Po ljudskem izročilu, ki je tako pogosto med fiziki, se je zgodilo takole: leta 1926 je teoretični fizik po imenu govoril na znanstvenem seminarju na Univerzi v Zürichu. Govoril je o nenavadnih novih idejah, ki lebdijo v zraku, da se predmeti v mikrokozmosu pogosto obnašajo bolj kot valovi kot kot delci. Nato je starejši učitelj prosil za besedo in rekel: »Schrödinger, ali ne vidiš, da je vse to neumnost? Ali pa vsi tukaj ne vemo, da so valovi za to valovi, ki jih je treba opisati z valovnimi enačbami? Schrödinger je to vzel kot osebno žalitev in se je odločil razviti valovno enačbo za opisovanje delcev v okviru kvantne mehanike - in se s to nalogo odlično spopadel.
Tukaj je potrebno dati pojasnilo. V našem vsakdanjem svetu se energija prenaša na dva načina: s snovjo, ko se premika iz kraja v kraj (na primer premikajoča se lokomotiva ali veter) – pri takem prenosu energije sodelujejo delci – ali z valovanjem (na primer radijski valovi, ki se z močnimi oddajniki in ujetimi z antenami naših televizorjev). To pomeni, da so v makrokozmosu, kjer živimo, vsi nosilci energije strogo razdeljeni na dve vrsti - korpuskularne (sestavljene iz materialnih delcev) ali valovne. V tem primeru vsako valovanje opisuje posebna vrsta enačb - valovne enačbe. Vse valove brez izjeme - oceanske valove, seizmične valove kamnin, radijske valove iz oddaljenih galaksij - opisujejo enake vrste valovnih enačb. Ta razlaga je potrebna, da postane jasno, da morajo biti ti valovi opisani z ustrezno valovno enačbo, če želimo predstaviti pojave subatomskega sveta v smislu valov porazdelitve verjetnosti (glej kvantno mehaniko).
Schrödinger je klasično diferencialno enačbo valovne funkcije uporabil za koncept verjetnostnih valov in dobil znamenito enačbo, ki nosi njegovo ime. Tako kot običajna enačba valovne funkcije opisuje širjenje na primer valovanja na površini vode, Schrödingerjeva enačba opisuje širjenje valovanja verjetnosti, da najdemo delec v dano točko prostora. Vrhovi tega vala (točke največje verjetnosti) kažejo, kje v vesolju bo delec verjetno končal. Čeprav Schrödingerjeva enačba spada v regijo višja matematika, je tako pomembna za razumevanje sodobne fizike, da jo bom kljub temu podal tukaj - v njeni najpreprostejši obliki (tako imenovana "enodimenzionalna stacionarna Schrödingerjeva enačba"). zgoraj omenjeno valovna funkcija Verjetnostna porazdelitev, označena z grško črko (»psi«), je rešitev naslednje diferencialne enačbe (v redu je, če je ne razumete; glavna stvar je verjeti, da ta enačba kaže, da se verjetnost obnaša kot val):
kjer je razdalja, je Planckova konstanta, in sta masa, skupna energija in potencialna energija delca.
Slika kvantnih dogodkov, ki nam jo daje Schrödingerjeva enačba, je, da se elektroni in drugi osnovni delci na površini oceana obnašajo kot valovi. Sčasoma se vrh valovanja (ki ustreza lokaciji, kjer je elektron najverjetneje) premakne v prostoru v skladu z enačbo, ki opisuje to valovanje. To pomeni, da se tisto, kar tradicionalno štejemo za delce v kvantnem svetu, v mnogih pogledih obnaša kot val.
Ko je Schrödinger prvič objavil svoje rezultate, je v svetu teoretične fizike izbruhnil vihar v skodelici. Dejstvo je, da se je skoraj istočasno pojavilo delo Schrödingerjevega sodobnika Wernerja Heisenberga (glej Heisenbergovo načelo negotovosti), v katerem je avtor predstavil koncept "matrične mehanike", kjer so bili rešeni isti problemi kvantne mehanike. v drugi, z matematičnega vidika bolj zapleteni matrični obliki. Vznemirjenje je povzročilo dejstvo, da so se znanstveniki preprosto bali, da bi si dva enako prepričljiva pristopa k opisovanju mikrokozmosa lahko nasprotovala. Navdušenje je bilo zaman. Schrodinger sam je istega leta dokazal popolno enakovrednost obeh teorij – torej matrična enačba sledi iz valovne enačbe in obratno; rezultati so enaki. Danes se večinoma uporablja Schrödingerjeva različica (včasih imenovana "valovna mehanika"), ker je njegova enačba manj okorna in lažja za poučevanje.
Vendar si predstavljati in sprejeti, da se nekaj, kot je elektron, obnaša kot val, ni tako enostavno. IN Vsakdanje življenje srečamo bodisi delec bodisi val. Žoga je delec, zvok je val in to je to. V svetu kvantne mehanike stvari niso tako preproste. Pravzaprav – in poskusi so to kmalu pokazali – se entitete v kvantnem svetu razlikujejo od predmetov, ki smo jih vajeni, in imajo drugačne lastnosti. Svetloba, ki smo jo imeli za valovanje, se včasih obnaša kot delec (ki se imenuje foton), delci, kot sta elektron in proton, pa se lahko obnašajo kot valovanje (glejte Načelo komplementarnosti).
