Ki ležijo v isti ravnini in bodisi sovpadajo bodisi se ne sekajo. V nekaterih šolskih definicijah se sovpadajoče črte ne štejejo za vzporedne; taka definicija tukaj ni upoštevana.

Lastnosti

1. Paralelizem je binarno ekvivalenčno razmerje, torej razdeli celotno množico črt v razrede črt, ki so med seboj vzporedne.
2. Skozi katero koli dano točko je lahko natanko ena premica, ki je vzporedna z dano. To je značilna lastnost evklidske geometrije, v drugih geometrijah je številka 1 nadomeščena z drugimi (v geometriji Lobačevskega sta vsaj dve taki črti)
3. 2 vzporedni premici v prostoru ležita v isti ravnini.
4. Ko se dve vzporedni premici sekata, se imenuje tretja premica sekant:
   1. Sekans mora sekati obe premici.
   2. Pri križanju se oblikuje 8 vogalov, od katerih imajo nekateri značilni pari posebna imena in lastnosti:
      1. Ležeči križ koti so enaki.
      2. Oziroma koti so enaki.
      3. Enostransko seštevek kotov znaša 180°.

V geometriji Lobačevskega

V geometriji Lobačevskega v ravnini skozi točko Ni mogoče razčleniti izraza (leksikalna napaka): Czunaj te vrstice $AB$

Obstaja neskončno število ravnih črt, ki se ne sekajo AB. Od teh, vzporedno z AB imenovana sta samo dva.

Naravnost CE imenujemo enakokraka (vzporedna) premica AB v smeri od A Za B, Če:

1. točke B in E ležijo na eni strani ravne črte AC ;
2. naravnost CE ne prečka črte AB, ampak vsak žarek, ki poteka znotraj kota ACE, prečka žarek AB .

Podobno ravna črta, enakokraka AB v smeri od B Za A .

Vse druge premice, ki ne sekajo dane, se imenujejo ultra-vzporeden oz divergenten.

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

• Prečkane črte
• Nesterihin, Jurij Efremovič

Oglejte si, kaj so "vzporedne črte" v drugih slovarjih:

VZPOREDNE ČRTE- VZPOREDNE PREMICE, premice, ki se ne sekajo v isti ravnini ... Sodobna enciklopedija

VZPOREDNE ČRTE Veliki enciklopedični slovar

Vzporedne črte- VZPOREDNE PREMICE, premice, ki se ne sekajo in ležijo v isti ravnini. … Ilustrirani enciklopedični slovar

Vzporedne črte- v evklidski geometriji premice, ki ležijo v isti ravnini in se ne sekajo. V absolutni geometriji (glej Absolutna geometrija) skozi točko, ki ne leži na dani premici, poteka vsaj ena premica, ki ne seka dane premice. V…… Velika sovjetska enciklopedija

vzporedne črte so premice, ki se ne sekajo in ležijo v isti ravnini. * * * VZPOREDNE PREMICE VZPOREDNE PREMICE, premice, ki se ne sekajo v isti ravnini ... enciklopedični slovar

VZPOREDNE ČRTE- v evklidski geometriji premice, ki ležijo v isti ravnini in se ne sekajo. V absolutni geometriji gre skozi točko, ki ne leži na dani premici, vsaj ena premica, ki ne seka dane premice. V evklidski geometriji je samo ena ... ... Matematična enciklopedija

VZPOREDNE ČRTE premice, ki se ne sekajo in ležijo v isti ravnini... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Vzporedni svetovi v fantaziji- Ta članek lahko vsebuje izvirno raziskavo. Dodajte povezave do virov, sicer bo morda dano v izbris. Več informacij je lahko na pogovorni strani. To je ... Wikipedia

Paralelni svetovi - Vzporedni svet(v fikciji) realnost, ki nekako obstaja sočasno z našo, vendar neodvisno od nje. Ta samostojna resničnost se lahko razlikuje po velikosti od majhnega geografskega območja do celotnega vesolja. Vzporedno ... Wikipedia

