Tečaj uporablja geometrijski jezik, sestavljen iz zapisov in simbolov, sprejetih v tečaju matematike (zlasti v novem tečaju geometrije v srednji šoli).
Vso raznolikost oznak in simbolov ter povezav med njimi lahko razdelimo v dve skupini:
skupina I - oznake geometrijskih likov in razmerja med njimi;
skupina II oznake logičnih operacij, ki tvorijo sintaktično osnovo geometrijskega jezika.
Naslednje je celoten seznam matematičnih simbolov, uporabljenih v tem tečaju. Posebna pozornost se nanaša na simbole, ki se uporabljajo za označevanje projekcij geometrijskih oblik.
Skupina I
SIMBOLI OZNAČUJEJO GEOMETRIJSKE LIKE IN RAZMERJA MED NJIMI
A. Označevanje geometrijskih oblik
1. Geometrijska figura je označena - F.
2. Točke so označene z velikimi črkami latinska abeceda ali arabske številke:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Navedene so črte, ki so poljubno nameščene glede na projekcijske ravnine male črke latinica:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Navedene so nivojske črte: h - vodoravno; f- čelni.
Za ravne črte se uporablja tudi naslednji zapis:
(AB) - ravna črta, ki poteka skozi točki A in B;
[AB) - žarek z začetkom v točki A;
[AB] - odsek ravne črte, omejen s točkama A in B.
4. Površine so označene z malimi črkami grške abecede:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Če želite poudariti način definiranja površine, morate določiti geometrijske elemente, s katerimi je definirana, na primer:
α(a || b) - ravnino α določata vzporednici a in b;
β(d 1 d 2 gα) - ploskev β določata vodili d 1 in d 2, generatrisa g in vzporedna ravnina α.
5. Označeni so koti:
∠ABC - kot z vrhom v točki B, kot tudi ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Kotni: vrednost (stopinjska mera) je označena z znakom, ki je nameščen nad kotom:
Vrednost kota ABC;
Vrednost kota φ.
Pravi kot je označen s kvadratom s piko v notranjosti
7. Razdalje med geometrijskimi liki so označene z dvema navpičnima segmentoma - ||.
Na primer:
|AB| - razdalja med točkama A in B (dolžina segmenta AB);
|Aa| - razdalja od točke A do premice a;
|Aα| - razdalje od točke A do površine α;
|ab| - razdalja med premicama a in b;
|αβ| razdalja med površinama α in β.
8. Za projekcijske ravnine so sprejete naslednje oznake: π 1 in π 2, kjer je π 1 vodoravna projekcijska ravnina;
π 2 - fryuntalna ravnina projekcij.
Pri zamenjavi projekcijskih ravnin ali uvajanju novih ravnin slednje označujejo π 3, π 4 itd.
9. Projekcijske osi so označene: x, y, z, kjer je x os x; y je y-os; z - nanosna os.
Konstantna premica Mongejevega diagrama je označena s k.
10. Projekcije točk, črt, površin, katere koli geometrijske figure so označene z enakimi črkami (ali številkami) kot izvirnik, z dodatkom nadnapisa, ki ustreza projekcijski ravnini, na kateri so bile pridobljene:
A", B", C", D", ... , L", M", N", vodoravne projekcije točk; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... čelne projekcije točk; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - vodoravne projekcije premic; a", b", c", d", ..., l", m " , n" , ... čelne projekcije daljic; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površin; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... čelne projekcije ploskev.
11. Sledi ravnin (površin) so označene z enakimi črkami kot horizontala ali frontala, z dodatkom indeksa 0α, ki poudarja, da te premice ležijo v projekcijski ravnini in pripadajo ravnini (ploskvi) α.
Torej: h 0α - vodoravna sled ravnine (površine) α;
f 0α - čelna sled ravnine (površine) α.
12. Sledi premic (črt) so označene z velikimi tiskanimi črkami, ki začenjajo besede, ki določajo ime (v latinični transkripciji) projekcijske ravnine, ki jo premica prečka, s podpisom, ki označuje pripadnost premici.
Na primer: H a - vodoravna sled ravne črte (črte) a;
F a - čelna sled ravne črte (črte) a.
13. Zaporedje točk, črt (poljubnega lika) je označeno z indeksi 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1, a 2, a 3,...,a n;
α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n itd.
Pomožna projekcija točke, dobljena kot rezultat transformacije za pridobitev dejanske vrednosti geometrijske figure, je označena z isto črko z indeksom 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
Aksonometrične projekcije
14. Aksonometrične projekcije točk, črt, površin so označene z enakimi črkami kot narava z dodatkom nadnapisa 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Sekundarne projekcije so označene z dodajanjem nadnapisa 1:
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Za lažje branje risb v učbeniku je bilo pri oblikovanju ilustrativnega materiala uporabljenih več barv, od katerih ima vsaka določen semantični pomen: črne črte (pike) označujejo začetne podatke; zelene barve uporablja se za linije pomožnih grafičnih konstrukcij; rdeče črte (pike) prikazujejo rezultate konstrukcij ali tiste geometrijske elemente, na katere je treba nameniti posebno pozornost.
| št. | Imenovanje | Vsebina | Primer simbolnega zapisa |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Ujemanje | (AB) ≡ (CD) - ravna črta, ki poteka skozi točki A in B, sovpada s premico, ki poteka skozi točki C in D |
| 2 | ≅ | Skladno | ∠ABC≅∠MNK - kot ABC je skladen s kotom MNK |
| 3 | ∼ | Podobno | ΔABS∼ΔMNK - trikotnika ABC in MNK sta si podobna |
| 4 | || | Vzporedno | α||β - ravnina α je vzporedna z ravnino β |
| 5 | ⊥ | Pravokotno | a⊥b - premici a in b sta pravokotni |
| 6 | križati | z d - premici c in d se sekata | |
| 7 | Tangente | t l - premica t se dotika premice l. βα - ravnina β, ki se dotika površine α |
|
| 8 | → | so prikazani | F 1 → F 2 - slika F 1 se preslika na sliko F 2 |
| 9 | S | projekcijski center. Če središče projekcije ni prava točka, njegov položaj je označen s puščico, ki označuje smer projekcije | - |
| 10 | s | Smer projekcije | - |
| 11 | p | Vzporedna projekcija | p s α Vzporedna projekcija - vzporedna projekcija na ravnino α v smeri s |
| št. | Imenovanje | Vsebina | Primer simbolnega zapisa | Primer simbolnega zapisa v geometriji |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Kompleti | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Nastavite elemente | - | - |
| 3 | { ... } | Vsebuje... | F(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - lik Ф je sestavljen iz točk A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Prazen komplet | L - ∅ - množica L je prazna (ne vsebuje elementov) | - |
| 5 | ∈ | Pripada, je element | 2∈N (kjer je N množica naravnih števil) - število 2 pripada množici N | A ∈ a - točka A pripada premici a (točka A leži na premici a) |
| 6 | ⊂ | Vključuje, vsebuje | N⊂M - množica N je del (podmnožica) množice M vseh racionalnih števil | a⊂α - premica a pripada ravnini α (razumljeno v smislu: množica točk premice a je podmnožica točk ravnine α) |
| 7 | ∪ | Združenje | C \u003d A U B - množica C je unija množic A in B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - lomljena črta, ABCD je zveza segmentov [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Presečišče mnogih | М=К∩L - množica М je presečišče množic К in L (vsebuje elemente, ki pripadajo tako množici K kot množici L). M ∩ N = ∅- presečišče množic M in N je prazna množica (množici M in N nimata skupnih elementov) | a = α ∩ β - premica a je presečišče ravnini α in β in ∩ b = ∅ - premici a in b se ne sekata (Nimam skupne točke) |
| št. | Imenovanje | Vsebina | Primer simbolnega zapisa |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | veznik stavkov; ustreza zvezi "in". Stavek (p∧q) je resničen, če in samo če sta p in q resnična | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Presek ploskev α in β je množica točk (premica), sestavljen iz vseh tistih in samo tistih točk K, ki pripadajo tako površini α kot površini β |
| 2 | ∨ | Ločevanje stavkov; ustreza sindikatu "ali". Stavek (p∨q) resničen, ko je vsaj eden od stavkov p ali q resničen (tj. bodisi p ali q ali oba). | - |
| 3 | ⇒ | Implikacija je logična posledica. Stavek p⇒q pomeni: "če je p, potem q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Če sta dve premici vzporedni s tretjo, potem sta med seboj vzporedni. |
| 4 | ⇔ | Stavek (p⇔q) razumemo v smislu: "če p, potem q; če q, potem p" | А∈α⇔А∈l⊂α. Točka pripada ravnini, če pripada neki premici, ki pripada tej ravnini. Velja tudi obratno: če točka pripada neki premici, ki pripada ravnini, potem pripada tudi ravnini sami. |
| 5 | ∀ | Splošni kvantifikator se glasi: za vsakogar, za vsakogar, za kogarkoli. Izraz ∀(x)P(x) pomeni: "za vsak x: lastnost P(x)" | ∀(ΔABC)( = 180°) Za kateri koli (za kateri koli) trikotnik je vsota vrednosti njegovih kotov na ogliščih je 180° |
| 6 | ∃ | Eksistencialni kvantifikator se glasi: obstaja. Izraz ∃(x)P(x) pomeni: "obstaja x, ki ima lastnost P(x)" | (∀α)(∃a). Za vsako ravnino α obstaja premica a, ki ne pripada ravnini α in vzporedna z ravnino α |
| 7 | ∃1 | Kvantifikator edinstvenosti obstoja se glasi: obstaja edinstveno (-th, -th)... Izraz ∃1(x)(Px) pomeni: "obstaja edinstven (samo en) x, imeti lastnost Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za kateri koli dve različni točki A in B obstaja edinstvena premica a, ki poteka skozi te točke. |
| 8 | (px) | Negacija izjave P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b). Če se premici a in b sekata, potem ni ravnine a, ki ju vsebuje |
| 9 | \ | Negativni predznak | ≠ - odsek [AB] ni enak odseku .a?b - premica a ni vzporedna s premico b |
Neskončnost.J. Wallis (1655).
Prvič ga najdemo v razpravi angleškega matematika Johna Valisa "O koničnih odsekih".
Osnova naravnih logaritmov. L. Euler (1736).
Matematična konstanta, transcendentno število. Ta številka se včasih imenuje ne-Perov v čast škotskemu znanstvenik Napier, avtor dela "Opis neverjetne tabele logaritmov" (1614). Prvič je konstanta tiho prisotna v dodatku k angleškemu prevodu omenjenega Napierjevega dela, ki je izšlo leta 1618. Prav isto konstanto je prvi izračunal švicarski matematik Jacob Bernoulli med reševanjem problema mejne vrednosti obrestnih prihodkov.
2,71828182845904523...
Prva znana uporaba te konstante, kjer je bila označena s črko b, ki ga najdemo v Leibnizovih pismih Huygensu, 1690-1691. pismo e začel uporabljati Eulerja leta 1727, prva objava s tem pismom pa je bila njegova Mehanika ali znanost o gibanju, izražena analitično, 1736. Oziroma e običajno imenovano Eulerjevo število. Zakaj je bilo izbrano pismo? e, ni natančno znano. Morda je to posledica dejstva, da se beseda začne z njim eksponentno("eksponentno", "eksponentno"). Druga domneva je, da slov a, b, c in dže pogosto uporabljajo za druge namene in e je bilo prvo "brezplačno" pismo.
Razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Matematična konstanta, iracionalno število. Število "pi", staro ime je Ludolfovo število. Kot vsako iracionalno število je tudi π predstavljeno z neskončnim neperiodičnim decimalnim ulomkom:
π=3,141592653589793...
Prvič je oznako tega števila z grško črko π uporabil britanski matematik William Jones v knjigi Nov uvod v matematiko, splošno sprejeta pa je postala po delu Leonarda Eulerja. Ta oznaka izhaja iz začetne črke grških besed περιφερεια - krog, obod in περιμετρος - obod. Johann Heinrich Lambert je leta 1761 dokazal iracionalnost π, Adrien Marie Legendre pa je leta 1774 dokazal iracionalnost π 2 . Legendre in Euler sta domnevala, da je π lahko transcendentalen, tj. ne more zadovoljiti nobenega algebrska enačba s celimi koeficienti, kar je na koncu leta 1882 dokazal Ferdinand von Lindemann.
imaginarna enota. L. Euler (1777, v tisku - 1794).
Znano je, da enačba x 2 \u003d 1 ima dva korena: 1 in -1 . Imaginarna enota je eden od dveh korenov enačbe x 2 \u003d -1, označeno latinska črka jaz, drug koren: -jaz. To oznako je predlagal Leonhard Euler, ki je za to vzel prvo črko latinske besede imaginarius(namišljeno). Vse standardne funkcije je razširil tudi na kompleksno domeno, tj. niz števil, ki jih je mogoče predstaviti v obliki a+ib, Kje a in b so realna števila. Izraz "kompleksno število" je v široko uporabo uvedel nemški matematik Carl Gauss leta 1831, čeprav je izraz pred tem v istem pomenu uporabljal francoski matematik Lazar Carnot leta 1803.
Enotski vektorji. W. Hamilton (1853).
Enotski vektorji so pogosto povezani s koordinatnimi osemi koordinatnega sistema (predvsem z osemi kartezičnega koordinatnega sistema). Enotski vektor usmerjen vzdolž osi X, označeno jaz, enotski vektor, usmerjen vzdolž osi Y, označeno j, enotski vektor pa je usmerjen vzdolž osi Z, označeno k. Vektorji jaz, j, k se imenujejo orti, imajo identitetne module. Izraz »ort« je uvedel angleški matematik in inženir Oliver Heaviside (1892), zapis pa jaz, j, k Irski matematik William Hamilton.
Celi del števila, antie. K. Gaussa (1808).
Celi del števila [x] števila x je največje celo število, ki ne presega x. Torej, =5, [-3,6]=-4. Funkcijo [x] imenujemo tudi "starost od x". Simbol funkcije celega dela je uvedel Carl Gauss leta 1808. Nekateri matematiki namesto tega raje uporabljajo zapis E(x), ki ga je leta 1798 predlagal Legendre.
Kot vzporednosti. N.I. Lobačevskega (1835).
Na ravnini Lobačevskega - kot med črtobki poteka skozi točkoOvzporedno z ravno črtoa, ki ne vsebuje pikeO, in pravokotno odO na a. α je dolžina te navpičnice. Ker je točka odstranjenaO od naravnost avzporedni kot se zmanjša od 90° do 0°. Lobačevski je dal formulo za kot vzporednostiP( α )=2arctg e - α /q , Kje q je neka konstanta, povezana z ukrivljenostjo prostora Lobačevskega.
Neznane ali spremenljive količine. R. Descartes (1637).
V matematiki je spremenljivka količina, za katero je značilen niz vrednosti, ki jih lahko sprejme. V tem primeru ga lahko razumemo kot resnično fizikalna količina, ki je začasno obravnavana ločeno od svojega fizičnega konteksta, in neka abstraktna količina, ki nima analogij v resničnem svetu. Koncept spremenljivke se je pojavil v 17. stoletju. sprva pod vplivom zahtev naravoslovja, ki je v ospredje postavilo preučevanje gibanja, procesov in ne le stanj. Ta koncept je zahteval nove oblike za svoj izraz. Dobesedna algebra in analitična geometrija Renéja Descartesa sta bili takšni novi obliki. Prvič je pravokotni koordinatni sistem in zapis x, y uvedel Rene Descartes v svojem delu "Razprava o metodi" leta 1637. K razvoju koordinatne metode je prispeval tudi Pierre Fermat, vendar je bilo njegovo delo prvič objavljeno po njegovi smrti. Descartes in Fermat sta uporabila koordinatno metodo samo na ravnini. koordinatna metoda za tridimenzionalni prostor je prvi uporabil Leonhard Euler že v 18. stoletju.
Vektor. O.Koshi (1853).
Od samega začetka se vektor razume kot objekt, ki ima velikost, smer in (neobvezno) točko uporabe. Začetki vektorskega računa so se pojavili skupaj z geometrijskim modelom kompleksnih števil pri Gaussu (1831). Napredne operacije na vektorjih je objavil Hamilton kot del svojega kvaternionskega računa (namišljene komponente kvaterniona tvorijo vektor). Hamilton je skoval izraz vektor(iz latinske besede vektor, nosilec) in opisal nekaj operacij vektorske analize. Ta formalizem je uporabil Maxwell v svojih delih o elektromagnetizmu in s tem pritegnil pozornost znanstvenikov na nov račun. Kmalu so sledili Gibbsovi Elementi vektorske analize (1880), nato pa je Heaviside (1903) dal vektorski analizi sodoben videz. Sam vektorski znak je uvedel francoski matematik Augustin Louis Cauchy leta 1853.
Seštevanje, odštevanje. J. Widman (1489).
Znaka plus in minus sta očitno izumila nemška matematična šola "kosistov" (to je algebraistov). Uporabljajo se v učbeniku Jana (Johannesa) Widmanna Hitro in prijetno štetje za vse trgovce, ki je izšel leta 1489. Pred tem je bilo dodajanje označeno s črko str(iz latinščine plus"več") ali latinska beseda et(veznik "in"), in odštevanje - s črko m(iz latinščine minus"manj, manj"). V Widmanu simbol plus nadomešča ne samo seštevanje, ampak tudi zvezo "in". Izvor teh simbolov ni jasen, vendar so bili najverjetneje prej uporabljeni v trgovanju kot znaki dobička in izgube. Oba simbola sta kmalu postala običajna v Evropi – z izjemo Italije, ki je stara poimenovanja uporabljala približno stoletje.
Množenje. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Znak za množenje v obliki poševnega križa je leta 1631 uvedel Anglež William Outred. Pred njim je najpogosteje uporabljena črka M, čeprav so bile predlagane tudi druge oznake: simbol pravokotnika (francoski matematik Erigon, 1634), zvezdica (švicarski matematik Johann Rahn, 1659). Pozneje je Gottfried Wilhelm Leibniz križ zamenjal s piko (konec 17. stoletja), da ga ne bi zamenjali s črko x; pred njim sta takšno simboliko odkrila nemški astronom in matematik Regiomontanus (XV. stoletje) in angleški znanstvenik Thomas Harriot (1560 -1621).
Delitev. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Outred je uporabil poševnico / kot znak za deljenje. Delitev dvopičja je začela označevati Gottfrieda Leibniza. Pred njimi je bila pogosto uporabljena tudi črka D. Izhajajoč iz Fibonaccija se uporablja tudi vodoravna črta ulomka, ki so jo uporabljali Heron, Diofant in v arabskih spisih. V Angliji in Združenih državah se je razširil simbol ÷ (obelus), ki ga je leta 1659 predlagal Johann Rahn (verjetno s sodelovanjem Johna Pella). Poskus ameriškega nacionalnega odbora za matematične standarde ( Nacionalni odbor za matematične zahteve), da bi obelus odstranili iz prakse (1923), ni bilo dokončno.
Odstotek. M. de la Porte (1685).
Stotinka celote, vzeta kot enota. Sama beseda "odstotek" izhaja iz latinskega "pro centum", kar pomeni "sto". Leta 1685 je v Parizu izšla knjiga Mathieua de la Portea Priročnik komercialne aritmetike. Na enem mestu je šlo za odstotke, kar je takrat pomenilo "cto" (okrajšava za cento). Vendar pa je pisec "cto" zamenjal za ulomek in vtipkal "%". Zaradi tipkarske napake je ta znak prišel v uporabo.
Stopnje. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Moderni zapis za eksponent je uvedel René Descartes v svojem " geometrije« (1637) pa le za naravne stopnje s eksponenti, večjimi od 2. Kasneje je Isaac Newton to obliko zapisa razširil na negativne in delne eksponente (1676), katerih razlago so v tem času že predlagali: flamski matematik in inženir Simon Stevin, angleški matematik John Wallis in francoski matematik Albert Girard.
aritmetični koren n potenco realnega števila A≥0, - nenegativno število n-ta stopnja, ki je enaka A. Aritmetični koren 2. stopnje se imenuje kvadratni koren in ga lahko zapišemo brez navedbe stopnje: √. Aritmetični koren 3. stopnje se imenuje kubni koren. Srednjeveški matematiki (na primer Cardano) so označili Kvadratni koren simbol R x (iz latinščine Radix, koren). Sodobno oznako je leta 1525 prvi uporabil nemški matematik Christoph Rudolf iz cosistične šole. Ta simbol izhaja iz stilizirane prve črke iste besede radix. Črta nad radikalnim izrazom sprva ni bila; kasneje ga je uvedel Descartes (1637) za drugačen namen (namesto oklepaja) in ta lastnost se je kmalu združila z znakom korena. Kockasti koren je bil v 16. stoletju označen takole: R x .u.cu (iz lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) je začel uporabljati običajni zapis za koren poljubne stopnje. Ta oblika je nastala po zaslugi Isaaca Newtona in Gottfrieda Leibniza.
Logaritem, decimalni logaritem, naravni logaritem. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Izraz "logaritem" pripada škotskemu matematiku Johnu Napierju ( "Opis neverjetne tabele logaritmov", 1614); nastala je iz kombinacije grških besed λογος (beseda, razmerje) in αριθμος (število). J. Napierjev logaritem je pomožno število za merjenje razmerja dveh števil. Sodobna definicija Logaritem je prvi podal angleški matematik William Gardiner (1742). Po definiciji je logaritem števila b z razlogom a (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, na katero bi bilo treba številko dvigniti a(imenovano osnova logaritma), da dobimo b. Označeno dnevnik a b. Torej, m = dnevnik a b, če a m = b.
Prve tabele decimalnih logaritmov je leta 1617 objavil oxfordski profesor matematike Henry Briggs. Zato v tujini decimalni logaritmi pogosto imenovani brigs. Izraz "naravni logaritem" sta uvedla Pietro Mengoli (1659) in Nicholas Mercator (1668), čeprav je londonski učitelj matematike John Spidell že leta 1619 sestavil tabelo naravnih logaritmov.
Vse do konca 19. stoletja ni bilo splošno sprejetega zapisa za logaritem, osnovo a prikazano levo in nad simbolom dnevnik, nato čez. Na koncu so matematiki prišli do zaključka, da je najprimernejše mesto za osnovo pod črto, za simbolom dnevnik. Znak logaritma - rezultat zmanjšanja besede "logaritem" - se pojavlja v različnih oblikah skoraj sočasno s pojavom prvih tabel logaritmov, npr. Dnevnik- I. Kepler (1624) in G. Briggs (1631), dnevnik- B. Cavalieri (1632). Imenovanje ln Za naravni logaritem uvedel nemški matematik Alfred Pringsheim (1893).
Sinus, kosinus, tangens, kotangens. W. Outred (sredina 17. stoletja), I. Bernoulli (18. stoletje), L. Euler (1748, 1753).
Stenografski zapis za sinus in kosinus je uvedel William Outred sredi 17. stoletja. Okrajšave za tangens in kotangens: tg, ctg ki jih je v 18. stoletju predstavil Johann Bernoulli, so se razširile v Nemčiji in Rusiji. V drugih državah se uporabljajo imena teh funkcij. tan, posteljica predlagal Albert Girard še prej, v začetku 17. stoletja. IN moderna oblika teorijo trigonometričnih funkcij je postavil Leonhard Euler (1748, 1753) in dolgujemo mu utrditev prave simbolike.Izraz "trigonometrične funkcije" je leta 1770 uvedel nemški matematik in fizik Georg Simon Klugel.
Sinusna črta indijskih matematikov se je prvotno imenovala "arha jiva"("polstruna", to je polovica akorda), nato slov "archa" je bila zavržena in sinusna črta se je začela preprosto imenovati "jiva". Arabski prevajalci besede niso prevedli "jiva" arabska beseda "vatar", ki označuje tetivo loka in tetivo ter prepisana z arabskimi črkami in se je začela imenovati sinusna črta "jiba". Od leta arabsko kratki samoglasniki niso označeni, dolgi "in" pa v besedi "jiba" označeno na enak način kot polglasnik "y", so Arabci začeli izgovarjati ime sinusne črte "job", kar dobesedno pomeni "votlo", "naročje". Pri prevajanju arabskih del v latinico so evropski prevajalci besedo prevajali "job" latinska beseda sinusov, ki imajo enak pomen.Izraz "tangenta" (iz lat.tangente- dotikanje) je uvedel danski matematik Thomas Fincke v svoji Geometriji kroga (1583).
Arkusin. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).
Inverzne trigonometrične funkcije so matematične funkcije, ki so inverzne trigonometričnim funkcijam. Ime inverzne trigonometrične funkcije se tvori iz imena ustrezne trigonometrične funkcije z dodajanjem predpone "lok" (iz lat. lok- lok).Inverzne trigonometrične funkcije običajno vključujejo šest funkcij: arksinus (arcsin), arkkosinus (arccos), arktangens (arctg), arkotangens (arcctg), arksekant (arcsec) in arkkosekant (arccosec). Prvič je posebne simbole za inverzne trigonometrične funkcije uporabil Daniel Bernoulli (1729, 1736).Način zapisovanja inverznih trigonometričnih funkcij s predpono lok(iz lat. arcus, lok) se je pojavil pri avstrijskem matematiku Karlu Scherferju in se uveljavil po zaslugi francoskega matematika, astronoma in mehanika Josepha Louisa Lagrangea. Pomenilo se je, da vam na primer običajni sinus omogoča iskanje tetive, ki jo povezuje vzdolž loka kroga, in inverzna funkcija rešuje nasproten problem. Angleška in nemška matematična šola sta vse do konca 19. stoletja ponujali druge zapise: sin -1 in 1/sin, vendar se ne uporabljajo široko.
Hiperbolični sinus, hiperbolični kosinus. W. Riccati (1757).
Zgodovinarji so odkrili prvi pojav hiperboličnih funkcij v spisih angleškega matematika Abrahama de Moivreja (1707, 1722). Sodobno opredelitev in njihovo podrobno študijo je izvedel Italijan Vincenzo Riccati leta 1757 v delu "Opusculorum", predlagal je tudi njihove oznake: sh,pogl. Riccati je izhajal iz obravnave ene same hiperbole. Samostojno odkritje in nadaljnjo študijo lastnosti hiperboličnih funkcij je izvedel nemški matematik, fizik in filozof Johann Lambert (1768), ki je vzpostavil širok paralelizem med formulama navadne in hiperbolične trigonometrije. N.I. Lobačevski je kasneje uporabil ta paralelizem, da bi dokazal konsistentnost neevklidske geometrije, v kateri je navadna trigonometrija nadomeščena s hiperbolično.
Podoben trigonometrični sinus in kosinus sta koordinati točke na koordinatnem krogu, hiperbolični sinus in kosinus sta koordinati točke na hiperboli. Hiperbolične funkcije so izražene z eksponentno in so tesno povezane z trigonometrične funkcije: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Po analogiji s trigonometričnimi funkcijami sta hiperbolični tangens in kotangens opredeljena kot razmerje hiperboličnega sinusa in kosinusa, kosinusa in sinusa.
Diferencial. G. Leibniz (1675, v tisku 1684).
Glavni, linearni del funkcijskega prirastka.Če funkcija y=f(x) eno spremenljivko x ima pri x=x0izpeljanka in prirastekΔy \u003d f (x 0 +? x) -f (x 0)funkcije f(x) lahko predstavljamo kotΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , kjer član R neskončno majhna v primerjavi zΔx. Prvi člandy=f"(x 0 )Δxv tej razširitvi imenujemo diferencial funkcije f(x) na točkix0. IN dela Gottfrieda Leibniza, Jacoba in Johanna Bernoullija slov"diferencia"je bil uporabljen v pomenu "prirastek", I. Bernoulli ga je označil z Δ. G. Leibniz (1675, objavljeno 1684) je uporabil zapis za "neskončno majhno razliko"d- prva črka besede"diferencial", ki ga je oblikoval iz"diferencia".
Nedoločen integral. G. Leibniz (1675, v tisku 1686).
Besedo "integral" je v tisku prvi uporabil Jacob Bernoulli (1690). Morda izraz izhaja iz latinščine celo število- cela. Po drugi domnevi je bila osnova latinska beseda integro- obnoviti, obnoviti. Znak ∫ se uporablja za označevanje integrala v matematiki in je stilizirana podoba prve črke latinske besede vsota- vsota Prvi ga je uporabil nemški matematik Gottfried Leibniz, utemeljitelj diferencialnega in integralnega računa, konec 17. stoletja. Drugi od utemeljiteljev diferencialnega in integralnega računa, Isaac Newton, v svojih delih ni ponudil alternativne simbolike integrala, čeprav je preizkušal različne možnosti: navpično črto nad funkcijo ali kvadratni simbol, ki stoji pred funkcijo ali jo obroblja. Nedoločen integral za funkcijo y=f(x) je zbirka vseh protiodvodov dane funkcije.
Določen integral. J. Fourier (1819-1822).
Določen integral funkcije f(x) z nižjo mejo a in zgornja meja b lahko opredelimo kot razliko F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Kje F(x)- nekaj antiderivacija funkcije f(x) . Določen integral a ∫ b f(x)dx številčno enako površini figura, omejena z osjo x, ravne črte x=a in x=b in funkcijski graf f(x). Francoski matematik in fizik Jean Baptiste Joseph Fourier je na začetku 19. stoletja predlagal zasnovo določenega integrala v obliki, kot smo je vajeni.
Izpeljanka. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Izvod - osnovni koncept diferencialnega računa, ki označuje hitrost spremembe funkcije f(x) ko se argument spremeni x . Definirana je kot meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom njenega argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli, če taka meja obstaja. Funkcija, ki ima na neki točki končni odvod, se na tej točki imenuje diferencibilna. Postopek izračuna odvoda imenujemo diferenciacija. Obratni proces je integracija. V klasičnem diferencialnem računu je odvod najpogosteje definiran s koncepti teorije limitov, vendar se je zgodovinsko gledano teorija limitov pojavila kasneje kot diferencialni račun.
Izraz "izpeljanka" je uvedel Joseph Louis Lagrange leta 1797; dy/dx— Gottfried Leibniz leta 1675. Način označevanja izpeljanke po času s piko nad črko izhaja iz Newtona (1691).Ruski izraz "odvod funkcije" je prvi uporabil ruski matematikVasilij Ivanovič Viskovatov (1779-1812).
Zasebna izpeljanka. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Za funkcije številnih spremenljivk so definirani delni odvodi - odvodi glede na enega od argumentov, izračunani ob predpostavki, da so preostali argumenti konstantni. Notacija ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ l uvedel francoski matematik Adrien Marie Legendre leta 1786; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ l- delni odvodi drugega reda - nemški matematik Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Razlika, prirastek. I. Bernoulli (konec 17. stoletja - prva polovica 18. stoletja), L. Euler (1755).
Oznako prirastka s črko Δ je prvi uporabil švicarski matematik Johann Bernoulli. IN splošne medicine Simbol delta se je začel uporabljati po delu Leonharda Eulerja leta 1755.
vsota L. Euler (1755).
Vsota je rezultat seštevanja vrednosti (števil, funkcij, vektorjev, matrik itd.). Za označevanje vsote n števil a 1, a 2, ..., a n se uporablja grška črka "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Znak Σ za vsoto je uvedel Leonhard Euler leta 1755.
delo. K. Gaussa (1812).
Produkt je rezultat množenja. Za označevanje produkta n števil a 1, a 2, ..., a n se uporablja grška črka "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Na primer, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Simbol Π za produkt je uvedel nemški matematik Carl Gauss leta 1812. V ruski matematični literaturi se je z izrazom "delo" prvič srečal Leonty Filippovich Magnitsky leta 1703.
Faktoriel. K.Krump (1808).
Faktoriel števila n (označeno z n!, izgovorjeno "en factorial") je produkt vseh naravnih števil do vključno z n: n! = 1 2 3 ... n. Na primer, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Po definiciji je 0! = 1. Faktoriel je definiran samo za nenegativna cela števila. Faktoriel števila n je enak številu permutacij n elementov. Na primer 3! = 6, res,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Vseh šest in samo šest permutacij treh elementov.
Izraz "faktorial" je uvedel francoski matematik in politik Louis Francois Antoine Arbogast (1800), oznaka n! - francoski matematik Christian Kramp (1808).
Modul, absolutna vrednost. K. Weierstrassa (1841).
Modul, absolutna vrednost realnega števila x – nenegativnega števila, definiranega na naslednji način: |x| = x za x ≥ 0 in |x| = -x za x ≤ 0. Na primer |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul kompleksnega števila z = a + ib je realno število enako √(a 2 + b 2).
Menijo, da je izraz "modul" predlagal angleški matematik in filozof, študent Newtona, Roger Cotes. Tudi Gottfried Leibniz je uporabil to funkcijo, ki jo je poimenoval "modul" in označil: mol x. Splošno sprejeto oznako za absolutno vrednost je leta 1841 uvedel nemški matematik Karl Weierstrass. Za kompleksna števila sta ta koncept uvedla francoska matematika Augustin Cauchy in Jean Robert Argan na začetku 19. stoletja. Leta 1903 je avstrijski znanstvenik Konrad Lorenz uporabil enako simboliko za dolžino vektorja.
Norma. E. Schmidt (1908).
Norma je funkcional, definiran na vektorskem prostoru in posplošuje koncept dolžine vektorja ali modula števila. Znak "norma" (iz latinske besede "norma" - "pravilo", "vzorec") je leta 1908 uvedel nemški matematik Erhard Schmidt.
Omejitev. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), številni matematiki (do začetka 20. stoletja)
Meja - eden od osnovnih konceptov matematične analize, ki pomeni, da se določena spremenljivka v procesu njenega spreminjanja neomejeno približuje določeni vrednosti. konstantna vrednost. Koncept meje je že v drugi polovici 17. stoletja intuitivno uporabil Isaac Newton, pa tudi matematiki 18. stoletja, kot sta Leonhard Euler in Joseph Louis Lagrange. Prve stroge definicije limite zaporedja sta podala Bernard Bolzano leta 1816 in Augustin Cauchy leta 1821. Simbol lim (prve 3 črke iz latinske besede limes - meja) se je pojavil leta 1787 pri švicarskem matematiku Simonu Antoinu Jeanu Lhuillierju, vendar njegova uporaba še ni bila podobna sodobni. Izraz lim v nam bolj znani obliki je prvi uporabil irski matematik William Hamilton leta 1853.Weierstrass je uvedel oznako, ki je blizu sodobnemu, vendar je namesto običajne puščice uporabil znak enakovrednosti. Puščica se je pojavila v začetku 20. stoletja pri več matematikih hkrati - na primer pri angleškem matematiku Godfriedu Hardyju leta 1908.
Zeta funkcija, d Riemannova zeta funkcija. B. Riemanna (1857).
Analitična funkcija kompleksne spremenljivke s = σ + it za σ > 1, določena z absolutno in enakomerno konvergentnim Dirichletovim nizom:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Za σ > 1 velja predstavitev v obliki Eulerjevega produkta:
ζ(s) = Π str (1-p -s) -s ,
kjer je produkt prevzet nad vsemi praštevili p. Funkcija zeta igra veliko vlogo v teoriji števil.Kot funkcijo realne spremenljivke je funkcijo zeta leta 1737 uvedel (objavljeno 1744) L. Euler, ki je nakazal njeno razgradnjo v produkt. Nato je to funkcijo obravnaval nemški matematik L. Dirichlet in še posebej uspešno ruski matematik in mehanik P.L. Chebyshev pri preučevanju distribucijskega zakona praštevila. Vendar pa so bile najgloblje lastnosti funkcije zeta odkrite pozneje, po delu nemškega matematika Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859), kjer je funkcija zeta obravnavana kot funkcija kompleksne spremenljivke; leta 1857 je uvedel tudi ime "zeta funkcija" in zapis ζ(s).
Gama funkcija, Eulerjeva Γ-funkcija. A. Legendre (1814).
Funkcija gama je matematična funkcija, ki razširi pojem faktoriala na polje kompleksnih števil. Običajno označeno z Γ(z). Z-funkcijo je prvi uvedel Leonhard Euler leta 1729; definirana je s formulo:
Γ(z) = limn→∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).
Izraženo z G-funkcijo velika številka integrali, neskončni produkti in vsote vrst. Pogosto se uporablja v analitični teoriji števil. Ime "funkcija gama" in zapis Γ(z) je leta 1814 predlagal francoski matematik Adrien Marie Legendre.
Beta funkcija, B funkcija, Eulerjeva B funkcija. J. Bineta (1839).
Funkcija dveh spremenljivk p in q, definirana za p>0, q>0 z enakostjo:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Beta funkcijo lahko izrazimo z Γ-funkcijo: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Tako kot je funkcija gama za cela števila posplošitev faktoriala, je funkcija beta v nekem smislu posplošitev binomskih koeficientov.
Številne lastnosti so opisane s funkcijo beta.elementarni delci sodeluje pri močna interakcija. To lastnost je opazil italijanski teoretični fizikGabriele Veneziano leta 1968. Začelo se je teorija strun.
Ime »beta funkcija« in zapis B(p, q) je leta 1839 uvedel francoski matematik, mehanik in astronom Jacques Philippe Marie Binet.
Laplaceov operator, Laplakov. R. Murphy (1833).
Linearni diferencialni operator Δ, ki deluje φ (x 1, x 2, ..., x n) iz n spremenljivk x 1, x 2, ..., x n, pridružuje funkcijo:
Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.
Zlasti za funkcijo φ(x) ene spremenljivke Laplaceov operator sovpada z operatorjem 2. odvoda: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Enačbo Δφ = 0 običajno imenujemo Laplaceova enačba; od tod izvirajo imena "Laplaceov operator" ali "Laplacian". Zapis Δ je leta 1833 uvedel angleški fizik in matematik Robert Murphy.
Hamiltonov operator, nabla operator, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).
Vektorski diferencialni operator oblike
∇ = ∂/∂x jaz+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,
Kje jaz, j, In k- koordinatni vektorji. Prek operatorja nabla so na naraven način izražene osnovne operacije vektorske analize, pa tudi Laplaceov operator.
Leta 1853 je irski matematik William Rowan Hamilton predstavil ta operator in zanj skoval simbol ∇ v obliki obrnjene grške črke Δ (delta). Pri Hamiltonu je konica simbola kazala v levo, kasneje pa je v delih škotskega matematika in fizika Petra Guthrieja Tatea simbol dobil sodoben videz. Hamilton je ta simbol poimenoval beseda "atled" (beseda "delta", prebrana nazaj). Kasneje so angleški učenjaki, vključno z Oliverjem Heavisideom, začeli ta simbol imenovati "nabla", po imenu črke ∇ v feničanski abecedi, kjer se pojavlja. Izvor črke povezujejo z glasbilom, kot je harfa, ναβλα (nabla) v stari grščini pomeni "harfa". Operator se je imenoval Hamiltonov operator ali operator nabla.
funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Matematični koncept, ki odraža odnos med elementi množic. Lahko rečemo, da je funkcija "zakon", "pravilo", po katerem je vsak element ene množice (imenovan domena definicije) povezan z nekim elementom druge množice (imenovana domena vrednosti). Matematični koncept funkcije izraža intuitivno idejo o tem, kako ena količina v celoti določa vrednost druge količine. Pogosto izraz "funkcija" pomeni numerično funkcijo; to je funkcija, ki nekatera števila uskladi z drugimi. Za dolgo časa matematiki postavljajo argumente brez oklepajev, na primer, tako - φх. Ta zapis je prvi uporabil švicarski matematik Johann Bernoulli leta 1718.Oklepaji so bili uporabljeni samo v primeru več argumentov in tudi, če je argument bil sestavljen izraz. Odmevi tistih časov so pogosti in zdaj zapisisin x, lg xitd. Toda postopoma se je začela uporabljati oklepaj, f(x). splošno pravilo. In glavna zasluga pri tem pripada Leonhardu Eulerju.
Enakopravnost. R. Zapis (1557).
Znak enačaja je leta 1557 predlagal valižanski zdravnik in matematik Robert Record; obris lika je bil precej daljši od sedanjega, saj je posnemal podobo dveh vzporednih segmentov. Avtor je pojasnil, da na svetu ni nič bolj enakega kot dva enako dolga vzporedna odseka. Pred tem so v starodavni in srednjeveški matematiki enakost označevali besedno (npr. est egale). Rene Descartes je v 17. stoletju začel uporabljati æ (iz lat. aequalis), in uporabil je sodobni znak enačaja, da bi pokazal, da je lahko koeficient negativen. François Viète je odštevanje označil z znakom enačaja. Simbol zapisa se ni takoj razširil. Širjenje simbola Rekord je oviralo dejstvo, da se isti simbol že od antičnih časov uporablja za označevanje vzporednosti črt; na koncu je bilo odločeno, da bo simbol paralelizma navpičen. V celinski Evropi je znak "=" uvedel Gottfried Leibniz šele na prehodu iz 17. v 18. stoletje, torej več kot 100 let po smrti Roberta Recorda, ki ga je za to prvi uporabil.
Približno enako, približno enako. A. Günther (1882).
znak " ≈« je uvedel nemški matematik in fizik Adam Wilhelm Sigmund Günther leta 1882 kot simbol za razmerje »približno enako«.
Več manj. T. Harriot (1631).
Ta dva znaka je v uporabo uvedel angleški astronom, matematik, etnograf in prevajalec Thomas Harriot leta 1631, pred tem sta bili uporabljeni besedi »več« in »manj«.
Primerljivost. K. Gaussa (1801).
Primerjava je razmerje med dvema celima številoma n in m, kar pomeni, da razlika n-m teh števil je deljeno z danim celim številom a, imenovanim primerjalni modul; piše: n≡m(mod a) in se glasi "števili n in m sta primerljivi po modulu a". Na primer, 3≡11(mod 4), ker je 3-11 deljivo s 4; števili 3 in 11 sta skladni po modulu 4. Primerjave imajo številne lastnosti, podobne tistim enakosti. Tako lahko člen v enem delu primerjave z nasprotnim predznakom prenesemo na drug del, primerjave z istim modulom pa lahko seštevamo, odštevamo, množimo, oba dela primerjave lahko množimo z istim številom itd. Npr.
3≡9+2(mod 4) in 3-2≡9(mod 4)
Hkrati prave primerjave. In iz para resničnih primerjav 3≡11(mod 4) in 1≡5(mod 4) sledi pravilnost naslednjega:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3 1≡11 5(mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3 23≡11 23(mod 4)
V teoriji števil so obravnavane metode za reševanje različnih primerjav, t.j. metode za iskanje celih števil, ki zadovoljijo takšne ali drugačne primerjave. Modulo primerjave je prvi uporabil nemški matematik Carl Gauss v svoji knjigi Aritmetične raziskave iz leta 1801. Za primerjavo je predlagal tudi simboliko, uveljavljeno v matematiki.
Identiteta. B. Riemanna (1857).
Identiteta - enakost dveh analitičnih izrazov, ki velja za katerikoli dovoljene vrednostičrke, vključene v njej. Enakost a+b = b+a velja za vse številske vrednosti a in b, zato je identiteta. Za zapisovanje istovetnosti se v nekaterih primerih od leta 1857 uporablja znak »≡« (beri »identično enak«), katerega avtor v tej uporabi je nemški matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann. Lahko se napiše a+b ≡ b+a.
Pravokotnost. P.Erigon (1634).
Pravokotnost - medsebojni dogovor dve premici, ravnini ali premica in ravnina, v katerih označeni liki tvorijo pravi kot. Znak ⊥ za označevanje pravokotnosti je leta 1634 uvedel francoski matematik in astronom Pierre Erigon. Koncept pravokotnosti ima vrsto posplošitev, vendar vse praviloma spremlja znak ⊥.
Paralelizem. W. Outred (1677 posmrtna izdaja).
Paralelizem - odnos med nekaterimi geometrijskimi oblikami; na primer ravne črte. Različno definiran glede na različne geometrije; na primer v geometriji Evklida in v geometriji Lobačevskega. Znak vzporednosti je znan že od antičnih časov, uporabljala sta ga Heron in Papus iz Aleksandrije. Sprva je bil simbol podoben sedanjemu znaku enačaja (le bolj razširjen), s prihodom slednjega pa so simbol obrnili navpično ||, da bi se izognili zmedi. V tej obliki se je prvič pojavil v posmrtni izdaji del angleškega matematika Williama Outreda leta 1677.
Križišče, zveza. J. Peano (1888).
Presek množic je množica, ki vsebuje tiste in samo tiste elemente, ki hkrati pripadajo vsem danim množicam. Unija množic je množica, ki vsebuje vse elemente prvotnih množic. Presečišče in združevanje imenujemo tudi operacije na množicah, ki določenim množicam pripisujejo nove množice po zgornjih pravilih. Označeno z ∩ oziroma ∪. Na primer, če
A= (♠ ♣ ) in B= (♣ ♦ ),
to
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Vsebuje, vsebuje. E. Schroeder (1890).
Če sta A in B dve množici in v A ni elementov, ki ne pripadajo B, potem pravijo, da je A vsebovan v B. Zapišejo A⊂B ali B⊃A (B vsebuje A). na primer
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Simbola "vsebuje" in "vsebuje" sta se pojavila leta 1890 z nemškim matematikom in logikom Ernstom Schroederjem.
Pripadnost. J. Peano (1895).
Če je a element množice A, potem zapišimo a∈A in preberimo "a pripada A". Če a ni element A, zapišite a∉A in preberite "a ne pripada A". Sprva razmerja »vsebuje« in »pripada« (»je element«) niso razlikovali, sčasoma pa sta ta pojma zahtevala razlikovanje. Znak za članstvo ∈ je prvi uporabil italijanski matematik Giuseppe Peano leta 1895. Simbol ∈ izhaja iz prve črke grške besede εστι - biti.
Univerzalni kvantifikator, eksistencialni kvantifikator. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
kvantifikator - pogosto ime za logične operacije, ki označujejo območje resnice katerega koli predikata (matematične izjave). Filozofi že dolgo posvečajo pozornost logičnim operacijam, ki omejujejo obseg resnice predikata, vendar jih niso izločili kot ločen razred operacij. Čeprav se kvantifikatorsko-logične konstrukcije pogosto uporabljajo tako v znanstvenem kot vsakdanjem govoru, se je njihova formalizacija zgodila šele leta 1879, v knjigi nemškega logika, matematika in filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregeja "Račun pojmov". Fregejev zapis je bil videti kot okorna grafična konstrukcija in ni bil sprejet. Kasneje je bilo predlaganih veliko bolj uspešnih simbolov, vendar zapis ∃ za eksistencialni kvantifikator (beri "obstaja", "obstaja"), ki ga je leta 1885 predlagal ameriški filozof, logik in matematik Charles Pierce, in ∀ za univerzalni kvantifikator (beri "kateri koli", "vsak", "kateri koli"), ki ga je oblikoval nemški matematik in logik Gerhard Karl E rich Gentzen leta 1935, postal splošno sprejet in s simbolom eksistencialnega kvantifikatorja (obrnjene prve črke angleške besede Existence (obstoj) in Any (katero koli)). Na primer vnos
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
se glasi: "za vsako ε>0 obstaja δ>0 tako, da za vse x, ki niso enaki x 0 in izpolnjujejo neenakost |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Prazen komplet. N. Bourbaki (1939).
Množica, ki ne vsebuje nobenega elementa. Prazen znak je bil uveden v knjigah Nicolasa Bourbakija leta 1939. Bourbaki je skupni psevdonim skupine francoskih matematikov, ustanovljene leta 1935. Eden od članov skupine Bourbaki je bil Andre Weil, avtor simbola Ø.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
V matematiki dokaz razumemo kot zaporedje sklepanja na podlagi določenih pravil, ki dokazuje, da je določena trditev resnična. Od renesanse so matematiki konec dokaza označevali kot "Q.E.D.", iz latinskega izraza "Quod Erat Demonstrandum" - "Kar je bilo potrebno dokazati." Pri ustvarjanju računalniškega sistema postavitve ΤΕΧ leta 1978 je ameriški profesor računalništva Donald Edwin Knuth uporabil simbol: zapolnjen kvadrat, tako imenovani "Halmosov simbol", poimenovan po ameriškem matematiku madžarskega rodu Paulu Richardu Halmosu. Danes je dokončanje dokaza običajno označeno s simbolom Halmos. Kot alternativa se uporabljajo drugi znaki: prazen kvadrat, pravokotni trikotnik, // (dve poševnici), pa tudi ruska okrajšava "ch.t.d.".
Balagin Viktor
Z odkritjem matematičnih pravil in izrekov so znanstveniki prišli do novih matematičnih zapisov, znakov. Matematični znaki so simboli, namenjeni zapisovanju matematičnih pojmov, stavkov in izračunov. V matematiki se za skrajšanje zapisa in natančnejše izražanje izjave uporabljajo posebni simboli. Poleg številk in črk različnih abeced (latinske, grške, hebrejske) matematični jezik uporablja številne posebne simbole, izumljene v zadnjih nekaj stoletjih.
Prenesi:
Predogled:
MATEMATIČNI SIMBOLI.
Delo sem opravil
Učenka 7. razreda
Srednja šola GBOU št. 574
Balagin Viktor
Študijsko leto 2012-2013
MATEMATIČNI SIMBOLI.
- Uvod
Beseda matematika je k nam prišla iz stare grščine, kjer je μάθημα pomenila "učiti se", "pridobiti znanje". In tisti, ki pravi: "Ne potrebujem matematike, ne bom postal matematik", se moti. Vsakdo potrebuje matematiko. Razkriva neverjeten svet številk okoli nas, nas uči razmišljati bolj jasno in dosledno, razvija misel, pozornost, vzgaja vztrajnost in voljo. M. V. Lomonosov je rekel: "Matematika spravlja um v red." Z eno besedo, matematika nas uči, kako se naučiti pridobivati znanje.
Matematika je prva znanost, ki jo je človek lahko obvladal. Najstarejša dejavnost je bilo štetje. Nekatera primitivna plemena so štela število predmetov s prsti na rokah in nogah. Na skalni risbi, ki se je ohranila do naših časov iz kamene dobe, je upodobljena številka 35 v obliki 35 palic, narisanih v vrsto. Lahko rečemo, da je 1 palica prvi matematični simbol.
Matematična »pisava«, ki jo uporabljamo zdaj – od zapisa neznanih črk x, y, z do integralnega znaka – se je razvijala postopoma. Razvoj simbolizma je poenostavil delo z matematičnimi operacijami in prispeval k razvoju same matematike.
Iz starogrškega "simbola" (grško. simbolon - znak, znak, geslo, emblem) - znak, ki je povezan s predmetnostjo, ki jo označuje tako, da pomen znaka in njegov predmet predstavlja samo znak sam in se razkrije le z njegovo interpretacijo.
Z odkritjem matematičnih pravil in izrekov so znanstveniki prišli do novih matematičnih zapisov, znakov. Matematični znaki so simboli, namenjeni zapisovanju matematičnih pojmov, stavkov in izračunov. V matematiki se za skrajšanje zapisa in natančnejše izražanje izjave uporabljajo posebni simboli. Poleg številk in črk različnih abeced (latinske, grške, hebrejske) matematični jezik uporablja številne posebne simbole, izumljene v zadnjih nekaj stoletjih.
2. Znaki seštevanja, odštevanja
Zgodovina matematične notacije se začne s paleolitikom. Iz tega časa so kamni in kosti z zarezami za štetje. Najbolj znan primer jeishango kost. Slavna kost iz Ishanga (Kongo), ki sega približno 20 tisoč let pred našim štetjem, dokazuje, da je človek že takrat izvajal precej zapletene matematične operacije. Zareze na kosteh so bile uporabljene za seštevanje in so bile uporabljene v skupinah, kar je simboliziralo seštevanje števil.
Že stari Egipt je imel veliko naprednejši sistem zapisov. Na primer, vahmesov papiruskot simbol za seštevanje se v besedilu uporablja podoba dveh nog, ki hodita naprej, za odštevanje pa dve nogi, ki hodita nazaj.Stari Grki so seštevanje označevali tako, da so pisali drug ob drugem, vendar so občasno za to uporabljali poševnico »/«, za odštevanje pa pol-eliptično krivuljo.
Simboli za aritmetične operacije seštevanja (plus "+'') in odštevanja (minus "-'') so tako pogosti, da skoraj nikoli ne pomislimo, da niso vedno obstajali. Izvor teh simbolov ni jasen. Ena od različic je, da so jih prej uporabljali pri trgovanju kot znake dobička in izgube.
Prav tako se verjame, da naše znamenjeizhaja iz ene od oblik besede “et”, ki v latinščini pomeni “in”. Izraz a+b v latinici napisano takole: a et b . Postopoma, zaradi pogoste uporabe, od znaka " et "ostane samo" t ", ki se je sčasoma spremenila v"+ ". Prva oseba, ki je morda uporabila znakkot okrajšava za et, je bila sredi štirinajstega stoletja astronomka Nicole d'Orem (avtorica knjige Nebo in svet).
Konec petnajstega stoletja sta francoski matematik Chiquet (1484) in Italijan Pacioli (1494) uporabila "'' ali " '' (označuje "plus") za seštevanje in "'' ali " '' (označuje "minus") za odštevanje.
Zapis odštevanja je bil bolj zmeden, saj namesto preprostega "” v nemških, švicarskih in nizozemskih knjigah včasih uporabljal simbol “÷”, s katerim zdaj označujemo delitev. Več knjig iz sedemnajstega stoletja (na primer tiste Descartesa in Mersenna) so uporabljale dve piki »∙ ∙« ali tri pike »∙ ∙ ∙« za označevanje odštevanja.
Prva uporaba sodobnega algebraičnega znaka "” se nanaša na nemški rokopis o algebri iz leta 1481, ki je bil najden v knjižnici v Dresdnu. V latinskem rokopisu iz istega časa (prav tako iz dresdenske knjižnice) sta oba znaka: "" In " - " . Sistematična uporaba znakov "« in »-« za seštevanje in odštevanje se pojavi vJohann Widmann. Nemški matematik Johann Widmann (1462-1498) je prvi uporabil oba znaka za označevanje prisotnosti in odsotnosti študentov na svojih predavanjih. Res je, obstajajo dokazi, da si je te znake "izposodil" od malo znanega profesorja na univerzi v Leipzigu. Leta 1489 je v Leipzigu izdal prvo tiskano knjigo (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic"), v kateri sta bila oba znaka. in , v delu "Hiter in prijeten račun za vse trgovce" (ok. 1490)
Kot zgodovinsko zanimivost velja omeniti, da tudi po sprejetju znakaniso vsi uporabljali tega simbola. Sam Widman ga je predstavil kot grški križ(znak, ki ga uporabljamo danes), katerega vodoravna poteza je včasih nekoliko daljša od navpične. Nekateri matematiki, kot so Record, Harriot in Descartes, so uporabljali isti znak. Drugi (npr. Hume, Huygens in Fermat) so uporabljali latinski križ "†", včasih postavljen vodoravno, s prečko na enem ali drugem koncu. Končno so nekateri (na primer Halley) uporabili bolj dekorativni videz " ».
3. Enako
Enako se v matematiki in drugih eksaktnih vedah piše med dvema izrazoma, ki sta po velikosti enaka. Diofant je prvi uporabil enačaj. Enakost je označil s črko i (iz grškega isos - enak). INantična in srednjeveška matematikaenakost so označevali verbalno, na primer est egale, ali pa so uporabili kratico "ae" iz latinskega aequalis - "enako". Tudi drugi jeziki so uporabljali prve črke besede "enako", vendar to ni bilo splošno sprejeto. Enak znak "=" je leta 1557 uvedel valižanski zdravnik in matematik.Robert Rekord(Zapis R., 1510-1558). Simbol II je v nekaterih primerih služil kot matematični simbol za enakost. Zapis je uvedel simbol "=" z dvema enakima vodoravnima vzporednima črtama, veliko daljšima od tistih, ki se uporabljajo danes. Angleški matematik Robert Record je bil prvi, ki je uporabil simbol "enakost", pri čemer je trdil z besedami: "nobena predmeta ne moreta biti enaka več kot dva vzporedna segmenta." Toda tudi vXVII stoletjeRene Descartesuporabljal okrajšavo "ae".François Vietznak enačaja pomeni odštevanje. Nekaj časa je širjenje simbola Record oviralo dejstvo, da je bil isti simbol uporabljen za označevanje vzporednih črt; na koncu je bilo odločeno, da bo simbol paralelizma navpičen. Znak je bil razširjen šele po Leibnizovih delih na prelomu iz 17. v 18. stoletje, to je več kot 100 let po smrti osebe, ki ga je za to prvič uporabila.Roberta Rekord. Na njegovem nagrobniku ni besed - le vklesan znak "enačaj".
Sorodna simbola za približno enakost "≈" in identiteto "≡" sta zelo mlada - prvega je leta 1885 uvedel Günther, drugega - leta 1857Riemann
4. Znaki množenja in deljenja
Znak za množenje v obliki križa ("x") je uvedel anglikanski duhovnik-matematikViljem Otred V 1631. Pred njim je bila za znak množenja uporabljena črka M, čeprav so bile predlagane druge oznake: simbol pravokotnika (Erigon, ), zvezdica ( Johann Rahn, ).
Kasneje Leibnizzamenjal križec s piko (konec17. stoletje), da ne bi prišlo do zamenjave s črko x ; pred njim so takšno simboliko našli vRegiomontana (15. stoletje) in angleški znanstvenikThomas Harriot (1560-1621).
Za označevanje dejanja delitvePodružnicadal prednost poševnici. Delitev debelega črevesa je začela označevatiLeibniz. Pred njimi je bila pogosto uporabljena tudi črka D.fibonacci, uporabljena je tudi lastnost ulomka, ki se je uporabljala tudi v arabskih zapisih. Delitev v obliki obelus ("÷") je uvedel švicarski matematikJohann Rahn(ok. 1660)
5. Znak za odstotek.
Stotinka celote, vzeta kot enota. Sama beseda "odstotek" izhaja iz latinskega "pro centum", kar pomeni "sto". Leta 1685 je v Parizu izšel Priročnik komercialne aritmetike (1685) Mathieuja de la Porteja. Na enem mestu je šlo za odstotke, kar je takrat pomenilo "cto" (okrajšava za cento). Vendar pa je pisec "cto" zamenjal za ulomek in vtipkal "%". Zaradi tipkarske napake je ta znak prišel v uporabo.
6. Znak neskončnosti
Uporablja se trenutni simbol neskončnosti "∞".John Wallis leta 1655. John Wallisobjavil veliko razpravo "Aritmetika neskončnega" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), kjer je predstavil simbol, ki ga je izumilneskončnost. Še vedno ni znano, zakaj je izbral prav ta znak. Ena najbolj verodostojnih hipotez povezuje izvor tega simbola z latinsko črko "M", s katero so Rimljani predstavljali število 1000.Simbol za neskončnost je približno štirideset let kasneje matematik Bernoulli poimenoval "lemniscus" (lat. trak).
Druga različica pravi, da risba "osmice" izraža glavno lastnost koncepta "neskončnosti": gibanje brez konca . Po črtah številke 8 se lahko neskončno premikate, kot na kolesarski stezi. Da uvedenega znaka ne bi zamenjali s številko 8, so se matematiki odločili, da ga postavijo vodoravno. Zgodilo se je. Ta zapis je postal standard za vso matematiko, ne le za algebro. Zakaj neskončnost ni označena z ničlo? Odgovor je očiten: ne glede na to, kako obrnete številko 0, se ne bo spremenilo. Zato je izbira padla na 8.
Druga možnost je kača, ki žre svoj rep, kar je tisoč let in pol pred našim štetjem v Egiptu simboliziralo različne procese, ki nimajo začetka in konca.
Mnogi verjamejo, da je Möbiusov trak prednik simbolaneskončnost, saj je bil simbol neskončnosti patentiran po izumu naprave "Möbiusov trak" (imenovan po matematiku iz devetnajstega stoletja Möbiusu). Möbiusov trak - trak papirja, ki je na koncih ukrivljen in povezan ter tvori dve prostorski ploskvi. Vendar pa se je po razpoložljivih zgodovinskih podatkih simbol neskončnosti začel uporabljati za ponazarjanje neskončnosti dve stoletji pred odkritjem Möbiusovega traku.
7. Znaki premog a in pravokotno sti
Simboli " kotiček"in" pravokotno»izmislil 1634francoski matematikPierre Erigon. Njegov pravokotni simbol je bil obrnjen na glavo in je spominjal na črko T. Simbol kota je spominjal na ikono, mu dal sodobno oblikoViljem Otred ().
8. Podpiši paralelizem in
Simbol " paralelizem» znana že v pradavnini, uporabljala se jeČaplja in Papus iz Aleksandrije. Sprva je bil simbol podoben sedanjemu enačaju, toda s prihodom slednjega so simbol zasukali navpično, da bi se izognili zmedi (Podružnica(1677), Kersey (John Kersey ) in drugi matematiki 17. stoletja)
9. Pi
Prvič se je oblikoval splošno sprejet zapis števila, ki je enako razmerju med obsegom kroga in njegovim premerom (3,1415926535 ...).William Jones V 1706, ki vzame prvo črko grške besede περιφέρεια -krog in περίμετρος - obseg, ki je obseg kroga. Ta okrajšava mi je bila všečEuler, katerega dela so oznako dokončno utrdila.
10. Sinus in kosinus
Zanimiv je videz sinusa in kosinusa.
Sinus iz latinščine - sinus, votlina. Toda to ime ima dolgo zgodovino. Indijski matematiki so daleč napredovali v trigonometriji v regiji 5. stoletja. Sama beseda "trigonometrija" ni obstajala, uvedel jo je Georg Klugel leta 1770.) To, kar zdaj imenujemo sinus, približno ustreza temu, kar so Indijci imenovali ardha-jiya, prevedeno kot poltetiva (tj. poltetive). Za kratkost so ga preprosto poimenovali - jiya (tetiva). Ko so Arabci prevajali dela hindujcev iz sanskrta, niso prevedli "niza" v arabščino, ampak so besedo preprosto prepisali z arabskimi črkami. Izkazalo se je, da je jib. Ker pa kratki samoglasniki v arabskem zlogovnem zapisu niso označeni, res ostane j-b, ki je podoben drugi arabski besedi - jaib (votlina, sinus). Ko je Gerard iz Cremone v 12. stoletju prevajal Arabce v latinščino, je to besedo prevedel kot sinus, kar v latinščini pomeni tudi sinus, poglobitev.
Kosinus se je pojavil samodejno, ker hindujci so ga imenovali koti-jiya ali krajše ko-jiya. Koti je v sanskrtu ukrivljen konec loka.Sodobne okrajšave in predstavili William Oughtredin popravljen v delih Euler.
Oznaki tangens/kotangens sta precej poznejšega izvora (angleška beseda tangent izhaja iz latinske tangere, dotikati se). In tudi do zdaj ni enotne oznake - v nekaterih državah se pogosteje uporablja oznaka tan, v drugih - tg
11. Okrajšava "Kaj je bilo potrebno dokazati" (ch.t.d.)
Quod erat demonstrandum » (kwol erat lamonstranlum).
Grški izraz pomeni "kar je bilo treba dokazati", latinski pa "kar je bilo treba pokazati." Ta formula konča vsako matematično razmišljanje velikega grškega matematika stare Grčije Evklida (III. stoletje pr. n. št.). Prevedeno iz latinščine - kar je bilo treba dokazati. V srednjeveških znanstvenih razpravah je bila ta formula pogosto zapisana v skrajšani obliki: QED.
12. Matematični zapis.
Simboli | Zgodovina simbolov |
Znaka plus in minus sta očitno izumila nemška matematična šola "kosistov" (to je algebraistov). Uporabljajo se v Aritmetiki Johanna Widmanna, objavljeni leta 1489. Pred tem je bilo seštevanje označeno s črko p (plus) ali latinsko besedo et (veznik "in"), odštevanje pa s črko m (minus). V Widmanu simbol plus nadomešča ne samo seštevanje, ampak tudi zvezo "in". Izvor teh simbolov ni jasen, vendar so bili najverjetneje prej uporabljeni v trgovanju kot znaki dobička in izgube. Oba simbola sta skoraj takoj postala običajna v Evropi - z izjemo Italije. |
|
× ∙ | Znak za množenje je leta 1631 uvedel William Ootred (Anglija) v obliki poševnega križa. Pred njim so uporabljali črko M. Kasneje je Leibniz križ zamenjal s piko (konec 17. stoletja), da ga ne bi zamenjali s črko x; pred njim je bil takšen simbolizem pri Regiomontanu (XV. stoletje) in angleškem znanstveniku Thomasu Harriotu (1560-1621). |
/ : ÷ | Owtred je imel raje poševnico. Debelo črevo je začelo označevati Leibniza. Pred njimi je bila pogosto uporabljena tudi črka D. V Angliji in ZDA se je razširil simbol ÷ (obelus), ki sta ga sredi 17. stoletja predlagala Johann Rahn in John Pell. |
= | Znak enačaja je predlagal Robert Record (1510-1558) leta 1557. Pojasnil je, da na svetu ni nič bolj enakega kot dva enako dolga vzporedna odseka. V celinski Evropi je enačaj uvedel Leibniz. |
Primerjalne oznake je uvedel Thomas Harriot v svojem delu, objavljenem posmrtno leta 1631. Pred njim so zapisali z besedami: več, manj. |
|
% | Simbol odstotka se pojavi sredi 17. stoletja v več virih hkrati, njegov izvor je nejasen. Obstaja hipoteza, da je nastala zaradi napake skladatelja, ki je okrajšavo cto (cento, stotinka) zapisal kot 0/0. Bolj verjetno je, da je to kurzivna komercialna značka, ki je nastala približno 100 let prej. |
√ | Korenski znak je leta 1525 prvi uporabil nemški matematik Christoph Rudolph iz cosistične šole. Ta znak izhaja iz stilizirane prve črke besede radix (koren). Črta nad radikalnim izrazom sprva ni bila; kasneje ga je uvedel Descartes za drugačen namen (namesto oklepaja) in ta lastnost se je kmalu združila s korenskim znakom. |
a n | Potencevanje. Sodoben zapis za eksponent je uvedel Descartes v svoji Geometriji (1637), čeprav le za naravne potence, večje od 2. Newton je kasneje to obliko zapisa razširil na negativne in delne eksponente (1676). |
() | Oklepaji so se pojavili pri Tartaglii (1556) za radikalni izraz, vendar je večina matematikov raje podčrtala poudarjeni izraz namesto oklepajev. Leibniz je uvedel oklepaje v splošno rabo. |
Znak za vsoto je uvedel Euler leta 1755. |
|
Znak izdelka je uvedel Gauss leta 1812. |
|
jaz | Črka i kot koda za imaginarno enoto:predlagal Euler (1777), ki je za to vzel prvo črko besede imaginarius (namišljeno). |
π | Splošno sprejeto oznako za število 3.14159 ... je oblikoval William Jones leta 1706, pri čemer je prevzel prvo črko grških besed περιφέρεια - obseg in περίμετρος - obseg, to je obseg kroga. |
Leibniz je zapis za integral izpeljal iz prve črke besede "Summa" (Summa). |
|
y" | Kratka oznaka izpeljanke s praštevilom sega v Lagrangea. |
Simbol meje se je pojavil leta 1787 pri Simonu Lhuillierju (1750-1840). |
|
Simbol neskončnosti je izumil Wallis, objavil pa ga je leta 1655. |
13. Zaključek
Matematična znanost je potrebna za civilizirano družbo. Matematiko najdemo v vseh vedah. Matematični jezik se meša z jezikom kemije in fizike. Ampak še vedno razumemo. Lahko rečemo, da začnemo študirati jezik matematike skupaj z našim maternim govorom. Matematika je postala sestavni del našega življenja. Zahvaljujoč matematičnim odkritjem preteklosti znanstveniki ustvarjajo nove tehnologije. Preživela odkritja omogočajo reševanje zapletenih matematičnih problemov. In starodavni matematični jezik nam je jasen in odkritja so nam zanimiva. Zahvaljujoč matematiki so Arhimed, Platon, Newton odkrili fizične zakone. Preučujemo jih v šoli. Tudi v fiziki obstajajo simboli, izrazi, ki so lastni fizikalni znanosti. Toda matematični jezik ni izgubljen med fizikalnimi formulami. Nasprotno, teh formul ni mogoče napisati brez znanja matematike. Skozi zgodovino se znanje in dejstva ohranjajo za prihodnje rodove. Za nova odkritja je potreben nadaljnji študij matematike. Za uporabo predogleda predstavitev ustvarite Google račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com
Podnapisi diapozitivov:
Matematični simboli Delo je opravil učenec 7. razreda šole št. 574 Balagin Viktor
Simbol (grško symbolon - znamenje, znamenje, geslo, emblem) je znak, ki je povezan s predmetnostjo, ki jo označuje, tako da pomen znaka in njegov predmet predstavljata samo znak sam in se razkrivata le z njegovo interpretacijo. Znaki so matematične konvencije, namenjene zapisovanju matematičnih konceptov, stavkov in izračunov.
Ishangova kost Del Ahmesovega papirusa
+ − Znaka plus in minus. Seštevanje so označevali s črko p (plus) oziroma latinsko besedo et (veznik »in«), odštevanje pa s črko m (minus). Izraz a + b je bil v latinici zapisan takole: a et b.
zapis odštevanja. ÷ ∙ ∙ ali ∙ ∙ ∙ Rene Descartes Marin Mersenne
Stran iz knjige Johanna Widmanna. Leta 1489 je Johann Widmann v Leipzigu izdal prvo tiskano knjigo (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic"), v kateri sta bila prisotna znaka + in -.
Dodatni zapis. Christian Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley
Znak enačaja Diofant je prvi uporabil znak enačaja. Enakost je označil s črko i (iz grškega isos - enak).
Znak enačaja Leta 1557 ga je predlagal angleški matematik Robert Record "Nobena predmeta ne moreta biti enaka več kot dva vzporedna segmenta." V celinski Evropi je znak enačaja uvedel Leibniz
× ∙ Množilni znak Leta 1631 ga je uvedel William Oughtred (Anglija) v obliki poševnega križa. Leibniz je zamenjal križ s piko (konec 17. stoletja), da ga ne bi zamenjal s črko x. William Otred Gottfried Wilhelm Leibniz
Odstotek. Matthieu de la Porte (1685). Stotinka celote, vzeta kot enota. "odstotek" - "pro centum", kar pomeni - "sto". "cto" (okrajšava za cento). Stavkar je "cto" zamenjal za ulomek in vtipkal "%".
Neskončnost. John Wallis John Wallis je predstavil simbol, ki ga je izumil leta 1655. Kača, ki je ždela svoj rep, je simbolizirala različne procese, ki nimajo začetka in konca.
Simbol za neskončnost so začeli uporabljati za ponazarjanje neskončnosti dve stoletji pred odkritjem Möbiusovega traku. Möbiusov trak je papirni trak, ki je ukrivljen in povezan na koncih, da tvorita dve prostorski ploskvi. Avgust Ferdinand Möbius
Kot in pravokotnik. Simbole je leta 1634 izumil francoski matematik Pierre Erigon. Erigonov simbol kota je bil podoben ikoni. Navpični simbol je bil obrnjen in spominja na črko T . Tem znakom je sodobno obliko dal William Oughtred (1657).
Paralelizem. Simbol sta uporabljala Heron iz Aleksandrije in Papus iz Aleksandrije. Sprva je bil simbol podoben sedanjemu enačaju, toda s prihodom slednjega so simbol zasukali navpično, da bi se izognili zmedi. Heron iz Aleksandrije
Pi. π ≈ 3,1415926535... William Jones leta 1706 π εριφέρεια - obseg in π ερίμετρος - obseg, to je obseg kroga. Ta redukcija je ugajala Eulerju, čigar dela so popolnoma določila oznako. William Jones
sin Sinus in kosinus cos Sinus (iz latinščine) - sinus, votlina. koti-jiya ali na kratko ko-jiya. Koti - ukrivljeni konec loka. Sodobne kratke oznake je uvedel William Otred in jih določil v delih Eulerja. "arha-jiva" - med Indijanci - "polstruna" Leonard Euler William Otred
Kaj je bilo potrebno za dokaz (ch.t.d.) "Quod erat demonstrandum" QED. Ta formula konča vsako matematično razmišljanje velikega matematika stare Grčije Evklida (III. stoletje pr. n. št.).
Razumemo starodavni matematični jezik. Tudi v fiziki obstajajo simboli, izrazi, ki so lastni fizikalni znanosti. Toda matematični jezik ni izgubljen med fizikalnimi formulami. Nasprotno, teh formul ni mogoče napisati brez znanja matematike.
