Po prejemu začetnih informacij o neenačbah s spremenljivkami se obrnemo na vprašanje njihove rešitve. Analizirajmo reševanje linearnih neenačb z eno spremenljivko in vse metode za njihovo reševanje z algoritmi in primeri. Upoštevane bodo samo linearne enačbe z eno spremenljivko.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj je linearna neenakost?

Najprej morate definirati linearno enačbo in ugotoviti njeno standardno obliko ter kako se bo razlikovala od drugih. Iz šolskega tečaja vemo, da neenakosti nimajo bistvene razlike, zato je treba uporabiti več definicij.

Definicija 1

Linearna neenakost z eno spremenljivko x je neenačba oblike a x + b > 0, če je namesto > uporabljen katerikoli znak za neenakost< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicija 2

Neenakosti a x< c или a · x >c, pri čemer je x spremenljivka, a in c pa nekaj števil linearne neenačbe z eno spremenljivko.

Ker ni nič rečeno o tem, ali je koeficient lahko enak 0, potem velja stroga neenakost oblike 0 x > c in 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Njihove razlike so:

• zapis a · x + b > 0 v prvem in a · x > c – v drugem;
• dopustnost ničelnega koeficienta a , a ≠ 0 - v prvem in a = 0 - v drugem.

Menijo, da sta neenačbi a x + b > 0 in a x > c enakovredni, ker ju dobimo s prenosom člena iz enega dela v drugega. Reševanje neenačbe 0 · x + 5 > 0 bo vodilo do dejstva, da jo bo treba rešiti, primer a = 0 pa ne bo deloval.

Definicija 3

Velja, da so linearne neenakosti v eni spremenljivki x neenakosti oblike a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 in a x + b ≥ 0, kjer sta a in b realni števili. Namesto x je lahko navadno število.

Na podlagi pravila imamo, da je 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 imenujemo linearne.

Kako rešiti linearno neenakost

Glavni način reševanja takih neenakosti je uporaba ekvivalentnih transformacij za iskanje elementarnih neenakosti x< p (≤ , >, ≥), pri čemer je p neko število, za a ≠ 0 in ima obliko a< p (≤ , >, ≥) za a = 0 .

Če želite rešiti neenačbo z eno spremenljivko, lahko uporabite intervalno metodo ali jo predstavite grafično. Vsak od njih se lahko uporablja ločeno.

Uporaba ekvivalentnih transformacij

Rešiti linearno neenačbo oblike a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , je treba uporabiti ekvivalentne transformacije neenačbe. Koeficient je lahko nič ali ne. Upoštevajmo oba primera. Če želite pojasniti, se je treba držati sheme, sestavljene iz 3 točk: bistvo postopka, algoritem, sama rešitev.

Definicija 4

Algoritem za reševanje linearne neenačbe a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0

• številka b bo prenesena na desna stran neenačbe z nasprotnim predznakom, kar nam bo omogočilo, da pridemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• oba dela neenakosti bosta deljena s številom, ki ni enako 0. Poleg tega, ko je a pozitiven, predznak ostane, ko je a negativen, se spremeni v nasprotno.

Razmislite o aplikaciji ta algoritem pri reševanju primerov.

Primer 1

Rešite neenačbo oblike 3 · x + 12 ≤ 0 .

rešitev

Ta linearna neenakost ima a = 3 in b = 12 . Zato koeficient a pri x ni enak nič. Uporabimo zgornje algoritme in rešimo.

Izraz 12 je potrebno prenesti na drug del neenakosti s spremembo predznaka pred njim. Nato dobimo neenačbo oblike 3 · x ≤ − 12 . Oba dela je treba deliti s 3. Predznak se ne bo spremenil, ker je 3 pozitivno število. Dobimo, da je (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , kar bo dalo rezultat x ≤ − 4 .

Neenačba oblike x ≤ − 4 je enakovredna. To pomeni, da je rešitev za 3 x + 12 ≤ 0 katero koli realno število, ki je manjše ali enako 4 . Odgovor je zapisan kot neenačba x ≤ − 4 , ali številski interval oblike (− ∞ , − 4 ] .

Celoten zgoraj opisani algoritem je zapisan takole:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

odgovor: x ≤ − 4 ali (− ∞ , − 4 ] .

Primer 2

Označite vse razpoložljive rešitve neenačbe − 2 , 7 · z > 0 .

rešitev

Iz pogoja vidimo, da je koeficient a pri z enak - 2, 7, b pa eksplicitno ni ali je enak nič. Ne morete uporabiti prvega koraka algoritma, ampak takoj pojdite na drugega.

Oba dela enačbe delimo s številom - 2, 7. Ker je število negativno, je treba znak neenakosti spremeniti v nasprotno. To pomeni, da dobimo (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Zapišemo celoten algoritem kratka oblika:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Primer 3

Rešite neenačbo - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

rešitev

Glede na pogoj vidimo, da je treba rešiti neenačbo s koeficientom a za spremenljivko x, ki je enak - 5, s koeficientom b, ki ustreza ulomku - 15 22 . Neenačbo je treba rešiti po algoritmu, to je: prenesti - 15 22 na drug del z nasprotnim predznakom, oba dela deliti z - 5, spremeniti predznak neenakosti:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pri zadnjem prehodu za desno stran uporabimo pravilo za deljenje števila z različnimi predznaki 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , nakar izvedemo deljenje. navadni ulomek na naravno število - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 \u003d - 3 22.

odgovor: x ≥ - 3 22 in [ - 3 22 + ∞) .

Razmislite o primeru, ko je a = 0. Linearni izraz oblike a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Vse temelji na definiciji rešitve neenačbe. Za poljubno vrednost x dobimo numerično neenakost oblike b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Vse sodbe obravnavamo v obliki algoritma za reševanje linearnih neenačb 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicija 5

Številska neenakost oblike b< 0 (≤ , >, ≥) velja, potem ima izvirna neenakost rešitev za poljubno vrednost, in napačno, če izvirna neenačba nima rešitev.

Primer 4

Rešite neenačbo 0 · x + 7 > 0 .

rešitev

Ta linearna neenakost 0 · x + 7 > 0 ima lahko poljubno vrednost x. Potem dobimo neenačbo oblike 7 > 0 . Zadnja neenakost velja za resnično, zato je lahko njena rešitev poljubno število.

Odgovori: interval (− ∞ , + ∞) .

Primer 5

Poišči rešitev neenačbe 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

rešitev

Če poljubno število nadomestimo s spremenljivko x, dobimo, da bo neenakost v obliki − 12 , 7 ≥ 0 . Nepravilno je. To pomeni, da 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nima rešitev.

odgovor: ni rešitev.

Razmislite o rešitvi linearne neenačbe, kjer sta oba koeficienta enaka nič.

Primer 6

Določite nerešljivo neenačbo iz 0 · x + 0 > 0 in 0 · x + 0 ≥ 0 .

rešitev

Pri zamenjavi poljubnega števila namesto x dobimo dve neenačbi oblike 0 > 0 in 0 ≥ 0 . Prvo je napačno. To pomeni, da 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima neskončno število rešitev, torej poljubno število.

Odgovori: neenačba 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima rešitve.

Ta metoda obravnavan pri šolskem tečaju matematike. Intervalna metoda je sposobna razrešiti različne vrste neenakosti so tudi linearne.

Intervalna metoda se uporablja za linearne neenakosti, ko vrednost koeficienta x ni enaka 0. V nasprotnem primeru boste morali izračunati z drugo metodo.

Opredelitev 6

Metoda razmika je:

• uvedba funkcije y = a x + b ;
• iskanje ničel za razdelitev domene definicije na intervale;
• določitev znakov za pojem le-teh na intervalih.

Sestavimo algoritem za reševanje linearnih enačb a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 z uporabo intervalne metode:

• iskanje ničel funkcije y = a · x + b za rešitev enačbe oblike a · x + b = 0 . Če je a ≠ 0, bo rešitev edini koren, ki bo dobil oznako x 0;
• konstrukcija koordinatne premice s podobo točke s koordinato x 0, pri strogi neenakosti je točka označena z izsekano, pri nestrogi neenakosti je osenčena;
• določitev znakov funkcije y = a x + b na intervalih, za to je potrebno najti vrednosti funkcije v točkah na intervalu;
• rešitev neenačbe z znakoma > ali ≥ na koordinatni premici, nad pozitivno vrzeljo dodamo šrafuro,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Razmislite o več primerih reševanja linearne neenačbe z intervalno metodo.

Primer 6

Rešite neenačbo − 3 · x + 12 > 0 .

rešitev

Iz algoritma sledi, da je treba najprej najti koren enačbe − 3 · x + 12 = 0 . Dobimo, da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Potrebno je prikazati koordinatno črto, kjer označimo točko 4. Preluknjana bo, ker je neenakost stroga. Razmislite o spodnji risbi.

Treba je določiti znake na intervalih. Za določitev na intervalu (− ∞ , 4) je potrebno izračunati funkcijo y = − 3 · x + 12 za x = 3 . Od tod dobimo, da je − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Predznak na vrzeli je pozitiven.

Predznak določimo iz intervala (4, + ∞), nato nadomestimo vrednost x \u003d 5. Imamo − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Rešitev neenačbe izvedemo z znakom > , šrafuro pa izvedemo nad pozitivno vrzeljo. Razmislite o spodnji risbi.

Iz risbe je razvidno, da ima želena rešitev obliko (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Odgovori: (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Da bi razumeli, kako grafično prikazati, je treba upoštevati primer 4 linearne neenakosti: 0,5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 in 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Njihove rešitve bodo x< 2 , x ≤ 2 , x >2 in x ≥ 2 . Če želite to narediti, spodaj narišite graf linearne funkcije y = 0 , 5 · x − 1.

Jasno je, da

Opredelitev 7

• rešitev neenačbe 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• rešitev 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval, kjer je funkcija y = 0 , 5 x − 1 pod 0 x ali sovpada;
• rešitev 0 , 5 x − 1 > 0 štejemo za interval, kjer se funkcija nahaja nad O x;
• rešitev 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval, kjer je graf višji od O x ali sovpada.

Pomen grafične rešitve neenačb je najti vrzeli, ki morajo biti prikazane na grafu. V tem primeru to dobimo leva stran ima y \u003d a x + b, desna pa ima y \u003d 0 in sovpada z O x.

Izvede se risanje funkcije y = a x + b:

• pri reševanju neenačbe a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri reševanju neenačbe a x + b ≤ 0 se določi interval, kjer je graf prikazan pod osjo O x ali sovpada;
• pri reševanju neenačbe a x + b > 0 se določi interval, kjer se graf izpiše nad O x;
• pri reševanju neenačbe a x + b ≥ 0 se določi interval, kjer je graf nad O x ali sovpada.

Primer 7

S pomočjo grafa rešite neenačbo - 5 · x - 3 > 0.

rešitev

Zgraditi je treba graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0 . Ta premica pada, ker je koeficient pri x negativen. Za določitev koordinat točke njegovega presečišča z O x - 5 · x - 3 > 0 dobimo vrednost - 3 5 . Postavimo graf.

Rešitev neenačbe z znakom >, potem morate biti pozorni na interval nad O x. Potreben del letala označimo z rdečo in dobimo to

Zahtevana vrzel je del O x rdeče barve. Zato bo odprt številski žarek - ∞ , - 3 5 rešitev neenačbe. Če bi po pogoju imeli nestrogo neenačbo, bi bila vrednost točke - 3 5 tudi rešitev neenačbe. In bi sovpadal z O x.

Odgovori: - ∞ , - 3 5 ali x< - 3 5 .

Grafična rešitev se uporablja, ko bo leva stran ustrezala funkciji y = 0 x + b , to je y = b . Potem bo črta vzporedna z O x ali sovpadala pri b \u003d 0. Ti primeri kažejo, da neenakost morda nima rešitve ali pa je rešitev lahko katero koli število.

Primer 8

Določite iz neenačb 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

rešitev

Predstavitev y = 0 x + 7 je y = 7 , potem bo podana koordinatna ravnina s premico, vzporedno z O x in nad O x. Torej 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcije y \u003d 0 x + 0 velja za y \u003d 0, to pomeni, da črta sovpada z O x. Zato ima neenačba 0 · x + 0 ≥ 0 veliko rešitev.

Odgovori: druga neenačba ima rešitev za poljubno vrednost x.

Linearne neenakosti

Rešitev neenačb lahko zreduciramo na rešitev linearna enačba, ki jih imenujemo linearne neenačbe.

Te neenakosti so bile obravnavane v šolskem tečaju, saj so bile poseben primer reševanja neenačb, kar je vodilo do odpiranja oklepajev in zmanjševanja podobnih členov. Na primer, upoštevajte, da je 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Zgoraj podane neenakosti se vedno reducirajo na obliko linearne enačbe. Nato se odprejo oklepaji in podajo podobni izrazi, preneseni iz različne dele, spreminjanje predznaka v nasprotno.

Pri redukciji neenačbe 5 − 2 x > 0 na linearno jo predstavimo tako, da ima obliko − 2 x + 5 > 0 , za redukcijo druge pa dobimo 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Treba je odpreti oklepaje, prinesti podobne izraze, premakniti vse izraze na levo stran in prinesti podobne izraze. Videti je takole:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To pripelje do rešitve linearne neenakosti.

Te neenakosti se štejejo za linearne, saj imajo enak princip rešitve, po katerem jih je mogoče zmanjšati na elementarne neenakosti.

Da bi rešili tovrstno neenakost, jo je treba reducirati na linearno. To je treba narediti takole:

Opredelitev 9

• odprti oklepaji;
• zbiranje spremenljivk na levi in ​​števila na desni;
• prinašajo podobne pogoje;
• oba dela delimo s koeficientom x.

Primer 9

Rešite neenačbo 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

rešitev

Oklepaje razširimo, dobimo neenačbo oblike 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Po zmanjšanju podobnih členov imamo, da je 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Ko člene premaknemo z leve na desno, dobimo, da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Zato ima neenakost oblike 32 ≤ 0 iz rezultata, dobljenega pri izračunu 0 · x + 32 ≤ 0 . Vidimo, da je neenakost napačna, kar pomeni, da neenakost, podana s pogojem, nima rešitev.

Odgovori: ni rešitev.

Omeniti velja, da obstaja veliko neenakosti druge vrste, ki jih je mogoče reducirati na linearno ali neenakost, kot je prikazana zgoraj. Na primer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponentna enačba, ki se reducira na linearno rešitev 2 · x − 1 ≥ 0 . Te primere bomo upoštevali pri reševanju tovrstnih neenačb.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ena od tem, ki od študentov zahteva maksimalno pozornost in vztrajnost, je reševanje neenakosti. Tako podobna enačbam in hkrati zelo drugačna od njih. Ker njihova rešitev zahteva poseben pristop.

Lastnosti, potrebne za iskanje odgovora

Vsi se uporabljajo za zamenjavo obstoječega vnosa z enakovrednim. Večina jih je podobnih tistim, ki so bile v enačbah. So pa tudi razlike.

• Funkcijo, ki je definirana v DPV, ali poljubno število lahko dodamo obema deloma prvotne neenačbe.
• Podobno je možno množenje, vendar samo s pozitivno funkcijo ali številom.
• Če se to dejanje izvede z negativno funkcijo ali številom, mora biti znak neenakosti obrnjen.
• Funkcije, ki niso negativne, lahko dvignemo na pozitivno potenco.

Včasih rešitev neenačb spremljajo dejanja, ki dajejo tuje odgovore. S primerjavo jih je treba izločiti območje ODZ in veliko rešitev.

Uporaba metode razmika

Njegovo bistvo je zmanjšati neenakost na enačbo, v kateri je nič na desni strani.

1. Določite območje, kjer ležijo dovoljene vrednosti spremenljivk, to je ODZ.
2. Z matematičnimi operacijami preoblikujte neenačbo tako, da bo njena desna stran enaka nič.
3. Zamenjaj znak neenačbe z "=" in reši ustrezno enačbo.
4. Na številski osi označimo vse odgovore, ki smo jih dobili pri reševanju, ter intervale ODZ. V primeru stroge neenakosti je treba točke narisati preluknjane. Če je enačaj, jih je treba prebarvati.
5. Določite predznak prvotne funkcije na vsakem intervalu, ki izhaja iz točk ODZ in odgovorov, ki ga delijo. Če se predznak funkcije ne spremeni pri prehodu skozi točko, potem vnese odgovor. V nasprotnem primeru je izključeno.
6. Mejne točke za ODZ je potrebno dodatno preveriti in šele nato vključiti oz.
7. Odgovor, ki ga dobimo, je treba zapisati v obliki združenih množic.

Nekaj ​​o dvojnih neenakostih

V zapisu uporabijo dva znaka za neenačbo hkrati. To pomeni, da je neka funkcija omejena s pogoji dvakrat hkrati. Takšne neenačbe se rešujejo kot sistem dveh, ko je prvotna razdeljena na dele. In pri metodi intervalov so navedeni odgovori iz rešitve obeh enačb.

Za njihovo rešitev je dovoljeno uporabiti tudi zgoraj navedene lastnosti. Z njihovo pomočjo je priročno zmanjšati neenakost na nič.

Kaj pa neenačbe, ki imajo modul?

V tem primeru rešitev neenačb uporablja naslednje lastnosti, ki veljajo za pozitivno vrednost "a".

Če "x" sprejme algebrski izraz, potem veljajo naslednje zamenjave:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a na x< -a или х >a.

Če neenakosti niso stroge, potem so tudi formule resnične, le da se v njih poleg znaka večje ali manj pojavi še »=«.

Kako je rešen sistem neenačb?

To znanje bo potrebno v tistih primerih, ko je taka naloga dana ali obstaja zapis dvojne neenakosti ali se v zapisu pojavi modul. V takšni situaciji bodo rešitev takšne vrednosti spremenljivk, ki bodo zadostile vsem neenakostim v zapisu. Če teh številk ni, potem sistem nima rešitev.

Načrt, po katerem se izvaja rešitev sistema neenačb:

• rešite vsako od njih posebej;
• upodabljajo vse intervale na numerični osi in določajo njihova presečišča;
• zapišite odziv sistema, ki bo zveza dogajanja v drugem odstavku.

Kaj pa delne neenakosti?

Ker bo med njihovo rešitvijo morda treba spremeniti znak neenakosti, je treba zelo natančno in natančno upoštevati vse točke načrta. V nasprotnem primeru lahko dobite nasproten odgovor.

Reševanje ulomkov neenačb uporablja tudi intervalno metodo. In akcijski načrt bi bil:

• S pomočjo opisanih lastnosti daj ulomku takšno obliko, da bo desno od predznaka ostala samo ničla.
• Neenakost nadomestimo z "=" in določimo točke, v katerih bo funkcija enaka nič.
• Označimo jih na koordinatni osi. V tem primeru bodo števila, ki izhajajo iz izračunov v imenovalcu, vedno izčrtana. Vsi ostali temeljijo na pogoju neenakosti.
• Določite intervale konstantnosti.
• V odgovor zapišite unijo tistih intervalov, katerih predznak ustreza tistemu, ki je bil v prvotni neenakosti.

Situacije, ko se v neenakosti pojavi neracionalnost

Z drugimi besedami, v zapisu je matematični koren. Od šolskega tečaja algebre večina nalog gre za kvadratni koren, potem bo upoštevan.

Rešitev iracionalnih neenakosti se zmanjša na to, da dobimo sistem dveh ali treh, ki bo enakovreden prvotnemu.

Primeri reševanja različnih vrst neenačb

Da bi dodali jasnost teoriji o reševanju neenačb, so spodaj navedeni primeri.

Prvi primer. 2x - 4 > 1 + x

Rešitev: Za določitev DHS je treba natančno pogledati neenakost. Nastane iz linearne funkcije, zato je definiran za vse vrednosti spremenljivke.

Zdaj morate od obeh strani neenakosti odšteti (1 + x). Izkaže se: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Ko odpremo oklepaje in podamo podobne izraze, bo neenakost dobila naslednjo obliko: x - 5 > 0.

Če ga enačimo z nič, je enostavno najti njegovo rešitev: x = 5.

Zdaj je treba to točko označiti s številko 5 na koordinatnem žarku. Nato preverite znake prvotne funkcije. Na prvem intervalu od minus neskončnosti do 5 lahko vzamete številko 0 in jo nadomestite v neenakost, ki jo dobite po transformacijah. Po izračunih se izkaže -7 >0. pod lokom intervala morate podpisati znak minus.

Na naslednjem intervalu od 5 do neskončnosti lahko izberete številko 6. Potem se izkaže, da je 1 > 0. Pod lokom je podpisan znak "+". Ta drugi interval bo odgovor na neenakost.

Odgovor: x leži v intervalu (5; ∞).

Drugi primer. Rešiti je treba sistem dveh enačb: 3x + 3 ≤ 2x + 1 in 3x - 2 ≤ 4x + 2.

rešitev. Tudi ODZ teh neenačb leži v območju poljubnih števil, saj so podane linearne funkcije.

Druga neenakost bo v obliki naslednje enačbe: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformaciji: -x - 4 =0. Ustvari vrednost za spremenljivko, ki je enaka -4.

Ti dve številki je treba označiti na osi, ki prikazuje intervale. Ker neenakost ni stroga, morajo biti vse točke osenčene. Prvi interval je od minus neskončnosti do -4. Naj bo izbrano število -5. Prva neenakost bo dala vrednost -3, druga pa 1. Ta interval torej ni vključen v odgovor.

Drugi interval je od -4 do -2. Izberete lahko število -3 in ga nadomestite v obeh neenačbah. Pri prvem in pri drugem dobimo vrednost -1. Torej, pod lokom "-".

Na zadnjem intervalu od -2 do neskončnosti je najboljše število nič. Morate ga nadomestiti in poiskati vrednosti neenakosti. V prvem izmed njih dobimo pozitivno število, v drugem pa nič. Tudi ta interval je treba izključiti iz odgovora.

Od treh intervalov je le eden rešitev neenačbe.

Odgovor: x pripada [-4; -2].

Tretji primer. |1 - x| > 2 |x - 1|.

rešitev. Prvi korak je določiti točke, na katerih funkcije izginejo. Za levo bo ta številka 2, za desno - 1. Označiti jih je treba na žarku in določiti intervale konstantnosti.

Na prvem intervalu, od minus neskončnosti do 1, ima funkcija z leve strani neenakosti pozitivne vrednosti, z desne pa negativne vrednosti. Pod lokom morate drug poleg drugega napisati dva znaka "+" in "-".

Naslednji interval je od 1 do 2. Na njem imata obe funkciji pozitivne vrednosti. Pod lokom sta torej dva plusa.

Tretji interval od 2 do neskončnosti bo dal naslednji rezultat: levo funkcijo- negativno, desno - pozitivno.

Ob upoštevanju nastalih znakov je treba izračunati vrednosti neenakosti za vse intervale.

Na prvi dobimo naslednjo neenakost: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Minus pred dvema v drugi neenačbi je posledica dejstva, da je ta funkcija negativna.

Po transformaciji je neenakost videti takole: x> 0. Takoj poda vrednosti spremenljivke. To pomeni, da bo iz tega intervala kot odgovor šel samo interval od 0 do 1.

Na drugem: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Transformacije bodo dale takšno neenakost: -3x + 4 je večje od nič. Njegova ničla bo vrednost x = 4/3. Glede na znak neenakosti se izkaže, da mora biti x manjši od tega števila. To pomeni, da se ta interval zmanjša na interval od 1 do 4/3.

Slednji daje naslednji zapis neenakosti: - (2 - x) > 2 (x - 1). Njena transformacija vodi do tega: -x > 0. To pomeni, da enačba velja za x, ki je manjši od nič. To pomeni, da neenačba ne daje rešitev na zahtevanem intervalu.

V prvih dveh intervalih se je izkazalo, da je mejna številka 1. Preveriti jo je treba posebej. To pomeni, nadomestiti v prvotno neenakost. Izkazalo se je: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Štetje pokaže, da je 1 večje od 0. To je resnična trditev, zato je ena vključena v odgovor.

Odgovor: x leži v intervalu (0; 4/3).

Vsaka neenakost, ki vključuje funkcijo pod korenom, se imenuje neracionalno. Obstajata dve vrsti takih neenakosti:

V prvem primeru koren manj funkcije g (x), v drugem - več. Če g(x) - konstantna, se neenakost dramatično poenostavi. Upoštevajte, da so si te neenakosti navzven zelo podobne, vendar so njihove rešitvene sheme bistveno drugačne.

Danes se bomo naučili reševati iracionalne neenačbe prve vrste - so najpreprostejše in najbolj razumljive. Znak neenakosti je lahko strog ali nestrog. Zanje velja naslednja trditev:

Izrek. Vsaka iracionalna neenakost oblike

Ekvivalent sistemu neenačb:

Ni slabo? Poglejmo, od kod izvira tak sistem:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - tukaj je vse jasno. To je prvotna neenakost na kvadrat;
2. f(x) ≥ 0 je ODZ korena. Naj vas spomnim: aritmetika Kvadratni koren obstaja samo od nenegativnoštevilke;
3. g(x) ≥ 0 je obseg korena. S kvadriranjem neenakosti sežgemo slabosti. Posledično se lahko pojavijo dodatne korenine. Neenakost g (x) ≥ 0 jih odreže.

Veliko učencev se "ciklično vrti" na prvi neenakosti sistema: f (x) ≤ g 2 (x) - in povsem pozabi na drugi dve. Rezultat je predvidljiv: napačna odločitev, izgubljene točke.

Ker so iracionalne neenakosti precej zapletena tema, analizirajmo 4 primere hkrati. Od elementarnega do res kompleksnega. Vse naloge so vzete iz sprejemnih izpitov Moskovske državne univerze. M. V. Lomonosov.

Primeri reševanja problemov

Naloga. Reši neenačbo:

Imamo klasiko iracionalna neenakost: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 je konstanta. Imamo:

Do konca rešitve sta od treh neenačb ostali samo še dve. Ker vedno velja neenakost 2 ≥ 0. Sekajmo preostale neenakosti:

Torej, x ∈ [−1,5; 0,5]. Vse točke so zasenčene, ker neenakosti niso stroge.

Naloga. Reši neenačbo:

Uporabimo izrek:

Rešimo prvo neenačbo. Da bi to naredili, bomo odprli kvadrat razlike. Imamo:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Zdaj pa rešimo drugo neenačbo. Tudi tam kvadratni trinom:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)