Ta problem se običajno imenuje dvojna ali dvojna korpuskularno-valovna narava kvantnih delcev in je očitno značilna za vse predmete subatomskega sveta (glej Bellov izrek). Razumeti moramo, da v mikrokozmosu naše običajne intuicije o tem, kakšne oblike lahko ima snov in kako se lahko obnaša, preprosto niso uporabne. Že dejstvo, da uporabljamo valovno enačbo za opis gibanja tistega, kar smo navajeni misliti kot delce, je jasen dokaz za to. Kot je navedeno v uvodu, to ni veliko protislovje. Navsezadnje nimamo nobenega dobrega razloga, da bi verjeli, da bi bilo treba tisto, kar opazimo v makrokozmosu, natančno reproducirati na ravni mikrokozmosa. Kljub temu ostaja dvojna narava osnovnih delcev za mnoge ljudi eden najbolj begajočih in motečih vidikov kvantne mehanike in ni pretiravanje, če rečemo, da so se vse težave začele z Erwinom Schrödingerjem.
Enciklopedija Jamesa Trefila »Narava znanosti. 200 zakonov vesolja.
James Trefil je profesor fizike na univerzi George Mason (ZDA), eden najbolj znanih zahodnih avtorjev poljudnoznanstvenih knjig.
| Komentarji: 0 |
Max Planck, eden od utemeljiteljev kvantne mehanike, je prišel na idejo kvantizacije energije, ko je poskušal teoretično razložiti proces interakcije med nedavno odkritimi elektromagnetnimi valovi in atomi ter s tem rešiti problem sevanja črnega telesa. Spoznal je, da je za pojasnitev opazovanega emisijskega spektra atomov potrebno vzeti za samoumevno, da atomi oddajajo in absorbirajo energijo po delih (ki jih je znanstvenik poimenoval kvanti) in le pri posameznih valovnih frekvencah.
Vsekakor črno telo, ki popolnoma absorbira elektromagnetno sevanje katerekoli frekvence, pri segrevanju oddaja energijo v obliki valov, enakomerno porazdeljenih po celotnem frekvenčnem spektru.
Beseda "kvant" izhaja iz latinskega quantum ("koliko, koliko") in angleškega quantum ("količina, delež, kvantum"). "Mehanika" se je dolgo imenovala znanost o gibanju snovi. V skladu s tem izraz "kvantna mehanika" pomeni znanost o gibanju snovi v delih (ali v sodobnem znanstvenem jeziku znanost o gibanju kvantizirane snovi). Izraz "kvant" je uvedel nemški fizik Max Planck, da bi opisal interakcijo svetlobe z atomi.
Eno od dejstev subatomskega sveta je, da njegovi predmeti - kot so elektroni ali fotoni - sploh niso podobni običajnim objektom makrokozmosa. Ne obnašajo se kot delci in ne kot valovi, temveč kot zelo posebne tvorbe, ki kažejo valovne in korpuskularne lastnosti, odvisno od okoliščin. Eno je izjaviti, povsem drugo pa je povezati valovne in korpuskularne vidike obnašanja kvantnih delcev ter jih opisati z natančno enačbo. Točno to je bilo storjeno v razmerju de Broglie.
V vsakdanjem življenju obstajata dva načina prenosa energije v prostoru – z delci ali valovi. IN vsakdanje življenje med obema mehanizmoma prenosa energije ni vidnih protislovij. Torej, košarkarska žoga je delec, zvok pa je val in vse je jasno. Vendar v kvantni mehaniki stvari nikakor niso tako enostavne. Tudi iz najpreprostejših eksperimentov s kvantnimi objekti zelo kmalu postane jasno, da načela in zakoni makrosveta, ki jih poznamo, v mikrokozmosu ne delujejo. Svetloba, ki smo jo imeli za valovanje, se včasih obnaša, kot da je sestavljena iz toka delcev (fotonov), osnovni delci, kot je elektron ali celo masivni proton, pa pogosto izkazujejo lastnosti valovanja.
Predvsem pa je Einstein protestiral proti potrebi po opisovanju pojavov mikrokozmosa v smislu verjetnosti in valovnih funkcij, ne pa iz običajnega položaja koordinat in hitrosti delcev. To je mislil s "kockami". Spoznal je, da je opis gibanja elektronov glede na njihove hitrosti in koordinate v nasprotju z načelom negotovosti. Toda, je trdil Einstein, morajo obstajati še nekatere druge spremenljivke ali parametri, ob upoštevanju katerih se bo kvantnomehanska slika mikrosveta vrnila na pot celovitosti in determinizma. To pomeni, je vztrajal, da se nam samo zdi, da se Bog igra z nami, saj ne razumemo vsega. Tako je bil prvi, ki je oblikoval hipotezo o skriti spremenljivki v enačbah kvantne mehanike. Sestoji iz dejstva, da imajo elektroni dejansko fiksne koordinate in hitrost, kot Newtonove biljardne krogle, načelo negotovosti in verjetnostni pristop k njihovi definiciji v okviru kvantne mehanike pa sta posledica nepopolnosti same teorije, zato ne dopušča, da bi bili zagotovo znani.definiraj.
Julija Zotova
Izvedeli boste: Katere tehnologije imenujemo kvantne in zakaj. Kakšne so prednosti kvantnih tehnologij pred klasičnimi? Kaj lahko in kaj ne kvantni računalnik. Kako fiziki naredijo kvantni računalnik. kdaj bo ustvarjen.
Francoski fizik Pierre Simon Laplace pomembno vprašanje, o tem, ali je vse na svetu vnaprej določeno s prejšnjim stanjem sveta ali pa lahko vzrok povzroči več posledic. Kot je pričakovalo filozofsko izročilo, sam Laplace v svoji knjigi "Izjava o sistemu sveta" ni postavil nobenih vprašanj, ampak je povedal pripravljen odgovor, da je vse na svetu vnaprej določeno, vendar, kot se pogosto zgodi v Laplaceova slika sveta ni prepričala vseh, zato je njegov odgovor sprožil razpravo o tem vprašanju, ki traja še danes. Kljub mnenju nekaterih filozofov, da je kvantna mehanika to vprašanje rešila v korist verjetnostnega pristopa, se danes vendarle razpravlja o Laplaceovi teoriji popolne predestinacije ali, kot jo imenujemo drugače, teoriji Laplaceovega determinizma.
