Trije otroci so šli v gozd po jagode. Najstarejša hči je našla 18 jagod, srednja 15 in mlajši brat- 3 jagode (glej sliko 1). Jagode so prinesli moji mami, ki se je odločila, da si jih razdeli po enakih deležih. Koliko jagod je dobil vsak otrok?

riž. 1. Ilustracija za problem

rešitev

(yag.) - otroci so zbrali vse

2) Razdelite skupaj jagod na število otrok:

(yag.) je šel k vsakemu otroku

Odgovori: Vsak otrok prejme 12 jagod.

Pri nalogi 1 je število, prejeto v odgovoru, aritmetična sredina.

aritmetična sredina več števil imenujemo količnik deljenja vsote teh števil z njihovim številom.

Primer 1

Imamo dve števili: 10 in 12. Poiščite njuno aritmetično sredino.

rešitev

1) Določimo vsoto teh števil: .

2) Število teh števil je 2, zato je aritmetična sredina teh števil: .

Odgovori: povprečno aritmetična števila 10 in 12 je številka 11.

Primer 2

Imamo pet števil: 1, 2, 3, 4 in 5. Poiščite njihovo aritmetično sredino.

rešitev

1) Vsota teh števil je: .

2) Po definiciji je aritmetična sredina količnik deljenja vsote števil z njihovim številom. Imamo pet števil, torej je aritmetična sredina:

Odgovori: Aritmetična sredina podatkov v pogoju števil je 3.

Poleg tega, da je v lekcijah nenehno na voljo, je iskanje aritmetične sredine zelo uporabno pri Vsakdanje življenje. Denimo, da želimo iti na počitnice v Grčijo. Da bi izbrali prava oblačila, pogledamo temperaturo v tej državi v tem trenutku. Ne poznamo pa splošne slike vremena. Zato je treba ugotoviti temperaturo zraka v Grčiji, na primer za en teden, in poiskati aritmetično sredino teh temperatur.

Primer 3

Temperatura v Grčiji za teden: ponedeljek - ; torek - ; sreda -; četrtek - ; petek - ; sobota - ; nedelja -. Izračunajte povprečno temperaturo za teden.

rešitev

1) Izračunajte vsoto temperatur: .

2) Prejeti znesek delite s številom dni: .

Odgovori: povprečna tedenska temperatura pribl.

Sposobnost iskanja aritmetične sredine je lahko potrebna tudi za določitev povprečne starosti igralcev nogometne ekipe, torej za ugotovitev, ali je ekipa izkušena ali ne. Treba je sešteti starost vseh igralcev in deliti z njihovim številom.

Naloga 2

Trgovec je prodajal jabolka. Sprva jih je prodajal po ceni 85 rubljev za 1 kg. Tako je prodal 12 kg. Nato je znižal ceno na 65 rubljev in prodal preostale 4 kg jabolk. Kakšna je bila povprečna cena jabolk?

rešitev

1) Izračunajmo, koliko denarja je trgovec skupaj zaslužil. Prodal je 12 kilogramov po ceni 85 rubljev za 1 kg: (drgnite.).

Prodal je 4 kilograme po ceni 65 rubljev za 1 kg: (rub.).

Zato je skupni znesek zasluženega denarja: (rubljev).

2) Skupna masa prodanih jabolk je: .

3) Prejeti znesek denarja razdelite na skupno težo prodanih jabolk in dobite povprečno ceno za 1 kg jabolk: (rubljev).

Odgovori: povprečna cena 1 kg prodanih jabolk je 80 rubljev.

Aritmetična sredina pomaga ovrednotiti podatke kot celoto, ne da bi upoštevali vsako vrednost posebej.

Vendar ni vedno mogoče uporabiti koncepta aritmetične sredine.

Primer 4

Strelec je izstrelil dva strela v tarčo (glej sliko 2): prvič je zadel meter nad tarčo, drugič pa meter pod tarčo. Aritmetična sredina bo pokazala, da je zadel točno v sredino, čeprav je obakrat zgrešil.

riž. 2. Na primer ilustracija

Pri tej lekciji smo se seznanili s pojmom aritmetična sredina. Spoznali smo definicijo tega pojma, naučili smo se izračunati aritmetično sredino za več števil. Tudi naučili smo se praktično uporabo ta koncept.

