Няма значение коя училищна програма съдържа такъв предмет като геометрия. Всеки от нас като студент е изучавал тази дисциплина и е решавал определени задачи. Но за много хора ученическите години са зад гърба им и част от придобитите знания са изтрити от паметта.

Но какво ще стане, ако изведнъж трябва да намерите отговора на определен въпрос от училищен учебник, например как да намерите височината в правоъгълен триъгълник? В този случай модерен напреднал компютърен потребител първо ще отвори Интернет и ще намери информацията, която го интересува.

Основна информация за триъгълниците

Тази геометрична фигура се състои от 3 сегмента, свързани помежду си в крайните точки, като допирните точки на тези точки не са на една и съща права линия. Отсечките, които образуват триъгълника, се наричат ​​негови страни. Съединенията на страните образуват върховете на фигурата, както и нейните ъгли.

Видове триъгълници в зависимост от ъглите

Тази фигура може да има 3 вида ъгли: остри, тъпи и прави. В зависимост от това сред триъгълниците се разграничават следните разновидности:

Видове триъгълници в зависимост от дължината на страните

Както споменахме по-рано, тази фигура се появява от 3 сегмента. Въз основа на техния размер се разграничават следните видове триъгълници:

Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

Две подобни страни на правоъгълен триъгълник, които образуват прав ъгъл в точката на контакт, се наричат ​​катети. Сегментът, който ги свързва, се нарича "хипотенуза". За да намерите височината в дадена геометрична фигура, трябва да спуснете линия от върха прав ъгълкъм хипотенузата. С всичко това тази линия трябва да разделя ъгъла на 90? точно наполовина. Такъв сегмент се нарича ъглополовяща.

Картината по-горе показва правоъгълен триъгълник, чиято височина ще трябва да изчислим. Това може да стане по няколко начина:

Ако начертаете кръг около триъгълник и начертаете радиус, стойността му ще бъде половината от размера на хипотенузата. Въз основа на това височината на правоъгълен триъгълник може да се изчисли по формулата:

Правоъгълен триъгълник - това е триъгълник, в който един от ъглите е прав, тоест равен на 90 градуса.

• Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза (на фигурата е посочена като ° Сили AB)
• Страната, съседна на правия ъгъл, се нарича крак. Всеки правоъгълен триъгълник има два крака (на фигурата те са обозначени като аи b или AC и BC)

Формули и свойства на правоъгълен триъгълник

Обозначения на формули:

(вижте снимката по-горе)

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза

α, β - остри ъгли на триъгълник

С- квадрат

ч- височина, спусната от върха на прав ъгъл до хипотенузата

m a аот срещуположния ъгъл ( α )

m b- медиана, изтеглена настрани bот срещуположния ъгъл ( β )

m c- медиана, изтеглена настрани ° Сот срещуположния ъгъл ( γ )

IN правоъгълен триъгълник някой от катетите е по-малък от хипотенузата(Формула 1 и 2). Това свойство е следствие от Питагоровата теорема.

Косинус на който и да е от острите ъглипо-малко от едно (Формула 3 и 4). Това свойство следва от предишното. Тъй като всеки от катетите е по-малък от хипотенузата, съотношението на катета към хипотенузата винаги е по-малко от едно.

Квадрат на хипотенузата равно на суматаквадрати на краката (теорема на Питагор). (Формула 5). Това свойство се използва постоянно при решаване на проблеми.

Площ на правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на краката (Формула 6)

Сума от медианите на квадраткъм катетите е равно на пет квадрата от медианата на хипотенузата и пет квадрата от хипотенузата, делено на четири (Формула 7). В допълнение към горното има Още 5 формули, затова се препоръчва да прочетете и урока „Медиана на правоъгълен триъгълник“, който описва свойствата на медианата по-подробно.

Височинана правоъгълен триъгълник е равно на произведението на катетите, разделено на хипотенузата (Формула 8)

Квадратите на краката са обратно пропорционални на квадрата на височината, спусната до хипотенузата (Формула 9). Това тъждество също е едно от следствията на Питагоровата теорема.

Дължина на хипотенузатаравен на диаметъра (два радиуса) на описаната окръжност (Формула 10). Хипотенуза на правоъгълен триъгълник е диаметърът на описаната окръжност. Това свойство често се използва при решаване на проблеми.

