Ko začnemo govoriti o povprečju, se ljudje največkrat spomnimo, kako so končali šolo in vstopili v izobraževalno ustanovo. Nato je bila na podlagi spričevala izračunana povprečna ocena: vse ocene (dobre in manj dobre) so bile seštete, dobljeni znesek je bil deljen z njihovim številom. Tako se izračuna najpreprostejša vrsta povprečja, ki se imenuje preprosto aritmetično povprečje. V praksi se uporablja statistika različne vrste povprečja: aritmetična, harmonična, geometrijska, kvadratna, strukturna povprečja. Ena ali druga vrsta se uporablja glede na naravo podatkov in namene študije.

Povprečna vrednost je najpogostejši statistični indikator, s pomočjo katerega se podaja splošna značilnost množice podobnih pojavov po eni od spremenljivih značilnosti. Prikazuje raven značilnosti na enoto populacije. S pomočjo povprečnih vrednosti se primerjajo različne populacije glede na različne značilnosti in preučujejo vzorce razvoja pojavov in procesov družbenega življenja.

V statistiki se uporabljata dva razreda povprečij: močnostna (analitična) in strukturna. Slednje se uporabljajo za karakterizacijo strukture variacijske serije in bodo obravnavane v nadaljevanju v poglavju. 8.

Skupina potenčnih povprečij vključuje aritmetično, harmonično, geometrijsko in kvadratno povprečje. Posamezne formule za njihov izračun je mogoče reducirati na obliko, ki je skupna vsem povprečjem moči, namreč

kjer je m eksponent potenčne sredine: z m = 1 dobimo formulo za izračun aritmetične sredine, z m = 0 - geometrične sredine, m = -1 - harmonične sredine, z m = 2 - kvadratne sredine. ;

x i - možnosti (vrednosti, ki jih ima atribut);

f i - frekvence.

Glavni pogoj, pod katerim se močnostna povprečja lahko uporabljajo v statistični analizi, je homogenost populacije, ki ne sme vsebovati začetnih podatkov, ki se močno razlikujejo po svoji kvantitativni vrednosti (v literaturi jih imenujemo anomalna opazovanja).

Pokažimo pomembnost tega pogoja z naslednjim primerom.

Primer 6.1. Izračunajmo povprečje plače zaposleni v malem podjetju.

Tabela 6.1. Plače zaposlenih

št.	Plača, rub.	št.	Plača, rub.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Za izračun povprečne plače je treba sešteti plače, obračunane vsem zaposlenim v podjetju (t.j. poiskati sklad plač) in razdeliti na število zaposlenih:

Zdaj pa dodajmo naši vsoti samo eno osebo (direktorja tega podjetja), vendar s plačo 50.000 rubljev. V tem primeru bo izračunano povprečje popolnoma drugačno:

Kot lahko vidimo, presega 7.000 rubljev itd. je večja od vseh vrednosti atributa z izjemo ene same opazke.

Da bi zagotovili, da se takšni primeri v praksi ne pojavljajo in da povprečje ne izgubi pomena (v primeru 6.1 ne igra več vloge posplošujoče značilnosti populacije, kot bi moralo biti), se pri izračunu povprečja, anomalije, ostro izstopajoča opažanja je treba izključiti iz analize in teme narediti populacijo homogeno ali razdeliti populacijo v homogene skupine in izračunati povprečne vrednosti za vsako skupino ter analizirati ne skupno povprečje, ampak povprečne vrednosti skupine.

6.1. Aritmetična sredina in njene lastnosti

Aritmetična sredina se izračuna kot enostavna ali kot utežena vrednost.

Pri izračunu povprečne plače po podatkih v tabeli primer 6.1 smo sešteli vse vrednosti atributa in delili z njihovim številom. Napredek naših izračunov bomo zapisali v obliki preproste formule za aritmetično sredino

kjer x i - možnosti (posamezne vrednosti značilnosti);

n je število enot v agregatu.

Primer 6.2. Zdaj pa združimo naše podatke iz tabele v primeru 6.1 itd. Konstruirajmo diskretno variacijsko vrsto porazdelitve delavcev po ravni plače. Rezultati združevanja so predstavljeni v tabeli.

Zapišimo izraz za izračun povprečne plače v strnjenejši obliki:

V primeru 6.2 je bila uporabljena formula utežene aritmetične sredine

kjer so f i frekvence, ki kažejo, kolikokrat se vrednost atributa x i y pojavi v populacijskih enotah.

Primerno je izračunati aritmetično tehtano povprečje v tabeli, kot je prikazano spodaj (tabela 6.3):

Tabela 6.3. Izračun aritmetične sredine v diskretni seriji

Začetni podatki	Ocenjeni indikator
plača, rub.	število zaposlenih, ljudi	sklad za plače, rub.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Skupaj	20	132 080

Opozoriti je treba, da se preprosta aritmetična sredina uporablja v primerih, ko podatki niso združeni ali združeni, vendar so vse frekvence enake.

Pogosto so rezultati opazovanja predstavljeni v obliki serije intervalne porazdelitve (glej tabelo v primeru 6.4). Nato se pri izračunu povprečja za x i vzamejo sredine intervalov. Če sta prvi in ​​zadnji interval odprta (nimata ene od meja), sta pogojno "zaprta", pri čemer vrednost sosednjega intervala vzameta kot vrednost tega intervala itd. prvi je zaprt glede na vrednost drugega, zadnji pa glede na vrednost predzadnjega.

Primer 6.3. Na podlagi rezultatov vzorčnega raziskovanja ene od skupin prebivalstva bomo izračunali višino povprečnega denarnega dohodka na prebivalca.

V zgornji tabeli je sredina prvega intervala 500. Dejansko je vrednost drugega intervala 1000 (2000-1000); potem je spodnja meja prvega 0 (1000-1000), njegova sredina pa 500. Enako naredimo z zadnjim intervalom. Za njegovo sredino vzamemo 25.000: vrednost predzadnjega intervala je 10.000 (20.000-10.000), nato je njegova zgornja meja 30.000 (20.000 + 10.000), sredina pa je 25.000.

Tabela 6.4. Izračun aritmetične sredine v intervalni seriji

Povprečni denarni dohodek na prebivalca, rub. na mesec	Prebivalstvo do celotnega števila, % f i	Vmesne točke intervalov x i	x i f i
Do 1.000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20.000 in več	10,4	25 000	260 000
Skupaj	100,0	-	892 850

Potem bo povprečni mesečni dohodek na prebivalca

Zdaj pa se pogovorimo o kako šteti Povprečna vrednost .
V svoji klasični obliki nam splošna teorija statistike ponuja eno različico pravil za izbiro povprečne vrednosti.
Najprej morate ustvariti pravilno logično formulo za izračun povprečne vrednosti (AFV). Za vsako povprečno vrednost vedno obstaja le ena logična formula za izračun, zato se tukaj težko zmotimo. Vedno pa si moramo zapomniti, da je v števcu (to je tisto, kar je na vrhu ulomka) vsota vseh pojavov, v imenovalcu (to je tisto, kar je na dnu ulomka) skupaj elementi.

Ko je logična formula sestavljena, lahko uporabite pravila (za lažje razumevanje jih bomo poenostavili in skrajšali):
1. Če izvorni podatki (določeni s frekvenco) vsebujejo imenovalec logične formule, se izračun izvede s formulo utežene aritmetične sredine.
2. Če je števec logične formule predstavljen v izvornih podatkih, se izračun izvede s formulo tehtanega harmoničnega povprečja.
3. Če problem predstavlja tako števec kot imenovalec logične formule (to se redko zgodi), potem izvedemo izračun z uporabo te formule ali preproste formule aritmetičnega povprečja.
To je klasična ideja izbire prave formule za izračun povprečja. Nato predstavimo zaporedje dejanj pri reševanju nalog za izračun povprečne vrednosti.

Algoritem za reševanje nalog o izračunu povprečne vrednosti

A. Določite metodo za izračun povprečne vrednosti - enostavna ali utežena . Če so podatki predstavljeni v tabeli, potem uporabimo utežno metodo, če so podatki predstavljeni z enostavnim naštevanjem, pa uporabimo metodo enostavnega izračuna.

B. Določite ali uredite simboli – x – možnost, f – pogostost . Možnost je, za kateri pojav želite najti povprečno vrednost. Preostali podatki v tabeli bodo frekvenca.

B. Določimo obrazec za izračun povprečne vrednosti - aritmetično ali harmonično . Določitev se izvede z uporabo stolpca frekvenc. Aritmetična oblika se uporablja, če so frekvence določene z eksplicitno količino (pogojno lahko nadomestite besedo kosov, število elementov "kosi"). Harmonična oblika se uporablja, če frekvence niso določene z eksplicitno količino, temveč s kompleksnim indikatorjem (zmnožek povprečne količine in frekvence).

Najtežje je uganiti, kje in kakšna količina je dana, še posebej za študenta, ki nima izkušenj s temi zadevami. V takšni situaciji lahko uporabite eno od naslednjih metod. Za nekatere naloge (ekonomske) je primerna izjava, ki je nastala v letih prakse (točka B.1). V drugih primerih boste morali uporabiti točko B.2.

B.1 Če je frekvenca podana v denarnih enotah (v rubljih), se za izračun uporabi harmonično povprečje, ta izjava je vedno resnična, če je identificirana frekvenca podana v denarju, v drugih primerih to pravilo ne velja.

B.2 Uporabite pravila za izbiro povprečne vrednosti, navedena zgoraj v tem članku. Če je frekvenca podana z imenovalcem logične formule za izračun povprečne vrednosti, potem izračunamo z uporabo oblike aritmetične sredine, če je frekvenca podana s števcem logične formule za izračun povprečne vrednosti, potem izračunamo z uporabo harmonična srednja oblika.

Oglejmo si primere uporabe tega algoritma.

A. Ker so podatki predstavljeni v vrstici, uporabljamo preprosto metodo izračuna.

B.V. Imamo samo podatke o višini pokojnin, pa bodo naša možnost - x. Podatek je predstavljen kot preprosto število (12 oseb), za izračun uporabljamo preprosto aritmetično povprečje.

Povprečna pokojnina upokojenca je 9208,3 rubljev.

B. Ker moramo najti povprečno plačilo na otroka, možnosti so v prvem stolpcu, tam vnesemo oznako x, drugi stolpec samodejno postane frekvenca f.

B. Pogostost (število otrok) je podana z eksplicitno količino (lahko nadomestite besedo kosov otrok, z vidika ruskega jezika je to nepravilna fraza, vendar je v resnici zelo priročno preveri), kar pomeni, da se za izračun uporabi utežena aritmetična sredina.

Isti problem je mogoče rešiti ne s formulo, temveč s tabelarno metodo, to je z vnosom vseh podatkov vmesnih izračunov v tabelo.

Posledično je vse, kar je treba zdaj storiti, ločiti dve vsoti v pravilnem vrstnem redu.

Povprečno plačilo na otroka na mesec je bilo 1910 rubljev.

A. Ker so podatki predstavljeni v tabeli, uporabljamo za izračun uteženi obrazec.

B. Pogostost (stroški proizvodnje) je podana z implicitno količino (pogostost je podana v rubljev točka algoritma B1), kar pomeni, da se za izračun uporabi uteženo harmonično povprečje. Na splošno so proizvodni stroški v bistvu kompleksen kazalnik, ki ga dobimo tako, da stroške enote izdelka pomnožimo s številom takih izdelkov, to je bistvo harmonične srednje vrednosti.

Da bi ta problem rešili s formulo aritmetične sredine, je potrebno, da namesto proizvodnih stroškov obstaja število izdelkov z ustreznimi stroški.

Upoštevajte, da je vsota v imenovalcu, dobljena po izračunih, 410 (120+80+210), to je skupno število proizvedenih izdelkov.

Povprečni stroški na enoto izdelka so znašali 314,4 rubljev.

A. Ker so podatki predstavljeni v tabeli, uporabljamo za izračun uteženi obrazec.

B. Ker moramo najti povprečne stroške na enoto izdelka, možnosti so v prvem stolpcu, tam vnesemo oznako x, drugi stolpec samodejno postane frekvenca f.

B. Pogostost (skupno število izostankov) je podana z implicitno količino (ta je zmnožek dveh kazalnikov števila izostankov in števila učencev s tem številom izostankov), kar pomeni, da se uporablja tehtano harmonično povprečje. za izračun. Uporabili bomo točko algoritma B2.

Da bi ta problem rešili s formulo aritmetične sredine, je potrebno namesto tega skupno število manjkalo je število študentov.

Ustvarimo logično formulo za izračun povprečnega števila izostankov na dijaka.

Pogostost glede na pogoj naloge Skupno število izpustov. V logični formuli je ta indikator v števcu, kar pomeni, da uporabljamo formulo harmonične sredine.

Upoštevajte, da je vsota v imenovalcu, ki nastane po izračunih 31 (18+8+5), skupno število študentov.

Povprečno število izostankov na dijaka je 13,8 dni.

Tema aritmetična in geometrična sredina je vključena v program matematike za 6.-7. razred. Ker je odstavek dokaj enostaven za razumevanje, ga hitro mimo, do konca šolskega leta pa ga učenci že pozabijo. Toda za to je potrebno znanje osnovne statistike opravljanje enotnega državnega izpita, in tudi za mednarodne izpite SOB. Da in za Vsakdanje življenje razvito analitično mišljenje nikoli ne škodi.

Kako izračunati aritmetično sredino in geometrično sredino števil

Recimo, da obstaja niz števil: 11, 4 in 3. Aritmetična sredina je vsota vseh števil, deljena s številom danih števil. To pomeni, da bo v primeru števil 11, 4, 3 odgovor 6. Kako dobite 6?

Rešitev: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Imenovalec mora vsebovati število, ki je enako številu števil, katerih povprečje je treba najti. Vsota je deljiva s 3, ker so členi trije.

Zdaj moramo ugotoviti geometrično sredino. Recimo, da obstaja niz števil: 4, 2 in 8.

Geometrijska sredina števil je zmnožek vseh danih števil, ki se nahajajo pod korenom s potenco, ki je enaka številu danih števil. To pomeni, da bo v primeru števil 4, 2 in 8 odgovor 4. Tukaj je, kako izkazalo se je:

Rešitev: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Pri obeh možnostih smo dobili cele odgovore, saj so bile za primer vzete posebne številke. To se ne zgodi vedno. V večini primerov je treba odgovor zaokrožiti ali pustiti pri korenu. Na primer, za števila 11, 7 in 20 je aritmetična sredina ≈ 12,67, geometrična sredina pa ∛1540. In za številki 6 in 5 bosta odgovora 5,5 oziroma √30.

Ali se lahko zgodi, da aritmetična sredina postane enaka geometrični sredini?

Seveda lahko. A le v dveh primerih. Če obstaja vrsta števil, sestavljena samo iz enic ali ničel. Omeniti velja tudi, da odgovor ni odvisen od njihovega števila.

Dokaz z enotami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetična sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrijska sredina).

Dokaz z ničlami: (0 + 0) / 2=0 (aritmetična sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge možnosti ni in ne more biti.

Ta izraz ima druge pomene, glej povprečni pomen.

Povprečje(v matematiki in statistiki) množice števil - vsota vseh števil, deljena z njihovim številom. Je eno najpogostejših meril centralne tendence.

Predlagali so jo (skupaj z geometrično sredino in harmonično sredino) pitagorejci.

Posebna primera aritmetične sredine sta povprečje (generalna populacija) in vzorčno povprečje (vzorec).

Uvod

Označimo množico podatkov X = (x 1 , x 2 , …, x n), potem je vzorčno povprečje običajno označeno z vodoravno črto nad spremenljivko (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), izgovorjeno " x s črto").

Grška črka μ se uporablja za označevanje aritmetične sredine celotne populacije. Za naključno spremenljivko, za katero je določena srednja vrednost, je μ verjetnostno povprečje ali matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Če nastavite X je zbirka naključnih števil z verjetnostnim povprečjem μ, potem za kateri koli vzorec x jaz iz tega niza μ = E( x jaz) je matematično pričakovanje tega vzorca.

V praksi je razlika med μ in x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ta, da je μ tipična spremenljivka, ker lahko vidite vzorec namesto celotne populacije. Torej, če je vzorec predstavljen naključno (v smislu teorije verjetnosti), potem lahko x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (vendar ne μ) obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki ima na vzorcu porazdelitev verjetnosti ( verjetnostna porazdelitev povprečja).

Obe ti količini se izračunata na enak način:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

če X je naključna spremenljivka, nato matematično pričakovanje X se lahko obravnava kot aritmetična sredina vrednosti pri ponavljajočih se meritvah količine X. To je manifestacija zakona velike številke. Zato se za oceno neznane pričakovane vrednosti uporabi vzorčna sredina.

V osnovni algebri je bilo dokazano, da je povprečje n+ 1 številka nad povprečjem nštevila, če in samo, če je novo število večje od starega povprečja, manj, če in samo, če je novo število manjše od povprečja, in se ne spremeni, če in samo, če je novo število enako povprečju. Bolj n, manjša je razlika med novim in starim povprečjem.

Upoštevajte, da je na voljo več drugih "povprečij", vključno s potenčnim povprečjem, Kolmogorovim povprečjem, harmonično povprečjem, aritmetično-geometričnim povprečjem in različnimi uteženimi povprečji (npr. utežena aritmetična sredina, utežena geometrična sredina, utežena harmonična sredina).

Primeri

• Za tri številke jih morate sešteti in deliti s 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Za štiri številke jih morate sešteti in deliti s 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ali preprosteje 5+5=10, 10:2. Ker smo seštevali 2 števili, kar pomeni, koliko števil seštejemo, s toliko delimo.

Zvezna naključna spremenljivka

Za zvezno porazdeljeno količino f (x) (\displaystyle f(x)) je aritmetična sredina na intervalu [ a ; b ] (\displaystyle ) je določen z določenim integralom:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Nekaj ​​težav pri uporabi povprečja

Pomanjkanje robustnosti

Glavni članek: Robustnost v statistiki

Čeprav se aritmetične sredine pogosto uporabljajo kot povprečja ali osrednje tendence, ta koncept ni robustna statistika, kar pomeni, da na aritmetično sredino močno vplivajo "velika odstopanja". Omeniti velja, da za porazdelitve z velikim koeficientom asimetrije aritmetična sredina morda ne ustreza konceptu "povprečja" in vrednosti srednje vrednosti iz robustne statistike (na primer mediana) lahko bolje opišejo osrednji nagnjenost.

Klasičen primer je izračun povprečnega dohodka. Aritmetično sredino si lahko napačno razlagamo kot mediano, kar lahko privede do zaključka, da je ljudi z višjimi dohodki več, kot jih je v resnici. »Povprečni« dohodek se razlaga tako, da ima večina ljudi dohodke okoli te številke. Ta »povprečni« (v smislu aritmetične sredine) dohodek je višji od dohodkov večine ljudi, saj je zaradi visokega dohodka z velikim odstopanjem od povprečja aritmetična sredina močno zakrivljena (nasprotno pa povprečni dohodek na mediani »se upira« takšni zakrivljenosti). Vendar ta "povprečni" dohodek ne pove ničesar o številu ljudi blizu povprečnega dohodka (in ne pove nič o številu ljudi blizu modalnega dohodka). Če pa pojma "povprečje" in "večina ljudi" jemljete rahlo, lahko sklepate, da ima večina ljudi višje dohodke, kot so v resnici. Na primer, poročilo o "povprečnem" neto dohodku v Medini v Washingtonu, izračunanem kot aritmetično povprečje vseh letnih neto dohodkov prebivalcev, bi zaradi Billa Gatesa dalo presenetljivo veliko število. Razmislite o vzorcu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetična sredina je 3,17, vendar je pet od šestih vrednosti pod to srednjo vrednostjo.

Obrestno obrestovanje

Glavni članek: Donosnost naložb

Če številke pomnožiti, vendar ne zložiti, morate uporabiti geometrično sredino, ne aritmetične sredine. Najpogosteje se ta incident zgodi pri izračunu donosnosti naložbe v finance.

Na primer, če je delnica padla za 10 % v prvem letu in zrasla za 30 % v drugem, potem ni pravilno izračunati »povprečnega« povečanja v teh dveh letih kot aritmetične sredine (−10 % + 30 %) / 2. = 10 %; pravilno povprečje v tem primeru poda sestavljena letna stopnja rasti, ki daje letno stopnjo rasti le približno 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Razlog za to je, da imajo odstotki vsakič novo izhodišče: 30 % je 30 %. od števila, manjšega od cene na začetku prvega leta:če je delnica začela pri 30 $ in padla za 10 %, je na začetku drugega leta vredna 27 $. Če bi delnica zrasla za 30%, bi bila ob koncu drugega leta vredna 35,1 USD. Aritmetično povprečje te rasti je 10%, a ker se je delnica v 2 letih povečala le za 5,1 USD, povprečna rast 8,2% daje končni rezultat 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Če na enak način uporabimo povprečje aritmetična vrednost 10 %, ne bomo dobili dejanske vrednosti: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Obrestno obrestne obresti ob koncu 2 let: 90 % * 130 % = 117 %, to je skupno povečanje za 17 %, povprečne letne obresti pa 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\približno 108,2\%) , to je povprečno letno povečanje za 8,2 %.

Navodila

Glavni članek: Statistika destinacije

Pri izračunu aritmetične sredine neke spremenljivke, ki se ciklično spreminja (na primer faza ali kot), je treba biti še posebej previden. Na primer, povprečje 1° in 359° bi bilo 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ta številka je napačna iz dveh razlogov.

• Prvič, kotne mere so določene samo za območje od 0° do 360° (ali od 0 do 2π, če jih merimo v radianih). Tako bi isti par števil lahko zapisali kot (1° in −1°) ali kot (1° in 719°). Povprečne vrednosti vsakega para bodo različne: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ krog )).
• Drugič, v tem primeru bo vrednost 0° (ekvivalentno 360°) geometrično boljša povprečna vrednost, saj številke manj odstopajo od 0° kot od katere koli druge vrednosti (vrednost 0° ima najmanjšo varianco). Primerjaj:
  • število 1° odstopa od 0° le za 1°;
  • število 1° odstopa od izračunanega povprečja 180° za 179°.

Povprečna vrednost za ciklično spremenljivko, izračunana z zgornjo formulo, bo umetno premaknjena glede na realno povprečje proti sredini številskega območja. Zaradi tega se povprečje izračuna na drugačen način, in sicer število z najmanjšo varianco ( središčna točka). Poleg tega se namesto odštevanja uporablja modularna razdalja (tj. obodna razdalja). Na primer, modularna razdalja med 1° in 359° je 2°, ne 358° (na krogu med 359° in 360°==0° - ena stopinja, med 0° in 1° - tudi 1°, skupaj - 2 °).

4.3. Povprečne vrednosti. Bistvo in pomen povprečnih vrednosti

Povprečna velikost v statistiki je splošen kazalnik, ki označuje tipično raven pojava v posebnih razmerah kraja in časa, ki odraža vrednost spremenljive značilnosti na enoto kvalitativno homogene populacije. V gospodarski praksi se uporablja širok nabor kazalnikov, izračunanih kot povprečne vrednosti.

Na primer splošni kazalnik dohodka delavcev delniška družba(JSC) je povprečni dohodek enega delavca, določen z razmerjem med skladom plač in socialnimi plačili za obravnavano obdobje (leto, četrtletje, mesec) in številom delavcev v JSC.

Izračun povprečja je ena od pogostih tehnik posploševanja; povprečni kazalnik odraža tisto, kar je skupno (tipično) vsem enotam proučevane populacije, hkrati pa zanemarja razlike posameznih enot. V vsakem pojavu in njegovem razvoju je kombinacija nesreče in potrebno. Pri izračunu povprečij se zaradi delovanja zakona velikih števil naključnost izniči in uravnovesi, zato je možno abstrahirati od nepomembnih lastnosti pojava, od kvantitativnih vrednosti značilnosti v vsakem konkretnem primeru. . Zmožnost abstrahiranja od naključnosti posameznih vrednosti, nihanj je v znanstveni vrednosti povprečij kot posploševanje značilnosti populacij.

Kjer se pojavi potreba po posploševanju, izračun takšnih značilnosti vodi do zamenjave številnih različnih posameznih vrednosti atributa povprečje indikator, ki označuje celotno množico pojavov, ki omogoča prepoznavanje vzorcev, ki so lastni množičnim družbenim pojavom, ki so nevidni v posameznih pojavih.

Povprečje odraža značilno, tipično, realno raven preučevanih pojavov, označuje te ravni in njihove spremembe v času in prostoru.

Povprečje je povzetek značilnosti zakonitosti procesa v pogojih, v katerih se pojavlja.

4.4. Vrste povprečij in metode za njihov izračun

Izbira vrste povprečja je odvisna od ekonomske vsebine določenega kazalnika in izvornih podatkov. V vsakem posameznem primeru se uporabi ena od povprečnih vrednosti: aritmetika, garmonični, geometrijski, kvadratni, kubični itd. Navedena povprečja sodijo v razred umirjeno povprečje.

Poleg potenčnih povprečij se v statistični praksi uporabljajo strukturna povprečja, ki jih štejemo za modno in mediano.

Oglejmo si podrobneje povprečja moči.

Aritmetična sredina

Najpogostejša vrsta povprečja je povprečje aritmetika. Uporablja se v primerih, ko je obseg spremenljive značilnosti za celotno populacijo vsota vrednosti značilnosti njenih posameznih enot. Za družbene pojave je značilna aditivnost (sumarnost) obsegov različnih značilnosti, kar določa obseg uporabe aritmetičnega povprečja in pojasnjuje njegovo razširjenost kot splošnega kazalnika, na primer: celotni sklad plač je vsota plač vseh delavcev je bruto pridelek vsota proizvodov, pridelanih s celotne setvene površine.

Če želite izračunati aritmetično sredino, morate vsoto vseh vrednosti lastnosti deliti z njihovim številom.

