Един от най-интересните проблеми в геометрията, резултатът от който е важен във физиката, химията и други области, е определянето на обеми. Докато изучават математика в училище, децата често се чудят: „Защо имаме нужда от това?“ Светът около нас изглежда толкова прост и разбираем, че определени училищни знания се класифицират като „ненужни“. Но след като се сблъскате например с транспорт, възниква въпросът как да се изчисли обемът на товара. Бихте ли казали, че няма нищо по-просто? Ти грешиш. Познаването на формулите за изчисление, понятията „плътност на веществото“, „обемна плътност на телата“ стават необходими.

Училищни знания – практическа основа

Училищните учители, преподаващи основите на геометрията, ни предлагат следното определение за обем: частта от пространството, заета от тяло. В същото време формулите за определяне на обемите са записани отдавна и могат да бъдат намерени в справочници. Човечеството се научи да определя обема на тяло с правилна форма много преди появата на трактатите на Архимед. Но само този велик гръцки мислител въведе техника, която позволява да се определи обемът на всяка фигура. Неговите заключения станаха основата на интегралното смятане. Триизмерни фигури са тези, получени чрез въртене на плоски обекти.

Евклидовата геометрия позволява да се определи обемът с определена точност:

Разликата между плоските и обемните фигури не ни позволява да отговорим на въпроса на някои страдащи как да изчислим обема на правоъгълник. Това е приблизително същото като да намеря нещо, което не знам какво. Възможно е объркване в геометричния материал, докато правоъгълникът понякога се нарича кубоид.

Какво да направите, ако формата на тялото ви не е толкова ясно изразена?

Определянето на обема на сложни геометрични структури не е лесна работа. Струва си да се ръководим от няколко непоклатими принципа.

• Всяко тяло може да бъде разделено на по-прости части. Сила на звука равно на суматаобеми на отделните му части.
• Телата с еднакъв размер имат еднакъв обем; успоредното пренасяне на тела не променя неговия обем.
• Единица обем е обемът на куб с ръб с единица дължина.

Наличието на тела с неправилна форма (спомнете си прословутата корона на крал Херон) не се превръща в проблем. Определянето на обемите на телата е напълно възможно. Това е процесът на директно измерване на обема на течност с тяло, потопено в нея, което ще бъде разгледано по-долу.

Различни обемни приложения

Да се ​​върнем към проблема: как да изчислим обема на транспортираните стоки. Какъв вид товар е: пакетиран или насипен? Какви са параметрите на контейнера? Има повече въпроси, отколкото отговори. Въпросът за теглото на товара ще бъде от голямо значение, тъй като транспортът се различава по товароносимост, а маршрутите имат максимално тегло. превозно средство. Нарушаването на правилата за транспортиране може да доведе до санкции.

Задача 1. Нека товарът е правоъгълен контейнер, пълен със стоки. Познавайки теглото на стоките и контейнера, можете лесно да определите общото тегло. Обемът на контейнера се определя като обем на правоъгълен паралелепипед.

Познавайки товароносимостта на превозното средство и неговите размери, можете да изчислите възможния обем на превозвания товар. Правилното съотношение на тези параметри ви позволява да избегнете катастрофа и преждевременна повреда на транспорта.

Задача 2. Товар - насипен материал: пясък, трошен камък и други подобни. На този етап само квалифициран специалист може да се справи без познания по физика, чийто опит в превоза на товари му позволява интуитивно да определи максимално допустимия обем за транспортиране.

Научният метод предполага познаване на такъв параметър като натоварването.

Използва се формулата V=m/ρ, където m е масата на товара, ρ е плътността на материала. Преди да изчислите обема, струва си да разберете плътността на товара, което също не е трудно (таблици, лабораторно определяне).

Тази техника също работи чудесно при определяне на обема на течния товар. В този случай литърът се използва като мерна единица.

Определяне на обеми на строителни форми

Въпросът за определяне на обемите играе важна роля в строителството. Изграждането на къщи и други конструкции е скъп бизнес, строителните материали изискват внимателно внимание и изключително точни изчисления.

Основата на сградата - основата - обикновено е лята конструкция, пълна с бетон. Преди това е необходимо да се определи вида на основата.

Фундамент от плоча - плоча под формата на правоъгълен паралелепипед. Колонна основа - правоъгълни или цилиндрични стълбове с определена секция. Като определите обема на една колона и го умножите по количеството, можете да изчислите кубичния капацитет на бетона за цялата основа.

При изчисляване на обема на бетона за стени или тавани те действат съвсем просто: определят обема на цялата стена, умножавайки дължината по ширината и височината, след което отделно определят обемите на отворите на прозорците и вратите. Разликата между обема на стената и общия обем на отворите е обемът на бетона.

Как да определим обема на сградата?

Някои приложни задачи изискват познаване на обема на сградите и съоръженията. Те включват проблеми с ремонта, реконструкцията, определянето на влажността на въздуха, проблемите, свързани с топлоснабдяването и вентилацията.

Преди да отговорите на въпроса как да изчислите обема на сградата, измерванията се правят от външната й страна: площта на напречното сечение (дължината, умножена по ширината), височината на сградата от дъното на първия етаж до тавана.

Определянето на вътрешните обеми на отопляемите помещения се извършва с помощта на вътрешни контури.

Монтаж на отоплителни системи

Модерните апартаменти и офиси не могат да се представят без отоплителна система. Основната част от системите са батерии и свързващи тръби. Как да изчислим обема на отоплителната система? Общият обем на всички отоплителни секции, който е посочен на самия радиатор, трябва да се добави към обема на тръбите.

И на този етап възниква проблем: как да се изчисли обемът на тръбата. Нека си представим, че тръбата е цилиндър, решението идва естествено: използваме формулата на цилиндъра. В отоплителните системи тръбите се пълнят с вода, така че е необходимо да се знае вътрешното напречно сечение на тръбата. За да направите това, ние определяме неговия вътрешен радиус (R). Формула за определяне на площта на кръг: S=πR 2. Общата дължина на тръбите се определя от дължината им в помещението.

Канализация в къщата - тръбна система

Когато полагате тръби за дренаж, също си струва да знаете обема на тръбата. На този етап е необходим външен диаметър, стъпките са подобни на предишните.

Определянето на обема метал, който отива за направата на тръба, също е интересна задача. Геометрично, тръбата е цилиндър с кухини. Определянето на площта на пръстена, лежащ в напречното му сечение, е доста сложна задача, но може да бъде решена. По-прост изход е да се определят външните и вътрешните обеми на тръбата, разликата между тези стойности ще бъде обемът на метала.

Определяне на обеми в задачи по физика

Известната легенда за короната на цар Херон стана известна не само в резултат на решаването на проблема с извеждането на „на чиста вода» крадливи бижутери. Резултатът от труден умствена дейностАрхимед - определяне на обемите на тела с неправилна геометрична форма. Основната идея, извлечена от философа, е, че обемът на течността, изместена от тялото, е равен на обема на тялото.

IN лабораторни изследванияизползвайте градуиран цилиндър (бехерова чаша). Определя се обемът на течността (V 1), тялото се потапя в нея и се извършват вторични измервания (V 2). Сила на звука равно на разликатавторични и първични измервания: V t = V 2 - V 1.

Този метод за определяне на обемите на телата се използва при изчисляване на обемната плътност на насипни неразтворими материали. Изключително удобен е за определяне на плътността на сплави.

Можете да изчислите обема на карфица, като използвате този метод. Изглежда доста трудно да се определи обемът на такива малко тяло, като карфица или топче. Не можете да го измерите с линийка, измервателният цилиндър също е доста голям.

Но ако използвате няколко напълно идентични щифта (n), тогава можете да използвате измервателен цилиндър, за да определите общия им обем (V t = V 2 - V 1). След това разделете получената стойност на броя на щифтовете. V= V t\n.

Тази задача става ясна, ако трябва да се отлеят много топчета от едно голямо парче олово.

Единици за обем на течността

Международната система от единици включва измерване на обеми в m3. IN ежедневиетопо-често се използват несистемни единици: литър, милилитър. Когато се определя как да се изчисли обемът в литри, се използва системата за преобразуване: 1 m 3 = 1000 литра.

Използвайте в Ежедневиетодруги несистемни мерки могат да причинят затруднения. Британците използват барели, галони и бушели, които са им по-познати.

Система за превод:

Задачи с нестандартни данни

Задача 1. Как да изчислим обема, знаейки височината и площта? Този проблем обикновено се решава чрез определяне на обема на покритието различни частигалванично. В този случай повърхността на частта (S) е известна. Дебелина на слоя (h) - вис. Обемът се определя от произведението на площта и височината: V=Sh.

