Определение

Многостенще наричаме затворена повърхност, съставена от многоъгълници и ограничаваща определена част от пространството.

Сегментите, които са страните на тези многоъгълници, се наричат ребраполиедър, а самите многоъгълници са ръбове. Върховете на многоъгълниците се наричат ​​върхове на многостени.

Ще разгледаме само изпъкнали полиедри (това е многостен, който е разположен от едната страна на всяка равнина, съдържаща лицето му).

Многоъгълниците, които изграждат полиедър, образуват неговата повърхност. Частта от пространството, която е ограничена от даден полиедър, се нарича негова вътрешност.

Определение: призма

Да разгледаме два равни многоъгълника \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\), разположени в успоредни равнинитака че сегментите \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)паралелен. Многостен, образуван от многоъгълниците \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\), както и от успоредници \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), се нарича (\(n\)-гонал) призма.

Многоъгълниците \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) се наричат ​​основи на призми, успоредници \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– странични лица, сегменти \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- странични ребра.
По този начин страничните ръбове на призмата са успоредни и равни един на друг.

Да разгледаме един пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), в чиято основа лежи изпъкнал петоъгълник.

Височинапризмите са перпендикуляр, пуснат от всяка точка на една основа към равнината на друга основа.

Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основата, тогава се нарича такава призма наклонен(фиг. 1), в противен случай – прав. В права призма страничните ръбове са височините и странични лица– равни правоъгълници.

Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава призмата се нарича правилно.

Определение: понятие за обем

Единицата за измерване на обем е единичен куб (куб, измерващ \(1\times1\times1\) единици\(^3\), където единица е определена мерна единица).

Можем да кажем, че обемът на полиедър е количеството пространство, което този полиедър ограничава. В противен случай: това е количество, чиято числена стойност показва колко пъти единичен куб и неговите части се вписват в даден полиедър.

Обемът има същите свойства като площта:

1. Обемите на еднакви фигури са равни.

2. Ако полиедърът е съставен от няколко непресичащи се многостени, тогава неговият обем равно на суматаобеми на тези полиедри.

3. Обемът е неотрицателна величина.

4. Обемът се измерва в cm\(^3\) (кубични сантиметри), m\(^3\) ( Кубични метри) и т.н.

Теорема

1. Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.
Площта на страничната повърхност е сумата от площите на страничните стени на призмата.

2. Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината на призмата: \

Определение: паралелепипед

паралелепипеде призма с успоредник в основата си.

Всички лица на паралелепипеда (има \(6\) : \(4\) странични лица и \(2\) основи) са успоредници, а срещуположните лица (успоредни една на друга) са равни успоредници (фиг. 2) .

Диагонал на паралелепипеде сегмент, свързващ два върха на паралелепипед, които не лежат на едно и също лице (има \(8\) от тях: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)и т.н.).

Правоъгълен паралелепипеде прав паралелепипед с правоъгълник в основата си.
защото Тъй като това е прав паралелепипед, страничните стени са правоъгълници. Това означава, че като цяло всички лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.

Всички диагонали на правоъгълен паралелепипед са равни (това следва от равенството на триъгълниците \(\триъгълник ACC_1=\триъгълник AA_1C=\триъгълник BDD_1=\триъгълник BB_1D\)и т.н.).

Коментирайте

По този начин паралелепипедът има всички свойства на призмата.

Теорема

Площта на страничната повърхност на правоъгълен паралелепипед е \

Общата повърхност на правоъгълен паралелепипед е \

Теорема

Обемът на кубоид е равен на произведението от трите му ръба, излизащи от един връх (три измерения на кубоида): \

Доказателство

защото В правоъгълен паралелепипед страничните ръбове са перпендикулярни на основата, тогава те са и неговите височини, т.е. \(h=AA_1=c\) Тъй като тогава основата е правоъгълник \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Ето откъде идва тази формула.

Теорема

Диагоналът \(d\) на правоъгълен паралелепипед се намира с помощта на формулата (където \(a,b,c\) са размерите на паралелепипеда) \

Доказателство

Нека разгледаме фиг. 3. Защото основата е правоъгълник, тогава \(\триъгълник ABD\) е правоъгълен, следователно, съгласно Питагоровата теорема \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

защото тогава всички странични ръбове са перпендикулярни на основите \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)перпендикулярна на всяка права линия в тази равнина, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Това означава, че \(\триъгълник BB_1D\) е правоъгълен. Тогава по Питагоровата теорема \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Определение: куб

кубе правоъгълен паралелепипед, чиито лица са равни квадрати.

