Po učbeniku Sovetov in Yakovlev: "model (lat. modulus - mera) je nadomestni predmet za izvirni predmet, ki zagotavlja preučevanje nekaterih lastnosti izvirnika." (str. 6) "Zamenjava enega predmeta z drugim, da bi pridobili informacije o najpomembnejših lastnostih izvirnega predmeta z uporabo modela predmeta, se imenuje modeliranje." (str. 6) »Z matematičnim modeliranjem razumemo proces vzpostavljanja ujemanja danega realnega objekta z določenim matematičnim objektom, imenovanim matematični model, in preučevanje tega modela, ki nam omogoča pridobitev značilnosti realnega obravnavani predmet. Vrsta matematičnega modela je odvisna tako od narave realnega objekta kot nalog preučevanja objekta ter zahtevane zanesljivosti in natančnosti reševanja tega problema.«

Končno, najbolj jedrnata definicija matematičnega modela: "Enačba, ki izraža idejo».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modelov

Formalna klasifikacija modelov temelji na klasifikaciji uporabljenih matematičnih orodij. Pogosto zgrajena v obliki dihotomij. Na primer, eden od priljubljenih sklopov dihotomij:

in tako naprej. Vsak konstruiran model je linearen ali nelinearen, determinističen ali stohastičen, ... Seveda so možni tudi mešani tipi: koncentrirani v enem pogledu (po parametrih), porazdeljeni v drugem itd.

Razvrstitev glede na način predstavitve predmeta

Poleg formalne klasifikacije se modeli razlikujejo po tem, kako predstavljajo objekt:

Strukturni ali funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljajo objekt kot sistem z lastno strukturo in mehanizmom delovanja. Funkcionalni modeli ne uporabljajte takšnih predstavitev in odražajo le zunanje zaznano obnašanje (delovanje) predmeta. V svojem ekstremnem izrazu jih imenujemo tudi modeli »črne škatle«. Možni so tudi kombinirani tipi modelov, ki jih včasih imenujemo " siva škatla».

Vsebinski in formalni modeli

Skoraj vsi avtorji, ki opisujejo proces matematičnega modeliranja, navajajo, da se najprej zgradi posebna idealna struktura, vsebinski model. Tukaj ni ustaljene terminologije in drugi avtorji temu pravijo idealen objekt konceptualni model , špekulativni model oz predmodel. V tem primeru se pokliče končna matematična konstrukcija formalni model ali preprosto matematični model, pridobljen kot rezultat formalizacije danega smiselnega modela (predmodel). Konstrukcijo smiselnega modela lahko izvedemo z uporabo nabora že pripravljenih idealizacij, kot v mehaniki, kjer idealne vzmeti, toga telesa, idealna nihala, prožni mediji itd. zagotavljajo pripravljene strukturne elemente za smiselno modeliranje. Vendar pa na področjih znanja, kjer ni popolnoma dokončanih formaliziranih teorij (vrh fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije in večine drugih področij), postane ustvarjanje smiselnih modelov dramatično težje.

Vsebinska klasifikacija modelov

Nobene hipoteze v znanosti ni mogoče enkrat za vselej dokazati. Richard Feynman je to zelo jasno formuliral:

»Vedno imamo možnost ovreči teorijo, vendar upoštevajte, da nikoli ne moremo dokazati, da je pravilna. Recimo, da ste postavili uspešno hipotezo, izračunali, kam vodi, in ugotovili, da so vse njene posledice eksperimentalno potrjene. Ali to pomeni, da je vaša teorija pravilna? Ne, to preprosto pomeni, da vam tega ni uspelo ovreči.«

Če je zgrajen model prvega tipa, to pomeni, da je začasno sprejet kot resnica in se lahko osredotoči na druge probleme. Vendar to ne more biti točka v raziskovanju, ampak le začasen premor: status modela prve vrste je lahko le začasen.

Vrsta 2: Fenomenološki model (obnašaj se, kot da…)

Fenomenološki model vsebuje mehanizem za opisovanje pojava. Vendar pa ta mehanizem ni dovolj prepričljiv, ga ni mogoče dovolj potrditi z razpoložljivimi podatki ali pa se ne ujema dobro z obstoječimi teorijami in zbranim znanjem o predmetu. Zato imajo fenomenološki modeli status začasnih rešitev. Verjame se, da odgovor še ni znan in da je treba iskanje "pravih mehanizmov" nadaljevati. Peierls med drugo vrsto uvršča na primer kalorični model in kvarkov model osnovnih delcev.

Vloga modela v raziskovanju se lahko sčasoma spremeni in lahko se zgodi, da novi podatki in teorije potrdijo fenomenološke modele in jih dvignejo v status hipoteze. Prav tako lahko nova spoznanja postopoma pridejo v konflikt z modeli-hipotezami prve vrste in se lahko prevedejo v drugo. Tako model kvarkov postopoma prehaja v kategorijo hipotez; atomizem v fiziki je nastal kot začasna rešitev, s tekom zgodovine pa je postal prvi tip. Toda modeli etra so se prebili iz tipa 1 v tip 2 in so zdaj zunaj znanosti.

Zamisel o poenostavitvi je zelo priljubljena pri gradnji modelov. Toda poenostavitev prihaja v različnih oblikah. Peierls identificira tri vrste poenostavitev pri modeliranju.

Vrsta 3: Približek (menimo, da je nekaj zelo veliko ali zelo majhno)

Če je mogoče sestaviti enačbe, ki opisujejo proučevani sistem, to ne pomeni, da jih je mogoče rešiti tudi s pomočjo računalnika. Običajna tehnika v tem primeru je uporaba približkov (modeli tipa 3). Med njimi modeli linearnega odziva. Enačbe nadomestimo z linearnimi. Standardni primer je Ohmov zakon.

In tukaj je tip 8, ki se pogosto uporablja v matematičnih modelih bioloških sistemov.

Tip 8: Predstavitev možnosti (glavna stvar je pokazati notranjo doslednost možnosti)

Tudi to so miselni eksperimenti z namišljenimi entitetami, ki to dokazujejo domnevni pojav skladen z osnovnimi načeli in notranje konsistenten. To je glavna razlika od modelov tipa 7, ki razkrivajo skrita protislovja.

Eden najbolj znanih teh eksperimentov je geometrija Lobačevskega (Lobačevski jo je imenoval "imaginarna geometrija"). Drug primer je množična proizvodnja formalno kinetičnih modelov kemičnih in bioloških vibracij, avtovalov itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je bil zasnovan kot model tipa 7 za prikaz nedoslednosti. kvantna mehanika. Na povsem nenačrtovan način se je sčasoma spremenil v model tipa 8 – prikaz možnosti kvantne teleportacije informacij.

Primer

Razmislimo o mehanskem sistemu, sestavljenem iz vzmeti, pritrjene na enem koncu, in bremena mase, pritrjenega na prosti konec vzmeti. Predvidevamo, da se obremenitev lahko premika le v smeri osi vzmeti (na primer, gibanje poteka vzdolž palice). Izdelajmo matematični model tega sistema. Stanje sistema bomo opisali z razdaljo od središča bremena do njegovega ravnotežnega položaja. Opišimo medsebojno delovanje vzmeti in bremena Hookov zakon() in nato uporabite drugi Newtonov zakon, da ga izrazite v obliki diferencialne enačbe:

kjer pomeni drugi odvod glede na čas: .

Nastala enačba opisuje matematični model obravnavanega fizičnega sistema. Ta model se imenuje "harmonični oscilator".

Po formalni klasifikaciji je ta model linearen, determinističen, dinamičen, koncentriran, zvezen. V procesu njegove izdelave smo postavili številne predpostavke (o odsotnosti zunanjih sil, odsotnosti trenja, majhnosti odstopanj itd.), ki v resnici morda niso izpolnjene.

Glede na realnost je to največkrat model tipa 4 poenostavitev(»nekaj podrobnosti bomo zaradi jasnosti izpustili«), saj so izpuščene nekatere bistvene univerzalne lastnosti (na primer disipacija). V nekem približku (recimo, medtem ko je odstopanje obremenitve od ravnovesja majhno, z nizkim trenjem, ne predolgo časa in pod določenimi drugimi pogoji), tak model precej dobro opisuje realni mehanski sistem, saj so zavrženi faktorji zanemarljiv vpliv na njegovo obnašanje. Vendar pa je model mogoče izboljšati z upoštevanjem nekaterih od teh dejavnikov. To bo vodilo do novega modela s širšim (čeprav spet omejenim) obsegom.

Ko pa je model izpopolnjen, se lahko kompleksnost njegove matematične študije znatno poveča in naredi model tako rekoč neuporaben. Pogosto vam preprostejši model omogoča boljše in globlje raziskovanje resničnega sistema kot bolj zapleten (in formalno bolj pravilen).

Če model harmoničnega oscilatorja uporabimo za objekte, ki so daleč od fizike, je lahko njegov smiselni status drugačen. Na primer, ko ta model uporabimo za biološke populacije, ga je treba najverjetneje pripisati tipu 6 analogija(»upoštevajmo le nekatere značilnosti«).

Trdi in mehki modeli

Harmonični oscilator je primer tako imenovanega "trdega" modela. Pridobljena je kot posledica močne idealizacije realnega fizičnega sistema. Da bi rešili vprašanje njegove uporabnosti, je treba razumeti, kako pomembni so dejavniki, ki smo jih zanemarili. Z drugimi besedami, potrebno je raziskati "mehki" model, ki ga dobimo z majhno perturbacijo "trdega". Podana je lahko na primer z naslednjo enačbo:

Tukaj je nekaj funkcij, ki lahko upoštevajo silo trenja ali odvisnost koeficienta togosti vzmeti od stopnje njenega raztezanja - nekaj majhnega parametra. Eksplicitna oblika funkcije nas trenutno ne zanima. Če dokažemo, da se obnašanje mehkega modela bistveno ne razlikuje od obnašanja trdega (ne glede na eksplicitno vrsto motečih dejavnikov, če so dovolj majhni), se bo problem zmanjšal na preučevanje trdega modela. V nasprotnem primeru bo uporaba rezultatov, pridobljenih s študijem togega modela, zahtevala dodatne raziskave. Na primer, rešitev enačbe harmoničnega oscilatorja so funkcije oblike , to so nihanja s konstantno amplitudo. Ali iz tega sledi, da bo pravi oscilator neomejeno nihal s konstantno amplitudo? Ne, saj ob upoštevanju sistema s poljubno majhnim trenjem (ki je v realnem sistemu vedno prisotno) dobimo dušena nihanja. Obnašanje sistema se je kvalitativno spremenilo.

Če sistem ohrani svoje kvalitativno obnašanje ob majhnih motnjah, se imenuje strukturno stabilen. Harmonični oscilator je primer strukturno nestabilnega (negrobega) sistema. Vendar pa se ta model lahko uporablja za preučevanje procesov v omejenih časovnih obdobjih.

Vsestranskost modelov

Najpomembnejši matematični modeli imajo običajno pomembne lastnosti univerzalnost: Bistveno različne realne pojave je mogoče opisati z istim matematičnim modelom. Na primer, harmonični oscilator ne opisuje le obnašanja obremenitve na vzmeti, temveč tudi druge nihajne procese, pogosto popolnoma drugačne narave: majhna nihanja nihala, nihanja nivoja tekočine v posodi v obliki črke A. , ali sprememba jakosti toka v nihajnem krogu. Tako s preučevanjem enega matematičnega modela takoj preučujemo cel razred pojavov, ki jih ta opisuje. To je ta izomorfizem zakonitosti, izražen z matematičnimi modeli v različnih segmentih znanstvena spoznanja, navdih za Ludwiga von Bertalanffyja, da je ustvaril "Splošno sistemsko teorijo".

Direktni in inverzni problemi matematičnega modeliranja

Z matematičnim modeliranjem je povezanih veliko težav. Najprej morate pripraviti osnovni diagram modeliranega predmeta, ga reproducirati v okviru idealizacij te znanosti. Tako se vagon spremeni v sistem plošč in kompleksnejših karoserij iz različne materiale, vsak material je specificiran kot njegova standardna mehanska idealizacija (gostota, elastični moduli, standardne trdnostne karakteristike), nakar se sestavijo enačbe, spotoma se nekatere podrobnosti zavržejo kot nepomembne, naredijo se izračuni, primerjajo z meritvami, model se izpopolni, in tako naprej. Vendar pa je za razvoj tehnologij matematičnega modeliranja koristno ta proces razstaviti na glavne komponente.

Tradicionalno obstajata dva glavna razreda problemov, povezanih z matematičnimi modeli: direktni in inverzni.

Direktna težava: struktura modela in vsi njegovi parametri se štejejo za znane, glavna naloga je izvesti študijo modela, da se izvleče koristno znanje o predmetu. Kakšno statično obremenitev bo most prenesel? Kako se bo odzvalo na dinamično obremenitev (na primer na marš čete vojakov ali na prehod vlaka z različnimi hitrostmi), kako bo letalo premagalo zvočni zid, ali bo razpadlo zaradi plapola - to so tipični primeri neposrednega problema. Postavitev pravega neposrednega problema (postavljanje pravega vprašanja) zahteva posebno spretnost. Če se ne postavijo prava vprašanja, se lahko most zruši, tudi če je bil zgrajen dober model njegovega obnašanja. Tako se je leta 1879 v Veliki Britaniji zrušil kovinski most čez reko Tay, katerega načrtovalci so zgradili model mostu, izračunali, da ima 20-kratni varnostni faktor za delovanje tovora, pozabili pa so na vetrove. na tistih mestih nenehno piha. In po letu in pol je propadlo.

V najpreprostejšem primeru (enačba enega oscilatorja, na primer) je neposredni problem zelo preprost in se zmanjša na eksplicitno rešitev te enačbe.

Inverzni problem: poznanih je veliko možnih modelov, določen model je treba izbrati na podlagi dodatnih podatkov o objektu. Najpogosteje je struktura modela znana, nekatere neznane parametre pa je treba določiti. Dodatne informacije lahko vsebuje dodatne empirične podatke ali zahteve za predmet ( problem oblikovanja). Dodatni podatki lahko prispejo ne glede na postopek odločanja inverzni problem (pasivno opazovanje) ali biti rezultat poskusa, posebej načrtovanega med reševanjem ( aktivni nadzor).

Eden prvih primerov virtuozne rešitve inverznega problema s čim večjo uporabo razpoložljivih podatkov je bila metoda I. Newtona za rekonstrukcijo sil trenja iz opazovanih dušenih nihanj.

Drug primer je matematična statistika. Naloga te vede je razviti metode za beleženje, opisovanje in analizo opazovalnih in eksperimentalnih podatkov z namenom gradnje verjetnostnih modelov množičnih naključnih pojavov. Tisti. nabor možnih modelov je omejen na verjetnostne modele. Pri specifičnih nalogah je nabor modelov bolj omejen.

Sistemi za računalniško simulacijo

Za podporo matematičnega modeliranja so bili razviti sistemi za računalniško matematiko, na primer Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim itd. Omogočajo ustvarjanje formalnih in blokovnih modelov preprostih in kompleksnih procesov in naprav ter enostavno spreminjanje parametrov modela med manekenstvo. Block Models so predstavljeni z bloki (najpogosteje grafičnimi), katerih nabor in povezava je določena z modelnim diagramom.

Dodatni primeri

Malthusov model

Stopnja rasti je sorazmerna s trenutno velikostjo populacije. Opisuje ga diferencialna enačba

kjer je določen parameter, ki ga določa razlika med rodnostjo in smrtnostjo. Rešitev te enačbe je eksponentna funkcija. Če stopnja rodnosti presega stopnjo umrljivosti (), se velikost populacije povečuje neomejeno in zelo hitro. Jasno je, da se to v resnici zaradi omejenih sredstev ne more zgoditi. Ko je dosežena določena kritična velikost populacije, model ni več ustrezen, saj ne upošteva omejenih virov. Izpopolnitev Malthusovega modela je lahko logistični model, ki je opisan z Verhulstovo diferencialno enačbo

kjer je »ravnotežna« velikost prebivalstva, pri kateri je stopnja rodnosti natančno kompenzirana s stopnjo umrljivosti. Velikost populacije v takem modelu se nagiba k ravnotežni vrednosti in to vedenje je strukturno stabilno.

sistem plenilec-plen

Recimo, da na določenem območju živita dve vrsti živali: zajci (jedo rastline) in lisice (jedo zajce). Naj bo število zajcev, število lisic. Z uporabo Malthusovega modela s potrebnimi popravki, ki upoštevajo uživanje kuncev s strani lisic, pridemo do naslednjega sistema, imenovanega modeli za pladnje - Volterra:

Ta sistem ima ravnotežno stanje, ko je število zajcev in lisic konstantno. Odstopanje od tega stanja povzroči nihanje števila zajcev in lisic, podobno kot nihanje harmoničnega oscilatorja. Tako kot pri harmoničnem oscilatorju tudi to vedenje ni strukturno stabilno: majhna sprememba v modelu (na primer ob upoštevanju omejenih virov, ki jih potrebujejo zajci) lahko povzroči kvalitativno spremembo vedenja. Na primer, ravnotežje lahko postane stabilno in nihanja v številu bodo izginila. Možna je tudi nasprotna situacija, ko bo vsako majhno odstopanje od ravnotežnega položaja povzročilo katastrofalne posledice, do popolnega izumrtja ene od vrst. Model Volterra-Lotka ne odgovarja na vprašanje, kateri od teh scenarijev se uresničuje: tukaj so potrebne dodatne raziskave.

Opombe

»Matematična predstavitev realnosti« (Enciklopedija Britanica)
Novik I. B., O filozofskih vprašanjih kibernetičnega modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistemov: Uč. za univerze - 3. izdaja, prenovljena. in dodatno - M.: Višje. šola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarski A. A., Mihajlov A. P. Matematično modeliranje. Ideje. Metode. Primeri. - 2. izd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičnih modelov. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostjanov, A.G. Modelarstvo tehnološki procesi: učbenik / A.G. Sevostjanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Lahka in prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
Wikislovar: matematični model
CliffsNotes.com. Glosar znanosti o Zemlji. 20. september 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
»Teorija se šteje za linearno ali nelinearno, odvisno od vrste matematičnega aparata - linearnega ali nelinearnega - in kakšne vrste linearnih ali nelinearnih matematičnih modelov uporablja. ... ne da bi zanikal slednje. Sodobni fizik, če bi moral na novo ustvariti definicijo tako pomembne entitete, kot je nelinearnost, bi najverjetneje ravnal drugače in bi, dal prednost nelinearnosti kot pomembnejšemu in bolj razširjenemu od obeh nasprotij, linearnost definiral kot »ne nelinearnost." Danilov Yu A., Predavanja o nelinearni dinamiki. Osnovni uvod. Serija "Sinergetika: iz preteklosti v prihodnost." 2. izdaja. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
»Dinamični sistemi, modelirani s končnim številom navadnih diferencialnih enačb, se imenujejo koncentrirani ali točkasti sistemi. Opisani so z uporabo končnodimenzionalnega faznega prostora in zanje je značilno končno število prostostnih stopenj. Isti sistem pod različnimi pogoji lahko štejemo za koncentriranega ali porazdeljenega. Matematični modeli porazdeljenih sistemov so parcialne diferencialne enačbe, integralne enačbe ali navadne enačbe z zakasnitvijo. Število prostostnih stopenj porazdeljenega sistema je neskončno in je potrebno neskončno število podatke za ugotavljanje njegovega stanja." Aniščenko V. S., Dinamični sistemi, Soros Educational Journal, 1997, št. 11, str. 77-84.
»Glede na naravo procesov, ki jih proučujemo v sistemu S, lahko vse vrste modeliranja razdelimo na deterministično in stohastično, statično in dinamično, diskretno, zvezno in diskretno-zvezno. Deterministično modeliranje prikazuje deterministične procese, to je procese, pri katerih se predpostavlja odsotnost vsakršnih naključnih vplivov; stohastično modeliranje prikazuje verjetnostne procese in dogodke. ... Statično modeliranje služi za opis obnašanja predmeta v katerem koli trenutku, dinamično modeliranje pa odraža obnašanje predmeta skozi čas. Diskretno modeliranje se uporablja za opisovanje procesov, za katere se predpostavlja, da so diskretni, oz. kontinuirano modeliranje nam omogoča, da odražamo kontinuirane procese v sistemih, diskretno-kontinuirano modeliranje pa se uporablja za primere, ko želijo poudariti prisotnost tako diskretnih kot kontinuiranih procesov. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Običajno matematični model odraža strukturo (napravo) modeliranega predmeta, lastnosti in razmerja komponent tega predmeta, ki so bistvenega pomena za namene raziskave; tak model imenujemo strukturni. Če model odraža le, kako objekt deluje - na primer, kako se odziva na zunanje vplive -, potem se imenuje funkcionalen ali, figurativno, črna skrinjica. Možni so tudi kombinirani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
»Očitna, a najpomembnejša začetna stopnja konstruiranja ali izbire matematičnega modela je pridobitev čim bolj jasne slike o objektu, ki se modelira, in izboljšanje njegovega smiselnega modela na podlagi neformalnih razprav. Na tej stopnji ne smete prihraniti časa in truda, od tega je v veliki meri odvisen uspeh celotne študije. Več kot enkrat se je zgodilo, da se je veliko dela, vloženega v reševanje matematičnega problema, izkazalo za neučinkovito ali celo zapravljeno zaradi premajhne pozornosti tej strani zadeve.« Myshkis A. D., Elementi teorije matematičnih modelov. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
« Opis konceptualnega modela sistema. Na tej podstopnji gradnje modela sistema: a) je konceptualni model M opisan z abstraktnimi termini in koncepti; b) opis modela je podan z uporabo standardnih matematičnih shem; c) hipoteze in predpostavke so dokončno sprejete; d) je upravičena izbira postopka aproksimacije realnih procesov pri izdelavi modela.« Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistemov: Uč. za univerze - 3. izdaja, prenovljena. in dodatno - M.: Višje. šola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
Blekhman I. I., Miškis A. D., Panovko N. G., Uporabna matematika: Predmet, logika, značilnosti pristopov. S primeri iz mehanike: Vadnica. - 3. izd., rev. in dodatno - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, 2. poglavje.

ZAPISKI PREDAVANJ

Glede na stopnjo

"Matematično modeliranje strojev in transportnih sistemov"

Predmet preučuje vprašanja v zvezi z matematičnim modeliranjem, obliko in principom predstavitve matematičnih modelov. Obravnavane so numerične metode za reševanje enodimenzionalnih nelinearnih sistemov. Zajeta so vprašanja računalniškega modeliranja in računalniškega eksperimenta. Upoštevane so metode obdelave podatkov, pridobljenih kot rezultat znanstvenih ali industrijskih poskusov; raziskovanje različnih procesov, prepoznavanje vzorcev v obnašanju predmetov, procesov in sistemov. Upoštevane so metode interpolacije in aproksimacije eksperimentalnih podatkov. Obravnavana so vprašanja, povezana z računalniškim modeliranjem in reševanjem nelinearnih dinamičnih sistemov. Predvsem so obravnavane metode numerične integracije in reševanja navadnih diferencialnih enačb prvega, drugega in višjih redov.

Predavanje: Matematično modeliranje. Oblika in principi predstavitve matematičnih modelov

Predavanje zajema splošna vprašanja matematično modeliranje. Podana je klasifikacija matematičnih modelov.

Računalnik je trdno vstopil v naše življenje in praktično ni področja človeške dejavnosti, kjer računalnika ne bi uporabljali. Računalniki se danes pogosto uporabljajo v procesu ustvarjanja in raziskovanja novih strojev, novih tehnoloških procesov in iskanja njihovih optimalnih možnosti; pri reševanju ekonomskih problemov, pri reševanju problemov načrtovanja in vodenja proizvodnje na različnih ravneh. Ustvarjanje velikih objektov v raketni tehniki, letalstvu, ladjedelništvu, pa tudi načrtovanje jezov, mostov itd. je na splošno nemogoče brez uporabe računalnikov.

Za uporabo računalnika pri reševanju aplikativnih problemov je treba aplikativni problem najprej »prevesti« v formalni matematični jezik, tj. za pravi objekt, proces ali sistem je treba zgraditi njegov matematični model.

Beseda "model" izhaja iz latinske besede modus (kopija, slika, oris). Modeliranje je zamenjava nekega predmeta A z drugim objektom B. Nadomeščeni objekt A imenujemo originalni ali modelirni objekt, nadomestni B pa model. Z drugimi besedami, model je nadomestni objekt za izvirni predmet, ki omogoča preučevanje nekaterih lastnosti izvirnika.

Namen modeliranja je pridobivanje, obdelava, predstavitev in uporaba informacij o objektih, ki medsebojno delujejo in zunanje okolje; in model tukaj deluje kot sredstvo za razumevanje lastnosti in vzorcev obnašanja predmeta.

Modeliranje se široko uporablja na različnih področjih človekovega delovanja, še posebej na področju načrtovanja in upravljanja, kjer so procesi sprejemanja učinkovitih odločitev na podlagi prejetih informacij posebni.

Model je vedno zgrajen z določenim namenom, ki vpliva na to, katere lastnosti objektivnega pojava so pomembne in katere ne. Model je kot projekcija objektivne realnosti iz določenega zornega kota. Včasih, odvisno od ciljev, lahko dobite številne projekcije objektivne resničnosti, ki pridejo v konflikt. To je praviloma značilno za kompleksne sisteme, v katerih vsaka projekcija iz množice nepomembnih izbere tisto, kar je bistveno za določen namen.

Teorija modeliranja je veja znanosti, ki preučuje načine preučevanja lastnosti izvirnih predmetov na podlagi njihove zamenjave z drugimi modelnimi objekti. Teorija modeliranja temelji na teoriji podobnosti. Pri modeliranju ne pride do absolutne podobnosti in se le trudi zagotoviti, da model dovolj dobro odraža vidik delovanja proučevanega predmeta. Absolutna podobnost se lahko pojavi le, če je en predmet zamenjan z drugim popolnoma enakim.

Vse modele lahko razdelimo v dva razreda:

1. resnično,

2. idealno.

Prave modele pa lahko razdelimo na:

1. v polnem obsegu,

2. fizično,

3. matematični.

Idealne modele lahko razdelimo na:

1. vizualno,

2. ikonično,

3. matematični.

Pravi modeli v polnem merilu so resnični objekti, procesi in sistemi, na katerih se izvajajo znanstveni, tehnični in industrijski poskusi.

Pravi fizični modeli so modeli, lutke, ki se razmnožujejo fizične lastnosti originali (kinematični, dinamični, hidravlični, toplotni, električni, svetlobni modeli).

Pravi matematični so analogni, strukturni, geometrijski, grafični, digitalni in kibernetični modeli.

Idealni vizualni modeli so diagrami, zemljevidi, risbe, grafi, grafi, analogi, strukturni in geometrijski modeli.

Idealni znakovni modeli so simboli, abeceda, programski jeziki, urejen zapis, topološki zapis, mrežna predstavitev.

Idealni matematični modeli so analitični, funkcionalni, simulacijski in kombinirani modeli.

V zgornji klasifikaciji imajo nekateri modeli dvojno razlago (na primer analogno). Vse modele, razen tistih v polnem obsegu, je mogoče združiti v en razred mentalnih modelov, ker so izdelek abstraktno mišljenje oseba.

Oglejmo si eno najbolj univerzalnih vrst modeliranja - matematično, ki povezuje simulirani fizični proces s sistemom matematičnih razmerij, katerih rešitev nam omogoča, da dobimo odgovor na vprašanje o obnašanju predmeta, ne da bi ustvarili fizični model, ki se pogosto izkaže za dragega in neučinkovitega.

Matematično modeliranje je način preučevanja resničnega predmeta, procesa ali sistema z zamenjavo z matematičnim modelom, ki je primernejši za eksperimentalno raziskovanje z uporabo računalnika.

Matematični model je približna predstavitev resničnih predmetov, procesov ali sistemov, izražena z matematičnimi izrazi in ohranja bistvene lastnosti izvirnika. Matematični modeli v kvantitativni obliki z uporabo logičnih in matematičnih konstrukcij opisujejo osnovne lastnosti predmeta, procesa ali sistema, njegove parametre, notranje in zunanji odnosi.

