvi logičnih izrazov lahko izvedete naslednje zaporedje dejanj:

1. Zamenjajte vse »neosnovne« operacije (enakovrednost, implikacija, XOR itd.) z njihovimi izrazi prek osnovnih operacij inverzije, konjunkcije in disjunkcije.
2. Razširite inverzije kompleksnih izrazov po de Morganovih pravilih tako, da imajo samo posamezne spremenljivke operacije zanikanja.
3. Nato poenostavite izraz z uporabo razširitve v oklepajih, skupnih faktorjev v oklepajih in drugih zakonov algebre logike.

Primer 2

Tu se zaporedoma uporabljajo de Morganovo pravilo, distribucijski zakon, zakon izključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, ponovno komutativni zakon in zakon absorpcije.

Poenostavitev algebrskih izrazov je eden izmed Ključne točke učenje algebre in izjemno uporabna veščina za vse matematike. Poenostavitev vam omogoča zmanjšanje zapletenega ali dolgega izraza na preprost izraz, s katerim je enostavno delati. Osnovne veščine poenostavljanja so dobre tudi za tiste, ki jih matematika ne navdušuje. Ohranjanje nekaj preprosta pravila, lahko poenostavite številne najpogostejše vrste algebrskih izrazov brez posebnega matematičnega znanja.

Koraki

Pomembne definicije

1. Podobni člani. To so člani s spremenljivko istega reda, člani z enakimi spremenljivkami ali prosti člani (členi, ki ne vsebujejo spremenljivke). Z drugimi besedami, podobni izrazi vključujejo eno spremenljivko v enakem obsegu, vključujejo več enakih spremenljivk ali sploh ne vključujejo spremenljivke. Vrstni red izrazov v izrazu ni pomemben.

   • Na primer, 3x 2 in 4x 2 sta podobna izraza, ker vsebujeta spremenljivko "x" drugega reda (na drugi potenci). Vendar x in x 2 nista podobna člana, saj vsebujeta spremenljivko "x" različnih vrstnih redov (prvi in ​​drugi). Podobno -3yx in 5xz nista podobna člana, ker vsebujeta različne spremenljivke.

2. Faktorizacija. To je iskanje takih števil, katerih produkt vodi do prvotnega števila. Vsaka izvirna številka ima lahko več dejavnikov. Na primer, število 12 lahko razložimo na naslednje nize faktorjev: 1 × 12, 2 × 6 in 3 × 4, tako da lahko rečemo, da so števila 1, 2, 3, 4, 6 in 12 faktorji število 12. Faktorji so enaki deliteljem, to so števila, s katerimi je prvotno število deljivo.

   • Če želite na primer faktorizirati število 20, ga zapišite takole: 4×5.
   • Upoštevajte, da se pri faktoringu upošteva spremenljivka. Na primer, 20x = 4(5x).
   • Praštevil ni mogoče faktorizirati, ker so deljiva samo s seboj in z 1.

3. Zapomnite si in upoštevajte vrstni red operacij, da se izognete napakam.

   • Oklepaji
   • stopnja
   • Množenje
   • Delitev
   • Dodatek
   • Odštevanje

   Casting Like Members

   1. Zapišite izraz. Praživali algebrski izrazi(ki ne vsebujejo ulomkov, korenov ipd.) je mogoče rešiti (poenostaviti) v samo nekaj korakih.

      • Na primer, poenostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definirajte podobne člane (člane s spremenljivko istega reda, člane z enakimi spremenljivkami ali proste člane).

      • Poiščite podobne izraze v tem izrazu. Izraza 2x in 4x vsebujeta spremenljivko istega reda (prvo). Tudi 1 in -3 sta brezplačna člana (ne vsebujeta spremenljivke). Tako so v tem izrazu izrazi 2x in 4x so podobni, člani pa 1 in -3 so tudi podobni.

   3. Podajte podobne izraze. To pomeni, da jih dodamo ali odštejemo in poenostavimo izraz.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepiši izraz ob upoštevanju danih izrazov. Dobili boste preprost izraz z manj izrazi. Nov izraz je enak izvirniku.

      • V našem primeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, kar pomeni, da je izvirni izraz poenostavljen in lažji za delo.

   5. Upoštevajte vrstni red, v katerem se izvajajo operacije pri uvajanju podobnih izrazov. V našem primeru je bilo enostavno prinesti podobne pogoje. Vendar pa v primeru zapletenih izrazov, v katerih so člani zaprti v oklepajih in so prisotni ulomki in koreni, ni tako enostavno prinesti takih izrazov. V teh primerih upoštevajte vrstni red operacij.

      • Na primer, razmislite o izrazu 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tukaj bi bilo napačno, če bi 3x in 2x takoj definirali kot podobna izraza in ju navedli v narekovajih, ker morate najprej razširiti oklepaje. Zato izvedite operacije v njihovem vrstnem redu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. zdaj, ko izraz vsebuje samo operacije seštevanja in odštevanja, lahko udejanjate podobne izraze.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Oklepaj množitelja

   1. Poiščite največji skupni delitelj (gcd) vseh koeficientov izraza. NOD je največje število, s katerim delimo vse koeficiente izraza.

      • Na primer, razmislite o enačbi 9x 2 + 27x - 3. V tem primeru je gcd=3, ker je kateri koli koeficient tega izraza deljiv s 3.

   2. Vsak člen izraza razdelite z gcd. Dobljeni členi bodo vsebovali manjše koeficiente kot v izvirnem izrazu.

      • V našem primeru razdelite vsak izrazni izraz s 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Izkazalo se je izraz 3x2 + 9x-1. Ni enak izvirnemu izrazu.

   3. Prvotni izraz zapišite kot enak zmnožku gcd krat dobljenega izraza. To pomeni, da dobljeni izraz zapišete v oklepaje, GCD pa postavite izven oklepajev.

      • V našem primeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Poenostavitev frakcijskih izrazov z odvzemom množitelja iz oklepajev. Zakaj bi vzeli množitelj iz oklepajev, kot je bilo storjeno prej? Nato se naučite poenostaviti zapleteni izrazi, kot so frakcijski izrazi. V tem primeru se lahko z ulomkom znebite ulomka (iz imenovalca).

      • Na primer, razmislite o ulomku (9x 2 + 27x - 3)/3. Za poenostavitev tega izraza uporabite oklepaje.
        • Odštejte faktor 3 (kot ste storili prej): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Upoštevajte, da imata tako števec kot imenovalec zdaj številko 3. To lahko zmanjšate in dobite izraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Ker je vsak ulomek, ki ima v imenovalcu številko 1, enak števcu, je prvotni ulomkov izraz poenostavljen na: 3x2 + 9x-1.

   Dodatne tehnike poenostavljanja

4. Razmislite o preprostem primeru: √(90). Število 90 je mogoče razstaviti na faktorje: 9 in 10, iz 9 pa izvleči kvadratni koren (3) in 3 izpod korena.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Poenostavljanje izrazov s potencami. V nekaterih izrazih so operacije množenja ali deljenja členov s stopnjo. V primeru množenja členov z eno osnovo se njihove stopnje seštejejo; v primeru deljenja členov z isto osnovo se njihove stopnje odštejejo.

   • Na primer, upoštevajte izraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Pri množenju eksponente seštejte, pri deljenju pa odštejte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Sledi razlaga pravila za množenje in deljenje členov s stopnjo.
     • Množenje členov s potencami je enakovredno množenju členov samih s seboj. Na primer, ker je x 3 = x × x × x in x 5 = x × x × x × x × x, potem je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ali x 8.
     • Podobno je delitev izrazov s potencami enakovredna delitvi izrazov samih. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Ker se podobni členi, ki so tako v števcu kot v imenovalcu, lahko zmanjšajo, produkt dveh "x" ali x 2 ostane v števcu.

• Vedno bodite pozorni na znake (plus ali minus) pred izrazom, saj ima veliko ljudi težave pri izbiri pravega znaka.
• Po potrebi prosite za pomoč!
• Poenostavljanje algebrskih izrazov ni preprosto, a če se tega lotite, lahko to veščino uporabljate vse življenje.