Da lahko skozi poljubne tri točke prostora narišemo eno ravnino, je potrebno, da te točke ne ležijo na isti premici.

Upoštevajte točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v splošnem kartezičnem koordinatnem sistemu.

Da bi poljubna točka M(x, y, z) ležala v isti ravnini s točkami M 1, M 2, M 3, je potrebno, da sta vektorja komplanarna.

Opredelitev 2.1.

Dve premici v prostoru se imenujeta vzporedni, če ležita v isti ravnini in nimata skupne točke.

Če sta premici a in b vzporedni, potem kot v planimetriji zapišimo || b. V prostoru lahko črte postavimo tako, da se ne sekajo ali so vzporedne. Ta primer je poseben za stereometrijo.

Opredelitev 2.2.

Premice, ki nimajo skupnih točk in niso vzporedne, imenujemo sekajoče se.

Izrek 2.1.

Skozi točko zunaj dane premice lahko narišemo premico, ki je vzporedna z dano, in to samo eno.

Znak vzporednih črt

Dve premici v prostoru se imenujeta vzporedni, če ležita v isti ravnini in se ne sekata. Skozi točko zunaj dane premice lahko narišete premico, vzporedno s to premico, in to samo eno. Ta izjava se zmanjša na aksiom vzporednic v ravnini. Izrek. Dve premici, vzporedni s tretjo premico, sta vzporedni. Naj bosta premici b in c vzporedni s premico a. Dokažimo, da je b || z. Primer, ko premice a, b in ležijo na isti ravnini, obravnavamo v planimetriji in ga izpuščamo. Predpostavimo, da a, b in c ne ležijo v isti ravnini. Ker pa se dve vzporedni premici nahajata v isti ravnini, lahko predpostavimo, da sta a in b v ravnini, a b in c pa v ravnini (slika 61). Na premici c označimo točko (poljubno) M in skozi premico b in točko M narišemo ravnino . Ona, , seka v ravni liniji l. Premica l ne seka ravnine, saj če bi se l sekala, mora točka njunega presečišča ležati na a (a in l sta v isti ravnini) in na b (b in l sta v isti ravnini). Tako mora eno presečišče l in ležati na premici a in b, kar je nemogoče: a || b. Zato je || , l || a, l || b. Ker a in l ležita v isti ravnini, potem l sovpada s premico c (po aksiomu vzporednosti) in torej z || b. Izrek je dokazan.

25.Znak vzporednosti med premico in ravnino

Izrek

Če je premica, ki ne pripada ravnini, vzporedna z neko premico v tej ravnini, potem je vzporedna s samo ravnino.

Dokaz

Naj bo α ravnina, a premica, ki ne leži na njej, a1 pa premica v ravnini α, ki je vzporedna s premico a. Skozi premici a in a1 narišimo ravnino α1. Ravnini α in α1 se sekata vzdolž premice a1. Če bi premica sekala ravnino α, bi presečišče pripadalo premici a1. Toda to je nemogoče, saj sta premici a in a1 vzporedni. Posledično premica a ne seka ravnine α in je torej vzporedna z ravnino α. Izrek je dokazan.

27.Obstoj ravnine, ki je vzporedna z dano ravnino

Izrek

Skozi točko zunaj dane ravnine je mogoče narisati ravnino, ki je vzporedna z dano, in samo eno.

Dokaz

V to ravnino α narišimo poljubni dve sekajoči se premici a in b. Skozi to točko Narišimo premici a1 in b1 vzporedno z njima. Ravnina β, ki poteka skozi premici a1 in b1, je po izreku o vzporednosti ravnin vzporedna z ravnino α.

Recimo, da gre skozi točko A tudi druga ravnina β1 vzporedno z ravninoα. Označimo točko C na ravnini β1, ki ne leži v ravnini β. Narišimo ravnino γ skozi točke A, C in neko točko B ravnine α. Ta ravnina bo sekala ravnine α, β in β1 vzdolž ravnin b, a in c. Premici a in c ne sekata premice b, saj ne sekata ravnine α. Zato sta vzporedni s premico b. Toda v ravnini γ lahko skozi točko A poteka le ena premica, vzporedna s premico b. kar je v nasprotju s predpostavko. Izrek je dokazan.

28.Lastnosti vzporednih ravnin th

29.

Pravokotne črte v prostoru. Dve ravni črti v prostoru se imenujeta pravokotni, če je kot med njima 90 stopinj. c. m. k. k. m. c. k. Presekanje. Križanje.

1. izrek ZNAK PRAVOKOTNOSTI PREMICE IN RAVNINE. Če je premica, ki seka ravnino, pravokotna na dve premici v tej ravnini, ki potekata skozi presečišče te premice in ravnine, potem je pravokotna na ravnino.

Dokaz: Naj bo premica a pravokotna na premici b in c v ravnini. Nato gre premica a skozi točko A presečišča premic b in c. Dokažimo, da je premica a pravokotna na ravnino. Skozi točko A v ravnini narišimo poljubno premico x in pokažimo, da je pravokotna na premico a. V ravnino narišimo poljubno premico, ki ne poteka skozi točko A in seka premice b, c in x. Naj bodo presečišča B, C in X. Na črto a iz točke A v različnih smereh narišemo enaka odseka AA 1 in AA 2. Trikotnik A 1 CA 2 je enakokrak, saj je odsek AC višina po izreku in mediana po konstrukciji (AA 1 = AA 2).Iz istega razloga je enakokrak tudi trikotnik A 1 BA 2. Zato sta trikotnika A 1 BC in A 2 BC enaka na treh stranicah. Iz enakosti trikotnikov A 1 BC in A 2 BC sledi, da sta kota A 1 BC in A 2 BC enaka, zato sta trikotnika A 1 BC in A 2 BC enaka po stranicah in kotu med njima. . Iz enakosti stranic A 1 X in A 2 X teh trikotnikov sklepamo, da je trikotnik A 1 XA 2 enakokrak. Zato je njegova mediana XA tudi njegova višina. In to pomeni, da je premica x pravokotna na a. Po definiciji je premica pravokotna na ravnino. Izrek je dokazan.

2. izrek 1. LASTNOST PRAVOKITNE PREMICE IN RAVNINE. Če je ravnina pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo.
Dokaz: Naj sta a 1 in a 2 - 2 vzporedni premici in ravnina, pravokotna na premico a 1. Dokažimo, da je ta ravnina pravokotna na premico a 2. Skozi točko A 2 presečišča premice a 2 z ravnino narišimo poljubno premico x 2 v ravnini. V ravnini skozi točko A 1 narišimo presečišče premice a 1 s premico x 1, ki je vzporedna s premico x 2. Ker je premica a 1 pravokotna na ravnino, sta premici a 1 in x 1 pravokotni. In po izreku 1 sta seki, ki sta jima vzporedni, a 2 in x 2, prav tako pravokotni. Tako je premica a 2 pravokotna na poljubno premico x 2 v ravnini. In to (po definiciji) pomeni, da je premica a 2 pravokotna na ravnino. Izrek je dokazan. Glej tudi podporno nalogo št. 2.
Izrek 3 2. LASTNOST PRAVIČNIH PREMIC IN RAVNIN. Dve premici, pravokotni na isto ravnino, sta vzporedni.
Dokaz: Naj sta a in b 2 premici, pravokotni na ravnino. Predpostavimo, da premici a in b nista vzporedni. Izberimo točko C na premici b, ki ne leži v ravnini. Skozi točko C narišimo premico b 1, vzporedno s premico a. Premica b 1 je pravokotna na ravnino po izreku 2. Naj bosta B in B 1 presečišče premic b in b 1 z ravnino. Tedaj je premica BB 1 pravokotna na sečišče b in b 1. In to je nemogoče. Prišli smo do protislovja. Izrek je dokazan.

33.Pravokotno, spuščen iz dane točke na dani ravnini, je odsek, ki povezuje dano točko s točko na ravnini in leži na ravni črti, pravokotni na ravnino. Konec tega segmenta, ki leži v ravnini, se imenuje osnova navpičnice.
Nagnjen narisan iz dane točke na dano ravnino je vsak odsek, ki povezuje dano točko s točko na ravnini, ki ni pravokotna na ravnino. Konec segmenta, ki leži v ravnini, se imenuje nagnjena podlaga. Odsek, ki povezuje osnove pravokotnice z nagnjeno navpičnico, narisano iz iste točke, se imenuje poševna projekcija.

AB je pravokotna na ravnino α.
AC – poševno, CB – projekcija.

Izjava izreka

Če je premica, narisana na ravnini skozi vznožje nagnjene črte, pravokotna na njeno projekcijo, potem je pravokotna na nagnjeno.

Dokaz

Pustiti AB- pravokotno na ravnino α, A.C.- nagnjen in c- premica v ravnini α, ki poteka skozi točko C in pravokotno na projekcijo B.C.. Naredimo direktno CK vzporedno s premico AB. Naravnost CK je pravokotna na ravnino α (ker je vzporedna AB), in zato vsaka premica te ravnine, torej, CK pravokotno na ravno črto c. Narišimo skozi vzporedne črte AB in CK ravnina β (vzporedne premice določajo ravnino in to samo eno). Naravnost c pravokotno na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini β, je to B.C. glede na stanje in CK konstrukcijsko pomeni, da je pravokotna na katero koli premico, ki pripada tej ravnini, kar pomeni, da je pravokotna na premico A.C..

Lahko nastavite različne poti(ena točka in vektor, dve točki in vektor, tri točke itd.). S tem v mislih ima lahko enačba ravnine različne vrste. Poleg tega so ravnine pod določenimi pogoji lahko vzporedne, pravokotne, sekajoče se itd. O tem bomo govorili v tem članku. Naučili se bomo sestaviti splošno enačbo ravnine in še več.

Normalna oblika enačbe

Recimo, da obstaja prostor R 3 s pravokotno koordinato sistem XYZ. Določimo vektor α, ki se bo sprostil iz začetne točke O. Skozi konec vektorja α narišemo ravnino P, ki bo pravokotna nanj.

Označimo poljubno točko na P kot Q = (x, y, z). Radius vektor točke Q označimo s črko p. V tem primeru je dolžina vektorja α enaka р=IαI in Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

To je enotski vektor, ki je usmerjen vstran, kot vektor α. α, β in γ so koti, ki se tvorijo med vektorjem Ʋ in pozitivnimi smermi prostorskih osi x, y, z. Projekcija poljubne točke QϵП na vektor Ʋ je konstantna vrednost, ki je enaka p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Zgornja enačba je smiselna, ko je p=0. Edina stvar je, da bo ravnina P v tem primeru sekala točko O (α=0), ki je izhodišče koordinat, enotski vektor Ʋ, sproščen iz točke O, pa bo pravokoten na P, kljub svoji smeri, kar pomeni, da je vektor Ʋ določen s predznakom natančno. Prejšnja enačba je enačba naše ravnine P, izražena v vektorski obliki. Toda v koordinatah bo videti takole:

P je tu večji ali enak 0. Našli smo enačbo ravnine v prostoru v normalni obliki.

Splošna enačba

Če enačbo v koordinatah pomnožimo s poljubnim številom, ki ni enako nič, dobimo tej enakovredno enačbo, ki določa prav to ravnino. Videti bo takole:

Tu so A, B, C števila, ki so hkrati različna od nič. Ta enačba se imenuje splošna enačba ravnine.

Enačbe ravnin. Posebni primeri

Enačba v splošni pogled se lahko spremeni glede na dodatne pogoje. Poglejmo jih nekaj.

Predpostavimo, da je koeficient A enak 0. To pomeni, da je ta ravnina vzporedna z dano osjo Ox. V tem primeru se bo oblika enačbe spremenila: Ву+Cz+D=0.

Podobno se bo oblika enačbe spremenila pod naslednjimi pogoji:

• Prvič, če je B = 0, se bo enačba spremenila v Ax + Cz + D = 0, kar bo pokazalo vzporednost z osjo Oy.
• Drugič, če je C=0, bo enačba preoblikovana v Ax+By+D=0, kar bo pokazalo vzporednost z dano osjo Oz.
• Tretjič, če je D=0, bo enačba videti kot Ax+By+Cz=0, kar bo pomenilo, da ravnina seka O (izhodišče).
• Četrtič, če je A=B=0, se bo enačba spremenila v Cz+D=0, kar bo vzporedno z Oxy.
• Petič, če je B=C=0, postane enačba Ax+D=0, kar pomeni, da je ravnina na Oyz vzporedna.
• Šestič, če je A=C=0, bo enačba imela obliko Ву+D=0, kar pomeni, da bo poročala o vzporednosti z Oxz.

Vrsta enačbe v segmentih

V primeru, da so števila A, B, C, D različna od nič, je oblika enačbe (0) lahko naslednja:

x/a + y/b + z/c = 1,

kjer je a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Kot rezultat dobimo Omeniti velja, da bo ta ravnina sekala os Ox v točki s koordinatami (a,0,0), Oy - (0,b,0) in Oz - (0,0,c ).

Ob upoštevanju enačbe x/a + y/b + z/c = 1 si ni težko vizualno predstavljati postavitve letala glede na dani koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Normalni vektor n na ravnino P ima koordinate, ki so koeficienti splošna enačba dane ravnine, to je n (A, B, C).