Na splošno je matematični model realnega objekta, procesa ali sistema predstavljen kot sistem funkcionalov

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kjer je X vektor vhodnih spremenljivk, X= t,

Y - vektor izhodnih spremenljivk, Y= t,

Z - vektor zunanji vplivi, Z= t ,

t - časovna koordinata.

Konstrukcija matematičnega modela je sestavljena iz določanja povezav med določenimi procesi in pojavi, ustvarjanja matematičnega aparata, ki omogoča kvantitativno in kvalitativno izražanje razmerja med določenimi procesi in pojavi, med fizikalnimi količinami, ki zanimajo strokovnjaka, in dejavniki, ki vplivajo na končni rezultat.

Običajno jih je toliko, da njihovega celotnega sklopa ni mogoče vnesti v model. Pri izdelavi matematičnega modela je raziskovalna naloga identificirati in izločiti iz obravnave dejavnike, ki bistveno ne vplivajo na končni rezultat (matematični model običajno vključuje bistveno manjše število dejavnikov kot v resnici). Na podlagi eksperimentalnih podatkov so postavljene hipoteze o razmerju med količinami, ki izražajo končni rezultat, in faktorji, vnesenimi v matematični model. Takšna povezava je pogosto izražena s sistemi parcialnih diferencialnih enačb (na primer v problemih mehanike trdna, tekočina in plin, teorija filtracije, toplotna prevodnost, teorija elektrostatičnih in elektrodinamičnih polj).

Končni cilj te stopnje je formulacija matematičnega problema, katerega rešitev s potrebno natančnostjo izraža rezultate, ki so zanimivi za strokovnjaka.

Oblika in principi predstavitve matematičnega modela so odvisni od številnih dejavnikov.

Glede na načela gradnje matematične modele delimo na:

1. analitičen;

2. posnemanje.

V analitičnih modelih so procesi delovanja realnih objektov, procesov ali sistemov zapisani v obliki eksplicitnih funkcionalnih odvisnosti.

Analitični model je razdeljen na vrste glede na matematični problem:

1. enačbe (algebrske, transcendentne, diferencialne, integralne),

2. aproksimacijski problemi (interpolacija, ekstrapolacija, numerična integracija in diferenciacija),

3. optimizacijske težave,

4. stohastični problemi.

Ko pa objekt modeliranja postane bolj zapleten, se izgradnja analitičnega modela spremeni v nerešljiv problem. Nato je raziskovalec prisiljen uporabiti simulacijsko modeliranje.

Pri simulacijskem modeliranju je delovanje objektov, procesov ali sistemov opisano z nizom algoritmov. Algoritmi simulirajo resnične osnovne pojave, ki sestavljajo proces ali sistem, hkrati pa ohranjajo svojo logično strukturo in zaporedje skozi čas. Simulacijsko modeliranje omogoča, da iz izvornih podatkov pridobimo informacije o stanjih procesa ali sistema v določenih časovnih točkah, vendar je napovedovanje obnašanja objektov, procesov ali sistemov tukaj težko. Lahko rečemo, da so simulacijski modeli računalniško podprti računalniški eksperimenti z matematičnimi modeli, ki posnemajo obnašanje realnih objektov, procesov ali sistemov.

Matematični modeli so lahko glede na naravo resničnih procesov in sistemov, ki se preučujejo:

1. deterministično,

2. stohastičen.

Pri determinističnih modelih se predpostavlja, da ni naključnih vplivov, da so elementi modela (spremenljivke, matematične povezave) precej natančno določeni in je mogoče natančno določiti obnašanje sistema. Pri konstruiranju determinističnih modelov se najpogosteje uporabljajo algebrske enačbe, integralne enačbe in matrična algebra.

Stohastični model upošteva naključno naravo procesov v proučevanih predmetih in sistemih, ki je opisana z metodami teorije verjetnosti in matematične statistike.

Glede na vrsto vhodnih informacij se modeli delijo na:

1. neprekinjeno,

2. diskretna.

Če so informacije in parametri zvezni in so matematične povezave stabilne, potem je model zvezen. In obratno, če so informacije in parametri diskretni, povezave pa nestabilne, potem je matematični model diskreten.

Glede na obnašanje modelov skozi čas jih delimo na:

1. statično,

2. dinamično.

Statični modeli opisujejo obnašanje predmeta, procesa ali sistema v katerem koli trenutku. Dinamični modeli odražajo obnašanje predmeta, procesa ali sistema skozi čas.

Glede na stopnjo ujemanja med matematičnim modelom in realnim objektom, procesom ali sistemom delimo matematične modele na:

1. izomorfne (enake oblike),

2. homomorfne (različne oblike).

Model se imenuje izomorfen, če med njim in realnim objektom, procesom ali sistemom obstaja popolna korespondenca po elementih. Homomorfno - če obstaja ujemanje samo med najpomembnejšimi komponente objekt in model.

V prihodnje bomo za kratko opredelitev vrste matematičnega modela v zgornji klasifikaciji uporabljali naslednji zapis:

Prva črka:

D - deterministični,

C - stohastično.

Druga črka:

N - neprekinjeno,

D - diskretno.

Tretje pismo:

A - analitično,

In - posnemanje.

1. Ni (natančneje, ne upošteva se) vpliva naključnih procesov, tj. deterministični model (D).

2. Informacije in parametri so zvezni, tj. model - neprekinjen (N),

3. Delovanje modela ročičnega mehanizma opišemo v obliki nelinearnih transcendentnih enačb, tj. model - analitični (A)

2. Predavanje: Značilnosti konstruiranja matematičnih modelov

Predavanje opisuje postopek izdelave matematičnega modela. Podan je verbalni algoritem postopka.

Matematični modeli v kvantitativni obliki z uporabo logičnih in matematičnih konstruktov opisujejo osnovne lastnosti predmeta, procesa ali sistema, njegove parametre, notranje in zunanje povezave.

Za izdelavo matematičnega modela potrebujete:

1. skrbno analizirati realen predmet ali proces;

2. izpostaviti njegove najpomembnejše značilnosti in lastnosti;

3. definirati spremenljivke, tj. parametri, katerih vrednosti vplivajo na glavne značilnosti in lastnosti predmeta;

4. opisati odvisnost osnovnih lastnosti predmeta, procesa ali sistema od vrednosti spremenljivk z uporabo logično-matematičnih odnosov (enačb, enačb, neenačb, logično-matematičnih konstrukcij);

5. osvetliti notranje povezave predmeta, procesa ali sistema z omejitvami, enačbami, enačbami, neenakostmi, logičnimi in matematičnimi konstrukcijami;

6. prepoznati zunanje povezave in jih opisati z omejitvami, enačbami, enačbami, neenačbami, logičnimi in matematičnimi konstrukcijami.

Matematično modeliranje poleg preučevanja predmeta, procesa ali sistema in njegovega matematičnega opisa vključuje tudi:

1. konstrukcija algoritma, ki modelira obnašanje objekta, procesa ali sistema;

2. preverjanje ustreznosti modela in objekta, procesa ali sistema na podlagi računalniških in naravnih eksperimentov;

3. prilagoditev modela;

4. uporaba modela.

Matematični opis preučevanih procesov in sistemov je odvisen od:

1. naravo realnega procesa ali sistema in je sestavljen na podlagi zakonov fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.

2. zahtevano zanesljivost in natančnost študija in raziskovanja realnih procesov in sistemov.

Na stopnji izbire matematičnega modela se ugotavljajo: linearnost in nelinearnost predmeta, procesa ali sistema, dinamičnost ali statičnost, stacionarnost ali nestacionarnost, pa tudi stopnja determiniranosti predmeta ali procesa, ki se proučuje. Pri matematičnem modeliranju se namenoma abstrahiramo od specifične fizične narave predmetov, procesov ali sistemov in se v glavnem osredotočamo na preučevanje kvantitativnih odvisnosti med količinami, ki opisujejo te procese.

Matematični model ni nikoli popolnoma enak predmetu, procesu ali sistemu, ki ga obravnavamo. Na podlagi poenostavljanja in idealiziranja gre za približen opis predmeta. Zato so rezultati, dobljeni z analizo modela, približni. Njihova natančnost je določena s stopnjo ustreznosti (skladnosti) med modelom in objektom.

Konstrukcija matematičnega modela se običajno začne s konstrukcijo in analizo najenostavnejšega, najbolj grobega matematičnega modela predmeta, procesa ali sistema, ki ga obravnavamo. V prihodnosti se model po potrebi izpopolni in njegova ustreznost objektu postane popolnejša.

Vzemimo preprost primer. Treba je določiti površino mize. Običajno se to naredi tako, da se izmeri njegova dolžina in širina ter nato pomnoži dobljena števila. Ta elementarni postopek pravzaprav pomeni naslednje: realni objekt (površino mize) nadomestimo z abstraktnim matematičnim modelom - pravokotnikom. Dimenzije, dobljene z merjenjem dolžine in širine površine mize, so dodeljene pravokotniku, površina takšnega pravokotnika pa je približno zahtevana površina mize.

Vendar pa je pravokotni model za mizo najpreprostejši, najbolj surov model. Če k problemu pristopite resneje, je treba pred uporabo pravokotnega modela za določitev površine mize ta model preveriti. Preverjanje lahko izvedete na naslednji način: izmerite dolžine nasprotnih strani mize, pa tudi dolžine njenih diagonal in jih primerjajte med seboj. Če so z zahtevano stopnjo natančnosti dolžine nasprotnih stranic in dolžine diagonal v parih enake, potem površino mize res lahko štejemo za pravokotnik. V nasprotnem primeru bo treba model pravokotnika zavrniti in ga nadomestiti s splošnim modelom štirikotnika. Z višjo zahtevo po natančnosti bo morda treba model še izboljšati, na primer, da se upošteva zaokroževanje vogalov mize.

S pomočjo tega preprost primer Pokazalo se je, da matematični model ni enolično določen s predmetom, procesom ali sistemom, ki ga proučujemo. Za isto tabelo lahko sprejmemo bodisi model pravokotnika, bodisi kompleksnejši model splošnega štirikotnika ali štirikotnik z zaobljenimi vogali. Izbira enega ali drugega modela je odvisna od zahteve po natančnosti. Z naraščajočo natančnostjo je treba model komplicirati, pri čemer je treba upoštevati vedno nove lastnosti preučevanega predmeta, procesa ali sistema.

Oglejmo si še en primer: preučevanje gibanja ročičnega mehanizma (slika 2.1).

riž. 2.1.

Za kinematično analizo tega mehanizma je najprej potrebno zgraditi njegov kinematični model. Za to:

1. Mehanizem zamenjamo z njegovim kinematskim diagramom, kjer so vsi členi nadomeščeni s togimi povezavami;

2. S pomočjo tega diagrama izpeljemo enačbo gibanja mehanizma;

3. Z diferenciranjem slednjih dobimo enačbi hitrosti in pospeška, ki sta diferencialni enačbi 1. in 2. reda.

Zapišimo te enačbe:

kjer je C 0 skrajni desni položaj drsnika C:

r – radij ročične gredi AB;

l – dolžina ojnice BC;

– kot vrtenja gonilke;

Nastale transcendentalne enačbe predstavljajo matematični model gibanja ploščatega aksialnega ročičnega mehanizma, ki temelji na naslednjih poenostavljenih predpostavkah:

1. Strukturne oblike in razporeditev mas, vključenih v mehanizem teles, nas niso zanimale in smo vsa telesa mehanizma zamenjali z ravnimi segmenti. Pravzaprav imajo vse povezave mehanizma maso in precej zapleteno obliko. Na primer, ojnica je kompleksen sklop, katerega oblika in dimenzije seveda vplivajo na gibanje mehanizma;

2. pri izdelavi matematičnega modela gibanja obravnavanega mehanizma tudi nismo upoštevali elastičnosti teles, vključenih v mehanizem, tj. vse povezave so bile obravnavane kot abstraktna absolutno toga telesa. V resnici so vsa telesa, vključena v mehanizem elastična telesa. Ko se mehanizem premakne, se bodo nekako deformirali, v njih pa se lahko pojavijo celo elastične vibracije. Vse to bo seveda vplivalo tudi na premikanje mehanizma;

3. nismo upoštevali proizvodne napake členov, vrzeli v kinematičnih parih A, B, C itd.

Zato je pomembno še enkrat poudariti, da višje kot so zahteve za natančnost rezultatov reševanja problema, večja je potreba po upoštevanju značilnosti predmeta, procesa ali sistema, ki se proučuje pri izdelavi matematičnega modela. Vendar je pomembno, da se tu pravočasno ustavite, saj lahko zapleten matematični model postane težko rešljiv problem.

Model je najlažje sestaviti, če so zakoni, ki določajo obnašanje in lastnosti predmeta, procesa ali sistema, dobro znani in obstajajo bogate praktične izkušnje z njihovo uporabo.

več težka situacija se pojavi, ko je naše znanje o predmetu, procesu ali sistemu, ki ga proučujemo, nezadostno. V tem primeru je pri izdelavi matematičnega modela potrebno narediti dodatne predpostavke, ki so v naravi hipotez, tak model imenujemo hipotetični. Sklepi, pridobljeni kot rezultat preučevanja takšnega hipotetičnega modela, so pogojni. Za preverjanje zaključkov je potrebno primerjati rezultate preučevanja modela na računalniku z rezultati eksperimenta v polnem obsegu. Tako vprašanje uporabnosti določenega matematičnega modela za preučevanje obravnavanega predmeta, procesa ali sistema ni matematično vprašanje in ga ni mogoče rešiti z matematičnimi metodami.

Glavno merilo resnice je eksperiment, praksa v najširšem pomenu besede.

Konstrukcija matematičnega modela v uporabnih problemih je ena najbolj zapletenih in pomembnih faz dela. Izkušnje kažejo, da v mnogih primerih izbira pravega modela pomeni več kot polovično rešitev problema. Težavnost te stopnje je v tem, da zahteva kombinacijo matematičnega in specialnega znanja. Zato je zelo pomembno, da imajo pri reševanju aplikativnih problemov matematiki posebna znanja o predmetu, njihovi partnerji, specialisti, pa določeno matematično kulturo, raziskovalne izkušnje na svojem področju, znanje računalništva in programiranja.

