Käsittelemme artikkelissa eriarvoisuuksien ratkaiseminen. Kerromme sinulle selkeästi kuinka rakentaa ratkaisu epätasa-arvoon, selkeillä esimerkeillä!

Ennen kuin tarkastelemme eriarvoisuuksien ratkaisemista esimerkkien avulla, ymmärrämme peruskäsitteet.

Yleistä tietoa eriarvoisuudesta

Epätasa-arvo on lauseke, jossa funktiot yhdistetään relaatiomerkeillä >, . Epäyhtälöt voivat olla sekä numeerisia että kirjaimellisia.
Epäyhtälöitä, joissa on kaksi suhdemerkkiä, kutsutaan kaksinkertaiseksi, kolmeksi - kolmoiseksi jne. Esimerkiksi:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Epäyhtälöt, jotka sisältävät merkin > tai tai - eivät ole tiukkoja.
Epätasa-arvon ratkaiseminen on mikä tahansa muuttujan arvo, jolle tämä epäyhtälö on tosi.
"Ratkaise epätasa-arvo" tarkoittaa, että meidän on löydettävä joukko sen kaikkia ratkaisuja. Niitä on erilaisia menetelmiä eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi. varten eriarvoisuuden ratkaisuja He käyttävät numerolinjaa, joka on ääretön. Esimerkiksi, ratkaisu eriarvoisuuteen x > 3 on väli 3:sta +, ja numero 3 ei sisälly tähän väliin, joten suoran piste on merkitty tyhjällä ympyrällä, koska eriarvoisuus on tiukkaa.
+
Vastaus on: x (3; +).
Arvo x=3 ei sisälly ratkaisujoukkoon, joten sulku on pyöreä. Ääretön merkki on aina korostettu suluilla. Merkki tarkoittaa "kuulumista".
Katsotaanpa kuinka ratkaista epäyhtälöt käyttämällä toista esimerkkiä merkillä:
x 2
-+
Arvo x=2 sisältyy ratkaisujoukkoon, joten hakasulku on neliö ja viivan piste on merkitty täytetyllä ympyrällä.
Vastaus on: x. Seuraava esimerkki käyttää tällaista sulkua.

Kirjoita vastaus muistiin: x ≥ -0,5 väliajoin:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lukee: x kuuluu väliin miinus 0,5, mukaan lukien, plus äärettömyyteen.

Infinityä ei voi koskaan kytkeä päälle. Se ei ole numero, se on symboli. Siksi sellaisissa merkinnöissä ääretön on aina sulujen vieressä.

Tämä tallennusmuoto on kätevä monimutkaisiin vastauksiin, joissa on useita välilyöntejä. Mutta - vain lopullisia vastauksia varten. Välituloksissa, joissa odotetaan lisäratkaisua, on parempi käyttää tavallista muotoa, yksinkertaisen epäyhtälön muodossa. Käsittelemme tätä asiaan liittyvissä aiheissa.

Suosittuja tehtäviä, joissa on eriarvoisuutta.

Itse lineaariset epäyhtälöt ovat yksinkertaisia. Siksi tehtävät muuttuvat usein vaikeammiksi. Oli siis pakko ajatella. Tämä ei ole kovin miellyttävää, jos et ole tottunut siihen.) Mutta se on hyödyllistä. Näytän esimerkkejä tällaisista tehtävistä. Sinun ei tarvitse opetella niitä, se on tarpeetonta. Ja jotta ei pelätä kun tapaat tällaisia ​​esimerkkejä. Ajattele vain vähän - ja se on yksinkertaista!)

1. Etsi mitkä tahansa kaksi ratkaisua epäyhtälölle 3x - 3< 0

Jos et ole kovin selvää, mitä tehdä, muista matematiikan pääsääntö:

Jos et tiedä mitä tarvitset, tee mitä voit!)

X < 1

Ja mitä? Ei mitään erityistä. Mitä he kysyvät meiltä? Meitä pyydetään löytämään kaksi tiettyä lukua, jotka ovat ratkaisu eriarvoisuuteen. Nuo. sopii vastaukseen. Kaksi minkä tahansa numeroita. Itse asiassa tämä on hämmentävää.) Pari 0 ja 0,5 ovat sopivia. Pari -3 ja -8. Näitä pareja on ääretön määrä! Kumpi vastaus on oikea?!

Vastaan: kaikki! Mikä tahansa lukupari, joista jokainen on pienempi kuin yksi, tulee olemaan oikea vastaus. Kirjoita kumman haluat. Siirrytään eteenpäin.

2. Ratkaise epäyhtälö:

4x-3 ≠ 0

Tässä muodossa olevat tehtävät ovat harvinaisia. Mutta apuepäyhtälöinä, kun löydetään esimerkiksi ODZ tai kun löydetään funktion määritelmäalue, niitä esiintyy koko ajan. Tällainen lineaarinen epäyhtälö voidaan ratkaista tavallisena lineaarisena yhtälönä. Vain kaikkialla paitsi "="-merkkiä ( on yhtä suuri) laita kyltti " ≠ " (ei tasa-arvoinen). Näin lähestyt vastausta epätasa-arvomerkillä:

X ≠ 0,75

Enemmässä monimutkaisia ​​esimerkkejä, on parempi tehdä asiat toisin. Tehkää tasa-arvosta eriarvoisuutta. Kuten tämä:

4x-3 = 0

Ratkaise se rauhallisesti opetuksen mukaan ja saat vastauksen:

x = 0,75

Tärkeintä on aivan lopussa, kun kirjoitat lopullista vastausta, älä unohda, että löysimme x, joka antaa tasa-arvo. Ja me tarvitsemme - eriarvoisuutta. Siksi emme todellakaan tarvitse tätä X.) Ja meidän on kirjoitettava se ylös oikealla symbolilla:

X ≠ 0,75

Tämä lähestymistapa johtaa vähemmän virheisiin. Ne, jotka ratkaisevat yhtälöitä automaattisesti. Ja niille, jotka eivät ratkaise yhtälöitä, epäyhtälöistä ei itse asiassa ole mitään hyötyä...) Toinen esimerkki suositusta tehtävästä:

3. Etsi epäyhtälön pienin kokonaislukuratkaisu:

3 (x - 1) < 5x + 9

Ensin yksinkertaisesti ratkaisemme eriarvoisuuden. Avaamme kiinnikkeet, siirrämme niitä, tuomme samanlaisia... Saamme:

X > - 6

Eikös se mennyt niin!? Seurasitko merkkejä!? Ja jäsenten merkkien takana ja eriarvoisuuden merkin takana...

Mietitäänpä uudestaan. Meidän on löydettävä tietty luku, joka vastaa sekä vastausta että ehtoa "pienin kokonaisluku". Jos se ei satu heti, voit ottaa minkä tahansa numeron ja selvittää sen. Kaksi yli miinus kuusi? Varmasti! Onko sopivaa pienempi numero? Tietysti. Esimerkiksi nolla on suurempi kuin -6. Ja vielä vähemmän? Tarvitsemme pienimmän mahdollisen asian! Miinus kolme on enemmän kuin miinus kuusi! Voit jo ottaa mallin kiinni ja lopettaa typerän numeroiden läpikäymisen, eikö?)

Otetaan luku, joka on lähempänä arvoa -6. Esimerkiksi -5. Vastaus on täytetty, -5 > - 6. Onko mahdollista löytää toinen luku, joka on pienempi kuin -5 mutta suurempi kuin -6? Voit esimerkiksi -5,5... Lopeta! Meille on kerrottu koko ratkaisu! Ei rullaa -5,5! Entä miinus kuusi? Ööh! Epäyhtälö on tiukka, miinus 6 ei ole millään tavalla pienempi kuin miinus 6!

Siksi oikea vastaus on -5.

Toivottavasti arvovalikoimalla yleinen ratkaisu kaikki kunnossa. Toinen esimerkki:

4. Ratkaise epäyhtälö:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Tätä ilmaisua kutsutaan kolminkertainen eriarvoisuus. Tarkkaan ottaen tämä on lyhennetty muoto eriarvoisuusjärjestelmästä. Mutta sellaisia ​​kolminkertaisia ​​epätasa-arvoja on vielä ratkaistava joissakin tehtävissä... Se voidaan ratkaista ilman järjestelmiä. Samojen identtisten muunnosten mukaan.

Meidän on yksinkertaistettava, tuotava tämä epätasa-arvo puhtaaseen X:ään. Mutta... Mitä pitäisi siirtää minne?! Tässä on aika muistaa, että liikkuminen vasemmalle ja oikealle on lyhyt muoto ensimmäinen identiteetin muutos.

A täysi lomake kuulostaa tältä: Mikä tahansa luku tai lauseke voidaan lisätä/vähentää yhtälön molemmille puolille (epäyhtälö).

Tässä on kolme osaa. Joten käytämme identtisiä muunnoksia kaikkiin kolmeen osaan!

Joten päästään eroon epätasa-arvon keskiosassa olevasta. Vähennetään yksi koko keskiosasta. Jotta epäyhtälö ei muutu, vähennämme yhden jäljellä olevista kahdesta osasta. Kuten tämä:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Se on parempi, eikö?) Jäljelle jää vain jakaa kaikki kolme osaa kolmeen:

2 < X < 4

Siinä kaikki. Tämä on vastaus. X voi olla mikä tahansa luku kahdesta (ei sisällä) neljään (ei sisällä). Tämä vastaus kirjoitetaan myös väliajoin; tällaiset merkinnät ovat toisen asteen epäyhtälöissä. Siellä ne ovat yleisimmät.

Oppitunnin lopussa toistan tärkeimmän asian. Menestystä ratkaisussa lineaariset epätasa-arvot riippuu kyvystä muuttaa ja yksinkertaistaa lineaarisia yhtälöitä. Jos samaan aikaan tarkkaile epätasa-arvoa, ei tule ongelmia. Sitä minä toivon sinulle. Ei ongelmia.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä on tapahtunut "neliöllinen epätasa-arvo"? Ei kysymystä!) Jos otat minkä tahansa toisen asteen yhtälö ja korvaa merkki siinä "=" (yhtä) mihin tahansa epätasa-arvomerkkiin ( > ≥ < ≤ ≠ ), saadaan neliöllinen epäyhtälö. Esimerkiksi:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

No ymmärräthän...)

Ei turhaan linkittänyt yhtälöitä ja epäyhtälöitä tähän. Pointti on, että ensimmäinen askel ratkaisussa minkä tahansa neliöllinen epätasa-arvo - ratkaise yhtälö, josta tämä epäyhtälö on tehty. Tästä syystä - kyvyttömyys päättää toisen asteen yhtälöt johtaa automaattisesti täydelliseen epäonnistumiseen epätasa-arvossa. Onko vihje selkeä?) Jos jotain, katso kuinka ratkaista mahdolliset toisen asteen yhtälöt. Siellä on kaikki kuvattu yksityiskohtaisesti. Ja tällä oppitunnilla käsittelemme eriarvoisuutta.

Ratkaisuvalmiilla epäyhtälöllä on muoto: vasemmalla on neliöllinen trinomi ax 2 +bx+c, oikealla - nolla. Epätasa-arvomerkki voi olla mitä tahansa. Kaksi ensimmäistä esimerkkiä ovat tässä ovat jo valmiita tekemään päätöksen. Kolmas esimerkki on vielä valmisteltavana.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Teoria:

Eriarvoisuuksia ratkaistaessa käytetään seuraavia sääntöjä:

1. Mikä tahansa epäyhtälön termi voidaan siirtää yhdestä osasta
epätasa-arvo toiseen päinvastaisella merkillä, mutta eriarvoisuuden merkki ei muutu.

2. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa yhdellä
ja sama positiivinen luku muuttamatta epäyhtälömerkkiä.

3. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa yhdellä
ja myös negatiivinen luku, muuttamalla eriarvoisuusmerkin muotoon
vastapäätä.

Ratkaise epätasa-arvo − 8 x + 11< − 3 x − 4
Ratkaisu.

1. Siirretään penistä – 3 x V vasen puoli eriarvoisuudet ja termi 11 - V oikea puoli eriarvoisuuksia, samalla vaihdamme merkit päinvastaisiksi – 3 x ja klo 11 .
Sitten saamme

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

– 5 x< − 15

2. Jaetaan epäyhtälön molemmat puolet – 5 x< − 15 negatiiviseen numeroon − 5 , ja eriarvoisuusmerkki < , vaihtuu muotoon > , eli siirrymme päinvastaiseen eriarvoisuuteen.
Saamme:

– 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— tietyn epäyhtälön ratkaisu.

Kiinnittää huomiota!

Ratkaisun kirjoittamiseen on kaksi vaihtoehtoa: x > 3 tai numerovälinä.

Merkitään lukujonolle epäyhtälön ratkaisujoukko ja kirjoitetaan vastaus numeerisen välin muodossa.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Vastaus: x > 3 tai x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebralliset epäyhtälöt.

Neliölliset epätasa-arvot. Korkeamman asteen rationaaliset epätasa-arvot.

Epäyhtälöiden ratkaisumenetelmät riippuvat pääasiassa siitä, mihin luokkaan epäyhtälön muodostavat funktiot kuuluvat.

1. minä. Neliölliset epätasa-arvot, eli muodon epätasa-arvoja

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Voit ratkaista epätasa-arvon seuraavasti:

1. Kerroin neliötrinomi, eli kirjoita epäyhtälö muotoon

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Piirrä polynomin juuret lukuviivalle. Juuret jakavat reaalilukujoukon intervalleiksi, joista jokaisessa on vastaava neliöfunktio tulee olemaan jatkuva merkki.
2. Määritä kunkin välin a (x - x 1) (x - x 2) etumerkki ja kirjoita vastaus muistiin.

Jos neliötrinomilla ei ole juuria, niin D:lle<0 и a>0 neliötrinomi on positiivinen mille tahansa x:lle.

• Ratkaise epätasa-arvo. x 2 + x - 6 > 0.

Kerroin neliöllisen trinomin (x + 3) (x - 2) > 0

Vastaus: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Tämä epäyhtälö pätee mille tahansa x:lle paitsi x = 6.

Vastaus: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Täällä D< 0, a = 1 >0. Neliötrinomi on positiivinen kaikille x:ille.

Vastaus: x Î Ø.

Ratkaise epäyhtälöt:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Vastaus:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Vastaus:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Vastaus:
5. Millä a:n arvoilla epätasa-arvo vaikuttaa

x² - ax > pätee mihin tahansa x:ään? Vastaus:

1. II. Korkeamman asteen rationaaliset epätasa-arvot, eli muodon epätasa-arvoja

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polynomi korkein tutkinto tulee kertoa, eli epäyhtälö tulee kirjoittaa muotoon

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Merkitse numeroviivalle kohdat, joista polynomi katoaa.

Määritä kunkin intervallin polynomin etumerkit.

1) Ratkaise epäyhtälö x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1) (x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Joten x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Vastaus: (0; 1) (2; 3).

2) Ratkaise epäyhtälö (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Merkitään numeroakselille ne pisteet, joissa polynomi katoaa. Nämä ovat x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Pisteessä x = - ½ etumerkkimuutosta ei tapahdu, koska binomi (2x + 1) nostetaan parilliseen potenssiin, eli lauseke (2x + 1) 4 ei muuta etumerkkiä kulkiessaan pisteen x = läpi. - ½.

Vastaus: (-∞; -2) (½; 1).

3) Ratkaise epäyhtälö: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Tämä epäyhtälö vastaa seuraavaa joukkoa

(1):n ratkaisu on x (-∞; -2) (3; +∞). (2):n ratkaisu on x = 0, x = -2, x = 3. Yhdistämällä saadut ratkaisut saadaan x О (-∞; -2] (0) (0) )