Navodilo

Če je dani trikotnik enakokrak ali pravilen, to pomeni, da ima
dve ali tri stranice, potem pa njena simetrala, glede na lastnost trikotnik, bo tudi mediana. In zato bo nasprotje razdelilo simetralo na pol.

Izmerite nasprotno stran z ravnilom trikotnik kamor bo težila simetrala. To stran razdelite na pol in na sredino stranice postavite piko.

Skozi konstruirano točko in nasprotno oglišče nariši premico. To bo simetrala trikotnik.

Viri:

• Mediane, simetrale in višine trikotnika

Razpolovitev kota in izračun dolžine črte, narisane od njegovega vrha do nasprotne strani, je nujna za sekače, geodete, monterje in ljudi nekaterih drugih poklicev.

Boste potrebovali

• Orodja Svinčnik Ravnilo Kotomer Tabele sinusov in kosinusov Matematične formule in koncepti: Definicija simetrale Sinusni in kosinusni izrek Simetralni izrek

Navodilo

Zgradite trikotnik potrebne velikosti in velikosti, odvisno od tega, kaj vam je dano? dfe stranice in kot med njima, tri stranice ali dva kota in stranica, ki se nahaja med njima.

Označite oglišča vogalov in stranice s tradicionalnimi latinskimi A, B in C. Oglišča vogalov so označena, nasprotne strani so male črke. Označite vogale z grškimi črkami?,? in?

Z uporabo sinusnega in kosinusnega izreka izračunajte kote in stranice trikotnik.

Zapomni si simetrale. Simetrala - delitev kota na pol. Simetrala kota trikotnik deli nasprotje na dva segmenta, kar je enako razmerju obeh sosednjih stranic trikotnik.

Nariši simetrale kotov. Nastale odseke označi z napisanimi imeni kotov male črke, z indeksom l. Stran c je razdeljena na segmenta a in b z indeksoma l.

Izračunajte dolžine nastalih odsekov z uporabo sinusnega izreka.

Sorodni videoposnetki

Opomba

Dolžina odseka, ki je hkrati stranica trikotnika, ki ga tvori ena od strani prvotnega trikotnika, simetrala in sam odsek, se izračuna s pomočjo sinusnega izreka. Za izračun dolžine drugega segmenta iste stranice uporabite razmerje med nastalimi segmenti in sosednjimi stranicami prvotnega trikotnika.

Koristen nasvet

Da ne bi prišlo do zmede, narišite simetrale različne kote drugačna barva.

simetrala kotiček imenujemo žarek, ki se začne na vrhu kotiček in ga razdeli na dva enaka dela. Tisti. zapraviti simetrala, morate najti sredino kotiček. Najlažji način za to je s kompasom. V tem primeru vam ni treba narediti nobenih izračunov in rezultat ne bo odvisen od tega, ali je vrednost kotiček celo število.

Boste potrebovali

• šestilo, svinčnik, ravnilo.

Navodilo

Pustite širino odprtine kompasa enako, nastavite iglo na konec segmenta na eni od strani in narišite del kroga tako, da se nahaja znotraj kotiček. Enako storite z drugim. Dobili boste dva dela krogov, ki se bosta znotraj sekala kotiček- približno na sredini. Deli krogov se lahko sekajo v eni ali dveh točkah.

Sorodni videoposnetki

Koristen nasvet

Za sestavo simetrale kota lahko uporabite kotomer, vendar ta metoda zahteva večjo natančnost. V tem primeru, če vrednost kota ni celo število, se poveča verjetnost napak pri konstrukciji simetrale.

Pri gradnji ali razvoju projektov oblikovanja doma je pogosto treba graditi kotiček enaka že prisotni. Na pomoč priskočijo predloge in šolsko znanje geometrije.

Navodilo

Kot tvorita dve ravni črti, ki izhajata iz iste točke. To točko bomo imenovali vrh vogala, črte pa bodo stranice vogala.

S tremi označite vogale: enega na vrhu, dva ob straneh. se imenujejo kotiček, začenši s črko, ki stoji na eni strani, nato imenujejo črko na vrhu in nato črko na drugi strani. Če želite drugače, uporabite druge za označevanje vogalov. Včasih se imenuje samo ena črka, ki je na vrhu. In kote lahko označite z grškimi črkami, na primer α, β, γ.