Predavanje 3. Računalniško modeliranje in računalniški eksperiment. Reševanje matematičnih modelov

Računalniško modeliranje kako nova metoda znanstvene raziskave temeljijo na:

1. izdelava matematičnih modelov za opis procesov, ki se preučujejo;

2. uporabljajo najnovejše računalnike z visoko hitrostjo (milijoni operacij na sekundo) in sposobni voditi dialog z osebo.

Bistvo računalniškega modeliranja je naslednje: na podlagi matematičnega modela se z uporabo računalnika izvede serija računalniških poskusov, tj. proučujejo se lastnosti predmetov ali procesov, najdejo se njihovi optimalni parametri in načini delovanja ter izpopolni model. Na primer, če imate enačbo, ki opisuje potek določenega procesa, lahko spremenite njegove koeficiente, začetne in robne pogoje ter preučite, kako se bo objekt obnašal. Poleg tega je mogoče predvideti obnašanje predmeta v različnih pogojih.

Računalniški poskus vam omogoča zamenjavo dragega eksperimenta v polnem obsegu z računalniškimi izračuni. Omogoča, da v kratkem času in brez znatnih materialnih stroškov preučite veliko število možnosti za načrtovani predmet ali proces za različne načine njegovega delovanja, kar bistveno skrajša čas, potreben za razvoj kompleksnih sistemov in njihovo implementacijo v proizvodnjo. .

Računalniško modeliranje in računalniški eksperiment kot nova metoda znanstvenega raziskovanja omogoča izboljšanje matematičnega aparata, ki se uporablja pri izdelavi matematičnih modelov, in omogoča, da z uporabo matematičnih metod pojasni in zaplete matematične modele. Najbolj obetavna za izvedbo računalniškega eksperimenta je njegova uporaba za reševanje velikih znanstvenih, tehničnih in družbeno-ekonomskih problemov našega časa (projektiranje reaktorjev za jedrske elektrarne, načrtovanje jezov in hidroelektrarn, magnetohidrodinamičnih pretvornikov energije ter na področju ekonomije). - izdelava uravnoteženega načrta za panogo, regijo, za državo itd.).

V nekaterih procesih, kjer je naravni eksperiment nevaren za življenje in zdravje ljudi, je računalniški eksperiment edini možen (termonuklearna fuzija, raziskovanje vesolja, načrtovanje in raziskovanje kemične in drugih industrij).

Za preverjanje ustreznosti matematičnega modela in realnega objekta, procesa ali sistema se rezultati računalniških raziskav primerjajo z rezultati eksperimenta na prototipnem modelu v polnem merilu. Rezultati testiranja se uporabijo za prilagajanje matematičnega modela ali pa se razreši vprašanje uporabnosti izdelanega matematičnega modela za načrtovanje ali študij določenih objektov, procesov ali sistemov.

Na koncu še enkrat poudarimo, da računalniško modeliranje in računalniški eksperiment omogočata zmanjšanje študije "nematematičnega" predmeta na rešitev matematičnega problema. To odpira možnost uporabe dobro razvitega matematičnega aparata v kombinaciji z zmogljivo računalniško tehnologijo za njeno preučevanje. To je osnova za uporabo matematike in računalnikov za razumevanje zakonov realnega sveta in njihovo uporabo v praksi.

Pri problemih načrtovanja ali proučevanja obnašanja realnih objektov, procesov ali sistemov so matematični modeli običajno nelinearni, ker odražati morajo resnične fizične nelinearne procese, ki se v njih dogajajo. Poleg tega so parametri (spremenljivke) teh procesov med seboj povezani s fizikalnimi nelinearnimi zakoni. Zato se pri problemih načrtovanja ali proučevanja obnašanja realnih objektov, procesov ali sistemov najpogosteje uporabljajo matematični modeli, kot je DNK.

Glede na razvrstitev v predavanju 1:

D – model je determinističen, vpliv naključnih procesov je odsoten (natančneje, ni upoštevan).

N – zvezni model, informacije in parametri so zvezni.

A – analitični model, delovanje modela je opisano v obliki enačb (linearne, nelinearne, sistemi enačb, diferencialne in integralne enačbe).

Torej smo zgradili matematični model obravnavanega predmeta, procesa ali sistema, tj. aplikativni problem predstavil kot matematični. Po tem se začne druga faza reševanja aplikativnega problema - iskanje ali razvoj metode za rešitev formuliranega matematičnega problema. Metoda mora biti primerna za izvedbo v računalniku in zagotavljati zahtevano kakovost rešitve.

Vse metode za reševanje matematičnih problemov lahko razdelimo v 2 skupini:

1. natančne metode za reševanje problemov;

2. numerične metode reševanja problemov.

Pri eksaktnih metodah reševanja matematičnih problemov lahko odgovor dobimo v obliki formul.

Na primer računanje korenov kvadratna enačba:

ali na primer izračun odpeljanih funkcij:

ali izračun določenega integrala:

Vendar pa z zamenjavo števil v formulo kot končnih decimalnih ulomkov še vedno dobimo približne vrednosti rezultata.

Za večino problemov, s katerimi se srečujemo v praksi, metode natančne rešitve bodisi niso znane bodisi zagotavljajo zelo okorne formule. Vendar pa niso vedno potrebni. Uporabni problem lahko štejemo za praktično rešenega, če ga lahko rešimo z zahtevano stopnjo natančnosti.

Za reševanje takšnih problemov so bile razvite numerične metode, pri katerih je rešitev kompleksnih matematičnih problemov zmanjšana na zaporedno izvajanje velikega števila preprostih aritmetičnih operacij. Neposredni razvoj numeričnih metod pripada računalniški matematiki.

Primer numerične metode je metoda pravokotnikov za približno integracijo, ki ne zahteva izračuna praodvoda za integrand. Namesto integrala se izračuna končna kvadraturna vsota:

x 1 =a – spodnja meja integracije;

x n+1 =b – zgornja meja integracije;

n – število segmentov, na katere je razdeljen integracijski interval (a,b);

– dolžina elementarnega segmenta;

f(x i) – vrednost integranda na koncih segmentov elementarne integracije.

kako večje število n segmentov, na katere je razdeljen integracijski interval, tem bližje je približna rešitev pravi, tj. bolj natančen je rezultat.

Tako pri aplikativnih nalogah in pri uporabi natančne metode rešitve, pri uporabi numeričnih metod reševanja pa so rezultati izračuna približni. Pomembno je le zagotoviti, da se napake ujemajo z zahtevano natančnostjo.

Numerične metode za reševanje matematičnih problemov so bile poznane že dolgo, še pred pojavom računalnikov, vendar so bile zaradi izredne zahtevnosti izračunov uporabljene redko in le v razmeroma enostavnih primerih. Široka uporaba numeričnih metod je postala mogoča zahvaljujoč računalnikom.

Matematično modeliranje

1. Kaj je matematično modeliranje?

Od sredine 20. stoletja. Matematične metode in računalniki so se začeli široko uporabljati na različnih področjih človeške dejavnosti. Pojavile so se nove discipline, kot so »matematična ekonomija«, »matematična kemija«, »matematična lingvistika« itd., ki preučujejo matematične modele relevantnih predmetov in pojavov ter metode za preučevanje teh modelov.

Matematični model je približen opis katerega koli razreda pojavov ali predmetov realnega sveta v matematičnem jeziku. Glavni namen modeliranja je raziskovanje teh objektov in napovedovanje rezultatov prihodnjih opazovanj. Vendar pa je modeliranje tudi metoda razumevanja sveta okoli nas, ki omogoča nadzor nad njim.

Matematično modeliranje in z njim povezan računalniški eksperiment sta nepogrešljiva v primerih, ko je eksperiment v polnem obsegu iz takšnih ali drugačnih razlogov nemogoč ali otežen. Na primer, v zgodovini je nemogoče postaviti naravni eksperiment, da bi preverili, »kaj bi se zgodilo, če ...« Nemogoče je preveriti pravilnost ene ali druge kozmološke teorije. Možno je, a malo verjetno, da bi bilo razumno, eksperimentirati s širjenjem bolezni, kot je kuga, ali izvesti jedrsko eksplozijo, da bi preučili njene posledice. Vendar pa je vse to mogoče storiti na računalniku, tako da najprej zgradimo matematične modele pojavov, ki jih proučujemo.

2. Glavne stopnje matematičnega modeliranja

1) Gradnja modela. Na tej stopnji je določen nek "nematematični" predmet - naravni pojav, zasnova, gospodarski načrt, proizvodni proces itd. V tem primeru je praviloma jasen opis situacije težaven. Najprej so identificirane glavne značilnosti pojava in povezave med njimi na kvalitativni ravni. Nato se ugotovljene kvalitativne odvisnosti oblikujejo v jeziku matematike, to je, da se zgradi matematični model. To je najtežja faza modeliranja.

2) Reševanje matematičnega problema, do katerega vodi model. Na tej stopnji se veliko pozornosti namenja razvoju algoritmov in numeričnih metod za reševanje problema na računalniku, s pomočjo katerih je mogoče najti rezultat z zahtevano natančnostjo in v sprejemljivem času.

3) Interpretacija dobljenih posledic iz matematičnega modela. Posledice, ki izhajajo iz modela v jeziku matematike, se interpretirajo v jeziku, ki je sprejet na tem področju.

4) Preverjanje ustreznosti modela. Na tej stopnji se ugotovi, ali se eksperimentalni rezultati ujemajo s teoretičnimi posledicami modela z določeno natančnostjo.

5) Sprememba modela. Na tej stopnji se bodisi model zakomplicira, da bolj ustreza realnosti, bodisi se poenostavi, da se doseže praktično sprejemljiva rešitev.

3. Razvrstitev modelov

Modele lahko razvrstimo po različnih merilih. Na primer, glede na naravo problemov, ki jih rešujemo, lahko modele razdelimo na funkcionalne in strukturne. V prvem primeru so vse količine, ki označujejo pojav ali predmet, izražene kvantitativno. Poleg tega se nekatere obravnavajo kot neodvisne spremenljivke, druge pa kot funkcije teh količin. Matematični model je običajno sistem enačb različnih vrst (diferencialnih, algebrskih itd.), ki vzpostavljajo kvantitativne odnose med obravnavanimi količinami. V drugem primeru model označuje strukturo kompleksnega predmeta, sestavljenega iz posameznih delov, med katerimi obstajajo določene povezave. Običajno teh povezav ni mogoče količinsko opredeliti. Za izdelavo takšnih modelov je priročno uporabiti teorijo grafov. Graf je matematični objekt, ki predstavlja niz točk (točk) na ravnini ali v prostoru, od katerih so nekatere povezane s črtami (robovi).

Glede na naravo začetnih podatkov in rezultatov lahko napovedne modele razdelimo na deterministične in verjetnostno-statistične. Modeli prve vrste dajejo določene, nedvoumne napovedi. Modeli druge vrste temeljijo na statističnih informacijah, napovedi, pridobljene z njihovo pomočjo, pa so verjetnostne narave.

4. Primeri matematičnih modelov

1) Težave o gibanju izstrelka.

Razmislite o naslednjem mehaničnem problemu.

Projektil se izstreli z Zemlje z začetno hitrostjo v 0 = 30 m/s pod kotom a = 45° na njeno površino; potrebno je najti trajektorijo njegovega gibanja in razdaljo S med začetno in končno točko te trajektorije.

Potem, kot je znano iz šolskega tečaja fizike, je gibanje projektila opisano s formulami:

kjer je t čas, g = 10 m/s 2 gravitacijski pospešek. Te formule nudijo matematični model problema. Če izrazimo t skozi x iz prve enačbe in jo zamenjamo v drugo, dobimo enačbo za trajektorijo izstrelka:

Ta krivulja (parabola) seka os x v dveh točkah: x 1 = 0 (začetek trajektorije) in (mesto padca izstrelka). Če nadomestimo dane vrednosti v0 in a v nastale formule, dobimo

odgovor: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Upoštevajte, da so bile pri izdelavi tega modela uporabljene številne predpostavke: na primer, predpostavlja se, da je Zemlja ravna, zrak in vrtenje Zemlje pa ne vplivata na gibanje izstrelka.

2) Problem o rezervoarju z najmanjšo površino.

Treba je najti višino h 0 in polmer r 0 kositrnega rezervoarja s prostornino V = 30 m 3, ki ima obliko zaprtega krožnega valja, pri katerem je njegova površina S minimalna (v tem primeru najmanjša količina kositra bo uporabljena za njegovo proizvodnjo).

Zapišimo naslednje formule za prostornino in površino valja z višino h in polmerom r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Če izrazimo h skozi r in V iz prve formule in nadomestimo dobljeni izraz v drugo, dobimo:

Tako se z matematičnega vidika problem zmanjša na določitev vrednosti r, pri kateri funkcija S(r) doseže svoj minimum. Poiščimo tiste vrednosti r 0, za katere je derivat

gre na nulo: Lahko preverite, ali drugi odvod funkcije S(r) spremeni predznak iz minusa v plus, ko gre argument r skozi točko r 0 . Posledično ima v točki r0 funkcija S(r) minimum. Ustrezna vrednost je h 0 = 2r 0 . Če dano vrednost V nadomestimo v izraz za r 0 in h 0, dobimo želeni polmer in višina

3) Problem transporta.

Mesto ima dve skladišči moke in dve pekarni. Vsak dan se iz prvega skladišča v tovarne odpelje 50 ton moke, iz drugega pa 70 ton, v prvo 40 ton, v drugo pa 80 ton.

Označimo z a ij stroški prevoza 1 tone moke iz i-tega skladišča v j-ta rastlina(i, j = 1,2). Pustiti

a 11 = 1,2 rublja, a 12 = 1,6 rublja, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.

Kako načrtovati prevoz, da bo njegov strošek minimalen?

Dajmo problemu matematično formulacijo. Z x 1 in x 2 označimo količino moke, ki jo je treba prepeljati iz prvega skladišča v prvo in drugo tovarno, z x 3 in x 4 pa iz drugega skladišča v prvo oziroma drugo tovarno. Nato:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Skupni stroški vseh prevozov so določeni s formulo

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Z matematičnega vidika je problem najti štiri števila x 1, x 2, x 3 in x 4, ki izpolnjujejo vse dane pogoje in dajejo minimum funkcije f. Rešimo sistem enačb (1) za xi (i = 1, 2, 3, 4) tako, da izločimo neznanke. To razumemo

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

in x 4 ni mogoče določiti enolično. Ker je x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), iz enačb (2) sledi, da je 30Ј x 4 Ј 70. Če zamenjamo izraz za x 1, x 2, x 3 v formulo za f, dobimo

f = 148 – 0,2x 4.

Preprosto je videti, da je minimum te funkcije dosežen pri največji možni vrednosti x 4, to je pri x 4 = 70. Ustrezne vrednosti drugih neznank so določene s formulami (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem radioaktivnega razpada.

Naj bo N(0) začetno število atomov radioaktivne snovi, N(t) pa število nerazpadlih atomov v času t. Eksperimentalno je bilo ugotovljeno, da je hitrost spreminjanja števila teh atomov N"(t) sorazmerna z N(t), to je N"(t)=–l N(t), l >0 je konstanta radioaktivnosti dane snovi. Pri šolskem tečaju matematične analize je prikazano, da ima rešitev te diferencialne enačbe obliko N(t) = N(0)e –l t. Čas T, v katerem se število začetnih atomov prepolovi, imenujemo razpolovna doba in je pomembna značilnost radioaktivnosti snovi. Za določitev T moramo vnesti formulo Potem Na primer, za radon l = 2,084 · 10 –6 in zato T = 3,15 dni.

5) Problem trgovskega potnika.

Trgovski popotnik, ki živi v mestu A 1, mora obiskati mesta A 2 , A 3 in A 4 , vsako mesto natanko enkrat, nato pa se vrniti nazaj v A 1 . Znano je, da so vsa mesta v parih povezana s cestami, dolžine cest b ij med mestoma A i in A j (i, j = 1, 2, 3, 4) pa so naslednje:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Treba je določiti vrstni red obiska mest, v katerih je dolžina ustrezne poti minimalna.

Vsako mesto upodobimo kot točko na ravnini in jo označimo z ustrezno oznako Ai (i = 1, 2, 3, 4). Povežimo te točke z ravnimi črtami: predstavljale bodo ceste med mesti. Za vsako »cesto« navedemo njeno dolžino v kilometrih (slika 2). Rezultat je graf – matematični objekt, sestavljen iz določenega niza točk na ravnini (imenovanih oglišča) in določenega niza črt, ki te točke povezujejo (imenovanih robovi). Poleg tega je ta graf označen, saj so njegovim točkam in robom dodeljene nekatere oznake - številke (robovi) ali simboli (vozila). Cikel na grafu je zaporedje vozlišč V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 tako, da so vozlišča V 1 , ..., V k različna, in vsak par vozlišč V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) in par V 1, V k sta povezana z robom. Tako je obravnavani problem najti tak cikel na grafu, ki poteka skozi vsa štiri vozlišča, za katerega je vsota vseh uteži robov minimalna. Poiščimo vse različne cikle, ki potekajo skozi štiri vozlišča in se začnejo pri A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Sedaj poiščemo dolžine teh ciklov (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Pot najmanjše dolžine je torej prva.

Upoštevajte, da če je v grafu n oglišč in so vsa oglišča v parih povezana z robovi (takšen graf imenujemo popoln), potem je število ciklov, ki potekajo skozi vsa oglišča, enako. Zato so v našem primeru natanko trije cikli .

6) Problem iskanja povezave med zgradbo in lastnostmi snovi.

Oglejmo si več kemičnih spojin, imenovanih normalni alkani. Sestavljeni so iz n atomov ogljika in n + 2 atomov vodika (n = 1, 2 ...), medsebojno povezanih, kot je prikazano na sliki 3 za n = 3. Naj bodo znane eksperimentalne vrednosti vrelišč teh spojin:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Za te spojine je treba najti približno razmerje med vreliščem in številom n. Predpostavimo, da ima ta odvisnost obliko

y" a n+b,

Kje a, b - konstante, ki jih je treba določiti. Najti a in b v to formulo zaporedno nadomestimo n = 3, 4, 5, 6 in ustrezne vrednosti vrelišč. Imamo:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Za določitev najboljšega a in b obstaja veliko različnih metod. Uporabimo najpreprostejši od njih. Izrazimo b skozi a iz teh enačb:

b » – 42 – 3 a, b " – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Vzemimo aritmetično sredino teh vrednosti kot želeni b, to pomeni, da b » 16 – 4,5 a. Nadomestimo to vrednost b v prvotni sistem enačb in izračunajmo a, dobimo za a naslednje vrednosti: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Vzemimo kot zahtevano a povprečna vrednost teh številk, to je, dajmo a" 34. Zahtevana enačba ima torej obliko

y » 34n – 139.

Preverimo točnost modela na izvirnih štirih spojinah, za katere izračunamo vrelišča po dobljeni formuli:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Tako izračunana napaka te lastnosti za te spojine ne presega 5°. Z dobljeno enačbo izračunamo vrelišče spojine z n = 7, ki ni vključena v začetni niz, za kar v to enačbo nadomestimo n = 7: y р (7) = 99°. Rezultat se je izkazal za precej natančnega: znano je, da je eksperimentalna vrednost vrelišča y e (7) = 98 °.

7) Problem določanja zanesljivosti električnega tokokroga.

Tu si bomo ogledali primer verjetnostnega modela. Najprej navedimo nekaj informacij iz teorije verjetnosti – matematične discipline, ki preučuje vzorce naključnih pojavov, opaženih med večkratnim ponavljanjem poskusa. Recimo naključnemu dogodku A možen rezultat nekega poskusa. Dogodki A 1 , ..., A k tvorijo popolno skupino, če se eden od njih nujno pojavi kot rezultat poskusa. Dogodki se imenujejo nekompatibilni, če se ne morejo zgoditi hkrati v isti izkušnji. Naj se dogodek A zgodi m-krat med n-kratno ponovitvijo poskusa. Frekvenca dogodka A je število W = . Očitno vrednosti W ni mogoče natančno napovedati, dokler ni izveden niz n poskusov. Vendar pa je narava naključnih dogodkov takšna, da v praksi včasih opazimo naslednji učinek: ko se število poskusov poveča, vrednost praktično preneha biti naključna in se stabilizira okoli nekega nenaključnega števila P(A), imenovanega verjetnost dogodek A. Za nemogoč dogodek (ki se v poskusu nikoli ne zgodi) je P(A)=0, za zanesljiv dogodek (ki se v izkušnji vedno pojavi) pa P(A)=1. Če dogodki A 1 , ..., A k tvorijo popolno skupino nekompatibilnih dogodkov, potem je P(A 1)+...+P(A k)=1.

Recimo, da je eksperiment sestavljen iz metanja kocke in opazovanja števila vrženih točk X. Nato lahko uvedemo naslednje naključne dogodke A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ti tvorijo popolno skupino nezdružljivih enako verjetnih dogodkov, zato je P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Vsota dogodkov A in B je dogodek A + B, ki je sestavljen iz dejstva, da se vsaj eden od njih zgodi v izkušnji. Produkt dogodkov A in B je dogodek AB, ki je sestavljen iz hkratnega pojava teh dogodkov. Za neodvisna dogodka A in B veljata naslednji formuli:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Razmislimo zdaj o naslednjem naloga. Predpostavimo, da so trije elementi zaporedno povezani v električni krog in delujejo neodvisno drug od drugega. Verjetnosti odpovedi 1., 2. in 3. elementa so enake P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Vezje bomo imeli za zanesljivo, če verjetnost, da v vezju ne bo toka, ni večja od 0,4. Ugotoviti je treba, ali je dano vezje zanesljivo.

Ker so elementi zaporedno povezani, v tokokrogu ne bo toka (dogodek A), če vsaj eden od elementov odpove. Naj bo A i dogodek, ki i-ti element deluje (i = 1, 2, 3). Potem je P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Očitno je A 1 A 2 A 3 dogodek, v katerem vsi trije elementi delujejo hkrati in

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Potem je P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, torej P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Na koncu ugotavljamo, da so podani primeri matematičnih modelov (vključno s funkcionalnimi in strukturnimi, determinističnimi in verjetnostnimi) po naravi ilustrativni in očitno ne izčrpajo raznolikosti matematičnih modelov, ki se pojavljajo v naravoslovju in humanistiki.

Pojem modela in simulacije.

Model v širšem smislu- to je vsaka podoba, mentalna analogija ali uveljavljena podoba, opis, diagram, risba, zemljevid itd. katerega koli obsega, procesa ali pojava, ki se uporablja kot njegov nadomestek ali predstavnik. Sam objekt, proces ali pojav imenujemo original tega modela.

Modelarstvo - to je preučevanje katerega koli predmeta ali sistema objektov s konstruiranjem in preučevanjem njihovih modelov. To je uporaba modelov za določanje ali razjasnitev značilnosti in racionalizacijo metod konstruiranja novozgrajenih objektov.

Vsaka metoda znanstvenega raziskovanja temelji na ideji modeliranja, medtem ko teoretične metode uporabljajo različne vrste simbolnih, abstraktnih modelov, eksperimentalne metode pa predmetne modele.

V študiji kompleksen realni pojav nadomesti neka poenostavljena kopija ali shema, včasih taka kopija služi le za zapomnitev in prepoznavanje želenega pojava ob naslednjem srečanju. Včasih zgrajena shema odraža nekatere bistvene značilnosti, omogoča razumevanje mehanizma pojava, omogoča napovedovanje njegove spremembe. Isti pojav lahko ustreza različni modeli.

Naloga raziskovalca je predvideti naravo pojava in potek procesa.

Včasih se zgodi, da je predmet na voljo, vendar so poskusi z njim dragi ali povzročijo resne okoljske posledice. Znanje o takšnih procesih se pridobiva z uporabo modelov.

Pomembna točka je, da sama narava znanosti ne vključuje preučevanja enega specifičnega pojava, temveč širokega razreda povezanih pojavov. To pomeni, da je treba oblikovati nekatere splošne kategorične izjave, ki se imenujejo zakoni. Seveda je pri takšni formulaciji veliko podrobnosti zanemarjenih. Da bi jasneje identificirali vzorec, se namenoma lotevajo grobljenja, idealizacije, shematičnosti, torej ne preučujejo samega pojava, temveč njegovo bolj ali manj natančno kopijo ali model. Vsi zakoni so zakoni o modelih, zato ni presenetljivo, da se sčasoma nekatere znanstvene teorije izkažejo za neuporabne. To ne vodi v propad znanosti, saj je en model zamenjal drug bolj moderno.

Posebno vlogo v znanosti igrajo matematični modeli, gradbeni materiali in orodja teh modelov - matematični koncepti. Skozi tisočletja so se kopičili in izboljševali. Sodobna matematika ponuja izjemno močna in univerzalna sredstva raziskovanja. Skoraj vsak pojem v matematiki, vsak matematični objekt, začenši s pojmom števila, je matematični model. Pri izdelavi matematičnega modela predmeta ali pojava, ki se preučuje, se identificirajo tiste njegove lastnosti, lastnosti in podrobnosti, ki po eni strani vsebujejo bolj ali manj popolne informacije o predmetu, po drugi strani pa omogočajo matematično formalizacijo. Matematična formalizacija pomeni, da je mogoče značilnosti in podrobnosti predmeta povezati z ustreznimi ustreznimi matematičnimi koncepti: števili, funkcijami, matricami itd. Potem se lahko povezave in razmerja, odkrita in domnevna v preučevanem predmetu med njegovimi posameznimi deli in komponentami, zapišejo z uporabo matematičnih odnosov: enakosti, neenakosti, enačb. Rezultat je matematični opis procesa ali pojava, ki ga proučujemo, to je njegov matematični model.

Preučevanje matematičnega modela je vedno povezano z določenimi pravili delovanja na preučevane predmete. Ta pravila odražajo razmerja med vzroki in posledicami.

Gradnja matematičnega modela je osrednja stopnja raziskave ali načrtovanja katerega koli sistema. Vsa nadaljnja analiza objekta je odvisna od kakovosti modela. Izdelava modela ni formalen postopek. Močno je odvisno od raziskovalca, njegovih izkušenj in okusa ter vedno temelji na določenem eksperimentalnem materialu. Model mora biti dovolj natančen, ustrezen in priročen za uporabo.

Matematično modeliranje.

Klasifikacija matematičnih modelov.

Matematični modeli so lahkodeterministični in stohastično .

Določite model in so modeli, v katerih se med spremenljivkami, ki opisujejo predmet ali pojav, vzpostavi korespondenca ena proti ena.

Ta pristop temelji na poznavanju mehanizma delovanja predmetov. Pogosto je objekt, ki se modelira, zapleten in dešifriranje njegovega mehanizma je lahko zelo delovno intenzivno in dolgotrajno. V tem primeru postopajo takole: izvajajo eksperimente na izvirniku, obdelajo dobljene rezultate in brez poglabljanja v mehanizem in teorijo modeliranega objekta z metodami matematične statistike in teorije verjetnosti vzpostavijo povezave med spremenljivkami, ki opisujejo predmet. V tem primeru dobitestohastično model . IN stohastično model, razmerje med spremenljivkami je naključno, včasih je temeljno. Vpliv ogromnega števila dejavnikov, njihova kombinacija vodi do naključnega nabora spremenljivk, ki opisujejo predmet ali pojav. Glede na naravo načinov je modelstatistični in dinamično.

Statističnimodelvključuje opis odnosov med glavnimi spremenljivkami modeliranega objekta v stabilnem stanju brez upoštevanja sprememb parametrov skozi čas.

IN dinamičnomodeliopisani so odnosi med glavnimi spremenljivkami modeliranega objekta pri prehodu iz enega načina v drugega.

Obstajajo modeli diskretna in neprekinjeno, in mešano vrsta. IN neprekinjeno spremenljivke zavzemajo vrednosti iz določenega intervala, vdiskretnaspremenljivke imajo izolirane vrednosti.

Linearni modeli- vse funkcije in relacije, ki linearno opisujejo model, so odvisne od spremenljivk inne linearnodrugače.

Matematično modeliranje.

Zahteve , predstavljeno do modelov.

1. Vsestranskost- označuje popolnost predstavitve modela proučevanih lastnosti realnega predmeta.

Ustreznost je zmožnost odražanja želenih lastnosti predmeta z napako, ki ni višja od dane.
Natančnost se ocenjuje s stopnjo ujemanja med vrednostmi značilnosti realnega predmeta in vrednostmi teh značilnosti, pridobljenimi z uporabo modelov.
Varčno - določeno s porabo računalniških pomnilniških virov in časa za njegovo izvajanje in delovanje.