1. N.Ya. Vilenkin. Matematika: učbenik. za 5 celic. splošno konst. - Ed. 17. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. Igor je imel pri sebi 45 rubljev, Andrej 28, Denis pa 17.
3. Z vsem denarjem sta kupila 3 vstopnice za kino. Koliko je stala ena vstopnica?

Tema aritmetične in geometrijske sredine je vključena v program matematike za 6.-7. razred. Ker je odstavek dokaj enostaven za razumevanje, ga hitro prenesemo in do konca šolskega leta ga učenci pozabijo. Toda za to je potrebno znanje osnovne statistike opravljanje izpita, kot tudi za mednarodne izpite SOB. In za vsakdanje življenje razvito analitično razmišljanje nikoli ne škodi.

Kako izračunati aritmetično in geometrično sredino števil

Recimo, da obstaja niz števil: 11, 4 in 3. Aritmetična sredina je vsota vseh števil, deljena s številom danih števil. To pomeni, da bo v primeru števil 11, 4, 3 odgovor 6. Kako dobimo 6?

Rešitev: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Imenovalec mora vsebovati število, ki je enako številu števil, katerih povprečje je treba najti. Vsota je deljiva s 3, ker so členi trije.

Zdaj se moramo ukvarjati z geometrijsko sredino. Recimo, da obstaja niz števil: 4, 2 in 8.

Geometrična sredina je zmnožek vseh danih števil, ki je pod korenom s stopnjo, ki je enaka številu danih števil.To pomeni, da je v primeru števil 4, 2 in 8 odgovor 4. Tako se je zgodilo :

Rešitev: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Pri obeh možnostih so bili pridobljeni celi odgovori, saj so bila za primer vzeta posebna števila. Ni vedno tako. V večini primerov je treba odgovor zaokrožiti ali pustiti pri korenu. Na primer, za števila 11, 7 in 20 je aritmetična sredina ≈ 12,67, geometrična sredina pa ∛1540. In za številki 6 in 5 bosta odgovora 5,5 oziroma √30.

Ali se lahko zgodi, da aritmetična sredina postane enaka geometrični sredini?

Seveda lahko. A le v dveh primerih. Če obstaja vrsta števil, sestavljena samo iz enic ali ničel. Omeniti velja tudi, da odgovor ni odvisen od njihovega števila.

Dokaz z enotami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetična sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrijska sredina).

Dokaz z ničlami: (0 + 0) / 2=0 (aritmetična sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge možnosti ni in je ne more biti.

Predvsem v ekv. V praksi je treba uporabiti aritmetično sredino, ki se lahko izračuna kot enostavna in utežena aritmetična sredina.

Aritmetična sredina (CA)-n najpogostejša vrsta medija. Uporablja se v primerih, ko je obseg spremenljivega atributa za celotno populacijo vsota vrednosti atributov njegovih posameznih enot. Za družbene pojave je značilna aditivnost (seštevanje) obsegov variirajočega atributa, kar določa obseg SA in pojasnjuje njegovo razširjenost kot posploševalnega kazalca, na primer: splošni sklad plač je seštevek plač vseh zaposlenih.

Če želite izračunati SA, morate vsoto vseh vrednosti funkcij deliti z njihovim številom. SA se uporablja v dveh oblikah.

Najprej upoštevajte preprosto aritmetično sredino.

1-CA preprosto (začetna, definirajoča oblika) je enaka preprosti vsoti posameznih vrednosti povprečne lastnosti, deljeni s skupnim številom teh vrednosti (uporablja se, kadar obstajajo nezdružene vrednosti indeksa lastnosti):

Izvedene izračune je mogoče povzeti v naslednjo formulo:

(1)

Kje - povprečna vrednost spremenljivega atributa, to je enostavna aritmetična sredina;

pomeni seštevanje, to je dodajanje posameznih lastnosti;

x- posamezne vrednosti atributa spremenljivke, ki se imenujejo različice;

n - število populacijskih enot

Primer1, treba je najti povprečni učinek enega delavca (ključavničarja), če je znano, koliko delov je izdelal vsak od 15 delavcev, tj. glede na število ind. vrednosti lastnosti, kos: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

SA preprosto se izračuna po formuli (1), kosov:

Primer2. Izračunajmo SA na podlagi pogojnih podatkov za 20 trgovin, ki so del trgovskega podjetja (tabela 1). Tabela 1

Porazdelitev trgovin trgovskega podjetja "Vesna" po trgovski površini, kv. M

številko trgovine		številko trgovine

Za izračun povprečne površine trgovine ( ) potrebno je sešteti površine vseh trgovin in rezultat deliti s številom trgovin:

Tako je povprečna prodajna površina te skupine trgovskih podjetij 71 m2.

Zato, da definiramo SA kot preprosto, potrebujemo vsoto vseh vrednosti ta znak deljeno s številom enot, ki imajo ta atribut.

2

Kje f 1 , f 2 , … ,f n – teža (pogostost ponavljanja istih lastnosti);

je vsota zmnožkov velikosti značilnosti in njihovih frekvenc;

je skupno število populacijskih enot.

- SA tehtano - Z sredina možnosti, ki se ponavljajo različno število krat ali naj bi imele različne teže. Uteži so število enot v različne skupine agregati (iste možnosti so združene v skupino). SA tehtano – povprečje združenih vrednosti x 1 , x 2 , .., x n – izračunano: (2)

Kje X- opcije;

f- frekvenca (teža).

SA tehtano je količnik deljenja vsote produktov variant in njihovih ustreznih frekvenc z vsoto vseh frekvenc. frekvence ( f), ki se pojavljajo v formuli SA, se običajno kličejo luske, zaradi česar se SA, izračunan ob upoštevanju uteži, imenuje uteženi SA.

Tehniko za izračun tehtanega SA bomo ilustrirali z zgoraj obravnavanim primerom 1. Da bi to naredili, združimo začetne podatke in jih postavimo v tabelo.

Povprečje združenih podatkov se določi na naslednji način: najprej se različice pomnožijo s frekvencami, nato se produkti seštejejo in dobljena vsota se deli z vsoto frekvenc.

V skladu s formulo (2) je uteženi SA, kos:

Razporeditev delavcev za razvoj delov

p

podatke iz prejšnjega primera 2 lahko združimo v homogene skupine, ki so predstavljene v tabeli. Tabela

Razporeditev trgovin Vesna po prodajnih površinah, kv. m

Tako je rezultat enak. Vendar bo to že aritmetično tehtano povprečje.

V prejšnjem primeru smo izračunali aritmetično povprečje, če so znane absolutne frekvence (število trgovin). Vendar pa v nekaterih primerih ni absolutnih frekvenc, ampak so znane relativne frekvence ali, kot jih običajno imenujemo, frekvence, ki prikazujejo delež oz delež frekvenc v celotni populaciji.

Pri izračunu SA ponderirane uporabe frekvence vam omogoča poenostavitev izračunov, ko je frekvenca izražena z velikimi večmestnimi številkami. Izračun poteka na enak način, vendar je treba rezultat deliti s 100, ker se povprečna vrednost poveča za 100-krat.

Potem bo formula za aritmetično tehtano povprečje videti takole:

Kje d– pogostost, tj. delež posamezne frekvence v skupni vsoti vseh frekvenc.

(3)

V našem primeru 2 najprej določimo delež trgovin po skupinah v skupnem številu trgovin podjetja "Spring". Torej, za prvo skupino specifična teža ustreza 10%
. Dobimo naslednje podatke Tabela3

) in povprečje vzorca (vzorci).

Enciklopedični YouTube

• 1 / 5

  Označite nabor podatkov X = (x 1 , x 2 , …, x n), potem je vzorčno povprečje običajno označeno z vodoravno črto nad spremenljivko (, izgovorjeno " x s pomišljajem").

  Grška črka μ se uporablja za označevanje aritmetične sredine celotne populacije. Za naključno količino, za katero je določena srednja vrednost, je μ verjetnostno povprečje ali matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Če nastavite X je zbirka naključnih števil z verjetnostnim povprečjem μ, potem za kateri koli vzorec x jaz iz te zbirke μ = E( x jaz) je matematično pričakovanje tega vzorca.

  V praksi je razlika med μ in x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) v tem, da je μ tipična spremenljivka, ker lahko vidite vzorec in ne celotne populacije. Torej, če je vzorec predstavljen naključno (v smislu teorije verjetnosti), potem x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(vendar ne μ) lahko obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki ima verjetnostno porazdelitev na vzorcu (verjetnostna porazdelitev povprečja).

