הוראות

מצא את התחום של הפונקציה. לדוגמה, הפונקציה sin(x) מוגדרת על פני כל המרווח מ-∞ עד +∞, והפונקציה 1/x מוגדרת מ-∞ עד +∞, מלבד הנקודה x = 0.

זיהוי אזורי המשכיות ונקודות של אי המשכיות. בדרך כלל פונקציה היא רציפה באותו אזור שבו היא מוגדרת. כדי לזהות אי-רציפות, יש לחשב כשהטיעון מתקרב לנקודות מבודדות בתחום ההגדרה. לדוגמה, הפונקציה 1/x נוטה לאינסוף כאשר x→0+, ולמינוס אינסוף כאשר x→0-. זה אומר שבנקודה x = 0 יש לו אי רציפות מהסוג השני.
אם הגבולות בנקודת האי-רציפות הם סופיים, אך אינם שווים, הרי שזוהי אי-רציפות מהסוג הראשון. אם הם שווים, אז הפונקציה נחשבת רציפה, למרות שהיא לא מוגדרת בנקודה מבודדת.

למצוא אסימפטוטות אנכיות, אם הם. החישובים מהשלב הקודם יעזרו לכם כאן, מכיוון שהאסימפטוטה האנכית כמעט תמיד ממוקמת בנקודת האי-רציפות מהסוג השני. עם זאת, לפעמים לא נקודות בודדות אינן נכללות מתחום ההגדרה, אלא מרווחים שלמים של נקודות, ואז ניתן למקם את האסימפטוטות האנכיות בקצוות המרווחים הללו.

בדוק אם לפונקציה יש מאפיינים מיוחדים: זוגי, אי זוגי ומחזורי.
הפונקציה תהיה אפילו אם עבור כל x בתחום f(x) = f(-x). לדוגמה, cos(x) ו-x^2 - אפילו פונקציות.

מחזוריות היא תכונה האומרת שיש מספר מסוים T, הנקרא נקודה, שלכל x f(x) = f(x + T). למשל, כל העיקר פונקציות טריגונומטריות(סינוס, קוסינוס, טנגנס) - תקופתי.

מצא את הנקודות. כדי לעשות זאת, חשב את הנגזרת של פונקציה נתונהומצא את הערכים של x שבהם הוא הופך לאפס. לדוגמה, לפונקציה f(x) = x^3 + 9x^2 -15 יש נגזרת g(x) = 3x^2 + 18x, אשר נעלמת ב-x = 0 ו-x = -6.

כדי לקבוע אילו נקודות קיצון הן מקסימום ואילו מינימות, עקוב אחר השינוי בסימני הנגזרת באפסים שנמצאו. g(x) משנה את הסימן מפלוס בנקודה x = -6, ובנקודה x = 0 חזרה ממינוס לפלוס. כתוצאה מכך, לפונקציה f(x) יש מינימום בנקודה הראשונה ומינימום בשנייה.

לפיכך, מצאת גם אזורים של מונוטוניות: f(x) עולה באופן מונוטוני במרווח -∞;-6, יורד באופן מונוטוני ב-6;0 ועולה שוב ב-0;+∞.

מצא את הנגזרת השנייה. השורשים שלו יראו היכן הגרף של פונקציה נתונה יהיה קמור והיכן הוא יהיה קעור. לדוגמה, הנגזרת השנייה של הפונקציה f(x) תהיה h(x) = 6x + 18. היא עוברת לאפס ב-x = -3, ומשנה את הסימן ממינוס לפלוס. כתוצאה מכך, הגרף של f(x) לפני נקודה זו יהיה קמור, אחריו - קעור, ונקודה זו עצמה תהיה נקודת פיתול.

לפונקציה עשויות להיות אסימפטוטות אחרות מלבד אנכיות, אבל רק אם תחום ההגדרה שלה כולל . כדי למצוא אותם, חשב את הגבול של f(x) כאשר x→∞ או x→-∞. אם זה סופי, אז מצאת אסימפטוטה אופקית.

האסימפטוטה האלכסונית היא קו ישר בצורה kx + b. כדי למצוא k, חשב את הגבול של f(x)/x כ-x→∞. כדי למצוא את הגבול b - (f(x) – kx) עבור אותו x→∞.