Gordej Lesovik
Pred časom smo s skupino soavtorjev začeli izpeljati drugi zakon termodinamike z vidika kvantne mehanike. Na primer, v eni od njegovih formulacij, ki pravi, da se entropija zaprtega sistema ne zmanjšuje, običajno narašča in včasih ostane konstantna, če je sistem energijsko izoliran. Z uporabo znanih rezultatov kvantne teorije informacij smo izpeljali nekaj pogojev, pod katerimi je ta trditev resnična. Nepričakovano se je izkazalo, da ti pogoji ne sovpadajo s pogojem energetske izolacije sistemov.
Profesor fizike Jim Al-Khalili raziskuje najbolj natančno in eno najbolj zmedenih znanstvenih teorij – kvantno fiziko. V začetku 20. stoletja so znanstveniki prodrli v skrite globine materije, subatomskih gradnikov sveta okoli nas. Odkrili so pojave, ki so drugačni od vsega, kar smo videli doslej. Svet, kjer je lahko vse na več mestih hkrati, kjer realnost zares obstaja le, ko jo opazujemo. Albert Einstein je nasprotoval zgolj ideji, da bistvo narave temelji na naključju. Kvantna fizika namiguje, da lahko subatomski delci medsebojno delujejo hitreje od svetlobne hitrosti, kar je v nasprotju z njegovo teorijo relativnosti.
№1 Stacionarna Schrödingerjeva enačba ima obliko . Ta enačba je napisana za....
Stacionarna Schrödingerjeva enačba ima v splošnem primeru obliko
, kjer je potencialna energija mikrodelca. Za enodimenzionalni primer. Poleg tega delec ne more biti znotraj potencialne škatle in zunaj škatle, ker njene stene so neskončno visoke. Zato je ta Schrödingerjeva enačba zapisana za delec v enodimenzionalni škatli z neskončno visokimi stenami.
Linearni harmonični oscilator
ü Delci v enodimenzionalni potencialni škatli z neskončno visokimi stenami
Delci v tridimenzionalni potencialni škatli z neskončno visokimi stenami
Elektron v atomu vodika
Vzpostavite korespondenco med kvantnomehanskimi problemi in Schrödingerjevimi enačbami zanje.
Splošna oblika stacionarne Schrödingerjeve enačbe ima obliko:
Potencialna energija delca,
Laplaceov operater. Za sočasni primer
Izraz za potencialno energijo harmoničnega oscilatorja, to je delca, ki se enodimenzionalno giblje pod delovanjem kvazielastične sile, ima obliko U= .
Vrednost potencialne energije elektrona v potencialni škatli z neskončno visokimi stenami je U = 0. Elektron v atomu, podobnem vodiku, ima potencialno energijo Za atom vodika Z = 1.
Tako ima Schrödingerjeva enačba za elektron v enodimenzionalni potencialni škatli obliko:
Z valovno funkcijo, ki je rešitev Schrödingerjeve enačbe, lahko določite ....
Možnosti odgovora: (prosimo, navedite vsaj dva odgovora)
Povprečne vrednosti fizikalnih količin, ki označujejo delec
Verjetnost, da je delec v določenem območju prostora
trajektorija delcev
Lokacija delcev
Vrednost ima pomen gostote verjetnosti (verjetnost na enoto prostornine), torej določa verjetnost, da se delec nahaja na ustreznem mestu v prostoru, potem je verjetnost W, da zaznamo delec v določenem območju prostora, enaka
Schrödingerjeva enačba ( specifične situacije)
№1 Lastne funkcije elektrona v enodimenzionalni potencialni škatli z neskončno visokimi stenami imajo obliko 
kjer je širina polja, kvantno število, ki ima pomen števila ravni energije. Če je število funkcijskih vozlišč na segmentu in , potem je enako ...
Število vozlišč, tj. število točk, v katerih valovna funkcija na segmentu izgine, je povezano s številom energijskega nivoja z razmerjem . Potem 
, in pod pogojem je to razmerje enako 1,5. Če rešimo dobljeno enačbo za , dobimo to
Jedrske reakcije.
№1 Pri jedrski reakciji črka predstavlja delec ...
Iz zakonov o ohranitvi masnega števila in nabojnega števila sledi, da je naboj delca enak nič, masno število pa 1. Zato nevtron označujemo s črko.
ü Nevtron
Pozitron
Elektron
Graf v pollogaritmičnem merilu prikazuje odvisnost spremembe števila radioaktivnih jeder izotopa od časa Konstanta radioaktivnega razpada v je ... (odgovor zaokroži na cela števila)
Število radioaktivnih jeder se s časom spreminja po zakonu - začetno število jeder, - konstanta radioaktivnega razpada. Če vzamemo logaritem tega izraza, dobimo
ln 
.Zato, 
=0,07
Ohranitveni zakoni pri jedrskih reakcijah.
Reakcija se ne more nadaljevati zaradi kršitve konservatorskega zakona ...
V vseh temeljnih interakcijah so izpolnjeni ohranitveni zakoni: energija, gibalna količina, vrtilna količina (spin) in vsi naboji (električni, barionski in leptonski). Ti ohranitveni zakoni ne le omejujejo posledice različnih interakcij, ampak določajo tudi vse možnosti teh posledic. Za izbiro pravilnega odgovora je potrebno preveriti, kateri ohranitveni zakon je pri dani reakciji medsebojnega preoblikovanja osnovnih delcev prepovedan in kateri dovoljen. V skladu z zakonom o ohranitvi leptonskega naboja v zaprtem sistemu za vse procese se ohrani razlika med številom leptonov in antileptonov. Dogovorili smo se, da upoštevamo leptone: . leptonski naboj in za antileptone: . leptonski naboj. Za vse druge osnovne delce se leptonski naboji štejejo za enake nič. Reakcija ne more iti zaradi kršitve zakona o ohranitvi leptonskega naboja, ker
ü Leptonski naboj
barionski naboj
Kotna količina vrtenja
Električni naboj
Reakcija se ne more nadaljevati zaradi kršitve konservatorskega zakona...
