Izpeljanka kompleksna funkcija. Primeri rešitev

V tej lekciji se bomo naučili, kako najti odvod kompleksne funkcije. Pouk je logično nadaljevanje pouka Kako najti izpeljanko?, na katerem smo analizirali najpreprostejše izpeljanke, seznanili pa smo se tudi s pravili diferenciacije in nekaterimi tehničnimi metodami iskanja izpeljank. Torej, če niste zelo dobri z izpeljankami funkcij ali nekatere točke tega članka niso povsem jasne, potem najprej preberite zgornjo lekcijo. Prosim, prilagodite se resnemu razpoloženju - gradivo ni enostavno, vendar ga bom vseeno poskušal predstaviti preprosto in jasno.

V praksi se moraš z odvodom kompleksne funkcije ukvarjati zelo pogosto, rekel bi celo skoraj vedno, ko ti dajo nalogo najti odvode.

V tabeli pogledamo pravilo (št. 5) za razlikovanje kompleksne funkcije:

Razumemo. Najprej si poglejmo zapis. Tu imamo dve funkciji - in , funkcija pa je, figurativno rečeno, ugnezdena v funkciji . Funkcija te vrste (ko je ena funkcija ugnezdena v drugo) se imenuje kompleksna funkcija.

Poklical bom funkcijo zunanja funkcija, in funkcijo – notranja (ali ugnezdena) funkcija.

! Te definicije niso teoretične in se ne smejo pojavljati v končni zasnovi nalog. Uporabljam neformalne izraze " zunanja funkcija”, “interno” funkcijo le za lažje razumevanje gradiva.

Če želite razjasniti situacijo, upoštevajte:

Primer 1

Poiščite odvod funkcije

Pod sinusom nimamo le črke "x", temveč celoten izraz, zato iskanje derivata takoj iz tabele ne bo delovalo. Opazimo tudi, da tukaj ni mogoče uporabiti prvih štirih pravil, zdi se, da obstaja razlika, dejstvo pa je, da je nemogoče "raztrgati" sinus:

V tem primeru je že iz mojih razlag intuitivno jasno, da je funkcija kompleksna funkcija, polinom pa notranja funkcija (vdelava) in zunanja funkcija.

Prvi korak, ki ga je treba izvesti pri iskanju odvoda kompleksne funkcije razumeti, katera funkcija je notranja in katera zunanja.

Kdaj preprosti primeri zdi se jasno, da je polinom ugnezden pod sinus. Kaj pa, če ni očitno? Kako natančno določiti, katera funkcija je zunanja in katera notranja? Da bi to naredili, predlagam uporabo naslednje tehnike, ki jo je mogoče izvesti mentalno ali na osnutku.

Predstavljajmo si, da moramo vrednost izraza izračunati s kalkulatorjem (namesto ena je lahko poljubno število).

Kaj najprej izračunamo? Najprej boste morali izvesti naslednje dejanje: , zato bo polinom notranja funkcija:

Drugič boste morali najti, zato bo sinus - zunanja funkcija:

Potem ko smo RAZUMEJTE Pri notranjih in zunanjih funkcijah je čas, da uporabimo pravilo diferenciacije sestavljenih funkcij.

Začnemo se odločati. Iz lekcije Kako najti izpeljanko? spomnimo se, da se zasnova rešitve katere koli izpeljanke vedno začne takole - izraz zapremo v oklepaj in zgoraj desno postavimo črto:

Najprej poiščite odvod zunanje funkcije (sinus), poglejte tabelo odvodov elementarne funkcije in opazite, da. Vse tabelarične formule so uporabne, tudi če je "x" nadomeščen s kompleksnim izrazom, v tem primeru:

Upoštevajte to notranja funkcija ni spremenilo, se ga ne dotikamo.

No, to je povsem očitno

Končni rezultat uporabe formule izgleda takole:

Konstantni faktor je običajno postavljen na začetek izraza:

Če pride do nesporazuma, odločitev zapišite na papir in še enkrat preberite obrazložitve.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Kot vedno pišemo:

Ugotavljamo, kje imamo zunanjo funkcijo in kje notranjo. Da bi to naredili, poskušamo (miselno ali na osnutku) izračunati vrednost izraza za . Kaj je treba storiti najprej? Najprej morate izračunati, čemu je enaka osnova:, kar pomeni, da je polinom notranja funkcija:

In šele nato se izvede potenciranje, torej, funkcija moči je zunanja funkcija:

V skladu s formulo morate najprej najti odvod zunanje funkcije, v tem primeru stopnjo. V tabeli iščemo želeno formulo:. Še enkrat ponavljamo: katera koli tabelarična formula velja ne samo za "x", ampak tudi za kompleksen izraz. Tako je rezultat uporabe pravila diferenciacije kompleksne funkcije naslednji:

Ponovno poudarjam, da ko vzamemo odvod zunanje funkcije, se notranja funkcija ne spremeni:

Zdaj je treba najti zelo preprosto izpeljanko notranje funkcije in malo "prečesati" rezultat:

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Za utrjevanje razumevanja odvoda kompleksne funkcije bom dal primer brez komentarjev, poskusite sami ugotoviti, razlog, kje je zunanja in kje notranja funkcija, zakaj so naloge rešene na ta način?

Primer 5

a) Poiščite odvod funkcije

b) Poiščite odvod funkcije

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj imamo koren in da ga lahko razlikujemo, ga moramo predstaviti kot stopnjo. Tako funkcijo najprej postavimo v ustrezno obliko za diferenciacijo:

Z analizo funkcije pridemo do zaključka, da je vsota treh členov notranja funkcija, potenciranje pa zunanja funkcija. Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:

Stopnjo ponovno predstavimo kot radikal (koren), za odvod notranje funkcije pa uporabimo preprosto pravilo za razlikovanje vsote:

pripravljena Izraz lahko spravite tudi na skupni imenovalec v oklepaju in vse zapišete kot en ulomek. Seveda je lepo, a ko dobimo okorne dolge izpeljanke, je bolje, da tega ne storimo (lahko se zmedemo, naredimo nepotrebno napako in učitelju bo neprijetno preverjati).

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Zanimivo je, da lahko včasih namesto pravila za razlikovanje kompleksne funkcije uporabimo pravilo za razlikovanje količnika , vendar bi takšna rešitev izgledala kot smešna perverzija. Tukaj je tipičen primer:

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko uporabite pravilo diferenciacije količnika , vendar je veliko bolj donosno najti derivat s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije:

Funkcijo pripravimo na diferenciacijo - odvodu izvzamemo znak minus in dvignemo kosinus na števec:

Kosinus je notranja funkcija, potenciranje je zunanja funkcija.
Uporabimo naše pravilo:

Poiščemo odvod notranje funkcije, ponastavimo kosinus nazaj navzdol:

pripravljena V obravnavanem primeru je pomembno, da se ne zmedete v znakih. Mimogrede, poskusite to rešiti s pravilom , se morata odgovora ujemati.

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Do sedaj smo obravnavali primere, ko smo imeli samo eno gnezdenje v kompleksni funkciji. V praktičnih nalogah lahko pogosto najdemo izpeljanke, kjer so kot gnezdeče lutke ena v drugo ugnezdene 3 ali celo 4-5 funkcij hkrati.

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Razumemo priloge te funkcije. Poskušamo ovrednotiti izraz z uporabo eksperimentalne vrednosti. Kako bi računali na kalkulator?

Najprej morate najti, kar pomeni, da je arkusin najgloblje gnezdenje:

Ta arksinus enote je treba nato kvadrirati:

In končno dvignemo sedem na potenco:

To pomeni, da imamo v tem primeru tri različne funkcije in dve ugnezditvi, medtem ko je najbolj notranja funkcija arksinus, najbolj zunanja funkcija pa eksponentna funkcija.

Začnemo se odločati

V skladu s pravilom morate najprej vzeti izpeljanko zunanje funkcije. Pogledamo tabelo odvodov in poiščemo odvod eksponentne funkcije: Edina razlika je, da imamo namesto "x" kompleksen izraz, kar ne razveljavi veljavnosti te formule. Torej je rezultat uporabe pravila diferenciacije kompleksne funkcije naslednji:

Pod armaturno ploščo imamo spet zapleteno funkcijo! Je pa že lažje. Preprosto je videti, da je notranja funkcija arkus in zunanja funkcija stopinja. V skladu s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije morate najprej vzeti odvod stopnje.

Podan je dokaz formule za odvod kompleksne funkcije. Podrobno so obravnavani primeri, ko je kompleksna funkcija odvisna od ene ali dveh spremenljivk. Posplošimo na primer poljubnega števila spremenljivk.

Tukaj predstavljamo izpeljavo naslednjih formul za odvod kompleksne funkcije.
Če, potem
.
Če, potem
.
Če, potem
.

Odvod kompleksne funkcije ene spremenljivke

Naj bo funkcija spremenljivke x predstavljena kot kompleksna funkcija v naslednji obliki:
,
kje in obstajajo nekatere funkcije. Funkcija je diferenciabilna za neko vrednost spremenljivke x. Funkcija je diferenciabilna za vrednost spremenljivke.
Potem je kompleksna (sestavljena) funkcija diferenciabilna v točki x in je njen odvod določen s formulo:
(1) .

Formulo (1) lahko zapišemo tudi takole:
;
.

Dokaz

Vstavimo naslednji zapis.
;
.
Tukaj je funkcija spremenljivk in , obstaja funkcija spremenljivk in . Vendar bomo izpustili argumente teh funkcij, da ne bi zamotili izračunov.

Ker sta funkciji in diferenciabilni v točkah x oziroma , potem na teh točkah obstajajo derivati ​​teh funkcij, ki so naslednje meje:
;
.

Razmislite o naslednji funkciji:
.
Za fiksno vrednost spremenljivke u je funkcija . To je očitno
.
Potem
.

Ker je funkcija diferenciabilna funkcija v točki , potem je v tej točki zvezna. Zato
.
Potem
.

Zdaj najdemo izpeljanko.

.

Formula je dokazana.

Posledica

Če lahko funkcijo spremenljivke x predstavimo kot kompleksno funkcijo kompleksne funkcije
,
potem je njegov derivat določen s formulo
.
Tukaj je nekaj diferencialnih funkcij.

Za dokaz te formule zaporedno izračunamo odvod po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije.
Razmislite o kompleksni funkciji
.
Njegova izpeljanka
.
Razmislite o izvirni funkciji
.
Njegova izpeljanka
.

Odvod kompleksne funkcije v dveh spremenljivkah

Zdaj naj bo kompleksna funkcija odvisna od več spremenljivk. Najprej razmislite primeru kompleksne funkcije dveh spremenljivk.

Naj bo funkcija, ki je odvisna od spremenljivke x, predstavljena kot kompleksna funkcija dveh spremenljivk v naslednji obliki:
,
Kje
in obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x ;
je funkcija dveh spremenljivk, diferenciabilna v točki , . Takrat je kompleksna funkcija definirana v neki okolici točke in ima odvod, ki je določen s formulo:
(2) .

Dokaz

Ker sta funkciji in diferenciabilni v točki , sta definirani v neki okolici te točke, sta v točki zvezni in njuni odvodi v točki obstajajo, kar so naslednje meje:
;
.
Tukaj
;
.
Zaradi kontinuitete teh funkcij na točki imamo:
;
.

Ker je funkcija diferenciabilna v točki , je definirana v neki okolici te točke, je na tej točki zvezna in njen prirastek lahko zapišemo v naslednji obliki:
(3) .
Tukaj

- povečanje funkcije, ko se njeni argumenti povečajo za vrednosti in ;
;

- delni odvodi funkcije glede na spremenljivke in .
Za fiksne vrednosti in in obstajajo funkcije spremenljivk in . Težijo k ničli pri in:
;
.
Od in , potem
;
.

Povečanje funkcije:

. :
.
Nadomestek (3):



.

Formula je dokazana.

Odvod kompleksne funkcije več spremenljivk

Zgornjo izpeljavo zlahka posplošimo na primer, ko je število spremenljivk kompleksne funkcije več kot dve.

Na primer, če je f funkcija treh spremenljivk, To
,
Kje
, in obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x ;
je diferenciabilna funkcija v treh spremenljivkah v točki , , .
Potem imamo iz definicije diferenciabilnosti funkcije:
(4)
.
Ker je zaradi kontinuitete
; ; ,
to
;
;
.

Če delimo (4) z in preidemo na mejo , dobimo:
.

In končno, razmislite najsplošnejši primer.
Naj bo funkcija spremenljivke x predstavljena kot kompleksna funkcija n spremenljivk v naslednji obliki:
,
Kje
obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x ;
- diferenciabilna funkcija n spremenljivk v točki
, , ... , .
Potem
.

V tem članku bomo govorili o tako pomembnem matematičnem konceptu, kot je kompleksna funkcija, in se naučili, kako najti odvod kompleksne funkcije.

Preden se naučimo najti izpeljanko kompleksne funkcije, poglejmo koncept kompleksne funkcije, kaj je, "s čim jo jemo" in "kako jo pravilno skuhati".

Razmislite o poljubni funkciji, kot je ta:

Upoštevajte, da je argument na desni in levi strani enačbe funkcije isto število ali izraz.

Namesto spremenljivke lahko postavimo na primer naslednji izraz: . In potem dobimo funkcijo

Izraz imenujemo vmesni argument, funkcijo pa zunanja funkcija. To niso strogi matematični koncepti, vendar pomagajo razjasniti pomen koncepta kompleksne funkcije.

Stroga definicija koncepta kompleksne funkcije je naslednja:

Naj bo funkcija definirana na množici in naj bo množica vrednosti te funkcije. Naj bo množica (ali njena podmnožica) domena funkcije . Dodelimo vsako številko. Tako bo funkcija nastavljena na setu. Imenuje se funkcijska sestava ali kompleksna funkcija.

V tej definiciji, če uporabimo našo terminologijo, - zunanja funkcija, - vmesni argument.

Odvod kompleksne funkcije najdemo po naslednjem pravilu:

Da bi bilo bolj jasno, želim to pravilo napisati v obliki takšne sheme:

V tem izrazu z označuje vmesno funkcijo.

torej. Če želite najti odvod kompleksne funkcije, potrebujete

1. Ugotovi, katera funkcija je zunanja in v tabeli odvodov poišči ustrezen odvod.

2. Določite vmesni argument.

Pri tem postopku je iskanje zunanje funkcije največje težave. Za to se uporablja preprost algoritem:

A. Zapišite enačbo funkcije.

b. Predstavljajte si, da morate izračunati vrednost funkcije za neko vrednost x. Če želite to narediti, to vrednost x nadomestite v enačbo funkcije in izvedete aritmetiko. Zadnje dejanje, ki ga naredite, je zunanja funkcija.

Na primer v funkciji

Zadnje dejanje je potenciranje.

Poiščimo odvod te funkcije. Da bi to naredili, napišemo vmesni argument

Absolutno je nemogoče rešiti fizikalne probleme ali primere v matematiki brez znanja o odvodu in metodah za njegov izračun. Odvod je eden najpomembnejših konceptov matematične analize. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je derivat, kakšna je njegova fizična in geometrijski pomen kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrični in fizikalni pomen izpeljanke

Naj bo funkcija f(x) , podan v nekem intervalu (a,b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Sprememba argumenta - razlika njegovih vrednosti x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Izpeljanka definicije:

Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer se lahko zapiše takole:

Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? Ampak kateri:

odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.

fizični pomen derivat: časovni odvod poti je enak hitrosti premokotnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost zasebna pot. x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost za nekaj časa:

Da bi ugotovili hitrost gibanja naenkrat t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: odstranite konstanto

Konstanto lahko vzamemo iz predznaka odvoda. Poleg tega je treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - če lahko poenostavite izraz, se prepričajte, da poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: odvod vsote funkcij

Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.

Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite odvod funkcije:

Tretje pravilo: odvod produkta funkcij

Odvod produkta dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite odvod funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno povedati o izračunu derivatov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument z odvodom vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej upoštevamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z odvodom samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: Odvod kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:

Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako enostavna, kot se zdi, zato pozor: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

S kakršnim koli vprašanjem o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. zadaj kratkoročno pomagali vam bomo rešiti najtežji test in se spoprijeti z nalogami, tudi če se še nikoli niste ukvarjali z računanjem odvodov.

Odkar ste prišli sem, ste verjetno že uspeli videti to formulo v učbeniku

in naredi tak obraz:

Prijatelj, ne skrbi! Pravzaprav je vse preprosto osramotiti. Zagotovo boste vse razumeli. Samo ena prošnja - preberite članek počasi poskusite razumeti vsak korak. Napisal sem čim bolj preprosto in jasno, vendar se je treba še poglobiti v idejo. In obvezno rešite naloge iz članka.

Kaj je kompleksna funkcija?

Predstavljajte si, da se selite v drugo stanovanje in zato pakirate stvari v velike škatle. Naj bo treba zbrati nekaj majhnih predmetov, na primer šolske potrebščine. Če jih samo vržete v ogromno škatlo, se med drugim izgubijo. Da bi se temu izognili, jih najprej spravite na primer v vrečko, ki jo nato spravite v veliko škatlo, nakar jo zaprete. Ta "najtežji" postopek je prikazan na spodnjem diagramu:

Zdi se, kje je tu matematika? In poleg tega se kompleksna funkcija oblikuje na POPOLNOMA ENAK način! Samo mi »pakiramo« ne zvezke in pisala, ampak \ (x \), medtem ko služijo različni »paketi« in »škatle«.

Na primer, vzemimo x in ga "spakirajmo" v funkcijo:

Kot rezultat dobimo seveda \(\cos⁡x\). To je naša "vreča stvari". In zdaj ga damo v "škatlo" - zapakiramo ga na primer v kubično funkcijo.

Kaj bo na koncu? Da, tako je, tam bo "paket s stvarmi v škatli", to je "kosinus x na kubik."

Nastala konstrukcija je kompleksna funkcija. Od preprostega se razlikuje po tem VEČ »vplivov« (paketov) se uporabi za en X v vrsti in izkaže se, da je "funkcija iz funkcije" - "paket v paketu".

V šolskem tečaju je zelo malo vrst teh istih "paketov", le štiri:

Pakirajmo zdaj najprej x eksponentna funkcija z osnovo 7 in nato v trigonometrično funkcijo. Dobimo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

In zdaj "spakirajmo" x dvakrat noter trigonometrične funkcije, najprej v , nato pa v :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Preprosto, kajne?

Zdaj sami zapišite funkcije, kjer je x:
- najprej se "zapakira" v kosinus, nato pa v eksponentno funkcijo z osnovo \(3\);
- najprej na peto potenco, nato pa na tangento;
- najprej na osnovni logaritem \(4\) , nato na potenco \(-2\).

Odgovore na to vprašanje si oglejte na koncu članka.

Ampak ali lahko "spakiramo" x ne dvakrat, ampak trikrat? Brez problema! In štiri, pet in petindvajsetkrat. Tukaj je na primer funkcija, v kateri je x "zapakiran" \(4\)-krat:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Toda takih formul v šolski praksi ne bomo našli (več sreče imajo učenci - lahko so težji☺).

"Razpakiranje" kompleksne funkcije

Ponovno si oglejte prejšnjo funkcijo. Ali lahko ugotovite zaporedje "pakiranja"? V kaj je bil najprej stlačen X, v kaj potem in tako naprej do samega konca. Se pravi, katera funkcija je ugnezdena v katero? Vzemite kos papirja in zapišite, kaj mislite. To lahko storite z verigo puščic, kot smo zapisali zgoraj, ali na kateri koli drug način.

Sedaj je pravilen odgovor: najprej je bil x "zapakiran" v \(4\) potenco, nato je bil rezultat zapakiran v sinus, ta pa je bil postavljen v logaritemsko osnovo \(2\), na koncu pa je bila celotna konstrukcija potisnjena v potenco števila pet.

To pomeni, da je potrebno zaporedje odviti V OBRATNEM VRSTNEM REDU. In tukaj je namig, kako to narediti lažje: samo poglejte X - od njega morate plesati. Poglejmo si nekaj primerov.

Tukaj je na primer funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pogledamo X - kaj se najprej zgodi z njim? Vzeto od njega. In potem? Vzame se tangens rezultata. In zaporedje bo enako:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drug primer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analiziramo - najprej smo x kubirali, nato pa iz rezultata vzeli kosinus. Torej bo zaporedje: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Bodite pozorni, zdi se, da je funkcija podobna prvi (kjer s slikami). Toda to je popolnoma drugačna funkcija: tukaj v kocki x (tj. \(\cos⁡((x x x)))\) in tam v kocki kosinus \(x\) (tj. \(\cos⁡x\cos⁡x\cos⁡x\)). Ta razlika izhaja iz različnih zaporedij "pakiranja".

Zadnji primer (z pomembna informacija v njem): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je, da smo tukaj najprej izvedli aritmetične operacije z x, nato pa smo iz rezultata vzeli sinus: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). In to pomembna točka: kljub temu, da aritmetične operacije niso funkcije same po sebi, tukaj delujejo tudi kot način "pakiranja". Poglobimo se nekoliko globlje v to subtilnost.

Kot sem rekel zgoraj, je v preprostih funkcijah x "zapakiran" enkrat, v kompleksnih funkcijah pa dva ali več. Poleg tega je tudi vsaka kombinacija preprostih funkcij (to je njihova vsota, razlika, množenje ali deljenje). preprosta funkcija. Na primer, \(x^7\) je preprosta funkcija, prav tako \(ctg x\). Zato so vse njihove kombinacije preproste funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - preprosto,
\(x^7 ctg x\) je preprosto,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) je preprost in tako naprej.

Če pa k takšni kombinaciji dodamo še eno funkcijo, bo to že kompleksna funkcija, saj bosta "paketa" dva. Glej diagram:

V redu, nadaljujmo zdaj. Zapišite zaporedje funkcij "ovijanja":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori so spet na koncu članka.

Notranje in zunanje funkcije

Zakaj moramo razumeti gnezdenje funkcij? Kaj nam to daje? Gre za to, da brez takšne analize ne bomo mogli zanesljivo najti derivatov zgoraj obravnavanih funkcij.

In da bi šli naprej, bomo potrebovali še dva pojma: notranje in zunanje funkcije. To je zelo preprosta stvar, poleg tega smo jih pravzaprav že analizirali zgoraj: če se spomnimo naše analogije na samem začetku, potem je notranja funkcija "paket", zunanja pa "škatla". Tisti. tisto, v kar je X najprej »zavito«, je notranja funkcija, tisto, v kar je »zavito« notranje, pa je že zunanje. No, razumljivo je zakaj - zunaj je, pomeni zunanje.

Tukaj v tem primeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), je funkcija \(\log_2⁡x\) interna in
- zunanji.

In v tem: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je notranji in
- zunanji.

Izvedite zadnjo prakso analize kompleksnih funkcij in končno preidimo na točko, zaradi katere se je vse začelo - našli bomo izpeljanke kompleksnih funkcij:

Izpolnite vrzeli v tabeli:

Odvod kompleksne funkcije

Bravo za nas, še vedno smo prišli do "šefa" te teme - pravzaprav izpeljanke kompleksne funkcije in konkretno do tiste zelo grozne formule z začetka članka.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formula se glasi takole:

Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo in odvoda notranje funkcije.

In takoj poglejte shemo razčlenjevanja, glede na besede, da bi razumeli, na kaj se nanašati:

Upam, da izraza "derivat" in "izdelek" ne povzročata težav. "Kompleksna funkcija" - smo že razstavili. Ulov je v "izpeljanki zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo." Kaj je to?

Odgovor: to je običajna izpeljanka zunanje funkcije, pri kateri se spremeni le zunanja funkcija, notranja pa ostane enaka. Še vedno nejasno? V redu, vzemimo primer.

Recimo, da imamo funkcijo \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je, da je notranja funkcija tukaj \(x^3\), zunanja pa
. Poiščimo zdaj odvod zunanjega glede na konstanto notranjega.