כדי ללמוד את הפונקציה במלואה ולשרטט את הגרף שלה, מומלץ להשתמש בסכימה הבאה:

1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה;

2) מצא את נקודות האי-רציפות של הפונקציה והאסימפטוטות האנכיות (אם הן קיימות);

3) לחקור את התנהגות הפונקציה באינסוף, למצוא אסימפטוטות אופקיות ואלכסוניות;

4) לבחון את הפונקציה עבור זוגיות (מוזרות) ומחזוריות (עבור פונקציות טריגונומטריות);

5) למצוא אקסטרים ומרווחים של מונוטוניות של הפונקציה;

6) לקבוע את מרווחי הקמורות ונקודות הפיתול;

7) מצא את נקודות החיתוך עם צירי הקואורדינטות, ואם אפשר, כמה נקודות נוספות שמבהירות את הגרף.

לימוד הפונקציה מתבצע במקביל לבניית הגרף שלה.

דוגמה 9חקור את הפונקציה ובנה גרף.

1. היקף ההגדרה: ;

2. הפונקציה סובלת מחוסר המשכיות בנקודות
,
;

אנו בוחנים את הפונקציה לקיומן של אסימפטוטות אנכיות.

;
,
─ אסימפטוטה אנכית.

;
,
─ אסימפטוטה אנכית.

3. אנו בוחנים את הפונקציה לקיומן של אסימפטוטות אלכסוניות ואופקיות.

יָשָׁר
─ אסימפטוטה אלכסונית, אם
,
.

,
.

יָשָׁר
─ אסימפטוטה אופקית.

4. הפונקציה היא אפילו בגלל
. הזוגיות של הפונקציה מציינת את הסימטריה של הגרף ביחס לציר הסמטה.

5. מצא את מרווחי המונוטוניות והקצוות של הפונקציה.

בואו נמצא את הנקודות הקריטיות, כלומר. נקודות שבהן הנגזרת היא 0 או לא קיימת:
;
. יש לנו שלוש נקודות
;

. נקודות אלו מחלקות את כל הציר האמיתי לארבעה מרווחים. בואו נגדיר את הסימנים על כל אחד מהם.

במרווחים (-∞; -1) ו- (-1; 0) הפונקציה גדלה, במרווחים (0; 1) ו- (1; +∞) ─ היא יורדת. כשעוברים דרך נקודה
הנגזרת משנה סימן מפלוס למינוס, לכן, בשלב זה יש לפונקציה מקסימום
.

6. מצא את המרווחים של נקודות הקמור וההטיה.

בוא נמצא את הנקודות שבהן הוא 0, או לא קיים.

אין שורשים אמיתיים.
,
,

נקודות
ו
מחלקים את הציר האמיתי לשלושה מרווחים. בוא נגדיר את השלט בכל מרווח.

לפיכך, העקומה על המרווחים
ו
קמור כלפי מטה, על המרווח (-1;1) קמור כלפי מעלה; אין נקודות פיתול, מכיוון שהפונקציה נמצאת בנקודות
ו
לא נקבע.

7. מצא את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם סרן
הגרף של הפונקציה נחתך בנקודה (0; -1), ועם הציר
הגרף אינו מצטלב, כי למונה של פונקציה זו אין שורשים אמיתיים.

הגרף של הפונקציה הנתונה מוצג באיור 1.

איור 1 ─ גרף פונקציות

יישום מושג הנגזרת בכלכלה. פונקציית אלסטיות

כדי ללמוד תהליכים כלכליים ולפתור בעיות יישומיות אחרות, נעשה שימוש לעתים קרובות במושג גמישות של פונקציה.

הַגדָרָה.פונקציית אלסטיות
נקרא גבול היחס של התוספת היחסית של הפונקציה לתוספת היחסית של המשתנה בְּ-
, . (VII)

הגמישות של פונקציה מראה בערך כמה אחוזים הפונקציה תשתנה
כאשר המשתנה הבלתי תלוי משתנה ב-1%.

פונקציית האלסטיות משמשת בניתוח הביקוש והצריכה. אם גמישות הביקוש (בערך מוחלט)
, אז הביקוש נחשב אלסטי אם
─ ניטרלי אם
─ לא גמיש ביחס למחיר (או להכנסה).

דוגמה 10חשב את האלסטיות של הפונקציה
ומצא את הערך של מדד האלסטיות עבור = 3.

פתרון: לפי הנוסחה (VII), גמישות הפונקציה היא:

אז תן x=3
המשמעות היא שאם המשתנה הבלתי תלוי יגדל ב-1%, אזי הערך של המשתנה התלוי יעלה ב-1.42%.

דוגמה 11תן לביקוש לתפקד לגבי המחיר נראה כמו
, איפה ─ מקדם קבוע. מצא את הערך של מחוון האלסטיות של פונקציית הביקוש במחיר x = 3 den. יחידות

פתרון: חשב את האלסטיות של פונקציית הביקוש באמצעות נוסחה (VII)

מאמין
יחידות כספיות, אנחנו מקבלים
. זה אומר שבמחיר
יחידות כספיות עלייה של 1% במחיר תגרום לירידה של 6% בביקוש, כלומר. הביקוש הוא אלסטי.

התנהגות מחקר מלאולתכנן את הפונקציה

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) היקף הפונקציה. מכיוון שהפונקציה היא שבר, עלינו למצוא את האפסים של המכנה.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

אנו לא כוללים את הנקודה היחידה x=1x=1 מתחום ההגדרה של הפונקציה ומקבלים:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) הבה נלמד את התנהגות הפונקציה בקרבת נקודת האי-רציפות. בואו נמצא מגבלות חד-צדדיות:

מכיוון שהגבולות שווים לאינסוף, הנקודה x=1x=1 היא אי רציפות מהסוג השני, הישר x=1x=1 הוא אסימפטוטה אנכית.

3) הבה נקבע את נקודות החיתוך של גרף הפונקציות עם צירי הקואורדינטות.

בוא נמצא את נקודות החיתוך עם ציר הסמין OyOy, עבורן נשווה x=0x=0:

לפיכך, לנקודת החיתוך עם ציר OyOy יש קואורדינטות (0;8)(0;8).

בוא נמצא את נקודות החיתוך עם ציר האבשסיס OxOx, שעבורן נקבע y=0y=0:

למשוואה אין שורשים, ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר OxOx.

שים לב ש-x2+8>0x2+8>0 עבור כל xx. לכן, עבור x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), הפונקציה y>0y>0 (לוקחת ערכים חיוביים, הגרף נמצא מעל ציר ה-x), עבור x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) פונקציה y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) הפונקציה אינה זוגית ואינה מוזרה כי:

5) הבה נבחן את הפונקציה למחזוריות. הפונקציה אינה תקופתית, מכיוון שהיא פונקציה רציונלית שברית.

6) הבה נבחן את הפונקציה של קיצוניות ומונוטוניות. לשם כך, נמצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה:

נשווה את הנגזרת הראשונה לאפס ונמצא נקודות נייחות (בהן y′=0y′=0):

קיבלנו שלוש נקודות קריטיות: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. הבה נחלק את כל תחום ההגדרה של הפונקציה למרווחים עם נקודות אלה ונקבע את הסימנים של הנגזרת בכל מרווח:

עבור x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) הנגזרת y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

עבור x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) הנגזרת y′>0y′>0, הפונקציה גדלה במרווחים אלה.

במקרה זה, x=−2x=−2 היא נקודת מינימום מקומית (הפונקציה יורדת ואז גדלה), x=4x=4 היא נקודת מקסימום מקומית (הפונקציה גדלה ואז יורדת).

בואו נמצא את ערכי הפונקציה בנקודות הבאות:

לפיכך, נקודת המינימום היא (−2;4)(−2;4), נקודת המקסימום היא (4;−8)(4;−8).

7) הבה נבחן את הפונקציה של קינקים וקמורות. בוא נמצא את הנגזרת השנייה של הפונקציה:

נשווה את הנגזרת השנייה לאפס:

למשוואה המתקבלת אין שורשים, ולכן אין נקודות פיתול. יתרה מכך, כאשר x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 מסופק, כלומר, הפונקציה קעורה, כאשר x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) מסופק על ידי y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) הבה נבחן את התנהגות הפונקציה באינסוף, כלומר ב.

מכיוון שהגבולות הם אינסופיים, אין אסימפטוטות אופקיות.

בואו ננסה לקבוע אסימפטוטים אלכסוניים בצורה y=kx+by=kx+b. אנו מחשבים את הערכים של k,bk,b באמצעות נוסחאות ידועות:

מצאנו שלפונקציה יש אסימפטוטה אלכסונית אחת y=−x−1y=−x−1.

9) נקודות נוספות. בוא נחשב את ערך הפונקציה בכמה נקודות אחרות כדי לבנות את הגרף בצורה מדויקת יותר.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) על סמך הנתונים שהתקבלו, נבנה גרף, נשלים אותו באסימפטוטים x=1x=1 (כחול), y=−x−1y=−x−1 (ירוק) ונסמן את הנקודות האופייניות (חתך סגול עם הסמטה ציר, קיצון כתום, נקודות נוספות שחורות):

משימה 4: בעיות גיאומטריות, כלכליות (אין לי מושג מה, הנה מבחר משוער של בעיות עם פתרונות ונוסחאות)

דוגמה 3.23. א

פִּתָרוֹן. איקסו y y
y = a - 2×a/4 =a/2. מכיוון ש-x = a/4 היא הנקודה הקריטית היחידה, בואו נבדוק האם הסימן של הנגזרת משתנה במעבר בנקודה זו. עבור xa/4 S " > 0, ועבור x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

דוגמה 3.24.