Така трите измерения са равни едно на друго: \(a=b=c\) . Така че следните са верни

Теореми

1. Обемът на куб с ръб \(a\) е равен на \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Диагоналът на куба се намира по формулата \(d=a\sqrt3\) .

3. Обща повърхност на куб \(S_(\текст(пълен куб))=6a^2\).

В превод от гръцки паралелограм означава равнина. Паралелепипедът е призма с успоредник в основата си. Има пет вида успоредник: наклонен, прав и паралелограм. Кубът и ромбоедърът също принадлежат към паралелепипеда и са негова разновидност.

Преди да преминем към основните понятия, нека дадем някои дефиниции:

• Диагоналът на паралелепипеда е отсечка, която обединява върховете на паралелепипеда, които са един срещу друг.
• Ако две лица имат общ ръб, тогава можем да ги наречем съседни ръбове. Ако няма общ ръб, тогава лицата се наричат ​​противоположни.
• Два върха, които не лежат на едно и също лице, се наричат ​​противоположни.

Какви свойства притежава паралелепипедът?

1. Лицата на паралелепипед, разположен на противоположни страни, са успоредни едно на друго и равни едно на друго.
2. Ако начертаете диагонали от един връх към друг, тогава пресечната точка на тези диагонали ще ги раздели наполовина.
3. Страните на паралелепипеда, разположени под същия ъгъл спрямо основата, ще бъдат равни. С други думи, ъглите на сънасочените страни ще бъдат равни един на друг.

Какви видове паралелепипеди има?

Сега нека да разберем какъв вид паралелепипеди има. Както бе споменато по-горе, има няколко вида на тази фигура: прав, правоъгълен, наклонен паралелепипед, както и куб и ромбоедър. Как се различават един от друг? Всичко е свързано с равнините, които ги образуват, и ъглите, които образуват.

Нека разгледаме по-подробно всеки от изброените видове паралелепипед.

• Както вече става ясно от името, наклоненият паралелепипед има наклонени лица, а именно онези лица, които не са под ъгъл от 90 градуса спрямо основата.
• Но за прав паралелепипед ъгълът между основата и ръба е точно деветдесет градуса. Именно поради тази причина този вид паралелепипед има такова име.
• Ако всички лица на паралелепипеда са еднакви квадрати, тогава тази фигура може да се счита за куб.
• Правоъгълен паралелепипед получи това име поради равнините, които го образуват. Ако всички те са правоъгълници (включително основата), тогава това е паралелепипед. Този тип паралелепипед не се среща много често. В превод от гръцки ромбоедър означава лице или основа. Това е името, дадено на триизмерна фигура, чиито лица са ромби.

Основни формули за паралелепипед

Обемът на паралелепипед е равен на произведението на площта на основата и нейната височина, перпендикулярна на основата.

Площта на страничната повърхност ще бъде равна на произведението на периметъра на основата и височината.
Познавайки основните определения и формули, можете да изчислите основната площ и обем. Основата може да бъде избрана по ваша преценка. Въпреки това, като правило, като основа се използва правоъгълник.

Призма и паралелепипед

Свойства на паралелепипед

За паралелепипед:

1) противоположните лица са равни и успоредни;

2) четирите диагонала се пресичат в една точка и се разполовяват в нея.

Доказателство:

1) Помислете за две противоположни лица на паралелепипеда, например, и (фиг. 5).

Тъй като всички лица на паралелепипед са успоредници, тогава правата AD е успоредна на правата BC, а правата е успоредна на правата. От това следва, че равнините на разглежданите лица са успоредни.

От факта, че лицата на паралелепипеда са успоредници, следва, че AB и CD са едновременно успоредни и равни. От това заключаваме, че лицето е комбинирано чрез паралелен превод по ръба AB с лицето. Следователно тези ръбове са равни.

2) Да вземем два диагонала на паралелепипеда (фиг. 5), например и, и да начертаем допълнителни прави линии и. AB и съответно са равни и успоредни на ръба DC, следователно са равни и успоредни един на друг; В резултат на това фигурата е успоредник, в който правите линии и са диагоналите, а в успоредника диагоналите са разделени наполовина в точката на пресичане. По същия начин можем да докажем, че другите два диагонала се пресичат в една точка и се делят на две от тази точка. Пресечната точка на всяка двойка диагонали е в средата на диагонала. Така и четирите диагонала на паралелепипеда се пресичат в една точка O и се разделят на две от тази точка. По този начин точката на пресичане на диагоналите на паралелепипед е неговият център на симетрия.

Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.

Доказателство:

Това излиза от пространствената теорема на Питагор. Ако е диагоналът на правоъгълен паралелепипед, тогава са неговите проекции върху три по двойки перпендикулярни прави (фиг. 6). Следователно, .

Забележка: в правоъгълен паралелепипед всички диагонали са равни.

Биномни коефициенти

Cnk числата имат редица забележителни свойства. Тези свойства в крайна сметка изразяват различни връзки между подмножества на дадено множество X. Те могат да бъдат доказани директно въз основа на формула (1)...

Биномни коефициенти

1. Сумата от коефициентите на разширение (a + b)n е равна на 2n. За да го докажем, достатъчно е да поставим a = b = 1. Тогава от дясната страна на биномното разширение ще имаме сумата от биномни коефициенти, а отляво: (1 + 1)n = 2n. 2. Членски коефициенти...

Видове полиедри

Площ на страничната повърхност (или просто странична повърхност) на призма (паралелепипед) е сумата от площите на всичките й странични стени...

Многомерни последователности на Фибоначи

Нека изградим редица и я наречем триизмерна редица на Фибоначи. Тази последователност ще се състои от множествата M1, M2, ... и така нататък. Наборът M1 се състои само от една адитивна тройка (2,1,1)...

Мултипликативни полугрупи на неотрицателни реални числа

Нека S е комутативна мултипликативна нередуцируема полугрупа с 1 и без делители на единица. Такива полугрупи се наричат ​​интегрални или конични. Казват, че елементите и на S са относително прости, ако gcd(,)=1...

Неевклидова геометрия

Нека разгледаме някои свойства, понятия и факти, които са валидни в геометрията на Лобачевски. В този случай разгледах свойства, базирани на модела на Клайн. Повечето от тях ще бъдат изпълнени върху други модели на неевклидова геометрия...

Някои прекрасни извивки

Нормалата на ушната мида на Паскал в нейната точка M (фиг. 7) минава през точка N на главната окръжност K, диаметрално противоположна на точката P, където OM се пресича с главната окръжност...

Детерминанти и тяхното приложение в алгебрата и геометрията

Детерминантата има редица свойства: 1) Детерминантата не се променя при транспортиране на матрици (редове и колони). 2) Ако една от колоните (редовете) се състои от нули, то детерминантата е нула...

Трансформации, които увеличават реда на равнинни алгебрични криви

Нека помислим най-простият начинобразуване на цисоида - крива, открита от древните в търсене на решение на известната задача за удвояване на куба. Нека вземем окръжност (наречена генерираща) с диаметър и допирателна към нея...

Призма и паралелепипед

Ако основата на призмата е успоредник, тогава тя се нарича паралелепипед. Всички лица на паралелепипед са успоредници. Фигура 3 показва наклонен паралелепипед, а фигура 4 показва прав паралелепипед. Лицата на паралелепипед...

Разделяне на естествената серия

В този раздел ще говорим за проблеми, посветени на разделянето на естествена серия на последователности и теоремата, която ги доказва...

Екстремен проблем при индексиране на класове

Ще ни трябват два факта от. 1. За всеки има уникален DF. 2. Ако, тогава множеството е едноелементно. Ако, тогава има непрекъснати семейства с един параметър (т.е. за и (символът обозначава слаба конвергенция)) и DF като...

В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.

Тема: Перпендикулярност на прави и равнини

Урок: Кубоид

Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).

Ориз. 1 паралелепипед

Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.

1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.

(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)

Например:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.

Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).

Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.

3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.

Ориз. 3 Прав паралелепипед

И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.

Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.

Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.

Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед

Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.

Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.

1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.

2. Странични ребраперпендикулярно на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.

3. всичко двустенни ъглиправоъгълен паралелепипед прави линии.

Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.

AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.

Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.

Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат ​​дължина, ширина, височина.

Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажи: .

Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед

Доказателство:

Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:

Нека помислим правоъгълен триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но пр. н. е. и сл. н. е. - противоположни страниправоъгълник. Така че BC = AD. Тогава:

защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.

Тема: Перпендикулярност на прави и равнини

Урок: Кубоид

Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).

Ориз. 1 паралелепипед

Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.

1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.

(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)

Например:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.

Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).

Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.

3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.

Ориз. 3 Прав паралелепипед

И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.

Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.

Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.

Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед

Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.

Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.

1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.

2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.

3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.

AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.

Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.

Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат ​​дължина, ширина, височина.

Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажи: .

Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед

Доказателство:

Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:

Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:

защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =