Инструкции

Ако даден триъгълник е равнобедрен или правилен, значи е такъв
две или три страни, след това неговата симетрала, според свойството триъгълник, също ще бъде медианата. И следователно противоположната ще бъде разделена наполовина от ъглополовящата.

Измерете противоположната страна с линийка триъгълник, където ъглополовящата ще клони. Разделете тази страна наполовина и поставете точка в средата на страната.

Начертайте права линия, минаваща през построената точка и срещуположния връх. Това ще бъде ъглополовящата триъгълник.

източници:

• Медиани, ъглополовящи и височини на триъгълник

Разделянето на ъгъл наполовина и изчисляването на дължината на линия, начертана от върха му до противоположната страна, е нещо, което резачите, геодезистите, монтажниците и хората от някои други професии трябва да могат да правят.

Ще имаш нужда

• Инструменти Молив Линийка Транспортир Таблици със синуси и косинуси Математически формули и концепции: Дефиниция на ъглополовяща Теореми за синус и косинус Теорема за ъглополовяща

Инструкции

Изградете триъгълник с необходимия размер, в зависимост от това какво ви е дадено? dfe страни и ъгълът между тях, три страни или два ъгъла и страната, разположена между тях.

Обозначете върховете на ъглите и страните с традиционните латински букви A, B и C. Върховете на ъглите са маркирани с , а срещуположните страни с малки букви. Обозначете ъглите с гръцки букви?,? И?

Използвайки теоремите за синуси и косинуси, изчислете ъглите и страните триъгълник.

Запомнете симетралите. Симетрала - разделяне на ъгъл наполовина. Симетрала на ъгъл триъгълникразделя противоположната на две отсечки, които са равни на отношението на двете съседни страни триъгълник.

Начертайте ъглополовящите на ъглите. Обозначете получените отсечки с изписаните имена на ъглите малки букви, с долен индекс l. Страна c е разделена на сегменти a и b с индекси l.

Изчислете дължините на получените сегменти, като използвате закона на синусите.

Видео по темата

Забележка

Дължината на сегмента, който едновременно е страната на триъгълника, образувана от една от страните на оригиналния триъгълник, ъглополовящата и самия сегмент, се изчислява с помощта на закона на синусите. За да изчислите дължината на друг сегмент от същата страна, използвайте съотношението на получените сегменти и съседните страни на оригиналния триъгълник.

Полезен съвет

За да избегнете объркване, начертайте ъглополовящи различни ъгли различни цветове.

Симетрала ъгълнаречен лъч, който започва от върха ъгъли го разделя на две равни части. Тези. харча ъглополовяща, трябва да намерите средата ъгъл. Най-лесният начин да направите това е с компас. В този случай не е необходимо да правите изчисления и резултатът няма да зависи от това дали количеството е ъгълцяло число.

Ще имаш нужда

• компас, молив, линийка.

Инструкции

Оставяйки ширината на отвора на компаса същата, поставете иглата в края на сегмента от едната страна и нарисувайте част от кръга, така че да се намира вътре ъгъл. Направете същото и с втория. В крайна сметка ще получите две части от кръгове, които ще се пресичат вътре ъгъл- приблизително в средата. Части от кръгове могат да се пресичат в една или две точки.

Видео по темата

Полезен съвет

За да построите ъглополовящата на ъгъл, можете да използвате транспортир, но този метод изисква по-голяма точност. Освен това, ако стойността на ъгъла не е цяло число, вероятността от грешки при конструирането на ъглополовящата се увеличава.

Когато се изграждат или разработват проекти за дизайн на дома, често е необходимо да се изгради ъгъл, равно на това, което вече е налично. На помощ идват шаблоните и училищните знания по геометрия.

Инструкции

Ъгълът се образува от две прави линии, излизащи от една точка. Тази точка ще се нарича връх на ъгъла, а линиите ще бъдат страните на ъгъла.

Използвайте три, за да посочите ъглите: един отгоре, два отстрани. Наречен ъгъл, започвайки с буквата, която стои от едната страна, след това се извиква буквата, която стои отгоре, и след това буквата от другата страна. Използвайте други, за да посочите ъгли, ако предпочитате друго. Понякога се назовава само една буква, която е най-отгоре. И можете да обозначите ъгли с гръцки букви, например α, β, γ.

Има ситуации, когато е необходимо ъгъл, така че да е по-тесен от дадения ъгъл. Ако не можете да използвате транспортир, когато конструирате, можете да се справите само с линийка и компас. Да предположим, че на права линия, обозначена с буквите MN, трябва да конструирате ъгълв точка K, така че да е равна на ъгъл B. Тоест от точка K е необходимо да се начертае права линия с линия MN ъгъл, който ще бъде равен на ъгъл B.

Първо маркирайте точка от всяка страна на даден ъгъл, например точки A и C, след това свържете точки C и A с права линия. Вземете тре ъгъл nik ABC.

Сега изградете същото tre върху правата MN ъгълтака че неговият връх B да е на правата в точка K. Използвайте правилото за построяване на триъгълник ъгълнник в три. Отстранете сегмента KL от точка K. Тя трябва да е равна на сегмента BC. Вземете точката L.

От точка K начертайте окръжност с радиус, равен на сегмент BA. От L начертайте окръжност с радиус CA. Свържете получената точка (P) на пресичане на две окръжности с K. Вземете три ъгъл KPL, което ще бъде равно на три ъгълБуквар. Ето как получавате ъгъл K. Той ще бъде равен на ъгъл B. За да го направите по-удобно и по-бързо, отметнете равни сегменти от върха B, като използвате един отвор на компаса, без да местите краката, опишете кръг със същия радиус от точка K.

Видео по темата

Съвет 5: Как да построим триъгълник с две страни и медиана

Триъгълникът е най-простата геометрична фигура, която има три върха, свързани по двойки чрез сегменти, които образуват страните на този многоъгълник. Отсечката, свързваща върха със средата на противоположната страна, се нарича медиана. Познавайки дължините на двете страни и медианата, свързваща един от върховете, можете да построите триъгълник, без да имате информация за дължината на третата страна или размера на ъглите.

Инструкции

Начертайте отсечка от точка А, чиято дължина е една от познатите страни на триъгълника (a). Маркирайте крайната точка на този сегмент с буквата B. След това една от страните (AB) на желания триъгълник вече може да се счита за конструирана.

С помощта на пергел начертайте окръжност с радиус, равен на удвоената дължина на медианата (2∗m) и с център в точка А.

С помощта на компас начертайте втори кръг с радиус, равен на дължината на известната страна (b), и с център в точка B. Оставете компаса настрана за известно време, но оставете измереното върху него - ще ви трябва пак малко по-късно.

Постройте отсечка, свързваща точка А с пресечната точка на двете, които сте начертали. Половината от този сегмент ще бъде този, който изграждате - измерете тази половина и поставете точка M. В този момент имате едната страна на желания триъгълник (AB) и неговата медиана (AM).

С помощта на компас начертайте окръжност с радиус, равен на дължината на втората известна страна (b) и центриран в точка А.

Начертайте сегмент, който трябва да започва от точка B, да минава през точка M и да завършва в точката на пресичане на правата линия с кръга, който сте начертали в предишната стъпка. Обозначете пресечната точка с буквата C. Сега страната BC, неизвестна според условията на проблема, е построена в желаната.

Способността да разделяте всеки ъгъл с ъглополовяща е необходима не само за получаване на „А“ по математика. Тези знания ще бъдат много полезни за строители, дизайнери, геодезисти и шивачи. В живота трябва да можете да разделяте много неща наполовина.

Всички в училище научиха виц за плъх, който тича по ъглите и разделя ъгъла наполовина. Името на този пъргав и интелигентен гризач беше Bisector. Не е известно как плъхът е разделил ъгъла, но следните методи могат да бъдат предложени за математиците в училищния учебник „Геометрия“.

Използване на транспортир

Най-лесният начин за провеждане на ъглополовяща е с помощта на устройство за. Трябва да прикрепите транспортира към едната страна на ъгъла, като подравните референтната точка с върха O. След това измерете ъгъла в градуси или радиани и го разделете на две. Със същия транспортир отделете получените градуси от една от страните и начертайте права линия, която ще стане ъглополовяща, до началната точка на ъгъл О.

Използване на компас

Трябва да вземете компас и да го преместите до произволен размер (в границите на чертежа). След като поставите върха в началната точка на ъгъл O, нарисувайте дъга, пресичаща лъчите, като маркирате две точки върху тях. Те са обозначени с A1 и A2. След това, като поставите компаса последователно в тези точки, трябва да нарисувате два кръга със същия произволен диаметър (в мащаба на чертежа). Техните пресечни точки са обозначени с C и B. След това трябва да начертаете права линия през точки O, C и B, която ще бъде желаната ъглополовяща.

С помощта на линийка

За да начертаете ъглополовящата на ъгъл с линийка, трябва да отложите сегменти с еднаква дължина от точка O върху лъчите (страните) и да ги обозначите като точки A и B. След това трябва да ги свържете с права линия и с помощта на линийка разделете получения сегмент наполовина, обозначавайки точка C. Бисектриса ще се получи, ако начертаете права линия през точките C и O.

Без инструменти

Ако нямате инструменти за измерване, можете да използвате изобретателността си. Достатъчно е просто да начертаете ъгъл върху паус или обикновена тънка хартия и внимателно да сгънете листа, така че лъчите на ъгъла да се изравнят. Линията на сгъване в чертежа ще бъде желаната ъглополовяща.

Прав ъгъл

Ъгъл, по-голям от 180 градуса, може да бъде разделен на ъглополовяща, като се използват същите методи. Само че ще е необходимо да се раздели не той, а острият ъгъл, съседен на него, оставащ от кръга. Продължението на намерената ъглополовяща ще стане желаната права линия, разделяща разгънатия ъгъл наполовина.

Ъгли в триъгълник

Трябва да се помни, че в равностранен триъгълник ъглополовящата е също медиана и надморска височина. Следователно ъглополовящата в него може да се намери чрез просто спускане на перпендикуляра към страната, противоположна на ъгъла (височина) или разделяне на тази страна наполовина и свързване на средната точка с противоположния ъгъл (медиана).

Видео по темата

Мнемоничното правило „ъглополовяща е плъх, който тича около ъглите и ги разделя наполовина“ описва същността на концепцията, но не дава препоръки за конструиране на ъглополовяща. За да го начертаете, в допълнение към правилото, ще ви трябва компас и линийка.

Инструкции

Да кажем, че трябва да построите ъглополовящаъгъл A. Вземете компас, поставете върха му в точка A (ъгъл) и начертайте окръжност на произволен . Там, където пресича страните на ъгъла, поставете точки B и C.

Измерете радиуса на първия кръг. Начертайте друг със същия радиус, като поставите компас в точка B.

Начертайте следващия кръг (с равен размер на предишните) с център в точка C.

И трите окръжности трябва да се пресичат в една точка - нека я наречем F. С помощта на линийка начертайте лъч, минаващ през точки A и F. Това ще бъде желаната ъглополовяща на ъгъл A.

Има няколко правила, които ще ви помогнат да намерите. Например, тя е противоположна в , равна на отношението на две съседни страни. В равнобедрен

Симетралата на триъгълник е обща геометрична концепция, която не създава много трудности при изучаването. Имайки знания за неговите свойства, можете да решите много проблеми без много трудности. Какво е ъглополовяща? Ще се опитаме да запознаем читателя с всички тайни на тази математическа линия.

Във връзка с

Същността на концепцията

Името на понятието идва от използването на думи на латински, чието значение е “bi” - две, “sectio” - режа. Те специално посочват геометричен смисълконцепции - разбиване на пространството между лъчите на две равни части.

Симетралата на триъгълник е сегмент, който произхожда от върха на фигурата, а другият край е поставен от страната, която е разположена срещу него, като същевременно разделя пространството на две еднакви части.

За бързо асоциативно запомняне на математически понятия много учители използват различна терминология, която се отразява в стихове или асоциации. Разбира се, използването на това определение се препоръчва за по-големи деца.

Как се обозначава тази линия? Тук разчитаме на правилата за обозначаване на сегменти или лъчи. Ако ние говорим заотносно обозначаването на ъглополовящата на триъгълна фигура, обикновено се записва като сегмент, чиито краища са връх и точката на пресичане със страната, противоположна на върха. Освен това началото на нотацията се изписва точно от върха.

внимание!Колко ъглополовящи има един триъгълник? Отговорът е очевиден: толкова, колкото са върховете - три.

Имоти

Освен дефиницията, не много свойства на тази геометрична концепция могат да бъдат намерени в училищен учебник. Първото свойство на ъглополовящата на триъгълник, с което се запознават учениците, е вписаният център, а второто, пряко свързано с него, е пропорционалността на сегментите. Изводът е следният:

1. Каквато и да е разделителната линия, на нея има точки, които са на същото разстояние от страните, които образуват пространството между лъчите.
2. За да се постави кръг в триъгълна фигура, е необходимо да се определи точката, в която тези сегменти ще се пресичат. Това е, което е Централна точкакръгове.
3. Разположени са частите от страната на триъгълна геометрична фигура, на които разделителната линия я разделя V пропорционална зависимостот страните, образуващи ъгъла.

Ще се опитаме да въведем останалите функции в системата и да представим допълнителни факти, които ще помогнат за по-доброто разбиране на предимствата на тази геометрична концепция.

Дължина

Един от видовете задачи, които създават трудности за учениците, е намирането на дължината на ъглополовящата на ъгъл на триъгълник. Първата опция, която съдържа неговата дължина, съдържа следните данни:

• количеството пространство между лъчите, от чийто връх излиза даден сегмент;
• дължините на страните, които образуват този ъгъл.

За решаване на проблема използвана формула, чийто смисъл е да се намери съотношението на произведението на стойностите на страните, които образуват ъгъла, увеличени 2 пъти, по косинуса на неговата половина към сумата от страните.

Нека да разгледаме конкретен пример. Да предположим, че ни е дадена фигура ABC, в която отсечка е начертана от ъгъл A и пресича страната BC в точка K. Означаваме стойността на A като Y. Въз основа на това AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Втората версия на задачата, в която се определя дължината на ъглополовящата на триъгълник, съдържа следните данни:

• значенията на всички страни на фигурата са известни.

При решаване на проблем от този тип първоначално определяне на полупериметъра. За да направите това, трябва да съберете стойностите на всички страни и да ги разделите наполовина: p=(AB+BC+AC)/2. След това прилагаме изчислителната формула, която беше използвана за определяне на дължината на този сегмент в предишния проблем. Необходимо е само да се направят някои промени в същността на формулата в съответствие с новите параметри. И така, необходимо е да се намери съотношението на удвоения корен от втората степен на произведението на дължините на страните, които са съседни на върха от полупериметъра, и разликата между полупериметъра и дължината на противоположната му страна към сбора от страните, които образуват ъгъла. Тоест AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

внимание!За да улесните усвояването на материала, можете да се обърнете към комични приказки, налични в Интернет, които разказват за „приключенията“ на тази линия.

Триъгълникът е многоъгълник с три страни, или затворена прекъсната линия с три връзки, или фигура, образувана от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една и съща права линия (виж фиг. 1).

Основни елементи триъгълник abc

Върхове – точки A, B и C;

Партита – отсечки a = BC, b = AC и c = AB, свързващи върховете;

Ъгли – α, β, γ, образувани от три двойки страни. Ъглите често се означават по същия начин като върховете, с буквите A, B и C.

Ъгълът, образуван от страните на триъгълника и лежащ във вътрешната му област, се нарича вътрешен ъгъл, а прилежащият към него е прилежащ ъгъл на триъгълника (2, с. 534).

Височини, медиани, ъглополовящи и средни линии на триъгълник

В допълнение към основните елементи в триъгълника се разглеждат и други сегменти с интересни свойства: височини, медиани, ъглополовящи и средни линии.

Височина

Височини на триъгълник- това са перпендикуляри, спуснати от върховете на триъгълника към противоположните страни.

За да начертаете височината, трябва да изпълните следните стъпки:

1) начертайте права линия, съдържаща една от страните на триъгълника (ако височината е изтеглена от върха на остър ъгъл в тъп триъгълник);

2) от върха, лежащ срещу начертаната линия, начертайте сегмент от точката до тази линия, сключвайки с нея ъгъл от 90 градуса.

Точката, в която надморската височина пресича страната на триъгълника, се нарича височина основа (виж фиг. 2).

Свойства на височините на триъгълника

В правоъгълен триъгълник надморската височина, изтеглена от върха прав ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник.

В остроъгълен триъгълник двете му височини отрязват подобни триъгълници от него.

Ако триъгълникът е остър, тогава всички основи на височините принадлежат на страните на триъгълника, а в тъпия триъгълник две височини попадат върху продължението на страните.

Три височини в остроъгълен триъгълник се пресичат в една точка и тази точка се нарича ортоцентър триъгълник.

Медиана

Медиани(от латински mediana – „среден“) - това са сегменти, свързващи върховете на триъгълника със средните точки на противоположните страни (виж фиг. 3).

За да изградите медианата, трябва да изпълните следните стъпки:

1) намерете средата на страната;

2) свържете точката, която е средата на страната на триъгълника с противоположния връх с сегмент.

Свойства на медианите на триъгълника

Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднаква площ.

Медианите на триъгълник се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2:1, считано от върха. Тази точка се нарича център на тежестта триъгълник.

Целият триъгълник е разделен от своите медиани на шест равни триъгълника.

Симетрала

Симетрали(от лат. bis - два пъти и seko - режа) са отсечките с права линия, затворени вътре в триъгълник, които разполовяват неговите ъгли (виж фиг. 4).

За да построите ъглополовяща, трябва да изпълните следните стъпки:

1) конструирайте лъч, който излиза от върха на ъгъла и го разделя на две равни части (ъглополовящата на ъгъла);

2) намерете пресечната точка на ъглополовящата на ъгъла на триъгълника с противоположната страна;

3) изберете сегмент, свързващ върха на триъгълника с пресечната точка от противоположната страна.

Свойства на ъглополовящи на триъгълник

Симетралата на ъгъл на триъгълник дели противоположната страна в съотношение, равно на отношението на двете съседни страни.

Симетралите на вътрешните ъгли на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка се нарича център на вписаната окръжност.

Симетралите на вътрешния и външния ъгъл са перпендикулярни.

Ако ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълник пресича продължението на срещуположната страна, тогава ADBD=ACBC.

Симетралите на един вътрешен и два външни ъгъла на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на една от трите екскръговетози триъгълник.

Основите на ъглополовящите на два вътрешни и един външен ъгъл на триъгълник лежат на една и съща права, ако ъглополовящата на външния ъгъл не е успоредна на срещуположната страна на триъгълника.

Ако ъглополовящите на външните ъгли на триъгълник не са успоредни на противоположните страни, тогава техните основи лежат на една и съща права линия.

Днес ще бъде много лесен урок. Ще разгледаме само един обект - ъглополовящата - и ще докажем най-важното му свойство, което ще ни бъде много полезно в бъдеще.

Просто не се отпускайте: понякога учениците, които искат да получат висок резултат на един и същ Единен държавен изпит или Единен държавен изпит, дори не могат точно да формулират дефиницията на ъглополовяща в първия урок.

И вместо да вършим наистина интересни задачи, ние губим време за толкова прости неща. Така че четете, гледайте и го приемайте. :)

Като начало един малко странен въпрос: какво е ъгъл? Точно така: ъгълът е просто два лъча, излизащи от една и съща точка. Например:

Примери за ъгли: остър, тъп и прав

Както можете да видите от снимката, ъглите могат да бъдат остри, тъпи, прави - сега няма значение. Често за удобство на всеки лъч се отбелязва допълнителна точка и се казва, че пред нас е ъгълът $AOB$ (написан като $\angle AOB$).

Captain Obviousness изглежда намеква, че в допълнение към лъчите $OA$ и $OB$, винаги е възможно да начертаете още куп лъчи от точката $O$. Но сред тях ще има един специален - той се нарича ъглополовяща.

Определение. Симетралата на ъгъл е лъчът, който излиза от върха на този ъгъл и разполовява ъгъла.

За горните ъгли ъглополовящите ще изглеждат така:

Примери за ъглополовящи за остър, тъп и прав ъгъл

Тъй като в реалните чертежи не винаги е очевидно, че определен лъч (в нашия случай това е лъчът $OM$) разделя оригиналния ъгъл на два равни, в геометрията е обичайно да се отбелязва равни ъглисъщия брой дъги (в нашия чертеж това е 1 дъга за остър ъгъл, две за тъп ъгъл, три за прав ъгъл).

Добре, подредихме определението. Сега трябва да разберете какви свойства има ъглополовящата.

Основното свойство на ъглополовящата

Всъщност ъглополовящата има много свойства. И определено ще ги разгледаме в следващия урок. Но има един трик, който трябва да разберете точно сега:

Теорема. Симетралата на ъгъл е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на даден ъгъл.

Преведено от математически на руски, това означава два факта наведнъж:

1. Всяка точка, лежаща върху ъглополовящата на определен ъгъл, е на същото разстояние от страните на този ъгъл.
2. И обратното: ако дадена точка лежи на същото разстояние от страните на даден ъгъл, тогава тя гарантирано лежи на ъглополовящата на този ъгъл.

Преди да докажем тези твърдения, нека изясним една точка: какво точно се нарича разстоянието от точка до страната на ъгъл? Тук ще ни помогне доброто старо определяне на разстоянието от точка до права:

Определение. Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към тази права.

Например, разгледайте права $l$ и точка $A$, която не лежи на тази права. Нека начертаем перпендикуляр на $AH$, където $H\in l$. Тогава дължината на този перпендикуляр ще бъде разстоянието от точка $A$ до права $l$.

Графично представяне на разстоянието от точка до права

Тъй като ъгълът е просто два лъча и всеки лъч е част от права линия, лесно е да се определи разстоянието от точка до страните на ъгъла. Това са само два перпендикуляра:

Определете разстоянието от точката до страните на ъгъла

Това е всичко! Сега знаем какво е разстояние и какво е ъглополовяща. Следователно можем да докажем основното свойство.

Както обещахме, ще разделим доказателството на две части:

1. Разстоянията от точката на ъглополовящата до страните на ъгъла са еднакви

Да разгледаме произволен ъгъл с връх $O$ и ъглополовяща $OM$:

Нека докажем, че точно тази точка $M$ е на същото разстояние от страните на ъгъла.

Доказателство. Нека начертаем перпендикуляри от точка $M$ към страните на ъгъла. Нека ги наречем $M((H)_(1))$ и $M((H)_(2))$:

Начертайте перпендикуляри към страните на ъгъла

Имам две правоъгълен триъгълник: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Те имат обща хипотенуза $OM$ и равни ъгли:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ по условие (тъй като $OM$ е ъглополовяща);
2. $\ъгъл M((H)_(1))O=\ъгъл M((H)_(2))O=90()^\circ $ по конструкция;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, тъй като сума остри ъглина правоъгълен триъгълник винаги е 90 градуса.

Следователно триъгълниците са равни по страни и два съседни ъгъла (вижте знаците за равенство на триъгълниците). Следователно, по-специално, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, т.е. разстоянията от точка $O$ до страните на ъгъла наистина са равни. Q.E.D. :)

2. Ако разстоянията са равни, то точката лежи на ъглополовящата

Сега ситуацията е обратна. Нека е даден ъгъл $O$ и точка $M$, равноотдалечена от страните на този ъгъл:

Нека докажем, че лъчът $OM$ е ъглополовяща, т.е. $\ъгъл MO((H)_(1))=\ъгъл MO((H)_(2))$.

Доказателство. Първо, нека начертаем този лъч $OM$, в противен случай няма да има какво да се доказва:

Проведен $OM$ лъч вътре в ъгъла

Отново получаваме два правоъгълни триъгълника: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очевидно те са равни, защото:

1. Хипотенуза $OM$ - общо;
2. Крака $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ по условие (все пак точката $M$ е на еднакво разстояние от страните на ъгъла);
3. Останалите крака също са равни, т.к по Питагоровата теорема $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Следователно триъгълниците $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$ от три страни. По-специално, техните ъгли са равни: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. И това просто означава, че $OM$ е ъглополовяща.

За да завършим доказателството, отбелязваме получените равни ъгли с червени дъги:

Симетралата разделя ъгъла $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ на два равни

Както можете да видите, нищо сложно. Доказахме, че ъглополовящата на ъгъл е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на този ъгъл. :)

След като повече или по-малко взехме решение относно терминологията, време е да преминем към следващото ниво. В следващия урок ще разгледаме по-сложни свойства на ъглополовящата и ще научим как да ги прилагаме за решаване на реални задачи.

Сред многобройните предмети в средното училище има един като „геометрия“. Традиционно се смята, че основателите на тази систематична наука са гърците. Днес гръцката геометрия се нарича елементарна, тъй като тя започна изучаването на най-простите форми: равнини, прави линии и триъгълници. Ще насочим вниманието си към последното, или по-скоро към ъглополовящата на тази фигура. За тези, които вече са забравили, ъглополовящата на триъгълника е сегмент от ъглополовящата на един от ъглите на триъгълника, който го разделя наполовина и свързва върха с точка, разположена на противоположната страна.

Симетралата на триъгълник има редица свойства, които трябва да знаете, когато решавате определени задачи:

• Симетралата на ъгъл е геометричното място на точките, разположени на равни разстояния от страните, съседни на ъгъла.
• Симетралата в триъгълник разделя страната срещу ъгъла на сегменти, които са пропорционални на съседните страни. Например, даден е триъгълник MKB, където ъглополовяща излиза от ъгъл K, свързващ върха на този ъгъл с точка A от противоположната страна MB. След като анализирахме това свойство и нашия триъгълник, имаме MA/AB=MK/KB.
• Точката, в която се пресичат ъглополовящите на трите ъгъла на триъгълника, е центърът на окръжност, вписана в същия триъгълник.
• Основите на ъглополовящите на един външен и два вътрешни ъгъла са на една права линия, при условие че ъглополовящата на външния ъгъл не е успоредна на срещуположната страна на триъгълника.
• Ако две ъглополовящи на едно, тогава това

Трябва да се отбележи, че ако са дадени три ъглополовящи, тогава изграждането на триъгълник от тях, дори с помощта на компас, е невъзможно.

Много често при решаване на задачи ъглополовящата на триъгълник е неизвестна, но е необходимо да се определи нейната дължина. За да разрешите тази задача, трябва да знаете ъгъла, който е разполовен от ъглополовящата и страните, съседни на този ъгъл. В този случай необходимата дължина се определя като съотношението на удвоения продукт на страните, съседни на ъгъла, и косинуса на ъгъла, разделен наполовина, към сумата от страните, съседни на ъгъла. Например, като се има предвид същия триъгълник MKB. Симетралата излиза от ъгъл K и се пресича противоположната страна MV в точка A. Ъгълът, от който излиза ъглополовящата, ще бъде означен с y. Сега нека запишем всичко, което се казва с думи, под формата на формула: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Ако стойността на ъгъла, от който излиза ъглополовящата на триъгълник, е неизвестна, но всичките му страни са известни, тогава за изчисляване на дължината на ъглополовящата ще използваме допълнителна променлива, която ще наречем полупериметър и ще обозначим с буквата P: P=1/2*(MK+KB+MB). След това ще направим някои промени в предишната формула, чрез която се определя дължината на ъглополовящата, а именно в числителя на дробта поставяме удвоения продукт на дължините на страните, съседни на ъгъла, с полупериметъра и частното, където дължината на третата страна се изважда от полупериметъра. Ще оставим знаменателя непроменен. Под формата на формула ще изглежда така: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Симетралата на равнобедрен триъгълник, наред с общите свойства, има и няколко свои собствени. Нека си припомним какъв вид триъгълник е това. Такъв триъгълник има две равни страни и равни ъгли, съседни на основата. От това следва, че ъглополовящите, които попадат върху страничните страни на равнобедрен триъгълник, са равни една на друга. Освен това ъглополовящата, спусната към основата, е едновременно височина и медиана.