Obstajajo situacije, ko je to potrebno kotiček tako da je že dan kotiček. Če pri gradnji ni mogoče uporabiti kotomera, se lahko rešite le z ravnilom in šestilom. Recimo, da morate na črti, označeni s črkami MN, graditi kotiček v točki K, tako da je enaka kotu B. To pomeni, da je iz točke K potrebno narisati ravno črto, s črto MN kotiček, ki bo enak kotu B.

Najprej označite točko na vsaki strani tega vogala, na primer točki A in C, nato povežite točki C in A z ravno črto. Get tre kotiček nik ABC.

Zdaj zgradite iste tri na črti MN kotiček oglišče B je na premici v točki K. Uporabi pravilo za sestavo trikotnika kotiček 03:00. Od točke K odmaknite segment KL. Mora biti enak segmentu BC. Dobite točko L.

Iz točke K narišite krog s polmerom, ki je enak segmentu BA. Iz L nariši krog s polmerom CA. Povežite nastalo točko (P) presečišča dveh krogov s K. Dobite tri kotiček nick KPL, ki bo enak trem kotiček niku ABC. Torej dobiš kotiček K. To bo enako kotu B. Da bi bilo bolj priročno in hitreje, odložite enake segmente od točke B, z uporabo ene rešitve kompasa, ne da bi premaknili noge, opišite krog z enakim polmerom iz točke K.

Sorodni videoposnetki

Nasvet 5: Kako narisati trikotnik z dvema stranicama in mediano

Trikotnik je najpreprostejša geometrijska figura, ki ima tri oglišča, ki so v parih povezana z odseki, ki tvorijo stranice tega mnogokotnika. Odsek, ki povezuje oglišče s središčem nasprotne stranice, se imenuje mediana. Če poznate dolžini obeh stranic in mediano, ki se povezuje v enem od oglišč, lahko sestavite trikotnik, ne da bi poznali dolžino tretje stranice ali kote.

Navodilo

Iz točke A nariši odsek, katerega dolžina je ena od znanih stranic trikotnika (a). Označite končno točko tega segmenta s črko B. Po tem se ena od strani (AB) želenega trikotnika že lahko šteje za zgrajeno.

S šestilom narišite krog s polmerom, ki je enak dvakratni dolžini mediane (2∗m) in s središčem v točki A.

S šestilom narišite drugi krog s polmerom, ki je enak dolžini znane stranice (b) in s središčem v točki B. Šestilo za nekaj časa odložite, izmerjenega pa pustite na njem – znova ga boste potrebovali malo kasneje.

Konstruirajte odsek, ki povezuje točko A s presečiščem obeh, ki ste ju narisali. Polovica tega segmenta bo tista, ki jo gradite - izmerite to polovico in postavite točko M. Na tej točki imate eno stran želenega trikotnika (AB) in njegovo sredino (AM).

S šestilom narišite krog s polmerom, ki je enak dolžini druge znane stranice (b) in s središčem v točki A.

Narišite segment, ki naj se začne v točki B, poteka skozi točko M in se konča na presečišču črte s krogom, ki ste ga narisali v prejšnjem koraku. Točko presečišča označimo s črko C. Sedaj je v zahtevani stranici vgrajena tudi stran BC, ki je v pogojih problema ne poznamo.

Sposobnost razdelitve katerega koli kota s simetralo je potrebna ne le za oceno "A" pri matematiki. To znanje bo zelo koristno za gradbenika, oblikovalca, geodeta in šivilja. V življenju je veliko stvari, ki jih je treba razdeliti.

Vsi v šoli so učili šalo o podgani, ki teka okoli vogalov in deli vogal na pol. Tega okretnega in inteligentnega glodavca so imenovali Simetrala. Ni znano, kako je podgana razdelila vogal, matematiki v šolskem učbeniku "Geometrija" pa lahko ponudijo naslednje metode.

S pomočjo kotomera

Simetralo najlažje narišemo s pripomočkom za. Kotomer je treba pritrditi na eno stran kota, tako da referenčno točko poravnate s konico O. Nato izmerite kot v stopinjah ali radianih in ga razdelite na dva. S pomočjo istega kotomera odložimo stopinje, dobljene z ene od stranic, in narišemo ravno črto, ki bo postala simetrala, do točke, kjer se začne kot O.

S pomočjo kroga

Morate vzeti šestilo in ga razviti na poljubno velikost (znotraj risbe). Ko nastavite konico na točko začetka kota O, narišite lok, ki seka žarke, in na njih označite dve točki. Označimo jih z A1 in A2. Nato z izmenično nastavitvijo kompasa na teh točkah narišite dva kroga enakega poljubnega premera (v merilu risbe). Točki njihovega presečišča sta označeni s C in B. Nato morate skozi točke O, C in B narisati ravno črto, ki bo želena simetrala.

Z ravnilom

Če želite z ravnilom narisati simetralo kota, morate na žarkih (stranicah) od točke O odložiti odseke enake dolžine in jih označiti s točkama A in B. Nato jih povežite z ravno črto in z ravnilom razdelite dobljeni segment na pol in označite točko C. Simetralo dobite tako, da narišete premico skozi točki C in O.

Brez orodja

Če ni merilnih orodij, lahko uporabite iznajdljivost. Dovolj je le, da na pavs papir ali navaden tanek papir narišete kot in previdno zložite list, tako da so žarki kota poravnani. Pregibna črta na risbi bo želena simetrala.

Razširjen kot

Na enak način lahko s simetralo razdelimo kot, večji od 180 stopinj. Samo ne bo ga treba razdeliti, ampak ostri kot, ki meji nanj, ki ostane iz kroga. Nadaljevanje najdene simetrale bo postala želena ravna črta, ki razdeli razširjeni kot na polovico.

Koti v trikotniku

Ne smemo pozabiti, da je v enakostraničnem trikotniku simetrala tudi mediana in višina. Zato lahko simetralo v njem najdemo tako, da navpičnico preprosto spustimo na stran, ki je nasprotna kotu (višina), ali pa to stran razdelimo na pol in središčno točko povežemo z nasprotnim kotom (mediana).

Sorodni videoposnetki

Mnemonično pravilo "simetrala je podgana, ki teče okoli vogalov in jih deli na pol" opisuje bistvo koncepta, vendar ne daje priporočil za izdelavo simetrale. Za risanje boste poleg pravila potrebovali še šestilo in ravnilo.

Navodilo

Recimo, da morate graditi simetrala kotiček A. Vzemite šestilo, ga postavite s konico na točko A (kot) in narišite krog poljubnega . Kjer seka stranice vogala, postavite točki B in C.

Izmerite polmer prvega kroga. Narišite še enega z enakim polmerom, tako da šestilo postavite na točko B.

Narišite naslednji krog (enake velikosti kot prejšnji) s središčem v točki C.

Vse tri krožnice se morajo sekati v eni točki – recimo ji F. Z ravnilom narišemo žarek, ki gre skozi točki A in F. To bo želena simetrala kota A.

Obstaja več pravil, ki vam bodo pomagala najti. Na primer, nasprotno je v , enako razmerju dveh sosednjih strani. v enakokrakem

Simetrala trikotnika je običajen geometrijski koncept, ki ne povzroča večjih težav pri učenju. Če poznamo njegove lastnosti, je mogoče številne težave rešiti brez večjih težav. Kaj je simetrala? Bralca bomo poskušali seznaniti z vsemi skrivnostmi te matematične linije.

V stiku z

Bistvo koncepta

Ime koncepta je prišlo iz uporabe besed v latinščini, katerih pomen je "bi" - dva, "sectio" - rez. Posebej se nanašajo na geometrijski smisel koncepti - razbijanje prostora med žarki na dva enaka dela.

Simetrala trikotnika je segment, ki izvira iz vrha figure, drugi konec pa je postavljen na stran, ki se nahaja nasproti njega, medtem ko prostor deli na dva enaka dela.

Mnogi učitelji za hitro asociativno pomnjenje matematičnih pojmov s strani učencev uporabljajo drugačno terminologijo, ki je prikazana v verzih ali asociacijah. Seveda je ta definicija priporočljiva za starejše otroke.

Kako je označena ta vrstica? Tu se opiramo na pravila za označevanje segmentov ali žarkov. če pogovarjamo se o oznaki simetrale kota trikotne figure, potem je običajno zapisan kot segment, katerega konci so oglišča in presečišča z nasprotno stranjo oglišča. Poleg tega je začetek oznake napisan točno od zgoraj.