Проблем 2. За кубовете проблемът за определяне на обема може да изглежда интересен от математическа гледна точка, ако е известна площта на едно лице. Известно е, че обемът на куба е: V=a 3, където a е дължината на лицето му. Площта на страничната повърхност на куба е S=a 2. Извличайки от площта, получаваме дължината на лицето на куба. Използваме формулата за обем и изчисляваме стойността му.

Задача 3. Изчислете обема на фигура, ако площта е известна и са дадени някои параметри. Допълнителните параметри включват условията на аспектно съотношение, височини, основни диаметри и много други.

За да решите конкретни проблеми, ще ви трябва не само познаване на формулите за изчисляване на обема, но и други геометрични формули.

Определяне на обемите на паметта

Задача, напълно несвързана с геометрията: определяне на обема на паметта електронни устройства. В съвременния, доста компютъризиран свят, този проблем не е излишен. Прецизните устройства, като персоналните компютри, не търпят приблизителност.

Познаването на капацитета на паметта на флаш устройство или друго устройство за съхранение е полезно при копиране и преместване на информация.

Важно е да знаете количеството RAM и постоянна памет на вашия компютър. Често потребителят се сблъсква със ситуация, при която „играта не работи“, „програмата виси“. Проблемът е напълно възможен при недостатъчна памет.

Броят се байт и неговите производни (килобайт, мегабайт, терабайт).

1 kB = 1024 B

1 MB = 1024 kB

1 GB = 1024 MB

Странността в тази система за преизчисляване произтича от двоична системаинформация за кодиране.

Размерът на паметта на устройството за съхранение е основната му характеристика. Сравнявайки обема на прехвърлената информация и капацитета за съхранение на устройството, можете да определите възможността за по-нататъшната му работа.

Концепцията за „обем“ е толкова мащабна, че е възможно да се разбере напълно нейната гъвкавост само чрез решаване на приложни проблеми, които са интересни и вълнуващи.

Цистерните и резервоарите се използват за транспортиране и съхранение различни видовегориво, нефт, вода и газ, някои строителни материали, химически вещества, и хранителни продукти. Много хора не знаят как да изчислят обема на контейнер, защото те могат да имат различни геометрични форми:

• конус;
• цилиндър;
• Сфери;
• Правоъгълен паралелепипед.

В нашата статия ще се запознаем с нюансите на изчисленията за конкретни геометрични тела.

Как да разберете обема на правоъгълен контейнер

В строителната индустрия всички обемни показатели се свеждат до конкретни стойности. Изчисленията могат да се извършват в литри или dm 3 , но най-често кубическите метри се използват за определяне на количеството на определен материал. По-нататък ще опишем как да изчислим кубичния капацитет на най-простите правоъгълни контейнери, използвайки конкретен пример.

За да работим, ще ни трябва контейнер, строителна ролетка и бележник с химикал или молив за извършване на изчисления. От курс по геометрия знаем, че обемът на такива тела се изчислява чрез умножаване на дължината, ширината и височината на продукта. Формулата за изчисление е следната

V=a*b*c, където a, b и c са страните на контейнера.

Например, дължината на нашия продукт е 150 сантиметра, ширината 80 сантиметра, височината 50 сантиметра. За да изчислим правилно кубичния капацитет, преобразуваме посочените стойности в метри и изпълняваме необходими изчисления V=1.5*0.8*0.5=0.6m3.

Как да определим обема на сферичен продукт

Сферичните продукти се срещат в живота ни почти всеки ден. Това може да е носещ елемент, футболна топка или пишеща част на химикал. В някои случаи трябва да се научим как да изчисляваме кубичния капацитет на сфера, за да определим количеството течност в нея.

Според експерти формулата се използва за изчисляване на обема на тази фигура V=4/3ԉr3, Където:

• V – изчислен обем на детайла;
• R е радиусът на сферата;
• ԉ е постоянна стойност, равна на 3,14.

За да извършим необходимите изчисления, трябва да вземем рулетка, да фиксираме началото на измервателната скала и да направим измервания, а рулетката трябва да минава по екватора на топката. След това разберете диаметъра на детайла, като разделите размера на числото ԉ.

Сега нека се запознаем с конкретен примеризчисления за сфера, ако нейната обиколка е 2,5 метра. Първо, нека определим диаметъра 2,5/3,14=0,8 метра. Сега заместваме тази стойност във формулата:

V= (4*3,14*0,8³)/3=2,14m³

Как да изчислим обема на резервоар, направен под формата на цилиндър

Подобни геометрични форми се използват за съхранение на храна, транспортиране на гориво и други цели. Много хора не знаят как да изчислят обема на водата, но ние ще опишем основните нюанси на този процес по-нататък в нашата статия.

Височината на течността в цилиндричен съд се определя с помощта на специално устройство, наречено метър. В този случай капацитетът на резервоара се изчислява с помощта на специални таблици. Продуктите със специални таблици за измерване на обема са рядкост в живота, така че нека подходим към проблема по различен начин и да опишем как да изчислим обема на цилиндър по специална формула - V=S*L, където

• V е обемът на геометрично тяло;
• S – площта на напречното сечение на продукта в специфични мерни единици (m³);
• L е дължината на резервоара.

Индикаторът L може да се измери с помощта на същата лента, но трябва да се изчисли площта на напречното сечение на цилиндъра. Индикаторът S се изчислява по формулата S=3,14*d*d/4, където d е диаметърът на обиколката на цилиндъра.

Сега нека да разгледаме конкретен пример. Да приемем, че дължината на нашия резервоар е 5 метра, диаметърът му е 2,8 метра. Първо, нека изчислим площта на напречното сечение на геометричната фигура S = 3,14 * 2,8 * 2,8/4 = 6,15 m. И сега можете да започнете да изчислявате обема на резервоара 6,15 * 5 = 30,75 m³.

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезните ресурси за

Както плоските фигури, освен дължина и ширина, имат и такава характеристика като площ, триизмерните тела имат... обем. И точно както дискусиите за площ започват с квадрат, сега ще започнем с куб.

Обемът на куб с ръб на метър е равен на кубичен метър.

Не забравяйте, че квадратен метър беше площта на квадрат и беше обозначен с кв.м. Е, обемът на куб с ръб се нарича кубичен метър и се обозначава с m.sq.

Какво е кв. м.? Но вижте:

Това са две кубчета с ръб.

Какъв е обемът на куб с ръб?

Колко малки кубчета (с ръб) има в голям куб (с ръб)?

Разбира се,. Следователно обемът на куб с ръб е равен на кубични метри, т.е. кв.м. Но това.

И само си представете, тази формула е правилна за всеки куб, дори и с ръб.

Основна площ

Тази формула е вярна за всяка призма, но ако призманаправо, след което се „превръща“ в странично ребро. И тогава

Същото като

Необичайна формула за обем на призма

Представете си, че има друга, "обърната" формула за обема на призмата.

Секционна площ, перпендикулярна на страничното ребро,

Дължина на странично ребро.

Използва ли се тази формула при проблеми? Честно казано, това е доста рядко, така че можете да се ограничите до познаването на основната формула за обем.

Основната формула за обема на пирамида:

Откъде точно дойде? Това не е толкова просто и в началото просто трябва да запомните, че пирамидата и конусът имат обем във формулата, но пирамидата и цилиндърът не.

Сега нека изчислим обема на най-популярните пирамиди.

Обем на правилна триъгълна пирамида

Нека страната на основата е равна и страничният ръб равен. Трябва да намерим и.

Това е района правилен триъгълник.

Нека си припомним как да търсим тази област. Използваме формулата за площ:

За нас „ “ е това, а „ “ също е това, а.

Сега нека го намерим.

Според Питагоровата теорема за

Каква е разликата? Това е кръговият радиус в защото пирамидаправилнои следователно центърът.

Тъй като - точката на пресичане на медианите също.

(Питагоровата теорема за)

Нека го заместим във формулата за.

И нека заместим всичко във формулата за обем:

Внимание:ако имате правилен тетраедър (т.е.), тогава формулата се оказва така:

Обем на правилна четириъгълна пирамида

Нека страната на основата е равна и страничният ръб равен.

Няма нужда да търсите тук; В крайна сметка основата е квадрат и следователно.

Ще го намерим. Според Питагоровата теорема за

знаем ли почти. Виж:

(видяхме това, като го разгледахме).

Заместете във формулата за:

И сега заместваме и във формулата за обем.

Обем на правилна шестоъгълна пирамида.

Нека страната на основата да е равна и страничният ръб.

Как да намеря? Вижте, шестоъгълникът се състои от точно шест еднакви правилни триъгълника. Вече потърсихме площта на правилен триъгълник, когато изчислявахме обема на правилен триъгълник. триъгълна пирамида, тук използваме намерената формула.

Сега нека го намерим.

Според Питагоровата теорема за

Но какво значение има? Това е просто, защото (и всички останали също) е правилно.

Нека заместим:

Тела на въртене. Формула за обем

Обем на топката

Това е още една сложна формула, която ще трябва да запомните, без да разберете откъде идва.

Обем на цилиндъра

Конусен обем

СИЛА НА ЗВУКА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Обем на цилиндъра

Основен радиус

Конусен обем

Основен радиус

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно завършванеЕдинен държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Всички стойности са посочени в mm

з— Ниво на течността.

Y— Резервоарът е висок.

Л— Дължина на контейнера.

х— Резервоарът е широк.

Тази програма изчислява обема на течността в правоъгълни контейнери с различни размери; тя също така ще помогне за изчисляване на повърхността на резервоара, свободния и общия обем.

Въз основа на резултатите от изчислението ще научите:

• Общата площ на резервоара;
• Площ на страничната повърхност;
• Долна зона;
• Свободен обем;
• Количество течност;
• Обем на капацитета.

Технология за изчисляване на количеството течност в резервоари с различни форми

Когато контейнерът има неправилна геометрична форма (например под формата на пирамида, паралелепипед, правоъгълник и др.), е необходимо първо да се измерят вътрешните линейни размери и едва след това да се направят изчисления.

Изчисляването на обема на течността в малък правоъгълен контейнер може да се извърши ръчно, както следва. Необходимо е целият резервоар да се напълни с течност до ръба. Тогава обемът на водата в този случай ще стане равен на обема на резервоара. След това трябва внимателно да източите цялата вода в отделни контейнери. Например в специален резервоар с правилна геометрична форма или мерителен цилиндър. С помощта на измервателната скала можете визуално да определите обема на вашия резервоар. За да изчислите количеството течност в правоъгълен съд, най-добре е да използвате нашия онлайн програма, който бързо и точно извършва всички изчисления.

Ако резервоарът голям размер, и е невъзможно да измерите количеството течност ръчно, тогава можете да използвате формулата за масата на газ с известна моларна маса. Например масата на азота M = 0,028 kg/mol. Тези изчисления са възможни, когато резервоарът може да бъде плътно затворен (херметически). Сега с помощта на термометър измерваме температурата вътре в резервоара и вътрешното налягане с манометър. Температурата трябва да бъде изразена в келвини, а налягането в паскали. Обемът на вътрешния газ може да се изчисли по следната формула (V=(m∙R∙T)/(M∙P)). Това означава, че умножаваме масата на газа (m) по неговата температура (T) и газовата константа (R). След това полученият резултат трябва да се раздели на газово налягане (P) и моларна маса (M). Обемът ще бъде изразен в m³.

Как сами да изчислите и разберете обема на аквариума по размер

Аквариумите са стъклени съдове, които се пълнят чиста водадо определено ниво. Много собственици на аквариуми многократно са се чудили колко голям е резервоарът им и как могат да се направят изчисленията. Най-простият и надежден метод е да използвате рулетка и да измерите всички необходими параметри, които трябва да въведете в съответните клетки на нашия калкулатор и веднага ще получите крайния резултат.

Има обаче друг начин за определяне на обема на аквариума, който включва по-дълъг процес, като се използва литров буркан, като постепенно се пълни целият контейнер до подходящото ниво.

Третият метод за изчисляване на обема на аквариума е специална формула. Измерваме дълбочината на резервоара, височината и ширината в сантиметри. Например, получихме следните параметри: дълбочина – 50 см, височина – 60 см и ширина – 100 см. Според тези размери обемът на аквариума се изчислява по формулата (V=X*Y*H) или 100x50x60 =3000000 cm³. След това трябва да преобразуваме получения резултат в литри. За да направите това, умножете крайната стойност по 0,001. Оттук следва - 0,001x3000000 сантиметра и получаваме, че обемът на нашия резервоар ще бъде 300 литра. Изчислихме пълния капацитет на контейнера, след което трябва да изчислим действителното ниво на водата.

Всеки аквариум се пълни значително по-ниско от действителната му височина, за да се избегне преливане на вода, и се затваря с капак, като се има предвид замазката. Например, когато нашият аквариум е висок 60 сантиметра, тогава залепените връзки ще бъдат разположени 3-5 сантиметра по-ниско. При нашия размер от 60 сантиметра малко по-малко от 10% от обема на контейнера се пада на 5-сантиметрови връзки. От тук можем да изчислим действителния обем от 300 литра - 10% = 270 литра.

важно! Трябва да извадите няколко процента, като вземете предвид обема на стъклото; размерите на аквариума или друг контейнер се вземат отвън (без да се взема предвид дебелината на стъклото).

От тук обемът на нашия резервоар ще бъде 260 литра.