Za določitev koordinat normale n zadostuje poznavanje splošne enačbe dane ravnine.

Pri uporabi enačbe v segmentih, ki ima obliko x/a + y/b + z/c = 1, kot tudi pri uporabi splošne enačbe, lahko zapišete koordinate katerega koli normalnega vektorja dane ravnine: (1 /a + 1/b + 1/ Z).

Omeniti velja, da normalni vektor pomaga pri reševanju različnih problemov. Najpogostejši so problemi, ki vključujejo dokazovanje pravokotnosti ali vzporednosti ravnin, problemi iskanja kotov med ravninami ali kotov med ravninami in premicami.

Vrsta enačbe ravnine glede na koordinate točke in normalnega vektorja

Neničelni vektor n, pravokoten na dano ravnino, imenujemo normala za dano ravnino.

Predpostavimo, da so v koordinatnem prostoru (pravokotni koordinatni sistem) podani Oxyz:

• točka Mₒ s koordinatami (xₒ,yₒ,zₒ);
• ničelni vektor n=A*i+B*j+C*k.

Treba je sestaviti enačbo za ravnino, ki bo potekala skozi točko Mₒ pravokotno na normalo n.

Izberemo poljubno točko v prostoru in jo označimo z M (x y, z). Naj bo radij vektor poljubne točke M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k in radij vektor točke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Točka M bo pripadala dani ravnini, če je vektor MₒM pravokoten na vektor n. Zapišimo pogoj ortogonalnosti s skalarnim produktom:

[MₒM, n] = 0.

Ker je MₒM = r-rₒ, bo vektorska enačba ravnine videti takole:

Ta enačba ima lahko tudi drugo obliko. Za to se uporabijo lastnosti skalarnega produkta in leva stran enačbe se transformira. = - . Če ga označimo s c, dobimo naslednjo enačbo: - c = 0 ali = c, ki izraža konstantnost projekcij na normalni vektor radijskih vektorjev danih točk, ki pripadajo ravnini.

Zdaj lahko dobimo koordinatno obliko zapisa vektorske enačbe naše ravnine = 0. Ker je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k in n = A*i+B *j+С*k, imamo:

Izkazalo se je, da imamo enačbo za ravnino, ki poteka skozi točko, pravokotno na normalo n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vrsta enačbe ravnine glede na koordinate dveh točk in vektorja, kolinearnega na ravnino

Določimo dve poljubni točki M′ (x′,y′,z′) in M″ (x″,y″,z″) ter vektor a (a′,a″,a‴).

Zdaj lahko ustvarimo enačbo za dano ravnino, ki bo potekala skozi obstoječi točki M′ in M″, kot tudi katero koli točko M s koordinatami (x, y, z), vzporednimi z danim vektorjem a.

V tem primeru morata biti vektorja M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) in M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) komplanarna z vektorjem a=(a′,a″,a‴), kar pomeni, da je (M′M, M″M, a)=0.

Torej bo naša enačba ravnine v prostoru videti takole:

Vrsta enačbe ravnine, ki seka tri točke

Recimo, da imamo tri točke: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ki ne pripadajo isti premici. Napisati je treba enačbo ravnine, ki poteka skozi dane tri točke. Teorija geometrije trdi, da tovrstna ravnina res obstaja, vendar je edina in edinstvena. Ker ta ravnina seka točko (x′,y′,z′), bo oblika njene enačbe naslednja:

Tukaj so A, B, C hkrati različni od nič. Poleg tega dana ravnina seka še dve točki: (x″,y″,z″) in (x‴,y‴,z‴). V zvezi s tem morajo biti izpolnjeni naslednji pogoji:

Zdaj lahko sestavljamo homogeni sistem z neznanimi u, v, w:

V našem primer x,y ali z deluje kot poljubna točka, ki ustreza enačbi (1). Glede na enačbo (1) ter sistem enačb (2) in (3) sistem enačb, prikazan na zgornji sliki, izpolnjuje vektor N (A, B, C), ki ni trivialen. Zato je determinanta tega sistema enaka nič.

Enačba (1), ki smo jo dobili, je enačba ravnine. Gre natančno skozi 3 točke in to je enostavno preveriti. Da bi to naredili, moramo našo determinanto razširiti na elemente v prvi vrstici. Iz obstoječih lastnosti determinante sledi, da naša ravnina hkrati seka tri prvotno dane točke (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To pomeni, da smo rešili nalogo, ki nam je bila dodeljena.

Diedrski kot med ravninama

Diedrski kot je prostorski geometrijski lik, ki ga tvorita dve polravnini, ki izhajata iz ene premice. Z drugimi besedami, to je del prostora, ki je omejen s temi polravninami.

Recimo, da imamo dve ravnini z naslednjima enačbama:

Vemo, da sta vektorja N=(A,B,C) in N¹=(A¹,B¹,C¹) pravokotna glede na danih letal. V zvezi s tem je kot φ med vektorjema N in N¹ enak kotu (diedru), ki se nahaja med tema ravninama. Pikčasti produkt ima obliko:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

prav zato, ker

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovolj je upoštevati, da je 0≤φ≤π.

Pravzaprav dve ravnini, ki se sekata, tvorita dva kota (diedra): φ 1 in φ 2. Njuna vsota je enaka π (φ 1 + φ 2 = π). Kar zadeva njihove kosinuse, so njihove absolutne vrednosti enake, vendar se razlikujejo po znaku, to je cos φ 1 = -cos φ 2. Če v enačbi (0) nadomestimo A, B in C s števili -A, -B oziroma -C, potem enačba, ki jo dobimo, določa isto ravnino, edino, kot φ v enačbi cos φ= NN 1 /| N||N 1 | bo nadomeščen s π-φ.

Enačba pravokotne ravnine

Ravnine, med katerimi je kot 90 stopinj, imenujemo pravokotne. Z uporabo zgoraj predstavljenega materiala lahko najdemo enačbo ravnine, ki je pravokotna na drugo. Recimo, da imamo dve ravnini: Ax+By+Cz+D=0 in A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Lahko rečemo, da bodo pravokotni, če je cosφ=0. To pomeni, da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Enačba vzporedne ravnine

Dve ravnini, ki nimata skupnih točk, imenujemo vzporedni.

Pogoj (njuni enačbi sta enaki kot v prejšnjem odstavku) je, da sta vektorja N in N¹, ki sta nanju pravokotni, kolinearna. To pomeni, da so izpolnjeni naslednji pogoji sorazmernosti:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Če so pogoji sorazmernosti razširjeni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to pomeni, da ti ravnini sovpadata. To pomeni, da enačbi Ax+By+Cz+D=0 in A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisujeta eno ravnino.

Razdalja do ravnine od točke

Recimo, da imamo ravnino P, ki je podana z enačbo (0). Treba je najti razdaljo do nje od točke s koordinatami (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Če želite to narediti, morate enačbo ravnine P prenesti v normalno obliko:

(ρ,v)=р (р≥0).

V tem primeru je ρ (x,y,z) polmerni vektor naše točke Q, ki se nahaja na P, p je dolžina navpičnice P, ki je bila spuščena iz ničelne točke, v je enotski vektor, ki se nahaja v smer a.

Razlika ρ-ρº vektor radij neke točke Q = (x, y, z), ki pripada P, kot tudi radij vektor dane točke Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) je tak vektor, absolutna vrednost katere projekcije na v je enaka razdalji d, ki jo je treba najti od Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, vendar

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Tako se izkaže

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Torej bomo našli absolutna vrednost nastali izraz, to je želeni d.

Z uporabo jezika parametrov dobimo očitno:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

če nastavljena točka Q 0 je na drugi strani ravnine P, kot izhodišče koordinat, potem se med vektorjem ρ-ρ 0 in v torej nahaja:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

V primeru, da se točka Q 0 skupaj z izhodiščem koordinat nahaja na isti strani od P, je ustvarjeni kot oster, to je:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Posledično se izkaže, da v prvem primeru (ρ 0 ,v)>р, v drugem (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravnina in njena enačba

Tangentna ravnina na površino v točki stika Mº je ravnina, ki vsebuje vse možne tangente na krivulje, narisane skozi to točko na površini.

S to vrsto površinske enačbe F(x,y,z)=0 bo enačba tangentne ravnine v tangentni točki Mº(xº,yº,zº) videti takole:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Če podate površino v eksplicitni obliki z=f (x,y), bo tangentna ravnina opisana z enačbo:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Presek dveh ravnin

V koordinatnem sistemu (pravokotni) se nahaja Oxyz, podani sta dve ravnini П′ in П″, ki se sekata in ne sovpadata. Ker je katera koli ravnina v pravokotnem koordinatnem sistemu določena s splošno enačbo, predpostavimo, da sta P′ in P″ podani z enačbama A′x+B′y+C′z+D′=0 in A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tem primeru imamo normalo n′ (A′,B′,C′) ravnine P′ in normalo n″ (A″,B″,C″) ravnine P″. Ker naši ravnini nista vzporedni in ne sovpadata, ti vektorji niso kolinearni. Z jezikom matematike lahko ta pogoj zapišemo takole: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Naj bo premica, ki leži na presečišču P′ in P″, označena s črko a, v tem primeru a = P′ ∩ P″.

a je premica, sestavljena iz množice vseh točk (skupnih) ravnin P′ in P″. To pomeni, da morajo koordinate katere koli točke, ki pripada premici a, hkrati izpolnjevati enačbi A′x+B′y+C′z+D′=0 in A″x+B″y+C″z+D″=0 . To pomeni, da bodo koordinate točke delna rešitev naslednjega sistema enačb:

Posledično se izkaže, da bo (splošna) rešitev tega sistema enačb določila koordinate vsake točke premice, ki bo delovala kot presečišče P′ in P″, ter določila ravno črto a v Oxyz (pravokotni) koordinatni sistem v prostoru.

V tem gradivu si bomo ogledali, kako najti enačbo ravnine, če poznamo koordinate treh različnih točk, ki ne ležijo na isti ravnini. Za to se moramo spomniti, kaj je pravokotni koordinatni sistem v tridimenzionalnem prostoru. Za začetek bomo predstavili osnovni princip te enačbe in natančno pokazali, kako jo uporabiti za reševanje specifičnih problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprej se moramo spomniti enega aksioma, ki zveni takole:

Definicija 1

Če tri točke ne sovpadajo med seboj in ne ležijo na isti premici, potem v tridimenzionalnem prostoru skozi njih poteka samo ena ravnina.

Z drugimi besedami, če imamo tri različne točke, katerih koordinate ne sovpadajo in jih ni mogoče povezati z ravno črto, potem lahko določimo ravnino, ki poteka skozi to.

Recimo, da imamo pravokotni koordinatni sistem. Označimo ga z O x y z. Vsebuje tri točke M s koordinatami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), ki jih ni mogoče povezati. ravna črta. Na podlagi teh pogojev lahko zapišemo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo. Obstajata dva pristopa k reševanju tega problema.

1. Prvi pristop uporablja splošno enačbo ravnine. V obliki črk je zapisano kot A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Z njegovo pomočjo lahko v pravokotnem koordinatnem sistemu določimo določeno alfa ravnino, ki poteka skozi prvo dano točko M 1 (x 1, y 1, z 1). Izkazalo se je, da bo normalni vektor ravnine α imel koordinate A, B, C.

Opredelitev N

Če poznamo koordinate normalnega vektorja in koordinate točke, skozi katero poteka ravnina, lahko zapišemo splošno enačbo te ravnine.

Iz tega bomo izhajali tudi v prihodnje.

Tako imamo glede na pogoje problema koordinate želene točke (tudi treh), skozi katero poteka ravnina. Če želite najti enačbo, morate izračunati koordinate njenega normalnega vektorja. Označimo ga z n → .

Spomnimo se pravila: vsak neničelni vektor dane ravnine je pravokoten na normalni vektor iste ravnine. Potem imamo, da bo n → pravokoten na vektorje, sestavljene iz prvotnih točk M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 → . Potem lahko n → označimo kot vektorski produkt oblike M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Ker je M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) in M ​​1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi teh enakosti so podani v članku, posvečenem izračunu koordinat vektorja iz koordinat točk), potem se izkaže, da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Če izračunamo determinanto, dobimo koordinate normalnega vektorja n → potrebujemo. Zdaj lahko zapišemo enačbo, ki jo potrebujemo za ravnino, ki poteka skozi tri dane točke.

2. Drugi pristop k iskanju enačbe, ki poteka skozi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), temelji na konceptu koplanarnosti vektorjev.

Če imamo množico točk M (x, y, z), potem v pravokotnem koordinatnem sistemu določajo ravnino za dane točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo v primeru, ko so vektorji M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) in M ​​1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) bosta komplanarna .

V diagramu bo videti takole:

To bo pomenilo, da bo mešani produkt vektorjev M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → enak nič: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , ker je to glavni pogoj komplanarnosti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) , z 2 - z 1 ) in M ​​1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapišimo dobljeno enačbo v koordinatni obliki:

Ko izračunamo determinanto, lahko dobimo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo za tri točke, ki ne ležijo na isti premici M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3) .

Iz dobljene enačbe lahko preidete na enačbo ravnine v segmentih ali na normalno enačbo ravnine, če to zahtevajo pogoji problema.