Pozor! Koliko simetral ima trikotnik? Odgovor je očiten: kolikor je oglišč - tri.

Lastnosti

Poleg definicije v šolskem učbeniku ni toliko lastnosti tega geometrijskega pojma. Prva lastnost simetrale trikotnika, s katero se seznanijo šolarji, je vpisano središče, druga, neposredno povezana z njim, pa je sorazmernost segmentov. Bistvo je naslednje:

1. Ne glede na to, kakšna je ločnica, so na njej točke, ki so na enaki razdalji od stranic, ki sestavljajo prostor med žarki.
2. Da bi v trikotnik vpisali krog, je treba določiti točko, v kateri se bodo ti segmenti sekali. Tako je osrednja točka krogih.
3. Deli stranice trikotnega geometrijskega lika, na katere je razdeljen z ločnico, so V proporcionalna odvisnost iz ovinkov.

Preostale lastnosti bomo skušali združiti v sistem in predstaviti dodatna dejstva, ki bodo pomagala bolje razumeti prednosti tega geometrijskega koncepta.

Dolžina

Ena od vrst nalog, ki povzročajo težave šolarjem, je iskanje dolžine simetrale kota trikotnika. Prva možnost, v kateri je njegova dolžina, vsebuje naslednje podatke:

• velikost prostora med žarki, iz vrha katerega izhaja dani segment;
• dolžine stranic, ki tvorijo ta kot.

Za rešitev problema uporablja se formula, katerega pomen je najti razmerje med podvojenim produktom vrednosti stranic, ki sestavljajo kot, s kosinusom njegove polovice, in vsoto stranic.

Poglejmo konkreten primer. Recimo, da imamo figuro ABC, v kateri je segment narisan iz kota A in seka stran BC v točki K. Vrednost A označimo z Y. Na podlagi tega je AK ​​\u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Druga različica problema, v kateri je določena dolžina simetrale trikotnika, vsebuje naslednje podatke:

• znane so vrednosti vseh strani figure.

Pri reševanju tovrstnega problema na začetku določite polperimeter. Če želite to narediti, dodajte vrednosti vseh strani in jih razdelite na pol: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Nato uporabimo računsko formulo, ki je bila uporabljena za določitev dolžine tega segmenta v prejšnji nalogi. Potrebno je le nekaj spremeniti bistvo formule v skladu z novimi parametri. Torej je treba najti razmerje dvojnega korena druge stopnje iz zmnožka dolžin stranic, ki mejijo na vrh, na polobod in razlike med polobodom in dolžino nasprotno stran vsote stranic, ki sestavljajo kot. To je AK ​​\u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Pozor! Za lažje obvladovanje gradiva se lahko obrnete na komične zgodbe, ki so na voljo na internetu in pripovedujejo o "pustolovščinah" te linije.

Trikotnik je mnogokotnik s tremi stranicami ali zaprta lomljena črta s tremi povezavami ali figura, ki jo tvorijo trije segmenti, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti (glej sliko 1).

Bistveni elementi trikotnik abc

Vrhovi – točke A, B in C;

Stranke – odseki a = BC, b = AC in c = AB, ki povezujejo oglišča;

vogali – α, β, γ, ki jih tvorijo trije pari stranic. Vogali so pogosto označeni na enak način kot oglišča, s črkami A, B in C.

Kot, ki ga tvorijo stranice trikotnika in leži v njegovi notranjosti, imenujemo notranji kot, njemu priležni kot pa sosednji kot trikotnika (2, str. 534).

Višine, mediane, simetrale in srednjice trikotnika

Poleg glavnih elementov v trikotniku se upoštevajo tudi drugi segmenti, ki imajo zanimive lastnosti: višine, mediane, simetrale in srednje črte.

Višina

Višine trikotnika sta navpičnici, spuščeni iz oglišč trikotnika na nasprotne stranice.

Če želite zgraditi višino, naredite naslednje:

1) narišite ravno črto, ki vsebuje eno od stranic trikotnika (če je višina potegnjena iz vrha ostrega kota v tupokotnem trikotniku);

2) iz vrha, ki leži nasproti narisane črte, narišite segment od točke do te črte, tako da z njim naredite kot 90 stopinj.

Točka presečišča višine s stranico trikotnika se imenuje višinska osnova (glej sliko 2).