Vzporedno- premice Premice imenujemo premice, če se niti same niti njihovi podaljški med seboj ne sekajo. Novice ene od teh ravnih črt so na enaki razdalji od druge. Vendar je običajno reči, da se dve ravni črti sekata v neskončnosti. Takšna…… Enciklopedija Brockhausa in Efrona

knjige

• Komplet miz. Matematika. 6. razred. 12 tabel + metodologija, . Tabele so natisnjene na debelem poligrafskem kartonu dimenzij 680 x 980 mm. Brošura z smernice za učitelja. Izobraževalni album 12 listov. Deljivost…

Navodilo

Preden začnemo z dokazom, se prepričajmo, da premice ležijo v isti ravnini in jih nanjo lahko narišemo. večina na preprost način dokaz je merilna metoda z ravnilom. Če želite to narediti, uporabite ravnilo za merjenje razdalje med ravnimi črtami na več mestih, kolikor je mogoče oddaljenih. Če razdalja ostane enaka, sta dani premici vzporedni. Toda ta metoda ni dovolj natančna, zato je bolje uporabiti druge metode.

Narišite tretjo črto tako, da seka obe vzporedni črti. Z njimi tvori štiri zunanje in štiri notranje kote. Razmislite o notranjih kotih. Tiste, ki ležijo skozi sekanto, imenujemo križno ležeče. Tisti, ki ležijo na eni strani, se imenujejo enostranski. S kotomerjem izmerite dva notranja diagonalna vogala. Če sta enaki, bosta črti vzporedni. Če ste v dvomih, izmerite enostranske notranje kote in dobljene vrednosti seštejte. Premice bodo vzporedne, če je vsota enostranskih notranjih kotov enaka 180º.

Če nimate kotomera, uporabite 90º kvadrat. Z njim zgradite pravokotno na eno od črt. Nato nadaljujte to pravokotnico tako, da seka drugo črto. Z istim kvadratom preveri, pod kakšnim kotom ga seka ta navpičnica. Če je tudi ta kot enak 90º, sta premici med seboj vzporedni.

V primeru, da so premice podane v kartezičnem koordinatnem sistemu, poiščite njihova vodila oziroma normalne vektorje. Če sta ta vektorja med seboj kolinearna, sta premici vzporedni. Pripeljite enačbo premic v splošno obliko in poiščite koordinate normalnega vektorja vsake od premic. Njegovi koordinati sta enaki koeficientoma A in B. V primeru, da je razmerje ustreznih koordinat normalnih vektorjev enako, sta ti kolinearni, premici pa vzporedni.

Na primer, ravne črte so podane z enačbami 4x-2y+1=0 in x/1=(y-4)/2. Prva enačba je splošni pogled, drugi je kanoničen. Drugo enačbo pripelji v splošno obliko. Za to uporabite pravilo pretvorbe deleža in na koncu boste dobili 2x=y-4. Po redukciji na splošno obliko dobimo 2x-y + 4 = 0. Ker je splošna enačba za katero koli premico zapisana Ax + Vy + C = 0, potem je za prvo premico: A = 4, B = 2 in za drugo premico A = 2, B = 1. Za prvo neposredno koordinato normalnega vektorja (4; 2), za drugo pa - (2; 1). Poiščite razmerje ustreznih koordinat normalnih vektorjev 4/2=2 in 2/1=2. Ti številki sta enaki, kar pomeni, da sta vektorja kolinearna. Ker sta vektorja kolinearna, sta premici vzporedni.

POGLAVJE III.
VZPOREDNE ČRTE

§ 35. ZNAKI VZPOREDNOSTI DVEH DIREKTNIH ČRT.

Izrek, da sta navpičnici na eno premico vzporedni (§ 33), daje znak, da sta premici vzporedni. Lahko dvignete več skupne značilnosti vzporednost dveh premic.

1. Prvi znak paralelizma.

Če sta v presečišču dveh premic s tretjo prečno ležeča notranja kota enaka, sta premici vzporedni.

Naj premici AB in CD sekata premico EF in / 1 = / 2. Vzemite točko O - sredino segmenta KL sekante EF (slika 189).

