Три деца отишли ​​в гората да берат плодове. Най-голямата дъщеря намери 18 зрънца, средната - 15 и по-малък брат- 3 зрънца (виж фиг. 1). Те донесоха плодовете на мама, която реши да раздели плодовете по равно. Колко плодове получи всяко дете?

Ориз. 1. Илюстрация към задачата

Решение

(Яг.) - децата събраха всичко

2) Разделяне обща сумагорски плодове на брой деца:

(Яг.) отиде при всяко дете

Отговор: Всяко дете ще получи 12 горски плодове.

В задача 1 полученото число в отговора е средно аритметично.

Средноаритметичноняколко числа се нарича частното от разделянето на сумата от тези числа на техния брой.

Пример 1

Имаме две числа: 10 и 12. Намерете средното им аритметично.

Решение

1) Да определим сбора на тези числа: .

2) Броят на тези числа е 2, следователно средноаритметичното на тези числа е: .

Отговор: средно аритметично аритметични числа 10 и 12 са числото 11.

Пример 2

Имаме пет числа: 1, 2, 3, 4 и 5. Намерете средното им аритметично.

Решение

1) Сумата от тези числа е равна на: .

2) По дефиниция средноаритметичното е частното от разделянето на сбора на числата на техния брой. Имаме пет числа, така че средното аритметично е:

Отговор: средноаритметичното на данните в числовото условие е 3.

В допълнение към факта, че постоянно се предлага да се намери в уроците, намирането на средно аритметично е много полезно в Ежедневието. Например, да кажем, че искаме да отидем на почивка в Гърция. За да изберем подходящо облекло, гледаме каква е температурата в тази страна в момента. Цялостната картина на времето обаче няма да знаем. Следователно е необходимо да разберете температурата на въздуха в Гърция, например за една седмица, и да намерите средната аритметична стойност на тези температури.

Пример 3

Температура в Гърция за седмицата: понеделник - ; вторник - ; сряда - ; четвъртък - ; петък - ; събота - ; неделя -. Изчислете средната температура за седмицата.

Решение

1) Нека изчислим сумата от температурите: .

2) Разделете получената сума на броя дни: .

Отговор: Средната температура за седмицата е прибл.

Възможността за намиране на средна аритметична стойност може да е необходима и за определяне на средната възраст на играчите във футболен отбор, тоест за да се определи дали отборът е опитен или не. Необходимо е да се сумират възрастите на всички играчи и да се разделят на техния брой.

Проблем 2

Търговецът продаваше ябълки. Първоначално ги продаваше на цена от 85 рубли за 1 кг. Така той продаде 12 кг. След това той намали цената до 65 рубли и продаде останалите 4 кг ябълки. Каква беше средната цена на ябълките?

Решение

1) Нека изчислим колко пари е спечелил общо търговецът. Той продаде 12 килограма на цена от 85 рубли за 1 кг: (търкайте.).

Той продаде 4 килограма на цена от 65 рубли за 1 кг: (рубли).

Следователно общата сума на спечелените пари е равна на: (разтривайте).

2) Общото тегло на продадените ябълки е равно на: .

3) Разделете получената сума на общото тегло на продадените ябълки и получете средната цена за 1 кг ябълки: (рубли).

Отговор: средната цена на 1 кг продадени ябълки е 80 рубли.

Средната аритметична стойност помага да се оценят данните като цяло, без да се взема всяка стойност поотделно.

Въпреки това, не винаги е възможно да се използва понятието средно аритметично.

Пример 4

Стрелецът стреля два пъти по мишената (виж Фиг. 2): първият път попадна на метър над мишената, а вторият път попадна на метър под нея. Средно аритметичното ще покаже, че той е уцелил точно центъра, въпреки че е пропуснал и двата пъти.

Ориз. 2. Илюстрация например

В този урок научихме за понятието средно аритметично. Научихме дефиницията на това понятие, научихме се как да изчисляваме средно аритметично за няколко числа. Ние също научихме практическа употребатази концепция.

1. Н.Я. Виленкин. Математика: учебник. за 5 клас. общо образование учр. - Ед. 17-ти. - М .: Мнемозина, 2005.
)
2. Игор имаше 45 рубли със себе си, Андрей имаше 28, а Денис имаше 17.
3. С всичките си пари те купиха 3 билета за кино. Колко струваше един билет?

Темата за средно аритметично и средно геометрично е включена в програмата по математика за 6-7 клас. Тъй като параграфът е доста лесен за разбиране, той бързо се подминава и до края на учебната година учениците го забравят. Но са необходими познания по основни статистики полагане на Единния държавен изпит, а също и за международни изпити SAT. А за ежедневието развитото аналитично мислене никога не вреди.

Как се изчислява средно аритметично и средно геометрично на числа

Да кажем, че има поредица от числа: 11, 4 и 3. Средната аритметична стойност е сумата от всички числа, разделена на броя на дадените числа. Тоест в случай на числата 11, 4, 3 отговорът ще бъде 6. Как се получава 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Знаменателят трябва да съдържа число, равно на броя на числата, чиято средна стойност трябва да се намери. Сборът се дели на 3, тъй като има три члена.

Сега трябва да намерим средното геометрично. Да кажем, че има поредица от числа: 4, 2 и 8.

Средната геометрична стойност на числата е произведението на всички дадени числа, намиращи се под корена със степен, равна на броя на дадените числа.Тоест в случая на числата 4, 2 и 8 отговорът ще бъде 4. Ето как оказа се:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

И в двата варианта получихме цели отговори, тъй като за примера бяха взети специални числа. Това не винаги се случва. В повечето случаи отговорът трябва да бъде закръглен или оставен в основата. Например за числата 11, 7 и 20 средноаритметичното е ≈ 12,67, а средното геометрично е ∛1540. А за числата 6 и 5 отговорите ще бъдат съответно 5,5 и √30.

Възможно ли е средноаритметичното да стане равно на средното геометрично?

Разбира се, че може. Но само в два случая. Ако има поредица от числа, състояща се само от единици или нули. Прави впечатление също, че отговорът не зависи от броя им.

Доказателство с единици: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (средно аритметично).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(средногеометрично).

Доказателство с нули: (0 + 0) / 2=0 (средно аритметично).

√(0 × 0) = 0 (средно геометрично).

Друг вариант няма и не може да има.

Най-вече в ек. На практика трябва да използваме средноаритметичната стойност, която може да се изчисли като проста и среднопретеглена аритметична стойност.

Средно аритметично (SA)-нНай-често срещаният тип средно. Използва се в случаите, когато обемът на различна характеристика за цялата съвкупност е сумата от стойностите на характеристиките на нейните отделни единици. Социалните явления се характеризират с адитивност (тоталност) на обемите на различна характеристика; това определя обхвата на приложение на SA и обяснява разпространението му като общ показател, например: общият фонд работна заплата е сумата от заплатите на всички служители.

За да изчислите SA, трябва да разделите сумата от всички стойности на характеристиките на техния брой. SA се използва в 2 форми.

Нека първо разгледаме просто средно аритметично.

1-CA проста (първоначална, определяща форма) е равна на простата сума на отделните стойности на осреднената характеристика, разделена на общия брой на тези стойности (използва се, когато има негрупирани стойности на индекса на характеристиката):

Направените изчисления могат да се обобщят в следната формула:

(1)

Където - средната стойност на вариращата характеристика, т.е. простото средно аритметично;

означава сумиране, т.е. добавяне на индивидуални характеристики;

х- индивидуални стойности на различна характеристика, които се наричат ​​варианти;

н - брой единици от съвкупността

Пример 1,изисква се да се намери средната производителност на един работник (механик), ако се знае колко части е произвел всеки от 15 работници, т.е. дадена поредица от инд. стойности на атрибути, бр.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Обикновено SA се изчислява по формула (1), бр.:

Пример2. Нека изчислим SA въз основа на условни данни за 20 магазина, включени в търговската компания (Таблица 1). маса 1

Разпределение на магазините на търговска фирма "Весна" по търговска площ, кв. М

Магазин №		Магазин №

За да изчислите средната площ на магазина ( ) е необходимо да се сумират площите на всички магазини и да се раздели полученият резултат на броя на магазините:

Така средната площ на магазина за тази група предприятия за търговия на дребно е 71 кв.м.

Следователно, за да определите проста SA, ви е необходима сумата от всички стойности на тази характеристикаразделено на броя единици, притежаващи тази характеристика.

2

Където f 1 , f 2 , … ,f н – тегло (честота на повторение на еднакви знаци);

– сумата от произведенията на големината на признаците и техните честоти;

– общият брой единици от съвкупността.

- SA претеглено - ССредата на опциите, които се повтарят различен брой пъти или, както се казва, имат различна тежест. Теглата са броят единици в различни групиагрегати (идентични опции се комбинират в група). SA претеглено – средно от групираните стойности х 1 , х 2 , .., хн, – изчислено: (2)

Където х- настроики;

f- честота (тегло).

Претеглената SA е частното от разделянето на сумата от продуктите на опциите и съответните им честоти на сумата от всички честоти. Честоти ( f), които се появяват във формулата на SA, обикновено се извикват везни, в резултат на което SA, изчислена с отчитане на теглата, се нарича претеглена.

Ще илюстрираме техниката за изчисляване на претеглена SA с помощта на обсъдения по-горе пример 1. За да направим това, ще групираме първоначалните данни и ще ги поставим в таблицата.

Средната стойност на групираните данни се определя по следния начин: първо опциите се умножават по честотите, след това продуктите се добавят и получената сума се разделя на сумата от честотите.

Съгласно формула (2), претеглената SA е равна, бр.:

Разпределяне на работници за производство на части

П

Представените в предходния пример 2 данни могат да се комбинират в хомогенни групи, които са представени в табл. Таблица

Разпределение на магазини Весна по търговска площ, кв. м

Така резултатът беше същият. Това обаче вече ще бъде средноаритметична претеглена стойност.

В предишния пример изчислихме средната аритметична стойност, при условие че са известни абсолютните честоти (брой магазини). Въпреки това, в редица случаи липсват абсолютни честоти, но са известни относителни честоти или, както обикновено се наричат, честоти, които показват пропорцията илипропорцията на честотите в целия набор.

При изчисляване на SA претеглена употреба честотиви позволява да опростите изчисленията, когато честотата е изразена в големи, многоцифрени числа. Изчислението се извършва по същия начин, но тъй като средната стойност се оказва увеличена 100 пъти, резултатът трябва да се раздели на 100.

Тогава формулата за среднопретеглената аритметична стойност ще изглежда така:

Където д- честота, т.е. делът на всяка честота в общата сума на всички честоти.

(3)

В нашия пример 2 първо определяме дела на магазините по групи в общия брой магазини на фирма Весна. И така, за първата група специфичното тегло съответства на 10%
. Получаваме следните данни Таблица3

) и проба средно(и).

Енциклопедичен YouTube

• 1 / 5

  Нека обозначим набора от данни х = (х 1 , х 2 , …, х н), тогава средната стойност на извадката обикновено се обозначава с хоризонтална лента над променливата (произнася се " хс линия").

  Гръцката буква μ се използва за означаване на средноаритметичното на цялата съвкупност. За случайна променлива, за която се определя средната стойност, μ е вероятностна среднаили математическо очакване на случайна променлива. Ако наборът хе колекция от случайни числа с вероятностна средна стойност μ, тогава за всяка извадка х азот този набор μ = E( х аз) е математическото очакване на тази извадка.

  На практика разликата между μ и x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))е, че μ е типична променлива, защото можете да видите извадка, а не цялата популация. Следователно, ако извадката е случайна (от гледна точка на теорията на вероятностите), тогава x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(но не μ) може да се третира като случайна променлива с вероятностно разпределение върху извадката (вероятностно разпределение на средната стойност).

  И двете количества се изчисляват по същия начин:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Примери

  • За три числа трябва да ги съберете и разделите на 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • За четири числа трябва да ги съберете и разделите на 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Или по-просто 5+5=10, 10:2. Тъй като събирахме 2 числа, което означава, че колко числа добавяме, делим на толкова.

  Непрекъсната случайна променлива

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Някои проблеми при използването на средната стойност

  Липса на здравина

  Въпреки че средните аритметични стойности често се използват като средни стойности или централни тенденции, тази концепция не е стабилна статистика, което означава, че средната аритметична стойност е силно повлияна от „големи отклонения“. Трябва да се отбележи, че за разпределения с голям коефициент на асиметрия, средната аритметична стойност може да не съответства на концепцията за „средна стойност“, а стойностите на средната стойност от стабилна статистика (например медианата) може по-добре да опишат централната тенденция.

  Класически пример е изчисляването на средния доход. Средната аритметична стойност може да се тълкува погрешно като медиана, което може да доведе до извода, че има повече хора с по-високи доходи, отколкото в действителност. „Средният“ доход се тълкува като означаващ, че повечето хора имат доходи около това число. Този „среден“ (в смисъла на средноаритметичния) доход е по-висок от доходите на повечето хора, тъй като високият доход с голямо отклонение от средния прави средноаритметичното силно изкривено (за разлика от това средният доход при медианата „съпротивлява“ на такова изкривяване). Въпреки това, този „среден“ доход не казва нищо за броя на хората близо до средния доход (и не казва нищо за броя на хората близо до модалния доход). Въпреки това, ако приемете с лека ръка понятията „среден“ и „повечето хора“, можете да направите неправилното заключение, че повечето хора имат доходи, по-високи, отколкото са в действителност. Например, отчет за „средния“ нетен доход в Медина, Вашингтон, изчислен като средната аритметична стойност на всички годишни нетни доходи на жителите, изненадващо ще даде голямо числозаради Бил Гейтс. Разгледайте извадката (1, 2, 2, 2, 3, 9). Средната аритметична стойност е 3,17, но пет от шест стойности са под тази средна стойност.

  Сложна лихва

  Ако числата умножават се, но не гънка, трябва да използвате средното геометрично, а не средното аритметично. Най-често този инцидент се случва при изчисляване на възвръщаемостта на инвестициите във финансите.

  Например, ако дадена акция падне с 10% през първата година и се повиши с 30% през втората, тогава е неправилно да се изчисли „средното“ увеличение през тези две години като средно аритметично (−10% + 30%) / 2 = 10%; правилната средна стойност в този случай е дадена от комбинирания годишен темп на растеж, който дава годишен темп на растеж от само около 8,16653826392% ≈ 8,2%.

  Причината за това е, че процентите имат нова начална точка всеки път: 30% са 30% от число, по-малко от цената в началото на първата година:ако една акция е започнала от $30 и е паднала с 10%, тя струва $27 в началото на втората година. Ако акциите се покачат с 30%, ще струват $35,1 в края на втората година. Средната аритметична стойност на този растеж е 10%, но тъй като акциите са се повишили само с $5,1 за 2 години, средният растеж от 8,2% дава краен резултат от $35,1:

  [$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Ако използваме средната стойност по същия начин аритметична стойност 10%, няма да получим действителната стойност: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

  Сложна лихва в края на 2 години: 90% * 130% = 117%, т.е. общото увеличение е 17%, а средната годишна сложна лихва 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\приблизително 108,2\%), тоест средногодишно увеличение от 8,2%.Тази цифра е невярна по две причини.

  Средната стойност за циклична променлива, изчислена с помощта на горната формула, ще бъде изкуствено изместена спрямо реалната средна стойност към средата на числения диапазон. Поради това средната стойност се изчислява по различен начин, а именно числото с най-малка дисперсия ( Централна точка). Освен това вместо изваждане се използва модулното разстояние (т.е. периферното разстояние). Например, модулното разстояние между 1° и 359° е 2°, а не 358° (на окръжността между 359° и 360°==0° - един градус, между 0° и 1° - също 1°, общо - 2 °).