V naslednjem odstavku bomo navedli primere, kako se pristopi, ki smo jih navedli, izvajajo v praksi.

Primeri nalog za sestavljanje enačbe ravnine, ki poteka skozi 3 točke

Prej smo identificirali dva pristopa, ki ju je mogoče uporabiti za iskanje želene enačbe. Oglejmo si, kako se uporabljajo za reševanje problemov in kdaj morate izbrati katerega od njih.

Primer 1

Obstajajo tri točke, ki ne ležijo na isti premici, s koordinatami M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi njih.

rešitev

Oba načina uporabljamo izmenično.

1. Poiščite koordinate dveh vektorjev, ki jih potrebujemo M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Zdaj pa izračunajmo njihov vektorski produkt. Izračunov determinante ne bomo opisovali:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo normalni vektor ravnine, ki poteka skozi tri zahtevane točke: n → = (- 5, 30, 2) . Nato moramo vzeti eno od točk, na primer M 1 (- 3, 2, - 1), in zapisati enačbo za ravnino z vektorjem n → = (- 5, 30, 2). Dobimo, da je: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

To je enačba, ki jo potrebujemo za ravnino, ki poteka skozi tri točke.

2. Izberimo drugačen pristop. Zapišimo enačbo za ravnino s tremi točkami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v naslednji obrazec:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tukaj lahko nadomestite podatke iz izjave o problemu. Ker je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kot rezultat dobimo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo enačbo, ki smo jo potrebovali.

odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Kaj pa, če dane točke še vedno ležijo na isti premici in moramo zanje sestaviti enačbo ravnine? Tukaj je treba takoj povedati, da ta pogoj ne bo povsem pravilen. Skozi takšne točke lahko poteka neskončno število ravnin, zato je nemogoče izračunati enoten odgovor. Razmislimo o takem problemu, da dokažemo nepravilnost takšne formulacije vprašanja.

Primer 2

V tridimenzionalnem prostoru imamo pravokotni koordinatni sistem, v katerem so postavljene tri točke s koordinatami M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1) . Treba je napisati enačbo za ravnino, ki poteka skozi njo.

rešitev

Uporabimo prvo metodo in začnimo z izračunom koordinat dveh vektorjev M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Navzkrižni produkt bo enak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Ker je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, bodo naši vektorji kolinearni (ponovno preberite članek o njih, če ste pozabili definicijo tega pojma). Tako so začetne točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na isti premici in naš problem ima neskončno veliko možnosti odgovora.

Če uporabimo drugo metodo, dobimo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz dobljene enakosti tudi sledi, da so dane točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na isti premici.

Če želite najti vsaj en odgovor na to težavo med neskončnim številom njenih možnosti, potem morate slediti tem korakom:

1. Zapišite enačbo premice M 1 M 2, M 1 M 3 ali M 2 M 3 (če je potrebno, si oglejte gradivo o tem dejanju).

2. Vzemimo točko M 4 (x 4, y 4, z 4), ki ne leži na premici M 1 M 2.

3. Zapišite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri različne točke M 1, M 2 in M ​​4, ki ne ležijo na isti premici.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Prva stopnja

Koordinate in vektorji. Obsežen vodnik (2019)

V tem članku bomo začeli razpravljati o eni "čarobni paličici", ki vam bo omogočila zmanjšanje številnih geometrijskih problemov na preprosto aritmetiko. Ta "palica" vam lahko zelo olajša življenje, še posebej, če ste negotovi pri konstruiranju prostorskih likov, odsekov itd. Vse to zahteva določeno domišljijo in praktične spretnosti. Metoda, ki jo bomo tukaj začeli obravnavati, vam bo omogočila, da se skoraj popolnoma abstrahirate od vseh vrst geometrijskih konstrukcij in sklepanja. Metoda se imenuje "koordinatna metoda". V tem članku bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke in vektorji na ravnini
3. Konstruiranje vektorja iz dveh točk
4. Dolžina vektorja (razdalja med dvema točkama).
5. Koordinate sredine segmenta
6. Točkovni produkt vektorjev
7. Kot med dvema vektorjema

Mislim, da ste že uganili, zakaj se koordinatna metoda tako imenuje? Tako je, ime je dobil, ker ne deluje z geometrijskimi objekti, ampak z njihovimi numeričnimi značilnostmi (koordinatami). In sama transformacija, ki nam omogoča prehod iz geometrije v algebro, je sestavljena iz uvedbe koordinatnega sistema. Če je bila prvotna figura ravna, potem so koordinate dvodimenzionalne, če pa je figura tridimenzionalna, potem so koordinate tridimenzionalne. V tem članku bomo obravnavali le dvodimenzionalni primer. In glavni cilj članka je naučiti se uporabljati nekaj osnovnih tehnik koordinatne metode (včasih se izkažejo za uporabne pri reševanju nalog o planimetriji v delu B Enotnega državnega izpita). Naslednja dva razdelka na to temo sta posvečena razpravi o metodah za reševanje problemov C2 (problem stereometrije).

Kje bi bilo logično začeti razpravo o koordinatni metodi? Verjetno iz koncepta koordinatnega sistema. Spomnite se, kdaj ste jo prvič srečali. Zdi se mi, da v 7. razredu, ko ste se učili o obstoju linearne funkcije npr. Naj vas spomnim, da ste to gradili po točkah. Ali se spomniš? Izbrali ste poljubno število, ga nadomestili v formulo in tako izračunali. Na primer če, ​​potem, če, potem itd. Kaj ste na koncu dobili? In prejeli ste točke s koordinatami: in. Nato ste narisali »križ« (koordinatni sistem), na njem izbrali merilo (koliko celic boste imeli kot enotski segment) in na njem označili dobljene točke, ki ste jih nato povezali z ravno črto; nastali črta je graf funkcije.

Tukaj je nekaj točk, ki bi vam jih bilo treba pojasniti nekoliko podrobneje:

1. Izberete en sam segment zaradi udobja, tako da se vse lepo in kompaktno prilega risbi.

2. Sprejeto je, da gre os od leve proti desni, os pa od spodaj navzgor

3. Sekata se pod pravim kotom, točko njihovega presečišča pa imenujemo izhodišče. Označena je s črko.

4. Pri pisanju koordinat točke je na primer na levi v oklepaju koordinata točke vzdolž osi, na desni strani pa vzdolž osi. Zlasti preprosto pomeni, da v točki

5. Če želite določiti katero koli točko na koordinatni osi, morate navesti njene koordinate (2 številki)

6. Za katero koli točko, ki leži na osi,

7. Za katero koli točko, ki leži na osi,

8. Os se imenuje x-os

9. Os se imenuje y-os

Zdaj pa naredimo naslednji korak: označimo dve točki. Povežimo ti dve točki z odsekom. In puščico bomo postavili, kot da bi risali segment od točke do točke: to pomeni, da bomo naš segment usmerili!

Se spomnite, kako se imenuje drugi smerni segment? Tako je, imenuje se vektor!

Če torej povežemo piko s točko, in začetek bo točka A, konec pa točka B, potem dobimo vektor. Tudi to konstrukcijo si naredil v 8. razredu, se spomniš?

Izkazalo se je, da lahko vektorje, tako kot točke, označimo z dvema številkama: te številke imenujemo vektorske koordinate. Vprašanje: Ali menite, da je dovolj, da poznamo koordinate začetka in konca vektorja, da bi našli njegove koordinate? Izkazalo se je, da ja! In to se naredi zelo preprosto:

Ker je torej v vektorju točka začetek in točka konec, ima vektor naslednje koordinate:

Na primer, če, potem koordinate vektorja

Zdaj pa naredimo obratno, poiščimo koordinate vektorja. Kaj moramo za to spremeniti? Da, zamenjati morate začetek in konec: zdaj bo začetek vektorja v točki, konec pa v točki. Nato:

Poglejte natančno, kakšna je razlika med vektorji in? Njihova edina razlika so znaki v koordinatah. So nasprotja. To dejstvo je običajno zapisano takole:

Včasih, če ni posebej navedeno, katera točka je začetek vektorja in katera je konec, potem vektorji niso označeni z dvema velikima črkama, temveč z eno malo črko, na primer: itd.

Zdaj malo praksa sami in poiščite koordinate naslednjih vektorjev:

Pregled:

Zdaj rešite malo težji problem:

Vektor z začetkom v točki ima co-or-di-na-you. Poiščite točke abs-cis-su.

Vse isto je precej prozaično: Naj bodo koordinate točke. Potem

Sistem sem sestavil na podlagi definicije, kaj so vektorske koordinate. Potem ima točka koordinate. Zanima nas abscisa. Potem

odgovor:

Kaj še lahko storite z vektorji? Da, skoraj vse je enako kot pri običajnih številkah (razen tega, da ne morete deliti, lahko pa pomnožite na dva načina, o enem bomo razpravljali tukaj malo kasneje)

1. Vektorji se lahko dodajajo drug drugemu
2. Vektorje je mogoče odštevati drug od drugega
3. Vektorje lahko pomnožimo (ali delimo) s poljubnim številom, ki ni nič
4. Vektorje je mogoče množiti drug z drugim

Vse te operacije imajo zelo jasno geometrijsko predstavitev. Na primer pravilo trikotnika (ali paralelograma) za seštevanje in odštevanje:

Vektor se raztegne ali skrči ali spremeni smer, ko ga pomnožimo ali delimo s številom:

Vendar nas bo tukaj zanimalo vprašanje, kaj se zgodi s koordinatami.

1. Pri seštevanju (odštevanju) dveh vektorjev seštevamo (odvzemamo) njune koordinate element za elementom. To je:

2. Pri množenju (deljenju) vektorja s številom se vse njegove koordinate pomnožijo (delijo) s tem številom:

Na primer:

· Poiščite količino co-or-di-nat century-to-ra.

Najprej poiščimo koordinate vsakega od vektorjev. Oba imata isti izvor - izvorno točko. Njihovi konci so različni. Potem, . Zdaj pa izračunajmo koordinate vektorja.Potem je vsota koordinat nastalega vektorja enaka.

odgovor:

Zdaj pa sami rešite naslednji problem:

· Poiščite vsoto vektorskih koordinat

Preverjamo:

Razmislimo zdaj o naslednjem problemu: na koordinatni ravnini imamo dve točki. Kako najti razdaljo med njima? Naj bo prva točka in druga. Razdaljo med njima označimo z. Za jasnost naredimo naslednjo risbo:

Kaj sem naredil? Najprej sem povezal točki in prav tako iz točke narisal premico, vzporedno z osjo, iz točke pa sem narisal premico, vzporedno z osjo. Ali sta se sekali v točki in tvorili izjemno figuro? Kaj je tako posebnega na njej? Ja, ti in jaz veva skoraj vse o pravokotnem trikotniku. No, Pitagorov izrek zagotovo. Zahtevani segment je hipotenuza tega trikotnika, segmenti pa so noge. Kakšne so koordinate točke? Da, na sliki jih je enostavno najti: Ker so segmenti vzporedni z osemi in je njihovo dolžino enostavno najti: če dolžine segmentov označimo z oz.

Zdaj pa uporabimo Pitagorov izrek. Poznamo dolžine katet, našli bomo hipotenuzo:

Tako je razdalja med dvema točkama koren vsote kvadratov razlik iz koordinat. Ali - razdalja med dvema točkama je dolžina odseka, ki ju povezuje. Lahko vidimo, da razdalja med točkami ni odvisna od smeri. Nato:

Od tu potegnemo tri zaključke:

Malo vadimo izračun razdalje med dvema točkama:

Na primer, če je razdalja med in enaka

Ali pa pojdimo drugače: poiščimo koordinate vektorja

In poiščite dolžino vektorja:

Kot lahko vidite, gre za isto!

Zdaj pa malo vadite sami:

Naloga: poiščite razdaljo med navedenimi točkami:

Preverjamo:

Tukaj je še nekaj težav z uporabo iste formule, čeprav zvenijo nekoliko drugače:

1. Poiščite kvadrat dolžine veke.

2. Poiščite kvadrat dolžine veke

Mislim, da ste se z njimi spopadli brez težav? Preverjamo:

1. In to je za pozornost) Prej smo že našli koordinate vektorjev: . Potem ima vektor koordinate. Kvadrat njegove dolžine bo enak:

2. Poiščite koordinate vektorja

Potem je kvadrat njegove dolžine

Nič zapletenega, kajne? Preprosta aritmetika, nič drugega.

Naslednjih težav ni mogoče nedvoumno razvrstiti, gre bolj za splošno erudicijo in sposobnost risanja preprostih slik.

1. Poiščite sinus kota iz reza, ki povezuje točko z osjo abscise.

in

Kako bomo tukaj nadaljevali? Najti moramo sinus kota med in osjo. Kje lahko iščemo sinus? Tako je, v pravokotnem trikotniku. Torej, kaj moramo storiti? Zgradite ta trikotnik!

Ker so koordinate točke in, potem je segment enak, in segment. Najti moramo sinus kota. Naj vas spomnim, da je torej sinus razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo

Kaj nam še preostane? Poiščite hipotenuzo. To lahko storite na dva načina: z uporabo Pitagorovega izreka (kraki so znani!) ali z uporabo formule za razdaljo med dvema točkama (pravzaprav enako kot prva metoda!). Grem po drugi poti:

odgovor:

Naslednja naloga se vam bo zdela še lažja. Ona je na koordinatah točke.

Naloga 2. Od točke se per-pen-di-ku-lyar spusti na ab-ciss os. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Naredimo risbo:

Osnovica navpičnice je točka, v kateri seka x-os (os), zame je to točka. Slika prikazuje, da ima koordinate: . Zanima nas abscisa - to je komponenta "x". Je enakovredna.

odgovor: .

Naloga 3. V pogojih prejšnjega problema poiščite vsoto razdalj od točke do koordinatnih osi.

Naloga je na splošno osnovna, če veste, kakšna je razdalja od točke do osi. Ti veš? Upam, vendar vas vseeno spomnim:

Sem torej na svoji zgornji risbi že narisal eno tako pravokotnico? Na kateri osi je? Do osi. In kakšna je potem njegova dolžina? Je enakovredna. Zdaj sami narišite pravokotno na os in poiščite njeno dolžino. Enako bo, kajne? Potem je njuna vsota enaka.

odgovor: .

Naloga 4. V pogojih naloge 2 poiščite ordinato točke, ki je simetrična točki glede na os abscise.

Mislim, da vam je intuitivno jasno, kaj je simetrija? Imajo jo številni predmeti: številne zgradbe, mize, letala, številne geometrijske figure: krogla, valj, kvadrat, romb itd. V grobem lahko simetrijo razumemo na naslednji način: lik je sestavljen iz dveh (ali več) enakih polovic. To simetrijo imenujemo osna simetrija. Kaj je potem os? To je natanko tista črta, po kateri lahko figuro, relativno gledano, »razrežemo« na enake polovice (na tej sliki je simetrijska os ravna):

Zdaj pa se vrnimo k naši nalogi. Vemo, da iščemo točko, ki je simetrična glede na os. Potem je ta os simetrijska os. To pomeni, da moramo označiti točko tako, da os razreže segment na dva enaka dela. Poskusite sami označiti takšno točko. Sedaj pa primerjaj z mojo rešitvijo:

Se vam je izšlo enako? Globa! Zanima nas ordinata najdene točke. Je enaka

odgovor:

Zdaj mi po nekaj sekundnem premisleku povejte, kakšna bo abscisa točke, ki je simetrična točki A glede na ordinato? Kakšen je vaš odgovor? Pravilen odgovor: .

Na splošno lahko pravilo zapišemo takole:

Točka, ki je simetrična točki glede na abscisno os, ima koordinate:

Točka, ki je simetrična točki glede na ordinatno os, ima koordinate:

No, zdaj je pa čisto strašljivo naloga: poiščite koordinate točke, ki je simetrična točki glede na izhodišče. Najprej pomislite sami, potem pa poglejte mojo risbo!

odgovor:

zdaj problem paralelograma:

Naloga 5: Točke se pojavijo ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Poiščite ali-di-na-tej točki.

To težavo lahko rešite na dva načina: z logiko in koordinatno metodo. Najprej bom uporabil koordinatno metodo, nato pa vam bom povedal, kako lahko to rešite drugače.

Povsem jasno je, da je abscisa točke enaka. (leži na navpičnici, ki poteka iz točke na os abscise). Najti moramo ordinato. Izkoristimo dejstvo, da je naš lik paralelogram, to pomeni, da. Poiščimo dolžino segmenta z uporabo formule za razdaljo med dvema točkama:

Spustimo navpičnico, ki povezuje točko z osjo. Točko presečišča bom označil s črko.

Dolžina odseka je enaka. (poiščite težavo sami, kjer smo razpravljali o tej točki), nato pa bomo našli dolžino odseka s pomočjo Pitagorovega izreka:

Dolžina segmenta natančno sovpada z njegovo ordinato.

odgovor: .

Druga rešitev (posredoval bom samo sliko, ki to ponazarja)

Napredek rešitve:

1. Ravnanje

2. Poišči koordinate točke in dolžino

3. Dokažite to.

Še en problem dolžine segmenta:

Točke se pojavijo na vrhu trikotnika. Poiščite dolžino vzporedne vzporednice.

Se spomnite, kaj je srednja črta trikotnika? Potem je ta naloga za vas osnovna. Če se ne spomnite, vas bom spomnil: srednja črta trikotnika je črta, ki povezuje razpolovišči nasprotnih stranic. Je vzporedna z osnovo in enaka njeni polovici.

Osnova je segment. Njegovo dolžino smo morali poiskati prej, je enaka. Takrat je dolžina sredinske črte pol manjša in enaka.

odgovor: .

Komentar: ta problem je mogoče rešiti na drug način, ki ga bomo obravnavali malo kasneje.

Medtem pa je tukaj nekaj nalog za vas, vadite jih, so zelo preproste, vendar vam pomagajo, da postanete boljši pri uporabi koordinatne metode!

1. Točke so vrh tra-pe-cij. Poiščite dolžino njegove srednje črte.

2. Točke in nastopi ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Poiščite ali-di-na-tej točki.

3. Poiščite dolžino iz reza, ki povezuje točko in

4. Poiščite območje za obarvanim likom na koordinatni ravnini.

5. Krožnica s središčem v na-cha-le ko-or-di-nat poteka skozi točko. Poišči jo ra-di-us.

6. Poiščite-di-te ra-di-us kroga, opišite-san-noy o pravem kotu-no-ka, vrhovi nečesa imajo co-ali -di-na-ti si tako odgovoren

rešitve:

1. Znano je, da je srednja črta trapeza enaka polovici vsote njegovih osnov. Osnova je enaka in osnova. Potem

odgovor:

2. Najlažji način za rešitev tega problema je, da upoštevate to (pravilo paralelograma). Izračunavanje koordinat vektorjev ni težko: . Pri dodajanju vektorjev se dodajajo koordinate. Potem ima koordinate. Te koordinate ima tudi točka, saj je izhodišče vektorja točka s koordinatami. Zanima nas ordinata. Je enakovredna.

odgovor:

3. Takoj delujemo po formuli za razdaljo med dvema točkama:

odgovor:

4. Poglejte sliko in mi povejte, med katerima dvema figurama je "stisnjeno" osenčeno območje? Stisnjen je med dva kvadrata. Potem je površina želene figure enaka površini velikega kvadrata minus površina majhnega. Stran majhnega kvadrata je segment, ki povezuje točke in njegova dolžina je

Potem je površina majhnega kvadrata

Enako storimo z velikim kvadratom: njegova stranica je segment, ki povezuje točke, njegova dolžina pa je

Potem je površina velikega kvadrata

Območje želene figure najdemo po formuli:

odgovor:

5. Če ima krog središče izhodišče in poteka skozi točko, bo njegov polmer natanko enak dolžini segmenta (narišite in razumeli boste, zakaj je to očitno). Poiščimo dolžino tega segmenta:

odgovor:

6. Znano je, da je polmer kroga, ki je opisan okoli pravokotnika, enak polovici njegove diagonale. Poiščimo dolžino katere koli od dveh diagonal (navsezadnje sta v pravokotniku enaki!)

odgovor:

No, ste se spopadli z vsem? Ni bilo zelo težko ugotoviti, kajne? Tukaj je samo eno pravilo - biti sposoben narediti vizualno sliko in preprosto "prebrati" vse podatke iz nje.

Ostalo nam je zelo malo. Obstajata dobesedno še dve točki, o katerih bi rad razpravljal.

Poskusimo rešiti to preprosto težavo. Naj bosta podani dve točki. Poiščite koordinate sredine odseka. Rešitev tega problema je naslednja: naj bo točka želena sredina, potem ima koordinate:

To je: koordinate sredine odseka = aritmetična sredina ustreznih koordinat koncev odseka.

To pravilo je zelo preprosto in študentom običajno ne povzroča težav. Poglejmo, pri katerih težavah in kako se uporablja:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point in

2. Točke se zdijo vrh sveta. Find-di-te ali-di-na-tu točke per-re-se-che-niya njegovega dia-go-na-ley.

3. Poiščite-di-te abs-cis-su središče kroga, opišite-san-noy o pravokotnem-no-ka, vrhovi nečesa so so-ali-di-na-ti tako-odgovorno-vendar.

rešitve:

1. Prvi problem je preprosto klasičen. Takoj nadaljujemo z določitvijo sredine segmenta. Ima koordinate. Ordinata je enaka.

odgovor:

2. Lahko vidimo, da je ta štirikotnik paralelogram (celo romb!). To lahko sam dokažeš tako, da izračunaš dolžine stranic in jih med seboj primerjaš. Kaj vem o paralelogramih? Njegove diagonale so razdeljene na pol s točko presečišča! ja! Kakšna je torej točka presečišča diagonal? To je sredina katere koli diagonale! Izbral bom predvsem diagonalo. Potem ima točka koordinate Ordinata točke je enaka.

odgovor:

3. S čim sovpada središče kroga, ki je opisan okoli pravokotnika? Sovpada s presečiščem njegovih diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika? Sta enaka in točka presečišča ju deli na pol. Naloga se je zmanjšala na prejšnjo. Vzemimo za primer diagonalo. Potem, če je središče circumcircle, potem je središče. Iščem koordinate: Abscisa je enaka.

odgovor:

Zdaj pa malo vadite sami, dal bom samo odgovore na vsako nalogo, da se boste lahko preizkusili.

1. Find-di-te ra-di-us kroga, opišite-san-noy o tri-angle-no-ka, vrhovi nečesa imajo co-or-di -no misters

2. Poiščite-di-te ali-di-on-to središče kroga, opišite-san-noy o trikotniku-no-ka, katerega vrhovi imajo koordinate

3. Kakšna ra-di-u-sa naj bo krog s središčem v točki, tako da se dotika ab-cis osi?

4. Poiščite-di-tiste ali-di-na-to točko ponovne namestitve osi in iz-reza, povežite-točko in

odgovori:

Je bilo vse uspešno? Resnično upam na to! Zdaj - zadnji pritisk. Zdaj bodite še posebej previdni. Gradivo, ki ga bom zdaj razložil, ni neposredno povezano samo s preprostimi problemi koordinatne metode iz Dela B, ampak ga najdemo tudi povsod v problemu C2.

Katere svoje obljube še nisem držal? Se spomnite, katere operacije na vektorjih sem obljubil uvesti in katere sem na koncu uvedel? Ste prepričani, da nisem ničesar pozabil? Pozabil! Pozabil sem razložiti, kaj pomeni vektorsko množenje.

Obstajata dva načina za množenje vektorja z vektorjem. Glede na izbrano metodo bomo dobili predmete različnih narav:

Navzkrižni izdelek je narejen zelo pametno. Kako to storiti in zakaj je to potrebno, bomo razpravljali v naslednjem članku. In v tem se bomo osredotočili na skalarni produkt.

Obstajata dva načina, ki nam omogočata izračun:

Kot ste uganili, bi moral biti rezultat enak! Poglejmo torej najprej prvo metodo:

Pikčasti produkt preko koordinat

Išči: - splošno sprejet zapis za skalarni produkt

Formula za izračun je naslednja:

Se pravi, skalarni produkt = vsota produktov vektorskih koordinat!

primer:

Najdi-di-te

rešitev:

Poiščimo koordinate vsakega od vektorjev:

Skalarni produkt izračunamo po formuli:

odgovor:

Vidite, absolutno nič zapletenega!

No, zdaj pa poskusite sami:

· Poiščite skalarno pro-iz-ve-de-nie stoletij in

Vam je uspelo? Ste morda opazili majhen ulov? Preverimo:

Vektorske koordinate, kot v prejšnjem problemu! Odgovor: .

Poleg koordinatnega obstaja še en način za izračun skalarnega produkta, in sicer preko dolžin vektorjev in kosinusa kota med njimi:

Označuje kot med vektorjema in.

To pomeni, da je skalarni produkt enak produktu dolžin vektorjev in kosinusa kota med njima.

Zakaj potrebujemo to drugo formulo, če imamo prvo, ki je veliko enostavnejša, vsebuje vsaj kosinusov ni. In potrebno je, da lahko iz prve in druge formule sklepamo, kako najti kot med vektorji!

Nato si zapomnite formulo za dolžino vektorja!

Če potem te podatke nadomestim s formulo skalarnega produkta, dobim:

Ampak drugače:

Kaj sva torej dobila ti in jaz? Zdaj imamo formulo, ki nam omogoča izračun kota med dvema vektorjema! Včasih je za kratkost zapisano tudi takole:

To pomeni, da je algoritem za izračun kota med vektorji naslednji:

1. Izračunajte skalarni produkt preko koordinat
2. Poiščite dolžine vektorjev in jih pomnožite
3. Rezultat točke 1 delite z rezultatom točke 2

Vadimo s primeri:

1. Poiščite kot med vekami in. Podajte odgovor v grad-du-sah.

2. V pogojih prejšnjega problema poiščite kosinus med vektorjema

Naredimo to: prvo težavo ti bom pomagal rešiti, drugo pa poskusi rešiti sam! Se strinjam? Potem pa začnimo!

1. Ti vektorji so naši stari prijatelji. Njihov skalarni produkt smo že izračunali in bil je enak. Njihove koordinate so: , . Nato poiščemo njihove dolžine:

Nato poiščemo kosinus med vektorji:

Kolikšen je kosinus kota? To je kotiček.

odgovor:

No, zdaj pa sami rešite drugi problem, potem pa primerjajte! Podal bom samo zelo kratko rešitev:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Naj bo kot med vektorjema in potem

odgovor:

Opozoriti je treba, da so težave neposredno na vektorjih in koordinatni metodi v delu B izpitne naloge precej redke. Vendar pa je veliko večino problemov C2 enostavno rešiti z uvedbo koordinatnega sistema. Tako lahko ta članek smatrate za osnovo, na podlagi katere bomo naredili precej pametne konstrukcije, ki jih bomo potrebovali za reševanje kompleksnih problemov.

KOORDINATE IN VEKTORJI. POVPREČNA STOPNJA

Ti in jaz nadaljujeva s študijem koordinatne metode. V zadnjem delu smo izpeljali številne pomembne formule, ki vam omogočajo, da:

1. Poiščite vektorske koordinate
2. Poiščite dolžino vektorja (alternativa: razdalja med dvema točkama)
3. Seštevanje in odštevanje vektorjev. Pomnoži jih z realnim številom
4. Poiščite sredino odseka
5. Izračunajte pikčasti produkt vektorjev
6. Poiščite kot med vektorji

Celotna koordinatna metoda seveda ne sodi v teh 6 točk. Temelji na takšni znanosti, kot je analitična geometrija, s katero se boste seznanili na univerzi. Želim samo zgraditi temelje, ki vam bodo omogočili reševanje težav v eni državi. izpit. Ukvarjali smo se z nalogami dela B. Zdaj je čas, da preidemo na povsem novo raven! Ta članek bo posvečen metodi za reševanje tistih problemov C2, pri katerih bi bilo smiselno preiti na koordinatno metodo. Ta razumnost je določena s tem, kaj je potrebno najti v problemu in kakšna številka je navedena. Torej bi uporabil koordinatno metodo, če so vprašanja:

1. Poiščite kot med dvema ravninama
2. Poiščite kot med premico in ravnino
3. Poiščite kot med dvema ravnima črtama
4. Poiščite razdaljo od točke do ravnine
5. Poiščite razdaljo od točke do črte
6. Poiščite razdaljo od premice do ravnine
7. Poiščite razdaljo med dvema črtama

Če je lik, podan v nalogi, vrtilno telo (krogla, valj, stožec ...)

Primerne številke za koordinatno metodo so:

1. Pravokotni paralelopiped
2. Piramida (trikotna, štirikotna, šestkotna)

Tudi iz mojih izkušenj je neprimerna uporaba koordinatne metode za:

1. Iskanje površin prečnega prereza
2. Izračun prostornin teles

Vendar je treba takoj opozoriti, da so tri "neugodne" situacije za koordinatno metodo v praksi precej redke. Pri večini opravil lahko postane vaš rešitelj, še posebej, če niste ravno vešči tridimenzionalnih konstrukcij (ki so včasih lahko precej zapletene).

Katere so vse številke, ki sem jih naštel zgoraj? Niso več ravne, kot na primer kvadrat, trikotnik, krog, ampak voluminozne! V skladu s tem moramo upoštevati ne dvodimenzionalni, ampak tridimenzionalni koordinatni sistem. Konstruirati ga je zelo enostavno: le poleg abscisne in ordinatne osi bomo uvedli še eno os, aplikativno os. Slika shematično prikazuje njihov relativni položaj:

Vse so medsebojno pravokotne in se sekajo v eni točki, ki jo bomo imenovali koordinatni izhodišče. Tako kot prej bomo označili abscisno os, ordinatno os - , uvedeno aplikativno os pa - .

Če je bila prej vsaka točka na ravnini označena z dvema številoma - absciso in ordinato, potem je vsaka točka v prostoru že opisana s tremi številkami - absciso, ordinato in aplikacijo. Na primer:

V skladu s tem je abscisa točke enaka, ordinata je , aplikata pa .

Včasih se abscisa točke imenuje tudi projekcija točke na abscisno os, ordinata - projekcija točke na ordinatno os, aplikata - projekcija točke na aplicirano os. V skladu s tem, če je podana točka, potem točka s koordinatami:

imenujemo projekcija točke na ravnino

imenujemo projekcija točke na ravnino

Postavlja se naravno vprašanje: ali vse formule, izpeljane za dvodimenzionalni primer, veljajo v prostoru? Odgovor je pritrdilen, pošteni so in imajo enak videz. Za majhen detajl. Mislim, da ste že uganili, kateri je. V vse formule bomo morali dodati še en člen, ki je odgovoren za aplikacijsko os. namreč.

1. Če sta podani dve točki: , potem:

• Vektorske koordinate:
• Razdalja med dvema točkama (ali vektorska dolžina)
• Razpolovna točka odseka ima koordinate

2. Če sta podana dva vektorja: in, potem:

• Njihov skalarni produkt je enak:
• Kosinus kota med vektorjema je enak:

Vendar prostor ni tako preprost. Kot razumete, dodajanje še ene koordinate vnaša znatno raznolikost v spekter figur, ki "živijo" v tem prostoru. In za nadaljnjo pripoved bom moral uvesti nekaj, grobo rečeno, "posplošitve" ravne črte. Ta "generalizacija" bo ravnina. Kaj veš o letalu? Poskusite odgovoriti na vprašanje, kaj je letalo? Zelo težko je reči. Vendar si vsi intuitivno predstavljamo, kako to izgleda:

Grobo rečeno, to je nekakšen neskončen "list", zataknjen v vesolju. "Neskončnost" je treba razumeti, da se ravnina razteza v vse smeri, to je, da je njena površina enaka neskončnosti. Vendar pa ta "praktična" razlaga ne daje niti najmanjše predstave o zgradbi letala. In prav ona nas bo zanimala.

Spomnimo se enega od osnovnih aksiomov geometrije:

• premica poteka skozi dve različni točki na ravnini in samo eno:

Ali njegov analog v vesolju:

Seveda se spomnite, kako izpeljati enačbo premice iz dveh danih točk; sploh ni težko: če ima prva točka koordinate: in druga, potem bo enačba premice naslednja:

To ste vzeli v 7. razredu. V prostoru izgleda enačba premice takole: dani imamo dve točki s koordinatama: , potem ima enačba premice, ki poteka skozi njiju, obliko:

Na primer, črta poteka skozi točke:

Kako naj bi to razumeli? To je treba razumeti takole: točka leži na premici, če njene koordinate zadoščajo naslednjemu sistemu:

Enačba premice nas ne bo preveč zanimala, pozorni pa moramo biti na zelo pomemben koncept smernega vektorja premice. - vsak neničelni vektor, ki leži na dani premici ali je vzporeden z njo.

Oba vektorja sta na primer smerna vektorja premice. Naj bo točka, ki leži na premici in njen smerni vektor. Potem lahko enačbo premice zapišemo v naslednji obliki:

Še enkrat, enačba ravne črte me ne bo zelo zanimala, ampak res moram, da se spomniš, kaj je smerni vektor! Ponovno: to je KATERIKOLI neničelni vektor, ki leži na premici ali je vzporeden z njo.

Dvigniti enačba ravnine, ki temelji na treh danih točkah ni več tako nepomembno in tega vprašanja običajno ne obravnavajo srednješolski tečaji. Ampak zaman! Ta tehnika je ključnega pomena, ko se zatekamo k koordinatni metodi za reševanje kompleksnih problemov. Predvidevam pa, da ste željni česa novega izvedeti? Poleg tega boste lahko naredili vtis na svojega učitelja na univerzi, ko se bo izkazalo, da že znate uporabljati tehniko, ki se običajno preučuje pri tečaju analitične geometrije. Pa začnimo.

Enačba ravnine se ne razlikuje preveč od enačbe premice na ravnini, ima namreč obliko:

nekatera števila (niso vsa enaka nič), ampak spremenljivke, na primer: itd. Kot lahko vidite, se enačba ravnine ne razlikuje zelo od enačbe ravne črte (linearna funkcija). Vendar se spomnite, kaj sva se prepirala? Rekli smo, da če imamo tri točke, ki ne ležijo na isti premici, potem lahko iz njih enolično rekonstruiramo enačbo ravnine. Ampak kako? Poskušal ti bom razložiti.

Ker je enačba ravnine:

In točke pripadajo tej ravnini, potem bi morali pri zamenjavi koordinat vsake točke v enačbo ravnine dobiti pravilno identiteto:

Tako je treba rešiti tri enačbe z neznankami! Dilema! Vendar lahko to vedno domnevate (če želite to narediti, morate deliti s). Tako dobimo tri enačbe s tremi neznankami:

Vendar takšnega sistema ne bomo rešili, ampak bomo zapisali skrivnostni izraz, ki iz njega izhaja:

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matrika)) \desno| = 0\]

nehaj! Kaj je to? Zelo nenavaden modul! Vendar predmet, ki ga vidite pred seboj, nima nobene zveze z modulom. Ta objekt se imenuje determinanta tretjega reda. Odslej, ko se boste ukvarjali z metodo koordinat na ravnini, boste zelo pogosto naleteli na te iste determinante. Kaj je determinanta tretjega reda? Nenavadno je, da je samo številka. Še vedno je treba razumeti, katero specifično številko bomo primerjali z determinanto.

Najprej zapišimo determinanto tretjega reda v bolj splošni obliki:

Kje so številke. Poleg tega s prvim indeksom mislimo na številko vrstice, z indeksom pa na številko stolpca. To na primer pomeni, da je ta številka na presečišču druge vrstice in tretjega stolpca. Zastavimo si naslednje vprašanje: kako točno bomo izračunali takšno determinanto? Se pravi, katero specifično številko bomo primerjali z njim? Za determinanto tretjega reda obstaja hevristično (vizualno) pravilo trikotnika, ki izgleda takole:

1. Zmnožek elementov glavne diagonale (od zgornjega levega kota do spodnjega desnega) zmnožek elementov, ki tvorijo prvi trikotnik, "pravokoten" na glavno diagonalo, zmnožek elementov, ki tvorijo drugi trikotnik, "pravokoten" na glavna diagonala
2. Produkt elementov sekundarne diagonale (od zgornjega desnega kota do spodnjega levega) produkt elementov, ki tvorijo prvi trikotnik, "pravokoten" na sekundarno diagonalo, produkt elementov, ki tvorijo drugi trikotnik, "pravokoten" na sekundarna diagonala
3. Potem je determinanta enaka razliki med vrednostmi, dobljenimi na koraku in

Če vse to zapišemo s številkami, dobimo naslednji izraz:

Vendar pa vam ni treba zapomniti načina izračuna v tej obliki; dovolj je, da v glavi držite trikotnike in samo idejo o tem, kaj sešteje s čim in kaj se nato od česa odšteje).

Metodo trikotnika ponazorimo s primerom:

1. Izračunajte determinanto:

Ugotovimo, kaj dodajamo in kaj odvzemamo:

Pogoji, ki imajo plus:

To je glavna diagonala: produkt elementov je enak

Prvi trikotnik, "pravokoten na glavno diagonalo: produkt elementov je enak

Drugi trikotnik, "pravokoten na glavno diagonalo: produkt elementov je enak

Seštejte tri številke:

Izrazi, ki pridejo z minusom

To je stranska diagonala: produkt elementov je enak

Prvi trikotnik, »pravokoten na sekundarno diagonalo: produkt elementov je enak

Drugi trikotnik, »pravokoten na sekundarno diagonalo: produkt elementov je enak

Seštejte tri številke:

Vse, kar je treba storiti, je, da odštejemo vsoto "plus" členov od vsote "minus" členov:

torej

Kot lahko vidite, pri izračunu determinant tretjega reda ni nič zapletenega ali nadnaravnega. Pomembno je le, da se spomnite trikotnikov in ne delate aritmetičnih napak. Zdaj poskusite izračunati sami:

Preverjamo:

1. Prvi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
2. Drugi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
3. Vsota členov s plusom:
4. Prvi trikotnik, pravokoten na sekundarno diagonalo:
5. Drugi trikotnik, pravokoten na stransko diagonalo:
6. Vsota členov z minusom:
7. Vsota členov s plusom minus vsota členov z minusom:

Tukaj je še nekaj determinant, njihove vrednosti izračunajte sami in jih primerjajte z odgovori:

odgovori:

No, se je vse poklopilo? Super, potem lahko greš naprej! Če pride do težav, je moj nasvet naslednji: na internetu je veliko programov za izračun determinante na spletu. Vse kar potrebujete je, da si izmislite svojo determinanto, jo izračunate sami in nato primerjate s tem, kar izračuna program. In tako naprej, dokler rezultati ne začnejo sovpadati. Prepričan sem, da ta trenutek ne bo dolgo trajal!

Zdaj pa se vrnimo k determinanti, ki sem jo zapisal, ko sem govoril o enačbi ravnine, ki poteka skozi tri dane točke:

Vse kar morate je, da neposredno izračunate njegovo vrednost (z uporabo metode trikotnika) in rezultat nastavite na nič. Seveda, ker so to spremenljivke, boste dobili nek izraz, ki je odvisen od njih. Prav ta izraz bo enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici!

Naj to ponazorimo s preprostim primerom:

1. Sestavite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

Sestavimo determinanto za te tri točke:

Poenostavimo:

Zdaj ga izračunamo neposredno s pravilom trikotnika:

\[(\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(matrika)) \ desno| = \levo((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \levo((z + 1) \desno) + \levo((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Tako je enačba ravnine, ki poteka skozi točke:

Zdaj poskusite sami rešiti eno težavo, nato pa bomo o njej razpravljali:

2. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

No, zdaj pa se pogovorimo o rešitvi:

Ustvarimo determinanto:

In izračunajte njegovo vrednost:

Potem ima enačba ravnine obliko:

Ali če zmanjšamo za, dobimo:

Zdaj pa dve nalogi za samokontrolo:

1. Sestavite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke:

odgovori:

Se je vse poklopilo? Še enkrat, če obstajajo določene težave, potem je moj nasvet naslednji: vzemite tri točke iz glave (z visoko stopnjo verjetnosti ne bodo ležale na isti ravni črti), zgradite letalo na njihovi podlagi. In potem se preveriš na spletu. Na primer na spletnem mestu:

Vendar pa s pomočjo determinant ne bomo zgradili le enačbe ravnine. Ne pozabite, povedal sem vam, da za vektorje ni definiran samo pikčasti produkt. Obstaja tudi vektorski produkt, pa tudi mešani produkt. In če je skalarni produkt dveh vektorjev število, potem bo vektorski produkt dveh vektorjev vektor in ta vektor bo pravokoten na dane:

Poleg tega bo njegov modul enak površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih in. Ta vektor bomo potrebovali za izračun razdalje od točke do črte. Kako lahko izračunamo vektorski produkt vektorjev in če so dane njihove koordinate? Na pomoč nam spet priskoči determinanta tretjega reda. Preden pa preidem na algoritem za izračun vektorskega produkta, moram narediti majhno digresijo.

Ta digresija zadeva bazične vektorje.

Shematično so prikazani na sliki:

Zakaj misliš, da se imenujejo osnovne? Dejstvo je, da:

Ali na sliki:

Veljavnost te formule je očitna, ker:

Vektorska umetnina

Zdaj lahko začnem predstavljati navzkrižni produkt:

Vektorski produkt dveh vektorjev je vektor, ki se izračuna po naslednjem pravilu:

Zdaj pa navedimo nekaj primerov izračuna navzkrižnega produkta:

Primer 1: Poiščite navzkrižni produkt vektorjev:

Rešitev: Izmislim determinanto:

In izračunam:

Od pisanja skozi bazne vektorje se bom vrnil k običajnemu zapisu vektorjev:

Torej:

Zdaj poskusite.

pripravljena Preverjamo:

In tradicionalno dva naloge za kontrolo:

1. Poiščite vektorski produkt naslednjih vektorjev:
2. Poiščite vektorski produkt naslednjih vektorjev:

odgovori:

Mešani produkt treh vektorjev

Zadnja konstrukcija, ki jo bom potreboval, je mešani produkt treh vektorjev. Tako kot skalar je število. Obstajata dva načina za izračun. - preko determinanta, - preko mešanega proizvoda.

Podani so nam namreč trije vektorji:

Potem lahko mešani produkt treh vektorjev, označenih z, izračunamo kot:

1. - to pomeni, da je mešani produkt skalarni produkt vektorja in vektorski produkt dveh drugih vektorjev

Na primer, mešani produkt treh vektorjev je:

Poskusite sami izračunati z uporabo vektorskega produkta in se prepričajte, da se rezultati ujemajo!

In spet dva primera neodvisnih rešitev:

odgovori:

Izbira koordinatnega sistema

No, zdaj imamo vso potrebno osnovo znanja za reševanje zapletenih problemov stereometrične geometrije. Preden nadaljujemo neposredno s primeri in algoritmi za njihovo reševanje, menim, da se bo koristno posvetiti naslednjemu vprašanju: kako natančno izberite koordinatni sistem za določeno sliko. Navsezadnje je izbira relativnega položaja koordinatnega sistema in figure v prostoru tista, ki bo na koncu določila, kako okorni bodo izračuni.

Naj vas spomnim, da v tem razdelku upoštevamo naslednje številke:

1. Pravokotni paralelopiped
2. Ravna prizma (trikotna, šestkotna...)
3. Piramida (trikotna, štirikotna)
4. Tetraeder (enako kot trikotna piramida)

Za pravokotni paralelopiped ali kocko vam priporočam naslednjo konstrukcijo:

To pomeni, da bom figuro postavil "v kot". Kocka in paralelepiped sta zelo dobri figuri. Za njih lahko vedno enostavno najdete koordinate njegovih vrhov. Na primer, če (kot je prikazano na sliki)

potem so koordinate oglišč naslednje:

Seveda vam tega ni treba zapomniti, vendar je priporočljivo, da se spomnite, kako najbolje postaviti kocko ali pravokotni paralelepiped.

Ravna prizma

Prizma je bolj škodljiva figura. V prostoru ga lahko umeščamo na različne načine. Najbolj sprejemljiva pa se mi zdi naslednja možnost:

Trikotna prizma:

To pomeni, da eno od strani trikotnika v celoti postavimo na os, eno od oglišč pa sovpada z izhodiščem koordinat.

Šesterokotna prizma:

To pomeni, da ena od oglišč sovpada z izvorom, ena od strani pa leži na osi.

Štirikotna in šesterokotna piramida:

Situacija je podobna kot pri kocki: dve stranici baze poravnamo s koordinatnimi osemi, eno od oglišč pa poravnamo z izhodiščem koordinat. Edina majhna težava bo izračunati koordinate točke.

Za šesterokotno piramido - enako kot za šestkotno prizmo. Glavna naloga bo spet najti koordinate oglišča.

Tetraeder (trikotna piramida)

Situacija je zelo podobna tisti, ki sem jo navedel za trikotno prizmo: eno oglišče sovpada z izhodiščem, ena stranica leži na koordinatni osi.

No, zdaj sva končno blizu tega, da začneva reševati težave. Iz tega, kar sem povedal na samem začetku članka, bi lahko potegnili naslednji zaključek: večina problemov C2 je razdeljenih v 2 kategoriji: problemi kota in problemi razdalje. Najprej si bomo ogledali probleme iskanja kota. Razdeljeni so v naslednje kategorije (ko se kompleksnost povečuje):

Težave pri iskanju kotov

1. Iskanje kota med dvema ravnima črtama
2. Iskanje kota med dvema ravninama

Oglejmo si te težave zaporedno: začnimo z iskanjem kota med dvema ravnima črtama. No, zapomni si, ali nisva že prej reševala podobnih primerov? Se spomniš, nekaj podobnega smo že imeli ... Iskali smo kot med dvema vektorjema. Naj vas spomnim, če sta podana dva vektorja: in, potem kot med njima najdemo iz relacije:

Zdaj je naš cilj najti kot med dvema ravnima črtama. Poglejmo "ravno sliko":

Koliko kotov smo dobili, ko sta se premici sekali? Samo nekaj stvari. Res je, da le dva nista enaka, medtem ko so drugi navpični nanju (in torej sovpadajo z njima). Torej, kateri kot naj upoštevamo kot med dvema ravnima črtama: ali? Tukaj je pravilo: kot med dvema ravnima črtama ni vedno večji od stopinj. To pomeni, da bomo iz dveh kotov vedno izbrali kot z najmanjšo stopinjsko mero. To pomeni, da je na tej sliki kot med dvema ravnima črtama enak. Da se ne bi vsakič trudili z iskanjem najmanjšega od dveh kotov, so zviti matematiki predlagali uporabo modula. Tako je kot med dvema ravnima črtama določen s formulo:

Kot pozoren bralec bi se morali vprašati: kje točno dobimo prav te številke, ki jih potrebujemo za izračun kosinusa kota? Odgovor: vzeli jih bomo iz smernih vektorjev premic! Tako je algoritem za iskanje kota med dvema ravnima črtama naslednji:

1. Uporabljamo formulo 1.

Ali podrobneje:

1. Iščemo koordinate smernega vektorja prve premice
2. Iščemo koordinate smernega vektorja druge premice
3. Izračunamo modul njihovega skalarnega produkta
4. Iščemo dolžino prvega vektorja
5. Iščemo dolžino drugega vektorja
6. Pomnožite rezultate točke 4 z rezultati točke 5
7. Rezultat točke 3 delimo z rezultatom točke 6. Dobimo kosinus kota med premicama
8. Če nam ta rezultat omogoča natančen izračun kota, ga poiščemo
9. Sicer pišemo skozi ark kosinus

No, zdaj je čas, da preidemo k problemom: za prvi dve bom podrobno prikazal rešitev, za drugo bom na kratko predstavil rešitev, za zadnji dve pa bom podal samo odgovore; vse izračune zanje morate opraviti sami.

Naloge:

1. V desni tet-ra-ed-re poiščite kot med višino tet-ra-ed-ra in srednjo stranjo.

2. V desnem šestkotnem pi-ra-mi-de je sto os-no-va-niyas enakih, stranski robovi pa enaki, poiščite kot med črtami in.

3. Dolžine vseh robov desne štirioglene pi-ra-mi-dy so med seboj enake. Poiščite kot med ravnimi črtami in če iz reza - ste z dano pi-ra-mi-dy, je točka se-re-di-na njegovih bo-co- drugih rebrih

4. Na robu kocke je točka, tako da Poiščite kot med ravnima črtama in

5. Točka - na robovih kocke Poiščite kot med ravnimi črtami in.

Ni naključje, da sem naloge razporedila po tem vrstnem redu. Medtem ko še niste začeli krmariti po koordinatni metodi, bom sam analiziral najbolj "problematične" figure in vas pustil, da se ukvarjate z najpreprostejšo kocko! Postopoma se boste morali naučiti delati z vsemi figurami, zahtevnost nalog bom stopnjeval od teme do teme.

Začnimo reševati težave:

1. Nariši tetraeder, ga postavi v koordinatni sistem, kot sem predlagal prej. Ker je tetraeder pravilen, so vse njegove ploskve (vključno z osnovo) pravilni trikotniki. Ker nam ni podana dolžina stranice, jo lahko vzamem za enako. Mislim, da razumete, da kot dejansko ne bo odvisen od tega, koliko je naš tetraeder "raztegnjen"?. Narisal bom tudi višino in mediano v tetraedru. Spotoma ji bom narisal osnovo (tudi nama bo koristila).

Najti moram kot med in. Kaj vemo? Poznamo le koordinato točke. To pomeni, da moramo najti koordinate točk. Zdaj mislimo: točka je točka presečišča višin (ali simetral ali median) trikotnika. In točka je dvignjena točka. Točka je sredina segmenta. Potem moramo končno najti: koordinate točk: .

Začnimo z najpreprostejšim: koordinatami točke. Poglejte sliko: Jasno je, da je aplikat točke enak nič (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je enaka (ker je mediana). Težje je najti njegovo absciso. Vendar pa je to enostavno narediti na podlagi Pitagorovega izreka: Razmislite o trikotniku. Njegova hipotenuza je enaka in eden od njenih krakov je enak. Potem:

Končno imamo: .

Zdaj pa poiščimo koordinate točke. Jasno je, da je njegova aplikata spet enaka nič, njena ordinata pa enaka ordinati točke, tj. Poiščimo njeno absciso. Če se tega spomnite, je to storjeno precej trivialno višine enakostraničnega trikotnika s presečiščem delimo sorazmerno, šteto od zgoraj. Ker je: , potem je zahtevana abscisa točke, enaka dolžini segmenta, enaka: . Tako so koordinate točke:

Poiščimo koordinate točke. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. In aplikacija je enaka dolžini segmenta. - to je ena od nog trikotnika. Hipotenuza trikotnika je segment - noga. Išče se iz razlogov, ki sem jih poudaril s krepkim tiskom:

Točka je sredina segmenta. Potem se moramo spomniti formule za koordinate sredine segmenta:

To je to, zdaj lahko iščemo koordinate vektorjev smeri:

No, vse je pripravljeno: vse podatke nadomestimo v formulo:

torej

odgovor:

Naj vas takšni "strašljivi" odgovori ne prestrašijo: pri težavah s C2 je to običajna praksa. Raje bi bil presenečen nad "lepim" odgovorom v tem delu. Poleg tega, kot ste opazili, se praktično nisem zatekel k ničemur drugemu kot do Pitagorovega izreka in lastnosti višin enakostraničnega trikotnika. To pomeni, da sem za rešitev stereometričnega problema uporabil najmanjšo količino stereometrije. Dobiček pri tem delno "ugasnejo" precej okorni izračuni. So pa precej algoritemski!

2. Upodabljajmo pravilno šesterokotno piramido skupaj s koordinatnim sistemom in njeno osnovo:

Najti moramo kot med črtami in. Tako se naša naloga zmanjša na iskanje koordinat točk: . Zadnjim trem bomo koordinate poiskali z majhno risbo, preko koordinate točke pa bomo poiskali koordinato oglišča. Čaka nas veliko dela, vendar moramo začeti!

a) Koordinata: jasno je, da sta njena aplikata in ordinata enaki nič. Poiščimo absciso. Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku. Žal, v njej poznamo le hipotenuzo, ki je enaka. Poskusili bomo najti krak (kajti jasno je, da nam bo dvojna dolžina kraka dala absciso točke). Kako ga lahko iščemo? Spomnimo se, kakšno figuro imamo na dnu piramide? To je navaden šesterokotnik. Kaj to pomeni? To pomeni, da so vse stranice in vsi koti enaki. Najti moramo en tak kot. Kaj idej? Idej je veliko, vendar obstaja formula:

Vsota kotov pravilnega n-kotnika je .

Tako je vsota kotov pravilnega šesterokotnika enaka stopinjam. Potem je vsak od kotov enak:

Še enkrat poglejmo sliko. Jasno je, da je segment simetrala kota. Potem je kot enak stopinjam. Nato:

Od kod potem.

Torej ima koordinate

b) Zdaj zlahka najdemo koordinato točke: .

c) Poiščite koordinate točke. Ker njegova abscisa sovpada z dolžino segmenta, je enak. Tudi iskanje ordinate ni zelo težko: če povežemo piki in označimo presečišče premice kot npr. (naredi sam preprosta konstrukcija). Potem Tako je ordinata točke B enaka vsoti dolžin segmentov. Še enkrat poglejmo trikotnik. Potem

Potem od Potem ima točka koordinate

d) Zdaj pa poiščimo koordinate točke. Razmislite o pravokotniku in dokažite, da so torej koordinate točke:

e) Ostaja še najti koordinate oglišča. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. Poiščimo aplikacijo. Od takrat. Razmislite o pravokotnem trikotniku. Glede na pogoje problema stranski rob. To je hipotenuza mojega trikotnika. Potem je višina piramide krak.

Potem ima točka koordinate:

No, to je to, imam koordinate vseh točk, ki me zanimajo. Iščem koordinate usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

Iščemo kot med temi vektorji:

odgovor:

Ponovno, pri reševanju tega problema nisem uporabil nobenih sofisticiranih tehnik razen formule za vsoto kotov pravilnega n-kotnika ter definicije kosinusa in sinusa pravokotnega trikotnika.

3. Ker spet nimamo podanih dolžin robov v piramidi, jih bom štel za ena. Torej, ker so VSI robovi, in ne le stranski, enaki drug drugemu, potem je na dnu piramide in mene kvadrat, stranske ploskve pa so pravilni trikotniki. Narišimo takšno piramido in njeno osnovo na ravnini, pri čemer upoštevamo vse podatke, podane v besedilu naloge:

Iščemo kot med in. Ko bom iskal koordinate točk, bom naredil zelo kratke izračune. Morali jih boste "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njegove koordinate:

c) Dolžino odseka bom našel s pomočjo Pitagorovega izreka v trikotniku. Najdem ga s pomočjo Pitagorovega izreka v trikotniku.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate so

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Iskanje kota:

Kocka je najpreprostejša figura. Prepričan sem, da boš to ugotovil sam. Odgovori na nalogi 4 in 5 so naslednji:

Iskanje kota med premico in ravnino

No, čas preprostih ugank je mimo! Zdaj bodo primeri še bolj zapleteni. Za iskanje kota med premico in ravnino bomo postopali na naslednji način:

1. S pomočjo treh točk sestavimo enačbo ravnine
   ,
   z uporabo determinante tretjega reda.
2. Z dvema točkama iščemo koordinate usmerjevalnega vektorja premice:
3. Za izračun kota med premico in ravnino uporabimo formulo:

Kot lahko vidite, je ta formula zelo podobna tisti, ki smo jo uporabili za iskanje kotov med dvema ravnima črtama. Struktura na desni strani je preprosto enaka, na levi pa zdaj iščemo sinus, ne kosinusa kot prej. No, dodano je bilo eno grdo dejanje - iskanje enačbe ravnine.

Ne odlašajmo primeri rešitev:

1. Glavna-but-va-ni-em direktna prizma-smo enako slab trikotnik. Poiščite kot med premico in ravnino

2. V pravokotni par-ral-le-le-pi-pe-de z zahoda Poiščite kot med ravno črto in ravnino

3. V pravilni šestkotni prizmi so vsi robovi enaki. Poiščite kot med premico in ravnino.

4. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-em znanih reber Poiščite vogal, ob-ra-zo-van -ravno v osnovi in ​​naravnost, ki poteka skozi sivo rebra in

5. Dolžine vseh robov pravilne štirikotne pi-ra-mi-dy z vrhom so med seboj enake. Poiščite kot med premico in ravnino, če je točka na strani pi-ra-mi-dyjevega roba.

Spet bom prvi dve nalogi rešil podrobno, tretjo na kratko, zadnji dve pa pustil, da jo rešite sami. Poleg tega ste že imeli opravka s trikotnimi in štirikotnimi piramidami, s prizmami pa še ne.

rešitve:

1. Upodabljajmo prizmo in njeno osnovo. Združimo ga s koordinatnim sistemom in zabeležimo vse podatke, ki so podani v nalogi problema:

Opravičujem se za nekaj neupoštevanja razmerij, vendar za rešitev problema to pravzaprav ni tako pomembno. Ravnina je preprosto "zadnja stena" moje prizme. Dovolj je, da preprosto ugibate, da ima enačba takšne ravnine obliko:

Vendar je to mogoče prikazati neposredno:

Izberimo poljubne tri točke na tej ravnini: npr.

Ustvarimo enačbo ravnine:

Vaja za vas: to determinanto izračunajte sami. Vam je uspelo? Potem je enačba ravnine videti takole:

Ali preprosto

torej

Za rešitev primera moram najti koordinate smernega vektorja premice. Ker točka sovpada z izhodiščem koordinat, bodo koordinate vektorja preprosto sovpadale s koordinatami točke.Za to najprej poiščemo koordinate točke.

Če želite to narediti, razmislite o trikotniku. Narišimo višino (znano tudi kot mediana in simetrala) iz oglišča. Ker je ordinata točke enaka. Da bi našli absciso te točke, moramo izračunati dolžino segmenta. Po Pitagorovem izreku imamo:

Potem ima točka koordinate:

Pika je "dvignjena" pika:

Potem so vektorske koordinate:

odgovor:

Kot lahko vidite, pri reševanju takšnih težav ni nič bistveno težkega. Pravzaprav je postopek nekoliko bolj poenostavljen zaradi "naravnosti" figure, kot je prizma. Zdaj pa pojdimo na naslednji primer:

2. Narišite paralelepiped, v njej narišite ravnino in ravno črto ter ločeno narišite njegovo spodnjo osnovo:

Najprej poiščemo enačbo ravnine: koordinate treh točk, ki ležijo v njej:

(prvi dve koordinati sta pridobljeni na očiten način, zadnjo koordinato pa zlahka najdete na sliki iz točke). Nato sestavimo enačbo ravnine:

Izračunamo:

Iščemo koordinate vodilnega vektorja: Jasno je, da njegove koordinate sovpadajo s koordinatami točke, kajne? Kako najti koordinate? To so koordinate točke, dvignjene vzdolž aplikativne osi za ena! . Nato iščemo želeni kot:

odgovor:

3. Nariši pravilno šesterokotno piramido, nato pa vanjo nariši ravnino in premico.

Tukaj je celo problematično narisati ravnino, da ne omenjam reševanja tega problema, vendar metoda koordinat ne skrbi! Njegova vsestranskost je njegova glavna prednost!

Ravnina gre skozi tri točke: . Iščemo njihove koordinate:

1) . Koordinate za zadnji dve točki ugotovite sami. Za to boste morali rešiti problem šesterokotne piramide!

2) Konstruiramo enačbo ravnine:

Iščemo koordinate vektorja: . (Ponovno si oglejte problem trikotne piramide!)

3) Iskanje kota:

odgovor:

Kot lahko vidite, v teh nalogah ni nič nadnaravno težkega. Samo s koreninami morate biti zelo previdni. Odgovoril bom samo na zadnji dve težavi:

Kot lahko vidite, je tehnika reševanja problemov povsod enaka: glavna naloga je najti koordinate vozlišč in jih nadomestiti v določene formule. Upoštevati moramo še en razred problemov za računanje kotov, in sicer:

Računanje kotov med dvema ravninama

Algoritem rešitve bo naslednji:

1. S tremi točkami poiščemo enačbo prve ravnine:
2. Z ostalimi tremi točkami poiščemo enačbo druge ravnine:
3. Uporabimo formulo:

Kot lahko vidite, je formula zelo podobna prejšnjima dvema, s pomočjo katerih smo iskali kote med premicami in med premico in ravnino. Tega si torej ne bo težko zapomniti. Preidimo na analizo nalog:

1. Stranica osnove pravilne trikotne prizme je enaka, diagonala stranske ploskve pa enaka. Poiščite kot med ravnino in ravnino osi prizme.

2. V desnem štirikotnem pi-ra-mi-de, katerega vsi robovi so enaki, poiščite sinus kota med ravnino in ravninsko kostjo, ki poteka skozi točko per-pen-di-ku- lažnivec-ampak naravnost.

3. V pravilni štirikotni prizmi sta stranici podnožja enaki, stranski robovi pa enaki. Na robu od-me-che-on je točka, tako da. Poiščite kot med ravninama in

4. V pravilni štirikotni prizmi sta stranici osnove enaki, stranski robovi pa enaki. Na robu je točka od točke, tako da Poiščite kot med ravninama in.

5. V kocki poiščite so-si-nus kota med ravninama in

Rešitve težav:

1. Narišem pravilno (na dnu enakostranični trikotnik) trikotno prizmo in na njej označim ravnine, ki se pojavljajo v nalogi:

Najti moramo enačbi dveh ravnin: Enačba baze je trivialna: ustrezno determinanto lahko sestavite s tremi točkami, vendar bom enačbo sestavil takoj:

Zdaj pa poiščimo enačbo Točka ima koordinate Točka - Ker je mediana in nadmorska višina trikotnika, jo zlahka najdemo z uporabo Pitagorovega izreka v trikotniku. Potem ima točka koordinate: Poiščimo aplikacijo točke. Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku

Nato dobimo naslednje koordinate: Sestavimo enačbo ravnine.

Izračunamo kot med ravninama:

odgovor:

2. Izdelava risbe:

Najtežje je razumeti, kakšna skrivnostna ravnina je to, ki poteka pravokotno skozi točko. No, glavno je, kaj je to? Glavna stvar je pozornost! Pravzaprav je črta pravokotna. Ravna črta je tudi pravokotna. Potem bo ravnina, ki poteka skozi ti dve premici, pravokotna na premico in bo mimogrede šla skozi točko. Ta ravnina gre tudi skozi vrh piramide. Nato želeno letalo - In letalo nam je že podarjeno. Iščemo koordinate točk.

Skozi točko poiščemo koordinato točke. Iz majhne slike je enostavno razbrati, da bodo koordinate točke naslednje: Kaj je zdaj treba najti, da bi našli koordinate vrha piramide? Prav tako morate izračunati njegovo višino. To naredimo z uporabo istega Pitagorovega izreka: najprej to dokažimo (trivialno iz majhnih trikotnikov, ki na dnu tvorijo kvadrat). Ker imamo po pogoju:

Zdaj je vse pripravljeno: koordinate vozlišča:

Sestavimo enačbo ravnine:

Ste že strokovnjak za izračunavanje determinant. Brez težav boste prejeli:

Ali drugače (če obe strani pomnožimo s korenom iz dva)

Zdaj pa poiščimo enačbo ravnine:

(Nisi pozabil, kako dobimo enačbo ravnine, kajne? Če ne razumeš, od kod ta minus ena, potem se vrni k definiciji enačbe ravnine! Prej se je vedno izkazalo moje letalo je pripadalo izhodišču koordinat!)

Izračunamo determinanto:

(Morda boste opazili, da enačba ravnine sovpada z enačbo premice, ki poteka skozi točke in! Pomislite, zakaj!)

Zdaj pa izračunajmo kot:

Najti moramo sinus:

odgovor:

3. Zapleteno vprašanje: kaj je po vašem mnenju pravokotna prizma? To je le paralelepiped, ki ga dobro poznate! Takoj naredimo risbo! Sploh vam ni treba ločeno upodabljati baze; tukaj je malo uporabna:

Ravnina, kot smo že omenili, je zapisana v obliki enačbe:

Zdaj pa ustvarimo letalo

Takoj sestavimo enačbo ravnine:

Iščem kot:

Zdaj pa odgovori na zadnji dve težavi:

No, zdaj je čas, da si vzamemo malo odmora, saj sva ti in jaz super in sva opravila odlično delo!

Koordinate in vektorji. Napredni nivo

V tem članku bomo z vami razpravljali o drugem razredu problemov, ki jih je mogoče rešiti s koordinatno metodo: o problemih izračuna razdalje. Upoštevali bomo namreč naslednje primere:

1. Izračun razdalje med sekajočimi se črtami.

Te naloge sem razvrstil po naraščajoči težavnosti. Izkazalo se je, da ga je najlažje najti razdalja od točke do ravnine, najtežje pa je najti razdalja med križnimi črtami. Čeprav seveda nič ni nemogoče! Ne odlašajmo in takoj nadaljujmo z obravnavo prvega razreda težav:

Računanje razdalje od točke do ravnine

Kaj potrebujemo za rešitev tega problema?

1. Koordinate točk

Torej, takoj ko prejmemo vse potrebne podatke, uporabimo formulo:

Moral bi že vedeti, kako sestavimo enačbo ravnine iz prejšnjih problemov, ki sem jih obravnaval v zadnjem delu. Pojdimo takoj k nalogam. Shema je naslednja: 1, 2 - pomagam vam pri odločitvi in ​​nekoliko podrobneje, 3, 4 - samo odgovor, sami izvedete rešitev in primerjate. Začnimo!

Naloge:

1. Dana kocka. Dolžina roba kocke je enaka. Poiščite razdaljo od se-re-di-na od reza do ravnine

2. Glede na desni štiripremog pi-ra-mi-da je stranica strani enaka osnovi. Poiščite razdaljo od točke do ravnine, kjer - se-re-di-na robovih.

3. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-em je stranski rob enak, sto-ro-on os-no-vania pa je enak. Poiščite razdaljo od vrha do ravnine.

4. V pravilni šesterokotni prizmi so vsi robovi enaki. Poiščite razdaljo od točke do ravnine.

rešitve:

1. Nariši kocko z enojnimi robovi, sestavi segment in ravnino, sredino segmenta označi s črko

.

Najprej začnimo z enostavnim: poiščite koordinate točke. Od takrat (zapomnite si koordinate sredine segmenta!)

Zdaj sestavimo enačbo ravnine s pomočjo treh točk

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(matrika)) \right| = 0\]

Zdaj lahko začnem iskati razdaljo:

2. Ponovno začnemo z risbo, na kateri označimo vse podatke!

Za piramido bi bilo koristno, če bi njeno osnovo narisali posebej.

Tudi to, da rišem kot kura s šapo, nam ne bo preprečilo, da bi z lahkoto rešili ta problem!

Zdaj je preprosto najti koordinate točke

Ker so koordinate točke, torej

2. Ker so koordinate točke a sredina segmenta, potem

Brez težav lahko poiščemo koordinate še dveh točk na ravnini, sestavimo enačbo za ravnino in jo poenostavimo:

\[\levo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(matrika)) \right|) \right| = 0\]

Ker ima točka koordinate: , izračunamo razdaljo:

Odgovor (zelo redek!):

No, si ugotovil? Zdi se mi, da je tukaj vse tako tehnično kot v primerih, ki smo si jih ogledali v prejšnjem delu. Zato sem prepričan, da če ste to snov obvladali, vam ne bo težko rešiti preostalih dveh problemov. Dal vam bom samo odgovore:

Računanje razdalje od premice do ravnine

Pravzaprav tu ni nič novega. Kako se lahko premica in ravnina postavita relativno druga na drugo? Imajo samo eno možnost: sekajo se ali pa je premica vzporedna z ravnino. Kaj misliš, kakšna je razdalja od premice do ravnine, s katero se ta premica seka? Zdi se mi, da je tukaj jasno, da je taka razdalja enaka nič. Ni zanimiv primer.

Drugi primer je težavnejši: tu je razdalja že različna od nič. Ker pa je premica vzporedna z ravnino, je vsaka točka premice enako oddaljena od te ravnine:

Torej:

To pomeni, da se je moja naloga skrčila na prejšnjo: iščemo koordinate poljubne točke na premici, iščemo enačbo ravnine in računamo razdaljo od točke do ravnine. Pravzaprav so takšne naloge na enotnem državnem izpitu izjemno redke. Uspelo mi je najti le eno težavo, podatki v njej pa so bili takšni, da koordinatna metoda zanjo ni bila preveč uporabna!

Zdaj pa preidimo na drug, veliko pomembnejši razred problemov:

Izračunavanje razdalje točke do premice

Kaj potrebujemo?

1. Koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Koordinate katere koli točke, ki leži na premici

3. Koordinate usmerjevalnega vektorja premice

Kakšno formulo uporabljamo?

Kaj pomeni imenovalec tega ulomka, bi vam moralo biti jasno: to je dolžina usmerjevalnega vektorja premice. To je zelo zapleten števec! Izraz pomeni modul (dolžino) vektorskega produkta vektorjev in Kako izračunamo vektorski produkt, smo se učili v prejšnjem delu dela. Obnovite svoje znanje, zdaj ga bomo zelo potrebovali!

Tako bo algoritem za reševanje problemov naslednji:

1. Iščemo koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Iščemo koordinate poljubne točke na premici, do katere iščemo razdaljo:

3. Konstruirajte vektor

4. Konstruirajte usmerjevalni vektor premice

5. Izračunaj vektorski produkt

6. Iščemo dolžino nastalega vektorja:

7. Izračunajte razdaljo:

Čaka nas veliko dela, primeri pa bodo precej zapleteni! Torej zdaj usmerite vso svojo pozornost!

1. Podana je pravilna trikotna pi-ra-mi-da z vrhom. Sto-ro-na podlagi pi-ra-mi-dy je enak, vi ste enaki. Poiščite razdaljo od sivega roba do ravne črte, kjer sta točki in sivi robovi in ​​od veterinarja.

2. Dolžini reber in ravnega kota-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da sta ustrezno enaki in Poiščite razdaljo od vrha do ravne črte

3. V pravilni šesterokotni prizmi so vsi robovi enaki, poiščite razdaljo od točke do ravne črte

rešitve:

1. Naredimo lepo risbo, na kateri označimo vse podatke:

Čaka nas veliko dela! Najprej bi rad z besedami opisal, kaj bomo iskali in v kakšnem vrstnem redu:

1. Koordinate točk in

2. Koordinate točk

3. Koordinate točk in

4. Koordinate vektorjev in

5. Njihov navzkrižni produkt

6. Dolžina vektorja

7. Dolžina vektorskega produkta

8. Razdalja od do

Pa še veliko dela nas čaka! Lotimo se ga z zavihanimi rokavi!

1. Da bi našli koordinate višine piramide, moramo poznati koordinate točke. Njena aplikata je nič, njena ordinata pa je enaka njeni abscisi, ki je enaka dolžini segmenta. Ker je višina enakostranični trikotnik, je razdeljen v razmerju, šteto od vrha, od tod. Končno smo dobili koordinate:

Koordinate točk

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

Sredina segmenta

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski produkt:

6. Dolžina vektorja: najlažji način zamenjave je, da je segment srednjica trikotnika, kar pomeni, da je enak polovici osnove. torej.

7. Izračunajte dolžino vektorskega produkta:

8. Končno najdemo razdaljo:

Uf, to je to! Iskreno vam povem: reševanje tega problema s tradicionalnimi metodami (z gradnjo) bi bilo veliko hitrejše. Ampak tukaj sem vse zmanjšal na že pripravljen algoritem! Mislim, da vam je algoritem rešitve jasen? Zato vas bom prosil, da preostali dve težavi rešite sami. Primerjajmo odgovore?

Še enkrat ponavljam: te probleme je lažje (hitreje) rešiti s konstrukcijami, namesto da bi se zatekli k koordinatni metodi. To metodo rešitve sem prikazal samo zato, da vam pokažem univerzalno metodo, ki vam omogoča, da "ničesar ne dokončate."

Nazadnje razmislite o zadnjem razredu težav:

Izračunavanje razdalje med sekajočimi se črtami

Tukaj bo algoritem za reševanje problemov podoben prejšnjemu. Kaj imamo:

3. Vsak vektor, ki povezuje točke prve in druge črte:

Kako najdemo razdaljo med črtami?

Formula je naslednja:

Števec je modul mešanega produkta (predstavili smo ga v prejšnjem delu), imenovalec pa je, tako kot v prejšnji formuli (modul vektorskega produkta smernih vektorjev premic, razdaljo med katerimi smo iščejo).

Na to vas bom spomnil

Potem formulo za razdaljo lahko prepišemo kot:

To je determinanta deljena z determinanto! Čeprav, če sem iskren, tukaj nimam časa za šale! Ta formula je pravzaprav zelo okorna in vodi do precej zapletenih izračunov. Na tvojem mestu bi se k njemu zatekla le v skrajni sili!

Poskusimo rešiti nekaj težav z zgornjo metodo:

1. V pravilni trikotni prizmi, katere vsi robovi so enaki, poiščite razdaljo med ravnimi črtami in.

2. Glede na pravilno trikotno prizmo so vsi robovi baze enaki odseku, ki poteka skozi telo rebra, rebra se-re-di-well pa so kvadrat. Poiščite razdaljo med ravnimi črtami in

Jaz se odločim za prvo, na podlagi tega pa ti za drugo!

1. Narišem prizmo in označim ravne črte in

Koordinate točke C: potem

Koordinate točk

Vektorske koordinate

Koordinate točk

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\levo((B,\naddesna puščica (A(A_1)) \naddesna puščica (B(C_1)) ) \desno) = \levo| (\begin(matrika)(*(20)(l))(\begin(matrika)(*(20)(c))0&1&0\end(matrika))\\(\begin(matrika)(*(20) (c))0&0&1\end(matrika))\\(\begin(matrika)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\konec(matrika))\konec(matrika)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Izračunamo vektorski produkt med vektorji in

\[\naddesna puščica (A(A_1)) \cdot \naddesna puščica (B(C_1)) = \levo| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(matrika)\\\begin(matrika)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(matrika)\end(matrika) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\puščica naddesno k + \frac(1)(2)\puščica naddesno i \]

Zdaj izračunamo njegovo dolžino:

odgovor:

Sedaj poskusite pazljivo dokončati drugo nalogo. Odgovor nanj bo:.

Koordinate in vektorji. Kratek opis in osnovne formule

Vektor je usmerjen segment. - začetek vektorja, - konec vektorja.
Vektor označimo z oz.

Absolutna vrednost vektor - dolžina segmenta, ki predstavlja vektor. Označeno kot.

Vektorske koordinate:

,
kje so konci vektorja \displaystyle a .

Vsota vektorjev: .

Produkt vektorjev:

Pikčasti produkt vektorjev:

Recimo, da moramo najti enačbo ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici. Če njihove radijske vektorje označimo z in trenutni radijski vektor z , zlahka dobimo zahtevano enačbo v vektorski obliki. Pravzaprav morajo biti vektorji komplanarni (vsi ležijo v želeni ravnini). Zato mora biti vektorsko-skalarni produkt teh vektorjev enak nič:

To je enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke v vektorski obliki.

Če preidemo na koordinate, dobimo enačbo v koordinatah:

Če bi tri dane točke ležale na isti premici, bi bili vektorji kolinearni. Zato bi bili ustrezni elementi zadnjih dveh vrstic determinante v enačbi (18) sorazmerni in bi bila determinanta identično enaka nič. Posledično bi enačba (18) postala enaka za vse vrednosti x, y in z. Geometrijsko to pomeni, da skozi vsako točko v prostoru poteka ravnina, v kateri ležijo tri dane točke.

Opomba 1. Isti problem je mogoče rešiti brez uporabe vektorjev.

Če označimo koordinate treh danih točk, bomo zapisali enačbo katere koli ravnine, ki poteka skozi prvo točko:

Za pridobitev enačbe želene ravnine je potrebno zahtevati, da enačbi (17) zadostijo koordinate dveh drugih točk:

Iz enačb (19) je treba določiti razmerje med dvema koeficientoma in tretjim in ugotovljene vrednosti vnesti v enačbo (17).

Primer 1. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke.

Enačba ravnine, ki poteka skozi prvo od teh točk, bo:

Pogoji, da letalo (17) preleti še dve drugi točki in prvo točko, so:

Če dodamo drugo enačbo prvi, ugotovimo:

Če nadomestimo v drugo enačbo, dobimo:

Če nadomestimo v enačbo (17) namesto A, B, C oziroma 1, 5, -4 (števila, sorazmerna z njimi), dobimo:

Primer 2. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Enačba katere koli ravnine, ki poteka skozi točko (0, 0, 0), bo]

Pogoji za prehod te ravnine skozi točke (1, 1, 1) in (2, 2, 2) so:

Če drugo enačbo zmanjšamo za 2, vidimo, da za določitev dveh neznank obstaja ena enačba z

Od tu dobimo. Sedaj nadomestimo vrednost ravnine v enačbo in ugotovimo:

To je enačba želene ravnine; odvisno od poljubnega

količine B, C (in sicer iz relacije t.j. skozi tri dane točke poteka neskončno število ravnin (tri dane točke ležijo na isti premici).

Opomba 2. Problem risanja ravnine skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici, zlahka rešimo v splošni obliki, če uporabimo determinante. Dejansko, ker v enačbah (17) in (19) koeficienti A, B, C ne morejo biti hkrati enaki nič, potem, če upoštevamo te enačbe kot homogen sistem s tremi neznankami A, B, C, zapišemo potrebno in zadostno pogoj za obstoj rešitve tega sistema, ki je različna od nič (1. del, VI. poglavje, 6. odstavek):

Ko to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enačbo prve stopnje glede na trenutne koordinate, ki jo bodo zadovoljile zlasti koordinate treh danih točk.

To slednje lahko preverite tudi neposredno tako, da nadomestite koordinate katere koli od teh točk namesto . Na levi strani dobimo determinanto, v kateri so bodisi elementi prve vrstice ničle bodisi sta dve enaki vrstici. Tako sestavljena enačba predstavlja ravnino, ki poteka skozi tri dane točke.