  Obe ti količini se izračunata na enak način:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Primeri

  • Za tri številke jih morate sešteti in deliti s 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • Za štiri številke jih morate sešteti in deliti s 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Ali lažje 5+5=10, 10:2. Ker smo sešteli 2 števili, kar pomeni, da koliko števil seštejemo, s toliko delimo.

  Zvezna naključna spremenljivka

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Nekaj ​​težav pri uporabi povprečja

  Pomanjkanje robustnosti

  Čeprav se aritmetična sredina pogosto uporablja kot sredina ali osrednji trend, ta koncept ne velja za robustne statistike, kar pomeni, da na aritmetično sredino močno vplivajo "velika odstopanja". Omeniti velja, da za porazdelitve z velikim koeficientom asimetrije aritmetična sredina morda ne ustreza konceptu "povprečja", vrednosti srednje vrednosti iz robustne statistike (na primer mediana) pa morda bolje opisujejo osrednjo trend.

  Klasičen primer je izračun povprečnega dohodka. Aritmetično sredino lahko napačno interpretiramo kot mediano, kar lahko privede do zaključka, da je ljudi z več dohodki več, kot jih je v resnici. "Povprečni" dohodek se razlaga tako, da je dohodek večine ljudi blizu te številke. Ta »povprečni« (v smislu aritmetične sredine) dohodek je višji od dohodka večine ljudi, saj visok dohodek z velikim odstopanjem od povprečja naredi aritmetično sredino močno poševno (nasprotno pa se mediana dohodka »upira«) taka poševnost). Vendar ta "povprečni" dohodek ne pove ničesar o številu ljudi blizu povprečnega dohodka (in ne pove nič o številu ljudi blizu modalnega dohodka). Če pa koncepta "povprečje" in "večina" jemljemo rahlo, potem lahko napačno sklepamo, da ima večina ljudi dohodke višje, kot so v resnici. Na primer, poročilo o "povprečnem" neto dohodku v Medini v Washingtonu, izračunanem kot aritmetična sredina vseh letnih neto dohodkov prebivalcev, bo dalo presenetljivo velika številka zaradi Bill Gatesa. Razmislite o vzorcu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetična sredina je 3,17, vendar je pet od šestih vrednosti pod to srednjo vrednostjo.

  Obrestno obrestovanje

  Če številke pomnožiti, vendar ne zložiti, morate uporabiti geometrično sredino, ne aritmetične sredine. Najpogosteje se ta incident zgodi pri izračunu vračila naložb v finance.

  Na primer, če so delnice v prvem letu padle za 10 % in v drugem letu narasle za 30 %, potem ni pravilno izračunati "povprečnega" povečanja v teh dveh letih kot aritmetične sredine (−10 % + 30 %) / 2. = 10 %; pravilno povprečje je v tem primeru podano s sestavljeno letno stopnjo rasti, od katere letna rast znaša le približno 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

  Razlog za to je, da imajo odstotki vsakič novo izhodišče: 30 % je 30 %. od števila, manjšega od cene na začetku prvega leta:če je delnica začela pri 30 $ in padla za 10 %, je na začetku drugega leta vredna 27 $. Če delnica zraste za 30 %, je ob koncu drugega leta vredna 35,1 USD. Aritmetično povprečje te rasti je 10%, a ker je delnica v 2 letih zrasla le za 5,1 USD, povprečno povečanje za 8,2% daje končni rezultat 35,1 USD:

  [30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Če uporabimo povprečje na enak način aritmetična vrednost 10 %, ne dobimo dejanske vrednosti: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

  Obrestne obresti na koncu 2. leta: 90 % * 130 % \u003d 117 %, to je skupno povečanje za 17 %, in povprečne letne obresti na obresti 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\približno 108,2\%), torej povprečna letna rast za 8,2 %.Ta številka je napačna iz dveh razlogov.

  Povprečna vrednost za ciklično spremenljivko, izračunana po zgornji formuli, bo umetno premaknjena glede na realno povprečje na sredino številčnega območja. Zaradi tega se povprečje izračuna na drugačen način, in sicer se za povprečno vrednost izbere število z najmanjšo varianco ( osrednja točka). Poleg tega se namesto odštevanja uporablja modulo razdalja (tj. obodna razdalja). Na primer, modularna razdalja med 1° in 359° je 2°, ne 358° (na krogu med 359° in 360°==0° - ena stopinja, med 0° in 1° - tudi 1°, skupaj - 2 °).