Ali mnogi prirodni brojevi ravnomjerno su djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a je prirodni broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b je broj kojim su oba dana djeljiva bez ostatka a I b.

zajednički višekratnik više brojeva naziva se broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjezajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika za LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je najveći zajednički djelitelj poznat, možete koristiti njegov odnos s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k su različiti prosti brojevi, i d 1 ,...,dk I e 1 ,...,ek su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prost broj nije u dekompoziciji).

Zatim LCM ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM proširenje sadrži sve proste faktore koji su uključeni u barem jedno od proširenja brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika više brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- prenijeti najveću ekspanziju na faktore željenog umnoška (umnožak faktora veliki broj od zadanih), a zatim dodati faktore iz rastavljanja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili su u njemu manji broj puta;

- rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodni brojevi imaju svoj NOC. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su faktorom 3 (broj 21), rezultirajući umnožak (84) bit će najmanji broj, koji je djeljiv s 21 i 28 .

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim zadanim brojevima bez ostatka. Ovaj najmanji proizvod od mogućih (150, 250, 300...), što je višekratnik svih zadanih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Ispisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Razmotrite rješenje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm.Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj će oboje napraviti cijeli broj koraka.

Riješenje. Cijeli put koji će dečki proći mora biti djeljiv sa 60 i 70 bez ostatka, jer svaki mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo ispisati sve višekratnike, za broj 75. Dobit ćemo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Sada napišimo brojeve koji će biti višekratnik 60. Dobivamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada pronalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

• Uobičajeni višekratnici brojeva bit će brojevi, 300, 600 itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju, on će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Vraćajući se na uvjet zadatka, najmanja udaljenost na kojoj dečki naprave cijeli broj koraka bit će 300 cm.Dječak će ovaj put proći u 4 koraka, a djevojka će trebati napraviti 5 koraka.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• Najmanji zajednički višekratnik dvaju prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva, nije potrebno zapisati sve višekratnike tih brojeva u nizu.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo, trebate rastaviti ove brojeve na proste faktore.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapišimo sada sve faktore koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodamo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Na kraju imamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Umnožak tih brojeva bit će najmanji zajednički faktor za te brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• 1. Rastaviti brojeve na proste faktore.
• 2. Napiši proste faktore koji su dio jednog od njih.
• 3. Ovim faktorima dodajte sve one koji su u razgradnji ostatka, ali ne i u odabranom.
• 4. Pronađite umnožak svih napisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.

Definicija. Najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj (gcd) ove brojke.

Pronađimo najveću zajednički djelitelj brojevi 24 i 35.
Djelitelji broja 24 bit će brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji broja 35 bit će brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj – broj 1. Takvi se brojevi nazivaju istoprostorni.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju istoprostorni ako je njihov najveći zajednički djelitelj (gcd) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) mogu se pronaći bez ispisivanja svih djelitelja zadanih brojeva.

Rastavljajući brojeve 48 i 36 na faktore, dobivamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva brišemo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Ostali su faktori 2 * 2 * 3. Njihov umnožak je 12. Taj je broj najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Pronaći najveći zajednički djelitelj

2) od faktora uključenih u proširenje jednog od tih brojeva prekrižite one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) pronaći umnožak preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi s jednim od njih, onda je ovaj broj djeljiv najveći zajednički djelitelj zadani brojevi.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je 15, jer on dijeli sve ostale brojeve: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni brojevi koji su višekratnici i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez ispisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavljamo 75 i 60 na jednostavne faktore: 75 \u003d 3 * 5 * 5 i 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Zapisujemo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodamo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja drugog broja (odnosno, kombiniramo faktore).
Dobivamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je umnožak 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Također pronađite najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

Do pronaći najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) rastavite ih na proste faktore;
2) napišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) pronaći umnožak rezultirajućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, tada je taj broj najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 bio bi 60, jer je djeljiv sa svim zadanim brojevima.

Pitagora (VI. st. pr. Kr.) i njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj, jednak zbroju sve njegove djelitelje (bez samog broja), nazivali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. stoljeću. n. e. Peti - 33 550 336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali do sada znanstvenici ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi, postoji li najveći savršeni broj.
Zanimanje drevnih matematičara za proste brojeve proizlazi iz činjenice da je svaki broj ili prost ili se može prikazati kao umnožak prostih brojeva, odnosno da su prosti brojevi poput cigala od kojih su sagrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva pojavljuju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih je više, u drugima - manje. Ali što dalje idemo nizom brojeva, to su prosti brojevi rjeđi. Postavlja se pitanje postoji li posljednji (najveći) prosti broj? Starogrčki matematičar Euklid (3. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi “Počeci”, koja je dvije tisuće godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, odnosno da iza svakog prostog broja stoji parni broj. veći prosti broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar iz istog vremena, Eratosten, smislio je takvu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedinicu koja nije ni prosta niti složeni broj, zatim prekrižio kroz jedan sve brojeve iza 2 (brojeve koji su višekratnici 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim su, nakon dva, svi brojevi iza 3 bili prekriženi (brojevi koji su višekratnici broja 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na kraju su samo prosti brojevi ostali neprecrtani.

Zajednički višekratnici

Jednostavno rečeno, svaki cijeli broj koji je djeljiv sa svakim od danih brojeva je zajednički višekratnik zadani cijeli brojevi.

Možete pronaći zajednički višekratnik dvaju ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Izračunajte zajednički višekratnik dvaju brojeva: $2$ i $5$.

Riješenje.

Prema definiciji, zajednički višekratnik $2$ i $5$ je $10$, jer višekratnik je $2$ i $5$:

Zajednički višekratnici brojeva $2$ i $5$ također će biti brojevi $–10, 20, –20, 30, –30$ itd., jer svi su djeljivi sa $2$ i $5$.

Napomena 1

Nula je zajednički višekratnik bilo kojeg broja cijelih brojeva koji nisu nula.

Prema svojstvima djeljivosti, ako je određeni broj zajednički višekratnik više brojeva, tada će i broj suprotnog predznaka biti zajednički višekratnik zadanih brojeva. To se vidi iz razmatranog primjera.

Za zadane cijele brojeve uvijek možete pronaći njihov zajednički višekratnik.

Primjer 2

Izračunajte zajednički višekratnik 111$ i 55$.

Riješenje.

Pomnožite zadane brojeve: $111\div 55=6105$. Lako je provjeriti da je broj $6105$ djeljiv s brojem $111$ i brojem $55$:

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$.

Dakle, $6105$ je zajednički višekratnik $111$ i $55$.

Odgovor: zajednički višekratnik $111$ i $55$ je $6105$.

Ali, kao što smo već vidjeli iz prethodnog primjera, ovaj zajednički višekratnik nije jedan. Ostali uobičajeni višekratnici bi bili $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$, i tako dalje. Dakle, došli smo do sljedećeg zaključka:

Napomena 2

Svaki skup cijelih brojeva ima beskonačan broj zajedničkih višekratnika.

U praksi su ograničeni na pronalaženje zajedničkih višekratnika samo pozitivnih cijelih (prirodnih) brojeva jer skupovi višekratnika danog broja i njegove suprotnosti podudaraju se.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

Najčešće se od svih višekratnika određenog broja koristi najmanji zajednički višekratnik (LCM).

Definicija 2

Najmanji pozitivni zajednički višekratnik zadanih cijelih brojeva je najmanji zajednički višekratnik ove brojke.

Primjer 3

Izračunajte LCM brojeva $4$ i $7$.

Riješenje.

Jer ovi brojevi nemaju zajedničkih djelitelja, onda $LCM(4,7)=28$.

Odgovor: $LCM(4,7)=28$.

Pronalaženje NOC-a kroz NOD

Jer postoji veza između LCM i GCD, uz njegovu pomoć moguće je izračunati LCM od dva prirodna broja:

Napomena 3

Primjer 4

Izračunajte LCM brojeva $232$ i $84$.

Riješenje.

Upotrijebimo formulu za pronalaženje LCM kroz GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$

Nađimo gcd brojeva $232$ i $84$ koristeći Euklidov algoritam:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Oni. $gcd (232, 84)=4$.

Pronađimo $LCM (232, 84)$:

$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Odgovor: NOK(232,84)=4872$.

Primjer 5

Izračunajte $LCM (23, 46)$.

Riješenje.

Jer $46$ ravnomjerno je djeljivo s $23$, tada je $gcd(23, 46)=23$. Pronađimo NOC:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Odgovor: NOK(23,46)=46$.

Dakle, može se formulirati Pravilo:

Napomena 4

Najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva izravno je povezan s najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva. Ovaj veza između GCD i NOC definiran je sljedećim teoremom.

Teorema.

Najmanji zajednički višekratnik dva prirodna broja a i b jednak je umnošku a i b podijeljenog najvećim zajedničkim djeliteljem a i b, tj. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Dokaz.

Neka M je neki višekratnik brojeva a i b. To jest, M je djeljiv s a, a prema definiciji djeljivosti, postoji neki cijeli broj k takav da je jednakost M=a·k istinita. Ali M je također djeljiv s b, tada je a k djeljiv s b.

Označimo gcd(a, b) kao d . Tada možemo napisati jednakosti a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d će biti međusobno prosti brojevi. Stoga se uvjet dobiven u prethodnom odlomku da je a k djeljivo s b može preformulirati na sljedeći način: a 1 d k je djeljiv s b 1 d , a to je, zbog svojstava djeljivosti, ekvivalentno uvjetu da je a 1 k djeljiv je s b 1 .

Iz razmatranog teorema trebamo napisati i dvije važne posljedice.

Zajednički višekratnici dvaju brojeva jednaki su višekratnicima njihovog najmanjeg zajedničkog višekratnika.

To je točno, budući da je svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran jednakošću M=LCM(a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t .

Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom umnošku.

Obrazloženje za ovu činjenicu je sasvim očito. Budući da su a i b međusobno prosti, tada je gcd(a, b)=1, dakle, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika tri ili više brojeva može se svesti na uzastopno pronalaženje LCM dvaju brojeva. Kako se to radi prikazano je u sljedećem teoremu: a 1 , a 2 , …, a k podudaraju se sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k-1 i a k ​​se, dakle, podudaraju s višekratnicima od m k . A budući da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k sam broj m k, tada je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. Razred 6: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Tutorial za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških zavoda.