V obrazcu je uporabljena aritmetična sredina preprosto povprečje in tehtano povprečje. Začetna, določujoča oblika je preprosto povprečje.

Preprosta aritmetična sredina enaka preprosti vsoti posameznih vrednosti značilnosti, ki se povprečijo, deljeni s skupnim številom teh vrednosti (uporablja se v primerih, ko obstajajo nezdružene posamezne vrednosti značilnosti):

Kje
- posamezne vrednosti spremenljivke (variant); m - število enot v populaciji.

Poleg tega v formulah ne bodo navedene meje seštevanja. Na primer, ugotoviti morate povprečno proizvodnjo enega delavca (mehanika), če veste, koliko delov je proizvedel vsak od 15 delavcev, tj. podanih je število posameznih vrednosti značilnosti, kosov:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Preprosta aritmetična sredina se izračuna po formuli (4.1), 1 kos:

Povprečje možnosti, ki se ponavljajo različno število krat ali, kot pravijo, imajo različne uteži, se imenuje tehtano. Uteži so število enot v različne skupine agregati (identične možnosti so združene v skupino).

Uteženo aritmetično povprečje- povprečje združenih vrednosti, - se izračuna po formuli:

, (4.2)

Kje
- teža (pogostost ponavljanja enakih znakov);

- vsota zmnožkov velikosti značilnosti in njihove frekvence;

- skupno število populacijskih enot.

Tehniko izračuna aritmetičnega tehtanega povprečja ponazarjamo z zgoraj obravnavanim primerom. Da bi to naredili, bomo združili izvorne podatke in jih postavili v tabelo. 4.1.

Tabela 4.1

Razporeditev delavcev za proizvodnjo delov

Po formuli (4.2) je tehtana aritmetična sredina enaka, kos:

V nekaterih primerih uteži niso lahko predstavljene kot absolutne vrednosti, temveč kot relativne (v odstotkih ali delih enote). Potem bo formula za aritmetično tehtano povprečje videti takole:

Kje
- posebnost, tj. delež posamezne frekvence v skupnem seštevku vseh

Če se frekvence štejejo v ulomkih (koeficienti), potem
= 1, formula za aritmetično tehtano povprečje pa ima obliko:

Izračun utežene aritmetične sredine iz skupinskih sredin izvedemo po formuli:

,

Kje f-število enot v vsaki skupini.

Rezultati izračuna aritmetične sredine iz skupinskih sredin so prikazani v tabeli. 4.2.

Tabela 4.2

Porazdelitev delavcev po povprečni delovni dobi

V tem primeru možnosti niso posamezni podatki o delovni dobi posameznih delavcev, temveč povprečje za posamezno delavnico. Tehtnica f je število delavcev v trgovinah. Zato bodo povprečne delovne izkušnje delavcev v celotnem podjetju leta:

.

Izračun aritmetične sredine v serijah porazdelitve

Če so vrednosti povprečne značilnosti določene v obliki intervalov (»od - do«), tj. intervalne serije porazdelitve, nato pa se pri izračunu aritmetične sredine sredine teh intervalov vzamejo kot vrednosti značilnosti v skupinah, kar ima za posledico oblikovanje diskretne serije. Razmislite o naslednjem primeru (tabela 4.3).

Preidimo z intervalne serije na diskretno serijo tako, da intervalne vrednosti zamenjamo z njihovimi povprečnimi vrednostmi/(preprosto povprečje

Tabela 4.3

Porazdelitev delavcev JSC po višini mesečne plače

Skupine delavcev	Število delavcev	Sredina intervala
plače, rub.	ljudje, f	rub., X
900 ali več

vrednosti odprtih intervalov (prvi in ​​zadnji) so pogojno enačene z intervali, ki mejijo na njih (drugi in predzadnji).

Pri tem izračunu povprečja je dovoljena določena netočnost, saj se predpostavlja enakomerna porazdelitev enot značilnosti znotraj skupine. Čim ožji je interval in več kot je enot v intervalu, manjša je napaka.

Ko so najdene sredine intervalov, se izračuni izvedejo na enak način kot v diskretni seriji - možnosti se pomnožijo s frekvencami (utežmi) in vsota produktov se deli z vsoto frekvenc (uteži) , tisoč rubljev:

.

Torej, povprečna raven Plačilo delavcev JSC je 729 rubljev. na mesec.

Izračun aritmetične sredine pogosto zahteva veliko časa in dela. Vendar pa je v številnih primerih postopek za izračun povprečja mogoče poenostaviti in olajšati, če uporabite njegove lastnosti. Predstavimo (brez dokaza) nekaj osnovnih lastnosti aritmetične sredine.

Lastnost 1. Če so vse posamezne vrednosti značilnosti (tj. vse možnosti) zmanjšajte ali povečajte jazkrat, nato povprečna vrednost nova značilnost se bo ustrezno zmanjšala ali povečala jazenkrat.

Lastnost 2. Če se reducirajo vse različice povprečne značilnostišivati ​​ali povečati za številko A, potem ustreza aritmetična sredinase bo dejansko zmanjšal ali povečal za isto število A.

Nepremičnina 3. Če se zmanjšajo uteži vseh povprečenih možnosti ali povečati za Za krat, potem se aritmetična sredina ne bo spremenila.

Kot povprečne uteži lahko namesto absolutnih kazalcev uporabite posebne uteži v skupnem seštevku (deleže ali odstotke). To poenostavlja izračune povprečja.

Za poenostavitev izračunov povprečja sledijo poti zmanjševanja vrednosti možnosti in frekvenc. Največjo poenostavitev dosežemo, ko kot A vrednost ene od osrednjih možnosti, ki ima največjo frekvenco, je izbrana kot / - vrednost intervala (za serije z enakimi intervali). Količino A imenujemo referenčna točka, zato ta način izračuna povprečja imenujemo “metoda štetja od pogojne ničle” oz. "na način trenutkov."

Predpostavimo, da so vse možnosti X najprej zmanjšal za enako število A, nato pa zmanjšal za jaz enkrat. Dobimo novo variacijsko serijo porazdelitve novih opcij .

Potem nove možnosti bo izraženo:

,

in njihova nova aritmetična sredina , -trenutek prvega naročila-formula:

.

Je enako povprečju prvotnih možnosti, najprej zmanjšano za A, in nato noter jaz enkrat.

Za pridobitev realnega povprečja je potreben moment prvega reda m 1 , pomnožite s jaz in dodajte A:

.

Ta metoda se imenuje izračun aritmetične sredine iz variacijske serije "na način trenutkov." Ta metoda se uporablja v vrstah v enakih intervalih.

Izračun aritmetične sredine po metodi momentov ponazarjajo podatki v tabeli. 4.4.

Tabela 4.4

Porazdelitev malih podjetij v regiji po vrednosti osnovnih proizvodnih sredstev (OPS) v letu 2000.

Skupine podjetij po vrednosti OPF, tisoč rubljev.	Število podjetij f	Srednje točke intervalov x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Iskanje trenutka prvega naročila

.

Potem, če vzamemo A = 19 in to vemo jaz= 2, izračunaj X, tisoč rubljev:

Vrste povprečnih vrednosti in metode njihovega izračuna

Na odru statistične obdelave Zastavljajo se lahko različni raziskovalni problemi, za rešitev katerih je potrebno izbrati ustrezno povprečje. V tem primeru je treba upoštevati naslednje pravilo: količine, ki predstavljajo števec in imenovalec povprečja, morajo biti med seboj logično povezane.

• povprečja moči;
• strukturna povprečja.

Predstavimo naslednje konvencije:

Količine, za katere se izračuna povprečje;

Povprečje, kjer zgornji stolpec označuje, da poteka povprečenje posameznih vrednosti;

Frekvenca (ponovljivost posameznih značilnih vrednosti).

Različna povprečja so izpeljana iz splošne formule za povprečje moči:

(5.1)

ko je k = 1 - aritmetična sredina; k = -1 - harmonična sredina; k = 0 - geometrična sredina; k = -2 - povprečni kvadratni koren.

Povprečne vrednosti so lahko preproste ali tehtane. Ponderirana povprečja To so vrednosti, ki upoštevajo, da imajo lahko nekatere različice vrednosti atributov različne številke, zato je treba vsako možnost pomnožiti s tem številom. Z drugimi besedami, "lestvice" so števila agregatnih enot v različnih skupinah, tj. Vsaka možnost je "utežena" glede na svojo pogostost. Frekvenca f se imenuje statistična teža oz Povprečna teža.

Aritmetična sredina- najpogostejša vrsta povprečja. Uporablja se, ko se izračun izvaja na nezdruženih statističnih podatkih, kjer morate pridobiti povprečni izraz. Aritmetična sredina je povprečna vrednost lastnosti, pri kateri skupni obseg lastnosti v agregatu ostane nespremenjen.

Formula aritmetične sredine ( preprosto) ima obliko

kjer je n velikost populacije.

Na primer, povprečna plača zaposlenih v podjetju se izračuna kot aritmetično povprečje:

Odločilni kazalniki so plača vsakega zaposlenega in število zaposlenih v podjetju. Pri izračunu povprečja je skupni znesek plač ostal enak, a enakomerno porazdeljen med vse zaposlene. Na primer, morate izračunati povprečno plačo delavcev v majhnem podjetju, ki zaposluje 8 ljudi:

Pri izračunu povprečnih vrednosti se posamezne vrednosti lastnosti, ki se povprečuje, lahko ponavljajo, zato se povprečna vrednost izračuna s pomočjo združenih podatkov. V tem primeru govorimo o o uporabi aritmetično povprečje tehtano, ki ima obliko

(5.3)

Izračunati moramo torej povprečno ceno delnice delniške družbe pri borznem trgovanju. Znano je, da so bile transakcije izvedene v 5 dneh (5 transakcij), število prodanih delnic po prodajnem tečaju pa je bilo razporejeno takole:

1 - 800 ak. - 1010 rubljev.

2 - 650 ak. - 990 rubljev.

3 - 700 ak. - 1015 rubljev.

4 - 550 ak. - 900 rubljev.

5 - 850 ak. - 1150 rubljev.

Izhodiščno razmerje za določitev povprečne cene delnic je razmerje med skupnim zneskom poslov (TVA) in številom prodanih delnic (KPA).

5.1. Koncept povprečja

Povprečna vrednost - To je splošen kazalnik, ki označuje tipično stopnjo pojava. Izraža vrednost značilnosti na enoto populacije.

Povprečje vedno posplošuje kvantitativno variacijo lastnosti, tj. v povprečnih vrednostih so izločene individualne razlike med enotami v populaciji zaradi naključnih okoliščin. V nasprotju s povprečjem absolutna vrednost, ki označuje raven značilnosti posamezne enote populacije, ne omogoča primerjave vrednosti značilnosti med enotami, ki pripadajo različnim populacijam. Torej, če morate primerjati ravni plačil delavcev v dveh podjetjih, potem ne morete primerjati ta lastnost dva delavca iz različnih podjetij. Plačila delavcev, izbranih za primerjavo, morda niso značilna za ta podjetja. Če primerjamo obseg plačnih skladov v obravnavanih podjetjih, število zaposlenih ni upoštevano, zato ni mogoče ugotoviti, kje je višina plač višja. Navsezadnje je mogoče primerjati le povprečne kazalnike, tj. Koliko v povprečju zasluži en zaposleni v posameznem podjetju? Zato je treba izračunati povprečno vrednost kot posplošljivo značilnost populacije.

Izračun povprečja je ena od pogostih tehnik posploševanja; kazalnik povprečje zanika skupno (tipično) vsem enotam proučevane populacije, hkrati pa zanemarja razlike posameznih enot. V vsakem pojavu in njegovem razvoju je kombinacija naključja in nujnosti. Pri izračunu povprečij se zaradi delovanja zakona velikih števil naključnost izniči in uravnovesi, zato je možno abstrahirati od nepomembnih lastnosti pojava, od kvantitativnih vrednosti značilnosti v vsakem konkretnem primeru. . Zmožnost abstrahiranja od naključnosti posameznih vrednosti in nihanj je znanstvena vrednost povprečij kot splošnih značilnosti agregatov.

Da bi bilo povprečje resnično reprezentativno, mora biti izračunano ob upoštevanju določenih načel.

Poglejmo nekaj splošna načela uporaba povprečnih vrednosti.
1. Povprečje je treba določiti za populacije, sestavljene iz kvalitativno homogenih enot.
2. Povprečje je treba izračunati za populacijo, ki jo sestavlja dovolj veliko število enote.
3. Povprečje je treba izračunati za populacijo, katere enote so v normalnem, naravnem stanju.
4. Povprečje je treba izračunati ob upoštevanju ekonomske vsebine proučevanega kazalnika.

5.2. Vrste povprečij in metode za njihov izračun

Oglejmo si zdaj vrste povprečnih vrednosti, značilnosti njihovega izračuna in področja uporabe. Povprečne vrednosti so razdeljene v dva velika razreda: povprečja moči, strukturna povprečja.

TO povprečna moč Ti vključujejo najbolj znane in pogosto uporabljene vrste, kot so geometrična sredina, aritmetična sredina in kvadratna sredina.

Kot strukturna povprečja upoštevata se način in mediana.

