Ko dijak vstopi v srednjo šolo, se matematika razdeli na dva predmeta: algebro in geometrijo. Pojmov je vedno več, naloge so vedno težje. Nekateri ljudje težko razumejo ulomke. Zamudil sem prvo lekcijo na to temo in voila. ulomki? Vprašanje, ki me bo mučilo vse šolsko življenje.

Pojem algebraičnega ulomka

Začnimo z definicijo. Spodaj algebrski ulomek se nanaša na izraze P/Q, kjer je P števec in Q imenovalec. Številka je lahko skrita pod vnosom črke, številski izraz, številsko-črkovni izraz.

Preden se sprašujete, kako rešiti algebraične ulomke, morate najprej razumeti, da je tak izraz del celote.

Celo število je praviloma 1. Število v imenovalcu pove, na koliko delov je enota razdeljena. Števec je potreben, da ugotovimo, koliko elementov je vzetih. Vrstica za ulomke ustreza znaku deljenja. Dovoljeno je zapisati ulomek kot matematično operacijo »Deljenje«. V tem primeru je števec dividenda, imenovalec delitelj.

Osnovno pravilo navadnih ulomkov

Ko učenci preučujejo to temo v šoli, dobijo primere za utrjevanje. Da jih pravilno rešite in poiščete različne poti od težke situacije, morate uporabiti osnovno lastnost ulomkov.

Gre takole: če pomnožite števec in imenovalec z istim številom ali izrazom (razen nič), potem vrednost navadni ulomek Ne bo spremenilo. Poseben primer iz tega pravila je deljenje obeh strani izraza z istim številom ali polinomom. Take transformacije imenujemo identične enakosti.

Spodaj si bomo ogledali, kako rešiti seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov, množenje, deljenje in zmanjševanje ulomkov.

Matematične operacije z ulomki

Oglejmo si, kako rešiti, glavno lastnost algebraičnega ulomka in kako jo uporabiti v praksi. Če morate dva ulomka pomnožiti, ju sešteti, enega z drugim deliti ali odšteti, morate vedno upoštevati pravila.

Tako je treba za operacijo seštevanja in odštevanja najti dodaten faktor, da se izraza spravita na skupni imenovalec. Če so ulomki na začetku podani z enakimi izrazi Q, potem je treba ta odstavek izpustiti. Kako rešiti algebraične ulomke, ko je skupni imenovalec najden? Števce morate seštevati ali odštevati. Ampak! Ne smemo pozabiti, da če je pred ulomkom znak "-", so vsi znaki v števcu obrnjeni. Včasih ne smete izvajati nobenih zamenjav ali matematičnih operacij. Dovolj je, da spremenite predznak pred ulomkom.

Koncept se pogosto uporablja kot zmanjševanje ulomkov. To pomeni naslednje: če števec in imenovalec delimo z izrazom, ki je drugačen od enega (enakega za oba dela), potem dobimo nov ulomek. Dividenda in delitelj sta manjša kot prej, a zaradi osnovnega pravila ulomkov ostajata enaka prvotnemu primeru.

Namen te operacije je pridobiti nov ireduktibilni izraz. To težavo lahko rešimo tako, da števec in imenovalec zmanjšamo za največje skupni delilnik. Algoritem delovanja je sestavljen iz dveh točk:

1. Iskanje gcd za obe strani ulomka.
2. Deljenje števca in imenovalca z najdenim izrazom in pridobitev nezmanjšanega ulomka, ki je enak prejšnjemu.

Spodaj je tabela, ki prikazuje formule. Za udobje ga lahko natisnete in nosite s seboj v zvezku. Da pa v prihodnosti pri reševanju testa ali izpita ne bo težav pri vprašanju, kako rešiti algebraične ulomke, se je treba te formule naučiti na pamet.

Več primerov z rešitvami

S teoretičnega vidika je obravnavano vprašanje, kako rešiti algebraične ulomke. Primeri v članku vam bodo pomagali bolje razumeti gradivo.