V vseh temeljnih interakcijah so izpolnjeni ohranitveni zakoni: energija, gibalna količina, vrtilna količina (spin) in vsi naboji (električni Q, barion B in lepton L.) Ti ohranitveni zakoni ne le omejujejo posledice različnih interakcij, ampak tudi določajo vse možnosti teh posledic. V skladu z zakonom o ohranitvi barionskega naboja B se za vse procese, ki vključujejo barione in antibarione, ohrani skupni barionski naboj. Barionom (nukleonom n, p in hiperonom) pripišemo barionski naboj
B=-1, vsi ostali delci pa imajo barionski naboj-B=0.Reakcija ne more potekati zaradi kršitve zakona barionskega naboja B, ker (+1)+(+1)
Možnosti odgovora: , leptonski naboj, vrtilna količina, električni naboj. Q=0, antiproton (
Gibanje mikrodelcev v različnih poljih sil je opisano v okviru nerelativistične kvantne mehanike s Schrödingerjevo enačbo, iz katere sledijo eksperimentalno opažene valovne lastnosti delcev. Ta enačba, tako kot vse osnovne enačbe fizike, ni izpeljana, ampak postulirana. Njegovo pravilnost potrjuje ujemanje rezultatov izračuna in poskusa. Schrödingerjeva valovna enačba ima naslednje splošna oblika :
- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
kjer je ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Planckova konstanta;
m je masa delca;
∆ - Laplaceov operator (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - želena valovna funkcija;
U (x, y, z, t) je potencialna funkcija delca v polju sile, kjer se giblje;
i je imaginarna enota.
Ta enačba ima rešitev samo pod pogoji, ki veljajo za valovno funkcijo:
- ψ (x, y, z, t) mora biti končen, enovrednostni in zvezni;
- njene prve odvodnice morajo biti zvezne;
- funkcija | ψ | 2 mora biti integrabilen, kar se v najenostavnejših primerih zreducira na normalizacijski pogoj za verjetnosti.
∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
kjer je ψ = ψ (x, y, z) samo valovna funkcija koordinat;
E je parameter enačbe – skupna energija delca.
Za to enačbo je realna fizični pomen imajo le rešitve, ki so izražene z regularnimi funkcijami ψ (imenovanimi lastnimi funkcijami), ki veljajo samo za določene vrednosti parametra E, imenovane energijska lastna vrednost. Te vrednosti E lahko tvorijo neprekinjeno ali diskretno serijo, tj. tako zvezni kot diskretni energijski spekter.
Za vsak mikrodelec ob prisotnosti Schrödingerjeve enačbe tipa (8.2) se problem kvantne mehanike zmanjša na rešitev te enačbe, tj. iskanje vrednosti valovnih funkcij ψ = ψ (x, y, z), ki ustrezajo spektru lastne energije E. Nato gostota verjetnosti | ψ | 2 , ki v kvantni mehaniki določa verjetnost, da najdemo delec v enoti prostornine v bližini točke s koordinatami (x, y, z).
Eden najpreprostejših primerov reševanja Schrödingerjeve enačbe je problem obnašanja delca v enodimenzionalni pravokotni »potencialni jami« z neskončno visokimi »stenami«. Takšno "jamo" za delec, ki se giblje samo vzdolž osi X, opisuje potencialna energija oblike
kjer je l širina "jame", energija pa se meri od njenega dna (slika 8.1).
Schrödingerjevo enačbo za stacionarna stanja v primeru enodimenzionalnega problema lahko zapišemo kot:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
Zaradi dejstva, da so "stene jame" neskončno visoke, delec ne prodre izven "jame". To vodi do robnih pogojev:
ψ (0) = ψ (l) = 0
Znotraj "jame" (0 ≤ x ≤ l) se enačba (8.4) zmanjša na:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
kjer je k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Rešitev enačbe (8.7) ob upoštevanju robnih pogojev (8.5) ima v najpreprostejšem primeru obliko:
ψ (x) = A ∙ sin (kx)
kjer je k = (n ∙ π)/l
za celoštevilske vrednosti n.
Iz izrazov (8.8) in (8.10) sledi, da
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
tiste. energija stacionarnih stanj je odvisna od celega števila n (imenovanega kvantno število) in ima določene diskretne vrednosti, imenovane energijske ravni.
Posledično je lahko mikrodelec v »potencialni jami« z neskončno visokimi »stenami« le na določenem energijskem nivoju E n , tj. v diskretnih kvantnih stanjih n.
Z zamenjavo izraza (8.10) v (8.9) najdemo lastne funkcije
ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x
Integracijsko konstanto A je mogoče najti iz kvantnomehanskega (verjetnostnega) normalizacijskega pogoja
kar se v tem primeru lahko zapiše kot:
Od koder kot rezultat integracije dobimo А = √ (2 / l) in potem imamo
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Grafi funkcije ψ n (x) nimajo fizičnega pomena, medtem ko grafi funkcije | ψ n | 2 prikazuje porazdelitev gostote verjetnosti zaznave delca na različnih razdaljah od "sten jame" (slika 8.1). Ravno ti grafi (kot tudi ψ n (x) - za primerjavo) so preučeni v tem delu in jasno kažejo, da so ideje o trajektorijah delcev v kvantni mehaniki nevzdržne.