Вписан радиус V правоъгълен триъгълник кръгможе да се намери като половината от израза, включващ сумата от катетите на този триъгълник минус дължината на хипотенузата. Или като произведението на краката, разделено на сбора от всички страни (периметър) на даден триъгълник. (Формула 11)
Синус от ъгъл отношение към противоположнототози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 12). Това свойство се използва при решаване на проблеми. Познавайки размерите на страните, можете да намерите ъгъла, който образуват.

Косинусът на ъгъл A (α, алфа) в правоъгълен триъгълник ще бъде равен на поведение съседентози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 13)

(ABC)и неговите свойства, които са представени на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл.

Съвет 1: Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. На снимката са показани страните AD, DC и BD, DC- крака и страни ACИ NE- хипотенуза.

Теорема 1. В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° противоположният на този ъгъл катет ще прекъсне половината от хипотенузата.

hC

AB- хипотенуза;

ADИ DВ

Триъгълник
Има една теорема:
система за коментари КАКАЛд

Решение: 1) Диагоналите на всеки правоъгълник са равни Вярно 2) Ако има такъв остър ъгъл, тогава този триъгълник е остър. Не е вярно. Видове триъгълници. Триъгълникът се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, т.е. по-малки от 90° 3) Ако точката лежи върху.

Или в друг запис,

Според Питагоровата теорема

Каква е формулата за височината на правоъгълен триъгълник?

Височина на правоъгълен триъгълник

Височината на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, може да бъде намерена по един или друг начин в зависимост от данните в постановката на задачата.

Или в друг запис,

Където BK и KC са проекциите на краката върху хипотенузата (отсечките, на които височината разделя хипотенузата).

Надморската височина до хипотенузата може да се намери чрез площта на правоъгълен триъгълник. Ако приложим формулата, за да намерим площта на триъгълник

(половината от произведението на страна и височината, прекарана към тази страна) към хипотенузата и височината, прекарана към хипотенузата, получаваме:

От тук можем да намерим височината като съотношение на удвоената площ на триъгълника към дължината на хипотенузата:

Тъй като площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката:

Тоест дължината на височината, изтеглена към хипотенузата, е равна на съотношението на произведението на краката към хипотенузата. Ако означим дължините на катетите с a и b, дължината на хипотенузата с c, формулата може да бъде пренаписана като

Тъй като радиусът на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник е равен на половината от хипотенузата, дължината на надморската височина може да се изрази чрез катетите и радиуса на описаната окръжност:

Тъй като височината, прекарана към хипотенузата, образува още два правоъгълни триъгълника, нейната дължина може да се намери чрез отношенията в правоъгълния триъгълник.

От правоъгълен триъгълник ABK

От правоъгълен триъгълник ACK

Дължината на височината на правоъгълен триъгълник може да бъде изразена чрез дължините на катетите. защото

Според Питагоровата теорема

Ако повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Можете да получите друга формула за свързване на височината на правоъгълен триъгълник с неговите катети:

Каква е формулата за височината на правоъгълен триъгълник?

Правоъгълен триъгълник. Средно ниво.

Искате ли да изпробвате силата си и да разберете резултата от това колко сте готови за Единния държавен изпит или Единния държавен изпит?

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малка площ? Разбира се,. Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги опряхме една срещу друга с хипотенузите им. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека да го съберем сега.

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Забелязали ли сте едно много удобно нещо? Погледнете внимателно знака.

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да И в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Разгледайте темата "Триъгълник" и обърнете внимание, че за равенство на "обикновените" триъгълници трябва да са равни три техни елемента: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точката, в която диагоналите се пресичат. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

Пресечната точка на диагоналите е разделена наполовина.Диагоналите са равни.

И какво следва от това?

Така се оказа, че

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Гледай внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Нека започнем с това „освен това“. "

Но всички подобни триъгълници имат равни ъгли!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Имат еднакви остри ъгли!

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - Две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме Първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Как да вземем втори?

Сега нека приложим сходството на триъгълници и.

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна. Нека ги запишем отново

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всяка задача с правоъгълен триъгълник!

Коментари

Разпространението на материали без одобрение е допустимо, ако има dofollow връзка към страницата източник.

Политика за поверителност

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития. От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения. Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.

Свойство на височината на правоъгълен триъгълник, паднала до хипотенузата

Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели. В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Благодаря ви за съобщението!

Вашият коментар беше приет и след модериране ще бъде публикуван на тази страница.

Искате ли да разберете какво се крие под кройката и да получите ексклузивни материали за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит? Оставете имейла си

Свойства на правоъгълен триъгълник

Да разгледаме правоъгълен триъгълник (ABC)и неговите свойства, които са представени на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. На снимката са показани страните AD, DC и BD, DC- крака и страни ACИ NE- хипотенуза.

Признаци за равенство на правоъгълен триъгълник:

Теорема 1. Ако хипотенузата и катетът на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и катетът на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 2. Ако два катета на правоъгълен триъгълник са равни на два катета на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 3. Ако хипотенузата и острия ъгъл на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и острия ъгъл на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 4. Ако катет и прилежащ (срещу него) остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са равни на катет и прилежащ (срещу него) остър ъгъл на друг триъгълник, то тези триъгълници са еднакви.

Свойства на катет срещу ъгъл от 30°:

Теорема 1.

Височина в правоъгълен триъгълник

В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° катетът срещу този ъгъл ще прекъсне половината от хипотенузата.

Теорема 2. Ако в правоъгълен триъгълник катетът е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът срещу него е 30°.

Ако надморската височина се изтегли от върха на правия ъгъл към хипотенузата, тогава такъв триъгълник се разделя на два по-малки, подобни на изходящия и подобни един на друг. От това следват следните изводи:

1. Височината е средно геометрично (средно пропорционално) на двата сегмента на хипотенузата.
2. Всеки катет на триъгълника е средната пропорционална на хипотенузата и съседните сегменти.

В правоъгълен триъгълник краката действат като надморска височина. Ортоцентърът е точката, в която се пресичат височините на триъгълника. Той съвпада с върха на правия ъгъл на фигурата.

hC- височината, излизаща от правия ъгъл на триъгълника;

AB- хипотенуза;

ADИ DВ- сегменти, които възникват при разделяне на хипотенузата по височина.

Връщане към преглед на информация за дисциплината "Геометрия"

Триъгълнике геометрична фигура, състояща се от три точки (върхове), които не са на една права линия и три отсечки, свързващи тези точки. Правоъгълният триъгълник е триъгълник, чийто ъгъл е 90° (прав ъгъл).
Има една теорема:сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90°.
система за коментари КАКАЛд

Ключови думи:триъгълник, прав ъгъл, катет, хипотенуза, питагорова теорема, окръжност

Триъгълникът се нарича правоъгъленако има прав ъгъл.
Правоъгълният триъгълник има две взаимно перпендикулярни страни, т.нар крака; третата му страна се нарича хипотенуза.

• Според свойствата на перпендикуляра и наклонения, хипотенузата е по-дълга от всеки от краката (но по-малка от тяхната сума).
• Сборът от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е равен на прав ъгъл.
• Две височини на правоъгълен триъгълник съвпадат с неговите катети. Следователно една от четирите забележителни точки попада във върховете на правия ъгъл на триъгълника.
• Центърът на описаната около него правоъгълен триъгълник лежи в средата на хипотенузата.
• Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл към хипотенузата, е радиусът на окръжността, описана около този триъгълник.

Да разгледаме произволен правоъгълен триъгълник ABC и да начертаем височината CD = hc от върха C на неговия прав ъгъл.

Той ще раздели дадения триъгълник на два правоъгълни триъгълника ACD и BCD; всеки от тези триъгълници има общ остър ъгъл с триъгълник ABC и следователно е подобен на триъгълник ABC.

И трите триъгълника ABC, ACD и BCD са подобни един на друг.

От подобието на триъгълниците се определят следните отношения:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Питагорова теоремаедна от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Геометрична формулировка.В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Алгебрична формулировка.В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
Това означава, че дължината на хипотенузата на триъгълника се обозначава с c, а дължините на катетите с a и b:
a2 + b2 = c2

Обратна теорема на Питагор.

Височина на правоъгълен триъгълник

За всяка тройка от положителни числа a, b и c такава, че
a2 + b2 = c2,
Има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• по крака и хипотенузата;
• на два крака;
• по крака и остър ъгъл;
• по хипотенузата и острия ъгъл.

Вижте също:
Площ на триъгълник, равнобедрен триъгълник, равностранен триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. опция 1 .

AD : CD = CD : Б.Д. Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват:

AD : AC = AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ от н.е. Те казват:

BD : пр.н.е : AB. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

1.

а) 70 см; Б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; Д) 53 см.

2. Височината на правоъгълен триъгълник, начертан към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36.

Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; Б) 19; ° С) 9; Д) 12; Д) 18.

4.

а) 30,25; Б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; Д) 32,25.

5.

а) 25; Б) 24; ° С) 27; Д) 26; Д) 21.

6.

а) 8; Б) 7; ° С) 6; Д) 5; Д) 4.

7.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30.

Как да намерим височината в правоъгълен триъгълник?

Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; Б) 16; ° С) 15; Д) 14; Д) 12.

10.

а) 15; Б) 18; ° С) 20; Д) 16; Д) 12.

а) 80; Б) 72; ° С) 64; Д) 81; Д) 75.

12.

а) 7,5; Б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; Д) 7.

Проверете отговорите!

G8.04.1. Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. опция 1 .

В Δ ABC ∠ACV = 90°. AC и BC катети, AB хипотенуза.

CD е надморската височина на триъгълника, начертан към хипотенузата.

AD проекция на крака AC върху хипотенузата,

BD проекция на катета BC върху хипотенузата.

Надморската височина CD разделя триъгълника ABC на два триъгълника, подобни на него (и един на друг): Δ ADC и Δ CDB.

От пропорционалността на страните на подобни Δ ADC и Δ CDB следва:

AD : CD = CD : Б.Д.

Свойство на височината на правоъгълен триъгълник, паднала до хипотенузата.

Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват: надморска височина на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата,е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата.

От сходството на Δ ADC и Δ ACB следва:

AD : AC = AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ от н.е. Те казват: всеки катет е средната пропорционална стойност между цялата хипотенуза и проекцията на този катет върху хипотенузата.

По същия начин, от сходството на Δ CDB и Δ ACB следва:

BD : пр.н.е : AB. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

1. Намерете височината на правоъгълен триъгълник, начертан към хипотенузата, ако той разделя хипотенузата на отсечки 25 cm и 81 cm.

а) 70 см; Б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; Д) 53 см.

2. Надморската височина на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36. Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; Б) 19; ° С) 9; Д) 12; Д) 18.

4. Височината на правоъгълен триъгълник, прекарана към хипотенузата, е 22, проекцията на единия катет е 16. Намерете проекцията на другия катет.

а) 30,25; Б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; Д) 32,25.

5. Катетът на правоъгълен триъгълник е 18, а проекцията му спрямо хипотенузата е 12. Намерете хипотенузата.

а) 25; Б) 24; ° С) 27; Д) 26; Д) 21.

6. Хипотенузата е равна на 32. Намерете страната, чиято проекция върху хипотенузата е равна на 2.

а) 8; Б) 7; ° С) 6; Д) 5; Д) 4.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 45. Намерете страната, чиято проекция върху хипотенузата е 9.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30. Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; Б) 16; ° С) 15; Д) 14; Д) 12.

10. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 41, а проекцията на един от катетите е 16. Намерете дължината на надморската височина, прекарана от върха на правия ъгъл към хипотенузата.

а) 15; Б) 18; ° С) 20; Д) 16; Д) 12.

а) 80; Б) 72; ° С) 64; Д) 81; Д) 75.

12. Разликата в проекциите на катетите върху хипотенузата е 15, а разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата е 4. Намерете радиуса на описаната окръжност.

а) 7,5; Б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; Д) 7.

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълното илюстровано ръководство (2019)

ПРАВИЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

При проблеми правилният ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в това

и в това

Какво му е хубавото на правоъгълния триъгълник? Ами... първо, има специални красиви именаза неговите страни.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: има два катета и има само една хипотенуза(един единствен, единствен и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор в незапомнени времена и оттогава е донесло много ползи на тези, които го познават. И най-хубавото е, че е просто.

Така, Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме същите тези питагорови панталони и да ги разгледаме.

Не прилича ли на някакви шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема или по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площи на квадрати, построен върху краката, е равен на квадратна площ, построен върху хипотенузата."

Наистина ли звучи малко по-различно? И така, когато Питагор нарисува твърдението на своята теорема, това е точно тази картина, която се получава.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да могат децата да запомнят по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли този виц за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема?

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да помнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да го запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Е, най-важната теорема за правоъгълните триъгълници беше обсъдена. Ако ви интересува как се доказва, прочетете следващите нива на теорията, а сега да отидем по-нататък... в тъмната гора... на тригонометрията! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, „истинското“ определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но наистина не искам, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли катет, който е срещу ъгъла, тоест противоположен (за ъгъл) катет? Разбира се, че има! Това е крак!

Какво ще кажете за ъгъла? Гледай внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, кракът. Това означава, че за ъгъла кракът е съседен и

Сега, обърнете внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е готино:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да запиша това с думи сега? Какъв е катетът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - „лежи“ срещу ъгъла. Ами кракът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво имаме?

Вижте как числителят и знаменателят са разменили местата си?

И сега отново ъглите и направиха размяна:

Резюме

Нека накратко запишем всичко, което сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат?

Правилно, .

Какво ще кажете за по-малка площ?

Разбира се,.

Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги опряхме една срещу друга с хипотенузите им.

Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека да го съберем сега.

Нека преобразуваме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. От две страни

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници?

Разгледайте темата “и обърнете внимание, че за равенство на “обикновените” триъгълници трябва да са равни три техни елемента: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни.

Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. По остър ъгъл

II. От две страни

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

защо е така

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Гледай внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Така че нека започнем с това „освен...“.

Нека да разгледаме и.

Но всички подобни триъгълници имат равни ъгли!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна.

Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: .

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• от две страни:
• по катет и хипотенуза: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на два крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна: .

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през краката:
• през катет и остър ъгъл: .

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно завършванеЕдинен държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

На първо място, триъгълникът е геометрична фигура, която се образува от три точки, които не лежат на една права линия и са свързани с три сегмента. За да намерите височината на триъгълник, първо трябва да определите неговия тип. Триъгълниците се различават по големината на ъглите и броя на равните ъгли. Според големината на ъглите триъгълникът бива остроъгълен, тъп и правоъгълен. Въз основа на броя на равните страни триъгълниците се разграничават като равнобедрени, равностранни и мащабни. Височината е перпендикуляр, който се спуска до противоположната странатриъгълник от неговия връх. Как да намерим височината на триъгълник?

Как да намерите височината на равнобедрен триъгълник

Равнобедреният триъгълник се характеризира с равенство на страните и ъглите в основата му, следователно височините на равнобедрен триъгълник, изтеглени към страничните страни, винаги са равни една на друга. Освен това височината на този триъгълник е едновременно медиана и ъглополовяща. Съответно височината разделя основата наполовина. Разглеждаме получения правоъгълен триъгълник и намираме страната, тоест височината на равнобедрения триъгълник, използвайки Питагоровата теорема. Използвайки следната формула, изчисляваме височината: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, където: a е страната на този равнобедрен триъгълник, b е основата на този равнобедрен триъгълник.

Как да намерите височината на равностранен триъгълник

Триъгълник с равни странинаречена равностранна. Височината на такъв триъгълник се извлича от формулата за височина на равнобедрен триъгълник. Оказва се, че H = √3/2*a, където a е страната на този равностранен триъгълник.

Как да намерите височината на скален триъгълник

Скалата е триъгълник, в който двете страни не са равни една на друга. В такъв триъгълник и трите височини ще бъдат различни. Можете да изчислите дължините на височините, като използвате формулата: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, където a е страната на триъгълника или първо изчислете площта на определен триъгълник, като използвате формулата на Heron, която изглежда така: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, където a, b, c са страните на скален триъгълник, а p е неговият полупериметър. Всяка височина = 2*площ/страна

Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник има един прав ъгъл. Височината, която отива към единия крак, е същевременно вторият крак. Следователно, за да намерите височините, лежащи върху краката, трябва да използвате модифицираната формула на Питагор: a = √(c 2 − b 2), където a, b са краката (a е кракът, който трябва да се намери), c е дължината на хипотенузата. За да намерите втората височина, трябва да поставите получената стойност a на мястото на b. За да се намери третата височина, разположена вътре в триъгълника, се използва следната формула: h = 2s/a, където h е височината на правоъгълния триъгълник, s е неговата площ, a е дължината на страната, към която ще бъде височината перпендикулярен.

Триъгълникът се нарича остроъгълен, ако всичките му ъгли са остри. В този случай и трите височини са разположени вътре в остър триъгълник. Триъгълникът се нарича тъп, ако има един тъп ъгъл. Две височини на тъп триъгълник са извън триъгълника и попадат върху продължението на страните. Третата страна е вътре в триъгълника. Височината се определя с помощта на същата питагорова теорема.

Общи формули за изчисляване на височината на триъгълник

• Формула за намиране на височината на триъгълник през страните: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), където h е височината, която трябва да се намери, a, b и c са страните на даден триъгълник, p е неговият полупериметър, .
• Формула за намиране на височината на триъгълник с помощта на ъгъл и страна: H=b sin y = c sin ß
• Формулата за намиране на височината на триъгълник чрез площ и страна: h = 2S/a, където a е страната на триъгълника, а h е височината, построена към страна a.
• Формулата за намиране на височината на триъгълник чрез радиуса и страните: H= bc/2R.