บ้าน

วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จี. กลาสเซอร์,
นักวิชาการของ Russian Academy of Education, มอสโก

เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน...

นี่เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุดในสมัยโบราณ เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส เกือบทุกคนที่เคยศึกษาการวัดระนาบรู้เรื่องนี้แม้กระทั่งตอนนี้ สำหรับฉันดูเหมือนว่าถ้าเราต้องการที่จะแจ้งให้คุณทราบ อารยธรรมนอกโลกเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของชีวิตที่ชาญฉลาดบนโลกควรส่งภาพร่างพีทาโกรัสไปในอวกาศ ฉันคิดว่าหากสิ่งมีชีวิตที่มีความคิดสามารถยอมรับข้อมูลนี้ได้ ถ้าไม่มีการถอดรหัสสัญญาณที่ซับซ้อน พวกเขาจะเข้าใจว่าบนโลกมีอารยธรรมที่พัฒนาค่อนข้างมาก

นักปรัชญาชาวกรีกผู้มีชื่อเสียงและนักคณิตศาสตร์ Pythagoras แห่ง Samos ซึ่งเป็นผู้ตั้งชื่อทฤษฎีบทนั้นมีชีวิตอยู่เมื่อประมาณ 2.5 พันปีก่อน ข้อมูลชีวประวัติที่มาถึงเราเกี่ยวกับพีทาโกรัสนั้นไม่เป็นชิ้นเป็นอันและไม่น่าเชื่อถือ ตำนานมากมายเกี่ยวข้องกับชื่อของเขา เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพีทาโกรัสเดินทางบ่อยครั้งในประเทศทางตะวันออกโดยไปเยือนอียิปต์และบาบิโลน ณ อาณานิคมแห่งหนึ่งของกรีก อิตาลีตอนใต้เขาก่อตั้ง "โรงเรียนพีทาโกรัส" ที่มีชื่อเสียงซึ่งมีบทบาทสำคัญในด้านวิทยาศาสตร์และ ชีวิตทางการเมือง กรีกโบราณ. พีทาโกรัสเป็นผู้ให้เครดิตกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเรขาคณิตที่มีชื่อเสียง ขึ้นอยู่กับตำนานที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง (Proclus, Plutarch ฯลฯ ) เผยแพร่ เวลานานเชื่อกันว่าทฤษฎีบทนี้ไม่มีใครรู้จักมาก่อนพีทาโกรัส จึงมีชื่อเรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อย่างไรก็ตาม ไม่ต้องสงสัยเลยว่าทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักก่อนปีทาโกรัสหลายปี ดังนั้น 1,500 ปีก่อนพีทาโกรัส ชาวอียิปต์โบราณรู้ว่าสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4 และ 5 เป็นมุมฉาก และใช้คุณสมบัตินี้ (เช่น ทฤษฎีบท การสนทนาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส) เพื่อสร้างมุมฉากระหว่างการวางแผน ที่ดินและโครงสร้างอาคาร แม้แต่ในปัจจุบันนี้ ผู้สร้างและช่างไม้ในชนบท เมื่อจะวางรากฐานของกระท่อมและประกอบชิ้นส่วนของกระท่อม ให้วาดรูปสามเหลี่ยมนี้เพื่อให้ได้มุมฉาก สิ่งเดียวกันนี้ทำเมื่อหลายพันปีก่อนในการสร้างพระวิหารอันงดงามในอียิปต์ บาบิโลน จีน และอาจจะในเม็กซิโก งานทางคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ของจีนที่เก่าแก่ที่สุดที่ตกทอดมาถึงเรา โจว ปี้ ซึ่งเขียนเมื่อประมาณ 600 ปีก่อนปีทาโกรัส ได้กล่าวถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัส ท่ามกลางข้อเสนออื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ก่อนหน้านี้ชาวฮินดูรู้จักทฤษฎีบทนี้ด้วยซ้ำ ดังนั้น พีธากอรัสไม่ได้ค้นพบคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ เขาอาจเป็นคนแรกที่สรุปและพิสูจน์มัน ดังนั้นจึงย้ายจากสาขาปฏิบัติมาสู่สาขาวิทยาศาสตร์ เราไม่รู้ว่าเขาทำได้อย่างไร นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์บางคนสันนิษฐานว่าการพิสูจน์ของพีทาโกรัสไม่ใช่พื้นฐาน แต่เป็นเพียงการยืนยัน ซึ่งเป็นการทดสอบคุณสมบัตินี้กับรูปสามเหลี่ยมบางประเภทโดยเฉพาะ โดยเริ่มจากสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ซึ่งตามมาจากรูปที่ 1 อย่างเห็นได้ชัด 1.

กับ ตั้งแต่สมัยโบราณ นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบข้อพิสูจน์ใหม่ๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมากขึ้นเรื่อยๆ และมีแนวคิดใหม่ๆ มากมายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เป็นที่ทราบกันดีว่ามีหลักฐานมากกว่าหนึ่งร้อยห้าสิบข้อ - เข้มงวดไม่มากก็น้อยมองเห็นได้ไม่มากก็น้อย แต่ความปรารถนาที่จะเพิ่มจำนวนยังคงอยู่ ฉันคิดว่า "การค้นพบ" การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เป็นอิสระจะเป็นประโยชน์สำหรับเด็กนักเรียนยุคใหม่

เรามาดูตัวอย่างหลักฐานที่สามารถแนะนำทิศทางของการค้นหาดังกล่าวกัน

หลักฐานพีทาโกรัส

"สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน"การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ง่ายที่สุดนั้นได้ในกรณีที่ง่ายที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว นี่อาจเป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีบท ในความเป็นจริง แค่ดูโมเสกของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วก็เพียงพอแล้วที่จะมั่นใจในความถูกต้องของทฤษฎีบท ตัวอย่างเช่น สำหรับ DABC: สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เครื่องปรับอากาศประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมดั้งเดิม 4 รูป และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขาทั้งสองข้าง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การพิสูจน์โดยใช้แนวคิดเรื่องขนาดเท่ากัน

ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาหลักฐานได้ว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดนั้น "ประกอบ" ขึ้นจากตัวเลขเดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นด้านข้าง นอกจากนี้เรายังสามารถพิจารณาข้อพิสูจน์ที่ใช้การจัดเรียงผลรวมของตัวเลขใหม่และคำนึงถึงแนวคิดใหม่จำนวนหนึ่ง

