(от гръцки λόγος - "дума", "отношение" и ἀριθμός - "число") числа bбазиран на а(log α b) се нарича такова число ° С, И b= a c, тоест записва log α b=° СИ b=a° Сса еквивалентни. Логаритъмът има смисъл, ако a > 0, a ≠ 1, b > 0.

С други думи логаритъмчисла bбазиран на Аформулиран като показател, до който трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъм съществува само за положителни числа).

От тази формулировка следва, че изчислението x= log α b, е еквивалентно на решаването на уравнението a x =b.

Например:

log 2 8 = 3, защото 8 = 2 3 .

Нека подчертаем, че посочената формулировка на логаритъма позволява незабавното определяне логаритмична стойност, когато числото под знака на логаритъма действа като определена степен на основата. Наистина, формулировката на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bбазиран на аравно на с. Също така е ясно, че темата за логаритмите е тясно свързана с темата степени на число.

Изчисляването на логаритъм се нарича логаритъм. Логаритъмът е математическа операция за вземане на логаритъм. Когато се вземат логаритми, продуктите от фактори се трансформират в суми от членове.

Потенциранее обратната математическа операция на логаритъма. По време на потенцирането дадена основа се повишава до степента на изразяване, върху която се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се трансформират в произведение на фактори.

Доста често се използват реални логаритми с основи 2 (двоични), числото на Ойлер e ≈ 2,718 (натурален логаритъм) и 10 (десетичен).

На този етап е препоръчително да се обмисли логаритмични пробидневник 7 2 , вътре √ 5, lg0,0001.

И записите lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 нямат смисъл, тъй като в първия от тях отрицателно число се поставя под знака на логаритъма, във втория - отрицателно числов основата, а в третата - както отрицателно число под знака на логаритъма, така и единица в основата.

Условия за определяне на логаритъма.

Струва си да разгледаме отделно условията a > 0, a ≠ 1, b > 0. при които получаваме дефиниция на логаритъм.Нека помислим защо бяха взети тези ограничения. Равенство от формата x = log α ще ни помогне с това b, наречено основно логаритмично тъждество, което пряко следва от дефиницията на логаритъм, дадена по-горе.

Да вземем условието a≠1. Тъй като едно на произволна степен е равно на едно, тогава равенството x=log α bможе да съществува само когато b=1, но log 1 1 ще бъде всяко реално число. За да премахнем тази неяснота, ние приемаме a≠1.

Нека докажем необходимостта от условието а>0. При а=0според формулировката на логаритъма може да съществува само когато b=0. И съответно тогава дневник 0 0може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула на всяка ненулева степен е нула. Тази неяснота може да бъде премахната от условието a≠0. И когато а<0 би трябвало да отхвърлим анализа на рационални и ирационални стойности на логаритъма, тъй като степен с рационален и ирационален експонент се определя само за неотрицателни основи. Именно поради тази причина е предвидено условието а>0.

И последното условие b>0следва от неравенството а>0, тъй като x=log α b, и стойността на степента с положителна основа авинаги позитивен.

Характеристики на логаритмите.

Логаритмихарактеризиращ се с отличителен Характеристика, което доведе до широкото им използване за значително улесняване на старателните изчисления. Когато се преместите „в света на логаритмите“, умножението се трансформира в много по-лесно събиране, делението се трансформира в изваждане, а степенуването и извличането на корен се трансформират съответно в умножение и деление с експонента.

Формулиране на логаритми и таблица на техните стойности (за тригонометрични функции) е публикуван за първи път през 1614 г. от шотландския математик Джон Напиер. Логаритмичните таблици, разширени и детайлизирани от други учени, бяха широко използвани в научни и инженерни изчисления и останаха актуални до използването на електронни калкулатори и компютри.

Логаритъм на число н базиран на А наречен експонента х , към който трябва да изградите А за да получите номера н

При условие че
,
,

От определението за логаритъм следва, че
, т.е.
- това равенство е основното логаритмично тъждество.

Логаритмите по основа 10 се наричат ​​десетични логаритми. Вместо
пишете
.