Matematično modeliranje.

Glavne faze modeliranja.

1. Izjava problema.

Določitev namena analize in načina za njegovo doseganje ter razvoj splošnega pristopa k obravnavanemu problemu. Na tej stopnji je potrebno globoko razumevanje bistva naloge. Včasih pravilno postaviti problem ni nič manj težko kot ga rešiti. Uprizarjanje ni formalen proces, splošna pravilašt.

2. Preučevanje teoretičnih osnov in zbiranje informacij o izvirnem predmetu.

Na tej stopnji se izbere oziroma razvije ustrezna teorija. Če ga ni, se med spremenljivkami, ki opisujejo predmet, vzpostavijo vzročno-posledične zveze. Določeni so vhodni in izhodni podatki ter podane poenostavljene predpostavke.

3. Formalizacija.

Sestoji iz izbire sistema simbolov in njihove uporabe za zapis odnosov med komponentami predmeta v obliki matematičnih izrazov. Določen je razred problemov, v katere lahko uvrstimo nastali matematični model objekta. Vrednosti nekaterih parametrov na tej stopnji morda še niso določene.

4. Izbira metode rešitve.

Na tej stopnji se določijo končni parametri modelov ob upoštevanju delovnih pogojev objekta. Za nastali matematični problem se izbere metoda reševanja ali pa se razvije posebna metoda. Pri izbiri metode se upošteva znanje uporabnika, njegove preference in preference razvijalca.

5. Implementacija modela.

Po razvitem algoritmu se napiše program, ki se razhrošči, testira in dobi rešitev želenega problema.

6. Analiza prejetih informacij.

Primerjamo dobljene in pričakovane rešitve ter spremljamo napako modeliranja.

7. Preverjanje ustreznosti realnega predmeta.

Primerjamo rezultate, dobljene z modelombodisi z razpoložljivimi informacijami o predmetu ali pa se izvede poskus in njegovi rezultati se primerjajo z izračunanimi.

Postopek modeliranja je iterativen. V primeru nezadovoljivih rezultatov stopenj 6. oz 7. se vrne na eno od prejšnjih stopenj, kar bi lahko vodilo v razvoj neuspešnega modela. Ta stopnja in vse naslednje se izpopolnjujejo in takšno izpopolnjevanje modela poteka, dokler ne dobimo sprejemljivih rezultatov.

1.1.2 2. Glavne stopnje matematičnega modeliranja

1) Gradnja modela. Na tej stopnji je določen nek "nematematični" predmet - naravni pojav, zasnova, gospodarski načrt, proizvodni proces itd. V tem primeru je praviloma jasen opis situacije težaven. Najprej so identificirane glavne značilnosti pojava in povezave med njimi na kvalitativni ravni. Nato se ugotovljene kvalitativne odvisnosti oblikujejo v jeziku matematike, to je, da se zgradi matematični model. To je najtežja faza modeliranja.

2) Reševanje matematičnega problema, do katerega vodi model. Na tej stopnji se veliko pozornosti namenja razvoju algoritmov in numeričnih metod za reševanje problema na računalniku, s pomočjo katerih je mogoče najti rezultat z zahtevano natančnostjo in v sprejemljivem času.

3) Interpretacija dobljenih posledic iz matematičnega modela.Posledice, ki izhajajo iz modela v jeziku matematike, se interpretirajo v jeziku, ki je sprejet na tem področju.

4) Preverjanje ustreznosti modela.Na tej stopnji se ugotovi, ali se eksperimentalni rezultati ujemajo s teoretičnimi posledicami modela z določeno natančnostjo.

5) Sprememba modela.Na tej stopnji se bodisi model zakomplicira, da bolj ustreza realnosti, bodisi se poenostavi, da se doseže praktično sprejemljiva rešitev.

1.1.3 3. Klasifikacija modela

MATEMATIČNO MODELIRANJE IN SPLOŠNO RAČUNALNIŠTVO ALI SIMULACIJSKI MODELI

Zdaj, ko v državi poteka skoraj univerzalna informatizacija, slišimo izjave strokovnjakov različnih strok: "Če uvedemo računalnik, bodo vsi problemi takoj rešeni." To stališče je popolnoma napačno, računalniki sami, brez matematičnih modelov določenih procesov, ne bodo mogli narediti ničesar in o univerzalni informatizaciji lahko samo sanjamo.

V podporo navedenemu bomo skušali utemeljiti potrebo po modeliranju, tudi matematičnega, razkriti njegove prednosti pri človekovem spoznavanju in preoblikovanju zunanjega sveta, ugotoviti obstoječe pomanjkljivosti in preiti na ... simulacijsko modeliranje, tj. modeliranje z uporabo računalnika. Ampak vse je v redu.

Najprej si odgovorimo na vprašanje: kaj je model?

Model je materialni ali miselno predstavljen predmet, ki v procesu spoznavanja (preučevanja) nadomešča izvirnik in ohranja nekatere tipične lastnosti, pomembne za to preučevanje.

Dobro zgrajen model je bolj dostopen za raziskovanje kot pravi predmet. Na primer, poskusi z gospodarstvom države v izobraževalne namene so nesprejemljivi, model je nepogrešljiv.

Če povzamemo povedano, lahko odgovorimo na vprašanje: čemu so modeli? Da bi

razumeti, kako objekt deluje (njegova zgradba, lastnosti, zakonitosti razvoja, interakcija z zunanjim svetom).
naučiti se upravljati z objektom (procesom) in določati najboljše strategije
predvideti posledice udarca na objekt.

Kaj je pozitivnega v katerem koli modelu? Omogoča vam pridobivanje novega znanja o predmetu, vendar je na žalost v eni ali drugi meri nepopolno.

Modeloblikovan v jeziku matematike z uporabo matematičnih metod imenujemo matematični model.

Izhodišče za njegovo gradnjo je običajno kakšen problem, na primer ekonomski. Razširjeni so tako opisni kot optimizacijski matematični, ki označujejo različne gospodarskih procesov in dogodki, kot so:

dodeljevanje virov
racionalno rezanje
prevoz
konsolidacija podjetij
mrežno načrtovanje.

Kako je zgrajen matematični model?

Najprej sta oblikovana namen in predmet študije.
Drugič, poudarjene so najpomembnejše značilnosti, ki ustrezajo temu cilju.
Tretjič, razmerja med elementi modela so besedno opisana.
Nadalje je odnos formaliziran.
In izračun se izvede glede na matematični model in analizo dobljene rešitve.

Uporaba ta algoritem lahko rešite kateri koli problem optimizacije, vključno z večkriterijskimi, tj. tista, v kateri se ne zasleduje en, ampak več ciljev, vključno s protislovnimi.

Dajmo primer. Teorija čakalne vrste – problem čakalne vrste. Uravnotežiti je treba dva dejavnika - stroške vzdrževanja servisnih naprav in stroške vzdrževanja vrste. Po izdelavi formalnega opisa modela se izvedejo izračuni z analitičnimi in računskimi metodami. Če je model dober, so odgovori, najdeni z njegovo pomočjo, ustrezni modelnemu sistemu; če je slab, ga je treba izboljšati in zamenjati. Merilo ustreznosti je praksa.

Optimizacijski modeli, vključno z večkriterijskimi, imajo skupno lastnost - cilj (ali več ciljev) je znan, za dosego katerega se je pogosto treba ukvarjati s kompleksnimi sistemi, kjer ne gre toliko za reševanje optimizacijskih problemov, temveč za preučevanje in napovedovanje. stanja glede na izbrane strategije upravljanja. In tu se soočamo s težavami uresničevanja prejšnjega načrta. So naslednji:

kompleksen sistem vsebuje veliko povezav med elementi
na realni sistem vplivajo naključni dejavniki, zato jih je analitično upoštevati nemogoče
možnost primerjave originala z modelom obstaja le na začetku in po uporabi matematičnega aparata, ker vmesni rezultati morda nimajo analogov v realnem sistemu.

V povezavi z naštetimi težavami, ki se pojavljajo pri preučevanju kompleksnih sistemov, je praksa zahtevala bolj fleksibilno metodo in pojavila se je - »simulacijsko modeliranje«.

Običajno simulacijski model razumemo kot niz računalniških programov, ki opisujejo delovanje posameznih sistemskih blokov in pravila interakcije med njimi. Zaradi uporabe naključnih spremenljivk je treba izvajati ponavljajoče se eksperimente s simulacijskim sistemom (na računalniku) in kasnejšo statistično analizo dobljenih rezultatov. Zelo pogost primer uporabe simulacijskih modelov je reševanje problema čakalne vrste z metodo MONTE CARLO.

Tako je delo s simulacijskim sistemom eksperiment, ki se izvaja na računalniku. Kakšne so prednosti?

– Večja bližina realnemu sistemu kot matematični modeli;

– princip bloka omogoča preverjanje vsakega bloka pred njegovo vključitvijo v celoten sistem;

– Uporaba bolj kompleksnih odvisnosti, ki jih ni mogoče opisati s preprostimi matematičnimi razmerji.

Naštete prednosti določajo slabosti

– izgradnja simulacijskega modela traja dlje, je težje in dražje;

– za delo s simulacijskim sistemom morate imeti razredu primeren računalnik;

– interakcija med uporabnikom in simulacijskim modelom (vmesnikom) ne sme biti preveč zapletena, priročna in dobro poznana;

-gradnja simulacijskega modela zahteva bolj poglobljeno študijo realnega procesa kot matematično modeliranje.

Postavlja se vprašanje: ali lahko simulacijsko modeliranje nadomesti optimizacijske metode? Ne, vendar jih priročno dopolnjuje. Simulacijski model je program, ki izvaja določen algoritem, za optimizacijo krmiljenja katerega se najprej reši optimizacijski problem.

Torej niti računalnik, niti matematični model, niti algoritem za njegovo preučevanje sami ne morejo rešiti dovolj zapletenega problema. A skupaj predstavljata silo, ki nam omogoča razumeti svet okoli nas in ga upravljati v interesu človeka.

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1
Razvrstitev ob upoštevanju časovnega dejavnika in področja uporabe (Makarova N.A.)

Statični model - je kot enkraten posnetek informacij o objektu (rezultat ene raziskave)
Dinamično model-omogoča videti spremembe predmeta skozi čas (kartica v ambulanti)
Modele lahko razvrstimo tudi glede na na katero področje znanja spadajo?(biološko, zgodovinsko, okolje itd.)
Nazaj na vrh

1.2.2 Razvrstitev glede na področje uporabe (Makarova N.A.)

Izobraževalno- vizualni priročniki, simulatorji oh, tuleči programi
Izkušena modeli-znižano kopije (avto v vetrovniku)
Znanstveni in tehnični sinhrofazotron, stojalo za testiranje elektronske opreme
Igre- gospodarskih, športne, poslovne igre
imitacija- ne Preprosto odsevajo resničnost, vendar jo posnemajo (zdravila preizkušajo na miših, izvajajo poskuse v šolah itd. Ta metoda modeliranja se imenuje poskušanje
Nazaj na vrh

1.2.3 Razvrstitev glede na način predstavitve Makarov N.A.)

Material modeli- drugače lahko imenujemo predmet. Zaznavajo geometrijske in fizične lastnosti izvirnika in imajo vedno resnično utelešenje
Informacije modeli niso dovoljeni dotakniti ali videti. Temeljijo samo na informacijah .In informativno model je niz informacij, ki označujejo lastnosti in stanja predmeta, procesa, pojava, pa tudi odnos z zunanjim svetom.
Besedni model - informacijski model v mentalni ali govorjeni obliki.
Ikonično informacije o modelu model izražen z znaki , tj.. s pomočjo katerega koli formalnega jezika.
Računalniški model - m Model, implementiran s pomočjo programskega okolja.

1.2.4 Klasifikacija modelov podana v knjigi "Earth Informatics" (Gein A.G.))

"... tukaj je na videz preprosta naloga: koliko časa bo trajalo prečkanje puščave Karakum? Odgovor je seveda odvisno od načina prevoza. če potovati naprej kamele, potem bo trajal en termin, drugi, če greš z avtom, tretji, če letiš z letalom. In kar je najpomembnejše, za načrtovanje potovanja so potrebni različni modeli. Za prvi primer je zahtevani model mogoče najti v spominih znanih raziskovalcev puščave: navsezadnje brez informacij o oazah in kameljih poteh ne gre. V drugem primeru so podatki, ki jih vsebuje atlas cest, nenadomestljivi. V tretjem lahko uporabite urnik letenja.
Ti trije modeli - spomini, atlas in urnik - se razlikujejo po naravi podajanja informacij. V prvem primeru je model predstavljen z besednim opisom informacije (opisni model), v drugem - kot fotografija iz življenja (model v polnem merilu), v tretji - tabela s simboli: čas odhoda in prihoda, dan v tednu, cena vozovnice (tako imenovani znakni model) Vendar je ta delitev zelo poljubna - v spominih lahko najdete zemljevide in diagrame (elemente modela v polnem merilu), na zemljevidih so simboli (elementi simbolnega modela), v razporedu je dekodiranje simbolov (elementi opisnega modela). Torej je ta klasifikacija modelov... po našem mnenju neproduktivna"
Po mojem mnenju ta fragment prikazuje deskriptivni (čudovit jezik in stil predstavitve) in tako rekoč sokratski stil poučevanja, ki je skupen vsem Heinovim knjigam (Vsi mislijo, da je tako. Se popolnoma strinjam s teboj, ampak če dobro pogledaš...). V takšnih knjigah je precej težko najti jasen sistem definicij (avtor ga ni nameraval). V učbeniku, ki ga je uredil N.A. Makarova izkazuje drugačen pristop - definicije pojmov so jasno poudarjene in nekoliko statične.

1.2.5 Razvrstitev modelov, podana v priročniku A.I. Bochkina

Obstaja nenavadno veliko metod razvrščanja .Predstavljamo le nekaj najbolj znanih razlogov in znaki: diskretnost in kontinuiteta, matrika in skalarni modeli, statični in dinamični modeli, analitični in informacijski modeli, predmetni in figurativno-znakovni modeli, veliki in nestandardni modeli...
Vsak znak daje določeno znanje o lastnostih modela in simulirane realnosti. Znak lahko služi kot namig o načinu dokončanega ali prihajajočega modeliranja.
Diskretnost in kontinuiteta diskretnost - značilnost računalniških modelov .Konec koncev računalnik morda v finalu, čeprav zelo velike količine države. Torej, tudi če je objekt zvezen (čas), se bo v modelu spreminjal skokovito. Lahko bi šlo v poštev kontinuiteta znak modelov neračunalniškega tipa.
Priložnost in determinizem . negotovost, nesreča sprva nasprotuje računalniškemu svetu: Ponovno zagnani algoritem je treba ponoviti in dati enake rezultate. Toda za simulacijo naključnih procesov se uporabljajo senzorji psevdonaključnih števil. Uvedba naključnosti v deterministične probleme vodi do močnih in zanimivih modelov (izračun površine z naključnim metom).
Matrix - skalar. Razpoložljivost parametrov matrica model kaže na njegovo večjo kompleksnost in po možnosti natančnost v primerjavi z skalar. Na primer, če ne identificiramo vseh starostnih skupin v prebivalstvu države, upoštevamo njegovo spremembo kot celoto, bomo dobili skalarni model (npr. Malthusov model), če ga bomo izolirali, pa bomo dobili matriko (spol). -age) model. Prav matrični model je omogočil razlago nihanja rodnosti po vojni.
Statična dinamika. Te lastnosti modela so običajno vnaprej določene z lastnostmi realnega objekta. Tu ni svobode izbire. Samo statična model bi lahko bil korak naprej dinamično, ali nekatere spremenljivke modela za zdaj lahko štejemo za nespremenjene. Na primer, satelit se giblje okoli Zemlje, na njegovo gibanje vpliva Luna. Če upoštevamo, da Luna med vrtenjem satelita miruje, dobimo enostavnejši model.
Analitični modeli. Opis procesov analitično, formule in enačbe. Ko pa poskušate zgraditi graf, je bolj priročno imeti tabele funkcijskih vrednosti in argumentov.
Simulacijski modeli. Posnemanje modeli so se pojavili že zdavnaj v obliki pomanjšanih kopij ladij, mostov ipd. so se pojavili že zdavnaj, vendar jih v zadnjem času obravnavamo v povezavi z računalniki. Vedeti, kako povezani elementov modela analitično in logično lažje ne rešiti sistema določenih relacij in enačb, temveč realni sistem prikazati v računalniškem pomnilniku ob upoštevanju povezav med pomnilniškimi elementi.
Informacijski modeli. Informacije Modele običajno primerjamo z matematičnimi oziroma algoritmičnimi. Pri tem je pomembno razmerje med količino podatkov in algoritmi. Če je podatkov več ali so pomembnejši, imamo informacijski model, drugače - matematični.
Predmetni modeli. To je predvsem otroški model - igrača.
Ikonični modeli. To je predvsem model v človeški glavi: figurativno, če prevladujejo grafične podobe in ikoničen, če je več besed in/ali številk. Figurativno-znakovni modeli so izdelani na računalniku.
Makete v pomanjšanju. TO velikega obsega modeli so predmetni ali figurativni modeli, ki ponavljajo obliko predmeta (zemljevida).

Matematični model b je matematična predstavitev realnosti.

Matematično modeliranje- proces konstruiranja in proučevanja matematičnih modelov.

Vse naravoslovne in družboslovne vede, ki uporabljajo matematični aparat, se v bistvu ukvarjajo z matematičnim modeliranjem: realni objekt nadomestijo z njegovim matematičnim modelom in slednjega nato proučujejo.

Definicije.

Nobena definicija ne more v celoti pokriti dejanske dejavnosti matematičnega modeliranja. Kljub temu so definicije uporabne, saj poskušajo izpostaviti najbolj bistvene značilnosti.

Opredelitev modela po A. A. Lyapunovu: Modeliranje je posredna praktična ali teoretična študija predmeta, pri kateri se neposredno ne preučuje sam predmet, ki nas zanima, temveč nek pomožni umetni ali naravni sistem:

nahaja v neki objektivni korespondenci s spoznavnim predmetom;

ga lahko v nekaterih pogledih nadomesti;

ki ob preučevanju na koncu zagotovi informacije o objektu, ki se modelira.

Po učbeniku Sovetov in Yakovlev: "model je nadomestni objekt za izvirni predmet, ki omogoča preučevanje nekaterih lastnosti izvirnika." "Zamenjava enega predmeta z drugim, da bi pridobili informacije o najpomembnejših lastnostih izvirnega predmeta z uporabo modela predmeta, se imenuje modeliranje." »Z matematičnim modeliranjem razumemo proces vzpostavljanja korespondence med danim realnim objektom in nekim matematičnim objektom, imenovanim matematični model, in preučevanje tega modela, ki nam omogoča pridobitev značilnosti realnega predmeta, ki ga obravnavamo. Vrsta matematičnega modela je odvisna tako od narave realnega objekta kot nalog preučevanja objekta ter zahtevane zanesljivosti in natančnosti reševanja tega problema.«

Po Samarskem in Mikhailovu je matematični model "ekvivalent" predmeta, ki v matematični obliki odraža njegove najpomembnejše lastnosti: zakone, ki jim sledi, povezave, ki so del njegovih sestavnih delov itd. Obstaja v triadah " model-algoritem-program” . Ko je ustvaril triado "model-algoritem-program", raziskovalec prejme univerzalno, prilagodljivo in poceni orodje, ki je najprej razhroščeno in preizkušeno v poskusnih računalniških poskusih. Po ugotovitvi ustreznosti triade originalnemu objektu se z modelom izvedejo različni in podrobni »eksperimenti«, ki podajajo vse zahtevane kvalitativne in kvantitativne lastnosti in karakteristike objekta.

Glede na Myshkisovo monografijo: »Pojdimo k splošni definiciji. Recimo, da bomo raziskovali neko množico S lastnosti realnega predmeta a s

z uporabo matematike. Da bi to naredili, izberemo "matematični objekt" a" - sistem enačb ali aritmetičnih relacij ali geometrijskih likov ali kombinacijo obojega itd. - katerega preučevanje s pomočjo matematike bi moralo odgovoriti na zastavljena vprašanja o lastnosti S. V teh pogojih a" imenujemo matematični model predmeta a glede na množico S njegovih lastnosti."

Po Sevostyanovu A.G.: "Matematični model je niz matematičnih odnosov, enačb, neenakosti itd., ki opisujejo osnovne vzorce, ki so del procesa, predmeta ali sistema, ki se preučuje."

Nekoliko manj splošna definicija matematični model, ki temelji na idealizaciji »vhod-izhod-stanje«, izposojen iz teorije avtomatov, daje Wikislovarju: »Abstraktna matematična predstavitev procesa, naprave ali teoretične ideje; uporablja niz spremenljivk za predstavitev vhodov, izhodov in notranjih stanj ter niz enačb in neenakosti za opis njihovih interakcij.«

Končno je najbolj jedrnata definicija matematičnega modela: "Enačba, ki izraža idejo."

Formalna klasifikacija modelov.

Formalna klasifikacija modelov temelji na klasifikaciji uporabljenih matematičnih orodij. Pogosto zgrajena v obliki dihotomij. Na primer, eden od priljubljenih sklopov dihotomij:

Linearni ali nelinearni modeli; Koncentrirani ali porazdeljeni sistemi; Deterministični ali stohastični; Statični ali dinamični; Diskretno ali kontinuirano.

in tako naprej. Vsak konstruiran model je linearen ali nelinearen, determinističen ali stohastičen, ... Seveda so možni tudi mešani tipi: koncentrirani v enem pogledu, porazdeljeni v drugem itd.

Razvrstitev glede na način predstavitve predmeta.

Poleg formalne klasifikacije se modeli razlikujejo po tem, kako predstavljajo objekt:

Strukturni modeli predstavljajo objekt kot sistem z lastno strukturo in mehanizmom delovanja. Funkcionalni modeli ne uporabljajo takšnih predstavitev in odražajo samo zunanje zaznano obnašanje predmeta. V skrajnem izrazu jih imenujemo tudi modeli “črne škatle”, možni so tudi kombinirani tipi modelov, ki jih včasih imenujemo modeli “sive škatle”.

Skoraj vsi avtorji, ki opisujejo proces matematičnega modeliranja, navajajo, da se najprej zgradi posebna idealna struktura, smiselni model. Tukaj ni ustaljene terminologije, drugi avtorji pa temu idealnemu objektu pravijo konceptualni model, špekulativni model ali predmodel. V tem primeru se končna matematična konstrukcija imenuje formalni model ali preprosto matematični model, dobljen kot rezultat formalizacije tega vsebinskega modela. Konstrukcijo smiselnega modela lahko izvedemo z uporabo nabora že pripravljenih idealizacij, kot v mehaniki, kjer idealne vzmeti, toga telesa, idealna nihala, prožni mediji itd. zagotavljajo pripravljene strukturne elemente za smiselno modeliranje. Na področjih znanja, kjer ni popolnoma dokončanih formaliziranih teorij, postane ustvarjanje smiselnih modelov veliko bolj zapleteno.

Delo R. Peierlsa podaja klasifikacijo matematičnih modelov, ki se uporabljajo v fiziki in širše v naravoslovju. V knjigi A. N. Gorbana in R. G. Khleboprosa je ta klasifikacija analizirana in razširjena. Ta klasifikacija je osredotočena predvsem na stopnjo izdelave smiselnega modela.

Ti modeli »predstavljajo okvirni opis pojava, avtor pa bodisi verjame v njegovo možnost ali celo meni, da je resničen«. Po mnenju R. Peierlsa je to na primer model solarni sistem po Ptolemeju in Kopernikanovem modelu, Rutherfordovem atomskem modelu in modelu velikega poka.

Nobene hipoteze v znanosti ni mogoče enkrat za vselej dokazati. Richard Feynman je to zelo jasno formuliral:

»Vedno imamo možnost ovreči teorijo, vendar upoštevajte, da nikoli ne moremo dokazati, da je pravilna. Recimo, da ste postavili uspešno hipotezo, izračunali, kam vodi, in ugotovili, da so vse njene posledice eksperimentalno potrjene. Ali to pomeni, da je vaša teorija pravilna? Ne, to preprosto pomeni, da vam tega ni uspelo ovreči.«

Če je zgrajen model prvega tipa, to pomeni, da je začasno prepoznan kot resnica in se lahko osredotoči na druge probleme. Vendar to ne more biti točka v raziskovanju, ampak le začasen premor: status modela prve vrste je lahko le začasen.

Vloga modela v raziskovanju se lahko sčasoma spreminja, lahko se zgodi, da novi podatki in teorije potrdijo fenomenološke modele in jih nadgradijo v

stanje hipoteze. Prav tako lahko nova spoznanja postopoma pridejo v konflikt z modeli-hipotezami prve vrste in se lahko prevedejo v drugo. Tako model kvarkov postopoma prehaja v kategorijo hipotez; atomizem v fiziki je nastal kot začasna rešitev, s tekom zgodovine pa je postal prvi tip. Toda modeli etra so se prebili iz tipa 1 v tip 2 in so zdaj zunaj znanosti.

Zamisel o poenostavitvi je zelo priljubljena pri gradnji modelov. Toda poenostavitev prihaja v različnih oblikah. Peierls identificira tri vrste poenostavitev pri modeliranju.

Če je mogoče sestaviti enačbe, ki opisujejo proučevani sistem, to ne pomeni, da jih je mogoče rešiti tudi s pomočjo računalnika. Običajna tehnika v tem primeru je uporaba približkov. Med njimi so modeli linearnega odziva. Enačbe nadomestimo z linearnimi. Standardni primer je Ohmov zakon.

Če uporabimo model idealen plin za opis dovolj redkih plinov, potem je to model tipa 3. Za več visoke gostote plina, si je za kvalitativno razumevanje in ocene koristno zamisliti tudi enostavnejšo situacijo z idealnim plinom, vendar je to potem že tip 4.

Pri modelu tipa 4 so podrobnosti, ki lahko pomembno in ne vedno nadzorovano vplivajo na rezultat, zavržene. Iste enačbe lahko služijo kot model tipa 3 ali 4, odvisno od pojava, ki ga model preučuje. Torej, če uporabimo modele linearnega odziva v odsotnosti kompleksnejših modelov, potem so to že fenomenološki linearni modeli in spadajo v naslednji tip 4.

Primeri: uporaba modela idealnega plina na neidealnem plinu, van der Waalsova enačba stanja, večina modelov trdne, tekoče in jedrske fizike. Pot od mikroopisa do lastnosti teles, sestavljenih iz velikega števila delcev, je zelo dolga. Veliko podrobnosti je treba zavreči. To vodi do modelov tipa 4.

Hevristični model ohranja le kvalitativno podobnost z realnostjo in daje napovedi le »po velikosti«. Tipičen primer je približek povprečne proste poti v kinetični teoriji. Zagotavlja preproste formule za koeficiente viskoznosti, difuzije in toplotne prevodnosti, ki so glede na velikost skladni z realnostjo.

Toda pri gradnji nove fizike ni mogoče takoj pridobiti modela, ki daje vsaj kvalitativni opis predmeta - modela pete vrste. V tem primeru se model pogosto uporablja po analogiji, ki vsaj v nekaterih podrobnostih odraža resničnost.

R. Peierls podaja zgodovino uporabe analogij v prvem članku W. Heisenberga o naravi jedrskih sil. »To se je zgodilo po odkritju nevtrona, in čeprav je sam W. Heisenberg razumel, da je mogoče jedra opisati kot sestavljena iz nevtronov in protonov, se še vedno ni mogel znebiti ideje, da mora nevtron končno sestavljati proton in elektron. V tem primeru je nastala analogija med interakcijo v sistemu nevtron-proton in interakcijo atoma vodika in protona. Prav ta analogija ga je pripeljala do zaključka, da morajo med nevtronom in protonom obstajati izmenjevalne sile interakcije, ki so podobne izmenjalnim silam v sistemu H - H, ki nastanejo pri prehodu elektrona med dvema protonoma. ... Kasneje je bil kljub temu dokazan obstoj izmenjevalnih sil interakcije med nevtronom in protonom, čeprav niso bile povsem izčrpane

interakcija med dvema delcema... Toda po isti analogiji je W. Heisenberg prišel do zaključka, da ni jedrskih sil interakcije med dvema protonoma in do postulacije odboja med dvema nevtronoma. Obe zadnji ugotovitvi sta v nasprotju z novejšimi študijami."

A. Einstein je bil eden velikih mojstrov miselnih eksperimentov. Tukaj je eden od njegovih poskusov. Izumil ga je v mladosti in sčasoma pripeljal do gradnje posebna teorija relativnost. Recimo, da v klasični fiziki sledimo svetlobnemu valu s svetlobno hitrostjo. Opazovali bomo elektromagnetno polje, ki se periodično spreminja v prostoru in je konstantno v času. Po Maxwellovih enačbah se to ne more zgoditi. Iz tega je mladi Einstein sklepal: ali se naravni zakoni spremenijo, ko se spremeni referenčni okvir, ali pa svetlobna hitrost ni odvisna od referenčnega okvira. Izbral je drugo – lepšo možnost. Drug znan Einsteinov miselni eksperiment je paradoks Einstein-Podolsky-Rosen.

In tukaj je tip 8, ki se pogosto uporablja v matematičnih modelih bioloških sistemov.

To so tudi miselni eksperimenti z namišljenimi entitetami, ki dokazujejo, da je domnevni pojav skladen z osnovnimi principi in je notranje skladen. To je glavna razlika od modelov tipa 7, ki razkrivajo skrita protislovja.

Eden najbolj znanih takih poskusov je geometrija Lobačevskega. Drug primer je masovna proizvodnja formalno kinetičnih modelov kemijskih in bioloških nihanj, avtovalov itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je bil zasnovan kot model tipa 7, da bi pokazal nedoslednost kvantne mehanike. Na povsem nenačrtovan način se je sčasoma spremenil v model tipa 8 – prikaz možnosti kvantne teleportacije informacij.

Razmislite o mehanskem sistemu, sestavljenem iz vzmeti, pritrjene na enem koncu, in mase m, pritrjene na prosti konec vzmeti. Predvidevamo, da se breme lahko premika le v smeri osi vzmeti. Izdelajmo matematični model tega sistema. Stanje sistema bomo opisali z razdaljo x od središča bremena do njegovega ravnotežnega položaja. Opišemo interakcijo vzmeti in obremenitve z uporabo Hookovega zakona in nato uporabimo drugi Newtonov zakon, da to izrazimo v obliki diferencialne enačbe:

kjer pomeni drugi odvod x glede na čas..

Nastala enačba opisuje matematični model obravnavanega fizičnega sistema. Ta vzorec se imenuje "harmonični oscilator".

Po formalni klasifikaciji je ta model linearen, determinističen, dinamičen, koncentriran, zvezen. V procesu njegove gradnje smo naredili veliko predpostavk, ki se v resnici morda ne bodo izpolnile.

Glede na realnost gre najpogosteje za model poenostavljanja tipa 4, saj so izpuščene nekatere bistvene univerzalne značilnosti. V nekem približku tak model precej dobro opisuje pravi mehanski sistem, saj

zavrženi dejavniki zanemarljivo vplivajo na njegovo obnašanje. Vendar pa je model mogoče izboljšati z upoštevanjem nekaterih od teh dejavnikov. To bo vodilo do novega modela s širšim obsegom.

Ko pa je model izpopolnjen, se lahko kompleksnost njegove matematične študije znatno poveča in naredi model tako rekoč neuporaben. Pogosto preprostejši model omogoča boljše in globlje raziskovanje realnega sistema kot bolj zapleten.

Če model harmoničnega oscilatorja uporabimo za objekte, ki so daleč od fizike, je lahko njegov smiselni status drugačen. Na primer, pri uporabi tega modela za biološke populacije bi ga morali najverjetneje klasificirati kot analogijo tipa 6.

Trdi in mehki modeli.

Tukaj je določena funkcija, ki lahko upošteva silo trenja ali odvisnost koeficienta togosti vzmeti od stopnje njenega raztezanja, ε je majhen parameter. Eksplicitna oblika funkcije f nas trenutno ne zanima. Če dokažemo, da se obnašanje mehkega modela bistveno ne razlikuje od obnašanja trdega, se bo problem zmanjšal na preučevanje trdega modela. V nasprotnem primeru bo uporaba rezultatov, pridobljenih s študijem togega modela, zahtevala dodatne raziskave. Na primer, rešitev enačbe harmoničnega oscilatorja so funkcije oblike

To so nihanja s konstantno amplitudo. Ali iz tega sledi, da bo pravi oscilator neomejeno nihal s konstantno amplitudo? Ne, saj bomo ob upoštevanju sistema s poljubno majhnim trenjem dobili dušena nihanja. Obnašanje sistema se je kvalitativno spremenilo.

Če sistem ohrani svoje kvalitativno obnašanje ob majhnih motnjah, se imenuje strukturno stabilen. Harmonični oscilator je primer strukturno nestabilnega sistema. Vendar pa se ta model lahko uporablja za preučevanje procesov v omejenih časovnih obdobjih.

Vsestranskost modelov.

Najpomembnejši matematični modeli imajo običajno pomembno lastnost univerzalnosti: bistveno različne realne pojave je mogoče opisati z istim matematičnim modelom. Na primer, harmonični oscilator ne opisuje le obnašanja obremenitve vzmeti, temveč tudi druge nihajne procese, pogosto popolnoma drugačne narave: majhna nihanja nihala, nihanja nivoja tekočine v posodi v obliki črke U. , ali sprememba jakosti toka v nihajnem krogu. Tako s preučevanjem enega matematičnega modela takoj preučujemo cel razred pojavov, ki jih ta opisuje. Prav ta izomorfizem zakonov, izraženih z matematičnimi modeli v različnih segmentih znanstvenega znanja, je navdihnil Ludwiga von Bertalanffyja, da je ustvaril "Splošno teorijo sistemov".

Direktni in inverzni problemi matematičnega modeliranja

telesa iz različnih materialov, vsak material je specificiran kot njegova standardna mehanska idealizacija, po kateri se sestavijo enačbe, spotoma nekatere podrobnosti zavržejo kot nepomembne, naredijo se izračuni, primerjajo z meritvami, model izpopolni itd. Vendar pa je za razvoj tehnologij matematičnega modeliranja koristno ta proces razstaviti na glavne komponente.

Tradicionalno obstajata dva glavna razreda problemov, povezanih z matematičnimi modeli: direktni in inverzni.

Neposredna naloga: struktura modela in vsi njegovi parametri se štejejo za znane, glavna naloga je izvesti študijo modela, da se pridobi koristno znanje o predmetu. Kakšno statično obremenitev bo most prenesel? Kako se bo odzvalo na dinamično obremenitev, kako bo letalo premagalo zvočni zid, ali bo razpadlo zaradi flutterja - to so tipični primeri neposrednega problema. Postavitev pravilnega neposrednega problema zahteva posebno znanje. Če se ne postavijo prava vprašanja, se lahko most zruši, tudi če je bil zgrajen dober model njegovega obnašanja. Tako se je leta 1879 v Veliki Britaniji zrušil kovinski most čez reko Tay, katerega načrtovalci so zgradili model mostu, izračunali, da ima 20-kratno varnostno rezervo za delovanje tovora, pozabili pa so na vetrove. na tistih mestih nenehno piha. In po letu in pol je propadlo.

IN V najpreprostejšem primeru je neposredni problem zelo preprost in se zmanjša na eksplicitno rešitev te enačbe.

Inverzni problem: znanih je veliko možnih modelov, potrebno je izbrati določen model na podlagi dodatnih podatkov o objektu. Najpogosteje je struktura modela znana, nekatere neznane parametre pa je treba določiti. Dodatne informacije so lahko sestavljene iz dodatnih empiričnih podatkov ali zahtev za predmet. Dodatni podatki lahko pridejo neodvisno od procesa reševanja inverznega problema ali pa so rezultat posebej načrtovanega eksperimenta med reševanjem.

Eden prvih primerov virtuozne rešitve inverznega problema s čim večjo uporabo razpoložljivih podatkov je bila metoda I. Newtona za rekonstrukcijo sil trenja iz opazovanih dušenih nihanj.

IN Drug primer je matematična statistika. Naloga te vede je razviti metode za beleženje, opisovanje in analizo opazovalnih in eksperimentalnih podatkov z namenom gradnje verjetnostnih modelov množičnih naključnih pojavov. Tisti. nabor možnih modelov je omejen na verjetnostne modele. Pri specifičnih nalogah je nabor modelov bolj omejen.

Sistemi za računalniško modeliranje.

Za podporo matematičnega modeliranja so bili razviti sistemi za računalniško matematiko, na primer Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim itd. Omogočajo ustvarjanje formalnih in blokovnih modelov preprostih in kompleksnih procesov in naprav ter enostavno spreminjanje parametrov modela med manekenstvo. Bločni modeli so predstavljeni z bloki, katerih nabor in povezava je določena z modelnim diagramom.

Dodatni primeri.

Stopnja rasti je sorazmerna s trenutno velikostjo populacije. Opisuje ga diferencialna enačba

kjer je α določen parameter, ki ga določa razlika med rodnostjo in smrtnostjo. Rešitev te enačbe je eksponentna funkcija x = x0 e. Če stopnja rodnosti presega stopnjo umrljivosti, se število prebivalstva povečuje neomejeno in zelo hitro. Jasno je, da se v resnici zaradi omejitev to ne more zgoditi

virov. Ko je dosežena določena kritična velikost populacije, model ni več ustrezen, saj ne upošteva omejenih virov. Izpopolnitev Malthusovega modela je lahko logistični model, ki je opisan z Verhulstovo diferencialno enačbo

kjer je xs "ravnovesna" velikost populacije, pri kateri je stopnja rodnosti natančno kompenzirana s stopnjo umrljivosti. Velikost populacije v takem modelu teži k ravnotežni vrednosti xs in to vedenje je strukturno stabilno.

Recimo, da na nekem območju živita dve vrsti živali: zajci in lisice. Naj bo število zajcev x, število lisic pa y. Z uporabo Malthusovega modela s potrebnimi dopolnitvami ob upoštevanju objedanja zajcev s strani lisic pridemo do naslednjega sistema, ki nosi ime Lotka-Volterra model:

Ta sistem ima ravnotežno stanje, ko je število zajcev in lisic konstantno. Odstopanje od tega stanja vodi do nihanj v številu zajcev in lisic, podobnih nihanjem harmoničnega oscilatorja. Tako kot v primeru harmoničnega oscilatorja to vedenje ni strukturno stabilno: majhna sprememba v modelu lahko vodi do kvalitativne spremembe v vedenju. Na primer, ravnotežje lahko postane stabilno in nihanja v številu bodo izginila. Možna je tudi nasprotna situacija, ko bo vsako majhno odstopanje od ravnotežnega položaja povzročilo katastrofalne posledice, do popolnega izumrtja ene od vrst. Model Volterra-Lotka ne odgovarja na vprašanje, kateri od teh scenarijev se uresničuje: tukaj so potrebne dodatne raziskave.

Vrste matematičnih modelov. Različni načini za izdelavo matematičnega modela

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modelov

Razvrstitev glede na način predstavitve predmeta

Vsebinski in formalni modeli

Vsebinska klasifikacija modelov

Vrsta 2: Fenomenološki model (obnašaj se, kot da…)

Vrsta 3: Približek (menimo, da je nekaj zelo veliko ali zelo majhno)

Tip 8: Predstavitev možnosti (glavna stvar je pokazati notranjo doslednost možnosti)

Primer

Trdi in mehki modeli

Vsestranskost modelov

Direktni in inverzni problemi matematičnega modeliranja

Sistemi za računalniško simulacijo

Dodatni primeri

Malthusov model

sistem plenilec-plen

Opombe

Matematično modeliranje

1. Kaj je matematično modeliranje?

2. Glavne stopnje matematičnega modeliranja

3. Razvrstitev modelov

4. Primeri matematičnih modelov

1.1.2 2. Glavne stopnje matematičnega modeliranja

1.1.3 3. Klasifikacija modela

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1
Razvrstitev ob upoštevanju časovnega dejavnika in področja uporabe (Makarova N.A.)

1.2.2 Razvrstitev glede na področje uporabe (Makarova N.A.)

1.2.3 Razvrstitev glede na način predstavitve Makarov N.A.)

1.2.4 Klasifikacija modelov podana v knjigi "Earth Informatics" (Gein A.G.))

1.2.5 Razvrstitev modelov, podana v priročniku A.I. Bochkina

Nastanek in razvoj pisave – povzetek

Skladatelj Raymond Pauls: biografija, osebno življenje, ustvarjalnost Raymond Pauls - biografija

Vrste matematičnih modelov. Različni načini za izdelavo matematičnega modela

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modelov

Razvrstitev glede na način predstavitve predmeta

Vsebinski in formalni modeli

Vsebinska klasifikacija modelov

Vrsta 2: Fenomenološki model (obnašaj se, kot da…)

Vrsta 3: Približek (menimo, da je nekaj zelo veliko ali zelo majhno)

Tip 8: Predstavitev možnosti (glavna stvar je pokazati notranjo doslednost možnosti)

Primer

Trdi in mehki modeli

Vsestranskost modelov

Direktni in inverzni problemi matematičnega modeliranja

Sistemi za računalniško simulacijo

Dodatni primeri

Malthusov model

sistem plenilec-plen

Opombe

Matematično modeliranje

1. Kaj je matematično modeliranje?

2. Glavne stopnje matematičnega modeliranja

3. Razvrstitev modelov

4. Primeri matematičnih modelov

1.1.2 2. Glavne stopnje matematičnega modeliranja

1.1.3 3. Klasifikacija modela

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1 Razvrstitev ob upoštevanju časovnega dejavnika in področja uporabe (Makarova N.A.)

1.2.2 Razvrstitev glede na področje uporabe (Makarova N.A.)

1.2.3 Razvrstitev glede na način predstavitve Makarov N.A.)

1.2.4 Klasifikacija modelov podana v knjigi "Earth Informatics" (Gein A.G.))

1.2.5 Razvrstitev modelov, podana v priročniku A.I. Bochkina

Nastanek in razvoj pisave – povzetek

Skladatelj Raymond Pauls: biografija, osebno življenje, ustvarjalnost Raymond Pauls - biografija

1.2.1
Razvrstitev ob upoštevanju časovnega dejavnika in področja uporabe (Makarova N.A.)