פִּתָרוֹן.
R = 2, H = 16/4 = 4.

דוגמה 3.22.מצא את הקיצוניות של הפונקציה f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

פִּתָרוֹן.מכיוון ש-f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), אז הנקודות הקריטיות של הפונקציה x 1 = 2 ו-x 2 = 3. אקסטרמה יכולה להיות רק ב נקודות אלו. כך שכאשר עוברים דרך הנקודה x 1 = 2 הנגזרת משנה את הסימן שלה מפלוס למינוס, אז בשלב זה יש לפונקציה מקסימום. כאשר עוברים דרך הנקודה x 2 = 3 הנגזרת משנה את הסימן שלה ממינוס עד פלוס, לכן בנקודה x 2 = 3 לפונקציה יש מינימום. לאחר חישוב ערכי הפונקציה בנקודות
x 1 = 2 ו-x 2 = 3, נמצא את הנקודות הקיצוניות של הפונקציה: מקסימום f(2) = 14 ומינימום f(3) = 13.

דוגמה 3.23.יש צורך לבנות אזור מלבני ליד חומת האבן כך שהוא מגודר משלושת הצדדים ברשת תיל, והצד הרביעי צמוד לקיר. בשביל זה יש אמטרים ליניאריים של רשת. באיזה יחס רוחב-גובה יהיה האתר בעל השטח הגדול ביותר?

פִּתָרוֹן.הבה נסמן את הצדדים של הרציף ב איקסו y. שטח האתר הוא S = xy. לתת y- זהו אורך הצד הצמוד לקיר. לאחר מכן, לפי תנאי, השוויון 2x + y = חייב להתקיים. לכן y = a - 2x ו-S = x(a - 2x), כאשר
0 ≤ x ≤ a/2 (האורך והרוחב של הרפידה אינם יכולים להיות שליליים). S " = a - 4x, a - 4x = 0 ב-x = a/4, ומכאן
y = a - 2×a/4 =a/2. מכיוון ש-x = a/4 היא הנקודה הקריטית היחידה, בואו נבדוק האם הסימן של הנגזרת משתנה במעבר בנקודה זו. עבור xa/4 S " > 0, ועבור x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

דוגמה 3.24.נדרש לייצר מיכל גלילי סגור בקיבולת V=16p ≈ 50 מ'3. מה צריכות להיות מידות המיכל (רדיוס R וגובה H) כך שכמות החומר הקטנה ביותר תשמש לייצורו?

פִּתָרוֹן.שטח הפנים הכולל של הגליל הוא S = 2pR(R+H). אנו יודעים את נפח הגליל V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . משמעות הדבר היא S(R) = 2p(R 2 +16/R). אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 עבור R 3 = 8, לכן,
R = 2, H = 16/4 = 4.

מידע קשור.

מזה זמן מה, מאגר התעודות המובנה של TheBat ל-SSL הפסיק לפעול כהלכה (לא ברור מאיזו סיבה).

בעת בדיקת הפוסט, מופיעה שגיאה:

אישור CA לא ידוע
השרת לא הציג אישור בסיס בהפעלה ואישור הבסיס המתאים לא נמצא בפנקס הכתובות.
הקשר הזה לא יכול להיות סודי. אנא
פנה למנהל השרת שלך.

ומציעים לך מבחר תשובות - כן / לא. וכך בכל פעם שאתה מסיר דואר.

פִּתָרוֹן

במקרה זה, עליך להחליף את תקן היישום S/MIME ו-TLS ב-Microsoft CryptoAPI בהגדרות TheBat!

מכיוון שהייתי צריך לשלב את כל הקבצים לאחד, המרתי תחילה את כל קבצי ה-doc לקובץ pdf בודד (באמצעות תוכנת Acrobat), ולאחר מכן העברתי אותו ל-fb2 באמצעות ממיר מקוון. אתה יכול גם להמיר קבצים בנפרד. הפורמטים יכולים להיות לחלוטין כל (מקור) - doc, jpg, ואפילו ארכיון zip!

שם האתר מתאים למהות :) פוטושופ מקוון.

עדכון מאי 2015

מצאתי עוד אתר מעולה! אפילו יותר נוח ופונקציונלי ליצירת קולאז' מותאם אישית לחלוטין! זה האתר http://www.fotor.com/ru/collage/. תהנה מזה בשביל הבריאות שלך. ואני אשתמש בזה בעצמי.

בחיי נתקלתי בבעיה של תיקון כיריים חשמליות. כבר עשיתי הרבה דברים, למדתי הרבה, אבל איכשהו היה לי מעט לעשות עם אריחים. היה צורך להחליף את המגעים על הרגולטורים והמבערים. עלתה השאלה - כיצד לקבוע את קוטר המבער על כיריים חשמליות?

התשובה התבררה כפשוטה. אתה לא צריך למדוד שום דבר, אתה יכול בקלות לקבוע לפי העין איזה גודל אתה צריך.

המבער הקטן ביותר- זה 145 מילימטרים (14.5 סנטימטרים)

מבער אמצעי- זה 180 מילימטרים (18 סנטימטרים).

ולבסוף, הכי הרבה מבער גדול- זה 225 מילימטרים (22.5 סנטימטרים).

זה מספיק כדי לקבוע את הגודל לפי העין ולהבין מה הקוטר שאתה צריך את המבער. כשלא ידעתי את זה, דאגתי לממדים האלה, לא ידעתי איך למדוד, באיזה קצה לנווט וכו'. עכשיו אני חכם :) מקווה שעזרתי גם לך!

בחיי התמודדתי עם בעיה כזו. אני חושב שאני לא היחיד.

לימוד פונקציה מתבצע על פי סכמה ברורה ודורש מהתלמיד ידע מוצק במושגים מתמטיים בסיסיים כגון תחום ההגדרה והערכים, המשכיות הפונקציה, אסימפטוטה, נקודות קיצון, זוגיות, מחזוריות וכו'. . על התלמיד להיות מסוגל להבדיל בין פונקציות באופן חופשי ולפתור משוואות, שלעיתים עשויות להיות מורכבות מאוד.

כלומר, משימה זו בודקת רובד משמעותי של ידע, שכל פער בו יהפוך למכשול לקבלת הפתרון הנכון. לעתים קרובות במיוחד, מתעוררים קשיים בבניית גרפים של פונקציות. טעות זו בולטת מיד למורה ועלולה לפגוע מאוד בציון שלך, גם אם כל השאר בוצעו כהלכה. כאן תוכל למצוא בעיות מחקר פונקציות מקוונות: לימוד דוגמאות, הורדת פתרונות, הזמנת מטלות.

חקור פונקציה ושרטט גרף: דוגמאות ופתרונות מקוונים

הכנו עבורכם הרבה לימודי תפקוד מוכנים, גם בתשלום בספר הפתרונות וגם בחינם בסעיף דוגמאות ללימודי תפקוד. בהתבסס על משימות שנפתרו אלו, תוכל להכיר בפירוט את המתודולוגיה לביצוע משימות דומות, ולבצע את המחקר שלך באנלוגיה.

אנו מציעים דוגמאות מוכנות של מחקר מלא ושרטוט פונקציות מהסוגים הנפוצים ביותר: פולינומים, פונקציות שבריות-רציונליות, אי-רציונליות, מעריכיות, לוגריתמיות, פונקציות טריגונומטריות. כל בעיה שנפתרה מלווה בגרף מוכן עם נקודות מפתח מודגשות, אסימפטוטים, מקסימום ומינימום; הפתרון מתבצע באמצעות אלגוריתם ללימוד הפונקציה.

בכל מקרה, הדוגמאות שנפתרו יעזרו לך מאוד שכן הן מכסות את סוגי הפונקציות הפופולריים ביותר. אנו מציעים לכם מאות בעיות שכבר נפתרו, אבל, כידוע, יש מספר אינסופי של פונקציות מתמטיות בעולם, ומורים הם מומחים גדולים בהמצאת עוד ועוד משימות מסובכות לתלמידים עניים. אז, תלמידים יקרים, עזרה מוסמכת לא תזיק לכם.

פתרון בעיות מחקר פונקציות מותאמות אישית

במקרה זה, השותפים שלנו יציעו לך שירות נוסף - מחקר מלא באינטרנטלהורות. המשימה תושלם עבורך בהתאם לכל הדרישות לאלגוריתם לפתרון בעיות כאלה, מה שישמח מאוד את המורה שלך.

אנו נערוך עבורך מחקר מלא של הפונקציה: נמצא את תחום ההגדרה ותחום הערכים, נבחן המשכיות ואי-רציפות, נקים זוגיות, נבדוק את הפונקציה שלך לגבי מחזוריות ונמצא את נקודות החיתוך עם צירי הקואורדינטות. . וכמובן, עוד באמצעות חשבון דיפרנציאלי: נמצא אסימפטוטות, נחשב נקודות קיצון, נקודות פיתול ונבנה את הגרף עצמו.