Tema aritmetična in geometrična sredina je vključena v program matematike za 6.-7. razred. Ker je odstavek dokaj enostaven za razumevanje, ga hitro mimo, do konca šolskega leta pa ga učenci že pozabijo. Toda za to je potrebno znanje osnovne statistike opravljanje enotnega državnega izpita, in tudi za mednarodne izpite SOB. Da in za Vsakdanje življenje razvito analitično mišljenje nikoli ne škodi.

Kako izračunati aritmetično sredino in geometrično sredino števil

Recimo, da obstaja niz števil: 11, 4 in 3. Aritmetična sredina je vsota vseh števil, deljena s številom danih števil. To pomeni, da bo v primeru števil 11, 4, 3 odgovor 6. Kako dobite 6?

Rešitev: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Imenovalec mora vsebovati število, ki je enako številu števil, katerih povprečje je treba najti. Vsota je deljiva s 3, ker so členi trije.

Zdaj moramo ugotoviti geometrično sredino. Recimo, da obstaja niz števil: 4, 2 in 8.

Geometrijska sredina števil je zmnožek vseh danih števil, ki se nahajajo pod korenom s potenco, ki je enaka številu danih števil. To pomeni, da bo v primeru števil 4, 2 in 8 odgovor 4. Tukaj je, kako izkazalo se je:

Rešitev: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Pri obeh možnostih smo dobili cele odgovore, saj so bile za primer vzete posebne številke. To se ne zgodi vedno. V večini primerov je treba odgovor zaokrožiti ali pustiti pri korenu. Na primer, za števila 11, 7 in 20 je aritmetična sredina ≈ 12,67, geometrična sredina pa ∛1540. In za številki 6 in 5 bosta odgovora 5,5 oziroma √30.

Ali se lahko zgodi, da aritmetična sredina postane enaka geometrični sredini?

Seveda lahko. A le v dveh primerih. Če obstaja vrsta števil, sestavljena samo iz enic ali ničel. Omeniti velja tudi, da odgovor ni odvisen od njihovega števila.

Dokaz z enotami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetična sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrijska sredina).

Dokaz z ničlami: (0 + 0) / 2=0 (aritmetična sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge možnosti ni in ne more biti.

Povprečna vrednost- to je splošni kazalnik, ki označuje kvalitativno homogeno populacijo glede na določeno kvantitativno značilnost. Na primer povprečna starost oseb, obsojenih za tatvino.

V sodni statistiki se povprečne vrednosti uporabljajo za označevanje:

Povprečni čas za obravnavo primerov te kategorije;

Povprečna velikost zahtevka;

Povprečno število tožencev na zadevo;

Povprečna škoda;

Povprečna obremenitev sodnikov itd.

Povprečje je vedno poimenovana vrednost in ima enako dimenzijo kot značilnost posamezne enote populacije. Vsaka povprečna vrednost označuje populacijo, ki jo proučujemo, glede na katero koli spremenljivo značilnost, zato se za vsako povprečno vrednostjo skriva niz porazdelitev enot te populacije glede na značilnost, ki se preučuje. Izbira vrste povprečja je določena z vsebino kazalnika in začetnimi podatki za izračun povprečna velikost.

Vse vrste povprečij, ki se uporabljajo v statistične raziskave, so razdeljeni v dve kategoriji:

1) povprečja moči;

2) strukturna povprečja.

Prva kategorija povprečij vključuje: aritmetična sredina, harmonična sredina, geometrična sredina in efektivna vrednost . Druga kategorija je moda in mediana. Poleg tega ima lahko vsaka od naštetih vrst povprečij moči dve obliki: preprosto in tehtano . Enostavna oblika Povprečna vrednost se uporablja za pridobitev povprečne vrednosti značilnosti, ki se proučuje, kadar se izračun izvede z uporabo nezdruženih statističnih podatkov ali kadar se vsaka možnost v agregatu pojavi samo enkrat. Utežena povprečja so vrednosti, ki upoštevajo, da imajo lahko različice vrednosti atributov različna števila, zato je treba vsako različico pomnožiti z ustrezno frekvenco. Z drugimi besedami, vsaka možnost je "utežena" s svojo pogostostjo. Pogostost se imenuje statistična utež.