1. Pretvori ulomke in jih pripelji na skupni imenovalec.

2. Pretvori ulomke in jih spravi na skupni imenovalec.

Po študiju teoretičnega dela in premisleku praktična vprašanja ne bi smelo biti več.

Temelji na njihovi osnovni lastnosti: če števec in imenovalec ulomka delimo z istim polinomom, ki ni nič, dobimo enak ulomek.

Množitelje lahko samo zmanjšate!

Članov polinomov ni mogoče skrajšati!

Za zmanjšanje algebraičnega ulomka je treba najprej faktorizirati polinome v števcu in imenovalcu.

Oglejmo si primere zmanjševanja ulomkov.

Števec in imenovalec ulomka vsebujeta monome. Predstavljajo delo(števila, spremenljivke in njihove moči), multiplikatorji lahko zmanjšamo.

Števila zmanjšamo z največjim skupnim deliteljem, torej z največjim večje število, s katerim je vsako od teh števil deljeno. Za 24 in 36 je to 12. Po zmanjšanju ostane 2 od 24 in 3 od 36.

Stopinje zmanjšamo za stopnjo z najnižjim indeksom. Zmanjšati ulomek pomeni deliti števec in imenovalec z istim deliteljem ter odšteti eksponente.

a² in a⁷ se zmanjšata na a². V tem primeru v števcu a² ostane ena (1 pišemo le v primeru, ko po redukciji ne ostane noben drug faktor. Od 24 ostane 2, zato 1 ostane od a² ne pišemo). Od a⁷ po zmanjšanju ostane a⁵.

b in b zmanjšamo za b, nastale enote ne zapišemo.

c³º in c5 sta skrajšana na c5. Od c³º ostane c²⁵, od c5 pa ena (ne pišemo). torej

Števec in imenovalec tega algebraičnega ulomka sta polinoma. Ne morete preklicati členov polinomov! (ne morete zmanjšati npr. 8x² in 2x!). Če želite zmanjšati ta delež, potrebujete. Števec ima skupni faktor 4x. Vzemimo iz oklepajev:

Tako števec kot imenovalec imata enak faktor (2x-3). S tem faktorjem zmanjšamo ulomek. V števcu smo dobili 4x, v imenovalcu - 1. Glede na 1 lastnost algebraičnih ulomkov je ulomek enak 4x.

Lahko samo zmanjšate faktorje (tega ulomka ne morete zmanjšati za 25x²!). Zato je treba polinome v števcu in imenovalcu ulomka faktorizirati.

Števec je celoten kvadrat vsote, imenovalec razlika kvadratov. Po razgradnji s skrajšanimi formulami za množenje dobimo:

Ulomek zmanjšamo za (5x+1) (če želite to narediti, prečrtajte dve v števcu kot eksponent, tako da ostane (5x+1)² (5x+1)):

Števec ima skupni faktor 2, vzemimo ga iz oklepaja. Imenovalec je formula za razliko kock:

Kot rezultat razširitve sta števec in imenovalec dobila enak faktor (9+3a+a²). Z njim zmanjšamo ulomek:

Polinom v števcu je sestavljen iz 4 členov. prvi člen z drugim, tretji s četrtim in odstranite skupni faktor x² iz prvih oklepajev. Imenovalec razčlenimo po formuli vsote kubov:

V števcu vzemimo skupni faktor (x+2) iz oklepaja:

Zmanjšaj ulomek za (x+2):

Cilji:

1. Poučna- utrdijo pridobljeno znanje in spretnosti zmanjševanja algebrskih ulomkov pri reševanju zahtevnejših vaj z uporabo faktorizacije polinoma na različne načine ter razvijajo zmožnost zmanjševanja algebrskih ulomkov. Ponovi skrajšane formule množenja: (a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2,a 2 -b 2 =(a+b)(a-b), metoda združevanja, postavljanje skupnega faktorja izven oklepaja.