Iz izraza (8.11) sledi, da je energijski interval med dvema sosednjima nivojema enak
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
To kaže, da za mikrodelce (kot je elektron) pri velike velikosti"jame" (l≈ 10 -1 m), so nivoji energije tako tesno razporejeni, da tvorijo skoraj zvezen spekter. Tako stanje se pojavi na primer pri prostih elektronih v kovini. Če so dimenzije "jame" sorazmerne z atomskimi (l ≈ 10 -10 m), dobimo diskretni energijski spekter (črtast spekter). Te vrste spektrov je mogoče preučevati tudi v tem delu za različne mikrodelce.
Drug primer obnašanja mikrodelcev (pa tudi mikrosistemov - nihal), ki se pogosto srečuje v praksi (in obravnavan v tem delu), je problem linearnega harmoničnega oscilatorja v kvantni mehaniki.
Kot veste, je potencialna energija enodimenzionalnega harmoničnega oscilatorja z maso m enaka
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
kjer je ω 0 lastna frekvenca nihanja oscilatorja ω 0 = √ (k / m);
k - koeficient elastičnosti oscilatorja.
Odvisnost (8.17) ima obliko parabole, tj. "potencialna vrtina" je v tem primeru parabolična (slika 8.2).
Kvantni harmonični oscilator opisuje Schrödingerjeva enačba (8.2), ki upošteva izraz (8.17) za potencialno energijo. Rešitev te enačbe je zapisana kot:
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
kjer je N n stalni normalizacijski faktor, odvisen od celega števila n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) je polinom stopnje n, katerega koeficienti se izračunajo z uporabo rekurzivne formule za različna cela števila n.
V teoriji diferencialnih enačb je mogoče dokazati, da ima Schrödingerjeva enačba rešitev (8.18) samo za lastne vrednosti energije:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
kjer je n = 0, 1, 2, 3... kvantno število.
To pomeni, da lahko energija kvantnega oscilatorja zavzame samo diskretne vrednosti, tj. je kvantiziran. Za n = 0 velja E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, tj. energija ničnih vibracij, ki je značilna za kvantne sisteme in je neposredna posledica razmerja negotovosti.
Kot kaže podrobna rešitev Schrödingerjeve enačbe za kvantni oscilator, ima vsaka lastna vrednost energije pri različnih n svojo valovno funkcijo, saj stalni normalizacijski faktor je odvisen od n
in tudi H n (x) je Chebyshev-Hermiteov polinom stopnje n.
Poleg tega sta prva dva polinoma enaka:
H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Vsak nadaljnji polinom je z njimi povezan z naslednjo rekurzivno formulo:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Lastne funkcije tipa (8.18) omogočajo kvantnemu oscilatorju najti verjetnostno gostoto najdenja mikrodelca kot | ψ n (x) | 2 in raziščite njegovo obnašanje na različnih ravneh energije. Rešitev tega problema je težka zaradi potrebe po uporabi rekurzivne formule. Ta problem je mogoče uspešno rešiti le z uporabo računalnika, kar je v pričujočem delu tudi storjeno.
1. Uvod
Kvantna teorija se je rodila leta 1900, ko je Max Planck predlagal teoretični sklep o razmerju med temperaturo telesa in sevanjem, ki ga to telo oddaja – sklep, da za dolgo časa Planck je tako kot njegovi predhodniki domneval, da atomski oscilatorji oddajajo sevanje, verjel pa je tudi, da energija oscilatorjev (in s tem sevanje, ki ga oddajajo) obstaja v obliki majhnih diskretnih delov, ki jih je Einstein imenoval kvanti. Energija vsakega kvanta je sorazmerna s frekvenco sevanja. Čeprav je bila Planckova formula široko občudovana, so njegove predpostavke ostale nerazumljive, saj so bile v nasprotju s klasično fiziko.
Leta 1905 je Einstein s kvantno teorijo razložil nekatere vidike fotoelektričnega učinka – emisije elektronov s kovinske površine, ki je izpostavljena ultravijoličnemu sevanju. Ob tem je Einstein opazil navidezni paradoks: svetloba, za katero je bilo dve stoletji znano, da potuje v neprekinjenih valovih, bi se lahko v določenih okoliščinah obnašala kot tok delcev.
Približno osem let pozneje je Niels Bohr razširil kvantno teorijo na atom in razložil frekvence valov, ki jih oddajajo atomi, vzbujeni v plamenu ali električnem naboju. Ernest Rutherford je pokazal, da je masa atoma skoraj v celoti skoncentrirana v osrednjem jedru, ki nosi pozitivno električni naboj in na razmeroma velikih razdaljah obkrožen s prenašalci elektronov negativni naboj, tako da je atom kot celota električno nevtralen. Bohr je predlagal, da so lahko elektroni samo v določenih diskretnih orbitah, ki ustrezajo različnim energijskim nivojem, in da "skok" elektrona iz ene orbite v drugo, z nižjo energijo, spremlja emisija fotona, katerega energija je enaka na energijsko razliko med obema orbitama. Frekvenca je po Planckovi teoriji sorazmerna z energijo fotona. Tako je Bohrov model atoma vzpostavil povezavo med različnimi spektralnimi črtami, značilnimi za snov, ki oddaja sevanje, in atomsko strukturo. Kljub začetnemu uspehu je Bohrov model atoma kmalu zahteval spremembe, da bi odpravili neskladja med teorijo in eksperimentom. Poleg tega kvantna teorija na tej stopnji še ni zagotavljala sistematičnega postopka za reševanje številnih kvantnih problemov.