Preprosta aritmetična sredina- najpogostejša vrsta povprečja. Je enak vsoti posameznih vrednosti značilnosti, deljenih s skupno število te vrednosti:

Kje x 1 ,x 2 , … ,x N so posamezne vrednosti spreminjajoče se značilnosti (variant), N pa je število enot v populaciji.

Uteženo aritmetično povprečje uporablja se v primerih, ko so podatki predstavljeni v obliki distribucijskih serij ali skupin. Izračuna se kot vsota zmnožkov opcij in njihovih ustreznih frekvenc, deljena z vsoto frekvenc vseh opcij:

Kje x i- pomen jaz th različice značilnosti; f i- pogostost jaz th možnosti.

Tako je vsaka vrednost variant ponderirana s svojo frekvenco, zato se pogostosti včasih imenujejo statistične uteži.

Komentiraj. Kdaj govorimo o o aritmetični sredini brez navedbe njene vrste, je aritmetična sredina enostavna.

Tabela 12.

rešitev. Za izračun uporabimo formulo za tehtano aritmetično povprečje:

Tako sta v povprečju dva obtoženca na eno kazensko zadevo.

Če se izračun povprečne vrednosti izvede z uporabo podatkov, združenih v obliki serije intervalne porazdelitve, morate najprej določiti srednje vrednosti vsakega intervala x"i in nato izračunati povprečno vrednost z uporabo aritmetičnega tehtanega povprečja formulo, v katero je zamenjan x"i namesto xi.

Primer. Podatki o starosti obsojenih storilcev tatvin so predstavljeni v tabeli:

Tabela 13.

Določite povprečno starost kriminalcev, obsojenih za tatvino.

rešitev. Da bi določili povprečno starost kriminalcev na podlagi serije intervalnih variacij, je treba najprej najti srednje vrednosti intervalov. Ker imamo intervalno serijo z najprej odpreti in zadnji intervali, potem so vrednosti teh intervalov enake vrednostim sosednjih zaprtih intervalov. V našem primeru sta vrednosti prvega in zadnjega intervala enaki 10.

Zdaj najdemo povprečno starost kriminalcev s formulo tehtanega aritmetičnega povprečja:

Tako je povprečna starost obsojenih za tatvino približno 27 let.

Srednje harmonično preprosto predstavlja recipročno vrednost aritmetične sredine inverznih vrednosti značilnosti:

kjer je 1/ x i so inverzne vrednosti možnosti, N pa je število enot v populaciji.

Primer. Za določitev povprečne letne obremenitve sodnikov okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev je bila opravljena raziskava obremenitve 5 sodnikov tega sodišča. Izkazalo se je, da je povprečni čas, porabljen za eno kazensko zadevo za vsakega od anketiranih sodnikov, enak (v dnevih): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Poiščite povprečne stroške enega kazensko zadevo in povprečno letno obremenitev sodnikov posameznega okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev.

rešitev. Za določitev povprečnega časa, porabljenega za eno kazensko zadevo, uporabimo harmonično povprečno formulo:

Za poenostavitev izračunov v primeru vzamemo število dni v letu 365, vključno z vikendi (to ne vpliva na metodologijo izračuna in pri izračunu podobnega kazalnika v praksi je treba nadomestiti število delovnih dni v posameznem letu namesto 365 dni). Potem bo povprečna letna obremenitev sodnikov določenega okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev: 365 (dni) : 5,56 ≈ 65,6 (zadeve).

Če bi uporabili preprosto aritmetično povprečno formulo za določitev povprečnega časa, porabljenega za eno kazensko zadevo, bi dobili:

365 (dnevi): 5,64 ≈ 64,7 (primeri), tj. povprečna obremenitev sodnikov se je izkazala za manjšo.

Preverimo veljavnost tega pristopa. Za to bomo uporabili podatke o času, porabljenem za eno kazensko zadevo za vsakega sodnika, in izračunali število kazenskih zadev, ki jih obravnava vsak od njih na leto.

Temu primerno dobimo:

365(dni) : 6 ≈ 61 (primeri), 365(dni) : 5,6 ≈ 65,2 (primeri), 365(dni) : 6,3 ≈ 58 (primeri),

365(dni) : 4,9 ≈ 74,5 (primeri), 365(dni) : 5,4 ≈ 68 (primeri).

Zdaj pa izračunajmo povprečno letno obremenitev sodnikov določenega okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev:

Tisti. povprečna letna obremenitev je enaka kot pri uporabi harmoničnega povprečja.

Zato je uporaba aritmetičnega povprečja v tem primeru nezakonita.

V primerih, ko so različice značilnosti in njihove volumetrične vrednosti (zmnožek različic in frekvence) znane, same frekvence pa niso znane, se uporabi utežena harmonična povprečna formula:

,

Kje x i so vrednosti možnosti atributa in w i so volumetrične vrednosti možnosti ( w i = x i f i).

Primer. Podatki o ceni enote istovrstnega izdelka, ki ga proizvajajo različne institucije kazenskega sistema, in o obsegu njegove prodaje so podani v tabeli 14.

Tabela 14

Poiščite povprečno prodajno ceno izdelka.

rešitev. Pri izračunu povprečne cene moramo uporabiti razmerje med količino prodaje in številom prodanih enot. Ne poznamo števila prodanih enot, poznamo pa količino prodaje blaga. Zato bomo za iskanje povprečne cene prodanega blaga uporabili formulo tehtanega harmoničnega povprečja. Dobimo

Če tukaj uporabite formulo za aritmetično povprečje, lahko dobite povprečno ceno, ki bo nerealna:

Geometrijska sredina se izračuna tako, da se iz produkta vseh vrednosti različic atributa izvleče koren stopnje N:

,

Kje x 1 ,x 2 , … ,x N- posamezne vrednosti spremenljive značilnosti (variant) in

n- število enot v populaciji.

Ta vrsta povprečja se uporablja za izračun povprečnih stopenj rasti časovnih vrst.

Srednji kvadrat uporablja za izračun povprečja kvadratno odstopanje, ki je indikator variacije in bo obravnavan v nadaljevanju.

Za določitev strukture prebivalstva se uporabljajo posebni povprečni kazalniki, ki vključujejo mediana in moda , ali tako imenovana strukturna povprečja. Če je aritmetična sredina izračunana na podlagi uporabe vseh variant vrednosti atributa, potem mediana in moda označujeta vrednost variante, ki zavzema določeno povprečno mesto v rangirani (urejeni) seriji. Enote statistične populacije so lahko razvrščene v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu glede na različice značilnosti, ki se preučuje.

Mediana (jaz)- to je vrednost, ki ustreza možnosti, ki se nahaja na sredini razvrščene serije. Tako je mediana tista različica razvrščene serije, na obeh straneh katere bi morala biti v tej seriji enako število enote populacije.

Če želite najti mediano, jo morate najprej določiti serijska številka v razvrščeni seriji po formuli:

kjer je N obseg serije (število enot v populaciji).

Če niz sestoji iz lihega števila členov, potem je mediana enaka opciji s številko N Me. Če je serija sestavljena iz sodega števila izrazov, potem je mediana definirana kot aritmetična sredina dveh sosednjih možnosti, ki se nahajata na sredini.

Primer. Podana je razvrščena serija 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Prostornina serije je N = 9, kar pomeni N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Zato je Me = 6, tj. peta možnost. Če je vrstica podana s številkami 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, tj. serije s sodim številom členov (N = 8), potem je N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. To pomeni, da je mediana enaka polovici vsote četrte in pete možnosti, tj. Jaz = (9 + 11) / 2 = 10.

V seriji diskretnih variacij je mediana določena z akumuliranimi frekvencami. Pogostosti možnosti, začenši s prvo, se seštevajo, dokler ni presežena mediana. Vrednost zadnjih seštetih opcij bo mediana.

Primer. Poiščite mediano število obtoženih na kazensko zadevo s pomočjo podatkov v tabeli 12.

rešitev. V tem primeru je prostornina variacijske serije N = 154, zato je N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Če seštejemo frekvence prve in druge možnosti, dobimo: 75 + 43 = 118, tj. smo presegli mediano število. Torej jaz = 2.

V seriji intervalnih variacij porazdelitev najprej označuje interval, v katerem bo mediana. Imenuje se mediana . To je prvi interval, katerega akumulirana frekvenca presega polovico volumna intervalne variacijske serije. Potem številčna vrednost Mediana je določena s formulo:

Kje x Jaz- spodnja meja medianega intervala; i je vrednost medianega intervala; S Me-1- akumulirana frekvenca intervala, ki je pred mediano; f jaz- frekvenca medianega intervala.

Primer. Poiščite povprečno starost storilcev kaznivih dejanj, obsojenih za tatvino, na podlagi statističnih podatkov, predstavljenih v tabeli 13.

rešitev. Statistični podatki so predstavljeni z intervalno variacijsko serijo, kar pomeni, da najprej določimo mediani interval. Obseg populacije je N = 162, torej je mediani interval interval 18-28, ker to je prvi interval, katerega akumulirana frekvenca (15 + 90 = 105) presega polovico volumna (162: 2 = 81) intervalne variacijske serije. Zdaj določimo številsko vrednost mediane z zgornjo formulo:

Tako je polovica obsojenih za tatvino mlajših od 25 let.

Moda (Mo) Imenujejo vrednost lastnosti, ki jo najpogosteje najdemo v enotah populacije. Moda se uporablja za identifikacijo vrednosti značilnosti, ki je najbolj razširjena. Za diskretno serijo bo način možnost z najvišjo frekvenco. Na primer za diskretne serije, predstavljene v tabeli 3 Mo= 1, saj ta vrednost ustreza najvišji frekvenci - 75. Za določitev načina intervalne serije najprej določite modalno interval (interval z najvišjo frekvenco). Nato se znotraj tega intervala najde vrednost lastnosti, ki je lahko način.

Njegovo vrednost najdemo po formuli:

Kje x Mo- spodnja meja modalnega intervala; i je vrednost modalnega intervala; f Mo- pogostost modalnega intervala; f Mo-1- frekvenca intervala pred modalnim; f Mo+1- frekvenca intervala, ki sledi modalnemu.

Primer. Poiščite starost storilcev kaznivih dejanj, obsojenih za tatvino, podatki o katerih so predstavljeni v tabeli 13.

rešitev. Najvišja frekvenca ustreza intervalu 18-28, zato mora biti način v tem intervalu. Njegova vrednost je določena z zgornjo formulo:

torej največje število storilca kaznivega dejanja tatvine sta stara 24 let.

Povprečna vrednost zagotavlja splošno značilnost celotnega pojava, ki ga proučujemo. Vendar pa se lahko dve populaciji, ki imata enake povprečne vrednosti, bistveno razlikujeta med seboj v stopnji nihanja (variacije) vrednosti značilnosti, ki se proučuje. Na primer, na enem sodišču so imenovali naslednje datume zaporna kazen: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 let, v drugem pa 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 let. V obeh primerih je aritmetična sredina 6,7 ​​leta. Vendar se te populacije med seboj bistveno razlikujejo v razmahu posameznih vrednosti dodeljene dobe zapora glede na povprečno vrednost.

In za prvo sodišče, kjer je ta razpon precej velik, povprečna doba zapora ne odraža celotne populacije. Torej, če se posamezne vrednosti značilnosti med seboj malo razlikujejo, bo aritmetična sredina dokaj indikativna značilnost lastnosti dane populacije. V nasprotnem primeru bo aritmetična sredina nezanesljiva značilnost te populacije in njena uporaba v praksi neučinkovita. Zato je treba upoštevati variacijo vrednosti značilnosti, ki se proučuje.

Različica- to so razlike v vrednostih katere koli značilnosti med različnimi enotami dane populacije v istem obdobju ali časovni točki. Izraz variacija je latinskega izvora - variatio, kar pomeni razlika, sprememba, nihanje. Nastane kot posledica dejstva, da se posamezne vrednosti lastnosti oblikujejo pod skupnim vplivom različnih dejavnikov (pogojev), ki se v vsakem posameznem primeru kombinirajo drugače. Različne absolutne in relativni indikatorji.

Glavni kazalniki variacije vključujejo naslednje:

1) obseg variacije;

2) povprečno linearno odstopanje;

3) disperzija;

4) standardni odklon;

5) koeficient variacije.

Oglejmo si na kratko vsakega od njih.

Razpon variacije R je najbolj dostopen absolutni indikator v smislu enostavnosti izračuna, ki je opredeljen kot razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo značilnosti za enote dane populacije:

Razpon variacije (razpon nihanj) - pomemben indikator spremenljivost znaka, vendar omogoča opazovanje le skrajnih odstopanj, kar omejuje obseg njegove uporabe. Za natančnejšo opredelitev variacije lastnosti na podlagi njene variabilnosti se uporabljajo drugi kazalci.

Povprečno linearno odstopanje predstavlja aritmetično sredino absolutne vrednosti odstopanja posameznih vrednosti značilnosti od povprečja in se določi s formulami:

1) Za nezdruženih podatkov

2) Za variacijske serije

Vendar je najpogosteje uporabljena mera variacije disperzija . Označuje mero disperzije vrednosti značilnosti, ki se preučuje, glede na njeno povprečno vrednost. Disperzija je opredeljena kot povprečje odstopanj na kvadrat.

Preprosta varianta za nezdružene podatke:

.

Tehtano z varianco za variacijsko serijo:

Komentiraj. V praksi je za izračun variance bolje uporabiti naslednje formule:

Za enostavno varianto

.

Za tehtano varianco

Standardni odklon je kvadratni koren variance:

Standardni odklon je merilo zanesljivosti povprečja. Manjši kot je standardni odklon, bolj homogena je populacija in bolje aritmetična sredina odraža celotno populacijo.

Zgoraj obravnavane disperzijske mere (razpon variacije, disperzija, standardni odklon) so v absolutnem smislu, po katerem ni vedno mogoče presoditi stopnje variabilnosti lastnosti. Pri nekaterih problemih je treba uporabiti relativne indekse sipanja, eden izmed njih je koeficient variacije.

Koeficient variacije- razmerje med standardnim odklonom in aritmetično sredino, izraženo v odstotkih:

Koeficient variacije se uporablja ne le za primerjalna ocena variacije različnih značilnosti ali iste značilnosti v različnih populacijah, temveč tudi za karakterizacijo homogenosti populacije. Statistična populacija se šteje za kvantitativno homogeno, če koeficient variacije ne presega 33 % (za porazdelitve, ki so blizu normalne porazdelitve).

Primer. O prestajanju kazni zapora 50 obsojencev, ki so bili odpeljani na prestajanje kazni, ki jih je izreklo sodišče v prevzgojni zavod kazenskega sistema, so na voljo naslednji podatki: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Sestavite niz porazdelitev glede na zaporne kazni.

2. Poiščite povprečje, varianco in standardni odklon.

3. Izračunajte koeficient variacije in sklepajte o homogenosti ali heterogenosti proučevane populacije.

rešitev. Za sestavo diskretne porazdelitvene serije je treba določiti možnosti in frekvence. Možnost v tem problemu je trajanje zapora, pogostost pa število posameznih možnosti. Po izračunu frekvenc dobimo naslednjo diskretno porazdelitveno serijo:

Poiščimo srednjo vrednost in varianco. Ker so statistični podatki predstavljeni z diskretnimi variacijskimi serijami, bomo za njihov izračun uporabili formule za uteženo aritmetično sredino in disperzijo. Dobimo:

= = 4,1;

= 5,21.

Zdaj izračunamo standardni odklon:

Iskanje koeficienta variacije:

Posledično je statistična populacija kvantitativno heterogena.

Povprečje pri matematiki aritmetična vrednostštevila (ali preprosto povprečje) je vsota vseh števil v danem nizu, deljena z njihovim številom. To je najbolj splošen in razširjen koncept povprečne vrednosti. Kot ste že razumeli, morate za iskanje sešteti vse številke, ki so vam bile dane, in dobljeni rezultat deliti s številom izrazov.

Kaj je aritmetična sredina?

Poglejmo si primer.

Primer 1. Dana števila: 6, 7, 11. Poiskati morate njihovo povprečno vrednost.

rešitev.

Najprej poiščimo vsoto vseh teh števil.

Zdaj razdelite dobljeno vsoto s številom členov. Ker imamo tri izraze, bomo torej delili s tri.

Zato je povprečje števil 6, 7 in 11 8. Zakaj 8? Da, ker bo vsota 6, 7 in 11 enaka trem osmicam. To je jasno razvidno iz ilustracije.

Povprečje je podobno "izravnavanju" niza številk. Kot lahko vidite, so kupi svinčnikov postali enaki.

Oglejmo si še en primer za utrjevanje pridobljenega znanja.

Primer 2. Dana števila: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Poiskati morate njihovo aritmetično sredino.

rešitev.

Poiščite znesek.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Razdelite s številom izrazov (v tem primeru - 15).

Zato je povprečna vrednost te serije števil 22.

Zdaj pa razmislimo negativna števila. Spomnimo se, kako jih povzeti. Na primer, imate dve številki 1 in -4. Poiščimo njihovo vsoto.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Ker to vemo, poglejmo še en primer.

Primer 3. Poiščite povprečno vrednost niza števil: 3, -7, 5, 13, -2.

rešitev.

Poišči vsoto števil.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Ker je členov 5, dobljeno vsoto delite s 5.

Zato je aritmetična sredina števil 3, -7, 5, 13, -2 2,4.

V našem času tehnološkega napredka je veliko bolj priročno uporabiti za iskanje povprečne vrednosti računalniški programi. Microsoft Office Excel je eden izmed njih. Iskanje povprečja v Excelu je hitro in enostavno. Poleg tega je ta program vključen v programski paket Microsoft Office. Oglejmo si kratko navodilo, vrednost uporabe tega programa.

Če želite izračunati povprečno vrednost niza števil, morate uporabiti funkcijo AVERAGE. Sintaksa te funkcije je:
= Povprečje(argument1, argument2, ... argument255)
kjer so argument1, argument2, ... argument255 številke ali sklice na celice (celice se nanašajo na obsege in polja).

Da bo bolj jasno, preizkusimo pridobljeno znanje.

1. V celice C1 - C6 vnesite številke 11, 12, 13, 14, 15, 16.
2. Izberite celico C7 s klikom nanjo. V tej celici bomo prikazali povprečno vrednost.
3. Kliknite zavihek Formule.
4. Izberite Več funkcij > Statistika, da odprete
5. Izberite AVERAGE. Po tem bi se moralo odpreti pogovorno okno.
6. Izberite in povlecite celice C1-C6 tja, da nastavite obseg v pogovornem oknu.
7. Potrdite svoja dejanja z gumbom "V redu".
8. Če ste vse naredili pravilno, bi morali imeti odgovor v celici C7 - 13.7. Ko kliknete celico C7, se v vrstici s formulo prikaže funkcija (=Povprečje(C1:C6)).

Ta funkcija je zelo uporabna za računovodstvo, račune ali ko morate le najti povprečje zelo dolgega niza številk. Zato se pogosto uporablja v pisarnah in velikih podjetjih. To vam omogoča, da vodite svoje evidence v redu in omogoča hiter izračun (na primer povprečnega mesečnega dohodka). Tudi z z uporabo Excela lahko najdete povprečno vrednost funkcije.

Najpogostejša vrsta povprečja je aritmetična sredina.

Preprosta aritmetična sredina

Enostavna aritmetična sredina je povprečni izraz, pri določanju katerega je skupna prostornina te lastnosti v podatkih je enakomerno porazdeljen med vse enote, vključene v dano populacijo. Tako je povprečna letna proizvodnja na zaposlenega količina proizvodnje, ki bi jo proizvedel vsak zaposleni, če bi bil celoten obseg proizvodnje enakomerno porazdeljen med vse zaposlene v organizaciji. Aritmetična sredina enostavne vrednosti se izračuna po formuli:

Preprosto aritmetično povprečje— Enako razmerju med vsoto posameznih vrednosti značilnosti in številom značilnosti v agregatu

Primer 1 . Ekipa 6 delavcev prejme 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisoč rubljev na mesec.

Poiščite povprečno plačo
Rešitev: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisoč rubljev.

Uteženo aritmetično povprečje

Če je obseg nabora podatkov velik in predstavlja niz porazdelitve, se izračuna utežena aritmetična sredina. Tako se določi tehtana povprečna cena na proizvodno enoto: skupni proizvodni strošek (vsota zmnožkov njegove količine s ceno proizvodne enote) se deli s celotno količino proizvodnje.

Predstavljajmo si to v obliki naslednje formule:

Uteženo aritmetično povprečje— enako razmerju (vsota zmnožkov vrednosti značilnosti in pogostosti ponavljanja te značilnosti) proti (vsoti frekvenc vseh značilnosti). Uporablja se, kadar se pojavljajo različice proučevane populacije. neenakomerno število krat.

Primer 2 . Poiščite povprečno mesečno plačo delavcev v delavnici

Povprečne plače dobimo tako, da skupne plače delimo s skupnim številom delavcev:

Odgovor: 3,35 tisoč rubljev.

Aritmetična sredina za intervalne serije

Pri izračunu aritmetične sredine za niz intervalnih variacij najprej določite srednjo vrednost za vsak interval kot polovično vsoto zgornje in spodnje meje, nato pa srednjo vrednost celotne serije. V primeru odprtih intervalov je vrednost spodnjega ali zgornjega intervala določena z velikostjo intervalov, ki mejijo nanje.

Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna.

Primer 3. Določite povprečno starost večernih študentov.

Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna. Stopnja njihovega približevanja je odvisna od tega, v kolikšni meri se dejanska porazdelitev populacijskih enot znotraj intervala približuje enakomerni porazdelitvi.

Pri izračunu povprečij se lahko kot uteži uporabljajo ne samo absolutne, ampak tudi relativne vrednosti (frekvenca):

Aritmetična sredina ima številne lastnosti, ki bolj razkrivajo njeno bistvo in poenostavljajo izračune:

1. Zmnožek povprečja z vsoto frekvenc je vedno enak vsoti zmnožkov variant po frekvencah, tj.

2. Srednje aritmetična vsota spreminjajočih se količin je enaka vsoti aritmetičnih povprečij teh količin:

3. Algebraična vsota odstopanj posameznih vrednosti značilnosti od povprečja je enaka nič:

4. Vsota kvadratov odstopanj opcij od povprečja je manjša od vsote kvadratov odstopanj od katere koli druge poljubne vrednosti, tj.

Enostavna aritmetična sredina je povprečni izraz, pri določanju katerega je skupni obseg dane značilnosti celota podatki so enakomerno porazdeljeni med vse enote, vključene v to populacijo. Tako je povprečna letna proizvodnja na zaposlenega količina proizvodnje, ki bi padla na vsakega zaposlenega, če bi celoten obseg proizvodnje enakomerno porazdelili med vse zaposlene v organizaciji. Aritmetična sredina enostavne vrednosti se izračuna po formuli:

Preprosto aritmetično povprečje- Enako razmerju med vsoto posameznih vrednosti značilnosti in številom značilnosti v agregatu

Primer 1. Ekipa 6 delavcev prejme 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisoč rubljev na mesec.

Poiščite povprečno plačo Rešitev: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisoč rubljev.

Uteženo aritmetično povprečje

Če je obseg nabora podatkov velik in predstavlja niz porazdelitve, se izračuna utežena aritmetična sredina. Tako se določi tehtana povprečna cena na proizvodno enoto: skupni proizvodni strošek (vsota zmnožkov njegove količine s ceno proizvodne enote) se deli s celotno količino proizvodnje.

Predstavljajmo si to v obliki naslednje formule:

Uteženo aritmetično povprečje- je enak razmerju (vsota zmnožkov vrednosti lastnosti in pogostosti ponavljanja te značilnosti) proti (vsoti frekvenc vseh lastnosti). Uporablja se, kadar so različice proučevane populacije pojavijo neenakomerno število krat.

Primer 2. Poiščite povprečno mesečno plačo delavcev v delavnici

Plača enega delavca na tisoč rubljev; X	Število delavcev F

Povprečne plače dobimo tako, da skupne plače delimo s skupnim številom delavcev:

Odgovor: 3,35 tisoč rubljev.

Aritmetična sredina za intervalne serije

Pri izračunu aritmetične sredine za niz intervalnih variacij najprej določite srednjo vrednost za vsak interval kot polovično vsoto zgornje in spodnje meje, nato pa srednjo vrednost celotne serije. V primeru odprtih intervalov je vrednost spodnjega ali zgornjega intervala določena z velikostjo intervalov, ki mejijo nanje.

Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna.

Primer 3. Določite povprečno starost večernih študentov.

Starost v letih!!x??	Število študentov	Povprečna vrednost intervala	Zmnožek sredine intervala (starosti) in števila učencev
		(18 + 20) / 2 =19 18 v tem primeru meja spodnjega intervala. Izračunano kot 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 ali več		(30 + 34) / 2 = 32

Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna. Stopnja njihovega približevanja je odvisna od tega, v kolikšni meri se dejanska porazdelitev populacijskih enot znotraj intervala približuje enakomerni porazdelitvi.

Pri izračunu povprečij se lahko kot uteži uporabljajo ne samo absolutne, ampak tudi relativne vrednosti (frekvenca).