Spustimo navpičnico OM iz točke O na premico AB in jo nadaljujemo, dokler se ne preseka s premico CD, AB_|_MN. Dokažimo, da je CD_|_MN.
Če želite to narediti, upoštevajte dva trikotnika: MOE in NOK. Ti trikotniki so med seboj enaki. Prav zares: / 1 = / 2 po pogoju izreka; OK = OL - po konstrukciji;
/ MOL = / NOK kako navpični koti. Tako so stranica in dva kota, ki mejita nanjo, enega trikotnika enaka stranici in dvema kotoma, ki mejita nanjo, drugega trikotnika; torej, /\ MOL = /\ NOK in s tem
/ LMO = / no ampak / LMO je torej neposreden in / KNO je tudi neposreden. Premici AB in CD sta torej pravokotni na isto premico MN, torej sta vzporedni (§ 33), kar je bilo treba dokazati.

Opomba. Sečišče premic MO in CD lahko ugotovimo tako, da trikotnik MOL zavrtimo okoli točke O za 180°.

2. Drugi znak vzporednosti.

Poglejmo, ali sta premici AB in CD vzporedni, če sta v presečišču njune tretje premice EF ustrezna kota enaka.

Naj bodo na primer nekateri ustrezni koti enaki / 3 = / 2 (raz. 190);
/ 3 = / 1, saj so vogali navpični; pomeni, / 2 bo enako / 1. Toda kota 2 in 1 sta notranja navzkrižna kota in že vemo, da če sta na presečišču dveh ravnih črt s tretjo notranja navzkrižno ležeča kota enaka, potem sta ti premici vzporedni. Zato je AB || CD.

Če sta v presečišču dveh premic tretje ustrezna kota enaka, sta ti premici vzporedni.

Na tej lastnosti temelji gradnja vzporednih črt s pomočjo ravnila in risalnega trikotnika. To se naredi na naslednji način.

Pritrdimo trikotnik na ravnilo, kot je prikazano na risbi 191. Trikotnik bomo premaknili tako, da bo ena od njegovih stranic drsela po ravnilu, in po kateri koli drugi strani trikotnika narisali več ravnih črt. Te črte bodo vzporedne.

3. Tretji znak vzporednosti.

Naj vemo, da je v presečišču dveh premic AB in CD s tretjo premico vsota vseh notranjih enostraničnih kotov enaka 2. d(ali 180°). Ali bosta premici AB in CD v tem primeru vzporedni (slika 192).

Pustiti / 1 in / 2 notranja enostranska kota in seštejte 2 d.
Ampak / 3 + / 2 = 2d kot sosednji koti. torej / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Od tod / 1 = / 3, ti vogali pa znotraj ležijo navzkrižno. Zato je AB || CD.

Če je v presečišču dveh premic s tretjo vsota notranjih enostranskih kotov enaka 2 d, potem sta premici vzporedni.

telovadba.

Dokaži, da sta premici vzporedni:
a) če sta zunanji prečni koti enaki (slika 193);
b) če je vsota zunanjih enostraničnih kotov 2 d(hudič 194).

Vzporednost dveh premic lahko dokažemo na podlagi izreka, po katerem bosta dve navpičnici, narisani na eno premico, vzporedni. Obstajajo določeni znaki vzporednih črt - trije so in vse jih bomo obravnavali natančneje.

Prvi znak paralelizma

Premici sta vzporedni, če sta v presečišču njune tretje premice tvorjena notranja kota, ki ležita navzkrižno, enaka.

Recimo, da sta v presečišču premic AB in CD s premico EF nastala kota /1 in /2. Enaki sta, saj premica EF poteka pod enakim naklonom glede na drugi dve premici. Na presečišču črt postavimo točke Ki L - imamo segment sekante EF. Poiščemo njegovo sredino in postavimo točko O (slika 189).

Na premico AB spustimo navpičnico iz točke O. Imenujmo jo OM. Navpičnico nadaljujemo, dokler se ne preseka s premico CD. Posledično je prvotna premica AB strogo pravokotna na MN, kar pomeni, da je CD _ | _ MN, vendar ta izjava zahteva dokaz. Kot rezultat risanja navpičnice in presečišča smo oblikovali dva trikotnika. Eden od njih je MOJ, drugi je NOK. Razmislimo o njih podrobneje. znaki vzporednih daljic 7. razred

