Navodila

Zapišite dani logaritemski izraz. Če izraz uporablja logaritem 10, je njegov zapis skrajšan in izgleda takole: lg b je decimalni logaritem. Če ima logaritem za osnovo število e, potem zapišite izraz: ln b – naravni logaritem. Razume se, da je rezultat any potenca, na katero je treba dvigniti osnovno število, da dobimo število b.

Pri iskanju vsote dveh funkcij ju preprosto ločite eno za drugo in seštejte rezultate: (u+v)" = u"+v";

Pri iskanju odvoda produkta dveh funkcij je treba odvod prve funkcije pomnožiti z drugo in dodati odvod druge funkcije, pomnožen s prvo funkcijo: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Da bi našli odvod količnika dveh funkcij, je treba od produkta odvoda dividende, pomnoženega s funkcijo delitelja, odšteti produkt odvoda delitelja, pomnoženega s funkcijo dividende, in deliti vse to s funkcijo delitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Če je dano kompleksna funkcija, potem je treba pomnožiti derivat notranja funkcija in izpeljanka zunanjega. Naj bo y=u(v(x)), potem je y"(x)=y"(u)*v"(x).

Z uporabo zgornjih rezultatov lahko ločite skoraj vsako funkcijo. Oglejmo si torej nekaj primerov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Težave so tudi pri izračunu izpeljanke v točki. Naj bo podana funkcija y=e^(x^2+6x+5), vrednost funkcije morate najti v točki x=1.
1) Poiščite odvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunaj vrednost funkcije v dano točko y"(1)=8*e^0=8

Video na temo

Koristen nasvet

Naučite se tabele elementarnih odvodov. To bo znatno prihranilo čas.

Viri:

• derivat konstante

Torej, kakšna je razlika? ir racionalna enačba od racionalnega? Če je neznana spremenljivka pod znakom kvadratni koren, potem enačba velja za iracionalno.

Navodila

Glavna metoda za reševanje takih enačb je metoda konstruiranja obeh strani enačbe v kvadrat. Vendar. to je naravno, prva stvar, ki jo morate storiti, je, da se znebite znaka. Ta metoda tehnično ni težka, včasih pa lahko povzroči težave. Na primer, enačba je v(2x-5)=v(4x-7). Če kvadrirate obe strani, dobite 2x-5=4x-7. Reševanje takšne enačbe ni težko; x=1. Toda številka 1 ne bo dana enačbe. Zakaj? Namesto vrednosti x v enačbo nadomestite 1. In desna in leva stran bosta vsebovali izraze, ki nimajo smisla, tj. Ta vrednost ni veljavna za kvadratni koren. Zato je 1 tuja korenina in zato ta enačba nima korenin.

Iracionalno enačbo torej rešimo z metodo kvadriranja obeh njenih strani. In po rešitvi enačbe je treba odrezati tuje korenine. Če želite to narediti, zamenjajte najdene korenine v prvotno enačbo.

Razmislite o drugem.
2х+vх-3=0
Seveda je to enačbo mogoče rešiti z uporabo iste enačbe kot prejšnjo. Premaknite spojine enačbe, ki nimajo kvadratnega korena, v desna stran in nato uporabite metodo kvadriranja. reši dobljeno racionalno enačbo in korene. A tudi druga, bolj elegantna. Vnesite novo spremenljivko; vх=y. V skladu s tem boste prejeli enačbo v obliki 2y2+y-3=0. Se pravi običajno kvadratna enačba. Poiščite njene korenine; y1=1 in y2=-3/2. Nato reši dva enačbe vх=1; vх=-3/2. Druga enačba je brez korenin; iz prve ugotovimo, da je x=1. Ne pozabite preveriti korenin.

Reševanje identitet je povsem preprosto. Za to je potrebno izvajati enake transformacije, dokler ni dosežen zastavljeni cilj. Tako bo s pomočjo preprostih aritmetičnih operacij zastavljen problem rešen.

Boste potrebovali

• - papir;
• - pero.

Navodila

Najenostavnejša takšna preoblikovanja so algebrska skrajšana množenja (kot so kvadrat vsote (razlika), razlika kvadratov, vsota (razlika), kub vsote (razlika)). Poleg tega obstaja veliko in trigonometrične formule, ki sta v bistvu enaki identiteti.

Dejansko je kvadrat vsote dveh členov enak kvadratu prvega plus dvakratni produkt prvega z drugim in plus kvadrat drugega, to je (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Poenostavite oboje

Splošna načela rešitve

Ponovite učbenik o matematični analizi oz višja matematika, ki je določen integral. Kot je znano, je rešitev določenega integrala funkcija, katere odvod bo dal integrand. Ta funkcija se imenuje antiderivacija. Na podlagi tega principa so zgrajeni glavni integrali.
Glede na vrsto integranda ugotovite, kateri izmed integralov tabele je v tem primeru primeren. Tega ni vedno mogoče takoj ugotoviti. Pogosto postane tabelarična oblika opazna šele po več transformacijah za poenostavitev integranda.

Metoda zamenjave spremenljivke

Če je funkcija integrand trigonometrična funkcija, katerega argument vsebuje nek polinom, nato poskusite uporabiti metodo zamenjave spremenljivke. Da bi to naredili, zamenjajte polinom v argumentu integranda z neko novo spremenljivko. Na podlagi razmerja med novimi in starimi spremenljivkami določite nove meje integracije. Z razlikovanjem tega izraza poiščite nov diferencial v . Torej boste dobili nova vrsta prejšnjega integrala, ki je blizu ali celo ustreza kateremu koli tabelarnemu.

Reševanje integralov druge vrste

Če je integral integral druge vrste, vektorska oblika integranda, potem boste morali uporabiti pravila za prehod iz teh integralov v skalarne. Eno takšnih pravil je relacija Ostrogradsky-Gauss. Ta zakon nam omogoča prehod od rotorskega fluksa določene vektorske funkcije do trojnega integrala glede na divergenco danega vektorskega polja.

Zamenjava integracijskih mej

Po najdbi protiizpeljave je treba zamenjati limite integracije. Najprej zamenjajte vrednost zgornje meje v izraz za antiizpeljavo. Dobili boste nekaj številk. Nato od dobljenega števila odštejemo drugo število, dobljeno iz spodnje meje v protiizpeljavo. Če je ena od meja integracije neskončnost, jo pri zamenjavi v antiderivativna funkcija treba je iti do meje in najti tisto, k čemur izraz teži.
Če je integral dvodimenzionalen ali tridimenzionalen, boste morali meje integracije predstaviti geometrijsko, da boste razumeli, kako ovrednotiti integral. V primeru, recimo, tridimenzionalnega integrala, so meje integracije lahko celotne ravnine, ki omejujejo prostornino, ki se integrira.

Logaritemske enačbe. Še naprej obravnavamo težave iz dela B Enotnega državnega izpita iz matematike. Rešitve nekaterih enačb smo že preučili v člankih "", "". V tem članku si bomo ogledali logaritemske enačbe. Takoj bom rekel, da pri reševanju takšnih enačb na Enotnem državnem izpitu ne bo zapletenih transformacij. Preprosti so.

Dovolj je vedeti in razumeti osnovno logaritemska identiteta, poznati lastnosti logaritma. Upoštevajte, da po rešitvi MORATE opraviti preverjanje - nadomestite dobljeno vrednost v prvotno enačbo in izračunajte, na koncu bi morali dobiti pravilno enakost.

Opredelitev:

Logaritem števila na osnovo b je eksponent,na katerega je treba dvigniti b, da dobimo a.

Na primer:

Log 3 9 = 2, ker je 3 2 = 9

Lastnosti logaritmov:

Posebni primeri logaritmov:

Rešimo probleme. V prvem primeru bomo opravili preverjanje. V prihodnje preverite sami.

Poiščite koren enačbe: log 3 (4–x) = 4

Ker je log b a = x b x = a, potem

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Pregled:

log 3 (4–(–77)) = 4

dnevnik 3 81 = 4

3 4 = 81 Pravilno.

Odgovor: – 77

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe: log 2 (4 – x) = 7

Poiščite koren enačbe log 5(4 + x) = 2

Uporabljamo osnovno logaritemsko identiteto.

Ker je log a b = x b x = a, potem

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Pregled:

log 5 (4 + 21) = 2

dnevnik 5 25 = 2

5 2 = 25 Pravilno.

Odgovor: 21

Poiščite koren enačbe log 3 (14 – x) = log 3 5.

Velja naslednja lastnost, njen pomen pa je naslednji: če imamo na levi in ​​desni strani enačbe logaritme z enaka osnova, potem lahko enačimo izraze pod znaki logaritmov.

14 – x = 5

x=9

Naredite pregled.

Odgovor: 9

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe log 5 (5 – x) = log 5 3.

Poiščite koren enačbe: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Če je log c a = log c b, potem je a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Naredite pregled.

Odgovor: 6

Poiščite koren enačbe log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Naredite pregled.

Majhen dodatek - nepremičnina se uporablja tukaj

stopinj ().

Odgovor: – 51

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe: log 1/7 (7 – x) = – 2

Poiščite koren enačbe log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Preoblikujemo desno stran. Uporabimo lastnost:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Če je log c a = log c b, potem je a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Naredite pregled.

Odgovor: – 21

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Rešite enačbo log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Če je log c a = log c b, potem je a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Naredite pregled.

Odgovor: 2,75

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Rešite enačbo log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Obvezno z desna stran enačbe dobijo izraz v obliki:

dnevnik 2 (......)

1 predstavljamo kot logaritem z osnovo 2:

1 = dnevnik 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Dobimo:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Če je log c a = log c b, potem je a = b, potem

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Naredite pregled.

Odgovor: 0,4

Odločite se sami: Nato morate rešiti kvadratno enačbo. Mimogrede,

korena sta 6 in – 4.

Koren "–4" ni rešitev, ker mora biti osnova logaritma večja od nič, in z "– 4" je enako " – 5". Rešitev je root 6.Naredite pregled.

Odgovor: 6.

R jejte sami:

Rešite enačbo log x –5 49 = 2. Če ima enačba več kot en koren, odgovorite z manjšim.

Kot ste videli, ni zapletenih transformacij z logaritemskimi enačbamišt. Dovolj je poznati lastnosti logaritma in jih znati uporabiti. Pri problemih enotnega državnega izpita, povezanih s preoblikovanjem logaritemskih izrazov, izvajajo se resnejše transformacije in zahtevajo se globlje veščine reševanja. Ogledali si bomo takšne primere, ne zamudite jih!Želim ti uspeh!!!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Uvod

Logaritmi so bili izumljeni, da bi pospešili in poenostavili izračune. Zamisel o logaritmu, to je zamisel o izražanju števil kot potenc iste baze, pripada Mikhailu Stiefelu. Toda v Stiefelovem času matematika ni bila tako razvita in ideja o logaritmu ni bila razvita. Logaritme sta pozneje istočasno in neodvisno drug od drugega izumila škotski znanstvenik John Napier (1550-1617) in Švicar Jobst Burgi (1552-1632).Napier je delo prvi objavil leta 1614. pod naslovom »Opis neverjetne tabele logaritmov« je bila Napierjeva teorija logaritmov podana v precej popolnem obsegu, metoda izračunavanja logaritmov je bila podana najenostavnejša, zato so bile Napierjeve zasluge pri izumu logaritmov večje od Bürgijevih. Bürgi je delal na mizah istočasno kot Napier, vendar za dolgo časa jih zamolčal in objavil šele leta 1620. Napier je okoli leta 1594 obvladal idejo logaritma. čeprav so bile tabele objavljene 20 let kasneje. Sprva je svoje logaritme imenoval »umetna števila« in šele nato je predlagal, da bi ta »umetna števila« imenovali z eno besedo »logaritem«, kar v prevodu iz grščine pomeni »korelirana števila«, vzeto eno iz aritmetične progresije, drugo pa iz geometrijsko napredovanje, posebej izbrano zanj. Prve tabele v ruščini so bile objavljene leta 1703. s sodelovanjem čudovitega učitelja 18. stoletja. L. F. Magnitski. V razvoju teorije logaritmov velik pomen imela dela peterburškega akademika Leonharda Eulerja. Bil je prvi, ki je obravnaval logaritme kot inverzijo povišanja na potenco, uvedel je izraza "logaritmovska osnova" in "mantisa." Briggs je sestavil tabele logaritmov z osnovo 10. Decimalne tabele so primernejše za praktično uporabo, njihova teorija je enostavnejši od Napierjevih logaritmov. Zato se decimalni logaritmi včasih imenujejo Briggsovi logaritmi. Izraz "karakterizacija" je uvedel Briggs.

V tistih daljnih časih, ko so modreci prvič začeli razmišljati o enačbah, ki vsebujejo neznane količine, verjetno ni bilo kovancev ali denarnic. Vendar so bili kupi, pa tudi lonci in košare, ki so bili kot nalašč za vlogo zalogovnikov, v katere je bilo mogoče shraniti neznano število predmetov. V starodavnih matematičnih problemih Mezopotamije, Indije, Kitajske, Grčije so neznane količine izražale število pavov na vrtu, število bikov v čredi in celoto stvari, ki so se upoštevale pri delitvi premoženja. Pisarji, uradniki in svečeniki, posvečeni v tajno znanje, dobro izurjeni v računski znanosti, so se s temi nalogami dokaj uspešno spopadali.

Viri, ki so prišli do nas, kažejo, da so starodavni znanstveniki imeli nekaj splošnih tehnik za reševanje problemov z neznanimi količinami. Vendar niti en papirus ali glinena tablica ne vsebuje opisa teh tehnik. Avtorji so svoje numerične izračune le občasno opremili s skopimi komentarji, kot so: »Poglej!«, »Naredi to!«, »Našel si pravega«. V tem smislu je izjema "Aritmetika" grškega matematika Diofanta iz Aleksandrije (III. stoletje) - zbirka problemov za sestavljanje enačb s sistematično predstavitvijo njihovih rešitev.

Vendar pa je prvi priročnik za reševanje problemov, ki je postal splošno znan, delo bagdadskega znanstvenika iz 9. stoletja. Mohamed bin Musa al-Hvarizmi. Beseda "al-jabr" iz arabskega imena te razprave - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Knjiga obnove in nasprotovanja") - se je sčasoma spremenila v dobro znano besedo "algebra" in al- Samo Khvarizmijevo delo je služilo kot izhodišče v razvoju znanosti o reševanju enačb.

Logaritemske enačbe in neenačbe

1. Logaritemske enačbe

Enačba, ki ima pod logaritmom ali na svoji osnovi neznanko, se imenuje logaritemska enačba.

Najenostavnejša logaritemska enačba je enačba oblike

dnevnik a x = b . (1)

Trditev 1. Če a > 0, a≠ 1, enačba (1) za poljubno realno b ima edinstveno rešitev x = a b .

Primer 1. Rešite enačbe:

a) dnevnik 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

rešitev. Z uporabo izjave 1 dobimo a) x= 2 3 oz x= 8; b) x= 3 -1 oz x= 1/3; c)

oz x = 1.

Predstavimo osnovne lastnosti logaritma.

P1. Osnovna logaritemska identiteta:

Kje a > 0, a≠ 1 in b > 0.

P2. Logaritem produkta pozitivnih faktorjev enaka vsoti logaritmi teh faktorjev:

dnevnik a n 1 · n 2 = dnevnik a n 1 + log a n 2 (a > 0, a ≠ 1, n 1 > 0, n 2 > 0).

Komentiraj. če n 1 · n 2 > 0, potem lastnost P2 prevzame obliko

dnevnik a n 1 · n 2 = dnevnik a |n 1 | + dnevnik a |n 2 | (a > 0, a ≠ 1, n 1 · n 2 > 0).

P3. Logaritem količnika dveh pozitivnih števil enako razliki logaritma dividende in delitelja

(a > 0, a ≠ 1, n 1 > 0, n 2 > 0).

Komentiraj. če

, (kar je enakovredno n 1 n 2 > 0), potem ima lastnost P3 obliko (a > 0, a ≠ 1, n 1 n 2 > 0).

P4. Logaritem potence pozitivnega števila je enak produktu eksponenta in logaritma tega števila:

dnevnik a n k = k dnevnik a n (a > 0, a ≠ 1, n > 0).

Komentiraj. če k- sodo število ( k = 2s), to

dnevnik a n 2s = 2s dnevnik a |n | (a > 0, a ≠ 1, n ≠ 0).

P5. Formula za selitev v drugo bazo:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, n > 0),

zlasti če n = b, dobimo

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Z uporabo lastnosti P4 in P5 je enostavno pridobiti naslednje lastnosti

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

in če v (5) c- sodo število ( c = 2n), pride do

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Naštejmo glavne lastnosti logaritemske funkcije f (x) = dnevnik a x :

1. Definicijsko področje logaritemske funkcije je množica pozitivnih števil.

2. Območje vrednosti logaritemske funkcije je množica realnih števil.

3. Kdaj a> 1 logaritemska funkcija je strogo naraščajoča (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2) in pri 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > dnevnik a x 2).

4. dnevnik a 1 = 0 in log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Če a> 1, potem je logaritemska funkcija negativna, ko x(0;1) in pozitivno pri x(1;+∞), in če je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) in negativno pri x (1;+∞).

6. Če a> 1, potem je logaritemska funkcija konveksna navzgor in če a(0;1) - konveksno navzdol.

Naslednje izjave (glejte na primer) se uporabljajo pri reševanju logaritemskih enačb.

Vsi poznamo enačbe osnovni razredi. Tam smo se tudi naučili reševati najpreprostejše primere in priznati moramo, da najdejo svojo uporabo tudi v višji matematiki. Z enačbami je vse preprosto, vključno s kvadratnimi enačbami. Če imate težave s to temo, toplo priporočamo, da jo pregledate.

Verjetno ste tudi že šli skozi logaritme. Vendar se nam zdi pomembno povedati, kaj je za tiste, ki še ne vedo. Logaritem je enačen s potenco, na katero je treba dvigniti osnovo, da dobimo število desno od znaka logaritma. Naj navedemo primer, na podlagi katerega vam bo vse jasno.

Če dvignete 3 na četrto potenco, dobite 81. Sedaj zamenjajte števila po analogiji in končno boste razumeli, kako se rešujejo logaritmi. Zdaj ostane le še združiti oba obravnavana koncepta. Na začetku se zdi situacija izjemno zapletena, a ob natančnejšem pregledu teža pade na svoje mesto. Prepričani smo, da po tem kratkem članku ne boste imeli težav pri tem delu enotnega državnega izpita.

Danes obstaja veliko načinov za rešitev takšnih struktur. Povedali vam bomo o najpreprostejših, najučinkovitejših in najbolj uporabnih v primeru nalog enotnega državnega izpita. Reševanje logaritemskih enačb je treba začeti od samega začetka. preprost primer. Najenostavnejše logaritemske enačbe so sestavljene iz funkcije in ene spremenljivke v njej.

Pomembno je vedeti, da je x znotraj argumenta. A in b morata biti številki. V tem primeru lahko preprosto izrazite funkcijo s številom na potenco. Izgleda takole.

Seveda vas bo reševanje logaritemske enačbe s to metodo pripeljalo do pravilnega odgovora. Težava velike večine študentov v tem primeru je, da ne razumejo, od kod prihaja. Posledično se morate sprijazniti z napakami in ne dobiti želenih točk. Najbolj žaljiva napaka bo, če pomešate črke. Če želite enačbo rešiti na ta način, si morate zapomniti to standardno šolsko formulo, ker jo je težko razumeti.

Da bi bilo lažje, se lahko zatečete k drugi metodi - kanonični obliki. Ideja je izjemno preprosta. Obrnite pozornost nazaj na problem. Ne pozabite, da je črka a število, ne funkcija ali spremenljivka. A ni enak ena in ni večji od nič. Za b ni nobenih omejitev. Sedaj pa si od vseh formul zapomnimo eno. B lahko izrazimo na naslednji način.

Iz tega sledi, da lahko vse izvirne enačbe z logaritmi predstavimo v obliki:

Zdaj lahko spustimo logaritme. Rezultat je preprost dizajn, ki smo ga že videli.

Priročnost te formule je v tem, da jo je mogoče uporabiti v najrazličnejših primerih in ne le za najpreprostejše modele.

Ne skrbite za OOF!

Številni izkušeni matematiki bodo opazili, da domeni definicije nismo posvetili pozornosti. Pravilo se skrči na dejstvo, da je F(x) nujno večji od 0. Ne, tega nismo spregledali. Zdaj govorimo o še eni resni prednosti kanonične oblike.

Tu ne bo dodatnih korenin. Če se bo spremenljivka pojavila samo na enem mestu, potem obseg ni potreben. Izvaja se samodejno. Da preverite to sodbo, poskusite rešiti več preprostih primerov.

Kako rešiti logaritemske enačbe z različnimi bazami

To so že kompleksne logaritemske enačbe, pristop k njihovemu reševanju pa mora biti poseben. Tu se redko lahko omejimo na razvpito kanonično obliko. Začnimo našo podrobno zgodbo. Imamo naslednjo konstrukcijo.

Bodite pozorni na ulomek. Vsebuje logaritem. Če to vidite v nalogi, si je vredno zapomniti en zanimiv trik.

Kaj to pomeni? Vsak logaritem lahko predstavimo kot količnik dveh logaritmov s priročno osnovo. In ta formula ima poseben primer, kar velja za ta primer (kar pomeni, če c=b).

Točno to je frakcija, ki jo vidimo v našem primeru. torej.

V bistvu smo ulomek obrnili in dobili bolj priročen izraz. Zapomnite si ta algoritem!

Zdaj potrebujemo, da logaritemska enačba ne vsebuje različni razlogi. Osnovo predstavimo kot ulomek.

V matematiki obstaja pravilo, na podlagi katerega lahko iz osnove izpelješ diplomo. Naslednji rezultati gradnje.

Zdi se, kaj nam preprečuje, da bi svoj izraz zdaj spremenili v kanonično obliko in ga preprosto rešili? Ni tako preprosto. Pred logaritmom ne sme biti ulomkov. Popravimo to situacijo! Ulomke je dovoljeno uporabljati kot stopinje.

Oziroma.

Če sta osnovi enaki, lahko odstranimo logaritme in enačimo same izraze. Tako bo situacija postala veliko enostavnejša, kot je bila. Ostala bo elementarna enačba, ki jo je vsak izmed nas znal rešiti že v 8. ali celo 7. razredu. Izračune lahko naredite sami.

Dobili smo edini pravi koren te logaritemske enačbe. Primeri reševanja logaritemske enačbe so čisto preprosti, kajne? Zdaj se boste lahko samostojno spopadli tudi z najzapletenejšimi nalogami za pripravo in opravljanje enotnega državnega izpita.

Kakšen je rezultat?

V primeru katere koli logaritemske enačbe izhajamo iz zelo ene pomembno pravilo. Delovati je treba tako, da izraz skrčimo na najpreprostejšo možno obliko. V tem primeru boste imeli večjo možnost, da nalogo ne le pravilno rešite, ampak jo tudi naredite na čim bolj preprost in logičen način. Točno tako matematiki vedno delajo.

Močno vam ne priporočamo, da iščete težke poti, še posebej v tem primeru. Zapomni si jih nekaj preprosta pravila, ki vam bo omogočil preoblikovanje katerega koli izraza. Na primer, zmanjšajte dva ali tri logaritme na isto osnovo ali izpeljite potenco iz osnove in na tem zmagajte.

Prav tako si velja zapomniti, da reševanje logaritemskih enačb zahteva stalno prakso. Postopoma boste prešli na vse bolj zapletene strukture, kar vas bo pripeljalo do samozavestnega reševanja vseh variant problemov na enotnem državnem izpitu. Vnaprej se pripravite na izpite in srečno!

S tem videom začenjam dolgo serijo lekcij o logaritemskih enačbah. Zdaj imate pred seboj tri primere, na podlagi katerih se bomo največ naučili reševati preproste naloge, ki se imenujejo tako - praživali.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Naj vas spomnim, da je najpreprostejša logaritemska enačba naslednja:

log a f (x) = b

V tem primeru je pomembno, da je spremenljivka x prisotna le znotraj argumenta, torej samo v funkciji f (x). In števili a in b sta samo števili in v nobenem primeru nista funkciji, ki vsebujeta spremenljivko x.

Osnovne metode reševanja

Obstaja veliko načinov za rešitev takšnih struktur. Na primer, večina učiteljev v šoli ponuja to metodo: Takoj izrazite funkcijo f (x) s formulo f ( x ) = a b . To pomeni, da ko naletite na najpreprostejšo konstrukcijo, lahko takoj preidete na rešitev brez dodatnih dejanj in konstrukcij.

Ja, seveda, odločitev bo pravilna. Vendar je težava te formule v tem, da večina študentov ne razumem, od kod izvira in zakaj črko a dvignemo v črko b.

Posledično pogosto vidim zelo zoprne napake, ko se na primer te črke zamenjajo. To formulo je treba bodisi razumeti bodisi natlačiti, druga metoda pa vodi do napak v najbolj neprimernih in najbolj ključnih trenutkih: med izpiti, testi itd.

Zato vsem svojim učencem predlagam, da opustijo standardno šolsko formulo in za reševanje logaritemskih enačb uporabijo drugi pristop, ki se, kot ste verjetno uganili iz imena, imenuje kanonična oblika.

Zamisel o kanonični obliki je preprosta. Poglejmo našo težavo še enkrat: na levi strani imamo log a, s črko a pa mislimo na število, nikakor pa ne na funkcijo, ki vsebuje spremenljivko x. Posledično za to črko veljajo vse omejitve, ki veljajo za logaritem. namreč:

1 ≠ a > 0

Po drugi strani pa iz iste enačbe vidimo, da mora biti logaritem enako številu b , in za to črko niso naložene nobene omejitve, ker lahko sprejme kakršne koli vrednosti - tako pozitivne kot negativne. Vse je odvisno od tega, katere vrednosti ima funkcija f(x).

In tukaj se spomnimo našega čudovitega pravila, da lahko vsako število b predstavimo kot logaritem na osnovi a od a na potenco b:

b = log a a b

Kako si zapomniti to formulo? Da, zelo preprosto. Zapišimo naslednjo konstrukcijo:

b = b 1 = b log a a

Seveda se v tem primeru pojavijo vse omejitve, ki smo jih zapisali na začetku. Zdaj pa uporabimo osnovno lastnost logaritma in predstavimo množitelj b kot potenco a. Dobimo:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Posledično bo prvotna enačba prepisana na naslednji način:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je vse. Nova funkcija ne vsebuje več logaritma in jo je mogoče rešiti s standardnimi algebrskimi tehnikami.

Seveda bo zdaj nekdo ugovarjal: zakaj je bilo sploh treba pripraviti nekakšno kanonično formulo, zakaj narediti dva dodatna nepotrebna koraka, če je bilo mogoče takoj preiti od prvotne zasnove do končne formule? Da, čeprav samo zato, ker večina študentov ne razume, od kod izvira ta formula, in posledično redno delajo napake pri njeni uporabi.

Toda to zaporedje dejanj, sestavljeno iz treh korakov, vam omogoča, da rešite prvotno logaritemsko enačbo, tudi če ne razumete, od kod prihaja končna formula. Mimogrede, ta vnos se imenuje kanonična formula:

log a f (x) = log a a b

Priročnost kanonične oblike je tudi v tem, da jo je mogoče uporabiti za reševanje zelo širokega razreda logaritemskih enačb in ne le najpreprostejših, ki jih obravnavamo danes.

Primeri rešitev

Zdaj pa poglejmo resnični primeri. Torej, odločimo se:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Zapišimo takole:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Številnim učencem se mudi in poskušajo število 0,5 takoj dvigniti na potenco, ki nam je prišla iz prvotnega problema. Ko ste že dobro usposobljeni za reševanje takšnih problemov, lahko takoj izvedete ta korak.

Če pa šele začenjate preučevati to temo, je bolje, da nikamor ne hitite, da se izognete žaljivim napakam. Torej, imamo kanonično obliko. Imamo:

3x − 1 = 0,5 −3

To ni več logaritemska enačba, ampak linearna glede na spremenljivko x. Da bi jo rešili, si najprej poglejmo število 0,5 na potenco −3. Upoštevajte, da je 0,5 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Vse decimalke pretvorite v navadne, ko rešujete logaritemsko enačbo.

Prepišemo in dobimo:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

To je to, dobili smo odgovor. Prvi problem je rešen.

Druga naloga

Gremo k drugi nalogi:

Kot vidimo, ta enačba ni več najenostavnejša. Že zato, ker je na levi razlika in ne en sam logaritem na eno osnovo.

Zato se moramo te razlike nekako znebiti. V tem primeru je vse zelo preprosto. Oglejmo si baze podrobneje: na levi je številka pod korenom:

Splošno priporočilo: v vseh logaritemskih enačbah se poskušajte znebiti radikalov, tj. vnosov s koreninami in pojdite na močnostne funkcije, preprosto zato, ker se eksponenti teh potenc enostavno vzamejo iz predznaka logaritma in navsezadnje takšen zapis bistveno poenostavi in ​​pospeši izračune. Zapišimo takole:

Zdaj pa se spomnimo izjemne lastnosti logaritma: potence je mogoče izpeljati iz argumenta, pa tudi iz osnove. V primeru razlogov se zgodi naslednje:

log a k b = 1/k loga b

Z drugimi besedami, število, ki je bilo v osnovni moči, se premakne naprej in hkrati obrne, to pomeni, da postane recipročno število. V našem primeru je bila osnovna stopinja 1/2. Zato ga lahko izvzamemo kot 2/1. Dobimo:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Prosimo, upoštevajte: v nobenem primeru se ne smete znebiti logaritmov na tem koraku. Spomnite se matematike 4.-5. razreda in vrstnega reda operacij: najprej se izvede množenje in šele nato seštevanje in odštevanje. V tem primeru odštejemo enega od enakih elementov od 10 elementov:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Zdaj je naša enačba videti, kot bi morala. To je najpreprostejša konstrukcija in jo rešimo s kanonično obliko:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

To je vse. Drugi problem je rešen.

Tretji primer

Gremo k tretji nalogi:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Naj vas spomnim na naslednjo formulo:

log b = log 10 b

Če vas iz nekega razloga zmede zapis log b , lahko pri vseh izračunih preprosto napišete log 10 b . Z decimalnimi logaritmi lahko delate na enak način kot z drugimi: potenite, seštejte in predstavite poljubna števila v obliki lg 10.

Te lastnosti bomo zdaj uporabili za rešitev problema, saj ni najpreprostejši, ki smo ga zapisali na samem začetku naše lekcije.

Najprej upoštevajte, da je faktor 2 pred lg 5 mogoče dodati in postane potenca osnove 5. Poleg tega lahko prosti člen 3 predstavimo tudi kot logaritem - to je zelo enostavno opaziti iz našega zapisa.

Presodite sami: katero koli število je mogoče predstaviti kot log z osnovo 10:

3 = dnevnik 10 10 3 = dnevnik 10 3

Ponovno napišimo prvotni problem ob upoštevanju dobljenih sprememb:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Pred nami je spet kanonična oblika, ki smo jo dobili, ne da bi šli skozi fazo transformacije, torej najpreprostejša logaritemska enačba se ni pojavila nikjer.

Prav o tem sem govoril na samem začetku lekcije. Kanonična oblika vam omogoča reševanje širšega razreda problemov kot standardna šolska formula, ki ga daje večina šolskih učiteljev.

To je to, znebimo se znaka decimalni logaritem, in dobimo preprosto linearno konstrukcijo:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Vse! Problem je rešen.

Opomba o obsegu

Tukaj bi rad dal pomembno pripombo glede obsega opredelitve. Zagotovo bodo zdaj učenci in učitelji, ki bodo rekli: "Ko rešujemo izraze z logaritmi, se moramo spomniti, da mora biti argument f (x) večji od nič!" Pri tem se postavlja logično vprašanje: zakaj pri nobenem od obravnavanih problemov nismo zahtevali, da je ta neenakost izpolnjena?

Ne skrbi. V teh primerih se ne bodo pojavile dodatne korenine. In to je še en odličen trik, ki vam omogoča, da pospešite rešitev. Vedite le, da če se v nalogi spremenljivka x pojavi samo na enem mestu (ali bolje rečeno v enem samem argumentu enega logaritma) in se v našem primeru spremenljivka x ne pojavi nikjer drugje, potem zapišite domeno definicije ni potrebno, ker se bo izvršil samodejno.

Presodite sami: v prvi enačbi smo dobili, da je 3x − 1, torej mora biti argument enak 8. To samodejno pomeni, da bo 3x − 1 večje od nič.

Z enakim uspehom lahko zapišemo, da bi moral biti v drugem primeru x enak 5 2, torej je gotovo večji od nič. In v tretjem primeru, kjer je x + 3 = 25.000, torej spet očitno večje od nič. Z drugimi besedami, obseg je samodejno izpolnjen, vendar le, če se x pojavi samo v argumentu samo enega logaritma.

To je vse, kar morate vedeti za reševanje najpreprostejših problemov. Samo to pravilo vam bo skupaj s transformacijskimi pravili omogočilo reševanje zelo širokega razreda problemov.

Toda bodimo iskreni: da bi končno razumeli to tehniko, da bi se naučili uporabljati kanonično obliko logaritemske enačbe, ni dovolj, da si ogledate samo eno video lekcijo. Zato zdaj prenesite možnosti za samostojne rešitve, ki so priložene tej video lekciji, in začnite reševati vsaj eno od teh dveh samostojnih del.

Vzelo vam bo dobesedno nekaj minut. Toda učinek takšnega usposabljanja bo veliko večji, kot če bi preprosto gledali to video lekcijo.

Upam, da vam bo ta lekcija pomagala razumeti logaritemske enačbe. Uporabite kanonično obliko, poenostavite izraze s pravili za delo z logaritmi - in ne boste se bali težav. To je vse, kar imam za danes.

Ob upoštevanju domene definicije

Zdaj pa se pogovorimo o domeni definicije logaritemske funkcije in o tem, kako to vpliva na rešitev logaritemskih enačb. Razmislite o konstrukciji obrazca

log a f (x) = b

Tak izraz se imenuje najenostavnejši - vsebuje samo eno funkcijo, števili a in b pa sta le števili in nikakor ne funkcija, ki je odvisna od spremenljivke x. Rešljivo je zelo preprosto. Uporabiti morate le formulo:

b = log a a b

Ta formula je ena od ključnih lastnosti logaritma in pri zamenjavi v prvotni izraz dobimo naslednje:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

To je znana formula iz šolskih učbenikov. Mnogi učenci bodo verjetno imeli vprašanje: ker je v izvirnem izrazu funkcija f (x) pod znakom dnevnika, so zanjo naložene naslednje omejitve:

f(x) > 0

Ta omejitev velja, ker logaritem od negativna števila ne obstaja. Morda bi bilo zaradi te omejitve treba uvesti preverjanje odgovorov? Morda jih je treba vstaviti v vir?

Ne, pri najenostavnejših logaritemskih enačbah dodatno preverjanje ni potrebno. In zato. Oglejte si našo končno formulo:

f (x) = a b

Dejstvo je, da je število a v vsakem primeru večje od 0 - to zahtevo nalaga tudi logaritem. Število a je osnova. V tem primeru za število b ni nobenih omejitev. Vendar to ni pomembno, ker ne glede na to, na katero potenco dvignemo pozitivno število, bomo na izhodu še vedno dobili pozitivno število. Tako je zahteva f (x) > 0 samodejno izpolnjena.

Kar je resnično vredno preveriti, je domena funkcije pod znakom dnevnika. Obstajajo lahko precej zapletene strukture, ki jih morate med postopkom reševanja zagotovo paziti. Gremo pogledat.

Prva naloga:

Prvi korak: pretvorite ulomek na desni. Dobimo:

Znebimo se znaka logaritma in dobimo običajno iracionalno enačbo:

Od dobljenih korenin nam ustreza le prva, od druge korenine manj kot nič. Edini odgovor bo številka 9. To je to, problem je rešen. Za zagotovitev, da je izraz pod znakom logaritma večji od 0, niso potrebna nobena dodatna preverjanja, ker ni le večji od 0, ampak je glede na pogoj enačbe enak 2. Zato velja zahteva »večji od nič ” se samodejno izpolni.

Gremo k drugi nalogi:

Tukaj je vse po starem. Ponovno napišemo konstrukcijo in zamenjamo trojno:

Znebimo se logaritmov in dobimo iracionalno enačbo:

Obe strani kvadriramo ob upoštevanju omejitev in dobimo:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Nastalo enačbo rešimo preko diskriminante:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Toda x = −6 nam ne ustreza, ker če to število nadomestimo v našo neenakost, dobimo:

−6 + 4 = −2 < 0

V našem primeru se zahteva, da je večji od 0 ali v skrajnem primeru enak. Toda x = −1 nam ustreza:

−1 + 4 = 3 > 0

Edini odgovor v našem primeru bo x = −1. To je rešitev. Vrnimo se na sam začetek naših izračunov.

Glavna ugotovitev te lekcije je, da vam ni treba preverjati omejitev za funkcijo v preprostih logaritemskih enačbah. Ker so med postopkom rešitve vse omejitve samodejno izpolnjene.

Vendar to nikakor ne pomeni, da lahko na pregled povsem pozabite. V procesu dela na logaritemski enačbi se lahko ta spremeni v iracionalno, ki bo imela svoje omejitve in zahteve za desno stran, kar smo danes videli v dveh različnih primerih.

Prosto rešujte takšne težave in bodite še posebej previdni, če je v prepiru korenina.

Logaritemske enačbe z različnimi bazami

Nadaljujemo s preučevanjem logaritemskih enačb in si ogledamo še dve precej zanimivi tehniki, s katerimi je moderno reševati več kompleksne zasnove. Najprej pa se spomnimo, kako se rešijo najpreprostejši problemi:

log a f (x) = b

V tem vnosu sta a in b števili, v funkciji f (x) pa mora biti prisotna spremenljivka x in samo tam, torej mora biti x samo v argumentu. Takšne logaritemske enačbe bomo pretvorili v kanonično obliko. Če želite to narediti, upoštevajte to

b = log a a b

Poleg tega je a b natanko argument. Prepišimo ta izraz na naslednji način:

log a f (x) = log a a b

To je točno to, kar poskušamo doseči, tako da obstaja logaritem za osnovo a tako na levi kot na desni. V tem primeru lahko, slikovito rečeno, prečrtamo znake hloda, z matematičnega vidika pa lahko rečemo, da preprosto enačimo argumente:

f (x) = a b

Posledično bomo dobili nov izraz, ki ga bo veliko lažje rešiti. Uporabimo to pravilo za naše današnje težave.

Torej, prvi dizajn:

Najprej ugotavljam, da je na desni ulomek, katerega imenovalec je log. Ko vidite izraz, kot je ta, je dobro, da se spomnite čudovite lastnosti logaritmov:

Prevedeno v ruščino, to pomeni, da lahko vsak logaritem predstavimo kot količnik dveh logaritmov s katero koli osnovo c. Seveda 0< с ≠ 1.

Torej: ta formula ima en čudovit poseben primer, ko je spremenljivka c enaka spremenljivki b. V tem primeru dobimo konstrukcijo, kot je:

To je točno konstrukcija, ki jo vidimo iz znaka na desni v naši enačbi. Zamenjajmo to konstrukcijo z log a b, dobimo:

Z drugimi besedami, v primerjavi z izvirna naloga, smo zamenjali argument in osnovo logaritma. Namesto tega smo morali ulomek obrniti.

Spomnimo se, da lahko katero koli stopnjo izpeljemo iz osnove v skladu z naslednjim pravilom:

Z drugimi besedami, koeficient k, ki je potenca baze, je izražen kot obrnjeni ulomek. Upodabljajmo ga kot obrnjen ulomek:

Delnega faktorja ne moremo pustiti spredaj, ker v tem primeru tega zapisa ne bomo mogli predstaviti kot kanonično obliko (navsezadnje v kanonični obliki pred drugim logaritmom ni dodatnega faktorja). Zato dodamo ulomek 1/4 argumentu kot potenco:

Zdaj enačimo argumente, katerih baze so enake (in naše baze so res enake), in zapišemo:

x + 5 = 1

x = −4

To je vse. Dobili smo odgovor na prvo logaritemsko enačbo. Prosimo, upoštevajte: v prvotni težavi se spremenljivka x pojavi samo v enem dnevniku in se pojavi v njegovem argumentu. Zato domene ni treba preverjati in naše število x = −4 je res odgovor.

Zdaj pa preidimo na drugi izraz:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Tukaj bomo poleg običajnih logaritmov morali delati z log f (x). Kako rešiti takšno enačbo? Nepripravljenemu študentu se morda zdi, da je to nekakšna težka naloga, v resnici pa je vse mogoče rešiti na elementaren način.

Pozorno si oglejte izraz lg 2 log 2 7. Kaj lahko rečemo o njem? Osnove in argumenti log in lg so enaki in to bi moralo dati nekaj idej. Spomnimo se še enkrat, kako se potence vzamejo izpod znaka logaritma:

log a b n = nlog a b

Z drugimi besedami, kar je bila potenca b v argumentu, postane faktor pred samim logom. Uporabimo to formulo za izraz lg 2 log 2 7. Naj vas lg 2 ne prestraši - to je najpogostejši izraz. Lahko ga prepišete na naslednji način:

Zanj veljajo vsa pravila, ki veljajo za katerikoli drug logaritem. Zlasti faktor spredaj se lahko doda stopnji argumenta. Zapišimo:

Zelo pogosto učenci tega dejanja neposredno ne vidijo, ker ni dobro vnašati enega dnevnika pod znak drugega. Pravzaprav v tem ni nič kaznivega. Poleg tega dobimo formulo, ki jo je enostavno izračunati, če se spomnite pomembnega pravila:

To formulo lahko obravnavamo kot definicijo in kot eno od njenih lastnosti. V vsakem primeru, če pretvarjate logaritemsko enačbo, bi morali poznati to formulo, tako kot bi poznali log predstavitev katerega koli števila.

Vrnimo se k naši nalogi. Prepišemo ga ob upoštevanju dejstva, da bo prvi člen desno od znaka enačaja preprosto enak lg 7. Imamo:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Premaknimo lg 7 v levo, dobimo:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Izraze na levi odštejemo, ker imajo enako osnovo:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Zdaj pa si podrobneje oglejmo enačbo, ki smo jo dobili. To je praktično kanonična oblika, vendar je na desni strani faktor −3. Dodajmo ga desnemu argumentu lg:

log 8 = log (x + 4) −3

Pred nami je kanonična oblika logaritemske enačbe, zato prečrtamo znake lg in izenačimo argumente:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

To je vse! Rešili smo drugo logaritemsko enačbo. V tem primeru dodatna preverjanja niso potrebna, ker je bil v prvotni težavi x prisoten le v enem argumentu.

Bom še enkrat naštel Ključne točke to lekcijo.

Glavna formula, ki se je učijo v vseh lekcijah na tej strani, namenjenih reševanju logaritemskih enačb, je kanonična oblika. In naj vas ne prestraši dejstvo, da vas večina šolskih učbenikov uči reševati takšne probleme drugače. To orodje deluje zelo učinkovito in vam omogoča reševanje veliko širšega razreda problemov od najpreprostejših, ki smo jih preučevali na samem začetku naše lekcije.

Poleg tega bo za reševanje logaritemskih enačb koristno poznati osnovne lastnosti. namreč:

1. Formula za premik na eno bazo in poseben primer, ko obrnemo dnevnik (to nam je zelo koristilo pri prvi nalogi);
2. Formula za seštevanje in odštevanje potenc od znaka logaritma. Tukaj se veliko študentov zatakne in ne vidijo, da lahko izpisana in vnesena diploma sama vsebuje log f (x). Nič narobe s tem. En log lahko uvedemo glede na predznak drugega in hkrati bistveno poenostavimo rešitev problema, kar opazimo v drugem primeru.

Na koncu bi rad dodal, da v vsakem od teh primerov ni potrebno preverjati domene definicije, saj je povsod spremenljivka x prisotna le v enem znaku loga, hkrati pa je v njegovem argumentu. Posledično so vse zahteve obsega izpolnjene samodejno.

Težave s spremenljivo osnovo

Danes si bomo ogledali logaritemske enačbe, ki se mnogim učencem zdijo nestandardne, če ne povsem nerešljive. To je približno o izrazih, ki ne temeljijo na številih, temveč na spremenljivkah in celo funkcijah. Takšne konstrukcije bomo reševali z našo standardno tehniko, in sicer skozi kanonično obliko.

Najprej se spomnimo, kako se rešujejo najpreprostejši problemi, ki temeljijo na navadnih številkah. Tako se imenuje najpreprostejša konstrukcija

log a f (x) = b

Za rešitev takšnih težav lahko uporabimo naslednjo formulo:

b = log a a b

Prepišemo svoj prvotni izraz in dobimo:

log a f (x) = log a a b

Nato argumente izenačimo, torej zapišemo:

f (x) = a b

Tako se znebimo znaka dnevnika in rešimo običajno težavo. V tem primeru bodo koreni, dobljeni iz rešitve, koreni prvotne logaritemske enačbe. Poleg tega se zapis, ko sta leva in desna v istem logaritmu z isto osnovo, natančno imenuje kanonična oblika. Na takšen rekord bomo skušali zmanjšati današnje dizajne. Torej, gremo.

Prva naloga:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Zamenjajte 1 z log x − 2 (x − 2) 1 . Stopnja, ki jo opazimo v argumentu, je pravzaprav število b, ki je stalo desno od znaka enačaja. Tako prepišemo naš izraz. Dobimo:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Kaj vidimo? Pred nami je kanonična oblika logaritemske enačbe, tako da lahko mirno enačimo argumente. Dobimo:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Toda rešitev se tu ne konča, saj ta enačba ni enakovredna prvotni. Navsezadnje je nastala konstrukcija sestavljena iz funkcij, ki so definirane na celotni številski premici, naši prvotni logaritmi pa niso definirani povsod in ne vedno.

Zato moramo domeno definicije zapisati posebej. Ne bomo cepili in najprej zapišimo vse zahteve:

Prvič, argument vsakega od logaritmov mora biti večji od 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Drugič, osnova ne sme biti samo večja od 0, ampak tudi drugačna od 1:

x − 2 ≠ 1

Kot rezultat dobimo sistem:

Vendar ne bodite prestrašeni: pri obdelavi logaritemskih enačb je tak sistem mogoče bistveno poenostaviti.

Presodite sami: po eni strani zahtevamo, da je kvadratna funkcija večja od nič, po drugi strani pa je ta kvadratna funkcija enačena z določenim linearnim izrazom, ki prav tako zahteva, da je večji od nič.

V tem primeru, če zahtevamo, da je x − 2 > 0, bo samodejno izpolnjena zahteva 2x 2 − 13x + 18 > 0. Zato lahko mirno prečrtamo neenakost, ki vsebuje kvadratna funkcija. Tako se bo število izrazov v našem sistemu zmanjšalo na tri.

Seveda bi lahko kar prečrtali linearna neenakost, to je prečrtati x − 2 > 0 in zahtevati, da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Vendar se morate strinjati, da je reševanje najenostavnejše linearne neenačbe veliko hitrejše in lažje kot kvadratne, tudi če je rezultat reševanja celotne ta sistem bomo dobili iste korenine.

Na splošno poskušajte optimizirati izračune, kadar koli je to mogoče. In pri logaritemskih enačbah prečrtajte najtežje neenakosti.

Prepišimo naš sistem:

Tukaj je sistem treh izrazov, od katerih smo dva pravzaprav že obravnavali. Zapišimo kvadratno enačbo posebej in jo rešimo:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Pred nami je reducirani kvadratni trinom in zato lahko uporabimo Vietove formule. Dobimo:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Zdaj se vrnemo k našemu sistemu in ugotovimo, da nam x = 2 ne ustreza, ker zahtevamo, da je x strogo večji od 2.

Toda x = 5 nam popolnoma ustreza: število 5 je večje od 2, hkrati pa 5 ni enako 3. Zato bo edina rešitev tega sistema x = 5.

To je to, problem je rešen, vključno z upoštevanjem ODZ. Pojdimo k drugi enačbi. Več zanimivih in poučnih izračunov nas čaka tukaj:

Prvi korak: kot zadnjič, celotno zadevo spravimo v kanonično obliko. Če želite to narediti, lahko številko 9 zapišemo na naslednji način:

Ni vam treba dotikati osnove s korenom, vendar je bolje preoblikovati argument. Pojdimo od korena na potenco z racionalnim eksponentom. Zapišimo:

Naj ne prepišem celotne naše velike logaritemske enačbe, ampak samo takoj izenačim argumente:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nami je na novo reducirani kvadratni trinom, uporabimo Vietove formule in zapišimo:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Torej, dobili smo korenine, vendar nam nihče ni zagotovil, da bodo ustrezale prvotni logaritemski enačbi. Navsezadnje znaki dnevnika postavljajo dodatne omejitve (tukaj bi morali zapisati sistem, vendar sem se zaradi okornosti celotne strukture odločil, da domeno definicije izračunam posebej).

Najprej si zapomnite, da morajo biti argumenti večji od 0, in sicer:

To so zahteve, ki jih nalaga obseg definicije.

Naj takoj opozorimo, da ker prva dva izraza sistema enačimo med seboj, lahko kateregakoli prečrtamo. Prvega prečrtajmo, ker je videti bolj grozeč od drugega.

Poleg tega upoštevajte, da bodo rešitve druge in tretje neenakosti enake množice (kocka nekega števila je večja od nič, če je to število samo večje od nič; podobno, s korenom tretje stopnje - te neenakosti so popolnoma analogne, zato jih lahko prečrtamo).

Toda s tretjo neenakostjo to ne bo delovalo. Znebimo se radikalnega znaka na levi tako, da oba dela dvignemo v kocko. Dobimo:

Tako dobimo naslednje zahteve:

− 2 ≠ x > −3

Katera od naših korenin: x 1 = −3 ali x 2 = −1 izpolnjuje te zahteve? Očitno samo x = −1, ker x = −3 ne zadošča prvi neenakosti (ker je naša neenakost stroga). Torej, če se vrnemo k našemu problemu, dobimo en koren: x = −1. To je to, problem rešen.

Še enkrat, ključne točke te naloge:

1. Lahko uporabite in rešite logaritemske enačbe z uporabo kanonične oblike. Učenci, ki naredijo tak zapis, namesto da bi se premaknili neposredno od prvotnega problema do konstrukcije, kot je log a f (x) = b, naredijo veliko manj napak kot tisti, ki nekam hitijo in preskočijo vmesne korake izračunov;
2. Takoj ko se v logaritmu pojavi spremenljiva osnova, problem ni več najenostavnejši. Zato je pri reševanju potrebno upoštevati domeno definicije: argumenti morajo biti večji od nič, baze pa ne le večje od 0, ampak tudi ne smejo biti enake 1.

Končne zahteve je mogoče na različne načine uporabiti za končne odgovore. Na primer, rešite lahko celoten sistem, ki vsebuje vse zahteve za domeno definicije. Po drugi strani pa lahko najprej rešite sam problem, nato pa si zapomnite domeno definicije, jo posebej razdelate v obliki sistema in jo uporabite za dobljene korenine.

Katero metodo izbrati pri reševanju določene logaritemske enačbe, je odvisno od vas. V vsakem primeru bo odgovor enak.