Nova bistvena značilnost kvantne teorije se je pojavila leta 1924, ko je de Broglie predstavil radikalno hipotezo o valovni naravi materije: če se elektromagnetni valovi, kot je svetloba, včasih obnašajo kot delci (kot je pokazal Einstein), potem se delci, kot je elektron se lahko v določenih okoliščinah obnaša kot valovanje. V de Brogliejevi formulaciji je frekvenca, ki ustreza delcu, povezana z njegovo energijo, kot v primeru fotona (delca svetlobe), vendar jo je predlagal de Broglie matematični izraz je bilo enakovredno razmerje med valovno dolžino, maso delca in njegovo hitrostjo (impulz). Obstoj valovanja elektronov sta leta 1927 eksperimentalno dokazala Clinton Davisson in Lester Germer v ZDA ter John Paget Thomson v Angliji.
Pod vtisom Einsteinovih komentarjev o de Brogliejevih zamislih je Schrödinger poskušal uporabiti valovni opis elektronov za konstrukcijo dosledne kvantne teorije, ki ni bila povezana z Bohrovim neustreznim modelom atoma. V nekem smislu je nameraval kvantno teorijo približati klasični fiziki, ki je nabrala veliko primerov matematičnega opisa valovanja. Prvi poskus Schrödingerja leta 1925 se je končal neuspešno.
Hitrosti elektronov v Schrödingerjevi teoriji II so bile blizu svetlobne hitrosti, kar je zahtevalo vključitev posebna teorija Einsteinovo relativnost in ob upoštevanju znatnega povečanja mase elektrona, ki ga je predvidela pri zelo visokih hitrostih.
Eden od razlogov za Schrödingerjev neuspeh je bil, da ni upošteval prisotnosti posebne lastnosti elektrona, danes znane kot spin (vrtenje elektrona okoli lastne osi, kot vrh), ki je bila takrat malo znano.
Naslednji poskus je naredil Schrödinger leta 1926. Tokrat je hitrosti elektronov izbral tako majhne, da je potreba po teoriji relativnosti izginila sama od sebe.
Drugi poskus je bil okronan z izpeljavo Schrödingerjeve valovne enačbe, ki daje matematični opis snovi z valovno funkcijo. Schrödinger je svojo teorijo poimenoval valovna mehanika. Rešitve valovne enačbe so bile v skladu z eksperimentalnimi opazovanji in so močno vplivale na nadaljnji razvoj kvantne teorije.
Malo pred tem so Werner Heisenberg, Max Born in Pascual Jordan objavili drugo različico kvantne teorije, imenovano matrična mehanika, ki je kvantne pojave opisala z uporabo tabel opazovanih. Te tabele so na določen način urejeni matematični nizi, imenovani matrike, na katerih se lahko po znanih pravilih izvajajo različne matematične operacije. Matrična mehanika je prav tako omogočila doseganje soglasja z opazovanimi eksperimentalnimi podatki, vendar za razliko od valovne mehanike ni vsebovala posebnih sklicevanj na prostorske koordinate ali čas. Heisenberg je še posebej vztrajal pri opustitvi kakršnih koli preprostih vizualnih predstavitev ali modelov v korist samo tistih lastnosti, ki jih je mogoče določiti s poskusom.
Schrödinger je pokazal, da sta valovna mehanika in matrična mehanika matematično enakovredni. Zdaj poznan pod pogosto ime kvantni mehaniki sta ti dve teoriji zagotovili dolgo pričakovano skupno osnovo za opisovanje kvantnih pojavov. Mnogi fiziki so imeli raje valovno mehaniko, ker jim je bil njen matematični aparat bolj znan, njeni koncepti pa so se zdeli bolj "fizični"; operacije na matricah so bolj okorne.
Funkcija Ψ. Normalizacija verjetnosti.
Odkritje valovnih lastnosti mikrodelcev je pokazalo, da klasična mehanika ne more dati pravilnega opisa obnašanja takih delcev. Treba je bilo ustvariti mehaniko mikrodelcev, ki bi upoštevala tudi njihove valovne lastnosti. Novo mehaniko, ki so jo ustvarili Schrödinger, Heisenberg, Dirac in drugi, so poimenovali valovna ali kvantna mehanika.
De Brogliejev ravninski val
(1)je zelo posebna valovna tvorba, ki ustreza prostemu enakomerno gibanje delcev v določeni smeri in z določeno gibalno količino. Toda delec, tudi v prostem prostoru in zlasti v poljih sile, lahko izvaja druga gibanja, ki jih opisujejo bolj zapletene valovne funkcije. V teh primerih Celoten opis stanje delca v kvantni mehaniki ni podano z ravnim de Brogliejevim valom, ampak z neko bolj kompleksno kompleksno funkcijo
odvisno od koordinat in časa. Imenuje se valovna funkcija. V posebnem primeru prostega gibanja delca se valovna funkcija transformira v ravninski de Brogliejev val (1). Sama valovna funkcija je predstavljena kot nek pomožni simbol in ni ena izmed neposredno opazljivih količin. Toda njegovo poznavanje omogoča statistično napovedovanje vrednosti količin, ki so pridobljene eksperimentalno in imajo zato pravi fizični pomen.Preko valovne funkcije se določi relativna verjetnost zaznave delca na različnih mestih v prostoru. Na tej stopnji, ko se razpravlja le o verjetnostnih razmerjih, je valovna funkcija temeljno definirana do poljubnega konstantnega faktorja. Če na vseh točkah prostora valovno funkcijo pomnožimo z istim konstantnim (na splošno kompleksnim) številom, ki je različno od nič, potem dobimo novo valovno funkcijo, ki opisuje popolnoma isto stanje. Nima smisla reči, da je Ψ nič na vseh točkah v prostoru, ker takšna "valovna funkcija" nikoli ne omogoča sklepanja o relativni verjetnosti, da najdemo delec na različnih mestih v prostoru. Toda negotovost v definiciji Ψ je mogoče znatno zmanjšati s prehodom od relativne k absolutni verjetnosti. Upravljajmo z nedoločenim faktorjem v funkciji Ψ tako, da vrednost |Ψ|2dV daje absolutno verjetnost, da najdemo delec v elementu volumna prostora dV. Potem bo imel |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* je kompleksni konjugat Ψ) pomen gostote verjetnosti, ki jo je treba pričakovati, ko poskušamo zaznati delec v vesolju. V tem primeru bo Ψ še vedno določen do poljubnega konstantnega kompleksnega faktorja, katerega modul pa je enak ena. S to definicijo mora biti izpolnjen normalizacijski pogoj:
(2)kjer je integral vzet po celotnem neskončnem prostoru. To pomeni, da bo delec v celotnem prostoru zagotovo zaznan. Če integral od |Ψ|2 vzamemo po določenem volumnu V1, izračunamo verjetnost, da najdemo delec v prostoru volumna V1.
Normalizacija (2) je lahko nemogoča, če integral (2) divergira. Tako bo na primer v primeru ravninskega de Brogliejevega vala, ko je verjetnost zaznave delca na vseh točkah prostora enaka. Toda takšne primere je treba obravnavati kot idealizacijo resnične situacije, v kateri delec ne gre v neskončnost, ampak je prisiljen biti v omejeno območje prostora. Potem normalizacija ni težka.
Torej neposredni fizični pomen ni povezan s samo funkcijo Ψ, ampak z njenim modulom Ψ*Ψ. Zakaj torej v kvantni teoriji operirajo z valovno funkcijo Ψ in ne neposredno z eksperimentalno opazovanimi količinami Ψ*Ψ? To je potrebno za razlago valovnih lastnosti snovi - interference in uklona. Tukaj je situacija popolnoma enaka kot v kateri koli teoriji valov. Ta (vsaj v linearnem približku) sprejema veljavnost principa superpozicije samih valovnih polj in ne njihovih intenzitet in s tem doseže vključitev v teorijo pojavov valovne interference in uklona. Torej je v kvantni mehaniki načelo superpozicije valovnih funkcij sprejeto kot eden glavnih postulatov, ki je sestavljen iz naslednjega.
Heisenberg je pripeljal do zaključka, da bi morala biti enačba gibanja v kvantni mehaniki, ki opisuje gibanje mikrodelcev v različnih poljih sil, enačba, iz katere bi sledile izkustveno opažene valovne lastnosti delcev. Glavna enačba mora biti enačba za valovno funkcijo Ψ (x, y, z, t), saj gre ravno za to vrednost, natančneje za količino |Ψ| 2, določa verjetnost, da delec ostane v trenutku t v volumnu Δ V, torej v območju s koordinatami X in x + dx, y in y + dy, z in z+ dz.
Osnovno enačbo nerelativistične kvantne mehanike je leta 1926 oblikoval E. Schrödinger. Schrödingerjeva enačba tako kot vse osnovne fizikalne enačbe (na primer Newtonove enačbe v klasični mehaniki in Maxwellove enačbe za elektromagnetno polje) ni izpeljana, temveč postulirana. Pravilnost te enačbe potrjuje skladnost z izkušnjami rezultatov, pridobljenih z njeno pomočjo, kar ji posledično daje značaj naravnega zakona.
Splošna Schrödingerjeva enačba ima obliko:
Kje ? =h/(2π), m- masa delcev, Δ - Laplaceov operator 
, jaz- imaginarna enota, U(x, y, z, t) je potencialna funkcija delca v polju sil, v katerem se giblje, Ψ( x, y, z, t) je želena valovna funkcija delca.
Enačba (1) velja za vsak delec (s spinom enakim 0), ki se giblje z majhno (v primerjavi s svetlobno hitrostjo) hitrostjo, tj. υ "Z.
Dopolnjujejo ga pogoji, superponiran na valovno funkcijo:
1) valovna funkcija mora biti končna, enovredna in zvezna;
2) derivati 
mora biti neprekinjen;
3) funkcijo |Ψ| 2 mora biti integrabilen (v najenostavnejših primerih se ta pogoj zmanjša na normalizacijski pogoj za verjetnosti).
Enačba (1) se imenuje časovno odvisna Schrödingerjeva enačba.
Za številne fizikalne pojave, ki se dogajajo v mikrosvetu, lahko enačbo (1) poenostavimo z odpravo odvisnosti Ψ od časa, tj. poiščite Schrödingerjevo enačbo za stacionarna stanja – stanja s fiksnimi vrednostmi energije. To je mogoče, če je polje sile, v katerem se delec giblje, stacionarno, tj U = U(x, y,z) ni eksplicitno odvisna od časa in ima pomen potencialne energije. V tem primeru lahko rešitev Schrödingerjeve enačbe predstavimo kot
. (2)
Enačba (2) se imenuje Schrödingerjeva enačba za stacionarna stanja.
Ta enačba vključuje skupno energijo kot parameter E delci. V teoriji diferencialnih enačb je dokazano, da imajo take enačbe neskončno število rešitev, med katerimi se z nalaganjem robnih pogojev izberejo rešitve, ki imajo fizikalni pomen. Za Schrödingerjevo enačbo so takšni pogoji pogoji regularnosti za valovne funkcije: valovne funkcije morajo biti končne, enovrednostne in zvezne skupaj s svojimi prvimi odvodi.
Tako imajo samo rešitve, ki so izražene z regularnimi funkcijami Ψ, pravi fizikalni pomen. Toda redne rešitve ne potekajo za nobene vrednosti parametra E, ampak le za določen nabor le-teh, značilnih za dano nalogo. Te energijske vrednosti se imenujejo lastne vrednosti. . Rešitve, ki ustrezajo lastnim vrednostim energije, se imenujejo lastne funkcije . Lastne vrednosti E lahko tvorijo zvezne in diskretne serije. V prvem primeru govorimo o zveznem ali zveznem spektru, v drugem pa o diskretnem spektru.
Delec v enodimenzionalni pravokotni "potencialni jami"z neskončno visokimi "stenami"
Porabimo kvalitativna analiza rešitve Schrödingerjeve enačbe, uporabljene za delec v enodimenzionalni pravokotni "potencialni jami" z neskončno visokimi "stenami". Takšno "jamo" opisuje potencialna energija oblike (zaradi poenostavitve predpostavimo, da se delec giblje vzdolž osi X)
Kje l je širina "jame", energija pa se meri od njenega dna (slika 2).
Schrödingerjevo enačbo za stacionarna stanja v primeru enodimenzionalnega problema lahko zapišemo kot:
. (1)
Glede na pogoj problema (neskončno visoke »stene«) delec ne prodre čez »jamo«, zato je verjetnost njegove detekcije (in s tem valovne funkcije) zunaj »jame« enaka nič. Na mejah "jame" (at X= 0 in x = 1) izginiti mora tudi zvezna valovna funkcija.
Zato imajo robni pogoji v tem primeru obliko:
Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)
Znotraj "jame" (0 ≤ X≤ 0) se Schrödingerjeva enačba (1) zmanjša na enačbo:
oz 
. (3)
Kje k 2 \u003d 2mE / ? 2.(4)
Splošna rešitev diferencialne enačbe (3):
Ψ ( x) = A greh kx + B cos kx.
Ker je po (2) Ψ (0) = 0, potem je B = 0. Potem
Ψ ( x) = A greh kx. (5)
Pogoj Ψ ( l) = A greh kl= 0 (2) je izpolnjen le, če kl = nπ, Kje n- cela števila, tj. je potrebno, da
k = nπ/l. (6)
Iz izrazov (4) in (6) sledi:
(n = 1, 2, 3,…), (7)
tj. stacionarna Schrödingerjeva enačba, ki opisuje gibanje delca v "potencialni jami" z neskončno visokimi "stenami", je izpolnjena le za lastne vrednosti E p, odvisno od celega števila p. Zato energija E str delce v "potencialni jami" z neskončno visokimi "stenami" sprejema samo določene diskretne vrednosti, tj. kvantizirane.
Kvantizirane energijske vrednosti E str klical ravni energije, in številko P, ki določa nivoje energije delca se imenuje glavno kvantno število. Tako je lahko mikrodelec v "potencialni jami" z neskončno visokimi "stenami" le na določeni energijski ravni E p, ali, kot pravijo, delec je v kvantnem stanju p.
Zamenjava v (5) vrednosti k iz (6) najdemo lastne funkcije:
.
Integracijska konstanta A poiščite iz normalizacijskega pogoja, ki ga v tem primeru lahko zapišemo v obliki:
.
Kot rezultat integracije dobimo , lastne funkcije pa bodo videti takole:
(n = 1, 2, 3,…). (8)
Grafi lastnih funkcij (8), ki ustrezajo nivojem energije (7) pri n= 1,2,3 so prikazani na sl. 3, A. Na sl. 3, b prikazuje gostoto verjetnosti zaznavanja delca na različnih razdaljah od "sten" vrtine, enako Ψ n(x) 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Za n = 1, 2 in 3. Iz slike sledi, da je npr. v kvantnem stanju z n= 2, delec ne more biti v sredini "jame", medtem ko lahko enako pogosto ostane na njeni levi in desni deli. To vedenje delca kaže, da so koncepti trajektorij delcev v kvantni mehaniki nevzdržni.
Iz izraza (7) sledi, da je energijski interval med dvema sosednjima nivojema enak:
Na primer za elektron z velikostjo vrtine l= 10 -1 m (prosti elektroni v kovini) , Δ E n ≈ 10 -35 n J ≈ 10 -1 6 n eV, tj. energijski nivoji so tako tesno razporejeni, da se spekter praktično lahko obravnava kot neprekinjen. Če so dimenzije vrtine sorazmerne z atomsko ( l ≈ 10 -10 m), nato pa za elektron Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, tj. dobimo eksplicitno diskretne energijske vrednosti (linijski spekter).
Tako uporaba Schrödingerjeve enačbe na delec v »potencialni jami« z neskončno visokimi »stenami« vodi do kvantiziranih energijskih vrednosti, medtem ko klasična mehanika ne nalaga nobenih omejitev glede energije tega delca.
Poleg tega kvantnomehanska obravnava tega problema vodi do zaključka, da delec "v potencialni jami" z neskončno visokimi "stenami" ne more imeti energije, manjše od minimalne energije, ki je enaka π 2. ? 2 /(2t1 2). Prisotnost minimalne energije, ki ni enaka nič, ni naključna in izhaja iz razmerja negotovosti. Koordinatna negotovost Δ X delcev v »jami« širok l je enak Δ X= l.
Takrat glede na razmerje negotovosti gibalna količina ne more imeti natančne, v tem primeru ničelne vrednosti. Negotovost gibalne količine Δ R ≈ h/l. To širjenje vrednosti zagona ustreza kinetična energija Emin ≈(Δ str) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Vse druge stopnje ( n> 1) imajo energijo večjo od te minimalne vrednosti.
Iz formul (9) in (7) sledi, da pri velikih kvantnih številih ( n»1) ∆ E n / E p ≈ 2/P»1, tj. sosednje ravni so tesno razmaknjene: bližje kot je, več p.če p je zelo velik, potem lahko govorimo o skoraj neprekinjenem zaporedju ravni in pomembna značilnost kvantne procese – diskretnost – zgladi. Ta rezultat je poseben primer Bohrovega (1923) korespondenčnega principa, po katerem morajo zakoni kvantne mehanike pod velike vrednosti kvantna števila gredo v zakone klasične fizike.