Osredotočimo se na povprečja moči. Povprečja moči so glede na predstavitev izvornih podatkov lahko enostavna ali utežena. Preprosto povprečje Izračuna se na podlagi nezdruženih podatkov in ima naslednjo splošno obliko:

kjer je X i različica (vrednost) povprečne značilnosti;

n – možnost števila.

Povprečna teža se izračuna na podlagi združenih podatkov in ima splošen videz

,

kjer je X i varianta (vrednost) povprečne značilnosti ali srednja vrednost intervala, v katerem se meri varianta;
m – povprečni indeks stopnje;
f i – frekvenca, ki kaže, kolikokrat se pojavi i-e vrednost značilnost povprečenja.

Kot primer navedimo izračun povprečne starosti študentov v skupini 20 ljudi:

Povprečno starost izračunamo po preprosti povprečni formuli:

Združimo izvorne podatke. Dobimo naslednje distribucijske serije:

Kot rezultat združevanja dobimo nov kazalnik - frekvenca, ki kaže na število učencev, starih X let. Zato bo povprečna starost učencev v skupini izračunana po formuli tehtanega povprečja:

Splošne formule za izračun povprečij moči imajo eksponent (m). Glede na vrednost, ki jo sprejme, ločimo naslednje vrste povprečij moči:
harmonična sredina, če je m = -1;
geometrična sredina, če je m –> 0;
aritmetična sredina, če je m = 1;
povprečni kvadratni koren, če je m = 2;
povprečna kubična, če je m = 3.

Formule za povprečje moči so podane v tabeli. 4.4.

Če izračunate vse vrste povprečij za iste začetne podatke, se bodo njihove vrednosti izkazale za drugačne. Tukaj velja pravilo večine povprečij: z naraščanjem eksponenta m narašča tudi ustrezna povprečna vrednost:

V statistični praksi se aritmetične in harmonične utežene sredine uporabljajo pogosteje kot druge vrste uteženih povprečij.

Tabela 5.1

Vrste močnostnih sredstev

Vrsta moči povprečje	Kazalo stopnja (m)	Formula za izračun
		Enostavno	Tehtano
Harmonično	-1
Geometrijski	0
Aritmetika	1
Kvadratični	2
Kubični	3

Harmonična sredina ima več kompleksna zasnova kot aritmetična sredina. Harmonična sredina se uporablja za izračune, kadar se kot uteži ne uporabljajo enote populacije - nosilci značilnosti, temveč zmnožek teh enot z vrednostmi značilnosti (tj. m = Xf). K povprečnemu harmoničnemu preprostemu se je treba zateči v primerih določanja, na primer, povprečnih stroškov dela, časa, materialov na enoto proizvodnje, na en del za dve (tri, štiri itd.) Podjetji, delavci, ki se ukvarjajo s proizvodnjo iste vrste izdelka, istega dela, izdelka.

Glavna zahteva za formulo za izračun povprečne vrednosti je, da imajo vse stopnje izračuna resnično smiselno utemeljitev; nastala povprečna vrednost bi morala nadomestiti posamezne vrednosti atributa za vsak predmet, ne da bi prekinila povezavo med posameznimi in zbirnimi indikatorji. Z drugimi besedami, povprečna vrednost mora biti izračunana tako, da ko vsako posamezno vrednost povprečenega kazalnika nadomestimo z njegovo povprečno vrednostjo, ostane nek končni zbirni kazalnik, tako ali drugače povezan s povprečno vrednostjo, nespremenjen. Ta vsota se imenuje definiranje saj narava njegovega razmerja s posameznimi vrednostmi določa specifično formulo za izračun povprečne vrednosti. Dokažimo to pravilo na primeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

se najpogosteje uporablja pri izračunu povprečne vrednosti na podlagi posamezne relativne dinamike.

Geometrična sredina se uporablja, če je podano zaporedje verižne relativne dinamike, ki nakazuje na primer povečanje proizvodnje glede na raven prejšnjega leta: i 1, i 2, i 3,..., i n. Očitno je, da obseg proizvodnje v lansko leto je določena z njeno začetno ravnjo (q 0) in poznejšim povečanjem z leti:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Če vzamemo q n kot odločilni indikator in nadomestimo posamezne vrednosti kazalnikov dinamike s povprečnimi, pridemo do razmerja

Od tod

5.3. Strukturna povprečja

Za preučevanje se uporablja posebna vrsta povprečij - strukturna povprečja notranja struktura serije porazdelitve vrednosti atributa, kot tudi za oceno povprečne vrednosti (vrste moči), če njenega izračuna ni mogoče izvesti glede na razpoložljive statistične podatke (na primer, če v obravnavanem primeru ni bilo podatkov tako o obsegu kot proizvodnje in višine stroškov za skupine podjetij) .

Indikatorji se največkrat uporabljajo kot strukturna povprečja moda - največkrat ponovljena vrednost atributa – in mediane – vrednost značilnosti, ki deli urejeno zaporedje svojih vrednosti na dva enaka dela. Posledično pri polovici enot v populaciji vrednost atributa ne presega mediane, pri drugi polovici pa ni manjša od nje.

Če ima značilnost, ki se preučuje, diskretne vrednosti, potem ni posebnih težav pri izračunu načina in mediane. Če so podatki o vrednostih atributa X predstavljeni v obliki urejenih intervalov njegove spremembe (intervalne serije), postane izračun načina in mediane nekoliko bolj zapleten. Ker vrednost mediane razdeli celotno populacijo na dva enaka dela, se le-ta znajde v enem od intervalov karakteristike X. Z interpolacijo najdemo vrednost mediane v tem intervalu mediane:

,

kjer je X Me spodnja meja medianega intervala;
h Me – njegova vrednost;
(Vsota m)/2 – polovica skupnega števila opazovanj ali polovica obsega kazalnika, ki se uporablja kot utež v formulah za izračun povprečne vrednosti (v absolutnem ali relativnem smislu);
S Me-1 – vsota opazovanj (ali prostornina utežnega atributa), zbranih pred začetkom medianega intervala;
m Me – število opazovanj ali obseg utežne karakteristike v medianem intervalu (tudi v absolutnem ali relativnem smislu).

V našem primeru je mogoče dobiti celo tri mediane vrednosti - glede na število podjetij, obseg proizvodnje in skupne proizvodne stroške:

Tako v polovici podjetij stroški na enoto proizvodnje presegajo 125,19 tisoč rubljev, polovica celotnega obsega izdelkov se proizvede s stroški na izdelek več kot 124,79 tisoč rubljev. in 50% skupnih stroškov se oblikuje, če stroški enega izdelka presegajo 125,07 tisoč rubljev. Upoštevajte tudi, da obstaja določena težnja k povečanju stroškov, saj je Me 2 = 124,79 tisoč rubljev, povprečna raven pa je 123,15 tisoč rubljev.

Pri izračunu modalne vrednosti značilnosti na podlagi podatkov intervalne serije je treba paziti na dejstvo, da so intervali enaki, saj je od tega odvisen indikator ponovljivosti vrednosti značilnosti X. Za intervalna serija z enakimi intervali, se velikost modusa določi kot

kjer je X Mo spodnja vrednost modalnega intervala;
m Mo – število opazovanj ali obseg utežne karakteristike v modalnem intervalu (v absolutnem ali relativnem smislu);
m Mo -1 – enako za interval pred modalnim;
m Mo+1 – enako za interval, ki sledi modalnemu;
h – vrednost intervala spremembe značilnosti v skupinah.

Za naš primer lahko izračunamo tri modalne vrednosti na podlagi značilnosti števila podjetij, obsega izdelkov in zneska stroškov. V vseh treh primerih je modalni interval enak, saj je za isti interval največje število podjetij, obseg proizvodnje in skupni znesek proizvodnih stroškov:

Tako najpogosteje obstajajo podjetja s stopnjo stroškov 126,75 tisoč rubljev, najpogosteje se izdelki proizvajajo s stopnjo stroškov 126,69 tisoč rubljev, najpogosteje pa so proizvodni stroški razloženi s stopnjo stroškov 123,73 tisoč rubljev.

5.4. Indikatorji variacije

Specifični pogoji, v katerih se nahaja vsak od proučevanih predmetov, kot tudi značilnosti njihovega lastnega razvoja (socialni, ekonomski itd.) So izraženi z ustreznimi numeričnimi ravnmi statističnih kazalcev. torej variacija, tiste. neskladje med ravnmi istega kazalnika v različnih predmetih je objektivne narave in pomaga razumeti bistvo preučevanega pojava.

Obstaja več metod, ki se uporabljajo za merjenje variacije v statistiki.

Najenostavnejši je izračun indikatorja obseg variacije H kot razlika med največjo (X max) in najmanjšo (X min) opaženo vrednostjo značilnosti:

H=X max - X min.

Vendar obseg variacije kaže le ekstremne vrednosti lastnosti. Ponovljivost vmesnih vrednosti tukaj ni upoštevana.

Strožje značilnosti so indikatorji variabilnosti glede na povprečno raven lastnosti. Najenostavnejši indikator te vrste je povprečno linearno odstopanje L kot aritmetična sredina absolutnih odstopanj značilnosti od njene povprečne ravni:

Ko so posamezne vrednosti X ponovljive, uporabite formulo tehtanega aritmetičnega povprečja:

(Zapomni si to algebraična vsota odstopanja od povprečne ravni nič.)

Kazalnik povprečnega linearnega odstopanja se v praksi pogosto uporablja. Z njegovo pomočjo se na primer analizira sestava delavcev, ritem proizvodnje, enakomernost dobave materialov, razvijajo se sistemi materialnih spodbud. Toda na žalost ta kazalnik otežuje verjetnostne izračune in otežuje uporabo metod matematične statistike. Zato v statističnem znanstvena raziskava indikator, ki se najpogosteje uporablja za merjenje variacije, je odstopanja.

Varianca karakteristike (s 2) je določena na podlagi kvadratne potenčne sredine:

.

Indikator s je enak se imenuje povprečje kvadratno odstopanje.

Indikator disperzije je v splošni teoriji statistike ocena istoimenskega indikatorja teorije verjetnosti in (kot vsota kvadratov odklonov) ocena disperzije v matematični statistiki, kar omogoča uporabo določb teh teoretične discipline za analizo družbenoekonomskih procesov.

Če je variacija ocenjena iz majhnega števila opazovanj, vzetih iz neomejene populacije, potem je povprečna vrednost značilnosti določena z določeno napako. Izračunana vrednost disperzije se izkaže za pomaknjeno proti zmanjšanju. Za pridobitev nepristranske ocene je treba vzorčno varianco, dobljeno s predhodno podanimi formulami, pomnožiti z vrednostjo n / (n - 1). Posledično z majhnim številom opazovanj (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Običajno že pri n > (15÷20) odstopanje med pristransko in nepristransko oceno postane nepomembno. Iz istega razloga se pristranskost običajno ne upošteva v formuli za dodajanje odstopanj.

Če vzamemo več vzorcev iz generalne populacije in vsakič določimo povprečno vrednost lastnosti, nastane problem ocene variabilnosti povprečij. Ocenite varianco Povprečna vrednost možno je na podlagi samo enega vzorčnega opazovanja z uporabo formule

,

kjer je n velikost vzorca; s 2 – varianca karakteristike, izračunana iz vzorčnih podatkov.

Magnituda je poklican povprečna napaka vzorčenja in je značilnost odstopanja vzorčne povprečne vrednosti atributa X od njegove prave povprečne vrednosti. Kazalnik povprečne napake se uporablja za oceno zanesljivosti rezultatov vzorčnega opazovanja.

Indikatorji relativne disperzije. Za karakterizacijo mere variabilnosti preučevane lastnosti se kazalniki variabilnosti izračunajo v relativnih vrednostih. Omogočajo primerjavo narave disperzije v različnih distribucijah (različne enote opazovanja iste značilnosti v dveh populacijah, z različne pomene povprečja, ko primerjamo različne populacije). Izračun kazalnikov relativne mere disperzije se izvede kot razmerje absolutni indikator disperzija na aritmetično sredino, pomnoženo s 100 %.

1. Koeficient nihanja odraža relativno nihanje skrajnih vrednosti značilnosti okoli povprečja

.

2. Relativna linearna zaustavitev označuje delež povprečne vrednosti znaka absolutnih odstopanj od povprečne vrednosti

.

3. Koeficient variacije:

je najpogostejša mera variabilnosti, ki se uporablja za oceno tipičnosti povprečnih vrednosti.

V statistiki se populacije s koeficientom variacije, večjim od 30–35 %, obravnavajo kot heterogene.

Ta metoda ocenjevanja variacije ima tudi pomembno pomanjkljivost. Recimo, recimo, da se prvotna populacija delavcev s povprečnimi izkušnjami 15 let, s standardnim odklonom s = 10 let, »postara« še za 15 let. Zdaj = 30 let, standardni odklon pa je še vedno 10. Prej heterogena populacija (10/15 × 100 = 66,7 %), kar se je sčasoma izkazalo za precej homogeno (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Teoretični študij statistike: sob. Znanstveno Trudov – M.: Statistika, 1974. strani 19–57.

Prejšnja