Логаритми към основата д се наричат ​​естествени и се обозначават
.

Основни свойства на логаритмите.

Логаритъмът от едно е равен на нула за всяка основа.

Логаритъм на произведението равно на суматалогаритми от фактори.

3) Логаритъм на частното равно на разликаталогаритми

Фактор
наречен модул на преход от логаритмите към основата а до логаритми в основата b .

Използвайки свойства 2-5, често е възможно да се намали логаритъма на сложен израз до резултата от прости аритметични операции върху логаритми.

Например,

Такива трансформации на логаритъм се наричат ​​логаритми. Трансформациите, обратни на логаритмите, се наричат ​​потенциране.

Глава 2. Елементи на висшата математика.

1. Граници

Граница на функцията
е крайно число A, ако, като xx 0 за всеки предварително определен
, има такъв номер
че веднага щом
, Че
.

Функция, която има граница, се различава от нея с безкрайно малка сума:
, където- б.м.в., т.е.
.

Пример. Помислете за функцията
.

При стремеж
, функция г клони към нула:

1.1. Основни теореми за границите.

Границата на постоянна стойност е равна на тази постоянна стойност

.

Границата на сумата (разликата) на краен брой функции е равна на сумата (разликата) на границите на тези функции.

Границата на произведението на краен брой функции е равна на произведението на границите на тези функции.

Границата на частното на две функции е равна на частното на границите на тези функции, ако границата на знаменателя не е нула.

Прекрасни граници

,
, Където

1.2. Примери за изчисляване на лимити

Не всички лимити обаче се изчисляват толкова лесно. По-често изчисляването на лимита се свежда до разкриване на несигурност от вида: или .

.

2. Производна на функция

Нека имаме функция
, непрекъснат на сегмента
.

Аргумент получи известно увеличение
. Тогава функцията ще получи увеличение
.

Стойност на аргумента съответства на стойността на функцията
.

Стойност на аргумента
съответства на стойността на функцията.

Следователно, .

Нека намерим границата на това отношение при
. Ако тази граница съществува, тогава тя се нарича производна на дадената функция.

Определение 3 Производна на дадена функция
по аргумент се нарича границата на съотношението на нарастването на функция към увеличението на аргумента, когато увеличението на аргумента произволно клони към нула.

Производна на функция
може да се обозначи, както следва:

; ; ; .

Определение 4Операцията за намиране на производната на функция се нарича диференциация.

2.1. Механично значение на производната.

Нека разгледаме праволинейното движение на някакво твърдо тяло или материална точка.

Нека в някакъв момент от времето подвижна точка
беше на разстояние от изходна позиция
.

След известен период от време
тя се премести на разстояние
. Поведение =- Средната скоростматериална точка
. Нека намерим границата на това отношение, като вземем предвид това
.

Следователно определянето на моментната скорост на движение на материална точка се свежда до намиране на производната на пътя по отношение на времето.

2.2. Геометрична стойност на производната

Нека имаме графично дефинирана функция
.

Ориз. 1. Геометричен смисъл на производната

Ако
, след това точка
, ще се движи по кривата, приближавайки се до точката
.

Следователно
, т.е. стойността на производната за дадена стойност на аргумента числено равен на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната в дадена точка с положителната посока на оста
.

2.3. Таблица с основни формули за диференциране.

Силова функция

Експоненциална функция

Логаритмична функция

Тригонометрична функция

Обратна тригонометрична функция

2.4. Правила за диференциране.

Производно на

Производна на сумата (разликата) на функциите

Производна на произведението на две функции

Производна на частното на две функции

2.5. Производно на сложна функция.

Нека функцията е дадена
така че да може да бъде представен във формата

И
, където променливата тогава е междинен аргумент

Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на дадената функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на x.

Пример 1.

Пример 2.

3. Диференциална функция.

Нека има
, диференцируеми на някакъв интервал
остави при тази функция има производна

,

тогава можем да пишем

(1),

Където - безкрайно малко количество,

откога

Умножавайки всички членове на равенство (1) по
ние имаме:

Където
- б.м.в. по-висок ред.

величина
наречен диференциал на функцията
и е обозначен

.

3.1. Геометрична стойност на диференциала.

Нека функцията е дадена
.

Фиг.2. Геометрично значение на диференциала.

.

Очевидно диференциалът на функцията
е равно на увеличението на ординатата на допирателната в дадена точка.

3.2. Производни и диференциали от различен порядък.

Ако има
, Тогава
се нарича първа производна.

Производната на първата производна се нарича производна от втори ред и се записва
.

Производна от n-ти ред на функцията
се нарича производна от (n-1) ред и се записва:

.

Диференциалът на диференциала на функция се нарича втори диференциал или диференциал от втори ред.

.

.

3.3 Решаване на биологични проблеми с помощта на диференциация.

Задача 1. Проучванията показват, че растежът на колония от микроорганизми се подчинява на закона
, Където н – брой микроорганизми (в хиляди), T – време (дни).

б) Ще се увеличи ли или ще намалее населението на колонията през този период?

Отговор. Размерът на колонията ще се увеличи.

Задача 2. Водата в езерото периодично се изследва за съдържанието на патогенни бактерии. През T дни след изследването концентрацията на бактерии се определя от съотношението

.

Кога езерото ще има минимална концентрация на бактерии и ще може ли да се плува в него?

Решение: Функция достига max или min, когато нейната производна е нула.

,

Нека определим максимума или минимума ще бъде след 6 дни. За да направим това, нека вземем втората производна.

Отговор: След 6 дни ще има минимална концентрация на бактерии.

основни свойства.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

идентични основания

Log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете значението на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете значението на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, вие ще знаете и точна стойностизложители и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

2.

3.

4. Където .

Пример 2. Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се добавят, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Забележка: ключов моментТук - идентични основания. Ако причините са други, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израздори когато отделните му части не се броят (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много от тях са изградени върху този факт тестови работи. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Логаритмични формули. Логаритми примерни решения.

Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в конвенционалните числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само като се реши логаритмични уравненияи неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като произведението не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се заехме с логаритми.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преход към нова база, основната логаритмично тъждествопонякога това е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Имайте предвид, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Разглеждане на правилата за умножение на степени с същата основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
2. log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Вижте също:

Логаритъмът от b при основа а означава израза. Да се ​​изчисли логаритъм означава да се намери степен x (), при която равенството е изпълнено

Основни свойства на логаритъма

Необходимо е да се знаят горните свойства, тъй като почти всички задачи и примери, свързани с логаритми, се решават на тяхна основа. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Когато изчислявате формулата за сбора и разликата на логаритмите (3.4), срещате доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или две.
Логаритъмът по основа десет обикновено се нарича десетичен логаритъм и се означава просто с lg(x).

От записа става ясно, че в записа не са написани основните неща. Например

Натурален логаритъм е логаритъм, чиято основа е показател (обозначен с ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой. Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм при основа две е означен с

Производната на логаритъма на функция е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или противопроизводният логаритъм се определя от връзката

Даденият материал е достатъчен за решаване на широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За да ви помогна да разберете материала, ще дам само няколко общи примера от училищна програмаи университети.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

2.
По свойството разлика на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

4. Където .

По външния вид сложен изразизползването на редица правила е опростено да се формира

Намиране на логаритмични стойности

Пример 2. Намерете x if

Решение. За изчисление прилагаме към последния термин 5 и 13 свойства

Записваме го и скърбим

Тъй като основите са равни, приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Нека вземем логаритъм на променливата, за да запишем логаритъма чрез сумата от нейните членове

Това е само началото на нашето запознаване с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от знанията, които придобивате, за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ще разширим знанията ви към друга също толкова важна тема - логаритмичните неравенства...

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се добавят, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са други, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм.

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като произведението не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се заехме с логаритми.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Имайте предвид, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
2. log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Да започнем с свойства на логаритъма от едно. Неговата формулировка е следната: логаритъмът от единица е равен на нула, т.е. log a 1=0за всяко a>0, a≠1. Доказателството не е трудно: тъй като a 0 =1 за всяко a, удовлетворяващо горните условия a>0 и a≠1, тогава равенството log a 1=0, което трябва да се докаже, следва непосредствено от дефиницията на логаритъма.

Нека дадем примери за приложението на разглежданото свойство: log 3 1=0, log1=0 и .

Да преминем към следващото свойство: логаритъм на числото, равен на основата, равно на едно, това е, log a a=1за a>0, a≠1. Наистина, тъй като a 1 =a за всяко a, тогава по дефиниция логаритмичен дневник a a=1 .

Примери за използване на това свойство на логаритмите са равенствата log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.

Например log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .

Логаритъм от произведението на две положителни числа x и y е равно на произведението от логаритмите на тези числа: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Нека докажем свойството на логаритъма на произведение. Поради свойствата на степента a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и тъй като чрез основното логаритмично тъждество a log a x =x и a log a y =y, тогава a log a x ·a log a y =x·y. Така, a log a x+log a y =x·y, от което по дефиницията на логаритъм следва доказваното равенство.

Нека покажем примери за използване на свойството на логаритъм на продукт: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Свойството на логаритъм на произведение може да се обобщи до произведението на крайно число n от положителни числа x 1 , x 2 , …, x n като log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Това равенство може да се докаже без проблеми.

Например, естественият логаритъм на продукт може да бъде заменен със сбора от три естествени логаритмичислата 4, e и.

Логаритъм от частното на две положителни числа x и y е равно на разликата между логаритмите на тези числа. Свойството логаритъм на частно съответства на формула от вида , където a>0, a≠1, x и y са някои положителни числа. Валидността на тази формула е доказана, както и на формулата за логаритъм на произведение: тъй като , тогава по дефиниция на логаритъм.

Ето пример за използване на това свойство на логаритъма: .

Да преминем към свойство на логаритъма на степента. Логаритъмът на степента е равен на произведението на степента и логаритъма на модула на основата на тази степен. Нека запишем това свойство на логаритъма на степен като формула: log a b p =p·log a |b|, където a>0, a≠1, b и p са такива числа, че степента b p има смисъл и b p >0.

Първо доказваме това свойство за положително b. Основното логаритмично тъждество ни позволява да представим числото b като log a b, тогава b p =(a log a b) p и полученият израз, поради свойството степен, е равен на p·log a b. Така стигаме до равенството b p =a p·log a b, от което по дефиницията на логаритъм заключаваме, че log a b p =p·log a b.

Остава да докажем това свойство за отрицателно b. Тук отбелязваме, че изразът log a b p за отрицателно b има смисъл само за четни показатели p (тъй като стойността на степента b p трябва да е по-голяма от нула, в противен случай логаритъма няма да има смисъл), и в този случай b p =|b| стр. Тогава b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, от където log a b p =p·log a |b| .

Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Следва от предишното свойство свойство на логаритъма от корена: логаритъма на n-тия корен е равен на произведението на дробта 1/n по логаритъма на радикалния израз, т.е. , където a>0, a≠1, n – естествено число, по-голямо от едно, b>0.

Доказателството се основава на равенството (виж), което е валидно за всяко положително b, и свойството на логаритъма на степента: .

Ето пример за използване на това свойство: .

Сега да докажем формула за преминаване към нова основа на логаритъмТип . За целта е достатъчно да се докаже валидността на равенството log c b=log a b·log c a. Основната логаритмична идентичност ни позволява да представим числото b като log a b, след което log c b=log c a log a b. Остава да използваме свойството на логаритъма на степента: log c a log a b =log a b log c a. Това доказва равенството log c b=log a b·log c a, което означава, че е доказана и формулата за преминаване към нова основа на логаритъма.

Нека да покажем няколко примера за използване на това свойство на логаритмите: и .

Формулата за преминаване към нова база ви позволява да преминете към работа с логаритми, които имат „удобна“ база. Например, може да се използва за преминаване към естествени или десетични логаритми, така че да можете да изчислите стойността на логаритъм от таблица с логаритми. Формулата за преминаване към нова основа на логаритъм също позволява в някои случаи да се намери стойността на даден логаритъм, когато са известни стойностите на някои логаритми с други бази.

Използва се често специален случайформули за преминаване към нова основа на логаритъм с c=b на формата . Това показва, че log a b и log b a – . напр. .

Често се използва и формулата , което е удобно за намиране на логаритмични стойности. За да потвърдим думите си, ще покажем как може да се използва за изчисляване на стойността на логаритъм от формата . Ние имаме . За доказване на формулата достатъчно е да използвате формулата за преход към нова основа на логаритъма a: .

Остава да се докажат свойствата на сравнение на логаритми.

Нека докажем, че за всякакви положителни числа b 1 и b 2, b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенството log a b 1

Накрая остава да докажем последното от изброените свойства на логаритмите. Нека се ограничим до доказателството на първата му част, тоест ще докажем, че ако a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b>log a 2 b . Останалите твърдения на това свойство на логаритмите се доказват по подобен принцип.

Нека използваме обратния метод. Да предположим, че за a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b≤log a 2 b . Въз основа на свойствата на логаритмите, тези неравенства могат да бъдат пренаписани като И съответно и от тях следва, че log b a 1 ≤log b a 2 и съответно log b a 1 ≥log b a 2. Тогава, според свойствата на степените с еднакви основи, трябва да са валидни равенствата b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, тоест a 1 ≥a 2 . Така че стигнахме до противоречие с условието a 1

Библиография.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в технически училища).

Един от елементите на алгебрата на примитивното ниво е логаритъмът. Името идва от гръцки език от думата „число” или „степен” и означава степента, на която трябва да се повдигне числото в основата, за да се намери крайното число.

Видове логаритми

• log a b – логаритъм на числото b по основа a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – десетичен логаритъм (логаритъм по основа 10, a = 10);
• ln b – натурален логаритъм (логаритъм при основа e, a = e).

Как се решават логаритми?

Логаритъмът от b при основа a е показател, който изисква b да бъде повдигнато при основа a. Полученият резултат се произнася по следния начин: „логаритъм от b към основа a“. Решението на логаритмичните задачи е, че трябва да определите дадената степен в числа от посочените числа. Има някои основни правила за определяне или решаване на логаритъма, както и за преобразуване на самата нотация. Чрез тях се решават логаритмични уравнения, намират се производни, решават се интеграли и се извършват много други операции. По принцип решението на самия логаритъм е неговата опростена нотация. По-долу са основните формули и свойства:

За всяко a ; а > 0; a ≠ 1 и за всяко x ; y > 0.

• a log a b = b – основно логаритмично тъждество
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – формула за преместване към нова база
• log a x = 1/log x a

Как се решават логаритми - инструкции за решение стъпка по стъпка

• Първо, запишете необходимото уравнение.

Моля, обърнете внимание: ако основният логаритъм е 10, тогава записът се съкращава, което води до десетичен логаритъм. Ако има естествено число e, тогава го записваме, редуцирайки го до натурален логаритъм. Това означава, че резултатът от всички логаритми е степента, на която се повишава основното число, за да се получи числото b.

Директно решението се крие в изчисляването на тази степен. Преди да решите израз с логаритъм, той трябва да бъде опростен според правилото, тоест с помощта на формули. Можете да намерите основните идентичности, като се върнете малко назад в статията.

Когато събирате и изваждате логаритми с две различни числа, но с еднакви основи, заменете с един логаритъм с произведението или деленето съответно на числата b и c. В този случай можете да приложите формулата за преместване в друга база (вижте по-горе).

Ако използвате изрази за опростяване на логаритъм, трябва да имате предвид някои ограничения. А това е: основата на логаритъма а е само положително число, но не е равно на единица. Числото b, подобно на a, трябва да е по-голямо от нула.

Има случаи, в които, като опростите израз, няма да можете да изчислите логаритъма числено. Случва се такъв израз да няма смисъл, защото много степени са ирационални числа. При това условие оставете степента на числото като логаритъм.