Lastnosti višine trikotnika

V pravokotnem trikotniku je višina, potegnjena iz oglišča pravi kot, ga razdeli na dva trikotnika, podobna prvotnemu trikotniku.

V ostrokotnem trikotniku njegovi dve višini odrežeta od njega podobna trikotnika.

Če je trikotnik ostrokoten, potem vse osnove višin pripadajo stranicam trikotnika, pri tupokotnem trikotniku pa na podaljšku stranic padeta dve višini.

Tri višine v ostrokotnem trikotniku se sekajo v eni točki in ta točka se imenuje ortocenter trikotnik.

Mediana

mediane(iz latinščine mediana - "sredina") - to so segmenti, ki povezujejo oglišča trikotnika s središči nasprotnih strani (glej sliko 3).

Če želite zgraditi mediano, naredite naslednje:

1) poiščite sredino stranice;

2) točko, ki je sredina stranice trikotnika, z odsekom poveži z nasprotnim vrhom.

Lastnosti mediane trikotnika

Mediana deli trikotnik na dva trikotnika z enako ploščino.

Srednjici trikotnika se sekata v eni točki, ki ju deli v razmerju 2:1, šteto od vrha. Ta točka se imenuje težišče trikotnik.

Celoten trikotnik je z medianami razdeljen na šest enakih trikotnikov.

Simetrala

simetrale(iz lat. bis - dvakrat "in seko - režem) imenujemo segmente ravnih črt, zaprtih znotraj trikotnika, ki razpolovijo njegove vogale (glej sliko 4).

Če želite zgraditi simetralo, morate izvesti naslednje korake:

1) zgradite žarek, ki izhaja iz vrha kota in ga deli na dva enaka dela (simetrala kota);

2) poiščite presečišče simetrale kota trikotnika z nasprotno stranjo;

3) izberite segment, ki povezuje oglišče trikotnika s presečiščem na nasprotni strani.

Lastnosti simetrale trikotnika

Simetrala kota trikotnika deli nasprotno stranico v razmerju, ki je enako razmerju obeh sosednjih stranic.

Simetrali notranjih kotov trikotnika se sekata v eni točki. To točko imenujemo središče včrtanega kroga.

Simetrali notranjega in zunanjega kota sta pravokotni.

Če simetrala zunanjega kota trikotnika seka nadaljevanje nasprotne stranice, potem je ADBD=ACBC.

Simetrali enega notranjega in dveh zunanjih kotov trikotnika se sekata v eni točki. Ta točka je središče enega od treh excircles ta trikotnik.

Osnovici simetral dveh notranjih in enega zunanjega kota trikotnika ležita na isti premici, če simetrala zunanjega kota ni vzporedna z nasprotno stranjo trikotnika.

Če simetrale zunanjih kotov trikotnika niso vzporedne z nasprotnimi stranicami, potem ležita njuni osnovici na isti premici.

Danes bo zelo lahka lekcija. Upoštevali bomo le en objekt - simetralo kota - in dokazali njegovo najpomembnejšo lastnost, ki nam bo v prihodnosti zelo koristila.

Samo ne sprostite se: včasih učenci, ki želijo dobiti visoko oceno na istem OGE ali USE, v prvi lekciji ne morejo niti oblikovati natančne definicije simetrale.

In namesto da bi opravljali res zanimive naloge, porabimo čas za tako preproste stvari. Zato berite, glejte - in posvojite. :)

Za začetek malce čudno vprašanje: kaj je kot? Tako je: kot sta samo dva žarka, ki izhajata iz iste točke. Na primer:

Primeri kotov: oster, top in pravi

Kot lahko vidite na sliki, so lahko vogali ostri, topi, ravni - zdaj ni pomembno. Pogosto je za udobje na vsakem žarku označena dodatna točka in pravijo, pravijo, da je pred nami kot $AOB$ (zapisan kot $\angle AOB$).

Kapitan namiguje, da lahko poleg žarkov $OA$ in $OB$ vedno narišemo še kup žarkov iz točke $O$. Toda med njimi bo ena posebna - imenuje se simetrala.

Opredelitev. Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz oglišča tega kota in razpolovi kot.