2. Razvojni – razvoj logičnega mišljenja za zavestno zaznavanje izobraževalno gradivo, pozornost, aktivnost učencev v lekciji.

3. Izobraževanje - izobraževanje kognitivne dejavnosti, oblikovanje osebne kvalitete: natančnost in jasnost besednega izražanja misli; koncentracija in pozornost; vztrajnost in odgovornost, pozitivna motiviranost za študij predmeta, natančnost, vestnost in čut za odgovornost.

Naloge:

1. Okrepite preučeno gradivo s spreminjanjem vrst dela na to temo »Algebrski ulomek. Zmanjševanje ulomkov."

2. Razviti spretnosti in sposobnosti pri zmanjševanju algebraičnih ulomkov različne poti faktorizacija števca in imenovalca, razv logično razmišljanje, pravilen in kompetenten matematični govor, razvoj samostojnosti in zaupanja v svoje znanje in spretnosti pri nastopanju različni tipi dela

3. Gojiti zanimanje za matematiko z uvajanjem različnih vrst utrjevanja gradiva: ustno delo, delo z učbenikom, delo na tabli, matematični narek, test, samostojno delo, igra "Matematični turnir"; stimuliranje in spodbujanje aktivnosti študentov.

načrt:
JAZ. Organiziranje časa.
II . Ustno delo.
III. Matematični narek.
IV.
1.Delo po učbeniku in ob tabli.
2. Delo v skupinah z uporabo kartic - igra "Matematični turnir".
3. Samostojno delo po stopnjah (A, B, C).
V. Spodnja črta.
1. Test (medsebojno preverjanje).
VI. Domača naloga.

Med predavanji:

I. Organizacijski trenutek.

Čustveno razpoloženje in pripravljenost učitelja in učencev na lekcijo. Učenci določijo cilje in cilje te lekcije, na podlagi učiteljevih vodilnih vprašanj določijo temo lekcije.

II. Ustno delo.

1. Zmanjšajte ulomke:

2. Poiščite vrednost algebraičnega ulomka:
pri c = 8, c = -13, c = 11.
Odgovor: 6; -1; 3.

3. Odgovorite na vprašanja:

1) Kakšnemu vrstnemu redu je koristno slediti pri faktoriziranju polinomov?
(Pri faktoriziranju polinomov je koristno upoštevati naslednji vrstni red: a) skupni faktor dajte iz oklepaja, če obstaja; b) poskusite faktorizirati polinom s skrajšanimi formulami za množenje; c) poskusite uporabiti metodo združevanja, če prejšnje metode niso pripeljale do cilja).

2) Kolikšen je kvadrat vsote?
(Kvadrat vsote dveh števil je enak kvadratu prvega števila plus dvakratni zmnožek prvega števila in drugega plus kvadrat drugega števila).

3) Kolikšen je kvadrat razlike?
(Kvadrat razlike dveh števil je enak kvadratu prvega števila minus dvakratni produkt prvega števila in drugega plus kvadrat drugega števila).

4) Kakšna je razlika med kvadratoma dveh števil?
(Razlika med kvadratoma dveh števil je enaka produktu razlike med tema številoma in njune vsote).

5) Kaj je treba narediti pri uporabi metode združevanja? (Za faktorizacijo polinoma z metodo združevanja morate: a) združiti člane polinoma v skupine, ki imajo skupni faktor v obliki polinoma; b) vzemite ta skupni faktor iz oklepaja).
6) Če želite skupni faktor izvzeti iz oklepaja, potrebujete ......?
(Poiščite ta skupni faktor; 2. dajte ga iz oklepaja).

7) Katere metode faktoriziranja polinoma poznate?
(Iznašanje skupnega faktorja iz oklepaja, metoda združevanja, formule za skrajšano množenje).

8) Kaj je potrebno za zmanjšanje ulomka?
(Če želite skrajšati ulomek, delite števec in imenovalec z njunim skupnim faktorjem.)

III. Matematični narek.

1. Podčrtaj algebraične ulomke:

Možnost I:

Možnost II:

1. Ali si je mogoče predstavljati izraz

Možnost I:

Možnost II:

kot polinom? Si lahko predstavljaš?

3. Katere vrednosti črk so sprejemljive za izraz:
Možnost I:

Možnost II:
(x-5)(x+7).

4. Zapiši algebraični ulomek s števcem
Možnost I:
3x2.
Možnost II:
5 let
in imenovalec

Možnost I:
x(x+3).
Možnost II:
y 2 (y+7).
in ga skrajšajte.

IV. Utrditev teme: »Algebrski ulomek. Zmanjševanje ulomkov":

1.Delo po učbeniku in ob tabli.

Razčlenite števec in imenovalec ulomka in ga zmanjšajte.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. Delo v skupinah z uporabo kartic - igra "Matematični turnir".

(Naloge za igro - "Dodatek 1".)
Utrjevanje in preverjanje spretnosti reševanja primerov na to temo poteka v obliki turnirja. Razred razdelimo v skupine in dobimo naloge na kartah (karte različnih stopenj).
Skozi določen čas, mora vsak učenec zapisati rešitev ekipnih nalog v zvezek in jih znati razložiti.
Dovoljena so posvetovanja znotraj ekipe (vodi jih kapetan).
Nato se začne turnir: vsaka ekipa ima pravico izzvati druge, vendar le enkrat. Na primer, kapetan prve ekipe pokliče študente druge ekipe, da sodelujejo na turnirju; Kapetan druge ekipe naredi enako, gredo pred tablo, izmenjajo kartončke in rešujejo probleme itd.

3. Samostojno delo na stopnjah (A, B, C)

"Didaktično gradivo" L.I. Zvavich et al., str.95, C-52.(knjiga je na voljo vsem študentom)
A . №1: I možnost-1) a, b; 2) a, c; 5) a.
II možnost-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Možnost I - a.
Možnost II - b.
IN . №3: Možnost I - a.
Možnost II - b.

V. Spodnja črta.

1. Test (medsebojno preverjanje).
(Naloge za test - "Priloga 2".)
(na kartončkih za vsakega učenca, glede na možnosti)

VI. Domača naloga.

1) "D.M." stran 95 št. 1. (3,4,6);
2) št. 447 (sodo);
3) §24, ponovite § 19 - §23.

Na prvi pogled se zdijo algebraični ulomki zelo zapleteni in nepripravljeni učenec lahko misli, da se z njimi ne da narediti ničesar. Kopičenje spremenljivk, številk in celo stopinj vzbuja strah. Vendar se ista pravila uporabljajo za zmanjševanje navadnih ulomkov (kot je 15/25) in algebrskih ulomkov.

Koraki

Zmanjševanje ulomkov

Oglejte si dejavnosti z enostavni ulomki. Operacije z navadnimi in algebrskimi ulomki so podobne. Na primer, vzemimo ulomek 15/35. Če želite poenostaviti ta ulomek, bi morali poiščite skupni delitelj. Obe števili sta deljivi s pet, zato lahko ločimo 5 v števcu in imenovalcu:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Zdaj lahko zmanjša skupne dejavnike, torej prečrtajte 5 v števcu in imenovalcu. Kot rezultat dobimo poenostavljen ulomek 3/7 . IN algebrski izrazi skupni faktorji so dodeljeni na enak način kot pri navadnih. V prejšnjem primeru smo lahko enostavno izbrali 5 od 15 – enako načelo velja za več zapleteni izrazi, na primer 15x – 5. Poiščimo skupni faktor. V tem primeru bo 5, ker sta oba člena (15x in -5) deljiva s 5. Kot prej izberite skupni faktor in ga premaknite levo.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Če želite preveriti, ali je vse pravilno, preprosto pomnožite izraz v oklepajih s 5 - rezultat bodo enake številke kot na začetku. Kompleksne člene lahko izoliramo na enak način kot enostavne. Za algebraične ulomke veljajo enaka načela kot za navadne. To je najlažji način za zmanjšanje ulomka. Razmislite o naslednjem ulomku:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Upoštevajte, da tako števec (zgoraj) kot imenovalec (spodaj) vsebujeta člen (x+2), zato ga je mogoče zmanjšati na enak način kot skupni faktor 5 v ulomku 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Kot rezultat dobimo poenostavljen izraz: (x-3)/(x+10)

Zmanjšanje algebraičnih ulomkov

Poiščite skupni faktor v števcu, to je na vrhu ulomka. Pri redukciji algebraičnega ulomka je prvi korak poenostavitev obeh strani. Začnite s števcem in ga poskusite vključiti v čim več faktorjev. V tem razdelku razmislite o naslednjem ulomku:

9x-3 15x+6

Začnimo s števcem: 9x – 3. Za 9x in -3 je skupni faktor številka 3. Vzemimo 3 iz oklepaja, kot je storjeno z navadnimi števili: 3 * (3x-1). Rezultat te transformacije je naslednji ulomek:

3(3x-1) 15x+6

Poiščite skupni faktor v števcu. Nadaljujmo z zgornjim primerom in zapišimo imenovalec: 15x+6. Kot prej ugotovimo, s katerim številom sta deljiva oba dela. In v tem primeru je skupni faktor 3, tako da lahko zapišemo: 3 * (5x +2). Prepišimo ulomek v naslednji obliki:

3(3x-1) 3(5x+2)

Skrajšajte iste izraze. V tem koraku lahko ulomek poenostavite. Prečrtajte iste člene v števcu in imenovalcu. V našem primeru je to število 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Ugotovite, da je ulomek najpreprostejše oblike. Ulomek je popolnoma poenostavljen, če v števcu in imenovalcu ni več skupnih faktorjev. Upoštevajte, da ne morete preklicati izrazov, ki se pojavijo v oklepajih - v zgornjem primeru x ni mogoče ločiti od 3x in 5x, saj sta polna izraza (3x -1) in (5x + 2). Tako ulomka ni mogoče nadalje poenostavljati in končni odgovor je naslednji:

(3x-1)(5x+2)

Vadite zmanjševanje ulomkov sami. Najboljši način Obvladati metodo pomeni samostojno reševanje problemov. Pravilni odgovori so podani pod primeri.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

odgovor:(x=13)

2x 2 -x 5x

odgovor:(2x-1)/5

Posebne poteze

Postavite negativni predznak zunaj ulomka. Recimo, da vam je dan naslednji ulomek:

3(x-4) 5(4-x)

Upoštevajte, da sta (x-4) in (4-x) "skoraj" enaka, vendar ju ni mogoče takoj zmanjšati, ker sta "obrnjena". Vendar (x - 4) lahko zapišemo kot -1 * (4 - x), tako kot (4 + 2x) lahko zapišemo kot 2 * (2 + x). To se imenuje "obrat znaka".

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Zdaj lahko zmanjšate enake izraze (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Tako dobimo končni odgovor: -3/5 . Naučite se prepoznati razliko med kvadrati. Razlika kvadratov je, ko se kvadrat enega števila odšteje od kvadrata drugega števila, kot v izrazu (a 2 - b 2). Razliko popolnih kvadratov je vedno mogoče razstaviti na dva dela - vsoto in razliko ustreznih kvadratni koren. Potem bo izraz dobil naslednjo obliko:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ta tehnika je zelo uporabna pri iskanju skupnih izrazov v algebrskih ulomkih.

• Preverite, ali ste ta ali oni izraz pravilno faktorizirali. Če želite to narediti, pomnožite faktorje - rezultat mora biti enak izraz.
• Če želite popolnoma poenostaviti ulomek, vedno ločite največje faktorje.