ในรูป 2 แสดงสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 ช่องที่เท่ากัน ความยาวของด้านแต่ละด้านคือ a + b แต่ละช่องสี่เหลี่ยมจะแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมมุมฉาก เห็นได้ชัดว่าถ้าเราลบสี่เท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยขา a, b จากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราก็จะเหลือ พื้นที่เท่ากันเช่น c 2 = a 2 + b 2 . อย่างไรก็ตาม ชาวฮินดูโบราณซึ่งมีเหตุผลนี้มักจะไม่จดบันทึก แต่มาพร้อมกับภาพวาดด้วยคำเพียงคำเดียว: "ดูสิ!" ค่อนข้างเป็นไปได้ที่พีทาโกรัสเสนอข้อพิสูจน์แบบเดียวกัน

หลักฐานเพิ่มเติม

การพิสูจน์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับการสลายตัวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาให้กลายเป็นรูป จากนั้นจึงนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากมาบวกได้

โดยที่: ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C; CMN; ซีเคMN; PO|มินนิโซตา; EF||มินนิโซตา

พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมอย่างอิสระโดยการแบ่งช่องสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้ส่วนนี้

 จากการพิสูจน์ของอัล-ไนริซิยาห์ พบว่ามีการสลายตัวของกำลังสองเป็นจำนวนเท่ากันในทิศทางคู่กัน (รูปที่ 5 ในที่นี้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C)

 การพิสูจน์อีกประการหนึ่งโดยวิธีสลายสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เป็นส่วนเท่าๆ กัน เรียกว่า "ล้อที่มีใบมีด" แสดงไว้ในรูปที่ 1 6. ตรงนี้: ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C; O คือจุดศูนย์กลางของจัตุรัสที่สร้างด้านใหญ่ เส้นประที่ผ่านจุด O นั้นตั้งฉากหรือขนานกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

 การสลายตัวของกำลังสองนี้น่าสนใจเพราะว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีขนาดเท่าๆ กันเป็นคู่สามารถจับคู่กันได้โดยการแปลแบบขนาน การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอื่นๆ อีกมากมายสามารถเสนอได้โดยใช้การสลายตัวของกำลังสองให้เป็นตัวเลข

หลักฐานโดยวิธีการทำให้เสร็จ

สาระสำคัญของวิธีนี้คือการเพิ่มตัวเลขที่เท่ากันลงในสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาและสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากในลักษณะที่ได้ตัวเลขที่เท่ากัน

ความถูกต้องของทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามมาจากขนาดเท่ากันของ AEDFPB และ ACBNMQ รูปหกเหลี่ยม ในที่นี้ CEP เส้น EP จะแบ่ง AEDFPB รูปหกเหลี่ยมออกเป็นสองรูปสี่เหลี่ยมขนาดเท่าๆ กัน เส้น CM จะแบ่งรูปหกเหลี่ยม ACBNMQ ออกเป็นสองรูปสี่เหลี่ยมเท่าๆ กัน การหมุนเครื่องบิน 90° รอบจุดศูนย์กลาง A จะจับคู่ AEPB รูปสี่เหลี่ยมเข้ากับ ACMQ รูปสี่เหลี่ยม

ในรูป 8 รูปพีทาโกรัสสร้างเสร็จเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยด้านข้างขนานกับด้านที่สอดคล้องกันของสี่เหลี่ยมที่สร้างไว้ด้านข้าง ลองแบ่งสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมกัน จากผลลัพธ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขั้นแรกเราจะลบรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 โดยเหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัสไว้บนด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นเราลบสี่เหลี่ยม 5, 6, 7 และสี่เหลี่ยมสีเทาออกจากสี่เหลี่ยมเดียวกัน เราจะได้สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าตัวเลขที่ถูกลบในกรณีแรกมีขนาดเท่ากับตัวเลขที่ถูกลบในกรณีที่สอง

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LBO = c 2 ;

ดังนั้น c 2 = a 2 + b 2

OCLP = ACLF = ACED = ข 2 ;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = ค 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

วิธีการพิสูจน์พีชคณิต

	ข้าว. เลข 12 แสดงให้เห็นข้อพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้ยิ่งใหญ่ ภัสการี (นักเขียนชื่อดัง ลีลาวตี, เอ็กซ์ ศตวรรษที่สอง) ภาพวาดมีคำเดียวเท่านั้น: ดูสิ! ในบรรดาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส วิธีพีชคณิตสถานที่แรก (อาจจะเก่าที่สุด) ถูกครอบครองโดยหลักฐานที่ใช้ความคล้ายคลึงกัน
	ให้เรานำเสนอหนึ่งในข้อพิสูจน์เหล่านี้เนื่องจากพีทาโกรัสในการนำเสนอสมัยใหม่

เอ็น และมะเดื่อ 13 ABC – สี่เหลี่ยม, C – มุมขวา, CMAB, b 1 – เส้นโครงของขา b บนด้านตรงข้ามมุมฉาก, a 1 – เส้นโครงของขา a บนด้านตรงข้ามมุมฉาก, h – ความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากข้อเท็จจริงที่ว่า ABC คล้ายกับ ACM จึงตามมา

ข 2 = CB 1 ; (1)

จากข้อเท็จจริงที่ว่า ABC คล้ายกับ BCM ดังต่อไปนี้

ก 2 = แคลิฟอร์เนีย 1 . (2)

เมื่อบวกความเท่าเทียมกัน (1) และ (2) ทีละเทอม เราจะได้ a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2

หากพีธากอรัสเสนอข้อพิสูจน์เช่นนั้น เขาก็คุ้นเคยกับทฤษฎีบทเรขาคณิตที่สำคัญหลายข้อที่นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์สมัยใหม่มักเชื่อว่าเป็นของยุคลิด

ข้อพิสูจน์ของโมห์ลมันน์ (รูปที่ 14) ในด้านหนึ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดนั้นเท่ากับอีกพื้นที่หนึ่งโดยที่ p คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในนั้น เรามี:

ด้วยเหตุนี้ c 2 =a 2 +b 2

ในวินาที

เมื่อเทียบนิพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

วิธีผสมผสาน

ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

ค 2 = ก 2 + ข 2 . (3)

เมื่อเปรียบเทียบความสัมพันธ์ (3) และ (4) เราก็จะได้สิ่งนั้น

ค 1 2 = ค 2 หรือ ค 1 = ค

ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งที่กำหนดและสร้างขึ้นจะเท่ากัน เนื่องจากมีสามรูปตามลำดับ ด้านที่เท่ากัน. มุม C 1 ถูกต้อง ดังนั้นมุม C ของสามเหลี่ยมนี้ก็ถูกต้องเช่นกัน

หลักฐานอินเดียโบราณ

นักคณิตศาสตร์ของอินเดียโบราณสังเกตว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ ส่วนด้านในภาพวาดจีนโบราณ ในบทความเรื่อง “สิทธันตะ ชิโรมณี” (“มงกุฎแห่งความรู้”) เขียนบนใบตาลโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 19 Bha-skaras วางอยู่ในภาพวาด (รูปที่ 4)

ลักษณะหลักฐานของอินเดียคือคำว่า “ดู!” อย่างที่คุณเห็น สามเหลี่ยมมุมฉากวางอยู่ที่นี่โดยให้ด้านตรงข้ามมุมฉากหันออกไปด้านนอกและเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส กับ 2 ย้ายไปที่ “เก้าอี้เจ้าสาว” กับ 2 -ข 2 . โปรดทราบว่ากรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (เช่น การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เป็นสองเท่า รูปที่ 4พื้นที่ของจัตุรัสที่กำหนด) พบได้ในตำราอินเดียโบราณ "ซัลวา"

เราแก้สามเหลี่ยมมุมฉากและสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ตัวเลขที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่เหมือนกัน 16 อัน แล้วจึงประกอบเข้ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลิลลี่ก็เป็นแบบนั้น ความมั่งคั่งเพียงเล็กน้อยที่ซ่อนอยู่ในไข่มุกแห่งคณิตศาสตร์โบราณ - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หลักฐานจีนโบราณ

บทความทางคณิตศาสตร์ จีนโบราณมาหาเราในฉบับ P.V. พ.ศ. ความจริงก็คือใน 213 ปีก่อนคริสตกาล จักรพรรดิจีน Shi Huang Di พยายามที่จะกำจัดประเพณีก่อนหน้านี้ สั่งให้เผาหนังสือโบราณทั้งหมด ในศตวรรษ P พ.ศ. ในประเทศจีน มีการประดิษฐ์กระดาษและในเวลาเดียวกันก็เริ่มมีการสร้างหนังสือโบราณขึ้นใหม่ งานทางดาราศาสตร์ที่สำคัญที่สุดที่ยังมีชีวิตรอดคือหนังสือ "คณิตศาสตร์" ที่มีภาพวาด (รูปที่ 2, a) พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กุญแจสำคัญในการพิสูจน์นี้หาได้ไม่ยาก อันที่จริง ในรูปวาดของจีนโบราณมีสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีด้าน a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน กับซ้อนกัน ช)เพื่อให้รูปร่างด้านนอกเป็นรูปที่ 2 เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ก+ข,และด้านในเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (รูปที่ 2, b) หากตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c ออกและวางสามเหลี่ยมสีเทาอีก 4 รูปที่เหลือไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป (รูปที่ 2, วี),เป็นที่ชัดเจนว่าผลโมฆะที่เกิดขึ้นในด้านหนึ่งมีค่าเท่ากับ กับ 2 , และอีกอัน - กับ 2 +ข 2 , เหล่านั้น. ค 2=  2 +ข 2 . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว โปรดทราบว่าด้วยการพิสูจน์นี้ โครงสร้างภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งเราเห็นในภาพวาดจีนโบราณ (รูปที่ 2, a) จะไม่ถูกนำมาใช้ เห็นได้ชัดว่านักคณิตศาสตร์ชาวจีนโบราณมีข้อพิสูจน์ที่แตกต่างออกไป ถ้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง กับสามเหลี่ยมสีเทาสองอัน (รูปที่ 2, ข)ตัดออกและแนบด้านตรงข้ามมุมฉากกับอีกสองด้านตรงข้ามมุมฉาก (รูปที่ 2, ก)ถ้าอย่างนั้นมันก็ง่ายที่จะค้นพบสิ่งนั้น

รูปที่ได้ซึ่งบางครั้งเรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอันที่มีด้านข้าง กและ ขเหล่านั้น. ค 2 == ก 2 +ข 2 .

เอ็น และรูปที่ 3 จำลองภาพวาดจากบทความ "Zhou-bi..." ในที่นี้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถือเป็นสามเหลี่ยมอียิปต์ที่มีขา 3, 4 และด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งมี 5 หน่วยวัด สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากมี 25 เซลล์ และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้บนขาที่ใหญ่กว่านั้นมี 16 เซลล์ เห็นได้ชัดว่าส่วนที่เหลือมี 9 เซลล์ นี่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านที่เล็กกว่า

ศักยภาพในการสร้างสรรค์มักมาจาก มนุษยศาสตร์วิทยาศาสตร์ตามธรรมชาติ ทิ้งการวิเคราะห์ วิธีปฏิบัติ และภาษาสูตรและตัวเลขแบบแห้งๆ คณิตศาสตร์ถึง วิชาด้านมนุษยธรรมคุณไม่สามารถเกี่ยวข้องกับมันในทางใดทางหนึ่ง แต่หากไม่มีความคิดสร้างสรรค์คุณจะไม่ไปไกลใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" - ผู้คนรู้จักสิ่งนี้มาเป็นเวลานาน ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัส เป็นต้น

น่าเสียดายที่ตำราเรียนของโรงเรียนมักไม่ได้อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญไม่เพียงแต่ต้องยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐานของมัน และในเวลาเดียวกันพยายามปลดปล่อยจิตใจของคุณจากความคิดโบราณและความจริงเบื้องต้น - เฉพาะในเงื่อนไขเช่นนี้เท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่จะเกิดขึ้นทั้งหมด

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้ในปัจจุบันว่าเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่สามารถทำได้ แต่ยังน่าตื่นเต้นอีกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เพียงเหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดแว่นตาหนาเท่านั้น แต่ยังเหมาะสำหรับทุกคนที่มีจิตใจเข้มแข็งและจิตวิญญาณที่แข็งแกร่งอีกด้วย

จากประวัติความเป็นมาของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบทฤษฎีบทนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษของมันได้รับการศึกษามานานแล้ว มีมุมมองสองขั้วเกี่ยวกับปัญหานี้ ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ อีกประการหนึ่งหลักฐานไม่ได้เป็นของผู้ประพันธ์ของพีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด สิ่งที่ทราบก็คือข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส (หากเคยมีอยู่จริง) ก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าข้อพิสูจน์ที่มีชื่อเสียงจาก Euclid's Elements อาจเป็นของ Pythagoras และ Euclid บันทึกไว้เท่านั้น

เป็นที่ทราบกันดีในปัจจุบันว่าปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากพบได้ในแหล่งที่มาของอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อาเมเนมฮัตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนตั้งแต่รัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำราอินเดียโบราณ "Sulva Sutra" และงานของจีนโบราณ " โจวปี้ ซวนจิน”

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสครอบครองจิตใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ สิ่งนี้ได้รับการยืนยันด้วยหลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบัน ในข้อนี้ไม่มีทฤษฎีบทอื่นใดสามารถแข่งขันกับทฤษฎีบทนี้ได้ ในบรรดานักเขียนบทพิสูจน์ที่มีชื่อเสียง เราสามารถระลึกถึง Leonardo da Vinci และ James Garfield ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกาได้ ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือมีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทนี้ในทางใดทางหนึ่ง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่จะให้ข้อพิสูจน์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่แก่นแท้ของทฤษฎีบทนั้นอยู่ที่เรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่นเรามาพิจารณาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้ก่อน

หลักฐานที่ 1

หากต้องการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ง่ายที่สุด คุณต้องตั้งค่าก่อน เงื่อนไขในอุดมคติ: ให้สามเหลี่ยมไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าสามเหลี่ยมชนิดนี้เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณาในตอนแรก

คำแถลง “สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน”สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูที่หน้าจั่วสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมเอบีซี: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 4 รูปซึ่งมีขนาดเท่ากับ ABC ดั้งเดิม และด้าน AB และ BC ก็มีการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมา แต่ละอันมีสามเหลี่ยมสองอันที่คล้ายกัน

อย่างไรก็ตาม ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเรื่องตลกและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่มีชื่อเสียงที่สุดน่าจะเป็น “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง”:

หลักฐานที่ 2

วิธีการนี้เป็นการผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน และถือได้ว่าเป็นอีกวิธีหนึ่งของการพิสูจน์ Bhaskari นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง ก ข และค(รูปที่ 1) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันโดยให้ด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสองข้าง - (ก+ข). ในแต่ละช่อง ให้ก่อสร้างดังรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสามเหลี่ยมสี่อันเหมือนกับในรูปที่ 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมสองอัน: อันหนึ่งมีด้าน a, อันที่สองมีด้าน ข.

ในจตุรัสที่สอง มีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่อันที่สร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่ง เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ด้วยการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูป 2 ตามสูตร และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีขนาดเท่ากันที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้าน (ก+ข).

การเขียนทั้งหมดนี้เรามี: ก 2 +ข 2 =(ก+ข) 2 – 2ab. เปิดวงเล็บ คำนวณพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมด แล้วรับสิ่งนั้น ก 2 +ข 2 = ก 2 +ข 2. ในกรณีนี้ พื้นที่ที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดั้งเดิม ส=ค 2. เหล่านั้น. ก 2 +ข 2 =ค 2– คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐานที่ 3

การพิสูจน์ของอินเดียโบราณนั้นอธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในบทความเรื่อง "มงกุฎแห่งความรู้" (“สิทธันตะ ชิโรมานี”) และเป็นข้อโต้แย้งหลักที่ผู้เขียนใช้คำอุทธรณ์ที่ส่งถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และทักษะการสังเกตของนักเรียนและผู้ติดตาม: “ ดู!"

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันตามที่ระบุในภาพวาด ให้เราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่หรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ. เรียกขาของสามเหลี่ยมกันดีกว่า กและ ข. ตามรูปวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านในคือ (ก-ข).

ใช้สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ส=ค 2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอก และในเวลาเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยบวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่รูป: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์เหมือนกัน และนี่ให้สิทธิ์คุณเขียนลงไป ค 2 =(ก-ข) 2 +4*1\2*ก*ข. จากผลของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค 2 =ก 2 +ข 2. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐาน 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้ถูกเรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างที่เหมือนเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากการก่อสร้างทั้งหมด:

โดยจะใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ครั้งที่สอง และจัตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับหลักฐานอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวสองอันออกจากภาพวาดในรูปที่ 1 ให้ย้ายไปที่ ฝั่งตรงข้ามติดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c และด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมไลแลค คุณจะได้ร่างที่เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" (รูปที่ 2) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำแบบเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมได้ คุณจะต้องแน่ใจว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" นั้นประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอัน: อันเล็กที่มีด้านข้าง ขและใหญ่มีด้านข้าง ก.

โครงสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวจีนโบราณและเราติดตามพวกเขาได้ข้อสรุปว่า ค 2 =ก 2 +ข 2.

หลักฐานที่ 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้เรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี. เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2.

ในการทำเช่นนี้ให้ทำขาต่อ เครื่องปรับอากาศและสร้างส่วน ซีดีซึ่งเท่ากับขา เอบี. ลดแนวตั้งฉากลง ค.ศส่วนของเส้น ส.อ. เซ็กเมนต์ ส.อและ เครื่องปรับอากาศมีความเท่าเทียมกัน เชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ ใน, และ อีและ กับและรับภาพวาดตามภาพด้านล่าง:

เพื่อพิสูจน์หอคอยเราใช้วิธีที่เราได้ลองไปแล้วอีกครั้ง: เราค้นหาพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ในสองวิธีและแบ่งนิพจน์ให้กันและกัน

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เตียงสามารถทำได้โดยการบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสามที่ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมนั้น และหนึ่งในนั้น อีอาร์ยู, ไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วอีกด้วย อย่าลืมสิ่งนั้นด้วย เอบี=ซีดี, เอซี=อีดีและ พ.ศ.=SE– สิ่งนี้จะทำให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการบันทึกและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

ขณะเดียวกันก็เป็นที่ชัดเจนว่า เตียง- นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: ส เอเบด =(DE+AB)*1/2AD. สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงกลุ่มจะสะดวกและชัดเจนยิ่งขึ้น ค.ศเป็นผลรวมของส่วนต่างๆ เครื่องปรับอากาศและ ซีดี.

มาเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของร่างโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: AB*เอซี+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(เอซี+ซีดี). เราใช้ความเท่าเทียมกันของกลุ่มที่เรารู้จักและอธิบายไว้ข้างต้นเพื่อทำให้ง่ายขึ้น ด้านขวารายการ: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2(เอบี+เอซี) 2. ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บและแปลงความเท่าเทียมกัน: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2เอซี 2 +2*1/2(เอบี*เอซี)+1/2เอบี 2. เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเสร็จแล้ว เราก็ได้สิ่งที่เราต้องการ: ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2. เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังห่างไกลจากความสมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์ สเตอริโอเมทรี ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์: ตัวอย่างเช่นหากของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมคล้ายกับที่แสดงในภาพวาด ด้วยการเทของเหลว คุณสามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และทฤษฎีบทได้

คำไม่กี่คำเกี่ยวกับแฝดพีทาโกรัส

ประเด็นนี้มีน้อยหรือไม่มีการศึกษาเลยในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันเขาก็น่าสนใจมากและมี ความสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิต ค่าสามเท่าของพีทาโกรัสใช้เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง การทำความเข้าใจสิ่งเหล่านี้อาจเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดพีทาโกรัสคืออะไร? นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเรียกมันว่า จำนวนเต็มรวบรวมเป็นสามผลรวมของกำลังสองของสองซึ่งเท่ากับจำนวนที่สามในตาราง

ทริปเปิลพีทาโกรัสสามารถเป็น:

• ดั้งเดิม (ทั้งสามตัวเลขค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
• ไม่ใช่แบบดั้งเดิม (ถ้าแต่ละหมายเลขของ Triple คูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้ Triple ใหม่ซึ่งไม่ใช่แบบดั้งเดิม)

แม้กระทั่งก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณหลงใหลในความคลุ้มคลั่งในเรื่องจำนวนแฝดพีทาโกรัส: ในปัญหาพวกเขาถือว่าสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5 หน่วย อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเท่ากับตัวเลขจากสามเหลี่ยมพีทาโกรัสจะเป็นสี่เหลี่ยมตามค่าเริ่มต้น

ตัวอย่างของแฝดพีทาโกรัส: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50) ฯลฯ

การประยุกต์ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณคดีด้วย

ประการแรก เกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนต่างๆ ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างแบบโรมาเนสก์:

ให้เราแสดงความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมหลักสามารถเขียนแทนได้ว่าเป็น รและแสดงออกผ่าน ข: R=ข/2. รัศมีของครึ่งวงกลมเล็กๆ ก็สามารถแสดงผ่านได้เช่นกัน ข: r=b/4. ในปัญหานี้ เราสนใจรัศมีของวงกลมด้านในของหน้าต่าง (เรียกอีกอย่างว่า พี).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณเท่านั้น ร. ในการทำเช่นนี้ เราใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยสองรัศมี: ข/4+พี. ขาข้างหนึ่งแสดงถึงรัศมี ข/4, อื่น b/2-p. เราเขียนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. ต่อไปเราจะเปิดวงเล็บแล้วรับ ข 2 /16+ บีพี/2+พี 2 =ข 2 /16+ข 2 /4-bp+p 2. ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น บีพี/2=บี 2 /4-bp. แล้วเราหารพจน์ทั้งหมดด้วย ขเรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*พี=ข/4. และในที่สุดเราก็พบว่า พี=ข/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

เมื่อใช้ทฤษฎีบท คุณสามารถคำนวณความยาวของจันทันสำหรับหลังคาหน้าจั่วได้ กำหนดความสูงของหอคอย การสื่อสารเคลื่อนที่สัญญาณต้องถึงระดับหนึ่ง การตั้งถิ่นฐาน. และแม้กระทั่งติดตั้งอย่างต่อเนื่อง ต้นคริสต์มาสบนจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่อยู่บนหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชีวิตจริงอีกด้วย

ในวรรณคดี ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนมาตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงเป็นเช่นนั้นในยุคของเรา ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ได้รับแรงบันดาลใจให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่ดับไปในเร็ววัน
แต่เมื่อส่องแสงแล้ว ก็ไม่น่าจะสลายไป
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
จะไม่ทำให้เกิดข้อสงสัยหรือข้อโต้แย้ง

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสดวงตาของคุณ
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวหนึ่งร้อยตัวถูกฆ่าโกหก -
ของขวัญตอบแทนจากพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมาวัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
ทำให้ชนเผ่าวัวตื่นตระหนกตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงที่นี่

ดูเหมือนว่าเวลานั้นกำลังจะมาถึงแล้ว
และพวกเขาจะเสียสละอีกครั้ง
ทฤษฎีบทที่ดีบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Evgeny Veltistov นักเขียนชาวโซเวียตได้อุทิศทั้งบทในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหนังสือของเขาเรื่อง The Adventures of Electronics และอีกครึ่งบทของเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่อาจดำรงอยู่ได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้แต่ศาสนาสำหรับโลกใบเดียว การใช้ชีวิตที่นั่นจะง่ายกว่ามาก แต่ก็น่าเบื่อกว่ามากด้วย เช่น ไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ผู้เขียนผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ Taratar กล่าวว่า "สิ่งสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด แนวคิดใหม่ ๆ" มันเป็นการหลีกหนีจากความคิดที่สร้างสรรค์อย่างแม่นยำซึ่งก่อให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีข้อพิสูจน์ที่หลากหลายมากมาย ช่วยให้คุณก้าวข้ามขอบเขตของสิ่งที่คุ้นเคยและมองสิ่งที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้ออกแบบมาเพื่อช่วยให้คุณมองข้ามไปได้ หลักสูตรของโรงเรียนในคณิตศาสตร์และเรียนรู้ไม่เพียง แต่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในหนังสือเรียน "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7-11" (A.V. Pogorelov) แต่และวิธีการพิสูจน์ที่น่าสนใจอื่น ๆ ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และยังดูตัวอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณมีคุณสมบัติได้รับคะแนนที่สูงขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ - ข้อมูลเกี่ยวกับหัวข้อจากแหล่งข้อมูลเพิ่มเติมจะได้รับการชื่นชมอย่างสูงเสมอ

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณเข้าใจถึงวิธีการทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ที่น่าสนใจ. ตรวจสอบให้แน่ใจ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงว่ามีสถานที่สำหรับความคิดสร้างสรรค์อยู่เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณสำรวจและค้นพบสิ่งที่น่าตื่นเต้นในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ อย่างอิสระ

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? เขียนถึงเราว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ - เรายินดีที่จะหารือทั้งหมดนี้กับคุณ

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นข้อความที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิต ทฤษฎีบทมีสูตรดังนี้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขาของมัน

การค้นพบข้อความนี้มักมีสาเหตุมาจาก นักปรัชญาชาวกรีกโบราณและนักคณิตศาสตร์พีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) แต่การศึกษาแผ่นจารึกรูปลิ่มของชาวบาบิโลนและต้นฉบับภาษาจีนโบราณ (สำเนาของต้นฉบับที่เก่ากว่าด้วยซ้ำ) แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นที่รู้จักมานานก่อนปีทาโกรัส บางทีอาจจะเป็นเวลาหนึ่งพันปีก่อนหน้าเขา ข้อดีของพีธากอรัสคือการที่เขาค้นพบข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้

เป็นไปได้ว่าข้อเท็จจริงที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นเกิดขึ้นครั้งแรกสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว เพียงดูโมเสกของสามเหลี่ยมสีดำและสีอ่อนที่แสดงในรูปที่. 1 เพื่อยืนยันความถูกต้องของทฤษฎีบทของรูปสามเหลี่ยม โดยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีรูปสามเหลี่ยม 4 รูป และด้านละรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีรูปสามเหลี่ยม 2 รูป เพื่อพิสูจน์กรณีทั่วไปในอินเดียโบราณพวกเขาใช้สองวิธี: ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้างพวกเขาวาดภาพสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันที่มีความยาวขาและ (รูปที่ 2, a และ 2, b) หลังจากนั้นพวกเขาก็เขียนคำเดียว " ดู!" และแน่นอนเมื่อดูภาพวาดเหล่านี้เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายมีร่างที่ไม่มีรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอันที่มีด้านข้างดังนั้นพื้นที่ของมันจะเท่ากับ และทางด้านขวาจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง - พื้นที่ของมันเท่ากับ ซึ่งหมายความว่าสิ่งนี้ประกอบขึ้นเป็นประโยคของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อย่างไรก็ตาม เป็นเวลาสองพันปีแล้วที่ไม่ได้ใช้ข้อพิสูจน์ด้วยภาพ แต่เป็นข้อพิสูจน์ที่ซับซ้อนกว่าที่ Euclid ประดิษฐ์ขึ้น ซึ่งวางอยู่ในหนังสือ "Elements" อันโด่งดังของเขา (ดู Euclid และ "Elements" ของเขา) Euclid ลดความสูงลง จากด้านบน มุมฉากบนด้านตรงข้ามมุมฉากและพิสูจน์ว่าความต่อเนื่องของมันแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม พื้นที่ซึ่งเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกันซึ่งสร้างบนขา (รูปที่ 3) ภาพวาดที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เรียกติดตลกว่า "กางเกงพีทาโกรัส" เป็นเวลานานที่ถือว่าเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์

ทุกวันนี้ มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่แตกต่างกันหลายสิบข้อ บางส่วนจะขึ้นอยู่กับฉากกั้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากประกอบด้วยส่วนที่รวมอยู่ในฉากกั้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา อื่น ๆ - ในส่วนเสริมของตัวเลขที่เท่ากัน ประการที่สาม - จากความจริงที่ว่าความสูงลดลงจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉากจะแบ่งสามเหลี่ยมมุมฉากออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสรองรับการคำนวณทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ แม้แต่ในบาบิโลนโบราณ ก็ใช้ในการคำนวณความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจากความยาวของฐานและด้านข้าง ลูกศรของเซกเมนต์จากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและความยาวของคอร์ด และสร้างความสัมพันธ์ ระหว่างองค์ประกอบของรูปหลายเหลี่ยมปกติบางรูป เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพิสูจน์ลักษณะทั่วไปของมัน ซึ่งช่วยให้เราคำนวณความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมแหลมหรือมุมป้าน:

จากลักษณะทั่วไปนี้ การมีมุมฉากไม่เพียงแต่เพียงพอเท่านั้น แต่ยังเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเท่าเทียมกันอีกด้วย จากสูตร (1) ตามความสัมพันธ์ ระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมและด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งง่ายต่อการค้นหาความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมจากความยาวของด้านข้าง

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได้สูตรมาซึ่งแสดงพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ ผ่านความยาวของด้านข้าง (ดูสูตรของนกกระสา) แน่นอนว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังใช้เพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติต่างๆ อีกด้วย

แทนที่จะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณสามารถสร้างรูปทรงใดๆ ที่คล้ายกันได้ (สามเหลี่ยมด้านเท่า ครึ่งวงกลม ฯลฯ) ที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก ในกรณีนี้ พื้นที่ของรูปที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปที่สร้างบนขา ลักษณะทั่วไปอีกประการหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากเครื่องบินสู่อวกาศ มีสูตรดังนี้ กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน เท่ากับผลรวมกำลังสองของขนาด (ความยาว ความกว้าง และความสูง) ทฤษฎีบทที่คล้ายกันนี้เป็นจริงในกรณีหลายมิติและแม้กระทั่งขนาดอนันต์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีอยู่ในเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้น มันไม่ได้เกิดขึ้นในเรขาคณิตของโลบาเชฟสกีหรือในรูปทรงอื่นๆ ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ไม่มีความคล้ายคลึงของทฤษฎีบทพีทาโกรัสบนทรงกลม เส้นเมอริเดียนสองเส้นทำมุมกันเป็นมุม 90° และเส้นศูนย์สูตรผูกติดกับทรงกลมเป็นรูปสามเหลี่ยมทรงกลมด้านเท่า ซึ่งทั้งสามมุมเป็นมุมฉาก สำหรับเขาไม่เหมือนบนเครื่องบิน

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคำนวณระยะห่างระหว่างจุดกับระนาบพิกัดโดยใช้สูตร

.

หลังจากค้นพบทฤษฎีบทพีทาโกรัส คำถามก็เกิดขึ้นว่าจะหาจำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติที่สามารถเป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร (ดูทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์) พวกมันถูกค้นพบโดยชาวพีทาโกรัส แต่วิธีการทั่วไปบางอย่างในการค้นหาตัวเลขแฝดดังกล่าวนั้นชาวบาบิโลนรู้จักอยู่แล้ว เม็ดคูนิฟอร์มเม็ดหนึ่งประกอบด้วยแฝด 15 เม็ด ในหมู่พวกเขามีแฝดสามซึ่งประกอบด้วยจำนวนมาก จำนวนมากว่าจะไม่มีปัญหาในการค้นหาโดยการเลือก

แอ่งฮิปโปเครติส

ดวงจันทร์ฮิปโปคราติสเป็นรูปร่างที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวง และยิ่งไปกว่านั้น การใช้รัศมีและความยาวของคอร์ดร่วมของวงกลมเหล่านี้ โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด เราสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากันได้

จากลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสถึงครึ่งวงกลม ผลรวมของพื้นที่ของก้อนสีชมพูที่แสดงในรูปด้านซ้ายเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน ดังนั้น หากคุณหาสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว คุณจะได้สองรู โดยแต่ละรูจะมีพื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สามเหลี่ยม พยายามที่จะแก้ปัญหาการยกกำลังสองของวงกลม (ดูปัญหาคลาสสิกของสมัยโบราณ) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ฮิปโปเครติส (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) พบหลุมอีกหลายแห่ง พื้นที่ซึ่งแสดงเป็นพื้นที่ของตัวเลขที่เป็นเส้นตรง

รายชื่อ hippomarginal lunulae ทั้งหมดได้รับมาเฉพาะในศตวรรษที่ 19-20 เท่านั้น ต้องขอบคุณการใช้วิธีทฤษฎีกาลัวส์

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสามเหลี่ยมที่คุณได้รับนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมหนึ่งในสามมุมจะมีขนาด 90 องศาเสมอ

• มุมขวาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะแสดงด้วยไอคอนสี่เหลี่ยมจัตุรัส แทนที่จะเป็นเส้นโค้งที่แสดงถึงมุมเอียง

ติดป้ายด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตั้งชื่อขาว่า "a" และ "b" (ขาเป็นด้านที่ตัดกันเป็นมุมฉาก) และด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น "c" (ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งอยู่ตรงข้ามมุมขวา)

กำหนดว่าคุณต้องการหาด้านใดของสามเหลี่ยม.ทฤษฎีบทพีทาโกรัสช่วยให้คุณหาด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ (หากทราบอีกสองด้านที่เหลือ) พิจารณาว่าจะต้องค้นหาด้านใด (a, b, c)

• ตัวอย่างเช่น ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 5 และให้ขาเท่ากับ 3 ในกรณีนี้ จำเป็นต้องหาขาที่สอง เราจะกลับมาที่ตัวอย่างนี้ในภายหลัง
• หากไม่ทราบอีกสองด้าน คุณจะต้องค้นหาความยาวของด้านที่ไม่ทราบด้านใดด้านหนึ่งจึงจะสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้พื้นฐาน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(ถ้าคุณได้รับค่าของมุมเอียงมุมใดมุมหนึ่ง)

แทนที่ค่าที่กำหนดให้กับคุณ (หรือค่าที่คุณพบ) ลงในสูตร a 2 + b 2 = c 2จำไว้ว่า a และ b เป็นขา และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

• ในตัวอย่างของเรา เขียน: 3² + b² = 5²

ยกกำลังสองแต่ละด้านที่รู้จักหรือทิ้งเลขยกกำลัง - คุณสามารถยกกำลังสองตัวเลขได้ในภายหลัง

• ในตัวอย่างของเรา เขียน: 9 + b² = 25

แยกด้านที่ไม่ทราบออกจากด้านหนึ่งของสมการเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ย้าย ค่านิยมที่ทราบอีกด้านหนึ่งของสมการ หากคุณพบด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นก็แสดงว่าในทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นถูกแยกออกไปแล้วที่ด้านหนึ่งของสมการ (ดังนั้นคุณจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลย)

• ในตัวอย่างของเรา ย้าย 9 ไปที่ ด้านขวาสมการเพื่อแยกb²ที่ไม่รู้จัก คุณจะได้b² = 16

ลบ รากที่สองจากทั้งสองด้านของสมการ หลังจากที่ไม่ทราบ (กำลังสอง) ปรากฏบนด้านหนึ่งของสมการ และมีพจน์อิสระ (ตัวเลข) ปรากฏอยู่อีกด้านหนึ่ง

• ในตัวอย่างของเรา b² = 16 หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการแล้วได้ b = 4 ดังนั้น ขาที่สองคือ 4

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใน ชีวิตประจำวันเพราะมันสามารถนำมาใช้ใน จำนวนมากสถานการณ์ในทางปฏิบัติ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เรียนรู้ที่จะจดจำสามเหลี่ยมมุมฉากในชีวิตประจำวัน - ในสถานการณ์ใดๆ ที่วัตถุสองชิ้น (หรือเส้น) ตัดกันเป็นมุมฉาก และวัตถุชิ้นที่สาม (หรือเส้น) เชื่อมต่อ (ในแนวทแยง) ด้านบนของวัตถุสองชิ้นแรก (หรือ เส้นตรง) คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อค้นหาด้านที่ไม่รู้จัก (หากทราบอีกสองด้านที่เหลือ)

• ตัวอย่าง: ให้บันไดพาดพิงอาคาร ฐานบันไดอยู่ห่างจากฐานผนัง 5 เมตร ส่วนบนบันไดอยู่ห่างจากพื้นดิน 20 เมตร (ขึ้นไปบนกำแพง) บันไดยาวเท่าไรคะ?
  • “5 เมตรจากฐานกำแพง” หมายความว่า a = 5; “อยู่ห่างจากพื้นดิน 20 เมตร” หมายความว่า b = 20 (นั่นคือ คุณจะได้ขาสองข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากผนังของอาคารและพื้นผิวโลกตัดกันเป็นมุมฉาก) ความยาวของบันไดคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งไม่ทราบ
    • ก² + b² = ค²
    • (5)² + (20)² = ซี²
    • 25 + 400 = ซี²
    • 425 = ซี²
    • ค = √425
    • ค = 20.6 ดังนั้นความยาวของบันไดโดยประมาณคือ 20.6 เมตร

การวัดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

§ 58. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1.

__________
1 พีทาโกรัสเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกที่มีชีวิตอยู่เมื่อประมาณ 2,500 ปีก่อน (564-473 ปีก่อนคริสตกาล)
_________

ให้เราได้รับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง ก, ขและ กับ(รูปวาด 267)

มาสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันตามลำดับ ก 2 , ข 2 และ กับ 2. มาพิสูจน์กัน กับ 2 = ก 2 +ข 2 .

มาสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอัน MKOR และ M"K"O"R" (ภาพวาด 268, 269) โดยให้ด้านของแต่ละส่วนมีส่วนเท่ากับผลรวมของขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

เมื่อเสร็จสิ้นการก่อสร้างตามภาพวาด 268 และ 269 ในช่องสี่เหลี่ยมเหล่านี้แล้ว เราจะเห็นว่าจัตุรัส MCOR แบ่งออกเป็นสองช่องโดยมีพื้นที่ ก 2 และ ข 2 และ 4 รูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากัน แต่ละรูปมีค่าเท่ากับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC สี่เหลี่ยมจัตุรัส M"K"O"R" ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (มันถูกแรเงาไว้ในภาพวาด 269) และสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป ซึ่งแต่ละรูปก็เท่ากับสามเหลี่ยม ABC เช่นกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากด้านของมันเท่ากัน (แต่ละด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ABC กล่าวคือ กับ) และมุมก็อยู่ตรง / 1 + / 2 = 90° จากที่ไหน / 3 = 90°)

ดังนั้น ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา (ในภาพวาด 268 สี่เหลี่ยมเหล่านี้ถูกแรเงา) จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส MCOR โดยไม่มีผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เท่ากันสี่รูป และพื้นที่ของ ​สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (ในภาพวาด 269 สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ถูกแรเงาด้วย) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส M"K"O"R" เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส MCOR โดยไม่มีผลรวมของพื้นที่ สามเหลี่ยมสี่อันที่คล้ายกัน ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจึงเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขา

เราได้รับสูตร กับ 2 = ก 2 +ข 2 ที่ไหน กับ- ด้านตรงข้ามมุมฉาก กและ ข- ขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมักเขียนขึ้นโดยย่อดังนี้

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

จากสูตร กับ 2 = ก 2 +ข 2 คุณสามารถรับสูตรต่อไปนี้:

ก 2 = กับ 2 - ข 2 ;
ข 2 = กับ 2 - ก 2 .

สูตรเหล่านี้สามารถใช้ค้นหาด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมมุมฉากจากด้านทั้งสองที่กำหนดได้
ตัวอย่างเช่น:

ก) ถ้าได้รับขา ก= 4 ซม. ข=3 ซม. จากนั้นคุณจะพบด้านตรงข้ามมุมฉาก ( กับ):
กับ 2 = ก 2 +ข 2 คือ กับ 2 = 4 2 + 3 2 ; ด้วย 2 = 25 ดังนั้น กับ= √25 =5 (ซม.);

b) ถ้าให้ด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ= 17 ซม. และขา ก= 8 ซม. แล้วคุณจะพบขาอีกอัน ( ข):

ข 2 = กับ 2 - ก 2 คือ ข 2 = 17 2 - 8 2 ; ข 2 = 225 จากที่ไหน ข= √225 = 15 (ซม.)

ผลที่ตามมา: ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC และ A มีด้านตรงข้ามมุมฉาก 1 B 1 C 1 กับและ กับ 1 เท่ากันและขา ขสามเหลี่ยม ABC ยาวกว่าขา ข 1 สามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1,
แล้วขา กสามเหลี่ยม ABC เล็กกว่าขา ก 1 สามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 (วาดภาพเพื่อแสดงให้เห็นผลลัพธ์นี้)

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เราได้รับ:

ก 2 = กับ 2 - ข 2 ,
ก 1 2 = กับ 1 2 - ข 1 2

ในสูตรที่เขียน minuends เท่ากัน และ subtrahend ในสูตรแรกมากกว่า subtrahend ในสูตรที่สอง ดังนั้นผลต่างแรกจึงน้อยกว่าวินาที
เช่น. ก 2 < ก 12 . ที่ไหน ก< ก 1 .

การออกกำลังกาย.

1. ใช้ภาพวาด 270 พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

2. ขาข้างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากยาว 12 ซม. ขาอีกข้างยาว 5 ซม. คำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมนี้

3. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 10 ซม. ขาข้างหนึ่งยาว 8 ซม. จงคำนวณความยาวของขาอีกข้างของสามเหลี่ยมนี้

4. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 37 ซม. ขาข้างหนึ่งยาว 35 ซม. คำนวณความยาวของขาอีกข้างของสามเหลี่ยมนี้

5. สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีพื้นที่เป็นสองเท่าของขนาดที่กำหนด

6. สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของขนาดที่กำหนด บันทึก.วาดเส้นทแยงมุมในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมเหล่านี้จะเป็นอันที่เรากำลังมองหา

7. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 12 ซม. และ 15 ซม. ตามลำดับ คำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ด้วยความแม่นยำ 0.1 ซม.

8. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 20 ซม. ขาข้างหนึ่งยาว 15 ซม. คำนวณความยาวของขาอีกข้างหนึ่งให้ใกล้ที่สุด 0.1 ซม.

9. บันไดต้องยาวเท่าไรถึงจะติดหน้าต่างสูง 6 เมตรได้ ถ้าปลายล่างของบันไดต้องห่างจากตัวอาคาร 2.5 เมตร ? (แผนภูมิที่ 271)