Za zgornje kote bodo simetrale videti takole:

Primeri simetral za oster, top in pravi kot

Ker v realnih risbah še zdaleč ni vedno očitno, da določen žarek (v našem primeru je to žarek $OM$) razdeli začetni kot na dva enaka, je v geometriji običajno označiti enaki koti enako število lokov (na naši risbi je 1 lok za oster kot, dva za top, tri za ravni).

V redu, ugotovili smo definicijo. Zdaj morate razumeti, katere lastnosti ima simetrala.

Osnovna lastnost simetrale kota

Pravzaprav ima simetrala veliko lastnosti. In zagotovo jih bomo upoštevali v naslednji lekciji. Vendar obstaja en trik, ki ga morate takoj razumeti:

Izrek. Simetrala kota je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic danega kota.

Prevedeno iz matematike v ruščino, to pomeni dve dejstvi hkrati:

1. Vsaka točka, ki leži na simetrali kota, je enako oddaljena od stranic tega kota.
2. In obratno: če leži točka na enaki razdalji od stranic določenega kota, potem je zagotovljeno, da leži na simetrali tega kota.

Preden dokažemo te trditve, razjasnimo eno točko: kaj se pravzaprav imenuje razdalja od točke do stranice kota? Tu nam bo v pomoč dobra stara definicija razdalje od točke do črte:

Opredelitev. Razdalja od točke do premice je dolžina navpičnice, ki poteka iz te točke na to premico.

Na primer, razmislite o premici $l$ in točki $A$, ki ne ležita na tej premici. Nariši navpičnico $AH$, kjer je $H\in l$. Potem bo dolžina te navpičnice razdalja od točke $A$ do premice $l$.

Grafični prikaz razdalje od točke do premice

Ker sta kot samo dva žarka in je vsak žarek del črte, je enostavno določiti razdaljo od točke do stranic kota. To sta samo dve navpičnici:

Določite razdaljo od točke do stranic kota

To je vse! Zdaj vemo, kaj je razdalja in kaj simetrala. Zato lahko dokažemo glavno lastnost.

Kot smo obljubili, dokaz razdelimo na dva dela:

1. Razdalje od točke na simetrali do stranic kota so enake

Oglejmo si poljuben kot z ogliščem $O$ in simetralo $OM$:

Dokažimo, da je ta ista točka $M$ enako oddaljena od stranic kota.

Dokaz. Narišite navpičnici iz točke $M$ na stranice kota. Imenujmo jih $M((H)_(1))$ in $M((H)_(2))$:

Narišite pravokotnice na stranice vogala

dobil dva pravokotni trikotnik: $\vartrikotnik OM((H)_(1))$ in $\vartrikotnik OM((H)_(2))$. Imata skupno hipotenuzo $OM$ in enaka kota:

1. $\kot MO((H)_(1))=\kot MO((H)_(2))$ po predpostavki (ker je $OM$ simetrala);
2. $\kot M((H)_(1))O=\kot M((H)_(2))O=90()^\circ $ po konstrukciji;
3. $\kot OM((H)_(1))=\kot OM((H)_(2))=90()^\circ -\kot MO((H)_(1))$, ker je vsota ostri koti pravokotnega trikotnika je vedno 90 stopinj.

Zato sta trikotnika enaka po stranicah in dveh sosednjih kotih (glej znake enakosti trikotnikov). Zato je zlasti $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tj. razdalje od točke $O$ do stranic kota sta res enaki. Q.E.D. :)

2. Če sta razdalji enaki, leži točka na simetrali

Zdaj je situacija obrnjena. Naj sta podana kot $O$ in točka $M$, ki sta enako oddaljeni od stranic tega kota:

Dokažimo, da je žarek $OM$ simetrala, tj. $\kot MO((H)_(1))=\kot MO((H)_(2))$.

Dokaz. Za začetek narišimo prav ta žarek $OM$, sicer ne bo nič dokazati:

Porabite žarek $OM$ znotraj kota

Ponovno smo dobili dva pravokotna trikotnika: $\vartrikotnik OM((H)_(1))$ in $\vartrikotnik OM((H)_(2))$. Očitno sta enakovredna, ker:

1. Hipotenuza $OM$ je običajna;
2. Kraki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ po pogoju (ker je točka $M$ enako oddaljena od stranic kota);
3. Tudi preostale noge so enake, saj po Pitagorovem izreku $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Torej trikotnika $\vartriangle OM((H)_(1))$ in $\vartriangle OM((H)_(2))$ na treh stranicah. Zlasti sta njuna kota enaka: $\kot MO((H)_(1))=\kot MO((H)_(2))$. In to samo pomeni, da je $OM$ simetrala.

V zaključku dokaza z rdečimi loki označimo nastale enake kote:

Simetrala razdeli kot $\kot ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva enaka

Kot lahko vidite, nič zapletenega. Dokazali smo, da je simetrala kota geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic tega kota. :)

Zdaj, ko smo se bolj ali manj odločili glede terminologije, je čas, da preidemo na novo raven. V naslednji lekciji bomo analizirali kompleksnejše lastnosti simetrale in se naučili, kako jih uporabiti za reševanje resničnih problemov.

Med številnimi predmeti srednje šole je tudi "geometrija". Tradicionalno velja, da so ustanovitelji te sistematične znanosti Grki. Danes se grška geometrija imenuje osnovna, saj je bila ona tista, ki je začela preučevati najpreprostejše oblike: ravnine, črte in trikotnike. Osredotočili se bomo na slednje, oziroma na simetralo tega lika. Za tiste, ki ste že pozabili, je simetrala trikotnika odsek simetrale enega od kotov trikotnika, ki ga deli na polovico in povezuje vrh s točko, ki se nahaja na nasprotni strani.

Simetrala trikotnika ima številne lastnosti, ki jih morate poznati pri reševanju določenih problemov:

• Simetrala kota je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic, ki mejijo na kot.
• Simetrala v trikotniku deli nasprotno stranico kota na odseke, ki so sorazmerni s sosednjima stranicama. Na primer, dan je trikotnik MKB, kjer simetrala izhaja iz kota K, ki povezuje oglišče tega kota s točko A na nasprotni strani MB. Po analizi te lastnosti in našega trikotnika imamo MA/AB=MK/KB.
• Točka, v kateri se sekajo simetrale vseh treh kotov trikotnika, je središče krožnice, ki je včrtana v isti trikotnik.
• Osnovica simetral enega zunanjega in dveh notranjih kotov leži na isti premici, če simetrala zunanjega kota ni vzporedna z nasprotno stranjo trikotnika.
• Če sta dve simetrali ena, potem je to

Upoštevati je treba, da če so podane tri bisektorje, je izgradnja trikotnika z njihovo uporabo, tudi s pomočjo kompasa, nemogoča.

Zelo pogosto pri reševanju nalog simetrala trikotnika ni znana, vendar je treba določiti njeno dolžino. Za rešitev takega problema je potrebno poznati kot, ki ga simetrala deli na polovico, in stranice, ki mejijo na ta kot. V tem primeru je želena dolžina definirana kot razmerje med dvojnim zmnožkom stranic, ki mejijo na kot, in kosinusa kota, deljenega na polovico, na vsoto strani, ki mejijo na kot. Na primer, glede na isti trikotnik MKB. Simetrala zapušča kot K in seka nasprotna stran MV v točki A. Kot, iz katerega poteka simetrala, bomo označili z y. Zdaj pa vse, kar je povedano z besedami, zapišimo v obliki formule: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Če vrednost kota, iz katerega izhaja simetrala trikotnika, ni znana, vendar so znane vse njegove stranice, bomo za izračun dolžine simetrale uporabili dodatno spremenljivko, ki jo bomo imenovali polobod in jo označili s črko P: P=1/2*(MK+KB+MB). Nato bomo nekoliko spremenili prejšnjo formulo, po kateri je bila določena dolžina simetrale, in sicer v števec ulomka vnesemo dvakratni produkt dolžin stranic, ki mejijo na vogalu, s polperimetrom in količnik, kjer je dolžina tretje stranice odšteta od polobima. Imenovalec pustimo nespremenjen. V obliki formule bo videti takole: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Simetrala enakokrakega trikotnika ima poleg splošnih lastnosti več svojih. Spomnimo se, kaj je trikotnik. V takem trikotniku sta dve stranici enaki in koti, ki mejijo na osnovo, so enaki. Iz tega sledi, da sta simetrali, ki se spuščata na stranice enakokrakega trikotnika, med seboj enaki. Poleg tega je simetrala, spuščena na osnovo, hkrati višina in mediana.