Ti trikotniki so enaki, ker je v skladu s pogoji izreka /1 = /2 in v skladu s konstrukcijo trikotnikov stranica OK = stranica OL. Kot MOL =/NOK, ker so to navpični koti. Iz tega sledi, da so stranica in dva kota, ki mejita nanjo, enega od trikotnikov enaka stranici in dvema kotoma, ki mejita nanjo, drugega trikotnika. Tako je trikotnik MOL \u003d trikotnik NOK in s tem kot LMO \u003d kot KNO, vendar vemo, da je / LMO pravi, kar pomeni, da je tudi ustrezni kot KNO pravi. To pomeni, da smo uspeli dokazati, da sta premica AB in premica CD pravokotni na premico MN. To pomeni, da sta AB in CD vzporedna. To smo morali dokazati. Oglejmo si še preostale znake vzporednih premic (razred 7), ki se od prvega znaka razlikujejo po načinu dokaza.

Drugi znak paralelizma

Glede na drugi znak vzporednosti premic moramo dokazati, da bodo koti, dobljeni v procesu presečišča vzporednih premic AB in CD s premico EF, enaki. Tako znaki vzporednosti dveh črt, tako prve kot druge, temeljijo na enakosti kotov, ki jih dobimo, ko jih prečka tretja črta. Predpostavimo, da je /3 = /2, kot 1 = /3, ker je navpičen nanj. Tako bosta in /2 enaka kotu 1, vendar je treba upoštevati, da sta tako kot 1 kot 2 notranja, navzkrižno ležeča kota. Zato nam ostane, da uporabimo svoje znanje, in sicer, da bosta dva odseka vzporedna, če bosta v njunem presečišču s tretjo premico nastala navzkrižno ležeča kota enaka. Tako smo ugotovili, da je AB || CD.

Uspelo nam je dokazati, da je pod pogojem, da sta dve navpičnici vzporedni na eno premico, po ustreznem izreku predznak vzporednosti premic očiten.

Tretji znak vzporednosti

Obstaja še tretji kriterij vzporednosti, ki se dokazuje z vsoto enostranskih notranjih kotov. Takšen dokaz znaka vzporednosti premic nam omogoča sklep, da bosta dve premici vzporedni, če bo vsota dobljenih enostranskih notranjih kotov, ko se sekata s tretjo premico, enaka 2d. Glej sliko 192.

V tem članku bomo govorili o vzporednih črtah, dali definicije, označili znake in pogoje vzporednosti. Za jasnost teoretičnega gradiva bomo uporabili ilustracije in rešitve tipičnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Vzporedne premice v ravnini sta dve premici v ravnini, ki nimata skupne točke.

Definicija 2

Vzporedne črte v 3D prostoru- dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki ležita v isti ravnini in nimata skupnih točk.

Opozoriti je treba, da je za določanje vzporednih premic v prostoru izjemno pomembno pojasnilo »leži v isti ravnini«: dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki nimata skupnih točk in ne ležita v isti ravnini, nista vzporedni, a sekajoči.

Za označevanje vzporednih premic je običajno uporabiti simbol ∥. Če sta dani premici a in b vzporedni, je treba ta pogoj na kratko zapisati takole: a ‖ b . Verbalno vzporednost premic označimo takole: premici a in b sta vzporedni ali premica a je vzporedna s premico b ali premica b vzporedna s premico a.

Oblikujmo izjavo, ki igra pomembno vlogo v obravnavani temi.

Aksiom

Skozi točko, ki ne pripada dani premici, teče samo ena premica, vzporedna z dano premico. Te trditve ni mogoče dokazati na podlagi znanih aksiomov planimetrije.

V primeru, ko pogovarjamo se glede prostora velja izrek:

1. izrek

Skozi vsako točko v prostoru, ki ne pripada dani premici, bo le ena premica vzporedna z dano.

Ta izrek je enostavno dokazati na podlagi zgornjega aksioma (program geometrije za 10.-11. razred).

Predznak vzporednosti je zadosten pogoj, da so premice vzporedne. Z drugimi besedami, izpolnitev tega pogoja zadostuje za potrditev dejstva vzporednosti.

Predvsem obstajajo potrebni in zadostni pogoji za vzporednost premic v ravnini in v prostoru. Pojasnimo: nujno pomeni pogoj, katerega izpolnitev je nujna za vzporedne daljice; če ni izpolnjena, premice niso vzporedne.

Če povzamemo, je nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic takšen pogoj, katerega upoštevanje je potrebno in zadostno, da so premice med seboj vzporedne. Po eni strani je to znak vzporednosti, po drugi strani pa lastnost, ki je lastna vzporednim črtam.

Preden podamo natančno formulacijo potrebnih in zadostnih pogojev, se spomnimo še nekaj dodatnih pojmov.

Definicija 3

sekanto je premica, ki seka vsako od dveh danih nesovpadajočih premic.

Sekanta, ki seka dve ravni črti, tvori osem nerazširjenih kotov. Za oblikovanje potrebnega in zadostnega pogoja bomo uporabili takšne vrste kotov, kot so navzkrižno ležeči, ustrezni in enostranski. Predstavimo jih na sliki:

2. izrek

Če dve premici na ravnini sekata sekanto, potem je za vzporednost danih premic nujno in dovolj, da sta navzkrižno ležeča kota enaka ali pripadajoči koti enaki ali da je vsota enostranskih kotov enaka 180. stopnje.

Grafično ponazorimo nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic na ravnini:

Dokaz teh pogojev je prisoten v programu geometrije za 7.–9.

Na splošno veljajo ti pogoji tudi za tridimenzionalni prostor, pod pogojem, da premica in sekanta pripadata isti ravnini.

Naj izpostavimo še nekaj izrekov, ki se pogosto uporabljajo pri dokazovanju dejstva, da so premice vzporedne.

Izrek 3

V ravnini sta dve premici, vzporedni s tretjo, med seboj vzporedni. Ta lastnost je dokazana na podlagi zgoraj omenjenega aksioma vzporednosti.

Izrek 4

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, vzporedni s tretjo, vzporedni druga z drugo.

Dokaz atributa se obravnava v programu geometrije za 10. razred.

Ponujamo ilustracijo teh izrekov:

Naj navedemo še en par izrekov, ki dokazujejo vzporednost premic.

Izrek 5

V ravnini sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Formulirajmo podobno za tridimenzionalni prostor.

Izrek 6

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Naj ponazorimo:

Vsi zgornji izreki, znaki in pogoji omogočajo priročno dokazovanje vzporednosti črt z metodami geometrije. To pomeni, da lahko za dokaz vzporednosti črt pokažemo, da so ustrezni koti enaki, ali dokažemo dejstvo, da sta dve dani črti pravokotni na tretjo in tako naprej. Vendar ugotavljamo, da je pogosto bolj priročno uporabiti koordinatno metodo za dokazovanje vzporednosti črt v ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru.

Vzporednost daljic v pravokotnem koordinatnem sistemu

V danem pravokotnem koordinatnem sistemu je premica določena z enačbo premice na ravnini enega od možne vrste. Podobno premica, podana v pravokotnem koordinatnem sistemu v tridimenzionalnem prostoru, ustreza nekaterim enačbam premice v prostoru.

Zapišimo potrebne in zadostne pogoje za vzporednost premic v pravokotnem koordinatnem sistemu glede na vrsto enačbe, ki opisuje dane premice.

Začnimo s pogojem vzporednih premic v ravnini. Temelji na definicijah smernega vektorja premice in normalnega vektorja premice v ravnini.

Izrek 7

Da sta dve neskladni premici vzporedni na ravnini, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja danih premic kolinearna, normalna vektorja danih premic kolinearna ali da je smerni vektor ene premice pravokoten na normalni vektor druge premice.

Očitno postane, da pogoj vzporednosti premic na ravnini temelji na pogoju kolinearnosti vektorjev ali na pogoju pravokotnosti dveh vektorjev. To je, če sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja premic a in b ;

in n b → = (n b x , n b y) sta normalna vektorja premic a in b , potem zgornji nujni in zadostni pogoj zapišemo takole: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ali n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ali a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kjer je t neko realno število. Koordinate usmerjevalnih ali direktnih vektorjev določajo dane enačbe premic. Oglejmo si glavne primere.

1. Premica a v pravokotnem koordinatnem sistemu je definirana splošna enačba neposredno: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; vrstica b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Potem bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (A 1 , B 1) oziroma (A 2 , B 2). Pogoj vzporednosti zapišemo takole:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Premica a je opisana z enačbo premice z naklonom oblike y = k 1 x + b 1 . Ravna črta b - y \u003d k 2 x + b 2. Nato bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (k 1 , - 1) oziroma (k 2 , - 1), pogoj vzporednosti pa zapišemo takole:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Torej, če so vzporedne črte na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu podane z enačbami nagiba, potem faktorji naklona bodo dane črte enake. In obratna trditev velja: če so nesovpadajoče premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu določene z enačbami premice z enakimi koeficienti naklona, ​​potem so te dane premice vzporedne.

1. Premici a in b v pravokotnem koordinatnem sistemu sta podani s kanoničnimi enačbami premice na ravnini: x - x 1 a x = y - y 1 a y in x - x 2 b x = y - y 2 b y ali parametričnimi enačbami premice na ravnini: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y in x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Potem bodo smerni vektorji danih premic: a x , a y oziroma b x , b y, pogoj vzporednosti pa zapišemo takole:

a x = t b x a y = t b y

Poglejmo si primere.

Primer 1

Podani sta dve premici: 2 x - 3 y + 1 = 0 in x 1 2 + y 5 = 1 . Ugotoviti morate, ali sta vzporedni.

rešitev

Enačbo premice v segmentih zapišemo v obliki splošne enačbe:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo, da je n a → = (2 , - 3) normalni vektor premice 2 x - 3 y + 1 = 0 in n b → = 2 , 1 5 normalni vektor premice x 1 2 + y 5 = 1.

Nastali vektorji niso kolinearni, ker ni takšne vrednosti t, za katero bi veljala enakost:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Tako nujni in zadostni pogoj vzporednosti premic na ravnini ni izpolnjen, kar pomeni, da dani premici nista vzporedni.

odgovor: dani premici nista vzporedni.

Primer 2

Dani sta premici y = 2 x + 1 in x 1 = y - 4 2 . Ali sta vzporedna?

rešitev

Pretvorimo kanonično enačbo ravne črte x 1 \u003d y - 4 2 v enačbo ravne črte z naklonom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo, da enačbi premic y = 2 x + 1 in y = 2 x + 4 nista enaki (če bi bilo drugače, bi bile premice enake) in nakloni premic enaki, kar pomeni, da dani premici sta vzporedni.

Poskusimo problem rešiti drugače. Najprej preverimo, ali dani premici sovpadata. Uporabimo katero koli točko črte y \u003d 2 x + 1, na primer (0, 1) , koordinate te točke ne ustrezajo enačbi črte x 1 \u003d y - 4 2, kar pomeni, da črte ne sovpadajo.

Naslednji korak je ugotavljanje izpolnjenosti pogoja vzporednosti za dane premice.

Normalni vektor premice y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , smerni vektor druge dane premice pa je b → = (1 , 2) . Skalarni produkt teh vektorjev je nič:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektorja sta torej pravokotna: to nam dokazuje, da je izpolnjen nujen in zadosten pogoj, da so prvotne premice vzporedne. Tisti. dane premice so vzporedne.

odgovor: te črte so vzporedne.

Za dokaz vzporednosti premic v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora uporabimo naslednji nujni in zadostni pogoj.

Izrek 8

Da sta dve neskladni premici v tridimenzionalnem prostoru vzporedni, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja teh premic kolinearna.

Tisti. za dane enačbe premic v tridimenzionalnem prostoru odgovor na vprašanje, ali so vzporedne ali ne, najdemo z določitvijo koordinat smernih vektorjev danih premic ter preverimo pogoj njihove kolinearnosti. Z drugimi besedami, če sta a → = (a x, a y, a z) in b → = (b x, b y, b z) smerni vektorji premic a oziroma b, potem, da bi bili vzporedni, obstoj takega realnega števila t je potrebno, tako da velja enakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primer 3

Dani premici x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 in x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Treba je dokazati vzporednost teh premic.

rešitev

Pogoji problema so kanonične enačbe ene premice v prostoru in parametrične enačbe druge premice v prostoru. Vektorji smeri a → in b → dane premice imajo koordinate: (1 , 0 , - 3) in (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , potem a → = 1 2 b → .

Zato je nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic v prostoru izpolnjen.

odgovor: dokazana je vzporednost danih premic.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter